GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
1. (Ufg 2014) Com o objetivo de prevenir assaltos, o dono de uma loja irá instalar uma câmera de segurança. A
figura a seguir representa uma planta baixa da loja, sendo que a câmera será instalada no ponto C e as áreas
hachuradas representam os locais não cobertos por essa câmera.
De acordo com essas informações, a área a ser coberta pela câmera representa, aproximadamente,
A) 90,90% da área total da loja.
B) 91,54% da área total da loja.
C) 95,45% da área total da loja.
D) 96,14% da área total da loja.
E) 97,22% da área total da loja.
2. (Cefet MG 2013) Após mergulhar um ovo em um copo de água de bases (inferior e superior) circulares de
diâmetros 4,8 cm e 7,2 cm, respectivamente, um estudante registrou uma elevação no nível de água de 6 cm para
8 cm, tal como mostra a figura seguinte.
3
Considerando π = 3 , o volume aproximado do ovo, em cm , encontra-se no intervalo
A) [0, 25[.
B) [25, 50[.
C) [50, 75[.
D) [75, 100[.
E) [100, 125[.
3. (Ita 2013) Uma reta r tangencia uma circunferência num ponto B e intercepta uma reta s num ponto A exterior à
ˆ
circunferência. A reta s passa pelo centro desta circunferência e a intercepta num ponto C, tal que o ângulo ABC
ˆ é igual a
seja obtuso. Então o ângulo CAB
1 ˆ
ABC.
2
3
ˆ
B) π − 2 ABC.
2
2 ˆ
C) ABC.
3
ˆ − π.
D) 2 ABC
A)
ˆ − π.
E) ABC
2
4. (Insper 2013) No triângulo ABC da figura, M é ponto médio de AB e P e Q são pontos dos lados BC e AC,
respectivamente, tais que BP = AQ = a e PC = QC = 4a.
2
Os segmentos AP, BQ e CM interceptam-se no ponto O e a área do triângulo BOM é 5 cm . Dessa forma, a
área do triângulo BOP, assinalado na figura, é igual a
2
A) 5 cm .
2
B) 6 cm .
2
C) 8 cm .
2
D) 9 cm .
2
E) 10 cm .
5. (Ita 2011) Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se ainda que AB é o
diâmetro, BC mede 6 cm e a bissetriz do ângulo
intercepta a circunferência no ponto D. Se α e a soma das
2
áreas dos triângulos ABC e ABD e β é a área comum aos dois, o valor de α – 2β , em cm , é igual a
A) 14.
B) 15.
C) 16.
D) 17.
E) 18.
COMENTÁRIO:
Resposta da questão 1:
[C]
AB 1,5
0,682 ⋅ 1,5
=
⇒ AB = 0,682 e A ΔABD =
= 0,51 m2
2,5 5,5
2
FG 1
0,667 ⋅ 1
ΔFGH ~ ΔHIC :
= ⇒ FG = 0,667 e A ΔFGH =
= 0,33 m2
2
3
2
ΔABD ~ ΔDEC :
Área da loja: A = 4 ⋅ 7 − 1,52 − 2 ⋅ 1 = 23,75 m2
Área não coberta pela câmera em porcentagem:
23,75 − 0,51 − 0,33
= 96,46%
23,75
Observação: O resultado apresentado não confere com o gabarito oficial, pois o gabarito oficial considerou que
os ângulos BDA e FHG são congruentes.
Resposta da questão 2:
[C]
Na figura 1:
x
2,4
=
⇒ x = 20
x + 10 3,6
Na figura 2:
r2
26
=
⇒ r2 = 3,12
3,6 30
Na figura 3:
r3
28
=
⇒ r3 = 3,36
3,6 30
Volume do cone da figura 2: V2 =
π ⋅ (3,12)2 ⋅ 26
= 253,1
3
Volume do cone da figura 3: V3 =
π ⋅ (3,36)2 ⋅ 28
= 316,1
3
Volume do ovo = V3 − V2 = 316,1 − 253,1 = 63cm3 .
Resposta da questão 3:
[B]
Considerando que o ponto O é o centro da circunferência e CÂB = x, temos:
ˆ =y
ˆ = OCB
∆OBC é isósceles, logo OBC
AÔC=2y (ângulo externo do ∆OBC)
No ∆ABO: x + 2y = 90° ⇒ x = 90° − 2y (1)
ˆ = 90° + y ⇒ 2.ABC
ˆ = 180° + 2y (2)
ABC
Fazendo (1) + (2), temos:
ˆ = 270°
x + 2.ABC
ˆ
x = 270° − 2.ABC,
ou seja
x=
3π
ˆ (em radianos)
− 2.ABC
2
Resposta da questão 4:
[C]
Seja S a área do triângulo BOP.
Como PC = 4 ⋅ BP, segue que (OPC) = 4 ⋅ (BOP) e (APC) = 4 ⋅ (BAP). Além disso, como ABC é isósceles de base
AB, e M é ponto médio de AB, temos que (BOP) = (AOQ), (COP) = (COQ) e (BOM) = (AOM).
Portanto,
(APC) = 4 ⋅ (BAP) ⇔ (AOQ) + 2 ⋅ (COP) = 4 ⋅ [2 ⋅ (BOM) + (BOP)]
⇔ S + 2 ⋅ 4S = 4 ⋅ (2 ⋅ 5 + S)
⇔ 9S = 40 + 4S
⇔ S = 8 cm2 .
Resposta da questão 5:
[A]
AC = 8 cm (triângulo ABC é retângulo)
Utilizando o teorema da bissetriz interna, temos:
10
6
=
⇔ x = 5 cm
x
8−x
No ∆BCE temos : BE2 = 62 + 33 ⇔ BE = 3 5
Utilizando o relação das cordas, temos :
DE. 3 5 = 5.3 ⇔ DE = 5
∆ADE temos : AD2 +
( 5)
2
= 52 ⇔ AD = 2. 5
2 5 .4 5 6 .8
6.8 6.3
+
= 44 e β =
−
= 15
2
2
2
2
Logo, α - 2.β = 44 - 2.15 = 14
Logo, α =