o
anglo
resolve
a prova
da 2ª- fase
da FUVEST
2009
Código: 835425009
É trabalho pioneiro.
Prestação de serviços com tradição de confiabilidade.
Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras em sua
tarefa de não cometer injustiças.
Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante no
processo de aprendizagem, graças a seu formato: reprodução de cada
questão, seguida da resolução elaborada pelos professores do Anglo.
No final, um comentário sobre as disciplinas.
A 2ª- fase da Fuvest consegue, de forma prática, propor para cada carreira um conjunto distinto de provas. Assim, por exemplo, o candidato
a Engenharia da Escola Politécnica faz, na 2ª fase, provas de Língua
Portuguesa (40 pontos), Matemática (40 pontos), Física (40 pontos) e
Química (40 pontos). Já aquele que pretende ingressar na Faculdade
de Direito faz somente três provas: Língua Portuguesa (80 pontos),
História (40 pontos) e Geografia (40 pontos). Por sua vez, o candidato
a Medicina tem provas de Língua Portuguesa (40 pontos), Biologia
(40 pontos), Física (40 pontos) e Química (40 pontos).
Vale lembrar que a prova de Língua Portuguesa é obrigatória para
todas as carreiras.
Para efeito de classificação final, somam-se os pontos obtidos pelo
candidato na 1ª- e na 2ª- fase.
A tabela seguinte apresenta todas as carreiras, com o número de vagas,
as provas da 2ª- fase, acompanhadas da respectiva pontuação.
FUVEST — TABELA DE CARREIRAS E PROVAS
ÁREA DE BIOLÓGICAS
CÓD.
400
402
403
404
405
406
407
408
409
420
422
423
424
425
426
427
428
429
430
432
433
434
435
437
438
439
440
442
443
444
445
446
447
448
CARREIRAS
Ciências Biológicas – São Paulo
Ciências Biológicas – Piracicaba
Ciências Biológicas – Ribeirão Preto
Ciências da Atividade Física – USP – LESTE-SP
Ciências dos Alimentos – Piracicaba
Educação Física
Educação Física – Ribeirão Preto
Enfermagem – São Paulo
Enfermagem – Ribeirão Preto
Engenharia Agronômica – Piracicaba
Engenharia Florestal – Piracicaba
Esporte (Bacharelado)
Farmácia – Bioquímica – São Paulo
Farmácia – Bioquímica – Ribeirão Preto
Fisioterapia – São Paulo
Fisioterapia – Ribeirão Preto
Fonoaudiologia – São Paulo
Fonoaudiologia – Bauru
Fonoaudiologia – Ribeirão Preto
Gerontologia – USP – LESTE-SP
Licenciatura em Enfermagem – Ribeirão Preto
Medicina (São Paulo), Ciências Médicas
(Ribeirão Preto) e Santa Casa
Medicina Veterinária (São Paulo e Pirassununga)
Nutrição
Nutrição e Metabolismo – Ribeirão Preto
Obstetrícia – USP – LESTE-SP
Odontologia – São Paulo
Odontologia – Bauru
Odontologia – Ribeirão Preto
Psicologia – São Paulo
Psicologia – Ribeirão Preto
Terapia Ocupacional – São Paulo
Terapia Ocupacional – Ribeirão Preto
Zootecnia – Pirassununga
PROVAS DA 2ª FASE E
VAGAS RESPECTIVOS NÚMEROS
DE PONTOS
120
30
40
60
40
50
60
80
80
200
40
50
150
80
25
40
25
40
30
60
50
P(40), Q(40), B(40)
P(80), Q(40), B(40)
P(40), Q(40), B(40)
P(40), F(40), B(40), H(40)
P(40), B(40), Q(40)
P(40), F(40), B(40), H(40)
P(40), B(40), Q(40), F(40)
P(40), B(40), Q(40)
P(80), B(40), Q(40)
P(40), M(40), Q(40), B(40)
P(40), M(40), Q(40), B(40)
P(40), B(40), Q(40)
P(40), F(40), Q(40), B(40)
P(40), Q(40), B(40), F(40)
P(40), F(40), Q(40), B(40)
P(40), F(40), Q(40), B(40)
P(80), F(40), B(40)
P(40), F(40), Q(40), B(40)
P(80), F(40), B(40)
P(40), M(40), B(40), H(40)
P(80), B(40), H(40)
375
P(40), F(40), Q(40), B(40)
140
80
30
60
133
50
80
70
40
25
20
40
P(40), F(40), Q(40), B(40)
P(40), F(40), Q(40), B(40),
P(40), F(40), B(40), Q(40)
P(40), M(40), B(40), H(40)
P(40), F(40), Q(40), B(40)
P(40), F(40), Q(40), B(40)
P(40), F(40), Q(40), B(40)
P(40), M(40), B(40), H(40)
P(80), B(40), H(40)
P(80), B(40), H(40)
P(80), B(40), H(40)
P(40), M(40), Q(40), B(40)
ÁREA DE EXATAS
CÓD.
600
602
603
604
605
606
607
608
609
620
622
623
624
625
626
627
628
629
630
632
633
634
635
636
637
638
639
640
642
643
644
645
CARREIRAS
Ciências Biomoleculares – São Carlos
Ciências da Natureza – USP – LESTE-SP
Computação – São Carlos
Engenharia Aeronáutica – São Carlos
Engenharia Ambiental – São Carlos
Engenharia Bioquímica – Lorena
Engenharia Civil – São Carlos
Engenharia de Alimentos – Pirassununga
Engenharia de Biossistemas – Pirassununga
Engenharia de Materiais — Lorena
Engenharia Industrial Química — Lorena
Engenharia (POLI) e Computação (Bacharelado)
Engenharia Química – Lorena
Engenharias– São Carlos
Física – São Paulo e São Carlos (Bacharelado), Meteorologia,
Geofísica, Astronomia, Matemática e Estatística, Matemática
Aplicada e Computacional – São Paulo e Física Computacional –
São Carlos
Física Médica — Ribeirão Preto
Geologia
Informática Biomédica – Ribeirão Preto
Informática – São Carlos
Ciências Exatas – São Carlos (Licenciatura)
Licenciatura em Geociências e Educação Ambiental
Matemática e Física – São Paulo (Licenciatura)
Matemática Aplicada – Ribeirão Preto
Matemática Aplicada e Computação Científica —
São Carlos (Bacharelado e Licenciatura)
Oceanografia – São Paulo
Química Ambiental – São Paulo (Bacharelado)
Química (Bacharelado) – Ribeirão Preto
Química (Bacharelado e Licenciatura) – São Paulo
Licenciatura em Química – São Paulo
Química (Licenciatura) – Ribeirão Preto
Química – São Carlos
Sistemas de Informação – USP – LESTE-SP
PROVAS DA 2ª FASE E
VAGAS RESPECTIVOS NÚMEROS
DE PONTOS
40
120
100
40
40
40
60
100
60
40
80
800
80
300
P(40), M(40), B(40), F(40)
P(40), B(40), Q(40), F(40)
P(40), M(40), F(40)
P(40), M(40), F(40)
P(40), M(40), F(40), Q(40)
P(40), M(40), F(40), Q(40)
P(40), M(40), F(40)
P(40), M(40), F(40), Q(40)
P(40), B(40), F(40), M(40)
P(40), M(40), F(40), Q(40)
P(40), M(40), F(40), Q(40)
P(40), M(40), F(40), Q(40)
P(40), M(40), F(40), Q(40)
P(40), M(40), F(40)
455
P(40), M(40), F(40)
40
50
40
40
50
40
260
45
P(40), M(40), F(40)
P(40), M(40), F(40), Q(40)
P(40), M(40), F(40), B(40)
P(40), M(40), F(40)
P(40), M(40)
P(40), F(40), Q(40), G(40)
P(40), M(40), F(40)
P(40), M(80), G(40)
95
P(40), M(40), F(40)
40
30
60
60
30
40
60
180
P(40), M(40), B(40), Q(40)
P(40), M(40), F(40), Q(40)
P(80), Q(40)
P(40), M(40), F(40), Q(40)
P(40), M(40), F(40), Q(40)
P(80), Q(40)
P(40), Q(40)
P(40), M(40)
ÁREA DE HUMANAS
CÓD.
200
202
203
204
205
207
208
209
220
222
223
224
225
226
227
228
229
230
232
233
234
235
236
237
238
239
240
242
245
246
247
248
249
250
252
253
—
—
—
CARREIRAS
Administração – Ribeirão Preto
Arquitetura – São Paulo (FAU-USP)
Arquitetura – São Carlos
Artes Cênicas (Bacharelado)
Artes Cênicas (Licenciatura)
Arte e Tecnologia – USP – LESTE-SP
Biblioteconomia
Ciencias Contábeis – Ribeirão Preto
Ciências da Informação e da Documentação
(Bacharelado) – Ribeirão Preto
Ciências Sociais
Ciências Econômicas – Piracicaba
Audiovisual
Design
Direito
Economia, Adminstração, Ciências Contábeis e Atuária
Economia Empresarial e Controladoria – Ribeirão Preto
Economia – Ribeirão Preto
Editoração
Filosofia
Geografia
Gestão Ambiental – USP – LESTE-SP
Gestão Ambiental – Piracicaba
Gestão de Políticas Públicas – USP – LESTE-SP
História
Jornalismo
Lazer e Turismo – USP – LESTE-SP
Letras – Básico
Marketing – USP – LESTE-SP
Oficial da Polícia Militar de São Paulo – Masculino
Oficial da Polícia Militar de São Paulo – Feminino
Pedagogia – São Paulo
Pedagogia – Ribeirão Preto
Publicidade e Propaganda
Relações Internacionais (Bacharelado)
Relações Públicas
Turismo
Artes Plásticas
Música – São Paulo
Música – Ribeirão Preto
PROVAS DA 2ª FASE E
VAGAS RESPECTIVOS NÚMEROS
DE PONTOS
105
150
30
15
10
60
35
45
P(40), M(40, H(40), G(40)
P(40), F(20), H(20), HE(80)
P(80), H(20), HE(40)
P(40), H(40), HE(80)
P(40), H(40), HE(80)
P(40), H(40), F(40)
P(40), H(40)
P(40), M(40), H(40), G(40)
40
P(80), H(40), G(40)
210
40
35
40
560
590
70
45
15
170
170
120
40
120
270
60
120
849
120
35
15
180
50
50
60
50
30
30
35
30
P(80), H(40), G(40)
P(40), M(40), H(40), G(40)
P(40), H(40), HE(80)
P(40), H(20), F(20), HE(80)
P(80), H(40), G(40)
P(40), M(40), H(40), G(40)
P(40), M(40, H(40), F(40)
P(40), M(40), H(40), G(40)
P(40), H(40)
P(80), H(40), G(40)
P(80), H(40), G(40)
P(40), F(40), Q(40), B(40)
P(80), B(40), H(40)
P(40), M(40), H(40), G(40)
P(80), H(40), G(40)
P(80), H(40), G(40)
P(40), M(40), H(40), G(40)
P(80), H(40), G(40)
P(40), M(40), H(40), G(40)
P(40)
P(40)
P(80), H(40)
P(80), H(40), G(40)
P(40), H(40)
P(80), H(40), G(40)
P(40), H(40)
P(80), H(40), G(40)
P(40), H(40), HE(80)
P(40), HE(120)
P(40), HE(120)
LEGENDA
P — Português
M — Matemática
F — Física
Q — Química
B — Biologia
H — História
G — Geografia
A — Aptidão
HE — Habilidade Específica
▼
MATEM ÁT ICA
Questão 1
r
Na figura ao lado, a reta r tem equação y = 2 2 x + 1 no plano cartesiano
Oxy. Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r, sendo B0 = (0, 1).
Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox, com A0 = O = (0, 0). O ponto Di
—
pertence ao segmento AiBi , para 1 i 3.
— — —
Os segmentos A1B1 , A2B2 , A3B3 são paralelos ao eixo Oy, os segmentos
— — —
B0D1 , B1D2 , B2D3 são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre Bi e Bi + 1 é
B3
y
B2
B1
B0
D3
D2
D1
igual a 9, para 0 i 2.
O
x
A1
A2
A3
Nessas condições:
a) Determine as abscissas de A1 , A2 , A3 .
b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai + 1 e altura Ai + 1 Di + 1, para 0 i 2, calcule a soma das áreas dos
retângulos R0 , R1 e R2.
Resolução
a) Sendo α a inclinação da reta r, temos que tg α = 2 2
r
9
y
9
B1
α
No triângulo B0DiBi, vem:
D3
•
D2
9
B0
B2
B3
D1B1
= 2 2 ∴ D1B1 = 2 2 B0D1
B0D1
• (B0D1)2 + (D1B1)2 = 92
D1
(B0D1)2 + 8(B0D1)2 = 81
(B0D1)2 = 9 ∴ B0D1 = 3
α
O
A1
A2
A3
x
Como A0A1 = A1A2 = A2A3 = B0D1 então xA1 = 3, xA2 = 6 e xA3 = 9
Resposta: 3, 6 e 9
b) As ordenadas dos pontos B0, B1 e B2 são respectivamente:
y0 = 2 2 ⋅ 0 + 1 ∴ y0 = 1
y1 = 2 2 ⋅ 3 + 1 ∴ y1 = 6 2 + 1
y2 = 2 2 ⋅ 6 + 1 ∴ y2 = 12 2 + 1
Logo, a soma S das áreas dos retângulos R0, R1 e R2 é S = 3 ⋅ 1 + 3 ⋅ (6 2 + 1) + 3 ⋅ (12 2 + 1)
S = 3 + 18 2 + 3 + 36 2 + 3
S = 9 + 54 2
Resposta: 9 + 54 2
FUVEST/2009 – 2ª- FASE
5
ANGLO VESTIBULARES
▼
Questão 2
Na figura, estão representadas a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo
que:
—
1. O ponto O pertence ao segmento PQ.
2. OP = 1, OQ =
2.
— — — —
3. A e B são pontos da circunferência, AP ⊥ PQ e BQ ⊥ PQ.
Assim sendo, determine:
a) A área do triângulo APO.
b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.
c) A área da região hachurada.
P
A
O
Q
B
Resolução
Do enunciado, temos a figura
2
C
1 e 2: comprimentos dos arcos
P 1
O
β
α
determinados por A e B em C
Q
γ
2
2
A
2
B
1
a) Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo APO, temos:
(AP)2 + 12 = 22 ∴ AP =
3
Sendo S1 a área pedida, temos:
S1 =
1
⋅ AP ⋅ OP
2
S1 =
1
3
⋅ 3 ⋅ 1 ∴ S1 =
2
2
Resposta:
3
2
b) No triângulo retângulo APO, temos:
1
cos β =
∴ β = 60 ° (1)
2
No triângulo retângulo BQO, temos:
cos γ =
2
∴ γ = 45 ° (2)
2
Ainda,
β + α + γ = 180°
(3)
De (1), (2) e (3), temos:
60° + α + 45° = 180° ∴
FUVEST/2009 – 2ª- FASE
α = 75°
6
ANGLO VESTIBULARES
Assim, temos:
75 °
1 =
⋅2⋅π ⋅2 ∴
360 °
2 =
285 °
⋅2⋅π ⋅2 ∴
360 °
Resposta:
1 =
5π
6
2 =
19π
6
e
5π 19π
e
6
6
c) A área S2 pedida pode ser obtida pela soma das áreas do triângulo APO, do triângulo BQO e do setor circular OAB. Logo,
S2 =
3 1
1 5π
3 3 + 6 + 5π
+ ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ sen 45 ° + ⋅
⋅ 2 ∴ S2 =
2
2
2 6
6
▼
Resposta:
3 3 + 6 + 5π
6
Questão 3
Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por
⎧
⎪ 4 x + 2m2 y = 0
⎨
⎪⎩ 2mx + ( 2m – 1 ) y = 0
Desse modo:
a) Resolva o sistema para m = 1.
b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.
c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x, y) = (α, 1), sendo
α um número irracional.
Resolução
a) Para m = 1, temos:
⎧⎪ 4x + 2y = 0
⎨
2x + y = 0
⎩⎪
(–1)
∴
⎧⎪
0=0
⎨
2x + y = 0
⎩⎪
O sistema é possível e indeterminado.
Fazendo y = α, ∀α, temos
2x + α = 0 ∴ x = –
α
2
⎫⎪
⎪⎧⎛ α ⎞
O conjunto solução é S = ⎨⎜ – , α ⎟ , ∀α ⎬
⎠
⎪⎩⎝ 2
⎪⎭
⎫⎪
⎪⎧⎛ α ⎞
Resposta: S = ⎨⎜ – , α ⎟ , ∀α ⎬
⎠
⎪⎩⎝ 2
⎪⎭
b) Como é homogêneo, basta que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a zero.
Assim:
4
2m2
= 0 ∴ 8m – 4 – 4m3 = 0
2m 2m – 1
FUVEST/2009 – 2ª- FASE
7
ANGLO VESTIBULARES
∴ m3 – 2m + 1 = 0 ∴ m3 – m2 + m2 – 2m + 1 = 0
∴ m2(m – 1) + (m – 1)2 = 0 ∴ (m – 1) ⋅ (m2 + m – 1) = 0
m=1
ou
m2 + m – 1 = 0 ∴ m =
Resposta: m = 1 ou m =
–1 ± 5
2
–1 – 5
–1 + 5
ou m =
2
2
c) Substituindo no sistema, temos:
⎧
⎪ 4α + 2m2 = 0 ∴ 2α = – m2
⎨
⎪⎩ 2mα + 2m – 1 = 0
Assim:
– m3 + 2m – 1 = 0 ∴ m3 – 2m + 1 = 0
Do item anterior, m = 1 ou m =
–1 – 5
–1 + 5
.
ou m =
2
2
–1 – 5
–1 + 5
1
.
ou m =
Como m = 1 não convém, pois α = – , que é racional, temos m =
2
2
2
▼
Resposta: m =
–1 – 5
–1 + 5
ou m =
.
2
2
Questão 4
C
O triângulo ABC da figura ao lado é eqüilátero de lado 1.
Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados
— — —
AB , AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos AF̂E e
—
CĜF são retos e a medida do segmento AF é x.
Assim, determine:
a) A área do triângulo AFE em função de x.
b) O valor de x para o qual o ângulo FÊG também é reto.
G
F
x
A
E
B
Resolução
Do enunciado, temos a figura:
C
60°
1–x
G
β
30°
F
x
60°
α
60°
A
60°
E
B
No triângulo retângulo AFE, temos: tg 60° =
No triângulo retângulo CGF, temos: sen 60° =
FUVEST/2009 – 2ª- FASE
FE
∴
AF
3=
FE
∴ FE = 3 x
x
3
3
FG
FG
∴
=
∴ FG =
⋅ (1 – x )
2
1– x
2
CF
8
ANGLO VESTIBULARES
a) Sendo S a área pedida, temos:
S=
1
⋅ AF ⋅ FE
2
S=
1
3 2
⋅ x ⋅ 3x ∴ S =
x
2
2
3 2
x
2
Resposta:
b) No triângulo FEG, fazendo α = 90° temos que β = 30°. Ainda,
sen β =
FE
FG
sen 30° =
▼
Resposta:
3x
3
⋅ (1 – x )
2
∴
1
=
2
3x
3
⋅ (1 – x )
2
∴ x=
1
5
1
5
Questão 5
A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é
1
. Além disso, a diferença entre o séti2
mo termo e o segundo termo da PG é igual a 3.
Nessas condições, determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.
Resolução
a) Sendo a1 o primeiro termo e q a razão da PG, do enunciado temos:
• soma dos 5 primeiros termos:
a1 (q5 – 1) 1
=
q–1
2
(1)
• a7 – a2 = 3 ∴ a1q6 – a1q = 3 ∴
a1q(q5 – 1) = 3
De (1): a1(q5 – 1) =
(2)
1
(q – 1)
2
Substituindo em (2), vem:
q⋅
1
(q – 1) = 3 ∴
2
q2 – q – 6 = 0, com q 0
Logo, q = – 2 ou q = 3 (não convém)
Resposta: – 2
b) Do item (a), temos a1q(q5 – 1) = 3 e q = – 2 ∴ a1 ⋅ (– 2) ⋅ ((– 2)5 – 1) = 3 ∴ a1 ⋅ 66 = 3 ∴
a1 =
1
22
Assim, a soma dos três primeiros termos dessa PG é:
1
2
4
3
–
+
=
22 22 22 22
Resposta:
FUVEST/2009 – 2ª- FASE
3
22
9
ANGLO VESTIBULARES
▼
Questão 6
Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da
Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?
b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da
França?
c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?
Resolução
a) O número de maneiras de escolher 10 garrafas desse lote é
15!
= 3003
10! ⋅ 5!
C15,10 =
Resposta: 3003 maneiras
b) Do enunciado, o número de maneiras é
C 4 ,2 ⋅ C5,4 ⋅ C6,4 =
4!
5!
6!
⋅
⋅
= 450
2! ⋅ 2! 4! ⋅ 1! 4! ⋅ 2!
Resposta: 450 maneiras
c) Com 4 garrafas da Itália, para que haja pelo menos uma garrafa de cada um dos outros países no lote, só
não pode haver nesse lote as 6 garrafas da França. Assim o número de casos favoráveis é
C5,4 ⋅ ⎡⎣C10 ,6 – C6,6 ⎤⎦ = 5 ⋅ ⎡⎣210 – 1⎤⎦ = 1045 .
A probabilidade pedida é:
▼
Resposta:
1045
95
=
.
3003 273
95
273
Questão 7
No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = (– 5, 1) e é tangente à reta t de equação
4x – 3y – 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox.
Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C .
c) Calcule a área do triângulo APQ.
Resolução
a) Do enunciado, temos a figura, em que a reta s passa pelo ponto A e é perpendicular à reta t.
t
C
A
P
s
FUVEST/2009 – 2ª- FASE
10
ANGLO VESTIBULARES
Sejam ms e mt os coeficientes angulares das retas s e t, respectivamente.
(t) 4x – 3y – 2 = 0 ∴ y =
4
2
x–
3
3
∴ mt =
Como as retas s e t são perpendiculares, ms = –
4
3
3
.
4
3
⋅ (x + 5) ∴ 3x + 4y + 11 = 0
4
As coordenadas de P são dadas pela solução do sistema:
Uma equação de s é: y – 1 = –
⎧ 4 x – 3y – 2 = 0
⎨
⎩⎪3x + 4 y + 11 = 0
Resolvendo esse sistema, temos x = – 1 e y = – 2.
Resposta: (–1, –2)
b) A medida r do raio de C é igual à distância entre o ponto A e a reta t. Assim,
r=
| 4 ⋅ (– 5) – 3 ⋅ 1 – 2 |
42 + (– 3)2
∴ r=
25
5
∴ r=5
Uma equação de C é (x + 5)2 + (y – 1)2 = 52.
Resposta: (x + 5)2 + (y – 1)2 = 25
c) Fazendo y = 0 na equação da reta t, temos:
1
4x – 3 ⋅ 0 – 2 = 0 ∴ x =
2
Logo, Q = (1/2, 0).
Para obter a área S pedida, vamos calcular o seguinte determinante:
–5
D=
1
1
–1 – 2 1
1
2
0
∴
D = 10 +
1
∴ D=
Assim, S =
▼
Resposta:
1
+0+1+0+1
2
25
2
1 25
25
⋅
, ou seja, S =
.
2 2
4
25
4
Questão 8
Para cada número real m, considere a função quadrática f (x) = x2 + mx + 2.
Nessas condições:
a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f (x).
b) Determine os valores de m ∈ IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y ∈ IR : y 1}.
c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y ∈ IR : y 1} e, além disso, f é
crescente no conjunto {x ∈ IR : x 0}.
d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y 2 , o único valor de x 0 tal
que f(x) = y.
FUVEST/2009 – 2ª- FASE
11
ANGLO VESTIBULARES
Resolução
a) Sendo xv e yv, nessa ordem, a abscissa e a ordenada do vértice da parábola de equação y = x2 +mx + 2, em
–m
que m é uma constante real, temos xv =
e yv = f(xv).
2
⎛ – m⎞
f(xv) = f ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
2
⎛ m⎞
⎛ – m⎞
yv = ⎜
+ m⋅⎜– ⎟ + 2
⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2 ⎠
yv =
m2 m2
–
+2
4
2
Resposta: A abscissa é
∴ yv =
–m2
+2
4
–m
–m2
e a ordenada é
+2.
2
4
b) Sendo Im o conjunto imagem de f, temos Im = {y ∈ IR: y Esse conjunto contém {y ∈ IR: y 1} se, e somente se,
–m2
+ 2 }.
4
–m2
–m2
–1
+ 2 1. Temos
4
4
m2 4 ∴ m – 2 ou m 2
Resposta: m – 2 ou m 2
c) Pelo item a, podemos concluir que a imagem f é igual {y ∈ IR: y 1} se, e somente se, a ordenada do vértice é igual a 1; yv = 1. Temos:
–m2
+ 2=1
4
m2 = 4 ∴ m = 2 ou m = – 2.
Vejamos os dois casos:
y = x2 + 2x + 2
y = x2 – 2x + 2
(m = 2)
2
2
1
–1
0
(m = –2)
1
x
0
1
x
Como f é crescente em {x ∈ IR: x 0}, devemos considerar apenas o primeiro caso. Logo, m = 2.
Resposta: 2
d) Do item c, temos f(x) = x2 + 2x + 2
y
2
1
0
–1
FUVEST/2009 – 2ª- FASE
12
x
ANGLO VESTIBULARES
De f(x) = y, com y 2 e x 0, temos
x2 + 2x + 2 = y
x2 + 2x + 1 = y – 1
(x + 1)2 = y – 1
x+1=±
y –1
De x 0, temos x + 1 0 e, portanto, x + 1 =
▼
Resposta: – 1 +
y – 1 , ou seja, x = – 1 +
y – 1.
y –1
Questão 9
⎤
π⎡
2
3
Seja x no intervalo ⎥ 0 , ⎢ satisfazendo a equação tg x +
sec x = .
2⎣
2
5
⎦
Assim, calcule o valor de
a) sec x .
⎛
π⎞
b) sen ⎜ x + ⎟ .
4⎠
⎝
Resolução
a) Do enunciado, temos:
3
2
tgx = –
sec x
2
5
Elevando os dois membros ao quadrado e lembrando que tg2 x = sec2 x – 1, temos:
tg2x =
9
6
4
–
sec x + sec2 x
4
5
5
sec2 x – 1 =
9
6
4
–
sec x + sec2 x
4
5
5
1 2
6
13
sec x +
sec x –
=0
5
4
5
Δ=
36 13 49
+
=
5
5
5
–
sec x =
6
5
7
±
5
1
2⋅
5
1
Como 0 x π
2
, temos sec x =
Resposta: sec x =
b) Do item (a), sec x =
5
2
5
2
e, portanto, cos x =
2
5
sen2 x = 1 – cos2 x = 1 –
FUVEST/2009 – 2ª- FASE
5 = 5 = 5
(convém).
2
2
2 5
5
4 1
1
=
∴ senx =
5 5
5
⎛
π⎞
⎜⎝ pois 0 x 2 ⎟⎠
13
ANGLO VESTIBULARES
Assim:
⎛
π⎞
π
π
sen ⎜ x + ⎟ = senx cos + sen cos x
4⎠
4
4
⎝
=
1
=
3 2
5
2
2 2
+
⋅
2
2
5
⋅
2 5
=
3 10
10
▼
⎛
π ⎞ 3 10
Resposta: sen ⎜ x + ⎟ =
4⎠
10
⎝
Questão 10
A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o
retângulo ABCD. Sabe-se que
E
Q
3
2
AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1
1
AP = DQ = .
2
Nessas condições, determine:
—
a) A medida de BP .
b) A área do trapézio BCQP.
c) O volume da pirâmide BPQCE.
AB = CD =
P
D
A
C
B
Resolução
a) Na figura está representado o triângulo isósceles ABE:
E
1
2
1
P
1
2
A
α
3
3
M
4
3
B
4
2
3
4
No triângulo retângulo AEM, temos: cos α =
1
∴ cos α =
3
. Aplicando o teorema dos co-senos ao triân4
2
2
⎛ 3⎞
⎛ 1⎞
1
3
⋅ cos α
gulo ABP, temos: (BP) = ⎜ ⎟ + ⎜
⎟ – 2⋅ ⋅
2 2
⎝ 2⎠
⎝ 2 ⎠
2
(BP)2 =
Resposta:
FUVEST/2009 – 2ª- FASE
1 3
3
3
10
+ –
⋅
∴ BP =
4 4
2
4
4
10
4
14
ANGLO VESTIBULARES
b) Na figura está representado o triângulo equilátero ADE:
E
1
2
1
2
P
Q
1
2
1
2
A
D
1
—
1
AD
Como PQ é base média desse triângulo, temos PQ =
, ou seja, PQ = .
2
2
Considere na figura o trapézio isósceles BCQP:
1
2
P
Q
10
10
4
4
B
R
1
4
S
1
2
1
C
1
4
2
⎛ 10 ⎞
⎛ 1⎞
No triângulo retângulo BPR, temos: (PR)2 + ⎜ ⎟ = ⎜
⎟
⎝ 4⎠
⎝ 4 ⎠
2
∴ PR =
⎞ 3
⎛1
⎜⎝ 2 + 1⎟⎠ ⋅ 4
9
A área pedida é igual a
, ou seja,
.
2
16
9
Resposta:
16
c) Do enunciado, temos a figura ao lado:
—
• EF é altura do triângulo equilátero BCE.
Assim, EF =
3
4
E
1
2
P
1⋅ 3
3
.
∴ EF =
2
2
—
• FG é altura do trapézio isósceles BCPQ.
Q
G
D
A
3
Assim, FG = .
4
—
• EG é altura do triângulo equilátero EPQ.
1
⋅ 3
3
.
∴ EG =
Assim, EG = 2
2
4
C
F
1
B
2
⎛ 3⎞
3
Temos que: (EF) = ⎜
⎟ =
4
⎝ 2 ⎠
2
(I)
2
2
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
3
=
(EG) + (GF) = ⎜
+
⎟
⎟
⎜
4
⎝ 4⎠
⎝ 4 ⎠
2
FUVEST/2009 – 2ª- FASE
2
( II )
15
ANGLO VESTIBULARES
De (I) e (II), segue que o triângulo EFG é retângulo em G.
—
—
— —
Como EG é perpendicular a PQ e GF , EG é perpendicular ao plano que contém o trapézio BCQP. Assim, a
—
altura da pirâmide BPQCE é a medida de EG , ou seja,
3
.
4
O volume V pedido é tal que:
V=
1 9
3
3 3
⋅ ⋅
∴ V=
3 16 4
64
Resposta:
3 3
64
CO MENTÁRIO
Uma prova abrangente, com enunciados claros e precisos, que certamente conseguiu fazer uma avaliação
bastante boa dos conhecimentos específicos do candidato. Como algumas questões traziam mais de dois itens,
os assuntos puderam ser examinados mais detalhadamente, proporcionando uma melhor discriminação nas
notas a serem atribuídas.
Nossos cumprimentos à banca examinadora.
CO MENTÁRIO FI NAL
O vestibular da Fuvest pode ser considerado referência para os vestibulares do país.
Características
Procura selecionar candidatos com boa formação geral e boa formação específica. Para isso, leva em conta,
com muita competência, as noções de conhecimentos gerais (1ª- fase) e conhecimentos específicos (2ª- fase).
Questões compatíveis com os programas propostos, criativas, bem distribuídas pelos principais itens das
diversas disciplinas, com enunciados claros, precisos e concisos.
Tempo de prova suficiente
Parabéns à comissão examinadora e aos alunos bem preparados, que certamente saíram gratificados das
provas desse vestibular.
FUVEST/2009 – 2ª- FASE
16
ANGLO VESTIBULARES