1. (Pucpr 2015)
Um agricultor adquiriu 60 sementes de milho para fazer o plantio, com a garantia de que a
probabilidade de germinação é de 0,8 (independentes das outras). Ao utilizar a plantadeira manual, não percebeu
que havia uma semente utilizada na safra anterior com probabilidade de germinação de 0,5 e esta se misturou às
novas sementes. Assim, o agricultor plantou as 61 sementes e destas, 60 germinaram. Dado que a probabilidade
de uma semente germinar (velha ou nova) é de
97
, qual é a probabilidade de que a semente que não germinou
122
tenha sido uma das sementes novas?
a)
24
25
b)
71
122
c)
60
61
d)
1
51
e)
1
122
2. (Uerj 2015) Cada uma das 28 peças do jogo de dominó convencional, ilustradas abaixo, contêm dois números,
de zero a seis, indicados por pequenos círculos ou, no caso do zero, por sua ausência.
Admita um novo tipo de dominó, semelhante ao convencional, no qual os dois números de cada peça variem de zero
a dez. Observe o desenho de uma dessas peças:
Considere que uma peça seja retirada ao acaso do novo dominó. Calcule a probabilidade de essa peça apresentar
um número seis ou um número nove.
3. (Uerj 2015) Uma ferramenta utilizada na construção de uma rampa é composta pela seguinte estrutura:
- duas varas de madeira, correspondentes aos segmentos AE e AD, que possuem comprimentos diferentes e
formam o ângulo DÂE igual a 45;
- uma travessa, correspondente ao segmento BC, que une as duas varas e possui uma marca em seu ponto médio
M;
- um fio fixado no vértice A e amarrado a uma pedra P na outra extremidade;
- nesse conjunto, os segmentos AB e AC são congruentes.
Observe o esquema que representa essa estrutura:
Quando o fio passa pelo ponto M, a travessa BC fica na posição horizontal. Com isso, obtém-se, na reta que liga os
pontos D e E, a inclinação α desejada.
Calcule α, supondo que o ângulo AÊD mede 85.
4. (Uerj 2015) Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um obstáculo com a forma
de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do prisma são mostradas em três etapas desse
movimento, I,II e III, nas figuras a seguir.
Admita que:
- as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são respectivamente iguais a 2 3
decímetros;
- durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam.
Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo que representa a base
do cilindro.
5. (Pucrs 2015) Em um ginásio de esportes, uma quadra retangular está situada no interior de uma pista de corridas
circular, como mostra a figura.
A área interior à pista, excedente à da quadra retangular, em m2 , é
a) 50π  48
b) 25π  48
c) 25π  24
d)
25
π  24
2
e) 10π  30
6. (Pucrj 2015) A figura mostra um triângulo equilátero de lado 1, um círculo inscrito e um segundo círculo tangente a
dois lados do triângulo e tangente exteriormente ao primeiro círculo.
a) Encontre o raio do maior círculo.
b) Encontre o raio do menor círculo.
c) Encontre a área da região sombreada, limitada por um lado do triângulo e pelos dois círculos.
7. (Pucrj 2015) Os sócios de uma empresa decidem dividir o lucro de um determinado período, pelos seus três
gerentes, de modo que cada um receba uma parte diretamente proporcional ao seu tempo de serviço.
Sabendo que o lucro que será dividido é de R$ 18.500,00 e que o tempo de serviço de cada um deles é,
respectivamente 5, 7 e 8 anos, podemos afirmar que o mais antigo na empresa receberá:
a) R$ 4625,00
b) R$ 5125,00
c) R$ 6475,00
d) R$ 7400,00
e) R$ 9250,00
8. (Pucrj 2015) Dois descontos sucessivos de 3% no preço de uma mercadoria equivalem a um único desconto de:
a) menos de 6%
b) 6%
c) entre 6% e 9%
d) 9%
e) mais de 9%
9. (Uerj 2015) Leia a tirinha:
Suponha que existam exatamente 700 milhões de analfabetos no mundo e que esse número seja reduzido, a uma
taxa constante, em 10% ao ano, totalizando n milhões daqui a três anos.
Calcule o valor de n.
10. (Uerj 2015) O cartão pré-pago de um usuário do metrô tem R$ 8,90 de crédito. Para uma viagem, foi debitado
desse cartão o valor de R$ 3,25, correspondente a uma passagem. Em seguida, o usuário creditou mais R$ 20,00
nesse mesmo cartão.
Admitindo que o preço da passagem continue o mesmo, e que não será realizado mais crédito algum, determine o
número máximo de passagens que ainda podem ser debitadas desse cartão.
11. (Pucrj 2014) Vamos empilhar 4 caixas de alturas distintas. A caixa maior tem 1 m de altura, cada caixa seguinte,
em tamanho, tem um terço da altura da anterior.
a) Determine a altura da nossa pilha de 4 caixas.
b) Se empilharmos as caixas em ordem aleatória, qual é a probabilidade de a caixa de baixo ser a caixa mais alta?
c) Se empilharmos as caixas em ordem aleatória, qual é a probabilidade de a caixa de baixo ser a caixa mais alta e a
do topo ser a mais baixa?
12. (Pucrj 2014) a) Qual é o resultado de divisão de N  123123123123123123 por 123?
b) Uma garota diz que pode multiplicar qualquer número de três dígitos por 1001 instantaneamente. Se um colega diz
“715” ela fornece a resposta da multiplicação imediatamente. Determine o valor encontrado e explique o segredo
da garota.
c) De quantas maneiras possíveis 7 cachorros podem consumir 10 biscoitos caninos?
Observações:
Os biscoitos não podem ser fracionados. Os cachorros e os biscoitos são indistinguíveis.
Por exemplo, um cachorro pode comer todos os 10 biscoitos.
13. (Uerj 2014) Um alvo de dardos é formado por três círculos concêntricos que definem as regiões I, II e III,
conforme mostra a ilustração.
Um atirador de dardos sempre acerta alguma região do alvo, sendo suas probabilidades de acertar as regiões I, II e
III denominadas, respectivamente, PI, PII e PIII.
Para esse atirador, valem as seguintes relações:
- PII = 3PI
- PIII = 2PII
Calcule a probabilidade de que esse atirador acerte a região I exatamente duas vezes ao fazer dois lançamentos.
14. (Pucrs 2014) Dois dados são jogados simultaneamente. A probabilidade de se obter soma igual a 10 nas faces
de cima é
a)
1
18
b)
1
12
c)
1
10
d)
1
6
e)
1
5
15. (Enem 2014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário
em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1: 100, foi disponibilizado aos interessados já com as
especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com
dimensões, no projeto, iguais a 3cm, 1cm e 2cm.
O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será
a) 6.
b) 600.
c) 6.000.
d) 60.000.
e) 6.000.000.
16. (Pucrj 2014) Considere o triângulo equilátero ABC inscrito no círculo de raio 1 e centro O, como apresentado na
figura abaixo.
a) Calcule o ângulo AOB.
b) Calcule a área da região hachurada.
c) Calcule a área do triângulo ABC.
17. (Pucrj 2015) Uma urna tem 9 bolas, cada uma marcada com uma das letras de A a I:
Esmeralda sorteia duas bolas para entrarem na caixa I, três bolas para entrarem na caixa II, e as quatro bolas
restantes são colocadas na caixa III.
a) Qual é a probabilidade de que a bola A esteja na caixa I?
b) Qual é a probabilidade de que haja exatamente uma bola com vogal na caixa I?
c) Qual é a probabilidade de que haja uma bola com vogal em cada caixa?
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Uma loja identifica seus produtos com um código que utiliza 16 barras, finas ou grossas. Nesse sistema de
codificação, a barra fina representa o zero e a grossa o 1. A conversão do código em algarismos do número
correspondente a cada produto deve ser feita de acordo com esta tabela:
Código
Algarismo
Código
Algarismo
0000
0
0101
5
0001
1
0110
6
0010
2
0111
7
0011
3
1000
8
0100
4
1001
9
Observe um exemplo de código e de seu número correspondente:
18. (Uerj 2015)
Existe um conjunto de todas as sequências de 16 barras finas ou grossas que podem ser
representadas.
Escolhendo-se ao acaso uma dessas sequências, a probabilidade de ela configurar um código do sistema descrito é:
a)
b)
c)
d)
5
215
25
214
125
213
625
212
19. (Uerj 2013) Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma questão de
múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais marcaram uma das quatro opções ao acaso.
Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a probabilidade de que exatamente um tenha
marcado a opção correta equivale a:
a) 0,48
b) 0,40
c) 0,36
d) 0,25
20. (Uerj 2012) Todas as n capitais de um país estão interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o
seguinte critério: uma única estrada liga cada duas capitais.
Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a construção de mais 21 estradas pavimentadas para que
todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o mesmo critério.
Determine o número n de capitais, que existiam inicialmente nesse país.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
Das 60 sementes existe a possibilidade de 12 não germinarem, pois 20% de 60 = 12.
Temos então 12 sementes que poderão não germinar num total de 61 sementes.
Aplicando agora a probabilidade condicional, temos:
12
12 122 24
P  61 


.
97
61 25 25
1
122
Resposta da questão 2:
Dominós que possuem o 10: 11 dominós
Dominós que possuem o 9: 10 dominós (pois o dominó (9, 10) já foi contado acima)
Dominós que possuem o 8: 9 dominós (pois os dominós (9, 8) e (9, 10) já foram contados acima)
e assim por diante...
Portanto, o total de peças será 11  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1 
(1  11)  11
 66
2
Temos 12 dominós que possuem o 6 ou o 9: 11  11  1 (dominó que possuem o 6 e o 9)  21
Portanto, a probabilidade pedida será dada por
Resposta da questão 3:
Considerando BC / /DF, temos:
ˆ  45  85  180  ADE
ˆ  50
ADE
ˆ  180  45  67,5
ADF
2
Portanto, α  67,5  50  17,5  1730'
Resposta da questão 4:
21 7

.
66 22
Na figura, temos:
tg60 
3
 x 1
x
a 3
2 3 a4
2
y
2π  3  120 2π 3

360
3
Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por:

2π 3 
d  a  x  a  x  y  6 
 dm

3 

Resposta da questão 5:
[B]
O triângulo retângulo definido pelos lados da pista e sua diagonal, é semelhante ao triângulo retângulo de lados 3, 4
e 5. Logo, o outro lado da pista mede 8 m.
A área pedida é dada por
π  52  8  6  (25π  48) m2.
Resposta da questão 6:
a) R 
b) r 
1
3
3
 1

3
2
6
1  3 2 3
3



3  2
6  18
c) Teremos:
(R  r)2  x 2  (R  r)2
R2  2Rr  r 2  x 2  R2  2  R  r  r 2
x 2  4Rr
x2  4 
x
3 3

6 18
1
3
A  A(trapézio)  A(setor I)  A(setor II)
2
A
 3
1  3
3 1 1
1  3


    π  
  π  


2  6
18  3 3
6  6 
 18 
A
3
π
π


27 324 72
Resposta da questão 7:
2
[D]
18500
 8  7400
578
Podemos afirmar que o mais antigo na empresa receberá R$ 7400,00.
Resposta da questão 8:
[A]
x é o valor da mercadoria.
Com dois descontos sucessivos de 3%, temos: x  (0,97)3  0,9409x, ou seja um desconto de 0,0591x.
Portanto, menos de 6%.
Resposta da questão 9:
n  700000000  (0,9)3  510300000
Resposta da questão 10:
8,90  3,25  20,00  R$25,65
25,65  7  3,25  2,9
Portanto, o número máximo de passagens é 7.
Resposta da questão 11:
1
1 1
. Logo, a altura da pilha é igual a
a) As alturas das caixas, em metros, são 1, , e
27
3 9
4
 1
1  
 3   40 m.
1
1
27
1
3
b) Existem P3  3! configurações nas quais a caixa de baixo é a mais alta. Portanto, como existem P4  4!
disposições possíveis, segue que a probabilidade é
3! 1
 .
4! 4
c) Analogamente ao item (b), tem-se que a probabilidade é
2! 1
 .
4! 12
Resposta da questão 12:
a) Note que
123123123123123123  123  1015  123  1012  123  109  123  106  123  103  123.
Portanto, o resultado pedido é
123123123123123123 123  1015  123  1012  123  109  123  10 6  123  103  123

123
123
 1015  1012  109  106  103  1
 1001001001001001.
b) Podemos escrever 1001  1000  1. Logo, temos
715  1001  715  (1000  1)  715715.
Seja abc, com a, b, c  {0, 1, 2,
, 9} e a  0.
O segredo é que todo número abc multiplicado por 1001 resulta em
abc  (1000  1)  abc000  abc  abcabc.
c) Sendo os cachorros e os biscoitos indistinguíveis, temos as seguintes possibilidades:
{10}, {9, 1}, {8, 2}, {8, 1, 1}, {7, 3}, {7, 2, 1}, {7, 1, 1, 1}, {6, 4}, {6, 3, 1}, {6, 2, 2}, {6, 2, 1, 1},
{6, 1, 1, 1, 1}, {5, 5}, {5, 4, 1}, {5, 3, 2}, {5, 3, 1, 1}, {5, 2, 2, 1}, {5, 2, 1, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1, 1},
{4, 4, 2}, {4, 4, 1, 1}, {4, 3, 3}, {4, 3, 2, 1}, {4, 3, 1, 1, 1}, {4, 2, 2, 2}, {4, 2, 2, 1, 1},
{4, 2, 1, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3, 1}, {3, 3, 2, 2}, {3, 3, 2, 1, 1}, {3, 3, 1, 1, 1, 1},
{3, 2, 2, 2, 1}, {3, 2, 2, 1, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 2}, {2, 2, 2, 2, 1, 1},
{2, 2, 2, 1, 1, 1, 1}.
Portanto, o resultado pedido é igual a 38.
Observação: Caso os cachorros fossem distinguíveis e os biscoitos indistinguíveis, o resultado seria dado por
 16 
CR10
  8008.
7 
 10 
Resposta da questão 13:
PI + PII + PIII = 1
PII = 3PI
PIII = 2PI = 6PI
Logo:
PI + 3PI + 6PI = 1
PI = 1/10
Portanto, a probabilidade pedida será P  1/ 10   1/ 10   1/ 100  1%.
Resposta da questão 14:
[B]
Número de elementos do Espaço Amostral: n(E)  6  6  36
Evento (a soma das faces ser 10): A   4,6  ;  5,5  ;  6,4  e n(A)  3.
Portanto, a probabilidade pedida será:
P
3
1

36 12
Resposta da questão 15:
[E]
Seja V o volume real do armário.
3
O volume do armário, no projeto, é 3  2  1  6cm3 . Logo, temos
6  1 
3

  V  6.000.000cm .
V  100 
Resposta da questão 16:
a) Sendo ΔABC equilátero, os vértices A, B e C dividem a circunferência em três arcos congruentes de medida
igual a
360
 120.
3
de um triângulo equilátero, inscrito num círculo de raio r, é dado por
b) Sabendo que o lado
AB  1 3  3 u.c. Portanto, a área pedida é igual a
1 
( 3)2  3  1
  π  12 
 (4π  3 3) u.a.

3 
4
 12
c) De [B], vem
(ABC) 
( 3)2  3 3 3

u.a.
4
4
Resposta da questão 17:
a) P 
C8,1  C7,3  C3,3
C9,2  C7,3  C3,3
b) P  3 
C6,1
C9,2
 3

6
1

36 2
8
2

36 9
 r 3, segue-se que
c) P 
3! 6! 2  3  4 2

9!
7
Resposta da questão 18:
[D]
Número de sequências formadas com as 16 barras: 2
16
4
Número de códigos possíveis: 10 .
Portanto, a probabilidade será dada por:
P
104
16
2

24  54
4
12
2 2

625
212
.
Resposta da questão 19:
[A]
A probabilidade de acertar a questão marcando uma alternativa ao acaso é
1 3
1
, e a de errar é 1   .
4 4
4
Tomando as respostas de dois alunos quaisquer da turma, temos os seguintes casos favoráveis:
i. um aluno está entre os 20% que marcaram a opção correta e o outro está entre os 80% que marcaram a resposta
errada ao acaso;
ii. os dois alunos estão entre os 80% que marcaram a resposta ao acaso, tendo um deles acertado a questão e o
outro errado.
Logo, a probabilidade de (i) ocorrer é
0,2  0,8 
3
3
 0,8   0,2  0,24,
4
4
enquanto que a probabilidade de (ii) ocorrer é
0,8 
1
3
3
1
 0,8   0,8   0,8   0,24.
4
4
4
4
Portanto, a probabilidade pedida é igual 0,24  0,24  0,48.
Resposta da questão 20:
n
O número de estradas que ligam as n capitais é dado por   .
 2
Com as duas novas capitais, temos que o número de estradas passou a ser de
n  2  n

     21.
 2   2
Portanto,
(n  2)!
n!
n  2 n

 21

     21 
2!  n!
2!  (n  2)!
 2   2
(n  2)  (n  1) n  (n  1)


 21
2
2
 n2  3n  2  n2  n  42
 n  10.