Trigonometria Plana e Esférica
APÊNDICE AO CAPÍTULO 17
TRIGONOMETRIA PLANA E ESFÉRICA
1 INTRODUÇÃO
A Trigonometria Esférica é essencial para compreensão dos conceitos e resolução
dos problemas de Navegação Astronômica e Navegação Ortodrômica. É, ainda, importante para entendimento dos princípios fundamentais de alguns sistemas de Navegação
Eletrônica.
A Trigonometria Plana é indispensável para entendimento dos conceitos e resolução dos problemas de derrotas loxodrômicas, além de ser usada em outros tipos e métodos
de navegação.
Assim, antes de prosseguir, é necessário recordar as noções e as fórmulas da
Trigonometria Plana e da Trigonometria Esférica, o que possibilitará melhor compreensão dos assuntos abordados nos Capítulos seguintes.
2 TRIGONOMETRIA PLANA
I CONCEITOS E SINAIS DAS LINHAS
TRIGONOMÉTRICAS
a)
Primeiro Quadrante: 0º a 90º (figura 17.A.1)
Figura 17.A.1 – Primeiro Quadrante
sen a
= PM = OQ ; sinal positivo (+)
cos a
=
OP = QM ; sinal positivo (+)
sen a
= cos a
1
sec a
=
cos a
1
cosec a =
sen a
1
cotg a =
tg a
tg a
Navegação astronômica e derrotas
= AT
; sinal positivo (+)
= OT ; sinal positivo (+)
= OS ; sinal positivo (+)
= BS
; sinal positivo (+)
589
Trigonometria Plana e Esférica
b) Segundo Quadrante: 90º a 180º (figura 17.A.2)
Figura 17.A.2 – Segundo Quadrante
sen a
= PM = OQ ; sinal positivo (+)
cos a
=
OP = QM ; sinal negativo (–)
sen a
= cos a = AT ; sinal negativo (–)
1
sec a
=
= OT ; sinal negativo (–)
cos a
1
cosec a =
= OS ; sinal positivo (+)
sen a
tg a
cotg a
c)
=
1
= BS
tg a
; sinal negativo (–)
Terceiro Quadrante: 180º a 270º (figura 17.A.3.)
Figura 17.A.3 – Terceiro Quadrante
sen a
=
PM = OQ ; sinal negativo (–)
cos a
=
OP = QM ; sinal negativo (–)
sen a
= cos a
1
sec a =
cos a
1
cosec a =
sen a
1
cotg a =
tg a
tg a
590
= AT
; sinal positivo (+)
= OT ; sinal negativo (–)
= OS ; sinal negativo (–)
= BS
; sinal positivo (+)
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
d) Quarto quadrante: 270º a 360º (figura 17.A.4)
Figura 17.A.4 – Quarto Quadrante
sen a
= PM = OQ ; sinal negativo (–)
cos a
= OP
sen a
cos a
1
sec a =
cos a
1
cosec a =
sen a
1
cotg a =
tg a
tg a
II
=
= QM ; sinal positivo (+)
= AT
; sinal negativo (–)
= OT ; sinal positivo (+)
= OS ; sinal negativo (–)
= BS
; sinal negativo (–)
RESUMO DOS SINAIS DAS LINHAS
TRIGONOMÉTRICAS
QUADRANTE
PRIMEIRO
LINHA
0º £ a £ 90º
SENO
COSSENO
TANGENTE
SECANTE
COSSECANTE
COTANGENTE
SEGUNDO
TERCEIRO
90º£ a £ 180º
180º £ a £ 270º
270º£ a £ 360º
+
–
–
–
+
–
–
–
+
–
–
+
–
+
–
+
–
–
+
+
+
+
+
+
QUARTO
III VARIAÇÕES DAS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS
QUADRANTE
SENO
1o
0 a +1
+1 a 0
0a+¥
+¥ a0
+1 a +
2o
+1 a 0
0 a –1
–
¥ a0
0a–¥
–
¥ a –1
+1 a + ¥
3o
0 a –1
–1 a 0
0a+¥
+¥ a0
–1 a – ¥
– ¥ a –1
0 a +1
–¥ a0
0a–¥
+ ¥ a +1
–1 a – ¥
4o
–1 a 0
COSSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSSECANTE
Navegação astronômica e derrotas
¥
+
¥ a +1
591
Trigonometria Plana e Esférica
IV PRIMEIRAS RELAÇÕES ENTRE AS FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
V
sen (– a)
= – sen a
tg (– a)
= – tg a
sec (– a)
cos (– a)
=
cos a
cotg (– a)
= – cotg a
cosec (– a) = – cosec a
sen (180º – a) =
sen a
tg (180º – a)
= – tg a
cos (180º – a) = – cos a
cotg (180º – a) = – cotg a
sen (180º + a) = – sen a
tg (180º + a)
cos (180º + a) = – cos a
cotg (180º + a) =
sen (90º + a)
=
tg (90º + a)
= – cotg a
cos (90º + a)
= – sen a
cotg (90º + a)
= – tg a
cos a
=
=
sec a
tg a
cotg a
IDENTIDADES DA TRIGONOMETRIA PLANA
Em um círculo de raio unitário (r = 1), teremos:
sen2 a + cos2 a= 1
sen a
= cos a
tg a
cotg a
cos a
=
sen a
1
cotg a =
tg a
sec2 a
= 1 + tg2 a
sec a
cosec2 a
= 1 + cotg2 a
1
cosec a = sen a
tg a
592
=
1
cotg a
tg a
=
cotg a =
sen a
+
1 – sen2 a
+
1 – sen2 a
sen a
1
= cos a
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
VI SOMA, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
DE ARCOS
sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b
sen (a – b) = sen a . cos b – cos a . sen b
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
tg (a + b) =
tg a + tg b
1 – tg a . tg b
sen 2a
= 2 sen a . cos a
cos 2a
= cos2 a – sen2 a
tg 2a
2 tg a
=
1 – tg2 a
tg (a – b) =
sen a
cos a
tg a
tg a – tg b
1 + tg a . tg b
= 2 sen
a
a
. cos
2
2
a
a
– sen2
2
2
a
2 tg
2
=
a
1 – tg2
2
= cos2
sen
a
2
= +
1 – cos a
2
cos
a
2
= +
1 + cos a
2
1 + cos a = 2 cos2
a
2
= +
1 – cos a
1 + cos a
1 – cos a = 2 sen2
a
2
tg
a
2
VII FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM UM
TRIÂNGULO RETÂNGULO
No triângulo retângulo ABC (figura 17.A.5) temos:
Figura 17.A.5 – Triângulo Retângulo
b
=
a
cateto oposto
hipotenusa
sen B
=
cos B
c
cateto adjacente
= a =
hipotenusa
tg B
cateto oposto
b
= c = cateto adjacente
a
1
=
c
cos B
a
1
cosec B =
=
b
sen B
c
1
cotg B =
=
b
tg B
sec B
=
Navegação astronômica e derrotas
593
Trigonometria Plana e Esférica
^ ^
Ainda no triângulo retângulo ABC, B e C são ângulos complementares, isto é:
^+C
^ = 90º.
B
Então:
VIII
sen B
b
= a = cos C
= cos (90º – B)
cos B
c
= a = sen C
= sen (90º – B)
tg B
b
= c = cotg C = cotg (90º – B)
sec B
a
= c = cosec C = cosec (90º – B)
cosec B =
a
= sec C
b
= sec (90º – B)
cotg B =
c
= tg C
b
= tg (90º – B)
RESOLUÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Consideram-se 4 casos na resolução dos triângulos retângulos:
1o CASO: Dados a hipotenusa e um ângulo agudo (a e B, respectivamente)
Lados: b = a . sen B
c = a . cos B
Ângulo: C = 90º – B
Área:
S =
1 2
a . sen 2 B
4
2o CASO: Dados um cateto e um ângulo agudo (b e B, respectivamente)
Lados: a =
b
sen B
Ângulo: C = 90º – B
c = b . cotg B
Área:
S =
1 2
b . cotg B
2
3o CASO: Dados os dois catetos (b e c)
Ângulos: tg B =
b
c
Hipotenusa: a =
b
sen B
1
bc
2
4o CASO: Dados a hipotenusa e um cateto (a e b, respectivamente)
C
= 90º – B
Ângulos: sen B =
C
594
b
a
= 90º – B
Área:
S =
Lado:
c =
Área:
S=
(a + b) (a – b)
1
b
bc =
2
2
(a + b) (a – b)
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
IX TRIÂNGULO PLANO OBLIQUÂNGULO
Seja o triângulo obliquângulo ABC da figura 17.A.6. As seguintes Leis são úteis para
resolução desse tipo de triângulo:
Figura 17.A.6 – Triângulo Plano Obliquângulo
A
a
b
c
Lei dos Senos:
=
=
sen A
sen B
sen C
b
c
Lei dos Cossenos: a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A
B
X
C
a
RESOLUÇÃO DO TRIÂNGULO OBLIQUÂNGULO
Conforme os dados do problema, distinguiremos os 4 casos possíveis (figura 17.A.6).
1o CASO: Dados um lado e dois ângulos quaisquer (a, A e B)
Lados: b =
a . sen B
sen A
Ângulo: C = 180º – (A + B)
c =
a . sen C
sen A
Área:
S =
a2 . sen B . sen (A + B)
2 sen A
2o CASO: Dados dois lados e o ângulo que eles formam (a, b e C)
Ângulos:
tg
A+B
C
= cotg
2
2
Lado: c =
a . sen C
sen A
tg
A–B a–b
C
. cotg
=
2
a+b
2
Área: S =
ab . sen C
2
ou:
a . sen C
b – a . cos C
tg A =
e:
B = 180º – (A + C)
3o CASO: Dados os três lados (a, b e c)
Perímetro : a + b + c = 2p
Ângulos :
sen
sen
sen
Navegação astronômica e derrotas
A
2
B
2
C
2
=
Área : S = p (p – a)(p – b)(p – c)
(p – b) (p – c)
bc
=
(p – a) (p – c)
=
(p – a) (p – b)
ac
ab
; ou : cos A =
c 2 + b2 – a 2
2bc
a + c 2 – b2
2
; ou : cos B =
; ou :
2ac
C = 180º – (A + B)
595
Trigonometria Plana e Esférica
4o CASO: Dados dois lados e o ângulo oposto a um deles (a, b e A)
b . sen A
a
Lado: c =
a . sen C
sen A
C = 180º – (A + B)
Área: S =
1
ab . sen C
2
Ângulos: sen B =
3 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
I
FINALIDADE DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
O navegante admite que a Terra tem forma esférica, com o propósito de simplificar a
solução dos problemas de Navegação Astronômica. Por outro lado, os astros são supostos
estar projetados sobre a superfície interna de uma imensa esfera, denominada Esfera Celeste, de raio infinito e concêntrica com a Terra.
Eis porque, quando um navegante efetua Navegação Astronômica, o seguinte procedimento se impõe:
1o. Observar astros que lhe parecem estar na superfície interna da Esfera Celeste; e
2o. resolver triângulos esféricos pertencentes à superfície interna dessa esfera (figura 17.A.7).
Figura 17.A.7 – Triângulo Esférico na Esfera Celeste
A RESOLUÇÃO DESTES TRIÂNGULOS ESFÉRICOS CONSTITUI, PARA
O NAVEGANTE, O FIM PRINCIPAL DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA.
596
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
As Tábuas para Navegação Astronômica (PUB. 229, PUB. 249, RADLER, NORIE, etc.)
constituem, na realidade, uma série de soluções pré-computadas de triângulos esféricos, para
todas as combinações possíveis de Latitude, Declinação e Ângulo Horário (ou ângulo no pólo),
a fim de facilitar ao navegante a resolução do triângulo de posição e a determinação rápida e
precisa do ponto no mar.
II PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS
ESFÉRICOS
TRIÂNGULO ESFÉRICO é a porção da superfície esférica compreendida entre três
arcos de circunferências máximas, cada um deles inferior a 180º.
Os ângulos do triângulo esférico ABC (figura 17.A.8) são simbolizados com as letras A,
B, C e os lados opostos, com as minúsculas respectivas: a, b, c. A cada triângulo esférico ABC,
de lados menores que 180º, corresponde um ângulo triédrico convexo, 0–ABC, cujo vértice
está no centro O da esfera. Os lados do triângulo esférico têm por medida as faces respectivas
do ângulo triédrico correspondente. Realmente, a medida de cada lado é igual à medida do
respectivo ângulo central:
lado a = ângulo central BOC
lado b = ângulo central AOC
lado c = ângulo central AOB
Figura 17.A.8 – Triângulo Esférico A B C
Os ângulos do triângulo esférico têm por medida os diedros do ângulo triédrico correspondente:
A = diedro OCAB
B = diedro OABC
C = diedro OACB
Navegação astronômica e derrotas
597
Trigonometria Plana e Esférica
Propriedades dos triângulos esféricos:
1a. A soma dos 3 lados de um triângulo esférico é maior que 0º e menor que 360º.
0º < a + b + c < 360º
2a. A soma dos 3 ângulos de um triângulo esférico é maior que 2 retos e menor que 6 retos.
180º < A + B + C < 540º
3a. Cada lado de um triângulo esférico é menor que a soma e maior que a diferença dos
outros dois.
|b–c|<a<b+c
|c–a|<b<c+a
|a–b|<c<a+b
4a. Se 2 lados de um triângulo esférico são iguais, os ângulos opostos também são
iguais. A recíproca é verdadeira.
Se a = b, então A = B (e reciprocamente)
5a. Ao maior lado se opõe o maior ângulo e vice-versa.
6a. A soma de dois ângulos é menor que o terceiro acrescido de 180º e a diferença é
menor que o suplemento do terceiro.
A + B < C + 180º
A – B < 180º– C
III FÓRMULAS GERAIS DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
A Trigonometria Esférica estabelece relações convenientes entre os 6 elementos de um
triângulo esférico (3 lados e 3 ângulos), tornando possível o cálculo de 3 desses elementos,
quando forem conhecidos os outros 3.
Assim, cada elemento desconhecido é calculado em função de outros 3, proporcionando, em cada caso, uma combinação de 4 elementos. Como são 6 os elementos de um triângulo,
temos que ver quantas combinações poderemos fazer com esses 6 elementos 4 a 4.
A 64
6x5x4x3
A nm
= 15
15
=
=
C ==
P4
1x2x3x4
Pn
n
m
Deste modo, com 15 fórmulas teremos abrangido todos os casos de resolução a seguir
expostos.
1o CASO: COMBINAÇÃO DE 3 LADOS A CADA UM DOS ÂNGULOS
Da figura 17.A.9, obtém-se: tg b = AL
tg c = AK
598
sec b = OL
sec c = OK
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
Figura 17.A.9
Os triângulos planos retilíneos KOL e KAL permitem-nos escrever:
KL2 = OL2 + OK2 – 2 x OL x OK x cos a
KL2 = AL2 + AK2 – 2 x AL x AK x cos A
Igualando e substituindo:
sec2 b + sec2 c – 2 . sec b . sec c . cos a = tg2 b + tg2 c – 2 . tg b . tg c . cos A
ou seja:
– 2 . sec b . sec c . cos a = tg2 b – sec2 b + tg2 c – sec2 – 2 tg b . tg c . cos A
Dividindo por (–2) ambos os membros da igualdade acima, teremos:
sec b . sec c . cos a = 1 + tg b . tg c . cos A
Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por cos b . cos c, virá:
1 . 1 . cos a . cos b . cos c = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A . cos b . cos c
cos b cos c
cos b cos c
Donde
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
Por dedução semelhante, chegaríamos às outras duas combinações, completando
assim o grupo das chamadas FÓRMULAS FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMÉTRICA
ESFÉRICA:
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B
cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C
2o CASO: COMBINAÇÃO DE 3 ÂNGULOS A CADA UM DOS LADOS
Por simples aplicação da propriedade do triângulo polar ou suplementar, chegaríamos ao seguinte conjunto de fórmulas:
Navegação astronômica e derrotas
599
Trigonometria Plana e Esférica
cos A = – cos B . cos C + sen B . sen C . cos a
cos B = – cos A . cos C + sen A . sen C . cos b
cos C = – cos A . cos B + sen A . sen B . cos c
3o CASO: COMBINAÇÃO DE 2 ÂNGULOS A 2 LADOS OPOSTOS (ANALOGIA DOS
SENOS OU LEI DOS SENOS)
Partindo das fórmulas fundamentais, por fáceis substituições algébricas, deduziríamos:
sen b
sen a
sen c
=
=
sen A sen B
sen C
4o CASO: COMBINAÇÃO DE 4 ELEMENTOS CONSECUTIVOS (FÓRMULA DAS
COTANGENTES), NOS SENTIDOS MOSTRADOS NA FIGURA 17.A.10
Figura 17.A.10
B
a
c
C
A
b
Com origem nas fórmulas fundamentais, chegaríamos às últimas 6 fórmulas, atingindo o total das 15 combinações procuradas:
cotg a . sen c = cotg A. sen B + cos c . cos B
cotg a . sen b = cotg A. sen C + cos b . cos C
cotg b . sen a = cotg B . sen C + cos a . cos C
cotg b . sen c = cotg B . sen A + cos c . cos A
cotg c . sen a = cotg C . sen B + cos a . cos B
cotg c . sen b = cotg C . sen A + cos b . cos A
Todo o trabalho restante da Trigonometria Esférica se resume, praticamente, na
simplificação destas fórmulas gerais, que são suficientes para resolver qualquer caso clássico que se apresente.
600
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
IV SIMPLIFICAÇÃO DAS FÓRMULAS GERAIS NOS
CASOS DOS TRIÂNGULOS ESFÉRICOS
RETÂNGULOS E RETILÁTEROS
TRIÂNGULO ESFÉRICO RETÂNGULO é aquele que tem um ângulo igual a 90º.
TRIÂNGULO ESFÉRICO RETILÁTERO é aquele que tem um lado igual a 90º.
Fazendo parte dos 3 elementos dados de um triângulo esférico um ângulo igual a 90º
(triângulo esférico retângulo), ou um lado igual a 90º (triângulo esférico retilátero), é evidente
que este elemento irá simplificar a combinação escolhida, como se verifica no quadro a seguir,
no qual são apresentadas as fórmulas gerais e as fórmulas simplificadas que atendem à resolução de qualquer caso dos triângulos esféricos retângulos e retiláteros.
FÓRMULAS GERAIS
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
FÓRMULAS SIMPLIFICADAS
A = 90º
cos a = cos b . cos c
a = 90º
cos A = – cotg b . cotg c
cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B
cos b = sen c . cos B
cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C
cos c =
sen b . cos C
cos A = – cos B . cos C + sen B . sen C . cos a
cos a = cotg B . cotg C
cos A = – cos B . cos C
cos B = – cos A . cos C + sen A . sen C . cos b
cos B = sen C . cos b
cos C = – cos A . cos B + sen A . sen B . cos c
cos C = sen B . cos c
sen a
sen b
=
sen A
sen B
sen b = sen a . sen B
sen B = sen b . sen A
sen a
sen c
=
sen A
sen C
sen c = sen a . sen C
sen C = sen c . sen A
cotg a . sen c = cotg A . sen B + cos c . cos B
cotg a = cotg c . cos B
cotg A = – cos c . cotg B
cotg a . sen b = cotg A . sen C + cos b . cos C
cotg a = cotg b . cos C
cotg A = – cos b . cotg C
sen b
sen c
=
sen B
sen C
cotg b . sen a = cotg B . sen C + cos a . cos C
cotg b . sen c = cotg B . sen A + cos c . cos A
cotg b = cotg B . sen C
cotg B = cotg b . sen c
cotg c . sen a = cotg C . sen B + cos a . cos B
cotg c . sen b = cotg C . sen A + cos b . cos A
Navegação astronômica e derrotas
cotg c = cotg C . sen B
cotg C = cotg c . sen b
601
Trigonometria Plana e Esférica
V
FÓRMULAS EMPREGADAS NA RESOLUÇÃO DOS
TRIÂNGULOS ESFÉRICOS OBLIQUÂNGULOS
1o CASO: DADOS OS TRÊS LADOS (a, b, c)
tg
A
sen (p – b) . sen (p – c)
=+
2
sen p . sen (p – a)
tg
B
sen (p – a) . sen (p – c)
=+
2
sen p . sen (p – b)
tg
C
sen (p – a) . sen (p – b)
=+
2
sen p . sen (p – c)
; sendo p =
a+b+c
2
; sendo S =
A + B+C
2
2o CASO: DADOS OS TRÊS ÂNGULOS (A, B, C)
tg
– cos S . cos (S – A)
a
=+
cos (S – B) . cos (S – C)
2
tg
– cos S . cos (S – B)
b
=+
cos (S – A) . cos (S – C)
2
tg
c
– cos S . cos (S – C)
=+
2
cos (S – A) . cos (S – B)
3o CASO: DADOS DOIS LADOS E O ÂNGULO COMPREENDIDO (A, b, c) – FIGURA
17.A.11
Figura 17.A.11
C
b
a
B
A
c
602
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
Para o cálculo do lado a podemos empregar a fórmula:
cos a = cos b .
cos (c ~ m)
cos m
Em que o argumento auxiliar m é dado por tg m = tg b. cos A ou, então, lançar mão da
fórmula do SEMI-SENO-VERSO:
ssv a = ssv (b ~ c) + sen b. sen c. ssv A
É oportuno recordar que se denomina semi-seno-verso (ssv) de um ângulo A à expressão:
ssv A =
1
2
(1–- cos A) = sen 2
A
2
É fácil demonstrar a igualdade acima, desde que nos lembremos das seguintes identidades:
sen 2 A + cos2 A = 1
cos A = cos2
A
2
– sen 2
A
2
· multiplicando a segunda fórmula por (– 1), teremos:
– cos A = – cos 2
·
A
2
+ sen 2
A
2
+ sen 2
A
2
como:
2
sen
2 A
A
+ cos
= 1, teremos:
2
2
1– cos A = sen
·
2
somando 1 a cada um dos membros, ficará:
1 - cos A = 1 – cos 2
·
A
2
A
2 A
2 A
2 A
+ cos
– cos
+ sen
22
2
2
2
ou, então:
1 – cos A = 2 sen 2
Navegação astronômica e derrotas
A
2
; e
1
2
(1 – cos A) = sen 2
A
2
603
Trigonometria Plana e Esférica
O semi-seno-verso (ssv) é empregado na solução do triângulo de posição em várias
Tábuas para Navegação Astronômica. Em inglês, é denominado haversine (hav). É esta a
notação empregada na Tábua Norie.
Quanto aos ângulos B e C, podem ser obtidos por meio das ANALOGIAS DE NEPER:
tg
tg
B+C
2
B–C
2
cos
=
2 . cotg A
b+c
2
cos
2
sen
=
b–c
b–c
2 . cotg A
b+c
2
sen
2
O lado a também pode ser obtido, após o cálculo dos ângulos B e C, utilizando a ANALOGIA DE NEPER:
a
tg
2
B+C
b+c
2
=
. tg
B–C
2
cos
2
cos
4o CASO: DADOS DOIS ÂNGULOS E O LADO COMPREENDIDO (LADO COMUM)
Dados: A, b, C
Utiliza-se a resolução pela decomposição em triângulos retângulos.
Na figura 17.A.12, o ângulo B pode ser calculado pela fórmula cos B =
sen ä . cos A
sen Ø
Figura 17.A.12
C
b
d
Y
a
B
A
c
604
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
Em que o argumento auxiliar Y é dado por cotg Y = tg A . cos b, e o ângulo d = C – Y.
Ou, então, lançando mão da fórmula do SEMI-SENO-VERSO:
ssv (180º – B) = ssv (A + C) – sen A. sen C . ssv b
Os lados a e c podem ser calculados por meio das ANALOGIAS DE NEPER:
tg
tg
A–C
b
2
=
. tg
A +C
2
cos
2
cos
a+c
2
A –C
b
2
=
. tg
A +C
2
sen
2
sen
a–c
2
Calculados os lados a e c, pode-se utilizar a fórmula seguinte, para calcular o ângulo
B, obtida da ANALOGIA DE NEPER:
cotg
B
2
cos
=
a+c
2 . tg A + C
a– c
2
cos
2
5o CASO: DADOS DOIS LADOS E O ÂNGULO OPOSTO DE UM DELES (a, b, A)
Figura 17.A.13
C
Y
d
b
a
B
A
d
m
c
Na figura 17.A.13, temos:
Navegação astronômica e derrotas
605
Trigonometria Plana e Esférica
sen B =
sen A . sen b
sen a
c
= m+d
tg m
= cos A . tg b
cos d =
cos m . cos a
cos b
C
= Y+d
cotg Y = cos b . tg A
cos d =
cos Y . tg b
tg a
Sinais de d e d:
– As grandezas m e Y serão sempre positivas.
– As grandezas d e d serão positivas quando A e B forem do mesmo quadrante; quando
A e B não forem do mesmo quadrante, os valores de d e d serão precedidos do sinal –
(menos). Os sinais de d e d saem diretamente das fórmulas acima, para cos d e cos d.
6o CASO: DADOS DOIS ÂNGULOS E O LADO OPOSTO A UM DELES (A, B, b)
Figura 17.A.14
C
Y
d
b
a
B
A
m
d
c
Na figura 17.A.14, temos:
sen a =
606
sen A . sen b
sen B
c
= m+d
cotg m = – cos A . tg b
cos d = –
cotg B . cos m
cotg A
C
= Y+d
tg Y
cos d = –
cos Y . cos B
cos A
= – cos b . tg A
Navegação astronômica e derrotas
Trigonometria Plana e Esférica
Sinais de d e d:
– Os sinais de Y e m são sempre positivos.
– Os sinais de d e d são sempre iguais, pois estes são sempre do mesmo quadrante
(o que acontece, igualmente, com m e Y). Os sinais de d e d saem diretamente
das fórmulas acima, para cos d e cos d.
Navegação astronômica e derrotas
607