Nome:
3ºANO / CURSO
TURMA:
DATA: 01 / 09 / 2014
Professor: Paulo
Disciplina: Matemática
1. (G1 - ifce 2014) Considere um relógio analógico de doze horas. O
ângulo obtuso formado entre os ponteiros que indicam a hora e o
minuto, quando o relógio marca exatamente 5 horas e 20 minutos, é
a) 330°.
b) 320°.
c) 310°.
d) 300°.
e) 290°.
6. (Fgv 2013) O relógio indicado na figura marca 6 horas e
2. (Unesp 2014) A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de
diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos.
7
13
5
b) 55
11
5
c) 55
13
3
d) 54
11
2
e) 54
11
a) 55
Usando a aproximação π  3, a medida, em cm, do arco externo do
relógio determinado pelo ângulo central agudo formado pelos
ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale
aproximadamente
a) 22.
b) 31.
c) 34.
d) 29.
e) 20.
3. (Uece 2014) Usando a expressão clássica do desenvolvimento da
potência (a  b)n , onde a e b são números reais e n é um número
natural, pode-se resolver facilmente a equação
sen4 x  4sen3 x  6sen2 x  4senx  1  0. Então, para os
valores de x encontrados, teremos que cosx é igual a
a) 1.
3
.
2
2
.
c)
2
d) 0.
b)
minutos.
minutos.
minutos.
7. (G1 - ifce 2012) O valor de cos (2 280°) é
1
2
a)  .
b)
1
.
2
2
.
2
3
.
d) 
2
3
.
e)
2
c) 
23π
rad, assinale a alternativa falsa.
3
a) α  1380.
b) α dá três voltas e para no 4° quadrante.
c) sen α  sen 60.
d) cos α  cos 60.
e) α dá três voltas e para no 1° quadrante.
α
sen x é
3 1
.
2
1 3
.
b)
2
5 1
.
c)
2
1 5
.
d)
2
a)
9. (Fgv 2012) Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da
 πx 

 6 
água do mar em um certo ponto era dada por f(x)  4  3cos 
em que x representa o número de horas decorridas a partir de zero
hora de determinado dia, e a altura f(x) é medida em metros.
Em que instantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a altura de 2,5 m
5. (Uece 2014) Se p e q são duas soluções da equação
2sen2 x  3sen x  1  0 tais que senp  senq, então o valor da
a) 0.
b) 0,25.
c) 0,50.
d) 1.
minutos.
8. (G1 - ifal 2012) Considerando-se o arco trigonométrico
4. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x  tg x. O valor de
expressão sen2p  cos2 q é igual a
minutos.
naquele dia?
a) 5 e 9 horas
b) 7 e 12 horas
c) 4 e 8 horas
d) 3 e 7 horas
e) 6 e 10 horas
www.colegiowr.com.br
10. (Fgv 2012) No intervalo 0,4π, a equação
e) 90°, 180° e 270°
sen3 x  2sen2 x  5senx  6  0 tem raízes cuja soma é:
17. (Ufrgs 2005) O número de soluções da equação 2cos x = sen x que
pertencem ao intervalo [-16ð/3, 16ð/3] é
a) 2
b) -2
c) 6
a) 8.
b) 9.
c) 10.
d) 11.
e) 12.
π
2
e) 3π
d)
18. (Mackenzie 2014) Seja g  x   x2  x cos β  sen β. Se
11. (Ucpel 2011) Sendo x  0, 2π e 2sen2 x  3cosx  0, então
g x   0 e β 
x vale
a)
b)
c)
d)
e)
π
3
2π
3
2π
5
3π
4
5π
6
3π
, então x vale
2
a) somente 1
b) somente –1
c) –1 ou 0
d) –1 ou 1
e) 1 ou 0
19. (Acafe 2014) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a
aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de
aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na região do
sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante três
dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5
horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e os dados foram representados
 πt π 
  , em que t indica
 6 3
12. (Unemat 2010) Quanto ao arco 4555°, é correto afirmar.
a) Pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo o ângulo de
55°
b) Pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de
75°
c) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de
195°
d) Pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o ângulo de
3115°
e) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de
°
4195
pela função periódica T(t)  24  3cos 
13. (Fgv 2010) No intervalo [0, ð], a equação
20. (Insper 2014) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei
2
8sen
x

1
senx 
8
4
o tempo (em horas) decorrido após o início da medição e T(t), a
temperatura (em °C) no instante t.
O período da função, o valor da temperatura máxima e o horário em
que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem,
respectivamente:
a) 6h, 25,5°C e 10h.
b) 12h, 27°C e 10h.
c) 12h, 27°C e 15h.
d) 6h, 25,5°C e 15h.
f(x)  (sen x  cos x)4  (sen x  cos x)4
admite o seguinte número de raízes:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
14. (Fgv 2009) Resolvendo a equação log2 (sen x)  log4 (cos x)
no intervalo 0  x  90 o valor de x é tal que:
a) 45  x  60
b) 30  x  45
c) 0  x  30
d) 75  x  90
e) 60  x  75
15. (Ufscar 2007) O conjunto solução da equação
O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a
sen [ (8ð/9) + (8ð/27) + (8ð/81) ... ] = cos x,
a)
com x ∈ [0,2ð[, é
a) {2ð/3, 4ð/3}.
b) {5ð/6, 7ð/6}.
c) {3ð/4, 5ð/4}.
d) {ð/6, 11ð/6}.
e) {ð/3, 5ð/3}.
b)
c)
d)
16. (Pucrj 2006) Os ângulos (em graus)  entre 0° e 360° para os quais
sen  cos  são:
e)
a) 45° e 90°
b) 45° e 225°
c) 180° e 360°
d) 45°, 90° e 180°
2
5π
.
12
4π
.
9
3π
.
8
5π
.
6
2π
.
3
21. (Uece 2014) Se f : R  R é a função definida por
f(x)  2senx  1, então o produto do maior valor pelo menor valor
que f assume é igual a
a) 4,5.
b) 3,0.
c) 1,5.
d) 0.
π

 x   2cos x, o valor de
2

22. (Uepb 2013) Sendo f(x)  4cos 
 7π 
f 
 é:
 4 
a) 2
b) 2
c)  2
d) – 1
e)
2
2
23. (Unioeste 2013) Uma loja do ramo de som vende instrumentos
musicais e renova todo mês seu estoque de violas em 60 unidades. A
função que aproxima o estoque de violas da loja ao longo do mês é

 πx  
f(x)  30  cos 
  1 , sendo que x é o dia do mês
 30  

(considerando o mês comercial de 30 dias) e f(x) é o estoque ao final
do dia x. Nos termos apresentados, é correto afirmar que
a) ao final do mês, metade do estoque ainda não foi vendido.
b) a loja vende metade do seu estoque até o dia 10 de cada mês.
c) no dia 15 de cada mês, metade do estoque do mês foi vendido.
d) ao fim do mês, a loja ainda não vendeu todo o estoque de violas.
e) o estoque em um determinado dia do mês é exatamente metade do
estoque do dia anterior.
24. (Uern 2013) A razão entre o maior e o menor número inteiro que
pertencem ao conjunto imagem da função trigonométrica
2π 

y  4  2cos  x 
é
3 

a) 2.
b)
1
.
3
c) – 3.
1
2
d)  .
25. (Epcar (Afa) 2013) Uma piscina com ondas artificiais foi
programada de modo que a altura da onda varie com o tempo de
acordo com o modelo
 π πx 
 πx 
 πx 
f  x   3 sen  
 sen 
 sen 
 em que y  f  x 
2 4 
 4 
 2 
é a altura da onda, em metros, e x o tempo, em minutos.
Dentre as alternativas que seguem, assinale a única cuja conclusão
NÃO condiz com o modelo proposto.
a) A altura de uma onda nunca atinge 2 metros.
b) Entre o momento de detecção de uma crista (altura máxima de uma
onda) e o de outra seguinte, passam-se 2 minutos.
c) De zero a 4 minutos, podem ser observadas mais de duas cristas.
d) As alturas das ondas observadas com 30, 90, 150,... segundos são
sempre iguais.
3
cos x  tg x  cos x 
Gabarito:
sen x
cos x
 cos2 x  sen x
Resposta da questão 1:
[B]
 sen2 x  sen x  1
2
1
1

  sen x     1
4
2

O ângulo percorrido pelo ponteiro das horas em 20 minutos
20
 10. Desse modo, o menor ângulo formado
2
pelos ponteiros dos minutos e das horas, às 5 horas e 20 minutos, é
igual a 30  10  40. Em consequência, o maior ângulo formado
por esses ponteiros é igual a 360  40  320.
corresponde a
1
5

2
2
5 1
 sen x 
.
2
 sen x 
Observação: Dizemos que um ângulo α é obtuso se
90  α  180.
Resposta da questão 5:
[B]
Resposta da questão 2:
[B]
2sen2 x  3sen x  1  0
Δ  ( 3)2  4  2  1
Δ 1
senx 
( 3)  1 senx  1
senx  1/ 2
22
sen2p  cos2 q  sen2p  (1  sen2q)  sen2p  sen2q  1  12  (1/ 2)2
Resposta da questão 6:
[C]
o
Cada minuto do relógio corresponde a 6 , portanto,
α  60  6  66.
Seja 6 horas e x minutos a hora marcada no relógio.
O ângulo α, percorrido pelo ponteiro das horas em
Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca
60min, o ponteiro das horas se desloca 30°, temos:
60min
30
54min
β
x  55 
α
Logo, β  27, portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°.
55 
Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 93°, temos:
30  α
minutos, é tal que
6
30  α
30  α
6
 2α  55 
2
6
 13α  360
α
93  2π  20
 31 cm (considerando, π  3)
360
360
.
13
Portanto,
Resposta da questão 3:
[D]
x
360
 x  2
2
13
4
3
2
4
720
sen x  4sen x  6sen x  4senx  1  0  (senx  1)  0  senx  1
 0x 
 senx  1
13
5
 x  55 .
Utilizando a relação Fundamental, temos:
13
2
α
2
sen x + cos x = 1
2
Resposta da questão 7:
[A]
2
1 + cos x = 1
2280° = 360°.6 + 120°
2
cos x = 0
Logo, cos (2 280°) = cos 120° = 
Portanto, cosx = 0.
Resposta da questão 8:
[E]
Resposta da questão 4:
[C]
Sabendo que tg x 
1
.
2
π
sen x
, com x   kπ e
2
cos x
α
cos2 x  1  sen2 x, vem
23π 5π

 3  2π
3
3
23π 23  180

 1380 .
3
3
23π 5π
[B] Verdadeira, pois α 

 3  2π .
3
3
[A] Verdadeira, pois α 
4
[C] Verdadeira, pois sen α  sen 60 
[B]
 3
.
2
1
[D] Verdadeira, pois cos α  cos 60  .
2
8
2
[E] Falsa, pois dá três voltas e para no 4º quadrante.
sen3 x
4
3sen3 x
senx
2
1
8
2 senx
2
3.sen x = 2senx –
Resposta da questão 9:
[C]
1
8
1
(.4)
4
2
12.sen x = 8senx – 1
 πx 
f(x)  4  3cos 

 6 
 πx 
2,5  4  3cos 

 6 
 πx 
1,5  3cos 

 6 
1
 πx 
cos 


2
 6 
πx 2 π
πx 4 π

 k.2π ou

 k.2π para k inteiro
6
3
6
3
2
12.sen x - 8senx + 1 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita senx, temos:
senx =
1
1
ou senx =
2
6
Observando a circunferência trigonométrica, notamos que a equação
possui quatro raízes no intervalo dado.
Para k = 0, temos x = 4 ou x = 8.
Para k = 1, temos x = 16 (não convém) ou x = 20 h (não convém).
Resposta: 4h e 8h.
Resposta da questão 10:
[E]
Sabendo que senx = 1 é uma das raízes da equação polinomial na
incógnita senx, temos:

Resposta da questão 14:
[A]

sen x  2sen x  5senx  6  0   senx  1  sen x – senx – 6  0,
3
2
2
Resposta da questão 15:
[B]
logo:
π
5π
ou x 
2
2
senx  3 (não convém) ou senx  2 (não convém)
senx  1  x 
Resposta da questão 16:
[B]
Portanto, a soma pedida é 3 π.
Resposta da questão 17:
[C]
Resposta da questão 11:
[A]
Resposta da questão 18:
[D]
2sen2 x  3cosx  0
Sabendo que cos
2  (1  cos2 x)  3  cosx  0
2  2cos2 x  3  cosx  0
x2  x  cos
2cos2 x  3  cosx  2  0
Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita cosx, temos:
cosx 
3π
3π
 0 e sen
 1, vem
2
2
3π
3π
 sen
 0  x2  1  0
2
2
 x  1.
Resposta da questão 19:
[C]
1
ou cos x  2 (não convém)
2
O período da função é dado por
π
Portanto, o valor pedido é x  .
3
2π
 12 h.
π
6
Resposta da questão 12:
[E]
 πt π 
  atinge seu valor
 6 3
A temperatura máxima ocorre quando cos 
Dividindo 4555° por 360° obtemos quociente 12 e resto 235°
Concluímos, então que o arco tem extremidade no terceiro quadrante.
Dividindo 4195° por 360 obtemos quociente 11 e resto 235°
Concluímos, então que 4555° é côngruo de 4195°
Logo a resposta E é a correta.
 πt π 
   1. Logo, tem-se que o
 6 3
 24  3  1  27 C.
máximo, ou seja, quando cos 
resultado é Tmáx
Resposta da questão 13:
5
Queremos calcular o menor valor positivo de t para o qual se tem
[C]
 πt π 
cos     1. Assim,
 6 3
[A] Falsa, pois f(30)  30  cos


 πt π 
 πt π 
cos     1  cos     cos0
6
3


 6 3
πt π

  0  2kπ
6 3
 t  12k  2, k  .

[B] Falsa, pois f(10)  30  cos


π;30 
 1  30( 1  1)  0.
30

π;10 
1 
 1  30   1  45.
30

2 
[C] Verdadeira, pois f(15)   cos

π;15 
 1  30(0  1)  30.
30

Tomando k  1, segue-se que t  10 h.
[D] Falsa, pois f(30) = 0.
Resposta da questão 20:
[A]
[E] Falsa, pois os únicos valores inteiros são de f(x) são f(30), f(10) e
f(15).
Lembrando que sen2 α  cos2 α  1 e sen2α  2sen α cos α,
temos
Resposta da questão 24:
[B]
f(x)  (sen x  cos x)4  (sen x  cos x)4
Supondo que a função esteja definida de
imagem é 2
em
, segue-se que a sua
 [(sen x  cos x)2  (sen x  cos x)2 ][(sen x  cos x)2  (sen x  cos x) ]
 (1  2sen x cos x  1  2sen x cos x)(1  2sen x cos x  1  2sen
x)2  (1),  4  2  1]  [6,  2].
Im x cos
[4 
 4  2sen x cos x
 4 sen2x.
Portanto, o resultado é igual a
Logo, como o período de f é
2π
 π, segue-se que a é o maior
|2|

número real pertencente ao intervalo  0,

Resposta da questão 25:
[C]
π
, tal que
2 
 π πx 
 πx 
 πx  3
π 
 πx
f  x   3 sen  
 sen 
 sen 
   2  cos   x  sen 
2 4 
 4 
 2  2
 4
4 
3
 πx 
 πx  3
2  πx 
 sen 
  sen  2   2  sen  2 
2
2






f(a)  2  4 sen2a  2
 sen2a  sen
a
Portanto, a 
2 1
 .
6 3
π
6
[A] Verdadeira. O máximo que uma onda atinge é 3/2  1 = 1,5 m.
π
5π
ou a 
.
12
12
[B] Verdadeira. O período da função é
5π
.
12
π
 2 min.
π
2
[C] Falsa. As cristas serão observadas para x = 1 e x = 3.
Resposta da questão 21:
[A]
2
 30 π 
2  90 π 
2  150 π 
 = sen  2  = sen  2  .
2






[D] Verdadeira. sen 
Se sen x  1, então f(x)  21  1  3 (maior valor).
1
Se sen x  1, então f(x)  2  1 
Resposta da questão 26:
[D]
3
(menor valor).
2
Resposta da questão 27:
[A]
3 9
   4,5.
2 2
Logo, o produto pedido será 3  
Resposta da questão 28:
[D]
Resposta da questão 22:
[C]
Sabendo que cos(x)  cos x, temos
 7π 
 9π 
 7π 
f 
 4 sen 
 2cos  



 4 
 4 
 4 
π
π
 4 sen  2cos
4
4
π
 2sen
4
  2.
Resposta da questão 23:
6