MATEMÁTICA
Prof. Carlos Alberto
1. Considere num plano , um ângulo AÔB, menor que o ângulo raso, e uma reta ”r”, contendo o vértice O
e inteiramente contida na região não convexa relativa ao ângulo AÔB. Considere ainda pontos C e D
pertencentes a “r”, diferentes de O, sendo C o mais próximo de A.
a) Esboce uma figura representativa da situação descrita.
b) Se AÔB = 72º e BÔD é triplo AÔC, calcule CÔB.
c) Considerando AÔB = 66º, calcule a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de AÔC e BÔD.
2. (UFES)
a) Calcule a medida do ângulo cujo triplo do complemento é igual à terça parte do suplemento
dele próprio. Resp. 78° 45’
Se dois ângulos adjacentes são complementares, qual a medida do ângulo formado por
suas bissetrizes? Justifique.
Resp. 45°
3. Na figura abaixo, as retas “r” e “s” são paralelas. Calcule a medida do ângulo “x”.
Resp. 20°
4. Considerando que as retas “s” e “t” da figura abaixo são paralelas, prove que
5. Tales, famoso matemático grego, foi quem demonstrou pela primeira vez, apoiando-se no axioma de
Euclides, que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Demonstre este teorema,
conhecido como “lei angular de Tales”.
6. Defina ângulo externo de um triângulo e demonstre que “cada ângulo externo de um triângulo é igual à
soma dos ângulos internos não adjacentes a ele.”
7. Nas figuras abaixo, calcule os ângulos “x”, em a) e “y”, em b).
a) Resp. X= 43° 40’
1
b) Resp. y=75°
8. (UNICAMP) Para calcular a circunferência
terrestre, o sábio Eratóstenes valeu-se da
distância conhecida de 800 km entre as
localidades de Alexandria e Siena no Egito (A
e S respectivamente), situadas no mesmo
meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em
Siena os raios solares caíam verticalmente,
em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2º
com a vertical. Calcule, com esses dados, a
circunferência terrestre, isto é, o comprimento
de uma volta completa em torno da Terra.
Resp. 40000 km
9. (FEI) Na figura ao lado, as semi-retas r e s são
paralelas. Calcule a medida do ângulo indicado
com x.
Resp. 50°
10. Na figura ao lado, determine o ângulo
C, respectivamente.
formado pelas bissetrizes interna e externa dos vértices B e
Resp. = 50°
11. (FUVEST) No retângulo ao lado, calcule o valor, em graus, de
Resp. 130°
2
é.
TRIÂNGULOS: CLASSIFICAÇÃO E CONGRUÊNCIA E POLÍGONOS
1. CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
Classificação quanto aos lados
Quanto aos lados os triângulos se classificam em:
a) Equilátero, quando tem os três lados congruentes.
b) Isósceles, quando tem dois lados congruentes.
c) Escaleno, quando dois lados quaisquer não são congruentes.
Classificação quanto aos ângulos
Quanto aos ângulos, os triângulos se classificam em:
a) retângulo, quando possui um ângulo reto.
b) acutângulo, quando possui os três ângulos agudos.
c) obtusângulo, quando possui um ângulo obtuso.
A
B
A
C
RETÂNGULO
(Bˆ 90º )
B
C
ACUTÂNGULO
ˆ B,
ˆ Cˆ < 90º)
(A,
A
C
B
OBTUSÂNGULO
ˆ 90º )
(B
2. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Definição
Dois triângulos são congruentes quando se é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre
os vértices de um e os do outro, de modo que os lados e os ângulos correspondentes sejam
respectivamente congruentes.
3
CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA
Os critérios de congruência são os casos em que se pode garantir a congruência de dois triângulos,
sem que se saiba tudo sobre eles.
A definição de congruência exige a congruência dos seis elementos, enquanto que os critérios de
congruência nos permite concluir que dois triângulos são congruentes, a partir da congruência de três
elementos convenientes.
Temos quatro critérios de congruência de triângulos:
1º Critério: LLL
Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes.
2º Critério: LAL
Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulo entre eles
respectivamente congruentes.
3º Critério: ALA
Dois triângulos são congruentes quando possuem dois ângulos e o lado entre eles respectivamente
congruentes.
4º Critério: LAAo
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo e o ângulo oposto e esse
lado respectivamente congruentes.
4
1. POLÍGONOS
DEFINIÇÃO
Consideremos num plano n pontos (n > 3), A1, A2,
A3, ....., An, ordenados de modo que três consecutivos não
sejam colineares. Chama-se polígono A1A2A3...An à figura
formada pela união dos n segmentos consecutivos.
REGIÃO POLIGONAL
É a região do plano formada pela união dos pontos
do polígono com os pontos do seu interior.
Se a região poligonal for convexa, o polígono será
denominado polígono convexo.
REGIÃO POLIGONAL
CONVEXA
2. CLASSIFICAÇÃO
POLÍGONO EQÜILÁTERO
É o polígono que tem todos os lados congruentes.
Exemplos: losango, quadrado, etc.
POLÍGONO EQÜIÂNGULO
É o polígono que tem todos os ângulos internos congruentes.
Exemplos: retângulo, quadrado, etc.
POLÍGONO REGULAR
É o polígono que é equilátero e equângulo simultaneamente.
Exemplo: quadrado.
NOMENCLATURA
De acordo com o número de lados, temos:
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3. PROPRIEDADES
NÚMERO DE DIAGONAIS
Chama-se diagonal de um polígono a todo segmento de reta cujas extremidades são vértices
não consecutivos.
O número de diagonais d de um polígono convexo de n lados (n > 3) é dado por:
n (n 3)
d
2
SOMA DOS ÂNGULOS DE UM POLÍGONO
Em todo polígono convexo de n lados (n > 3), sendo Si a soma das medidas dos ângulos internos e
Se a soma das medidas dos ângulos externos, tem-se:
Si = (n - 2)
180º e Se = 360º
OBSERVAÇÃO
Em todo polígono regular de n lados (n > 3), sendo ai a medida de cada ângulo interno e ae a
medida de cada ângulo externo, tem-se:
Si
360º
e ae
ai
n
n
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
12. (UFES-adaptado) Num triângulo ABC, isósceles de base BC, BÂC mede / 5 rad. Existe um único
ponto de D sobre o lado AB, tal que os triângulos ACD e BCD também são isósceles. Identifique tal
ponto, justificando seu raciocínio.
13. (FUVEST) Na figura AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo
 mede:
 mede 40º, então XYZ
C
Z
Y
Resp. 70°
A
X
B
14. Demonstre que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes, ou seja, têm
medidas iguais.
15. (FUVEST) Em uma circunferência são dados um diâmetro AB e um ponto C diferente de A e de B.
 é reto.
Prove que o ângulo ACB
20º
16. (MACK) Na figura AB = AC e AD = AE. Calcule a medida do ângulo
A
B
Resp.
E
C
D
= 10°
6
é.
17. (UNIFENAS) Seja ABC um triângulo retângulo em A, cujo
ângulo B̂ mede 52º. Calcule o ângulo formado pela altura AH
e pela mediana AM relativas à hipotenusa é.
Resp. x=14
18. (FEI) Num polígono regular, o número de diagonais é o triplo do número de lados. Calcule a quantidade
de lados desse polígono é.
Resp. 9
19. No triângulo retângulo ABC representado na figura abaixo, AH é a altura
relativa à hipotenusa e AM é a mediana. Calcule x.
Resp. 55°
B
M
H
= 20º
x
A
C
20. Calcule a soma dos ângulos internos de um heptágono convexo.
Resp. 900°
21. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo regular é 2700º. Determine o perímetro do
polígono, sabendo que um de seus lados mede 6 cm.
Resp. 102 cm
22. O ângulo interno de um polígono convexo regular mede 162º. Quantas diagonais possui tal polígono?
Resp. 170 diagonais
23. Na figura, o hexágono ABCDEF é regular e o triângulo PAB é equilátero.
Calcule x + y:
Resp. 210°
E
D
P
F
C
y
x
A
B
24. (UFES-96) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. Qual a medida do ângulo
agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos?
Resp. 40°
7
25. Considere um paralelogramo ABCD no qual CD é o dobro de AD . Sendo M o ponto médio de CD ,
 .
calcule BMA
Resp. 90°
 .
26. ABCDE é um pentágono regular e ABPQ é um quadrado interior ao pentágono. Calcule DBQ
Resp. 9°
27. Num losango, um ângulo obtuso é o dobro de um de seus ângulos agudos. Se a diagonal maior do
quadrilátero mede 12 3 cm, calcule a distância do centro do losango ao ponto médio de um de
seus lados.
Resp. 6 cm
28. Num trapézio retângulo, a base maior é o dobro da base menor e esta é a metade do lado oblíquo às
bases. Calcule o maior ângulo desse trapézio.
Resp. 120°
29. Dado um quadrado ABCD, traça-se, pelo vértice C, o segmento CN , onde N
AB . Tal segmento
ˆ .
intercepta BD em M, de forma que D M̂ C = 75º. Calcule ANC
Resp. 120°
30. Na figura, calcule a + b.
r
4
b
6
15
2
a
5
s//r
t//r
Resp.
27
2
31. Num triângulo ABC, AB = 182 cm. Uma paralela ao lado BC divide o lado AC em segmentos
proporcionais aos números 3 e 4. Determine o maior segmento que a paralela determina sobre o
lado AB .
Resp. 104 cm
32. Um triângulo ABC tem lados AB = 4 cm, AC = 2 cm e BC = 3 cm. A bissetriz interna do ângulo Â
intercepta o lado BC em M. Calcule BM .
Resp. 2 cm
33. Na figura, determine a distância (x) de (C) ao ponto de interseção da bissetriz AP com o lado BC .
A
36
15
X
28
B
Resp. 20
C
. c.
8
P
34. No retângulo da figura, AB = 6 cm, BC = 5 cm e DE = 2 cm. Calcule FG .
E
C
D
F
A
B
G
Resp. 3 cm
35. Na figura, Ŝ = B̂ , AB = 10 cm, BC = 8 cm e AS = 5 cm. Calcule a medida de RS .
A
S
R
B
C
Resp. 4 cm
36. Na figura, temos três quadrados de lados AB = 9 dm, BE = 6 dm
e EH = x. Calcule x.
Resp. 4 dm
D
C
F
G
I
J
A
B
E
P
H
37. Para medir a altura AB de uma árvore, enterrou-se duas estacas CD = 2,45 m e EO = 1,65 m, onde
A, C e E são pontos sobre o chão. Sabendo-se que os pontos B, D e O são colineares e ainda que CD
dista 1,36 m da árvore, calcule a altura da árvore. Obs: (a distância entre as estacas é 0,64 m).
Resp. 4,15m
38. Considere um triângulo ABC de lado BC = 36 cm. Seja CD um segmento interno ao triângulo, com
ˆ
D
congruentes, calcule AD .
AB . Sendo BD = 27 cm e os ângulos BÂC e BCD
Resp. 21 cm
39. Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C,
AC 5= 1,2m,
DC = CE = DE = 1 m. Quando a
como na figura. As dimensões são: a)
3 CB = 1,8 m,
extremidade B da haste toca o chão, calcule a altura da extremidade A
6
B
em relação ao chão é.
3
5 3
C
Resp.
m
b)
6
3
A
c) 6 3
5
d)
D
3
e) 2 2
9
E
40. No trapézio retângulo da figura, AB = 6 m; CD = 8 m e AD = 7 m. Calcule o
A
B
segmento JX mede.
Resp. 3,428m
J
X
C
D
41. Um triângulo isósceles de altura 16 cm está circunscrito a uma circunferência de raio 6 cm. Calcule o
perímetro do triângulo mede.
Resp. 64 cm
42. Um trapézio retângulo possui bases medindo 3 dm e 27 dm e suas diagonais são perpendiculares.
Calcule a altura do trapézio mede.
Resp. 9 dm
43. Considere a figura onde o raio maior mede 8 dm e o raio menor
mede 2 dm. Calcule o raio da circunferência intermediária medirá.
Resp. 4 dm
44. A corda comum a duas circunferências secantes, de
16 cm. Calcule a distância entre os centros das circunferências.
Resp. 21 cm
raios
10
cm
e
17
cm,
45. Um triângulo retângulo possui lados em P.A. de razão 4. Calcule a altura relativa à hipotenusa.
Resp. 9,6 unidades de comprimento
46. Os lados x e y do triângulo da figura são expressos por números naturais. Calcule
x
y.
x
7
y
Resposta: 5 - 2 6
47. Um gato, trepado num muro de 4 m de altura, viu um rato
perambulando a 8 m do pé do muro. O rato também
percebeu o gato e precipitou-se para sua toca (ao pé do
muro). O gato e o rato partiram no mesmo instante e com a
mesma velocidade e o rato foi apanhado pelo gato. Calcule a
distância que o gato percorreu.
Resp. 5 m
Gato
Rato
10
mede
48. Em um triângulo equilátero ABC de lado medindo 4 dm, liga-se o ponto médio da altura do lado AB ao
vértice (A). Calcule a medida de tal segmento.
Resp. 7 dm
49. Na figura, as circunferências maiores têm raio de 40 cm. Calcule o
raio da menor mede.
Resp. 10 cm
50. Num quadrilátero AB CD de diagonais perpendiculares, os lados medem AB = 6 dm, BC = 2 3 dm,
CD = 5 dm e AD = x. A medida de (x) é:
Resp. 7 dm
51. Uma circunferência de raio (r) está inscrita num quadrante de círculo de raio 2
dm, como mostra a figura. Calcule a medida de r é:
Resp. 2
2 - 1 dm
2dm
r
2dm
52. Miguel e Pio marcaram um encontro. Em dado instante, Miguel se
encontra no ponto (M) e Pio no ponto (P). Qual o comprimento da
menor distância para Pio chegar até Miguel tocando na reta (r).
Resp. 45 m
(M)
(P)
16 m
20 m
r
27 m
53. Classifique o triângulo de lados 8 cm, 9 cm e 11 cm quanto a lados e ângulos.
Resp. escaleno e acutângulo
54. Num triângulo ABC, AB = AC = 12 cm e o ângulo BAC = 45º. Calcule o lado BC mede
(aproximadamente).
Resp. 9,3 cm
55. Num triângulo ABC, AB = 8 dm, BC = 10 dm e AC = 14 dm. Calcule a medida da projeção do lado
menor sobre o lado maior (aproximadamente).
Resp. 5,71 dm
56. (UFES-1993) Dado o triângulo abaixo, calcule o valor do cos
1
Resp. –
8
é.
57. Na figura, a circunferência está inscrita no triângulo ABC de lados AB = 13 cm,
C
BC = 11 cm e AC = 14 cm. Calcule o segmento BD .
Resp. 5 cm
D
A
11
B
58. A figura abaixo representa uma linha poligonal aberta constituída por dois lados de triângulos
equiláteros que se alternam acima e abaixo da linha tracejada. O primeiro triângulo (ABC) possui altura
3
igual a
decímetros. Cada “triângulo”, a partir do segundo, tem altura igual à metade da medida da
2
altura do “triângulo” anterior. Se essa Linha Poligonal Aberta tiver infinitos “triângulos”, qual será o seu
comprimento (extensão total da linha continua)?
Resp. 4 dm
12