Introdução
Permutação
Combinações
Métodos de contagem
Francimário Alves de Lima
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
6 de agosto de 2014
Francimário Alves de Lima
Métodos de contagem
Exercı́cios
Introdução
Sumário
1 Introdução
2 Permutação
3 Combinações
4 Exercı́cios
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Combinações
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3 Combinações
4 Exercı́cios
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Introdução
Um sistema de comunicação formado por n antesnas aparentemente
idênticas que devem ser alinhadas em sequências. O sistema resultante será capaz de receber qualquer sinal e será chamado de funcional desde que duas antenas consecutivas não apresentem defeito.
Se m das n antenas apresentarem defeito, qual será a probabilidade
de que o sistema resultante seja funcional?
Qual é o espaço amostral?
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Introdução
Um sistema de comunicação formado por n antesnas aparentemente
idênticas que devem ser alinhadas em sequências. O sistema resultante será capaz de receber qualquer sinal e será chamado de funcional desde que duas antenas consecutivas não apresentem defeito.
Se m das n antenas apresentarem defeito, qual será a probabilidade
de que o sistema resultante seja funcional?
Qual é o espaço amostral?
De quantas maneiras é possı́vel um sistema ser funcional?
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Introdução
Um sistema de comunicação formado por n antesnas aparentemente
idênticas que devem ser alinhadas em sequências. O sistema resultante será capaz de receber qualquer sinal e será chamado de funcional desde que duas antenas consecutivas não apresentem defeito.
Se m das n antenas apresentarem defeito, qual será a probabilidade
de que o sistema resultante seja funcional?
Qual é o espaço amostral?
De quantas maneiras é possı́vel um sistema ser funcional?
Há uma forma mais fácil?
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Combinações
Exercı́cios
O princı́pio básico da contagem
Suponha a realização de dois experimentos. Se o experimento 1 pode
gerar qualquer um de m resultados possı́veis e se, para cada um dos
resultados do experimento 1, houver n resultados possı́veis para o
experimento 2, então os dois experimentos possuem conjuntamente
mn diferentes resultados possı́veis.
Ex. 1: Uma pequena comunidade é composta por 10 mulheres, cada
uma com 3 filhos. Se uma mulher e um de seus filhos devem
ser escolhidos como mãe e filho do ano, quantas escolhas
diferentes são possı́veis?
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O princı́pio básico da contagem
Suponha a realização de dois experimentos. Se o experimento 1 pode
gerar qualquer um de m resultados possı́veis e se, para cada um dos
resultados do experimento 1, houver n resultados possı́veis para o
experimento 2, então os dois experimentos possuem conjuntamente
mn diferentes resultados possı́veis.
Ex. 1: Uma pequena comunidade é composta por 10 mulheres, cada
uma com 3 filhos. Se uma mulher e um de seus filhos devem
ser escolhidos como mãe e filho do ano, quantas escolhas
diferentes são possı́veis?
Ex. 2: Quantas diferentes placas de automóvel com 7 caracteres são
possı́veis se os três primeiros campos forem ocupados por
letras e os 4 campos finais por números?
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O princı́pio básico da contagem
Suponha a realização de dois experimentos. Se o experimento 1 pode
gerar qualquer um de m resultados possı́veis e se, para cada um dos
resultados do experimento 1, houver n resultados possı́veis para o
experimento 2, então os dois experimentos possuem conjuntamente
mn diferentes resultados possı́veis.
Ex. 1: Uma pequena comunidade é composta por 10 mulheres, cada
uma com 3 filhos. Se uma mulher e um de seus filhos devem
ser escolhidos como mãe e filho do ano, quantas escolhas
diferentes são possı́veis?
Ex. 2: Quantas diferentes placas de automóvel com 7 caracteres são
possı́veis se os três primeiros campos forem ocupados por
letras e os 4 campos finais por números?
Ou seja, este será o nosso espaço amostral!
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1 Introdução
2 Permutação
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Permutação
Quantos diferentes arranjos ordenados das letras a, b, e c são possı́veis? Res.: 3! que são (abc, acb, bca, cab e cba).
Cada combinação é conhecida como uma permutação. Esse resultado poderia ser obtido a partir do princı́pio básico. Para o caso de
n objetos essa quantidade é n!.
Ex. 3: Quantas diferentes ordens de rebatedores são possı́veis em um
time de beisebol formado por 9 jogadores?
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Quantos diferentes arranjos ordenados das letras a, b, e c são possı́veis? Res.: 3! que são (abc, acb, bca, cab e cba).
Cada combinação é conhecida como uma permutação. Esse resultado poderia ser obtido a partir do princı́pio básico. Para o caso de
n objetos essa quantidade é n!.
Ex. 3: Quantas diferentes ordens de rebatedores são possı́veis em um
time de beisebol formado por 9 jogadores?
Ex. 4: Quantos diferentes arrajos de letras pode ser formados a partir
das letras PEPPER?
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Ideia
Estamos frequentemente interessados em determinar o número de
grupos diferentes de r objetos que podem ser formados a partir de
um total de n objetos. Por exemplo, quantos diferentes grupos de
3podem ser selecionados dos 5 itens A, B, C , D e E ? Res.:
5x4x3
= 10
3x2x1
Em geral, tem-se que o número de grupos diferentes de r itens que
poder ser formados a partir de um conjunto de n intes é
n
n(n − 1)...(n − r + 1)
n!
=
=
r
r!
(n − r )!r !
Em que, r é o número de itens que será escolhidos dentre os n.
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Ex. 5: Um comitê de três pessoas deve ser formado a partir de um
grupo de 20 pessoas. Quantos comitês diferentes são
possı́veis?
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Ex. 5: Um comitê de três pessoas deve ser formado a partir de um
grupo de 20 pessoas. Quantos comitês diferentes são
possı́veis?
Ex. 6: Considere um conjunto de n antenas das quais m apresentam
defeito e n − m funcionam, e suponha que n]ao seja possı́vel
distinguir as antenas defeituosas daquelas que funcionam.
Quantos alinhamentos podem ser feitos sem que duas antenas
com defeito sejam colocadas lado a lado?
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Exercı́cios
1 O grêmio de uma faculdade é formado por 3 calouros, 4
estudantes do segundo ano, 5 estudantes do terceiro ano e 2
formados. Um subcomitê de 4 pessoas, formado por uma
pessoa de cada ana, deve ser escolhido. Quantos subcomitês
diferentes são possı́veis?
2 Quanas funções difinidas em n pontos são possı́veis se cada
valor da função for igual a 0 ou 1?
3 No exemplo 2, quantas placas de automóvel seriam possı́veis
se a repetição entre letras ou números fosse proibida?
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Exercı́cios
4 Uma turma de teoria da probabilidade é formada por 6
homens e 4 mulheres. Aplica-se uma prova e os estudantes
são classificados de acordo com o seu desempenho. Suponha
que nenhum dos estudantes tenha tirado a mesma nota.
(a) Quantas diferentes classificações são possı́veis?
(b) Se os homens forem classificados apenas entre si e as
mulheres apenas entre si, quantas diferentes classificações são
possı́veis?
5 A Sra. Jones possui dez livros que pretende colocar em sua
prateleira. Destes. quatro são de matemática, três são de
quı́mica, dois são de história e um é um livro de lı́nguas. A
Sra. Jones deseja arranjá-los de forma que todos os ivros que
tratam do mesmo assunto permaneçam juntos na prateleira.
Quantos diferentes arranjos são possı́veis?
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Exercı́cios
6 Um torneio de xadrez tem dez competidores, dos quais
quatros são russos, três são dos EUA, dois são da
Grã-Bretanha e um é do Brasil. Se o resultado do torneio
listar apenas a nacionalidade dos jogadores em sua ordem de
colocação, quantos resutados serão possı́veis?
7 Quantos diferemtes sinais, cada um deles formado por nove
bandeiras alinhadas, podem ser feitos a partir de un conjunto
de quatro bandeiras brancas, três bandeiras vermelhas e duas
bandeiras azuis se todas as bandeiras de mesma cor forem
idênticas?
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Exercı́cios
8 De um grupo de cinco mulheres e sete homens, quantos
comitês diferentes formados por duas mulheres e três homesn
podem ser formados? E se dois dos homens estiverem
brigados e se recusarem a trabalhar juntos?
9 Quantos subconjuntos existem em um conjunto de n
elementos?
ROSS, Sheldon. Probabilidade: Um curso moderno com
aplicações. 8. ed. Tradutor: Alberto De Conti. Porto Alegre:
Bookman, 2010. Pg 15 até 25.
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