PROJETOS DE SISTEMAS DE CONTROLE
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Aula 8 – Controladores do tipo Proporcional, Integral e Diferencial
Introdução
Estrutura do Controlador PID
Efeito da Ação Proporcional
Efeito da Ação Integral
Efeito da Ação Derivativa
Sintonia de Controladores PID
Problemas
Bibliografia
Introdução
Controladores do tipo Proporcional, Integral e Derivativo, comumente denominados de PID, são
controladores largamente utilizados no cenário industrial. Segundo Aströn [1], entre 90 e 95% dos
problemas de controle são solucionados empregando tais controladores, podendo considerá-los como “o
pão e a manteiga” da engenharia de controle. Tal utilização deve-se ao fato deste controlador ser facilmente
implementável, de baixo custo e versátil com capacidade de alterar os comportamentos transitório e de
regime permanente dos processos sob controle. Atualmente, a maioria dos processos automatizados que
utilizam Controladores Lógicos Programáveis – CLP’s, possuem em suas malhas de controle algoritmos
PID, cabendo aos engenheiros e técnicos resposáveis pelo processo a tarefa de sintonia dos parâmetros dos
controladores. De acordo com [1], a principal razão para a baixa performance de processos automatizados
está relacionada a problemas em válvulas, sensores e a sintonia incorreta dos controladores PID
empregados junto aos processos. Nesta aula será apresentada a estrutura básica de um controlador do tipo
PID, discutindo-se o efeito que cada uma das ações Proporcional, Integral e Derivativa causa sobre a
variável do processo a ser controlada.
Estrutura do Controlador PID
De forma a apresentar a estrutura de um controlador PID, considera-se inicialmente o sistema de
controle em malha-fechada apresentado na Figura 8.1.
r(t)
e(t)
+
y(t)
u(t)
Controlador
Processo
_
Fig. 8.1: Diagrama de blocos de um sistema de controle em malha-fechada.
Em linhas gerais a tarefa do controlador apresentado na Figura 8.1 é a de, com base no sinal de
diferença existente entre o sinal de referência r(t) e o sinal de saída y(t), gerar em sua saída um sinal de
controle u(t) que seja capaz de corrigir e se possível anular tal diferença. No caso específico do controlador
PID, a lei de controle descrita pelo bloco do controlador é composta de três termos, i.e,
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1
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u (t ) = u p ( t) + u i (t) + u d (t)
(8.1)
Cada um dos termos do lado direito da equação (8.1) são individualmente associados a cada um dos tipos
de ações do controlador. Em nível de blocos, o controlador PID apresentado na Figura 8.1, pode ser
representado conforme a Figura 8.2. Nesta representação observa-se que o sinal de erro e(t) é utilizado
como entrada em três blocos distintos.
up(t)
K
+
e(t)
ò
K i (.)dt
ui(t) +
u(t)
+
d(.)
Kd
dt
ud(t)
Controlador PID
Fig. 8.2: Diagrama de blocos de um controlador do tipo PID.
O bloco superior, constituído de uma constante K, é o responsável pela ação proporcional do controlador. O
sinal de saída deste bloco é dado pela seguinte equação:
u p ( t ) = Ke( t )
(8.2)
De forma análoga, pode-se escrever os sinais de saída relativos aos blocos integral e derivativo,
apresentados nas equações (8.3) e (8.4), i.e.
ò
u i ( t ) = K i e( t )dt
u d (t ) = K d
(8.3)
de( t )
dt
(8.4)
O efeito de cada uma destas ações e suas implicações no comportamento dinâmico de um sistema de
controle serão apresentados na seqüência.
Efeito da Ação Proporcional
O efeito das ações proporcional, integral e diferencial será analisado considerando-se com
exemplo um sistema de controle de velocidade apresentado na Figura 8.3.
r(t)
e(t)
+
u(t)
Kp
_
Amplificador
de Potência
Motor e
Carga
100
s + 100
1
s + 36
y(t)
Fig. 8.3: Exemplo de um sistema de controle de velocidade com controle proporcional.
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Consideremos, por simplicidade, que a análise do efeito da variação do ganho proporcional será
realizada admitindo um sinal de referência r(t) do tipo degrau. Pode-se observar pelas Figuras 8.4 e 8.5, que
o aumento do ganho proporcional tem impacto direto na rapidez da curva de resposta do sistema, na
máxima sobrepassagem do sinal de saída e no valor do erro de regime permanente.
A rapidez da curva de resposta do sistema e a máxima sobrepassagem devem-se ao fato de que o
incremento do ganho proporcional ocasiona um incremento na freqüência w0dB tendo por conseqüência um
aumento na largura de banda do sistema de controle em malha-fechada. Uma vez que a curva de fase do
sistema permanecerá inalterada independentemente do valor associado ao ganho Kp, a margem de fase
deste sistema irá diminuir implicando aumento na máxima sobrepassagem.
Fig. 8.4: Respostas ao degrau e seus respectivos sinais de controle para quatro valores
distintos de ganhos proporcional: caso 1: K=100, caso 2: K=50, caso 3: K=20 e caso 4: K=10.
Fig. 8.5: Respostas em freqüência do sistema de controle da Figura 8.3 para quatro valores
distintos de ganhos proporcional: caso 1: K=100, caso 2: K=50, caso 3: K=20 e caso 4: K=10.
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O erro em regime permanente deste sistema pode ser analisado com base na sua função de
transferência de malha-aberta, ou seja
G (s) = K
100
(s + 100)(s + 36)
(8.5)
Admitindo-se como referência um sinal do tipo degrau de amplitude unitária tem-se que o erro de regime
permanente é dado por
e ss =
1
1+ K p
(8.6)
sendo
K p = lim G (s) =
s ®0
100K
3600
(8.7)
concluindo-se por (8.7) que o aumento do ganho do controlador proporcional diminuirá o erro de regime
permanente apresentado na equação (8.6).
Efeito da Ação Integral
O efeito da ação integral será analisado com base em um controlador do tipo Proporcional Integral
- PI. Neste caso será considerado constante o ganho proporcional – K, variando-se apenas a constante de
tempo de integral – Ti1. A lei de controle associada a este tipo de controlador é apresentada na equação
(8.8).
æ
1
u ( t ) = Kçç e( t ) +
Ti
è
ö
ò e(t )dt ÷÷ø
(8.8)
De forma similar a realizada no caso do controle puramente Proporcional, o efeito da variação da
ação integral será observado nas curvas de resposta temporal da variável de saída do processo, Figura 8.6, e
nas curvas de resposta em freqüência do sistema apresentadas nas Figuras 8.7.
Fig. 8.6: Respostas ao degrau e seus respectivos sinais de controle para quatro valores
distintos para a constante de tempo integral: caso 1: Ti=0.05, caso 2: Ti=0.02, caso 3: Ti=0.01
e caso 4: Ti=0.008, sendo em todos os casos admitido ganho proporcional K=100.
1
Em muitas referências é citado o ganho integral como Ki = K/Ti.
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Observa-se que aumentando a ponderação da ação integral, o sistema fica mais oscilatório
apresentando um sobrepasso mais elevado. Tal conclusão pode ser obtida diretamente da função de
transferência do controlador PI, extraída da equação em (8.8), e das curvas de resposta em freqüência deste
controlador para cada um dos casos estabelecidos na Figura 8.6, apresentados na Figura 8.8.
G PI (s) = K
s+ 1
Ti
s
(8.9)
Fig. 8.7: Resposta em freqüência do sistema de controle da Figura 8.3, com controlador PI,
admitindo quatro valores distintos para a constante de tempo integral: caso 1: Ti=0.05,
caso 2: Ti=0.02, caso 3: Ti=0.01 e caso 4: Ti=0.008, com ganho proporcional K=100.
Fig. 8.8: Resposta em freqüência do controlador PI descrito em (8.9), para cada um dos
casos considerados na Figura 8.7.
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1.
2.
Com base nas Figuras 8.7 e 8.8, explicar porque o sistema com controle Proporcional Integral
torna-se mais oscilatório com o aumento do ganho integral – Ki.
Concluir, da mesma forma que foi realizado no caso do controle puramente proporcional, qual
o influência no erro de regime permanente causada pelo controlador PI.
As curvas de resposta em freqüência dos controladores proporcional, primeiro caso, e proporcional
integral, segundo caso, diferem claramente em fase uma vez que a inclusão do pólo na origem ocasionada
pela inserção do modo integral vem acompanhada de uma contribuição de fase de –90o, impactando
diretamente na margem de fase do sistema como um todo, controlador e processo. Observa-se também, nas
curvas de resposta temporal apresentadas na Figura 8.6, que o aumento da ação integral fez com que o
comportamento transitório do sistema em malha-fechada se torna-se predominante oscilatório.
Efeito da Ação Derivativa
Da mesma forma que no caso anterior, o efeito da ação derivativa será analisado com base em um
controlador do tipo Proporcional Derivativo - PD. Neste caso será considerado constante o ganho
proporcional – K, variando-se apenas a constante de tempo derivativa – Td. A lei de controle associada a
este tipo de controlador é apresentada na equação (8.8), i.e.
de( t ) ö
æ
(8.8)
u ( t ) = Kç e( t ) + Td
÷
dt ø
è
A interpretação da ação derivativa pode ser realizada, admitindo-se a expansão em série de Taylor
do sinal de erro predito Td segundos a frente do instante de tempo presente “t”, truncada no termo de
primeiro ordem, dada por
de( t )
(8.9)
e(t + Td ) » e( t ) + Td
dt
Fig. 8.9: Interpretação física da ação preditiva inserida pelo modo derivativo.
Comparando as equações (8.8) e (8.9), observa-se que o sinal de controle resultante do controlador
Proporcional Derivativo é proporcional ao valor do sinal de erro estimado Td segundos a frente, através de
uma extrapolação linear ilustrada na Figura 8.9. Conforme observado em Aströn [1], em muitas aplicações
práticas os sinais de referência são constantes por partes, significando que a parcela relativa a variável de
referência, presente no sinal de erro, somente terá valor para a ação derivativa quando houver variação no
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sinal de referência. Nestes instantes porém, a derivada tenderia a assumir valores infinitamente grandes,
casos em que a extrapolação linear não se aplicaria. Da mesma forma, a extrapolação linear não é uma boa
aproximação para sinais que variam rapidamente quando comparados ao horizonte de predição Td. De
forma a minimizar tais problemas, o termo derivativo dos controladores Proporcionais Derivativos são
comumentes realizados com base na seguinte função de transferência:
G d (s) =
KTd s
T
1+ s d
(8.10)
N
Tal realização pode ser mais bem entendida como uma pré-filtragem, através de um filtro passa-baixas, do
sinal de erro e(t), definido na Figura 8.1 como e(t) = r(t)-y(t).
De forma similar a realizada no caso do controle puramente proporcional, o efeito da variação do
ganho derivativo será observado nas curvas de resposta temporal da variável de saída do processo, Figura
8.10, e nas curvas de resposta em freqüência do sistema apresentadas nas Figuras 8.11, apresentadas na
seqüência.
Fig. 8.10: Respostas no tempo e em freqüência para quatro valores distintos de ganho
derivativo: caso 1: Td=0.001, caso 2: Td=0.002, caso 3: Td=0.005 e caso 4: Td=0.01,
sendo em todos os casos admitido ganho proporcional K=100.
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A Figura 8.11 apresentada a seguir, ilustra o comportamento em freqüência de um controlador
Proporcional Derivativo, descrito pela função de transferência (8.11).
G PD (s) = K +
KTd s
T
1+ s d
(8.11)
N
Fig. 8.11: Resposta em freqüência do controlador PD, para cada um dos
casos considerados na Figura 8.9, admitindo N=20.
1.
2.
3.
Conclua sobre o efeito da ação derivativa na resposta da variável de saída de um sistema
operando em malha-fechada que utiliza um controlador do tipo PD.
Estabeleça as semelhanças existentes entre os controladores PI, PD e os controladores de atraso
e avanço de fase. Estender a análise para o caso dos controladores PID e os controladores de
atraso e avanço de fase.
Um dado sistema de controle apresenta as seguintes curvas de resposta em freqüência:
Fig. 8.12: Diagrama de Bode de malha-aberta de um dado processo.
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i.
Desenhar o diagrama de blocos do sistema operando apenas com o controlador PD
(Proporcional e Derivativo), ressaltando o controlador e o processo;
Esquematizar o diagrama de blocos do controlador PD, com os blocos relativos a cada
uma das ações, Proporcional e Derivativa;
Esboçar o sinal de saída de cada um destes blocos (bloco proporcional e bloco derivativo),
admitindo como sinal de referência um degrau de amplitude unitária.
Com base no diagrama de bode do sistema, porque não é necessário empregar a ação
integral do controlador PID para que este sistema siga um sinal de referência do tipo
degrau com erro de regime permanente nulo.
ii.
iii.
iv.
4.
Um motor de corrente contínua com excitação constante é representado por:
v( t ) = Ri( t ) + L
di( t )
+ e( t )
dt
As grandezas v(t), i(t), R e L são, respectivamente, a tensão, a corrente, a resistência e a indutância
de armadura do motor e e(t) é a tensão induzida na armadura, que é proporcional a velocidade do
motor.
No controle i(t), é utilizada uma fonte de tensão CC de saída variável que é modelada com um
sistema de 1ª ordem dado por:
V (s) =
Vr (s)
sTf + 1
onde:
-
V(s) e Vr(s) são, respectivamente, as Transformadas de Laplace das tensões de saída da fonte
de referência;
Tf é a constante de tempo da fonte, igual a 0.5ms;
Calcule os parâmetros Kp e Ki de um controlador PI contínuo para o controle i(t), conforme a
Figura 8.12 abaixo, de forma a compensar por cancelamento, o pólo dominante do sistema s=-R/L e
a definir um sistema de malha-fechada com pólos complexos
s1,2 =
-1 ± j
2Tf
A tensão e(t) pode ser considerada nula no cálculo do controlador por variar lentamente. Os
parâmetros do motor são R=0.5W e L=1.5 mH.
Fig. 8.12: Diagrama de blocos do sistema de controle proposto.
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Sintonia de Controladores PID
A tarefa de sintonia de controladores Proporcional, Integral e Derivativo, na maioria dos casos é
realizada de forma empírica pelos operadores e técnicos responsáveis pelo processo sob controle. A tarefa
basicamente consiste em variar os ganhos do controlador e avaliar o impacto destas variações junto a
variável de saída do processo. Ainda assim, por vezes, encontrar o conjunto de ganhos satisfatórios para o
início da operação de um dado processo pode resultar em uma tarefa enfadonha e nada sistemática. Visando
sistematizar tal tarefa em 1942, Ziegler e Nichols [7] publicaram um trabalho que, com base em alguns
dados experimentais do processo, o operador fosse capaz de determinar um conjunto de parâmetros iniciais,
Kp, Ki e Kd de controladores tipo PID. Este trabalho deu origem a dois métodos distintos de sintonia,
conhecidos como métodos de Ziegler-Nichols, apresentados na seqüência.
Primeiro Método – Curva de Reação
Com base nos métodos de modelagem de processos industriais através da análise do comportamento
da variável de saída do processo operando em malha-aberta, empregando como sinal de referência um
valor constante em sua entrada, apresenta-se nesta seção o procedimento para determinação dos parâmetros
de sintonia de controladores PID baseado na função de transferência aproximada obtida por métodos de
modelagem não-paramétrica de um processo dada pela equação 8.12.
Gp(s) =
K c e -qs
ts + 1
(8.12)
O conjunto de parâmetros iniciais que serão empregados no controlador PID, isto é, os ganhos
proporcional, integral e derivativo, serão determinados com base nas tabelas 8.1 e 8.2. Observa-se que tais
valores correspondem ao ponto inicial de ajuste dos parâmetros do controlador para aqueles processos que
apresentam características de auto-regulação.
Controlador
Ziegler-Nichols
Proporcional
æq ö
KK c = ç ÷
èt ø
-1.0
Cohen-Coon
æq ö
KK c = ç ÷
èt ø
-1.0
+ 0.333
3C
æq ö
KK c = 1.208ç ÷
èt ø
-0.956
-1.0
Proporcional
+
Integral
æq ö
KK c = 0.9ç ÷
èt ø
Ti
æq ö
= 3.33ç ÷
t
èt ø
-1.0
æq ö
KK c = 0.9ç ÷ + 0.082
èt ø
é
æq öù
ç ÷ú
ê
t
æ q öê
3.33ç ÷ 1.0 + è ø ú
11.0 ú
è t øê
ê
ú
Ti
ë
û
=
t
æq ö
1.0 + 2.2ç ÷
èt ø
æq ö
KK c = 0.928ç ÷
èt ø
Ti
æq ö
= 0.928ç ÷
t
èt ø
-0.946
0.583
Tabela 8.1: Parâmetros do controlador P e PI.
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Controlador
Ziegler-Nichols
Cohen-Coon
3C
-1.0
Proporcional
+
Integral
+
Derivativo
æq ö
KK c = 1.2ç ÷
èt ø
Ti
æq ö
= 2.0ç ÷
t
èt ø
Td
æq ö
= 0.5ç ÷
t
èt ø
-1.0
æq ö
KK c = 1.35ç ÷ + 0.27
èt ø
é
æq öù
ç ÷ú
ê
t
æ q öê
2.5ç ÷ 1.0 + è ø ú
5 .0 ú
è t øê
ê
ú
Ti
ë
û
=
t
æq ö
1.0 + 0.6ç ÷
èt ø
æq ö
0.37ç ÷
Td
èt ø
=
t
æq ö
1.0 + 0.2ç ÷
èt ø
æq ö
KK c = 1.370ç ÷
èt ø
Ti
æq ö
= 1.3514ç ÷
t
èt ø
Td
æq ö
= 0.365ç ÷
t
èt ø
-0.950
0.738
0.950
Tabela 8.2: Parâmetros do controlador PID.
A tabela 8.1 e 8.2 apresentam os procedimentos de cálculo a ser utilizado para determinação dos
ganhos de controladores do tipo Proporcional, Proporcional Integral e Proporcional Integral e Derivativo,
sendo Kp = K, Ki = K / Ti e Kd = KTd .
6. Determine um modelo equivalente de primeira ordem com atraso de transporte do processo
representado pela função de transferencia G(s). O diagrama de simulação e a resposta temporal a
uma entrada do tipo degrau unitário são apresentadas nas Figuras 8.13 e 8.14. Preencha a tabela 8.3
empregando os métodos apresentados.2
1
G(s) =
(8.13)
(s + 0.5)(s + 1)(s + 1)(s + 2)
Fig. 8.13: Sistema original e aproximado .
2
Este exercício foi desenvolvido na nota de aula nº 9.
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Fig. 8.14: Resposta temporal do sistema G(s) original.
Atraso de Transporte (q)
Método 1
Constante de Tempo (T)
Ganho (K)
Método 2
Método 3
Tabela 8.3: Parâmetros das funções de transferencias aproximadas utilizando os métodos apresentados.
7. Determine o ajuste do controlador (P, PI e PID), empregando as Tabelas 8.1 e 8.2, para o sistema
de controle apresentado na Fig. 8.15. O processo G(s) é definido pela equação 8.13 e.os parâmetros
do sistema aproximado são apresentados na tabela 8.3.
ref(t)
+
_
e(t)
Controlador
u(t)
G(S)
y(t)
Fig.8.15: Sistema de controle em malha-fechada.
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Segundo Método - Sensibilidade Limiar
Para empregar diretamente esse método de Ziegler-Nichols no ajuste dos ganhos do controlador PID
é utilizado a representação do controlador PID apresentada na equação 8.14.
æ
ö
1
PID( s ) = K × çç1 +
+ Td × s ÷÷
T
×
s
i
è
ø
(8.14)
onde K é o ganho do controlador, Ti é a constante de tempo do modo integral e Td é a constante de tempo
do modo derivativo.
O método de Ziegler-Nichols consistem em ajustar um ganho Kcr de maneira que o sistema apresente
uma oscilação sustentada na saída para um sinal de referencia do tipo degrau. O diagrama de blocos para
realizar este teste é apresentado na Fig. 8.16. Obtendo o valor de ganho critico e o período da oscilação do
sinal de saída emprega-se a tabela 8.4 para encontrar os ganhos do controlador.
+
G(s)
KCR
-
PCR
H(s)
Fig. 8.16: Diagrama de blocos para identificar o ganho e período critico.
Kp
Ti
Td
P
0.5*Kcr
¥
0
PI
0.45*Kcr
(1/1.2)*Pcr
0
PID
0.6*Kcr
0.5*Pcr
0.125*Pcr
Tipo Controlador
Tabela 8.4: Método de Ziegler-Nichols para ajuste de PID.
Para empregar este método o sistema deve ser capaz de instabilizar com o aumento do ganho. Um
sistema que é naturalmente estável para qualquer ganho positivo não pode produzir uma oscilação sem
amortecimento no sinal de saída.
O procedimento para encontrar o ganho e o período critico é experimental, não há necessidade do
conhecimento explicito da função de transferencia do sistema, basta conhecer sua resposta em freqüência.
Entretanto, conhecida a função de transferencia do processo pode ser utilizado o critério de Routh para
avaliar a estabilidade.
Os valores encontrados de ganho não garantem uma característica de resposta temporal
predeterminada, apenas indica uma região de operação favorável. Deve ser feito um ajuste manual em cada
ganho para obter a característica de resposta desejada.
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8.
Um dado sistema de controle apresenta na Figura 8.17, com a função de transferência do processo G(s)
dada pela equação 8.15. Determine:
i.
Empregar o método de ajuste de controladores– Ziegler-Nichols - para determinação dos ganhos
dos controladores P, PI e PID;
Especificar utilizando o método do LGR, a característica (sobresinal, erro de regime e tempo de
estabilização) da resposta temporal do sistema com o controlador proporcional com o ganho
ajustado no item i. Como é possível melhorar a performance deste sistema de controle? Justifique
sua resposta.
Especificar utilizando o método do LGR, a característica (sobresinal, erro de regime e tempo de
estabilização) da resposta temporal do sistema com o controlador proporcional e integral ( PI )
com os ganhos ajustados no item i. Como é possível melhorar a performance deste sistema de
controle? Justifique sua resposta.
Especificar utilizando o método do LGR, a característica (sobresinal, erro de regime e tempo de
estabilização) da resposta temporal do sistema com o controlador proporcional, integral e
derivativo ( PID ) com os ganhos ajustados no item i. Como é possível melhorar a performance
deste sistema de controle? Justifique sua resposta.
ii.
iii.
iv.
R(s) +
E(s)
Controlador
U(s)
G(s)
Y(s)
Fig. 8.17: Sistema de controle
G (s) =
9.
K
s(s + 36)(s + 100)
(8.15)
Um dado sistema de controle apresenta as seguintes curvas de resposta em freqüência:
Fig. 8.18: Resposta em freqüência de um sistema de controle.
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i.
ii.
iii.
iv.
v.
Empregar o método de ajuste de controladores exposto em aula – Ziegler-Nichols - para
determinação dos ganhos do controlador PID;
Desenhar o diagrama de blocos do sistema operando apenas com o controlador PD (Proporcional e
Derivativo), ressaltando o controlador e o processo;
Esquematizar o diagrama de blocos do controlador PD, com os blocos relativos a cada uma das
ações, Proporcional e Derivativa;
Esboçar o sinal de saída de cada um destes blocos (bloco proporcional e bloco derivativo),
admitindo como sinal de referência um degrau de amplitude unitária.
Com base no diagrama de bode do sistema, porque não é necessário empregar a ação integral do
controlador PID para que este sistema siga um sinal de referência do tipo degrau com erro de
regime permanente nulo.
Bibliografia
[1] Aströn, K. J., Hägglund, T., “PID Control”, The Control Handbook, IEEE Press, 1996.
[2] Aströn, K. J., Hägglund. T., “PID Controllers, Theory, Design and Tuning”, 2º Edition, Instrument
Society of America, 1995.
[3] Wolovich, W.A., Automatic Control Systems, Saunders College Publishing.
[4] Nise, N.S., Control System Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, Second Edition.
[5] Franklin, G.F., Powell, J.D. & Naeini, E., Feedback Control of Dynamics Systems, Addison-Wesley
Publishing Company.
[6] Dorf, R.C. & Bishop, R.H., Modern Control Systems, Addison-Wesley Publishing Company.
[7] Ziegler, J.G. and Nichols, B.N., “Optimum Settings for Automatic Controllers” , Transactions of the
ASME, Vol.64, n° 11, Nov.1942
Professores: Luís Fernando Alves Pereira & José Felipe Haffner
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