Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 65
3ª Unidade: Geometria Analítica no Plano
1 – Retas no Plano
Condição de Alinhamento de três pontos
Vamos considerar a existência de três pontos sobre
uma reta r de coordenadas A( x A , y A ) , B( x B , y B ) e
C ( xC , y C ) , conforme representados no plano cartesiano xy
da figura 3.1.
Figura 3.1: Pontos colineares num plano
Tem-se que:
AD BD
AD BE
ou
=
=
BE CE
BD CE
Substituindo pelas medidas dos segmentos, e desenvolvendo a expressão:
x − xB
xB − x A
= C
⇒ ( x B − x A ) ⋅ ( y C − y B ) = ( y B − y A ) ⋅ ( xC − x B )
y B − y A yC − y B
Ou
( x B − x A ) ⋅ ( y C − y B ) − ( y B − y A ) ⋅ ( xC − x B ) = 0
x A y B + x B y C + x C y A − xC y B − x B y A − x A y C = 0
A expressão obtida é equivalente ao determinante D da matriz constituída pelas coordenadas
dos pontos A, B e C.
xA
D = xB
xC
yA 1
yB 1 = 0
yC 1
xA
Ou seja, se A( x A , y A ) , B( x B , y B ) e C ( xC , y C ) são pontos colineares, então x B
xC
yA 1
yB 1 = 0 .
yC 1
Equação geral da reta
Se conhecermos dois pontos distintos de uma reta, A( x A , y A ) e B( x B , y B ) , e considerarmos
P ( x, y ) um ponto genérico da mesma, pela condição de alinhamento de três pontos podemos escrever
que:
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1
x
y
xA
xB
yA 1 = 0
yB 1
Calculando o determinante temos
x ⋅ y A ⋅1 + y ⋅1 ⋅ x B + 1 ⋅ x A y B − 1 ⋅ x B y A − y ⋅ x A ⋅1 − x ⋅1 ⋅ y B = 0
( y A − yB ) x + (xB − x A ) y + ( x A yB − xB y A ) = 0
Fazendo y A − yB = a , x B − x A = b e x A y B − x B y A = c , pode-se escrever a equação geral de uma reta.
ax + by + c = 0
Na equação, a, b e c são números reais e a e b não podem ser nulos ao mesmo tempo.
Exemplo1
Escreva a equação da reta definida pelos pontos A(2,3) e B (−1,2) .
A equação pode ser obtida usando a condição de alinhamento de três pontos: A(2,3) , B (−1,2) e um
ponto genérico ( x, y ) .
x
y 1
2
3 1=0
−1 2 1
3x − y + 4 + 3 − 2 x − 2 y = 0
x − 3y + 7 = 0
Assim a equação geral da reta é x − 3 y + 7 = 0
Equação reduzida da reta
Se conhecermos apenas um ponto P( x, y ) da reta e a
sua inclinação m associada a um ângulo α , a mesma também
fica perfeitamente definida, como na figura 3.2.
Figura 3.2: Reta no plano
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Na figura 3.2 pode-se reconhecer o triângulo PQR como retângulo. Assim, usando a razão
trigonométrica tangente, temos que a inclinação m da reta corresponde a:
m = tgα =
y−n
ou y = mx + n
x
De modo mais geral, se conhecemos um dos pontos A( x A , y A ) da reta e se consideramos um
ponto genérico P ( x, y ) , pode-se escrever que m = tgα =
y − yA
x − xA
e assim m = tgα =
∆y
∆x
e
y − y A = m( x − x A )
A expressão y = mx + n é chamada de equação reduzida da reta e neste formato fica evidente o
valor da inclinação m e do coeficiente linear n. A inclinação m ou coeficiente angular ou declividade
representa a tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas no sentido positivo. O
coeficiente linear n é o ponto (0, n) onde a reta intercepta o eixo y.
Observações:
1) Se a reta é horizontal, o ângulo entre a reta e o eixo x é de 0° e, a inclinação é zero, assim a
equação se reduz a y = n
2) Se a reta é vertical, ela forma um ângulo reto com o eixo x. Como a tangente de 90° não existe
não podemos escrever sua equação na forma reduzida. Retas verticais têm equação do tipo
x = p , onde ( p,0) é o ponto onde a reta intercepta o eixo x .
Exemplo 1:
João comprou um trator agrícola a quatro anos atrás por um valor de R$ 60.000,00. Hoje, na troca por
um novo, seu trator está cotado em R$ 30.000,00. Considerando que a depreciação é linear, determine
a depreciação anual.
Vamos considerar os pares ordenados (0,60000) e (4,30000)
y − y A 30000 − 60000 − 30000
=
=
= −7500
x − xA
4−0
4
Logo, o trator desvaloriza anualmente o equivalente a R$ 7.500,00
m=
Equação segmentária da reta
Esta forma de representação da equação da reta expressa claramente os pontos (0, n) e ( p,0)
onde a mesma intercepta os dois eixos coordenados, como na figura 3.3.
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Figura 3.3: Intersecção da reta com os eixos coordenados
Pela condição de alinhamento de três pontos, podemos escrever:
x
y 1
0
n 1 =0
p
0 1
nx + py + 0 − np − 0 − 0 = 0
nx + py − np = 0
Dividindo a equação obtida por np :
x y
+ = 1 , que é a equação segmentária da reta.
p n
Observação: Na prática, pode-se transformar a equação geral da reta para a forma reduzida ou
segmentaria balanceando convenientemente a expressão.
Exemplo 1:
Se uma reta passa pelos pontos A(1,−3) e B (3,1) escreva sua equação reduzida.
Existem várias maneiras de encontrar a equação desta reta. Uma delas é utilizando a condição de
alinhamento de três pontos já estudada. Outra maneira é utilizando a expressão y − y A = m( x − x A ) .
Considerando os pontos A e B e que m = tgα =
m=
∆y
∆x
1 − (−3)
=2
3 −1
Usando a inclinação m = 2 e um dos pontos dados A(1,−3) obtém-se a equação a partir de
y − y A = m( x − x A ) , ou seja,
y − (−3) = 2( x − 1)
y + 3 = 2x − 2
y = 2x − 5
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Assim, a equação reduzida da reta é y = 2 x − 5
A equação geral então é 2 x − y − 5 = 0
Se desenharmos a reta no plano cartesiano podese observar os diversos elementos da equação na
forma reduzida.
Na equação y = 2 x − 5 o coeficiente angular ou
inclinação é m = 2 e o coeficiente linear é
n = −5 . Na figura 3.3 a tangente do ângulo α
representado é 2 e o ponto onde a reta intercepta o
eixo y é -5.
Exemplo 2:
Encontre um valor para n para que o ponto P(1, n) pertença a reta de equação x + 2 y − 5 = 0 .
Para resolver basta substituir os valores na equação dada:
x + 2y − 5 = 0
1 + 2n − 5 = 0
2n = 4
Logo, n = 2 .
n=2
Exemplo 3:
Escreva a equação geral e a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(−2,2) e B (3,5) ,
indicando seu coeficiente angular, o valor aproximado do ângulo existente entre a reta e o eixo das
abscissas e o ponto onde a reta intercepta o eixo das ordenadas. Represente graficamente a reta
indicando estas informações.
Podemos encontrar a equação geral da reta através da condição de alinhamento de três pontos, ou seja,
os pontos A e B e um ponto genérico ( x, y ).
x
xA
xB
y 1
x y 1
yA 1 = 0 ⇒ − 2 2 1 = 0
yB 1
3 5 1
2 x + 3 y − 10 − 6 + 2 y − 5 x = 0
− 3 x + 5 y − 16 = 0
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A equação reduzida pode ser obtida isolando y na equação geral:
− 3 x + 5 y − 16 = 0
5 y = 3 x + 16
3
16
y = x+
5
5
O coeficiente angular ou inclinação é m =
m = tgα ⇒ tgα =
3
5
3
⇒ α = arctg (0,6) ⇒ α ≅ 310
5
Observando a equação reduzida da reta temos que o
termo independente é
16
. Este valor é o coeficiente
5
linear, logo a reta intercepta o eixo das ordenadas y no
ponto (0,
16
).
5
O gráfico pode ser construído manualmente ou usando
um programa gerador de gráficos como o Derive,
Graph ou Geogebra, entre outros. Pela simplicidade
deste vamos construí-lo manualmente.
Se a reta passa nos pontos A(−2,2) e intercepta o eixo
das ordenadas no ponto (0,
16
).
5
Exemplo 4:
Encontre a equação da reta que no plano cartesiano faz um ângulo de 45 0 com o eixo das abscissas, no
sentido positivo e passa no ponto (2,5) .
Se o ângulo formado é conhecido, temos como encontrar o coeficiente angular ou inclinação da reta:
m = tg 45 0
m =1
Conhecendo a inclinação e um ponto utiliza-se a equação da reta na forma y − y A = m( x − x B ) , ou
seja, y − 5 = 1( x − 2)
E assim, y = x + 3 é a equação da referida reta.
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Exemplo 5:
As retas de equações 2 x + 3 y − 11 = 0 e 4 x − y − 1 = 0 se interceptam num ponto. Determine as
coordenadas deste ponto.
Ao ponto de encontro de duas retas corresponde a solução do sistema linear formado pelas suas
equações:
2 x + 3 y − 11 = 0

 4x − y − 1 = 0
Resolvendo o sistema obtemos x = 1 e y = 3 . Logo o ponto é (1,3) .
Exemplo 6:
Qual é a equação da reta representada na figura?
O coeficiente angular pode ser obtido por m =
m=
∆y
∆x
∆y 3 − 1 2 1
=
= =
∆x 4 − 0 4 2
A reta intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,1) , assim o coeficiente linear é 1.
Usando a forma reduzida da equação da reta y = mx + n , temos:
y = mx + n
y=
1
x +1
2
Ou na forma geral, x − 2 y + 2 = 0
Relações entre retas
Conhecemos da geometria elementar que duas retas no plano podem ser coincidentes ou
distintas. Se forem distintas podem ser paralelas ou concorrentes. Se forem concorrentes podem ser
perpendiculares ou não. Vamos nos dedicar ao estudo destas particularidades.
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Retas coincidentes, paralelas e concorrentes.
Duas retas são identificadas como coincidentes quando ocupam o mesmo lugar geométrico, ou
seja, tem todos os seus pontos em comum. Em outros termos, o gráfico de duas retas coincidentes é de
duas retas sobrepostas. Analiticamente, suas equações formam um sistema linear classificado como
possível e indeterminado, já que tem infinitas soluções.
Duas retas coplanares, não coincidentes, são ditas paralelas quando não tem nenhum ponto em
comum, e o sistema linear formado por suas equações é classificado como sistema impossível.
Por fim, se duas retas distintas, coplanares tiverem um único ponto em comum são denominadas
concorrentes e seus gráficos concorrem neste ponto. Analiticamente suas equações formam um
sistema linear possível e determinado.
A identificação da relação entre as retas pode ser facilmente identificada quando escritas na sua
forma reduzida y = mx + n , como veremos a seguir.
Se duas retas r e s têm coeficiente angular m1 e m2 , e coeficiente linear n1 e n2 respectivamente,
podemos mostrar que:
•
Se m1 = m2 e n1 = n2 , as retas são coincidentes (r = s ) ;
•
Se m1 = m2 e n1 ≠ n2 , as retas são paralelas (r // s ) ;
•
Se m1 ≠ m2 , as retas são concorrentes (r × s ) ;
•
Se m1 ≠ m2 e m1 ⋅ m2 = −1 , as retas concorrentes são perpendiculares (r ⊥ s ) ;
•
Duas retas do tipo y = n (horizontal) e x = p (vertical) são sempre perpendiculares entre si.
Exemplo 1:
As retas de equações x + y + 3 = 0 e 2 x + 2 y + 6 = 0 são coincidentes. Podemos verificar isto
resolvendo o sistema linear:
 x+ y+3=0
 x + y = −3
⇒

 2 x + 2 y + 6 = 0  2 x + 2 y = −6
Utilizando a regra de Cramer temos que D =
1 1
2 2
= 0 , Dx =
−3 1
−6 2
= 0 e Dy =
1 −3
2 −6
= 0 , o que
caracteriza um sistema linear possível e indeterminado, ou seja, com infinitas soluções. Lembramos
que a resolução gráfica de um sistema linear significa encontrar os pontos comuns as várias equações.
Neste caso, todos os pontos são comuns as duas retas. O gráfico representa estas retas.
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De maneira mais prática podemos analisar
as equações reduzidas das retas:
Na primeira reta x + y + 3 = 0 ⇒ y = − x − 3
, onde temos m1 = −1 e n1 = −3 ;
Na
segunda
reta
2 x + 2 y + 6 = 0 ⇒ y = (−2 x − 6) / 3 ⇒ y = − x − 3
, onde temos m2 = −1 e n2 = −3 .
Como m1 = m2 e n1 = n2 , as retas são
coincidentes.
Exemplo 2:
As retas de equações x + y − 1 = 0 e 2 x + 2 y − 6 = 0 são paralelas. Podemos verificar isto resolvendo
o sistema linear:
 x + y =1
 x + y −1 = 0
⇒

2 x + 2 y − 6 = 0 2 x + 2 y = 6
Utilizando a regra de Cramer temos que D =
1 1
2 2
= 0 , Dx =
1 1
6 2
= −4 e D y =
1 1
2 6
= 4 , o que
caracteriza um sistema linear impossível, sem solução, ou seja, as equações não têm nenhum ponto em
comum.
No gráfico temos:
Analisando a relação pelas equações
reduzidas, temos:
Na primeira reta
x + y − 1 = 0 ⇒ y = − x + 1 , onde temos
m1 = −1 e n1 = 1 ;
Na segunda reta
2 x + 2 y − 6 = 0 ⇒ y = ( − 2 x + 6) / 3 ⇒ y = − x + 3
, onde temos m2 = −1 e n2 = 3 .
Como m1 = m2 e n1 ≠ n2 , as retas são
paralelas.
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Exemplo 3:
As retas de equações 2 x + y − 8 = 0 e x − 2 y + 6 = 0 são concorrentes. Podemos verificar isto
resolvendo o sistema linear:
2 x + y − 8 = 0  2 x + y = 8
⇒

 x − 2 y + 6 = 0  x − 2 y = −6
Utilizando
Dy =
2
a
8
1 −6
regra
de
Cramer
temos
que
D=
2
1
1 −2
= −5 ,
Dx =
8
1
−6 −2
= −10
e
= −20 , o que caracteriza um sistema linear possível e determinado, ou seja, com uma
única solução.
Encontrando a solução:
x=
D y − 20
D x − 10
=2 e y=
=4
=
=
−5
−5
D
D
No gráfico temos:
A partir das equações reduzidas podemos
também chegar a mesma conclusão:
Na
primeira
x − 2y + 6 = 0 ⇒ y =
m1 =
Na
reta
1
x + 3 , onde temos
2
1
e n1 = 3 ;
2
segunda
reta
2 x + y − 8 = 0 ⇒ y = −2 x + 8 , onde temos
m2 = −2 e n2 = 8 .
Como m1 ≠ m2 , concluímos que as retas
são concorrentes.
Exemplo 4:
Sejam A(−3,1) um ponto de um plano e r a reta x + 2 y − 4 = 0 contida no mesmo plano, determine:
a) A reta s perpendicular a reta r e que passa pelo ponto A;
b) A projeção ortogonal do ponto A sobre a reta r.
Resolução
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a) Iniciamos determinando o coeficiente angular de r e s:
1
1
x + 2 y − 4 = 0 ⇒ y = − x + 2 ⇒ mr = −
2
2
Como r e s devem ser perpendiculares, mr ⋅ ms = −1
Assim, −
1
⋅ ms = −1 ⇒ m s = 2 e passa pelo ponto A(−3,1) .
2
Sabemos que y − y A = m( x − x A ) , portanto:
y − 1 = 2( x − (−3))
y = 2x + 6 + 1
y = 2x + 7
Logo, s é a reta y = 2 x + 7 ou 2 x − y + 7 = 0 .
b) Como o ponto A(−3,1) não pertence à reta r (pode ser verificado substituindo o ponto na equação),
a projeção ortogonal de A sobre r é ponto B, intersecção de r com s.
Resolvendo o sistema formado pelas equações, temos:
x + 2 y − 4 = 0
, onde x = −2 e y = 3 .

2 x − y + 7 = 0
Assim, B(−2,3) é o ponto procurado.
Exemplo 5:
Para que valor de k as retas r : 4 x + 2 y + 1 = 0 e s : (k − 1) x − 5 y + 4 = 0 são paralelas?
Inicialmente vamos determinar o coeficiente angular de r e s:
4
1
r : 4 x + 2 y + 1 = 0 ⇒ y = − x − ⇒ m r = −2
2
2
s : (k − 1) x − 5 y + 4 = 0 ⇒ y =
(k − 1)
4
k −1
x + ⇒ ms =
5
5
5
Se r e s são paralelas, mr = ms , ou seja,
−2=
k −1
⇒ k − 1 = −2 ⋅ 5 ⇒ k − 1 = −10 ⇒ k = −9 .
5
Exemplo 6:
Dada a função demanda definida por Q = 15 −
1
3
P e a função oferta definida por Q = −1 + P , onde
4
4
P é o preço e Q é a quantidade do produto. Encontre o preço e a quantidade de equilíbrio na qual a
oferta fica igual a demanda.
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1

Q = 15 − 4 P
Para encontrar os valores solicitados resolvemos o sistema 
3
Q = −1 + P
4

Como Q = Q, temos:
1
3
P = −1 + P
4
4
60 − P − 4 + 3P
=
4
4
4 P = 64
15 −
P = 16
Como Q = 15 −
Q = 15 −
1
P , substituindo P, encontramos:
4
1
⋅ 16 ⇒ Q = 11
4
Logo, para que se tenha o equilíbrio solicitado o preço do produto é $ 16 e a quantidade é de 11
unidades.
Ângulos entre duas retas
Entre duas retas r e s, concorrentes e não perpendiculares, formam-se ângulos agudos de
mesma medida β e ângulos obtusos de mesma medida 180 0 − β .
Podemos determinar este ângulo β de duas maneiras, dependendo da posição das retas em relação aos
eixos coordenados.
1° caso: Nenhuma das retas é perpendicular ao eixo x.
Observando a figura 3.4 notamos a existência de um triângulo ABC, onde aplicaremos o teorema do
ângulo externo de um triângulo.
Figura 3.4: Ângulos entre retas 1
No triângulo ABC, da figura 3.4, pode-se observar:
αr = β +αs ⇒ β = αr −αs
tgβ = tg (α r − α s )
Inserindo uma igualdade trigonométrica conveniente,
temos:
tgβ =
tgα r − tgα s
mr − m s
⇒ tgβ =
1 + tgα r ⋅ tgα s
1 + mr ⋅ m s
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Como β é um ângulo agudo, tgβ > 0 e β pode ser calculado pela expressão:
tgβ =
mr − m s
1 + mr ⋅ m s
2° caso: Uma das retas é perpendicular ao eixo x.
Neste caso não temos coeficiente angular de uma das retas já que tg 90 0 não existe.
Figura 3.5: Ângulos entre retas 2
Figura 3.6: Ângulos entre retas 3
Na figura 3.5, observamos que β e α r são complementares, assim podemos escrever que
tgβ =
1
1
, consequentemente, tgβ =
.
tgα r
mr
Como mr > 0 , e pela observação na figura 3.5, temos que tgβ > 0 .
De modo análogo, na figura 3.6, observamos que β e 180 0 − α r são complementares, assim podemos
escrever que tgβ =
1
1
1
, consequentemente, tgβ = −
.
e tgβ = −
0
tgα r
mr
tg (180 − α r )
Como mr < 0 , e pela observação na figura 3.6, temos que tgβ > 0 .
Podemos resumir as duas situações escrevendo:
tgβ =
1
mr
Exemplo 1:
Sejam as retas r e s respectivamente 3 x − y + 1 = 0 e 2 x + y + 1 = 0 , determine o ângulo β existente
entre elas.
Temos que: mr = 3 , m s = −2 e:
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Como ambas as retas tem inclinação e as retas não são paralelas ou perpendiculares aos eixos
coordenados utilizamos a expressão tgβ =
Assim: tgβ =
mr − m s
.
1 + mr ⋅ m s
3 − (−2)
5
=
=1
1 + 3 ⋅ ( − 2)
−5
Logo, o ângulo β é aquele cuja tangente vale 1, ou seja, β = arctg1 , ou β = 45 0 .
Exemplo 2:
Se as retas r e s forem 2 x − 3 y + 2 = 0 e é fácil perceber que m r = m s =
2
, portanto r // s e
3
β = 00 . 2x − 3 y − 3 = 0
Exemplo 3:
Se as retas r e s forem x − 3 y + 2 = 0 e − 3 x − y − 3 = 0 qual seria o ângulo entre elas? Temos que
mr =
1
, m s = −3 e é fácil perceber que o ângulo entre elas é de 90 0 , ou seja, r ⊥ s , pois
3
m r ⋅ m s = −1 .
Exemplo 4:
Se as retas r e s forem x = 4 e 2 3 x + 2 y − 3 = 0 , percebemos que a reta r é perpendicular ao eixo
das abscissas, e que m s = − 3 . Logo, o ângulo β entre as retas é dado por tgβ =
Assim: tgβ =
1
− 3
Logo β = arctg
⇒ tgβ =
1
.
ms
3
3
3
e o ângulo entre elas é β = 30 0 .
3
Distância entre ponto e reta
Uma das aplicações do perpendicularismo de retas é a possibilidade de determinar a distância
entre um ponto qualquer e uma reta, muito útil para determinar a altura de triângulos e retas tangentes
a circunferências. Neste item estaremos estudando como determinar a distância entre um ponto
qualquer e uma reta. Essa distância, nada mais é do que a distância entre o ponto dado e o “pé”da
perpendicular à reta dada passando pelo ponto dado.
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Para chegar a essa medida vamos considerar a existência de uma reta r : ax + by + c = 0 e um ponto
P ( x0 , y 0 ) , com representado na figura 3.7.
Com a equação de r é possível chegar a equação de s
passando por P , de modo que r ⊥ s . Onde r e s se encontram
temos o ponto Q e, a distância do ponto a reta é a distância
entre os pontos P e Q .
Pode-se mostrar que essa distância, entre o ponto P e a reta r ,
é dada por: d P ,r =
ax0 + by 0 + c
a2 + b2
, cujo valor é sempre maior ou
igual a zero.
Figura 3.7: Distância de um ponto a uma reta
Exemplo 1:
Calcule a altura do triângulo ABC, relativa ao vértice A. São dados que A(2,5) , B(0,3) e C (4,0) .
Para resolver, temos que determinar a distância entre o vértice A e a reta suporte r do lado BC .
Inicialmente determinamos a reta suporte do lado BC .
x
y 1
D = 0 3 1 = 0 ⇒ 3x + 4 y − 12 = 0 ⇒ 3x + 4 y − 12 = 0 (reta r)
4 0 1
A distância d entre o vértice A(2,5) e a reta r, é dada por:
d A, r =
d A, r =
d A, r =
d A, r
ax 0 + by 0 + c
a2 + b2
3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 + (−12)
32 + 4 2
14
25
14
=
5
=
Exemplo 2:
Determine as distâncias entre as retas de equações 3 x − y − 2 = 0 e 3 x − y − 5 = 0 .
Para calcular a distância entre duas retas paralelas, encontramos um ponto que pertence a uma das
retas e depois calculamos a distância deste ponto até a outra reta.
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Inicialmente calculamos um ponto P da reta 3 x − y − 2 = 0 . Para isso atribuímos um valor qualquer a
x e calculamos y.
Para x = 0 temos 3 ⋅ 0 − y − 2 = 0 ⇒ y = −2 , logo temos P(0,−2) .
Calculando a distância entre o ponto P e a reta 3 x − y − 5 = 0
d P ,r =
d P ,r =
d P ,r =
d P ,r =
ax0 + by 0 + c
a2 + b2
3 ⋅ 0 − 1 ⋅ (−2) + (−5)
3 2 + (−1) 2
−3
10
3
10
=
⋅
10
10
=
3 10
10
Área de um triângulo
Podemos também calcular a área de um triângulo ABC qualquer, dados os pontos A( x A , y A ) ,
B( x B , y B ) e C ( xC , y C ) que correspondem aos seus
vértices.
Considerando o triângulo da figura 3.8, podemos escrever
sua área como sendo: A∆ABC =
1
⋅ base ⋅ altura .
2
A base do triângulo pode ser tratada como a distância
entre os pontos B e C e a altura como a distância existente
entre o ponto A e a reta suporte do lado BC do triângulo.
Assim, podemos representar a distância entre os pontos B
e C como d BC e calcular:
Figura 3.8: Triângulo dado por três pontos
d BC = ( x B − xC ) 2 + ( y B − y C ) 2
Para encontrar a distância do ponto A até reta suporte do lado BC, iniciamos determinando a equação
da reta BC .
x
y
1
A reta é dada por: D = x B
yB
yC
1 = 0 ⇒ xy B + x B y C + xC y − xC y B − x B y − xy C = 0
1
xC
Fatorando, encontramos a equação da reta:
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( y B − y C ) x + ( xC − x B ) y + ( x B y C − xC y B ) = 0
(*)
Agora determinamos a distância do ponto A até a reta obtida:
d A, r =
( y B − y C ) x A + ( xC − x B ) y A + ( x B y C − xC y B )
( y B − y C ) 2 + ( xC − x B ) 2
Substituindo na expressão A∆ABC =
A∆ABC =
1
⋅ base ⋅ altura
2
( y B − yC ) x A + ( xC − x B ) y A + ( x B yC − xC y B )
1
⋅ ( ( x B − xC ) 2 + ( y B − y C ) 2 ).
2
( y B − y C ) 2 + ( xC − x B ) 2
Simplificando
A∆ABC =
1
⋅ ( y B − y C ) x A + ( xC − x B ) y A + ( x B y C − x C y B )
2
Podemos observar que a expressão obtida corresponde a equação da reta marcada com o asterisco (*)
que corresponde ao determinante D.
Portanto A∆ABC
xA
1
= ⋅ xB
2
xC
yA 1
yB 1 .
yC 1
Exemplo 1:
Encontre a área do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0,1) , B(1,3) e C (3,2) .
Se a área é dada por A∆ABC
A∆ABC
xA
1
= ⋅ xB
2
xC
yA 1
yB 1
yC 1
0 1 1
1
1
1
1
5
= ⋅ 1 3 1 = ⋅ 0 + 3 + 2 − 9 − 0 −1 = ⋅ − 5 = ⋅ 5 =
2
2
2
2
2
3 2 1
Assim, A∆ABC =
5
unidades de área.
2
Exemplo 2:
Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(6,−4) e define com os eixos coordenados, no 1°
quadrante, um triângulo cuja área mede 6.
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Para determinar a equação dessa reta precisamos de dois dos seus pontos. Como conhecemos a sua
área, que um de seus vértices é a origem do sistema de coordenadas e que os outros dois (b,0) e
(0, c) estão sobre os eixos coordenados, podemos escrever:
xA
1
A = ⋅ xB
2
xC
A∆ABC
yA 1
yB
yC
1
1
0 0 1
1
= ⋅ b 0 1 =6
2
0 c 1
1
⋅ 0 + 0 + bc − 0 − 0 − 0 = 6
2
1
⋅ bc = 6
2
bc = 12
Como a área é do primeiro quadrante, b e c são positivos, assim
bc = 12 ⇒ b =
12
c
A equação segmentária da reta que passa por (b,0) e (0, c) é:
x y
+ =1
b c
Substituindo o ponto , temos P(6,−4)
6 −4
6c
+
= 1 ⇒ 6c − 4b = bc ⇒ b =
b
c
4+c
Comparando as equações obtidas, podemos escrever:
12
6c
=
c 4+c
6c 2 − 12c − 48 = 0
Resolvendo encontramos o valor positivo c = 4 . Como b =
12
12
⇒b=
=3
c
4
Concluindo
x y
x y
+ = 1 ⇒ + = 1 ⇒ 4 x + 3 y − 12 = 0
b c
3 4
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2 – Circunferência no Plano
Assim como a reta, a circunferência também pode ser representada por uma equação.
Lembramos que quando usamos o termo circunferência estamos nos referindo a linha curva formada
pelos pontos eqüidistantes de um centro e, quando usamos o termo círculo estamos nos referindo a
região do plano compreendida pela circunferência.
Circunferência
A circunferência é uma figura muito familiar. Grande parte dos objetos, instrumentos e
construções do nosso espaço de moradia ou trabalho, guarda alguma relação com esta forma
geométrica. Analiticamente a circunferência pode ser associada a uma equação a partir de sua
definição:
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano que estão situados a uma
mesma distância r , chamada raio, de um ponto C estabelecido, chamado centro da
circunferência.
Equação Geral da Circunferência
Podemos dizer também que um ponto P( x, y ) pode mover-se sobre a circunferência e assumir
coordenadas cartesianas diferentes, mas estará sempre a mesma distância do centro da circunferência.
Está distância r , chamada de raio, pode ser obtida a partir da equação da distância entre dois pontos
do plano, conforme visto na seção 1, ou com o teorema de Pitágoras. Vejamos a figura 3.8 que mostra
esta relação:
Na figura 3.8 podemos observar que:
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
Esta expressão é denominada equação reduzida
da circunferência de centro C (a, b) e raio r,
muito útil, pois expressa as coordenadas do centro
e o valor do raio. Esta equação, se expandida,
permite representar o que chamamos de equação
geral da circunferência:
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 − r 2 = 0
Figura 3.8: Circunferência de raio r
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Na equação geral da circunferência devemos observar alguns detalhes:
•
Substituindo os termos independentes da equação por c = a 2 + b 2 − r 2 pode-se escrever
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
•
O raio então é r = a 2 + b 2 − c , sendo r > 0 ;
•
A equação geral é do 2° grau em x e em y;
•
O coeficientes de x 2 e y 2 são iguais e diferentes de zero;
•
Não existem termos xy , estes tem coeficiente zero
•
Pode ser facilmente transformada na equação reduzida através de fatoração simples.
Exemplo 1:
Escrever a equação da circunferência de raio 3 e centro no ponto A(1,2) do plano cartesiano.
Usando a equação reduzida da circunferência
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 ,
podemos
facilmente
escrever:
( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 3 2
Se pretendermos obter a equação geral, expandimos
a equação reduzida e obtemos:
x 2 + y 2 − 2x − 4 y − 4 = 0
Graficamente podemos representa-la a partir de
conjunto de pares ordenados que a satisfazem.
Figura 3.9: Circunferência x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 4 = 0 de centro A(1,2) e raio 3.
Exemplo 2:
Encontrar o raio e o centro da circunferência que tem equação x 2 + y 2 + 6 x − 4 y − 12 = 0 .
Uma das maneiras de obter o raio e o centro de uma circunferência é obtendo a sua equação reduzida
através da fatoração em quadrados perfeitos:
A equação x 2 + y 2 + 6 x − 4 y − 12 = 0
2
2
pode ser escrita, completando
os quadrados, como
( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 − 25 = 0
( x + 6 x + 9) + ( y − 4 y + 4) + (−12 − 9 − 4) = 0 ou, na forma reduzida
142
4 43
4 142
4 43
4 142
4 43
4
( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 = 5 2
− 25
( x + 3) 2
( y − 2) 2
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Daí pode-se concluir que r = 5 e o centro da circunferência é o ponto B(−3,2)
Exemplo 3:
Verificar se as equações representam circunferências.
a) 2 x 2 + 2 y 2 − 4 x + 12 y − 24 = 0 .
Podemos obter resposta através da redução a forma reduzida.
Primeiro dividir os coeficientes de modo que os coeficientes dos termos quadrados sejam iguais a
unidade. Assim, x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 12 = 0 é a equação.
Fatorando a expressão em quadrados perfeitos (completando os quadrados) obtemos:
x 24
−2
2 x4+
y 2 + 6 y + 9 + (−12 − 1 − 9) = 0
1
31 + 1
4243 14243
( x −1) 2
( y + 3) 2
− 22
( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 − 22 = 0
( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 22
( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = ( 22 ) 2
Assim concluímos que o centro da circunferência é o ponto (1,−3) e o raio é
22 .
b) 3 x 2 + 3 y 2 − 36 x + 60 y + 435 = 0 .
.........................................
Exemplo 4:
Seja C a circunferência que tem o centro no ponto (3,4) e raio de medida 5. Determine:
a) os pontos onde a circunferência C intercepta o eixo das abscissas (eixo x).
b) o valor de p para que o ponto (-2, p), pertença a C.
Resolvendo:
a) A circunferência de centro (3,4) e raio 5 tem equação ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 5 2 .
Vamos representar um ponto qualquer do eixo das abscissas pelo par ordenado (m,0).
Para verificar a intersecção com o eixo das abscissas, substituímos o ponto na equação de C:
(m − 3) 2 + (0 − 4) 2 = 25
Obtemos:
m 2 − 6m + 9 + 16 = 25
m 2 − 6m = 0
Resolvendo a equação de 2° grau encontramos m = 0 e m = 6
Logo, os pontos onde a circunferência C intercepta o eixo das abscissas são (0,0) e (6,0).
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b) o valor de p para que o ponto (-2, p), pertença a C.
Substituindo o ponto (-2, p) na equação de C: ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 5 2 , temos:
(−2 − 3) 2 + ( p − 4) 2 = 25
25 + p 2 − 8 p + 16 = 25
p 2 − 8 p + 16 = 0
Resolvendo a equação de 2° grau encontramos o valor único p = 4 .
Exemplo 5:
Uma fábrica de celulose produz dois tipos de papel, classe A e classe B. As quantidades produzidas,
respectivamente x e y toneladas satisfazem a equação x 2 + y 2 + 4 x + 4 y − 56 = 0 . Que quantidades
devem ser produzidas do produto se por razões comerciais o papel B deve ter o dobro da produção do
papel A?
A= x
B = y ⇒ y = 2x
Substituindo na equação: x 2 + y 2 + 4 x + 4 y − 56 = 0
x 2 + (2 x) 2 + 4 x + 4(2 x) − 56 = 0
x 2 + 4 x 2 + 4 x + 8 x − 56 = 0
5 x 2 + 12 x − 56 = 0
Resolvendo a equação encontramos: x ≅ 2,35 e x ≅ −4,75 . Como o valor negativo não satisfaz, e
y = 2 x ⇒ y ≅ 2.2,35 ⇒ y ≅ 4,70 .
Portanto a produção do papel A e B deve ser de aproximadamente 2,35 e 4,70 toneladas.
Posições relativas entre um ponto e uma circunferência
Podemos relacionar a posição de um ponto com um circunferência a medida que for possível
comparar sua distância do centro desta com a medida do raio.
Em relação a M, um ponto P( x p , y p ) pode então assumir as seguintes posições:
a) Se P pertence a M (figura 3.10.a):
d PC = r ⇔ ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 ⇔ x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 = r 2 , ou ainda,
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 − r 2 = 0
b) Se P é interno a M (figura 3.10.b):
d PC < r ⇔ ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 < r 2 ⇔ x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 < r 2 , ou ainda,
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 − r 2 < 0
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c) Se P é externo a M (figura 3.10.c):
d PC > r ⇔ ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 > r 2 ⇔ x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 > r 2 , ou ainda,
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 − r 2 > 0
Figura 3.10: Posições relativas de um ponto a uma circunferência
Exemplo 1:
Esboce a circunferência x 2 + y 2 = 25 num plano cartesiano e verifique a posição, em relação a ela,
dos pontos: A(4,3) , B( 8 , 3 ) , C (− 10, 15 ) , D(−3,−4) , E ( 10 ,−5) .
Podemos
esboçar
o
gráfico
manualmente,
reconhecendo o centro e o raio da mesma: no
caso, C (0,0) e r = 5 e em seguida marcar os
pontos pelas suas cooordenadas. Marcando a
circunferência e os pontos com o software
GeoGebra, temos a figura 3.11.
Concluindo, os pontos A, C e D pertencem a
circunferência, B é interno e E é um ponto externo
a circunferência.
Figura 3.11: Circunferência x 2 + y 2 = 25 e os pontos A, B, C, D, E.
Exemplo 2:
Qual é a posição do ponto P(−3,−2) em relação a circunferência x 2 + ( y − 2) 2 = 16 ?
Para concluir sobre a posição do ponto em relação a circunferência podemos substituir o ponto na
equação e compara o resultados com o raio:
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(−3) 2 + (−2 − 2) 2 = 9 + 16 = 25 > 16
Concluímos que o ponto P(−3,−2) é externo a circunferência dada.
Posições relativas entre uma reta e uma circunferência
Uma reta pode interceptar uma circunferência marcando sobre ela dois pontos, pode tocar a
circunferência e ter apenas um ponto em comum, como também pode não ter nenhum ponto em
comum com a mesma.
Estas retas são denominadas respectivamente de secantes, tangentes e externas à circunferência.
Assim , uma reta s e uma circunferência M, coplanares, podem ser relacionadas como na figura 3.12.
Figura 3.12: Relações entre reta e circunferência.
Se a reta s e a circunferência M:
a) tem dois pontos comuns, s é secante a M (figura 3.12.a);
s I M = {P, Q}
b) tem um único ponto em comum, s é tangente M (figura 3.12.b);
s I M = {P}
c) não tem ponto comum, s é externa a M (figura 3.12.c)
sIM =φ
Observação: é importante lembrar que a reta tangente a
circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência
(figura 3.13).
Figura 3.13: A reta tangente é perpendicular ao raio
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Analiticamente podemos analisar a posição de uma reta em relação a uma circunferência
determinando a distância da reta até a circunferência. Se a circunferência M tem centro C e raio r e a
reta s está situada a uma distância d sC do centro, temos que:
•
Se d Cs < r , s é secante a M;
•
Se d Cs = r , s é tangente a M;
•
Se d Cs > r , s é externa a M.
Podemos também descobrir a posição de s em relação a M resolvendo o sistema de equações formado
pela equação da reta e a equação da circunferência:
ax + by + c = 0


2
2
2
( x − a ) + ( y − b) = r
Se o sistema tem duas soluções, a reta é secante a circunferência; se tem uma única solução a reta é
tangente e, se não tem solução a reta é externa a circunferência.
Exemplo1:
Discutir a posição relativa entre as retas r, s e t e a circunferência M ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 25 ,
sendo r : 4 x + 3 y − 35 = 0 , s : x − y = 0 e t : x + y + 5 = 0 .
Resolvendo:
a) r : 4 x + 3 y − 35 = 0
 4 x + 3 y − 35 = 0
Precisamos resolver o sistema formado por: 
2
2
( x − 1) + ( y − 2) = 25
Isolando y na equação da reta, temos: y =
35 4
− x e substituindo na equação da circunferência
3 3
( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 25 , encontramos:
x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4 = 25
2
 35 4 
 35 4 
x − 2 x + 1 +  − x  − 4 − x  + 4 = 25
 3 3 
 3 3 
2
Desenvolvendo encontramos:
25 2 250
625
x −
x+
=0
9
9
9
Para facilitar a resolução podemos dividir toda a equação por
25
, e obter:
9
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x 2 − 10 x + 25 = 0
Resolvendo a equação encontramos uma única solução: x = 5
Substituindo este valor na equação da reta, obtemos o valor de y:
4 x + 3 y − 35 = 0 ⇒ 4 ⋅ 5 + 3 y − 35 = 0 ⇒ y = 5
Concluímos que a reta r é tangente a M no ponto (5,5) .
b) s : x − y = 0
x− y =0

Precisamos resolver o sistema: 
2
2
( x − 1) + ( y − 2) = 25
Isolando y na primeira equação:
y=x
Substituindo na segunda, temos:
( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 25
( x − 1) 2 + ( x − 2) 2 = 25
x 2 − 2 x + 1 + x 2 − 4 x + 4 = 25
2 x 2 − 6 x − 20 = 0(: 2)
x 2 − 3 x − 10 = 0
Resolvendo a equação encontramos x = −2 e x = 5 .
Como uma das equações é y = x e substituindo chegamos aos pontos (−2,−2) e (5,5) e concluímos
que a reta é secante a circunferência M nestes pontos.
c) t : x + y + 5 = 0
x+ y+5 = 0

Resolvendo o sistema, 
, chegamos a conclusão de que o mesmo não tem
2
2
( x − 1) + ( y − 2) = 25
solução, assim a reta t é externa a circunferência M, não tem nenhum ponto em comum.
Exemplo 3:
Que equações tem as retas que são paralelas a reta r : 3 x − 4 y + 50 = 0 e que tangenciam a
circunferência M : ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 36 .
Vamos resolver: se uma reta s é paralela a reta r dada ela tem os mesmos coeficientes de x e y,
variando apenas o termo independente c, ou seja, s : 3 x − 4 y + c = 0 , é paralela a r. Sabemos também
que M tem centro C (2,1) e raio r = 6.
Se a reta s tangencia M então d Cs = r , e podemos escrever:
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d Cs =
ax0 + by 0 + c
=r
a2 + b2
3 ⋅ 2 − 4 ⋅1 + c
2+c
=6⇒
= 6 ⇒ 2 + c = 30
25
32 + 4 2
Resolvendo a equação temos que c = 28 ou c = −32 , o que leva a conclusão de que existem duas retas
tangentes a circunferência M.
Uma das retas é 3 x − 4 y + 28 = 0 e a outra é 3 x − 4 y − 32 = 0 .
Posições relativas entre duas circunferências
Uma circunferência também pode ser relacionada com outra, do mesmo plano, de acordo com
a posição em que se encontra. Dependendo da posição assumem a denominação de secantes, tangentes
ou disjuntas.
Considerando as circunferências coplanares M 1 , de centro C1 (a1 , b1 ) e raio r1 , e M 2 , de centro
C 2 (a 2 , b2 ) e raio r2 , podemos dizer que:
a) M 1 e M 2 são secantes se tem dois pontos em comum, conforme figura 3.14.
Figura 3.14: Circunferências secantes
b) M 1 e M 2 são tangentes se tem um único ponto em comum, conforme figura 3.15.
Figura 3.14: Circunferências tangentes
c) M 1 e M 2 são disjuntas se não tem nenhum ponto em comum, conforme figura 3.16.
Figura 3.14: Circunferências disjuntas
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Analiticamente podemos analisar o sistema formado pelas equações de M 1 e M 2 :
 ( x − a1 ) 2 + ( y − b1 ) 2 = r1 2

2
2
2
( x − a 2 ) + ( y − b2 ) = r2
•
Se o sistema tem duas soluções, M 1 e M 2 são secantes;
•
Se o sistema tem uma única solução, M 1 e M 2 são tangentes;
•
Se o sistema não tem solução, M 1 e M 2 são disjuntas;
Exemplo 1:
Analise as posições da circunferência M 2 , M 3 e M 4 em relação a M 1 , sendo:
M1 : x 2 + y 2 − 2x − 4 y + 1 = 0
M 2 = x 2 + y 2 − 8 x + 4 y + 11 = 0
M 3 = x 2 + y 2 − 8x + 4 y + 4 = 0
M 4 = x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 164 = 0
Vamos resolver através da resolução do respectivo sistema de equações:
a) M 1 e M 2
 x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 1 = 0 (1)
 2
2
 x + y − 8 x + 4 y + 11 = 0 (2)
Fazendo (1) – (2) encontramos:
6 x − 8 y − 10 = 0 ⇒ y =
3x − 5
(3)
4
Substituindo (3) em (1), vem que:
2
 3x − 5 
 3x − 5 
x +
 − 2x − 4 ⋅ 
 +1 = 0
 4 
 4 
25 x 2 − 110 x + 121 = 0
2
Resolvendo a equação encontramos uma única solução, x =
encontrar y =
11
, que substituindo em (3) permite
5
2
 11 2 
. Concluímos que M 1 e M 2 tem um único ponto em comum,  ,  , e são
5
 5 5
tangentes.
b) M 1 e M 3
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 x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 1 = 0 (1)
 2
2
 x + y − 8 x + 4 y + 4 = 0 (2)
Fazendo (1) – (2) encontramos:
6x − 8 y − 3 = 0 ⇒ y =
6x − 3
(3)
8
Substituindo (3) em (1), vem que:
2
 6x − 3 
 6x − 3
x2 + 
 − 2x − 4 ⋅ 
 8 
 8
2
100 x − 356 x + 169 = 0

 +1 = 0

Resolvendo a equação e substituindo em (3) encontramos duas soluções aproximadas (0,564; 0,048) e
(2,99; 1,871) , podemos concluir que M 1 e M 2 são secantes.
c) M 1 e M 4
 x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 1 = 0 (1)
 2
2
 x + y − 2 x − 4 y − 164 = 0 (2)
Fazendo (1) – (2) encontramos:
0 x − 0 y − 165 = 0 ⇒ 165 = 0
A igualdade não é verdadeira, portanto, não temos solução para o sistema de equações e M 1 e M 2 não
tem ponto em comum, são disjuntas.
3 – As Cônicas
Quando falamos em cônicas estamos nos referindo as curvas que podem ser obtidas quando um
plano intercepta uma superfície cônica dupla. Desta intersecção resultam formas conhecidas como a
circunferência, a elipse, a hipérbole e a parábola.
Figura 3.15: Circunferência
Figura 3.16: Elipse
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 94
Figura 3.17: Parábola
Figura 3.18: Hipérbole
Elipse
A elipse é uma curva fechada determinada pela intersecção de um plano com uma superfície
cônica, como na figura 3.16.
Os pontos de uma elipse possuem uma característica comum que pode ser entendida a partir da figura
3.19.
Figura 3.19: Pontos da elipse.
Dados dois pontos F1 e F2 , denominados focos, pertencentes a um plano α , e 2c a distância entre
eles. Elipse é o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a ,
sendo 2a > 2c , ou ainda, a > c > 0 .
Elipse = {P ∈ α / PF1 + PF2 = 2a}
Na figura 3.19 também temos:
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 95
B1 F1 + B1 F2 = 2a
QF1 + QF2 = 2a
A1 F1 + A1 F2 = 2a
RF1 + RF2 = 2a
..............................
Observemos também que o segmento A1 A2 = 2a
Elementos principais da elipse
Na figura 3.20 destacamos os principais elementos da elipse e a sua denominação.
Figura 3.20: Elementos da elipse
Temos:
F1 , F2 : focos;
d F1F2 = 2c : distância focal;
O : centro;
A1 A2 = 2a : eixo maior;
B1 B2 = 2b : eixo menor;
a 2 = b 2 + c 2 : relação fundamental
Excentricidade da elipse
A excentricidade (e) de uma elipse corresponde ao quociente entre a distância focal (2c) e a medida do
eixo maior (2a) e permite perceber se a elipse é mais ou menos achatada.
e=
2c c
=
, onde 0 < e < 1 . Se a excentricidade se aproxima de zero, a elipse se aproxima da
2a a
circunferência, quando se aproxima de 1, o eixo menor da elipse se aproxima de zero.
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 96
Equação da elipse
Neste estudo vamos tratar da equação da elipse cujos eixos estão contidos nos eixos
coordenados e o centro na origem.
Temos duas possibilidades conforme a figura 3.21:
Figura 3.21: Disposição da elipse no plano
A equação da elipse com os eixos sobre os eixos coordenados, centro na origem e focos F1 e F2 no
eixo Ox , figura 3.21(a), é dada a partir da relação:
Elipse = {P ∈ α / PF1 + PF2 = 2a}
PF1 + PF2 = 2a
Calculando as distâncias:
( x + c) 2 + ( y − 0) 2 + ( x − c ) 2 + ( y − 0) 2 = 2a
( x + c ) 2 + y 2 = 2a − ( x − c ) 2 + y 2
( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2
x 2 + 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c ) 2 + y 2 + x 2 − 2 xc + c 2 + y 2
4cx − 4a 2 = −4a ( x − c) 2 + y 2
cx − a 2 = −a ( x − c ) 2 + y 2
a ( x − c ) 2 + y 2 = a 2 − cx
( a ( x − c ) 2 + y 2 ) 2 = ( a 2 − cx) 2
a 2 ⋅ [( x − c) 2 + y 2 ] = ( a 2 − cx) 2 =
a 2 x 2 − 2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 − 2a 2 cx + c 2 x 2
x 2 (a 2 − c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 )
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 97
Da relação fundamental a 2 = b 2 + c 2 podemos escrever a 2 − c 2 = b 2 e substituindo:
x 2b 2 + a 2 y 2 = a 2b 2
Dividindo por a 2 b 2 , chegamos a equação:
x2 y2
+
=1
a2 b2
Pode-se mostrar também que a equação da elipse com os eixos sobre os eixos coordenados,
centro na origem e focos F1 e F2 no eixo Oy , figura 3.21(b), é:
x2 y2
+
=1
b2 a2
Exemplo 1:
Uma elipse, com o eixo maior sobre o eixo x medindo 10 cm e distância focal 8 cm, pode ser
representada como na figura 3.22.
Se o maior eixo mede 10 cm e a distância focal mede 8 cm:
2a = 10 ⇒ a = 5

 2c = 8 ⇒ c = 4
Como a 2 = b 2 + c 2 , vem:
52 = b 2 + 4 2
b2 = 9
Se a posição é a indicada na figura,
então
sua
equação é:
x2 y2
x2 y2
+
=
1
,
ou
seja,
+
=1
25 9
a2 b2
Figura 3.22: Elipse
Exemplo 2:
A elipse com centro na origem, focos contidos no eixo y e semi-eixos de comprimentos a = 2 e b = 3 ,
tem equação
x2 y2
x2 y2
+
=
1
,
ou
seja,
+
= 1.
9
4
b2 a2
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 98
Exemplo 3:
Se uma elipse tem focos F1 (12,0) e F2 (−12,0) , e o eixo menor medindo 10, determine:
a) o seu centro C;
b) sua equação;
c) os pontos extremos dos eixos maior e menor.
Resolução:
a) O centro C da elipse é o ponto médio do segmento F1 F2 ⇒ C (0,0) .
b) Como os focos estão situados no eixo x, a elipse tem equação do tipo
x2 y2
+
= 1.
a2 b2
Pelas coordenadas dos focos podemos concluir que d F1F2 = 24 ⇒ 2c = 24 ⇒ c = 12 .
Temos também a medida do eixo menor, onde 2b = 10 ⇒ b = 5 .
Utilizando a relação pitagórica a 2 = b 2 + c 2 , temos:
a 2 = 5 2 + 12 2 ⇒ a 2 = 169 ⇒ a = 13
Assim, a equação da elipse é:
x2
y2
+
=1
169 25
c) Como a = 13 , os extremos do eixo maior são: (−13,0) e (13,0) e os extremos do eixo menor, são
obtidos a partir de b = 5 , ou seja, são pontos do eixo y de coordenadas (0,−5) e (0,5) .
Exemplo 4:
Determine a distância focal e a excentricidade da elipse 100 x 2 + 64 y 2 = 6400 .
Iniciamos determinando a equação reduzida da elipse, para isso dividimos a equação por 6400:
(100 x 2 + 64 y 2 = 6400) : 6400
x2
y2
Daí obtemos:
+
=1
64 100
Como o maior denominador é o do termo y 2 podemos concluir que os focos da elipse estão situados
no eixo y, ou seja, a equação é do tipo:
x2 y2
+
= 1.
b2 a2
 b 2 = 64 ⇒ b = 8
Assim,  2
a = 100 ⇒ a = 10
Utilizando a relação a 2 = b 2 + c 2 encontramos o c.
10 2 = 8 2 + c 2 ⇒ c = 6
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 99
Concluindo:
A distância focal é dada por 2c = 2 ⋅ 6 = 12
A excentricidade é dada por e =
c 6
=
= 0,6
a 10
Hipérbole
A hipérbole é uma curva aberta que pode ser obtida a partir de uma secção de uma superfície
cônica dupla por um plano paralelo ao eixo central, como na figura 3.18.
Dados dois pontos F1 e F2 , denominados focos, pertencentes a um plano α , e 2c a distância entre
eles, chamamos de hipérbole ao conjunto de pontos do plano cuja diferença (valor absoluto) das
distâncias a F1 e F2 é a constante 2a , sendo 0 < 2a < 2c , ou ainda, 0 < a < c . Vejamos a figura 3.23.
Figura 3.23: Hipérbole
Hipérbole = {P ∈ α / PF1 − PF2 = 2a}
Na figura 3.23, também temos:
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QF1 − QF2 = 2a
A1 F1 − A1 F2 = 2a
..............................
Observemos também que o segmento A1 A2 = 2a e F1 F2 = 2c
Elementos principais da hipérbole
Na figura 3.24 destacamos os principais elementos da hipérbole e a sua denominação.
Figura 3.24: Elementos da hipérbole
Temos:
F1 , F2 : focos;
d F1F2 = 2c : distância focal;
O : centro;
A1 A2 = 2a : eixo real;
B1 B2 = 2b : eixo imaginário;
c 2 = a 2 + b 2 : relação fundamental.
e=
c
: excentricidade, e > 1 .
a
Observação: Quando a = b a hipérbole é eqüilátera.
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 101
Equação da hipérbole
Tal como na elipse, vamos tratar apenas da equação da hipérbole cujos eixos estão contidos nos
eixos coordenados e o centro na origem.
Temos que considerar a possibilidade de que o eixo real pode estar situado tanto no eixo x quanto no
eixo y, como na figura 3.25.
Figura 3.25: Disposição da hipérbole no plano
A equação da hipérbole com os eixos sobre os eixos coordenados, centro na origem e focos F1 (−c,0) e
F2 (c,0) no eixo Ox , figura 3.25(a), pode ser obtida a partir da condição dos pontos que é:
Hipérbole = {P ∈ α / PF1 − PF2 = 2a}
PF1 − PF2 = 2a
Calculando as distâncias:
( x + c) 2 + ( y − 0) 2 − ( x − c) 2 + ( y − 0) 2 = ±2a
( x + c) 2 + y 2 = ( x − c) 2 + y 2 ± 2a
( x + c) 2 + y 2 = ( x − c) 2 + y 2 ± 4a ( x − c) 2 + y 2 + 4a 2
x 2 + 2 xc + c 2 + y 2 = x 2 − 2 xc + c 2 + y 2 ± 4a ( x − c) 2 + y 2 + 4a 2
4cx − 4a 2 = ±4a ( x − c) 2 + y 2
cx − a 2 = ± a ( x − c ) 2 + y 2
(cx − a 2 ) 2 = a 2 ⋅ [( x − c) 2 + y 2 ]
c 2 x 2 − 2a 2 cx + a 4 = a 2 x 2 − 2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2
x 2 (c 2 − a 2 ) − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 )
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 102
Da relação fundamental c 2 = a 2 + b 2 podemos escrever c 2 − a 2 = b 2 e substituindo:
x 2b 2 − a 2 y 2 = a 2b 2
Dividindo por a 2 b 2 , chegamos a equação:
x2 y2
−
=1
a 2 b2
Pode-se mostrar também que a equação da hipérbole com os eixos sobre os eixos coordenados, centro
na origem e focos F1 e F2 no eixo Oy , figura 3.25(b), é:
y2 x2
−
=1
a2 b2
Exemplo 1:
A hipérbole com eixo real de extremidades A1 (−4,0) e A2 (4,0) e eixo imaginário de extremidades
B1 (−2,0) e B2 (2,0) tem equação do tipo
eixo das abscissas. Sua equação é
x2 y2
−
= 1 , pois as extremidades do eixo real está sobre o
a 2 b2
x2 y2
−
= 1.
16 4
Exemplo 2:
Obtenha a distância focal da hipérbole cuja equação é
x2 y2
−
= 1.
64 36
a 2 = 64 ⇒ a = 8
Pela equação sabemos que os focos estão dispostos sobre o eixo x e que  2
b = 36 ⇒ b = 6
Usando a relação c 2 = a 2 + b 2 , temos que c 2 = 8 2 + 6 2 ⇒ c = 10 .
A distância focal é 2c, portanto 2c = 2 ⋅ 10 = 20 .
Exemplo 3:
Seja a hipérbole que tem focos F1 (0,−13) e F2 (0,13) , e o eixo imaginário medindo 10, determine:
a) o seu centro C;
b) sua equação;
c) os pontos extremos dos eixos real e imaginário.
Resolução:
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 103
a) A hipérbole tem equação do tipo
y2 x2
−
= 1 pois os focos estão contidos no eixo y. Assim o
a2 b2
centro corresponde ao ponto médio dos focos: C (0,0) .
b) A distância focal 2c = 26 ⇒ c = 13
O eixo imaginário mede 10, logo 2b = 10 ⇒ b = 5 .
Usando a relação c 2 = a 2 + b 2 , encontramos a:
13 2 = a 2 + 5 2 ⇒ a = 12
Assim, a equação da hipérbole é
y2 x2
y2 x2
−
=
1
⇒
−
= 1.
144 25
12 2 5 2
c) Os extremos do eixo real são A1 (0,−12) e A2 (0,12) ; os extremos do eixo imaginário são B1 (5,0) e
B2 (−5,0) .
Parábola
Quando estudamos a função quadrática, ainda no ensino fundamental ou médio, vimos que seu
gráfico é uma parábola. Geometricamente também pode ser obtida pela secção entre um plano
inclinado e um cone, como na figura 3.17.
Analiticamente partimos da proposição: Dados uma reta d e um ponto F fora da reta d, situados num
plano α . O conjunto de pontos do plano eqüidistantes de d e F recebe o nome de parábola, conforme
ilustrado na figura 3.26.
Na figura 3.26, temos:
VF = VB
PF = d Pd
QF = d Qd
RF = d Rd
Figura 3.26: Parábola
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Elementos principais da parábola
Observando a figura 3.26 podemos destacar alguns dos elementos da parábola:
F : foco (ponto fixo);
d : reta diretriz (reta fixa);
d Fd = p > 0 : parâmetro (d FB = d Fd ) ;
VF : eixo de simetria;
V : vértice
VF =
p
2
Equação da parábola com vértice na origem
Vamos considerar inicialmente a parábola com vértice na origem do sistema de coordenadas
cartesianas, eixo de simetria no eixo das abscissas ou das ordenadas.
p
Observando a figura 3.27, fica evidente que o foco é F ( ,0) .
2
Figura 3.27: Disposição da parábola no plano
Pode-se mostrar que no primeiro caso, figura 3.27(a) com o eixo de simetria no eixo dos x, e vértice na
origem:
A diretriz d tem equação: d = −
p
2
O ponto P ( x, y ) da parábola é tal que PF = PP'
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 105
Calculando as distâncias:
p 2
p
) + ( y − 0) 2 = ( x + ) 2 + ( y − y ) 2
2
2
p
p
(x − )2 + y 2 = (x + )2
2
2
(x −
Que resulta na equação:
y 2 = 2 px
Assim também, quando o vértice está situado na origem do sistema de coordenadas e o eixo de
simetria da parábola está sobre o eixo y, figura 3.27(b), pode-se mostrar que a equação é dada por:
x 2 = 2 py
Observação: Acrescentar o sinal negativo no segundo termo da equação muda a direção da
concavidade da parábola.
Equação da parábola com vértice fora da origem
Quando uma parábola tem o vértice fora da origem do sistema cartesiano xOy , num ponto
V ( x0 , y 0 ) e eixo de simetria paralelo ao eixo dos x, concavidade voltada para a direita, utilizamos um
sistema auxiliar x 'Vy ' , como na figura 3.28.
Neste sistema, sua equação corresponde a ( y ' ) 2 = 2 px ' .
Transferindo esta equação para o sistema de eixos xOy , temos a equação:
( y − y 0 ) 2 = 2 p( x − x0 )
Onde F ( x0 +
p
p
, y 0 ) e a diretriz d é x = x0 −
2
2
Se a parábola tem o vértice fora da origem do sistema
cartesiano xOy , num ponto V ( x0 , y 0 ) e eixo de simetria
paralelo ao eixo dos y, com concavidade voltada para cima,
temos a equação:
( x − x0 ) 2 = 2 p( y − y 0 )
Sendo que o foco é F ( x0 , y 0 +
p
p
) e a diretriz d é y = y 0 −
2
2
Figura 3.28: Parábola com vértice fora da origem
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Observação: Em cada uma das equações da parábola, a introdução do sinal negativo no segundo termo
faz com que a parábola tenha concavidade voltada para a esquerda e para baixo, respectivamente.
Portanto, ( y − y 0 ) 2 = −2 p ( x − x0 ) é a equação da parábola que tem diretriz x = x0 +
eixo y, e foco F ( x0 −
p
, paralela ao
2
p
, y 0 ) , a esquerda da diretriz, enquanto que, ( x − x0 ) 2 = −2 p ( y − y 0 ) é a
2
equação da parábola que tem diretriz y = y 0 +
p
p
, paralela ao eixo x, e foco F ( x0 , y 0 − ) abaixo da
2
2
diretriz.
Exemplo 1:
Encontre a equação da parábola que tem foco F (1,0) e diretriz d : x = −1 .
Resolvendo:
Conhecidos o foco, sobre o eixo x, e a diretriz paralela ao eixo y, temos que o parâmetro p = d Fd = 2 e
o vértice da parábola está situado na origem do sistema, logo sua equação do tipo y 2 = 2 px .
Portanto, y 2 = 4 x
Exemplo 2:
Obtenha a equação da parábola que tem parâmetro p = 2 , vértice V (2,4) e eixo de simetria paralelo
ao eixo y.
Resolvendo:
Neste caso, não conhecemos o foco ou a diretriz da parábola. Esta pode estar voltada para cima ou
para baixo. Temos então duas possibilidades:
a) O foco F está acima de V
A equação da parábola com vértice fora da origem, com concavidade voltada para cima, é do tipo
( x − x0 ) 2 = 2 p( y − y 0 ) .
Portanto sua equação é ( x − 2) 2 = 2 ⋅ 2( y − 4) ⇒ ( x − 2) 2 = 4( y − 4)
Note que as equações obtidas neste estudo são equivalentes as obtidas no estudo da função quadrática.
Veja neste caso, se desenvolvermos a equação ( x − 2) 2 = 4( y − 4) chegaremos a expressão conhecida
y=
1 2
x − x + 5.
4
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b) O foco F está abaixo de V
A equação da parábola com vértice fora da origem, com concavidade voltada para baixo, é do tipo
( x − x0 ) 2 = −2 p ( y − y 0 ) (inserimos o sinal negativo no segundo termo).
Portanto sua equação é ( x − 2) 2 = −4( y − 4)
Exemplo 3:
Encontre as coordenadas do vértice V e do foco F e a equação da diretriz d da parábola:
a) ( y − 2) 2 = 6( x − 5)
b) ( x − 2) 2 = −4( y − 2)
Resolvendo:
a) Da equação da parábola ( y − 2) 2 = 6( x − 5) comparada com o modelo ( y − y 0 ) 2 = 2 p ( x − x0 ) ,
concluímos que:
p = 3 , x0 = 5 , y 0 = 2 , logo, V (5,2)
O foco tem coordenadas F ( x0 +
p
3
13
, y 0 ) , portanto F (5 + ,2) ⇒ F ( ,2)
2
2
2
A diretriz d tem equação x = x0 −
p
3
7
, portanto x = 5 − ⇒ x = .
2
2
2
b) Da equação da parábola ( x − 2) 2 = −4( y − 2) comparada com o modelo ( x − x0 ) 2 = −2 p ( y − y 0 ) ,
concluímos que:
p = 2 , x0 = 2 , y 0 = 2 , logo, V (2,2)
O foco tem coordenadas F ( x0 , y 0 −
A diretriz d tem equação y = y 0 +
p
) , portanto F (2,2 − 1) ⇒ F (2,1)
2
p
, portanto y = 2 + 1 ⇒ y = 3 .
2
4 – Coordenadas Polares
Na Geometria Analítica as representações planas são geralmente apresentadas no sistema de
coordenadas cartesianas xOy , formado por duas retas reais perpendiculares, comumente conhecido
como plano cartesiano. Figuras de natureza circular, principalmente, levaram a criação do sistema de
coordenadas polares, envolvendo distâncias e ângulos para a localização e determinação de pontos e
curvas no plano.
Estas representações e as transformações de um sistema de coordenadas para outro é o objeto de
estudo desta seção.
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O Sistema de Coordenadas Polares
O sistema de coordenadas polares especifica pontos no plano por meio de uma distância r de
um ponto fixo chamado pólo, uma medida de ângulo θ , medido a partir de um eixo que tem origem
no ponto fixo, chamado eixo polar. O eixo polar corresponde a uma semi-reta numerada positiva
disposta a direita do pólo, como mostra a figura 3.30.
Cada ponto deste sistema P fica definido por um par
ordenado P (r , θ ) onde o r indica a distância que este
ponto está da origem e θ , em radianos, indica o ângulo
medido a partir do eixo polar. Os sinais, positivo ou
negativo, de r e θ indicam o sentido da medição. Um
ponto com coordenadas P (0, θ ) , para qualquer valor de θ ,
sempre indicará o pólo.
Figura 3.30: Coordenadas polares
Exemplo 1:
π
π
π
π
Representação dos pontos M (3, ) , N (3,− ) , P (−3, ) e Q(−3,− ) :
4
4
4
4
Figura 3.31
Figura 3.32
Observação: Cada par ordenado polar corresponde a um único ponto do plano, porém um mesmo
ponto do plano pode ser representado por infinitos pares
ordenados. O par ordenado
π
P (2, )
2
, por exemplo,
corresponde ao mesmo ponto que o par ordenado P (2,
5π
).
2
As coordenadas polares podem ser relacionadas com as
coordenadas cartesianas por sobreposição dos dois sistemas.
Se um ponto P tem coordenadas polares (r , θ ) e coordenadas
cartesianas ( x, y ) temos a sobreposição como na figura 3.33.
Figura 3.33: Sobreposição dos sistemas
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Na figura 3.33 podemos observar as seguintes relações:
x
cos θ = ⇒ x = r cos θ
r
y
senθ = ⇒ y = rsenθ
r
2
2
r = x + y2
y
x
Estas relações permitem converter coordenadas cartesianas em polares e vice-versa.
tgθ =
Exemplo 2:
Transformar as coordenadas cartesianas (− 2 , 2 ) com r > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π em coordenadas polares.
y
Como x = − 2 e y = 2 , aplicamos a relação de transformação r 2 = x 2 + y 2 e tgθ = . Assim:
x
2
2
2
2
r = (− 2 ) + ( 2 ) ⇒ r = 4 ⇒ r = 2
tgθ =
2
− 2
⇒ tgθ = −1 ⇒ θ = arctg (−1)
Como r > 0 e o ponto (− 2 , 2 ) está situado no segundo quadrante, θ =
(2,
3π
, logo o ponto polar é
4
3π
).
4
Exemplo 3:
π
Converter as coordenadas polares (4 3 , ) em coordenadas cartesianas.
3
Usamos as relações x = r cos θ e y = rsenθ
π
1
x = r cos θ ⇒ x = 4 3 ⋅ cos ⇒ x = 4 3 ⋅ ⇒ x = 2 3
3
2
π
3
⇒ y=6
y = rsenθ ⇒ y = 4 3 ⋅ sen ⇒ y = 4 3 ⋅
3
2
Logo, o ponto cartesiano é (2 3 ,6) .
Exemplo 4:
Transforme as equações cartesianas (a): x − 2 y = 3 , (b): x 2 + y 2 = 9 e (c): y = x 2 para equações em
coordenadas polares.
a) x − 2 y = 3
Substituindo x = r cos θ e y = rsenθ , temos;
r cos θ − 2(rsenθ ) = 3
r cos θ − 2rsenθ = 3
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 110
b) x 2 + y 2 = 9
Como r 2 = x 2 + y 2 , temos:
r2 = 9
r =3
c) y = x 2
Substituindo x = r cos θ e y = rsenθ , temos;
rsenθ = (r cos θ ) 2
rsenθ = r 2 cos 2 θ
r 2 cos 2 θ − rsenθ = 0
r (r cos 2 θ − senθ ) = 0
Da equação, podemos escrever:
r = 0 ou r cos 2 θ − senθ = 0
A equação r = 0 corresponde ao pólo que também está incluída em r cos 2 θ − senθ = 0 , logo pode ser
desconsiderada.
A equação r cos 2 θ − senθ = 0 representa ambas. Normalmente as equações polares são escritas
expressando r em função de θ :
r cos 2 θ − senθ = 0
r cos 2 θ = senθ
senθ
senθ
1
=
⋅
2
cos θ cos θ cos θ
r = tgθ sec θ
r=
Gráficos de equações em coordenadas polares
Um gráfico polar r = f (θ ) é representado por todos os pontos do plano cujas coordenadas
satisfazem a equação. Podem ser determinados manualmente a partir de um conjunto de pares
ordenados onde estejam especificados valores como máximos e mínimos, ponto onde o r é nulo e as
simetrias ou através de softwares geradores de gráficos, que simplificam em muito o trabalho.
Os softwares geradores de gráficos como o Derive e o Geogebra tem a opção de representar pontos
expressos em coordenadas polares.
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 111
Exemplo 1:
O gráfico da função r = θ é uma espiral cujo gráfico,
construído no Derive, com r variando de 0 a 20
corresponde a figura 3.35.
Figura 3.35: Gráfico da função r = θ (espiral)
Exemplo 2:
O gráfico da função θ =
π
4
, corresponde a uma reta que passa
pela origem do eixo polar e faz ângulo de
Figura 3.36: Gráfico da função θ =
π
4
π
4
rad com o mesmo.
(reta)
Exemplo 3:
Representar graficamente, com o auxílio de um software, os gráficos das funções em coordenadas
polares:
a) r = 2
b) rsenθ = 2
c) r = 4 senθ
d) r = 1 + 3 cos θ
e) r = 2 − 2 senθ
f) r = 2 cos 4θ
g) r = 2sen5θ
h) r 2 = 9 sen 2θ
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a)
Figura 3.37: Gráfico da função
b)
r = 2 (circunferência)
Figura 3.38: Gráfico da função
c)
Figura 3.39: Gráfico da função
d)
r = 4 senθ (circunferência)
e)
Figura 3.41: Gráfico da função
rsenθ = 2 ( reta horizontal)
Figura 3.40: Gráfico da função
r = 1 + 3 cos θ (limaçon)
f)
r = 2 − 2 senθ (cardióide)
Figura 3.42: Gráfico da função
r = 2 cos 4θ (rosácea)
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g)
Figura 3.43: Gráfico da função
h)
r = 2sen5θ (rosácea)
Figura 3.37: Gráfico da função
r 2 = 9 sen 2θ (lemniscata)
Exercícios
1) Encontre a equação da reta s que passa pelo ponto P(1,1) e é perpendicular a reta r de equação
2x − y + 1 = 0 .
2) Quando uma família tem uma renda mensal de R$ 2.400,00 ela gasta R$ 2.100,00 por mês; quando
a renda é de R$ 4.200,00 ela consome R$ 2.800,00. Chamando de R a renda mensal de C o consumo,
obtenha C em função de R sabendo que a evolução da renda e do consumo é linear.
1
3) Determinar o ponto de nivelamento entre a receita R(q ) = 0,5q e o custo total C (q ) = 4 + q .
4
4) Determine as distâncias entre as retas r : 2 x − 3 y + 2 = 0 e s : 2 x − 3 y + 6 = 0 .
5) Seja M a circunferência de centro C (8,6) e raio 10. Determine:
a) as intersecções de M com o eixo x;
b) as intersecções de M com o eixo y;
c) os pontos de M que tem ordenada 9;
d) os pontos de M que tem abscissa 20.
6) Um terreno urbano situado entre duas ruas tem forma de um trapézio de vértices ABCD onde os
lados AB e CD são paralelos e correspondem as ruas. Sabendo que as coordenadas dos vértices do
terreno são A(30,0) , B(60,10) , C (20,50) e D(50,60) , encontre a distância de uma rua a outra.
7) Obtenha uma equação da circunferência que tem como diâmetro o segmento de extremos A(−8,1) e
B(−4,5) .
8) Determine as equações das retas tangentes a circunferência de equação ( x − 4) 2 + ( y − 1) 2 = 4 e que
são perpendiculares a reta t : y = −2
9) Esboce a elipse e obtenha a equação em cada caso:
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Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 114
a) eixo menor de comprimento 6 e focos F1 (4,0) e F2 (−4,0)
b) eixo maior de comprimento 26 e focos F1 (5,0) e F2 (−5,0)
c) eixo menor de comprimento 8 e extremos em (0,−5) e (0,5)
c) eixo menor de extremos (−6,0) e (6,0) e excentricidade 0,8.
10) Seja a hipérbole de focos F1 (−10,0) e F2 (10,0) e de vértices A1 (−6,0) e A2 (6,0) . Determine a
equação da hipérbole e sua excentricidade.
11) Para fazer um jardim, o jardineiro amarra as
extremidades de uma corda de 10 m de comprimento em
duas estacas A1 e A2 ,e com um riscador estica a corda de
modo a obter um triângulo A1 , A2 e A3 . Deslizando o
riscador de forma que a corda fique sempre esticada e
rente ao chão obtém o contorno do jardim na forma da
figura. Se M é o ponto médio de A1 e A2 , qual é a
distância entre as estacas?
12) Seja a hipérbole de equação y 2 − 9 x 2 = 144 .
Encontre:
a) os focos, os extremos dos eixos real e imaginário;
b) a intersecções da hipérbole com a reta de equação 9 x − y = 0
13) Traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola que satisfaz ss condições:
a) vértice (0,0) e foco (2,0)
b) vértice (0,0) e diretriz y = 4
14) Na figura ao lado o arco representado por uma parábola
passa pelos pontos D e C e o segmento AB está dividido em
8 partes iguais. Sabendo que d = 10cm , AC = BD = 50cm
e AB = 80cm , determinar h1 e h2 .
15) Obtenha a equação da parábola que passa por P, tem
vértice na origem e eixo de simetria VF nos casos:
a) VF = eixo x e P(9,6)
b) VF = eixo y e P(1,1)
16) Converter as coordenadas cartesianas ( 8 , 8 ) e (4,3) , com r > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π , em coordenadas
polares.
17) Transforme as equações cartesianas em coordenadas polares
a) x 2 + y 2 = 16
b) 2 x − y = 4
18) Escreva a equação de uma reta que passa no centro de uma circunferência qualquer, converta suas
equações em coordenadas polares e as represente graficamente utilizando o software Derive.
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