RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
2o ANO DO ENSINO MÉDIO
DATA: 20/04/13
PROFESSOR: MALTEZ
QUESTÃO 01
Para determinar a altura do edifício, o síndico usou um artifício. Mediu a sombra do prédio que deu
6 metros e a sua própria sombra, que deu 0,2 metros.
Sabendo que a altura do síndico é de 1,60 metros, a altura do prédio é:
Edifício
síndico
x
1,60 m
0,2 m
6m
6
x
=
⇒ 0,2x = 9,60
0,2 1,60
x = 48 m
QUESTÃO 02
O triângulo ABC da figura abaixo, tem base 18 cm e altura 12 cm.
A
12 cm
B
D
E
G
F
18 cm
O lado do quadrado DEFG é:
C
A
Seja l o lado do quadrado, e sabendo que os triângulos ADE e ABC
12 – l
são semelhantes (por paralelismo):
D
12
18
12
=
l 12 − l
B
l = 7,2 cm
QUESTÃO 03
Na figura ao lado, sabe-se que:
A
DÂC ≡ CB̂E
E
AE = X
EC = 4
BD = 7
B
D
CD = 3
O valor de x é:
Pelos dados do problema:
A
∆ ADC ~ ∆ BEC
E
X+4
4
10
x+4 3
= ⇒ 4 x + 16 = 30
10
4
x=
7
2
C
18
30l = 216
4x = 14
E
l
12l = 216 - 18l
B
l
C
D
3
C
C
QUESTÃO 04
A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância, em metros, que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:
A figura é
x
y
2,2 m
3,2 m
0,8 m
Os triângulos são semelhantes:
y
2,2
=
⇒ y = 8,8m ( total)
3,2 0,8
Portanto x = 8,8 – 3,2
x = 5,6 m
A
QUESTÃO 05
D
Na figura ao lado, têm-se AB = 6 m, BC = 10 m e EC = 4 cm.
A medida do segmento DE, em centímetros, é igual a:
B
A
D
6
x
B
10
C
E
Como os triângulos ABC e DEC são semelhantes:
AB AC
=
DE EC
Por Pítagoras; AC2 = 102 – 62
AC2 = 64
AC = 8
6 8
6
= ⇒ =2
x 4
x
x=3
ou DE = 3 cm
4
C
E
4
C
QUESTÃO 06
O raio de um círculo circunscrito a um hexágono regular tem medida 6 3 cm.
A medida do apótema desse hexágono é:
Como l = R = 6 3 o triângulo AOB é equilátero então o apótema é a altura
B
l
R
O
a
R
A
desse triângulo.
a=
l 3
6 3. 3
⇒a=
2
2
a=
18
⇒
2
a = 9 cm
QUESTÃO 07
Qual deve ser a altitude do balão para que sua distância ao
topo do prédio seja de 10 km?
x
10 km
200 m
10
8
8 km
200 m
Pitágoras: 102 = 82 + x2
x2 = 36 ⇒ x = 6 km = 6000 m
Logo a altitude do balão é:
6000 m + 200 m = 6200 m
QUESTÃO 08
Sejam a, b e c os lados de um triângulo retângulo, onde a > b > c.
Sabendo que a soma dos quadrados desses lados vale 200, a hipotenusa do triângulo é igual a:
Como a > b > c, então a é a hipotenusa e a2 = b2 + c2
Dado a2 + b2 + c2 = 200
a2 + a2 = 200
2a2 = 200
a2 = 100
logo a = 10
QUESTÃO 09
D
No círculo de centro O e diâmetro AB, ao lado, AD = 12 cm e BD = 5 cm.
A
O comprimento da corda CD é:
C
A metade da corda CD é altura do triângulo retângulo ABD.
Por Pitágoras: AB2 = 122 + 52
B
O
D
AB2 = 169
5
12
AB = 13
A
a.h=b.c
O
E
B
13 . DE = 12 . 5
DE =
60
13
Como CD = 2 . DE = 2 .
60 120
=
13
13
QUESTÃO 10
Na figura ao lado, OO’ = 25 (O e O’ são os centros dos círculos). O valor de x é a distância TT’, pontos
T’
de tangência.
Então x é igual a:
T
Unindo-se os pontos TT’ OO’ obtemos um trapézio.
T’
3
x
T
3
O
10
x
7
25
O’
252 = 72 + x2 ⇒ 625 – 49 = x2 ⇒ x2 = 576
x = 24
O
3
O’
10
QUESTÃO 11
A figura mostra o perfil de uma escada, formada por seis degraus idênticos, cada um com 40 cm de
profundidade. A distância do ponto mais alto da escada do solo é 1,80 m.
A
40 cm
1,80 m
B
A medida do corrimão AB é igual a:
40 x 6 = 240 m
1,8 m
= 2,4 m, que é a medida do cateto maior.
x
2,4 m
Pelo teorema de Pitágoras:
x2 = (2,4)2 + (1,8)2 = 5,76 + 3,24
x2 = 9 ⇒ x = 3 m ou
AB = 3 m
QUESTÃO 12
Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo o
padrão representado abaixo, que vai ser repetido em toda a extensão do pátio. As pastilhas de cor
branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de cor preta, R$ 10,00.
O custo por metro quadrado do revestimento será de:
De acordo com o enunciado, podemos concluir que o custo do revestimento será:
10 .
40
160
+8.
= 8,40
200
200
QUESTÃO 13 (ENEM-MEC)
Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em
quatro lotes de mesma área.
Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros.
As ruas A e B são paralelas.
As ruas C e D são paralelas.
Dos esquemas abaixo, onde lados de mesma medida tem símbolos iguais, o único em que os quatro
lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é:
A única que os lotes não possuem a mesma área é a
,
pois as áreas são diferentes.
QUESTÃO 14 (ENEM-MEC)
Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e
16 tampas pequenas.
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são
doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material.
A partir dessas informações, pode-se concluir que:
Os raios são:
Cálculo das sobras de material:
• Tampa grande: 1 m
• Tampa grande: 4 − π . 12 = (4 − π) m2
• Tampa média:
1
m
2
• Tampa pequena:
1
m
4
2
 1
• Tampa média: 4 − 4 . π .   = (4 − π ) m 2
2
2
 1
• Tampa pequena: 4 − 16 . π .   = (4 − π ) m2
4
Logo, as entidades recebem quantidades iguais de material.
QUESTÃO 15
Quantas pessoas cabem, aproximadamente, em uma praça circular de 20 m de raio, considerando
5 pessoas por metro quadrado? (Use π = 3,14)
Achemos a área da praça, que é circular.
A = πr2
A = π . 202 = 3,14 . 400 = 1256 m2
Cada metro quadrado desse cabem 5 pessoas. Logo,
No de pessoas = 1256 x 5 = 6280
QUESTÃO 16
O apótema a, do hexágono regular ao lado, vale 3 3 cm .
Então a área do hexágono é igual a:
a=
a
l 3
l 3
⇒3 3 =
2
2
l=6
SH = 6 .
l2 3
62 3
=6.
4
4
SH = 6 . 9 3 = 54 3 cm 2
QUESTÃO 17
Na figura ao lado o quadrado tem lado 2 e os semicírculos são iguais. A área hachurada tem medida:
Área do quadrado = 22 = 4
Área de dois semicírculos iguais = área do círculo de raio 1 =
= π . 12 = π
=4–π
QUESTÃO 18
Na figura ao lado, ABCDEF é um hexágono regular inscrito no círculo de raio 6.
O
A área hachurada tem medida:
Área do círculo = π . 62 = 36π
Área do hexágono = 6 .
Área pedida =
62 3
= 54 3
4
1
(36π − 54 3 ) =
2
= 18π − 27 3
QUESTÃO 19
Na figura ao lado, ABC é um triângulo equilátero de lado 4 cm e M, N e P, são pontos médios dos lados,
MN, NP são arcos de circunferência com centro em A e C, respectivamente.
A
2
A medida, em cm , da área hachurada é:
S∆ =
S setor
M
42 3
= 4 3 cm 2
4
60
o
=
π . 22 4 π 2π
=
=
6
6
3
B
N
C
P
Área pedida = Área do triângulo –
2 . Área setor =
=4 3 −2.
2π
4π 

2
= 4 3 −
 cm
3
3 

QUESTÃO 20
Na figura ao lado, o círculo tem raio 3 cm e o triângulo inscrito é equilátero.
A área da figura hachurada é:
A área pedida é Scírculo – Striângulo
Área do círculo = π . 32 = 9 π
Se o triângulo é equilátero (polígono regular), l = R 3 ou l = 3 3
Área do triângulo =
Área pedida =
(3 3 )2 .
4
3
=
27 3
4

27 3 
 9π −
 cm2
4


O
QUESTÕES DISCURSIVAS
QUESTÃO 01
A figura ao lado representa um hexágono regular. Os semicírculos tem raio 4 cm.
Calcule a área da figura hachurada.
Área pedida = Área do hexágono –
4
Área do círculo (2 semicírculos)
4
Como
4
4
SH = 6 .
42 3
= 24 3
4
2
2
2
32π
. Sc = π . 4 2 = − 16π =
3
3
3
3
32π 

2
Área pedida =  24 3 −
 cm
3


QUESTÃO 02
Calcule a área do triângulo retângulo, onde um dos catetos vale 5 cm e a hipotenusa vale 13 cm.
13
5
Por Pitágoras:
132 = 52 + b2
b
169 – 25 = b2
b2 = 144
b = 12
A∆ =
5 . 12
= 30 cm2
2
QUESTÃO 03
Determine a área de um quadrado inscrito em um círculo de raio 5 dm.
Devemos achar o lado do quadrado.
l
5
l =R 2 ⇒
l=5 2
l
l
2
S' = (5 2 ) = 50 dm2
l
QUESTÃO 04
B
Calcule o valor de x na figura ao lado (O é o centro do círculo).
B
6,5
A
Se r = 6,5 ⇒ 2r = 13
O
x
12
C
132 = 122 + BC2
13
BC2 = 25
x
A
12
BC = 5. Como a . h = b . c,
C
13 . x = 12 . 5
x=
60
13
QUESTÃO 05
C
Calcule, em metros, a medida do segmento AD da figura ao lado.
3m
Os triângulos são semelhantes
4m
A
AD 4
=
3
2
AD = 6 m
D
B
2m