Os Efeitos da Gravidade na Calibração de Balanças
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OS EFEITOS DA GRAVIDADE NA CALIBRAÇÃO DE BALANÇAS
A Terra exerce sobre todos os corpos que se acham ao redor dela uma força que se
comporta como se atraísse todos os corpos para o centro do planeta. O campo desenvolvido
por esta força é o campo de gravidade, cujas linhas de força são dirigidas para o centro da
Terra. Vê-se que o peso de um corpo varia com a altitude e latitude, pois os raios da Terra
não têm o mesmo valor em todas as latitudes: São menores nos pólos e maiores no
Equador. Daí serem os corpos mais pesados nos pólos que no Equador. O Brasil está
situado no hemisférico sul, entre as latitudes de 5° norte e 35° sul. A intensidade da
gravidade aumenta na direção norte-sul do país, ou seja, uma mesma carga pesa bem mais
em Porto Alegre( latitude de 30° 01’sul) do que em Belém (latitude de 1° 27’sul). Todos os
cálculos desenvolvidos neste trabalho leva em conta a aceleração ao nível da linha do
equador, latitude de 0°. Tomado esse referencial, foram calculados a aceleração da
gravidade em São José dos Campos, mas precisamente no Laboratório Central de
Calibração do CTA cujo valor passou a ser o referencial para todos os outros cálculos da
gravidade.
Devido a esses fatos, não devemos ignorar a influência da gravidade no resultado da
medição de um dinamômetro, uma célula de carga, uma balança eletrônica, uma balança de
peso morto ou até mesmo um fluxômetro.
PRINCÍPIO
Sendo g2 > g1 . g2 é a aceleração da gravidade onde foi calibrado a balança e g1 a
aceleração onde será usada a balança. Neste caso, temos:
P1 = Mg1
P2 = Mg 2
P2 > P1
Para que a balança indique a mesma leitura, devemos acrescentar um ∆m no local
de menor gravidade ou diminuir um ∆m do local de maior gravidade. Neste caso:
P1=P2
Mg1 = Mg2 - ∆mg2
∆m g 2 − g1
=
M
g2
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O erro relativo é:
∆m
M
Uma balança que é calibrada no Laboratório Central de Calibração do CTA/IFI,
onde g1= 9,787983m/s2 e é utilizada, em uma região do Rio de Janeiro, onde g2 =
E1 =
E2 =
g 2 − g1
g2
9,787902m/s2.
O erro devido o efeito da gravidade é:
(9,787902 – 9,787983) / 9,787983= -0,000008275 para cada quilograma aplicado.
Se esta mesma balança é operada, por exemplo, em uma região do Estado de São
Paulo, onde g2 = 9,788141m/s2, o erro será:
(9,788141 – 9,787983) / 9,787983 = 0,00001614 para cada quilograma aplicado.
A tabela abaixo mostra os erros causados, nos Estados de São Paulo e Rio de
Janeiro, pelo efeito da gravidade numa balança de 200g de carga máxima e com leitura de
1mg.
TABELA I:
CARGA
(Kg)
10
25
50
75
100
Erro em
gramas
no
RJ
-0,08
-0,21
-0,41
-0,62
-0,83
Erro em
gramas
em
SP
0,16
0,40
0,81
1,21
1,61
A Portaria do Inmetro nº 236/94 classifica os instrumentos de pesagem nãoautomáticos em quatro classes de exatidão:
TABELA II:
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ERROS
MÁXIMOS
± 0,5e
±1,0e
±1,5e
PERMITIDOS
ESPECIAL (I)
200.000 < n
0≤ n ≤ 50.000 50.000 < n ≤ 200.000
FINA(II)
0 ≤ n ≤ 5.000
5.000 < n ≤ 20.000 20.000 < n ≤ 100.000
MÉDIA(III)
0 ≤ n ≤ 5.00
5.00 < n ≤ 2.000
2.000 < n ≤ 10.000
ORDINÁRIA(IIII
0 ≤ n ≤ 5.0
5.0 < n ≤ 2.00
2.00 < n ≤ 1.000
Fonte: Procedimento Interno de Calibração de Balanças do LRC – PAMASP.
Vamos tomar a balança anterior e verificar o erro causado pela gravidade:
Carga Máxima = 200g
Leitura = 1mg
Número de divisões (n) = (Carga Máxima) : Leitura.
n = 200.000.
Pela tabela II o erro máximo para essa balança é ±1,5mg (categoria especial). A tabela I
mostra que em ambos os Estados, o erro máximo permitido foi excedido em todas as
leituras: Da carga mínima até a máxima. Balança deste tipo, vide figura I abaixo, é usada
em Laboratório de Química ou em Laboratório de Medidas de Massa.
Fig I: Balança usada no Laboratório Central de Calibração do CTA
Para uma balança com carga máxima de 120Kg e com leitura de 1,0Kg, o erro
máximo na carga de 120Kg é ±1,0Kg (categoria ordinária). A figura II mostra um exemplo
deste tipo de balança.
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Fig II: Balança comum
2) ALTITUDE: Quanto mais altos se encontrarem os corpos, tanto mais afastados estarão
do centro da Terra, portanto, menos atraídos serão. Seja g a intensidade da gravidade ao
nível do mar e gh na altura h. Pela lei de Newton podemos escrever:
(R + h )
g
=
gh
R2
ou
gh
R
=
g
R+h
2
Onde, R = 6.378.136 metros (raio médio da Terra) e g é a aceleração da gravidade
ao nível da linha do equador.
Trabalhando um pouco mais a expressão acima, temos:
5h
gh = g
4R
Então, a aceleração da gravidade perde 2,0x10 –7h, para cada metro que se eleva
acima do solo. Uma balança que é calibrada num local, por exemplo, no Laboratório
Central de Calibração do CTA ( São José dos Campos) que está a uma altitude de
646metros e é transportada para o Laboratório Regional de Calibração do PAMASP, em
São Paulo, que está a 722 metros tem um erro, evidentemente, devido a altitude.Pela
portaria do Inmetro nº 236/94 e a tabela II, podemos calcular a altura mínima para cada
classe de balança. Seja
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5h
4R
usada para uma balança de classe fina, temos a altura mínima:
gh = g
5h
≤ 0,001x10 −3 x0,5
4R
Onde, h ≤ 2,5 m
E para uma balança ordinária, classe IIII, com leitura de 1grama, a altura mínima
será:
h ≤ 5.102.508,8 x 0,5 x 1,0x10-3
h ≤ 2551 m
Com os resultados acima, podemos montar a tabela III, onde temos as alturas
mínimas para cada classe de balança.
TABELA III:
CLASSE DE BALANÇA
ALTURA MÍNIMA(m)
Classe I
2,5
Classe II
25
Classe III
250
Classe IIII
2.500
Nota: Os valores foram arredondados para números inteiros.
3) LATITUDE: A influência da latitude na intensidade da gravidade e, portanto, no peso
absoluto dos corpos, resulta do achatamento dos pólos da Terra e da força centrífuga.A
força centrífuga, produzida pelo movimento de rotação da Terra, atua em sentido contrário
à gravidade e tende, por isso, a diminuir o efeito desta..No Equador a força centrífuga
possui maior intensidade do que em qualquer outro ponto da Terra e, além disso, se opõe
em sua totalidade à ação da gravidade. A fórmula de Cassinis fornece a intensidade da
gravidade em função da latitude.Seja g = 9,780318m/s2 , valor da gravidade na linha do
equador e gϕ o valor de gravidade na latitude ϕ.Logo, a expressão é:
gϕ = g{1 + 0,005322sen2(ϕ) – 0,000059sen2(2ϕ)}
O Laboratório Central de Calibração do CTA, em São José dos Campos, e o
Laboratório Regional de Calibração do PAMASP, em São Paulo, estão praticamente na
mesma latitude, ou seja, o CTA está a 23° 14’ sul e o PAMASP está a 23° 30’ sul.Esse
incremento de grau de latitude, ou seja, 0,1° na direção sul pode provocar erros em
algumas balanças ao serem transportadas, por exemplo, de São José dos Campos para São
Paulo.Para outras balanças, esse incremento pode não alterar as respectivas medidas de
pesos, porém não devemos esquecer que São José dos Campos está a 646metros e São Pulo
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está 722 metros de altitude. A resolução OIML R76 para efeito de transporte de balanças,
aceita-se que o erro máximo para cada classe é dado pela tabela IV:
TABELA IV:
FAIXAS
CLASSE IIII
CLASSE III
CLASSE II
CLASSE I
1° FAIXA
2° FAIXA
2
1 em 10
2 em 103
3
1 em 10
2 em 104
1 em 104
2 em 105
5
1 em 10
2 em 106
FONTE: Tabela III.
3° FAIXA
1,5 em 103
1,5 em 104
1,5 em 105
1,5 em 106
Uma balança de classe I, na 1° faixa, pode ter um erro máximo de 10mg e 1,5mg
para uma carga máxima de 1Kg; Para essa mesma carga, uma balança classe IIII tem um
erro máximo, na 1° faixa, de 10g e 1,5g na 3° faixa.Esse conceito de erro máximo é
importante para definir o erro máximo por incremento de latitude, ou seja, um erro mínimo
para uma carga máxima. A tabela V mostra o erro máximo tolerável por incremento de grau
de latitude.
TABELA V:
ϕ 2 = ϕ − ϕ −1
0,01°
0,1°
1°
10°
λ = R sen ϕ 2
Eg
Classe da balança
1Km
10Km
111Km
1000Km
5 em 107
5 em 106
5 em 105
5 em 104
Classe I
Classe II
Classe III
Classe IIII
Pela resolução OIML R76,o erro tolerável na mudança da a aceleração não deve
exceder a 1/3 do erro máximo, vide tabela IV. Com esse conceito, uma balança classe I não
pode ter um erro maior que 5 em 107 ou 0,5mg para uma carga de 1Kg. Já uma balança
classe III , o erro tolerável é de 50mg, o que corresponde a uma distância média de 111Km
na direção norte-sul.
Como podemos notar, todas as balanças sofrem o efeito da intensidade da
gravidade, umas mais outras menos. Uma balança com 0,1mg de leitura e 100gramas de
carga máxima (classe fina), ao ser calibrada no térreo do laboratório e ao ser transportada,
por exemplo, para o primeiro andar do prédio, sofre um erro de altitude.Já uma balança
com 1Kg de leitura e carga máxima de 120Kg (classe ordinária), não sofre nenhuma
influência da intensidade da gravidade ao ser transportada, por exemplo, para o topo de um
prédio de 200 metros de altura.
Tanto a latitude como a altitude têm influência, significativa, como já vimos, nas
leituras de balanças eletrônicas, dinamômetros, células de carga, balanças de aeronáveis,
balanças de peso morto ou até mesmo em fluxômetros .
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Em todos os casos, recomenda-se que estes equipamentos sejam calibrados nos
respectivos locais de uso.Caso não seja possível, devemos coregir as devidas medidas.A
intensidade da gravidade varia com a altitude e a latitude conforme as expressões abaixo:
Altitude:
gh
= 2,0 x10 −7 h
g
Latitude:
gϕ = g{1 + 0,005322sen2(ϕ) – 0,000059sen2(2ϕ)}
O Laboratório Regional de Calibração do PAMASP está a 722 metros de altitude e
latitude de 23° 30’ sul. Então a intensidade da gravidade é:
h = 722m → 722 x 2,0x10-7 = 0,0001444
ϕ = 23,5° → sen223,5° = 0,15900082
2ϕ = 47° → sen247° = 0,534878236
g = 9,780318m/s2
gh = 9,788285 – 0,0001444 =9,788141m/s2
E o Laboratório Central de Calibração do CTA está a 646 metros de altitude e
latitude de 23° 14’ sul. A intensidade da gravidade, em relação ao nível do mar, é:
h = 646m → 646 x 2,0x10-7 = 0,0001292
ϕ = 23,23° → sen223,23° = 0,155569592
2ϕ = 46,46° → sen246,46° = 0,525470777
g = 9,780318m/s2
gh = 9,788112 – 0,0001292 = 9,787983m/s2
Onde, ∆gh (SP – SJ) = 0,000158m/s2 , ou seja, o acréscimo de 16mg, no peso de
um corpo de 1,0Kg, em São Paulo, é devido o efeito da gravidade.Se não for observado
esse efeito, todas as medidas estarão mascaradas com esse valor.Outro fato importante que
devemos ressaltar é que o valor da intensidade da gravidade no equador tem o menor valor
que em qualquer outro ponto da Terra.Esse fato é devido a força centrifuga que é maior no
equador e se opõe em sua totalidade à ação da gravidade.Em outros pontos da Terra, a força
centrifuga se compõe com o vetor da gravidade, de acordo com a regra do paralelogramo ,
dando uma resultante f menor que o vetor da intensidade da gravidade e de sentido
diferente do raio da Terra.O fato da intensidade da gravidade não ter mesmo valor,
devemos aplicar um fator de correção, a fim de minimizar os erros causados na utilização
dos respectivos equipamentos de medição de peso ou força.Esse fator de correção pode ser
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em relação ao nível da linha do equador, em relação a latitude de 45° ou até mesmo, em
relação ao local da calibração do respectivo equipamento. Genericamente temos:
g (ϕ , Η )
g
Onde, g é a aceleração da gravidade padrão, seja ao nível do mar, a latitude de 45°
ou a intensidade da gravidade no local da calibração ou medição. g(ϕ,h) é o valor da
gravidade no local de utilização do equipamento.Um peso de 1,0Kg que é avaliado, por
exemplo, na balança a abaixo, no Laboratório Central de Calibração do CTA e é utilizado
em São Paulo, devemos ter:
Psp = Psj . g(ϕ,h)
g
ou
Psp = 1,0 x (9,788141/9,787983)
Psp = 1,0 x 1,000016
Psp = 1,000016Kg
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Então, essa mesma carga de 1,0Kg, em São Paulo, tem 16mg a mais em seu
peso.Para 100Kg devemos ter 1,6g e para 1.000Kg o acréscimo em seu peso será de
16gramas. Esses são os pesos que uma balança iria medir em São Paulo.Então o fator de
correção é 9,787983 / 9,788141 = 0,99998.Logo, a leitura de 1,000016Kg tem que ser
multiplicado pelo fator de correção, ou seja, 1,000016 x 0,99998 .O Laboratório Regional
de Calibração do Parque de Material Aeronáutico de São Paulo é o Parque Central de
Calibração de Balanças de Aeronáveis e para isso usa Células Padrão sendo comprimidas
por um sistema hidráulico, conforme figura III abaixo:
Fig III: Sistema de calibração de células de carga
Este sistema de calibração não sofre influência da intensidade da gravidade, muito menos
da força centrifuga. Porém, quando estas células é utilizadas na medição do peso de uma
aeronave, por exemplo, do F-5, conforme figura IV, devemos observar as devidas
correções.Como já vimos, a medida que caminhamos na direção norte-sul do país, temos
um aumento no peso absoluto do corpo; caminhando na direção sul-norte do país, o peso
absoluto do corpo diminui.O F-5 tem o seu peso tomado a latitude de 45° norte, ou seja,
hemisférico norte.O valor da intensidade da gravidade na latitude de 45° norte é de
9,80665m/s2. Aplicando o fator de correção de 9,80665 / 9,788141 = 1,0019 a leitura feita
na balança, por exemplo, seja de 4.763Kg, temos :
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4.763 Kg x 1,0019 = 4.772Kg.
∆P = 9,0Kg
(lembre-se que o peso absoluto de um corpo diminui ao ser aproximar da linha do
equador!).
Então, o peso real dessa medida é 4772Kg.
Fig IV: Aeronave F-5 sendo pesada por um sistema de células de carga, no Parque de Material Aeronáutico de
São Paulo