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MUNDO FÍSICO
A Fı́sica como você nunca viu!
Nossa Apostila
A edição dessa apostila, coroa os esforços feitos nos últimos
dois anos onde realizou-se o curso pré-vestibular, cada vez
mais enfocado no vestibular da UDESC, e cada vez envolvendo uma equipe maior e mais qualificada de alunos, professores e colaboradores.
Adaptada ao novo vestibular UDESC 2005, esperamos que
esse material seja suficiente para a revisão dos conteúdos
exigidos pela Universidade.
Advertimos aos alunos que as aulas semanais, oito de Fı́sica,
quatro de Quı́mica e quatro de Matemática, apenas, não
serão suficientes para a revisão completa dos conteúdos da
nossa Apostila, exigindo dos mesmos, algumas horas de leitura e estudo caseiro, trabalhando em exercı́cios complementares especialmente selecionados para essas atividades
extra-classe.
Finalmente, a Home Page Mundo Fı́sico, resultado de outro projeto, abrangendo como temas assuntos relacionados à
Fı́sica, desde aplicações, informes, curiosidades e descobertas. Esta home page pretende auxiliar a instrumentalizar
os alunos do ensino médio e da própria Universidade para
uma melhor compreensão de conceitos fı́sicos e aplicações
tecnológicas. Essa página centraliza, amplia e divulga os
resultados obtidos nos outros projetos, servindo como base
de partida para novas idéias e possibilidades sugeridas pelos alunos da UDESC, e pelos internautas que nos visitam
diariamente. A página ainda não completou um ano de atividades no ar, mas já conta com mais de 10 mil acessos,
chegando hoje a mais de 300 acessos diários.
Todos os quatro projetos canalizam os esforços de dezenas,
talvez centenas de alunos, alguns professores e colaboradores, que sem medir esforços, se dispuzeram a fazer com que
idéias simples se tronassem realidade.
Nosso Endereço na Internet
http://www.mundofisico.joinville.udesc.br
Convidamos a todos para que visitem o nosso site!
Projetos de Extensão
O projeto de extensão Entendendo a Fı́sica para o Vestibular desenvolve atividades de Ensino de Fı́sica e Matemática para alunos da Rede Estadual de Santa Catarina ministrando aulas para os estudantes e preparandoos para ingressarem na Universidade. Haverá desta forma
maior divulgação desta Instituição e dos cursos que ela oferece. Paralelamente, desenvolve-se um programa social de
assistência às comunidades carentes de Joinville, através da
doação de 40 cestas básicas com alimentos. Queremos, com
este projeto, que os futuros licenciados em Fı́sica estejam
cada vez mais compromissados com a formação de cidadãos
crı́ticos e melhor preparados para sua inserção social.
Outro o projeto chamado A Fı́sica na Escola prevê a
formação de um grupo de alunos voluntários que ministrarão
palestra nas escolas públicas de ensino médio de Joinville,
abordando assuntos relacionados à Fı́sica e suas aplicações.
O aluno atendido pelo projeto, terá maior acesso ao conhecimento cientı́fico e sua relação com o dia-a-dia, e poderá
conhecer um pouco mais da história da Fı́sica, suas relações
com os aspectos culturais, polı́ticos, sociais e econômicos,
e terá contato com futuros professores de Fı́sica, e poderá
conhecer um pouco melhor o ofı́cio do ensino, essa profissão
promissora e fundamental para o desenvolvimento do nosso
paı́s.
Outro projeto, o Jornal do Mundo Fı́sico é uma publicação
mensal, abrangendo como temas assuntos relacionados à
Fı́sica, desde aplicações, informes, curiosidades e descobertas. Este jornal pretende, além de instrumentalizar os
alunos do ensino médio e da própria Universidade para
compreensão e respectiva aplicação tecnológica, promover
condições para que os alunos possam transformar cada vez
mais a si e a seu mundo. A tiragem mensal é de 1.500
exemplares e o jornal pode ser lido pela internet.
Joinville-SC, 5 de outubro de 2004
Professor Luciano Camargo Martins
Coordenador do Mundo Fı́sico
e-Mail: [email protected]
Sumário
FÍSICA
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Fı́sica A – Aula 1 .
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Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Uma Força Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Uma Força Variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Tipos de Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Potência P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Energia cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Teorema Trabalho-Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fı́sica A – Aula 2 .
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4
Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Energia Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Força Elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Energia Potencial Elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fı́sica A – Aula 3 .
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5
Trabalho e Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Forças Conservativas e Dissipativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
A Conservação da Energia Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Degradação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fı́sica B – Aula 1 .
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7
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7
Sistema Internacional(SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Notação Cientı́fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Grandezas Fı́sicas
ii
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fı́sica B – Aula 2 .
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9
Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Critérios de Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
REGRAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Operações com Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Relações entre Grandezas Fı́sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Como Construir um Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fı́sica B – Aula 3 .
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Grandezas Escalares e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Grandezas Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Grandezas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fı́sica B – Aula 4 .
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A Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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O Conceito de Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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O que é Inércia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Equilı́brio de uma Partı́cula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fı́sica C – Aula 1 .
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As Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A Lei das Órbitas (1609) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A Lei da Áreas (1609) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
A Lei dos Perı́odos (1618) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fı́sica C – Aula 2 .
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Gravitação Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Uma Força Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fı́sica C – Aula 3 .
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Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iii
Densidade e Massa especı́fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pressão Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pressão Manométrica e Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fı́sica C – Aula 4 .
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22
Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Lei de Stevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Princı́pio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Princı́pio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1
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Exercı́cios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fı́sica D – Aula 1 .
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Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Ponto Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Repouso, Movimento e Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Deslocamento × Distância Percorrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Deslocamento Escalar ∆s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Velocidade Escalar Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Velocidade Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Aceleração Escalar Média (am ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fı́sica D – Aula 2 .
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Movimento Uniforme (MU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Equação Horária do MU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Gráfico da Velocidade v × t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Gráfico da Posição x × t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Fı́sica C – Aula 3 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Movimento Uniformemente Variado (MUV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Aceleração e Velocidade no MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Posição versus tempo no MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
A Equação de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
iv
Fı́sica D – Aula 4 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Convenções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Velocidade Escalar Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Tempo de Queda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Lançamento Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Fı́sica D – Aula 5 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Movimento Circular Uniforme (MCU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Movimento Periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Perı́odo (T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Frequência (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Velocidade Escalar v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Velocidade Angular ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Vetores no MCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Fı́sica D – Aula 6 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Escalas Termométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Conversão de Temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Intervalos de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Fı́sica E – Aula 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Carga Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Tipos de Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Eletrização por Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Eletrização por Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Eletrização por Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Fı́sica E – Aula 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Eletroscópio de Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
A Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
v
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Fı́sica E – Aula 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
O Vetor Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Cálculo do Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Campo Elétrico Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Fı́sica E – Aula 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Potencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Diferença de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Fı́sica E – Aula 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Superfı́cies Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Fı́sica E – Aula 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Condutores em Equilı́brio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Equilı́brio Eletrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
O Poder das Pontas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Condutor Oco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Potencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Condutor Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Blingdagem Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Como Funciona o Pára-Raios? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Saiba Mais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Capacidade Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Unidades SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Fı́sica E – Aula 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Associação de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Associação de Capacitores em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Associação de Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Energia de um Caacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
vi
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
QUÍMICA
Quı́mica A – Aula 1
55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Estrutura Atômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Modelos Atômicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Resumo do Modelo de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Quı́mica A – Aula 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Modelos Atômicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
O Modelo Atômico de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
O Modelo Atômico Atual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Quı́mica A – Aula 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Ligações Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Estabilidade dos Átomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Teoria do Octeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Classificação dos Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Estruturas de Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Quı́mica A – Aula 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Ligações Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Ligação Iônica ou Eletrovalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Ligação Metálica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Ligação Covalente ou Molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Quı́mica A – Aula 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
A Estrutura da Matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Propriedades Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Os Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
vii
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Quı́mica A – Aula 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Teoria Cinética dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Gás Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Gás Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Leis dos Gases Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Lei Combinada dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Lei dos Gases Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Lei das Pressões Parciais de Dalton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Volumes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Mudanças de Estado Fı́sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Fusão e Solidificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Vaporização e Condensação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Diagrama de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Sublimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Quı́mica A – Aula 7
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70
Ácidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Ácidos e Bases de Arrhenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Nomenclatura dos Ácidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Caracterı́sticas das Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Classificação das Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Outros Conceitos de Ácidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Conceitos de Brönsted-Lowry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Par Conjugado Ácido–Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Conceito de Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Comparando Coceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Estequiometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
O mol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Quı́mica A – Aula 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Soluções Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Concentração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Tı́tulo τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Porcentagem em Massa P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Concentração Comum C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Molaridade M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Equivalente-Grama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Número de Equivalentes-Gramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Normalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
viii
Resumo das Principais Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Quı́mica B – Aula 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
O que é Quı́mica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Um Pouco de História... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
A Importância da Quı́mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Método Cientı́fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Fenômenos Quı́micos e Fı́sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Quı́mica B – Aula 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Matéria e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Lei da Conservação da Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Estados da Matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Mudanças de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Partı́culas e Átomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Elementos e Substâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Sistemas e Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Quı́mica B – Aula 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Metais, Semimetais e Ametais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Isótopos e Isóbaros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Classificação dos Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Íons e Valência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Propriedades Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Quı́mica B – Aula 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Propriedades Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Tamanho do Átomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Potencial de Ionização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Eletroafinidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Eletronegatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Reatividade Quı́mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Densidade (ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Volume Atômico v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Ponto de Fusão (PF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
ix
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Quı́mica B – Aula 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Ligações Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Compostos Iônicos e Moleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Quı́mica B – Aula 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Ligações Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Geometria Molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Forças Intermoleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Quı́mica B – Aula 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Equações e Reações Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Determinação dos Coeficientes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Tipos de Reações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Para Saber Mais! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Você Sabia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Matemática A – Aula 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Relações e Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Tipos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Matemática A – Aula 02
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
0
96
o
Função Polinomial de 2 grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Matemática A – Aula 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Cuidado! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Função Polinomial de 1 Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Matemática A – Aula 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Funções Especiais (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Função Logarı́tmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Relações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Transformações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Matemática B – Aula 01
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Notação Geral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Tipos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Igualdade de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Matemática B – Aula 02
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Multiplicação por um Número Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Inversão de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Matemática B – Aula 03
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Determinante de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Determinante de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Determinante de 3a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Menor Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Cofator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Teorema de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
xi
Matemática C – Aula 01
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Representação de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Classificação dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Conjunto das Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Operações com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Matemática C – Aula 02
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
O Nascimento do Número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Operações com Números Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Matemática C – Aula 03
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Números complexos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Potências Naturais de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Forma Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Igualdade de Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Operações com Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Representação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Módulo de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Argumento de um Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Forma Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Matemática C – Aula 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Razões e Proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Grandezas Diretamente Proporcionais: (GDP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
xii
Matemática C – Aula 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Regras de Três Simples e Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Regra de Três Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
[Regra de Três Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.1
Exercı́cios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Matemática C – Aula 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Juros e Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Razão Centesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Fator de Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Análise Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Princı́pio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Matemática C – Aula 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Arranjo, Combinação e Permutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Arranjos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Combinações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Permutações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Exercı́cios de Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Mais Exercı́cios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Tabela Periódica
131
Fı́sica
Fı́sica A
Aula 1
onde F é o módulo da força constante e d é o deslocamento
(em módulo). O sinal + é usado quando a força e o deslocamento possuem o mesmo sentido, e o sinal −, quando
possuem sentidos contrários.
Importante
Energia
Observe que o trabalho é uma grandeza escalar, apesar de
ser definida a partir de dois vetores (F e d).
A energia se apresenta de diversas formas na natureza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam
energia quı́mica, a combustão da gasolina libera energia
térmica, energia elétrica é utilizados em diversos aparelhos,
transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc.
Para medir a quantidade de energia transferida de um corpo
para outro vamos introduzir o conceito de trabalho.
Unidades
1 N · m = 1 J = 1 joule = 107 erg
1 kJ = 103 J
Quando a força for aplicada ao corpo formando um ângulo
φ com a horizontal, temos a seguinte fórmula mais geral:
Trabalho
O significado da palavra trabalho, na Fı́sica, é diferente do
seu significado habitual, empregado na linguagem comum.
O trabalho, na Fı́sica é sempre relacionado a uma força
que desloca uma partı́cula ou um corpo. Dizemos que uma
força F realiza trabalho quando atua sobre um determinado
corpo que está em movimento. A partir dessa descrição
podemos dizer que só há trabalho sendo realizado se houver
deslocamento, caso contrário o trabalho realizado será nulo.
Assim, se uma pessoa sustenta um objeto, sem deslocá-lo,
ela não está realizando nenhum trabalho sobre o corpo.
Quando uma força F atua sobre um corpo no mesmo sentido
de seu movimento (ou deslocamento) ela está favorecendo
o movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho
realizado pela força.
W = F d cos φ
(1.2)
onde F é o módulo da força constante, d é o deslocamento
(em módulo) e φ o ângulo entre os vetores F e d, ou seja,
entre a direção da força e o deslocamento.
Podemos também calcular o trabalho W realizado pela força
F através da área sob a curva do gráfico F × x:
Uma Força Constante
Quando a força F atua no sentido contrário ao movimento
do corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho
realizado pela força é considerado negativo.
Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizado
por uma força horizontal constante, durante um deslocamento horizontal d é:
W = ±F d
(1.1)
W ≡ Área sob a curva
Observe que neste caso deveremos descobrir o sinal do trabalho através da análise do gráfico, e do sentido relativo
entre a força e o deslocamento (ou do ângulo φ).
2
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Uma Força Variável
0 gráfico abaixo representa a ação de uma força variável que
age sobre um corpo, provocando um deslocamento linear,
desde o ponto x0 até o ponto x00 .
Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela área sob
a curva, desenhando-se o gráfico em papel quadriculado, ou
de forma aproximada pela área de um trapézio:
W = Fd =
F 00 + F 0
2
(x00 − x0 )
Figura 1.1: James Watt (1736-1819)
Observe que essa fórmula considera a força média (aproximada) multiplicada pelo deslocamento.
Tipos de Forças
Existem diversos tipos de forças que podem atuar em um
corpo: força elástica, força peso, força elétrica, força de
contato, etc...
Em alguns casos, pode-se escrever W = F d e, substituindo
na equação acima temos
P=
Potência P
F dt
W
=
= Fv .
t
t
já que v = d/t.
Consideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho.
Se uma delas levar um tempo menor que a outra para a
realização desse trabalho, tem de fazer um esforço maior e,
por tanto, dizemos que desenvolveu uma potência maior.
Unidade de Potência
1 J/s = 1 watt = 1 W
Um carro é mais potente que o outro quando ele “arranca”mais rápido e atinge uma dada velocidade num intervalo de tempo menor do que o outro carro..
Energia cinética
Um aparelho de som é mais potente que o outro quando ele
ele transforma mais energia elétrica em sonora num menor
intervalo de tempo. Uma máquina é caracterizada não só
pelo trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode
efetuar em determinado tempo.
Para variar a velocidade de um corpo em movimento é preciso o concurso de forças externas, as quais realizam certo
trabalho. Esse trabalho é uma forma de energia que o corpo
absorve (ou perde) pelo fato de estar em movimento em
relação a um dado sistema de referência.
Então podemos concluir que potência é o trabalho realizado
durante um determinado tempo, ou seja:
Chamamos essa energia de movimento de energia de
cinética. Para uma partı́cula de massa m e velocidade v
a energia cinética é:
P = W/t
Ec =
1
mv 2
2
Fı́sica A – Aula 1
3
e assim como o trabalho, mede-se a energia cinética em
joules.
Teorema Trabalho-Energia
Suponhamos que FR seja a resultante das forças que atuam
sobre uma partı́cula de massa m. O trabalho dessa resultante é igual à diferença entre o valor final e o valor inicial
da energia cinética da partı́cula:
W = ∆Ec =
1
1
mvf2 − mvi2
2
2
Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalhoenergia indica que o trabalho da resultante das forças que
atua sobre uma partı́cula modifica sua energia cinética.
3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potência e energia, pode-se
afirmar que:
a) potência e energia são sinônimos.
b) trabalho e potência se expressam com a mesma unidade.
c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.
d) potência é a capacidade de realizar trabalho.
e) trabalho é a relação energia-tempo.
f) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.
4. O produto da força pelo deslocamento do corpo em que
ela atua está associado com:
a) trabalho
b) potência
c) distância
d) aceleração
e) velocidade
Pense um Pouco!
• Que trabalho realizamos sobre um corpo que é levantado a uma determinada altura? Esse trabalho seria
positivo ou negativo?
Exercı́cios Complementares
• Se você pudesse segurar um elefante a uma determinada
altura, você estaria realizando trabalho? Por quê?
• Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um barbante.
1. Há algum trabalho sendo realizado sobre o carrinho? Por quê? O trabalho é positivo ou negativo.
2. O menino desenvolve alguma potência? Por quê?
5. (UFSC) O gráfico a seguir representa a resultante das
forças, em newtons, que atuam num corpo de massa igual
a 10, 0 kg, em função do deslocamento total em metros.
Supondo que a velocidade é de 14 12 m/s, determine, em
m/s, a velocidade do corpo depois de percorrer 40, 0 m.
3. O carrinho tem energia cinética? Por quê?
Exercı́cios de Aplicação
1. (ESAL-MG) Um homem está em repouso com um caixote também em repouso às costas.
a) Como o caixote tem um peso, o homem está realizando
trabalho.
b) O homem está realizando trabalho sobre o caixote pelo
fato de o estar segurando
c) O homem está realizando trabalho pelo fato de estar fazendo força.
d) O homem não realiza trabalho pelo fato de não estar se
deslocando.
e) O homem não realiza trabalho pelo fato de o caixote estar
sujeito à aceleração da gravidade.
2. (UFSE) Um corpo está sendo arrastado por uma superfı́cie horizontal com atrito, em movimento uniforme.
Considere as afirmações a seguir: I. O trabalho da força
de atrito é nulo. II. O trabalho da força peso é nulo. III.
A força resultante que arrasta o corpo é nula. Dentre as
afirmações:
a) É correta a I, somente.
b) É correta a II, somente.
c) É correta a III, somente.
d) São incorretas I, II, III.
e) São corretas II e III.
6. Um projétil de massa 10, 0 g penetra com velocidade
horizontal de 100 m/s e sai de uma tábua de espessura de
10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a força com
que a tábua exerce sobre o projétil.
4
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Força Elástica
Chamamos de corpos elásticos aqueles que, ao serem deformados, tendem a retornar à forma inicial.
7. Um móvel de massa 2, 90 kg é submetido à uma força
constante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de
20, 0 m/s em 8, 00 s. Calcule:
a) o trabalho W realizado pela força;
b) a potência P desenvolvida pela força;
Fı́sica A
Aula 2
Figura 1.1: Robert Hooke (1635-1703)
Energia Potencial
Um corpo possui energia quando é capaz de realizar trabalho. Suponha, então, um corpo situado a uma certa altura
acima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao
solo, é fácil perceber que será capaz de realizar um certo
trabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se
pois concluir que aquele corpo possuı́a energia na posição
elevada.
A energia que um corpo possui, em virtude de estar situado
a uma certa altura acima da superfı́cie da Terra, é denominada energia potencial gravitacional. Há outras situações,
semelhantes a essa, nas quais um corpo também possui energia em virtude da posição que ele ocupa. Por exemplo, um
corpo situado na extremidade de uma mola comprimida (ou
esticada) possui energia em virtude de sua posição. Se um
corpo comprimir uma mola e soltarmos esse corpo, ele será
empurrado pela mola e poderá realizar trabalho. Neste caso,
a energia que o corpo possui na ponta da mola comprimida
ou esticada é denominada energia potencial elástica.
Energia Potencial Gravitacional
Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso
referencial usual de energia zero, podemos definir a energia
potencial gravitacional Ep como
Uma mola helicoidal, feita geralmente de aço, como caracterı́stica própria uma constante elástica k, que define a
proporcionalidade entre a intensidade força F aplicada e a
respectiva deformação x causada na mola. A lei de Hooke
relaciona essas quantidades na forma
F = −kx
Observe que x mede a deformação linear da mola a partir
do seu tamanho de equilı́brio (sem força).
Atrvés a equação acima, pode-se ver que a unidade SI da
constante elástica deve ser N/m. Na prática, a constante
k mede a “dureza´´ da mola: quanto maior o valor de k,
mais difı́cil será a sua deformação, ou seja, mais força será
necessária para deformá-la uma certa quantidade x.
Energia Potencial Elástica
Quando aplicamos uma força e deformamos uma mola estamos transferindo a ela uma energia, essa energia fica armazenada na mola. Definimos que a energia armazenada em
uma mola comprimida ou distendida é chamada de energia
potencial elástica, através de
Ep =
1 2
kx
2
Pense um Pouco!
Ep = mgh
onde g é a aceleração da gravidade. No SI, g vale aproximadamente 9, 8 m/s2 .
• A energia potencial gravitacional depende da aceleração da gravidade, então em que situações essa energia é positiva, nula ou negativa?
Fı́sica A – Aula 3
• A força elástica depende da massa da mola? Por quê?
• Se uma mola é comprimida por um objeto de massa
grande, quando solto a mola não consegue se mover, o
que acontece com a energia potencial elástica?
Exercı́cios de Aplicação
1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilingue.
a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue?
b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua
altura máxima?
c) Existe energia no estilingue depois do lançamento? Comente.
5
a) Determine a enregia potencial elástica armazenada na
mola.
b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente
para impulsionar um bloco de 100 g, qual é a velocidade
máxima adquirida pelo bloco?
7. Qual o trabalho necessário para se comprimir uma mola,
cuja constante elástica é 500 N/m, em 10, 0 cm?
8. Um menino situado no alto de um edifı́cio, segura um
corpo de massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima do
solo.
a) Qual a energia potencia gravitacional do corpo naquela
posição?
b) Qual a energia potencia gravitacional do mesmo corpo,
quando situado a 6, 0 m do chão?
2. Um para-quedista desce com velocidade constante, depois de um certo tempo de queda.
a) O que acontece com sua energia potencial Ep ?
b) Sua energia cinética está variando? Comente.
Fı́sica A
3. Um indivı́duo encontra-se sobre uma balança de mola,
pisando sobre ela com seus dois pés. Se ele levantar um
dos pés e mantiver o outro apoiado, no interior de um elevador completamente fechado, quando observa que o peso
indicado na balança é zero. Então, conclui que:
a) está descendo com velocidade constante
b) o elevador está com aceleração igual à da gravidade
c) a força de atração gravitacional exercida sobre ele é anulada pela reação normal do elevador
d) a balança está quebrada, visto que isto é impossı́vel
Trabalho e Energia Potencial
Aula 3
4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, estão
a 500 m de altura em relação ao solo. Você diria que:
a) ambas as pedras têm igual energia potencial;
b) a pedra de menor massa tem maior energia potencial
c) nada podemos afirmar com relação à energia potencial
das pedras
d) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizar
trabalho
e) a pedra de maior massa tem maior energia potencial
5. (UFRN) Uma mola heliciodal, de massa desprezı́vel,
está suspensa verticalmente e presa a um suporte horizontal. Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade
livre dessa mola, ela apresenta deformação de 2, 0 cm para
o sistema em equilı́brio. Se acrescentarmos a essa massa
outra de 10 kg, no ponto de equilı́brio, a nova deformação
será de:
a) 3,0 m
b) 2,5 cm
c) 2,0 m
d) 1,5 cm
e) 1,0 m
Exercı́cios Complementares
6. Uma mola cuja constate elástica é 1000 N/m encontra-se
comprimida em 10 cm.
Figura 1.1: James Prescott Joule (1818-1889).
A energia potencial gravitacional está relacionada à posição
de um corpo no campo gravitacional. Em geral, quando
movemos o corpo, alteramos sua energia potencial.
Para elevar um corpo em equilı́brio do solo até uma altura
h, devemos aplicar uma força que prealizará um trabalho
(positivo) de mesmo módulo que o trabalho realizado pela
força peso do corpo (negativo).
6
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
m Fext.= −P
P
Figura 1.2: Um corpo sendo suspenso em equilı́brio.
O trabalho realizado pela força externa Fext. , é armazenado
no sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gravitacional Ep , e vale:
Ep = −mgh
se definirmos o valor zero (Ep = 0) no chão, onde h = 0.
Já para o sistema massa-mola, temos uma força externa
sendo aplicada no sistema fazendo com que a mola sofra
uma deformação, sendo essa força
F = −kx
o trabalho W externo necessário para esticar a mola uma
quantidade x será
1
W = kx2
2
e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de
energia potencial elástica.
mecânica desse corpo se conserva. Por este motivo, as forças
citadas são denominadas forças conservativas. Exemplo:
ao dar corda em um relógio, você está armazenando energia potencial elástica numa mola, e essa energia estará disponı́vel para fazer com que o relógio trabalhe durante um
certo tempo. Isso só é possı́vel porque a energia elástica foi
armazenada (conservada).
Por outro lado, se existissem forças de atrito atuando durante o deslocamento do corpo, sua energia mecânica não se
conserva, por que parte dela (ou até ela toda) se dissipa sob
forma de calor. Por isso dizemos que as forças de atrito são
forças dissipativas. Exemplo: se você arrastar um caixote
pelo chão horizontal, durante um longo percurso, verá que
todo o trabalho realizado foi perdido, pois nenhuma parte
dessa energia gasta foi armazenada, ou está disponı́vel no
caixote.
A Conservação da Energia Mecânica
Um sistema mecânico no qual só atuam forças conservativas
é dito sistema conservativo, pois a sua energia mecânica
(E) se conserva, isto é, mantém-se com o mesmo valor em
qualquer momento ou posição, podendo alternar-se nas suas
formas cinética e potencial (gravitacional ou elástica):
E = E c + Ep
Degradação da Energia
A energia está constantemente se transformando, mas não
pode ser criada nem destruı́da.
• Em uma usina hidrelétrica, a energia mecânica da
queda d’água é transformada em energia elétrica.
• Em uma locomotiva a vapor, a energia térmica é transformada em energia mecânica para movimentar o trem.
• Em uma usina nuclear, a energia proveniente da fissão
dos núcleos atômicos se transforma em energia elétrica.
• Em um coletor solar, a energia das radiações provenientes do sol se transforma em energia térmica para o
aquecimento de água.
Pense um Pouco!
• Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numa
mola e volta a subir. Ele pode atingir, na volta, altura maior do que aquela de que foi abandonado? Por
quê?
Figura 1.3: Uma mola esticada, em equilı́brio.
Forças Conservativas e Dissipativas
Quando sobre um corpo em movimento atua apenas seu
peso, ou força elástica exercida por uma mola, a energia
• Indique algumas fontes de energia e explique a forma de
aproveitá-las para a realização de trabalho mecânico.
• Quando se ergue um objeto a uma certa altura, como
se realiza menor trabalho: suspendendo-o diretamente
por uma corda, na vertical, ou transportando-o através
de um plano inclinado (sem atrito) até a altura desejada? Por quê?
Fı́sica B – Aula 1
• Compare a energia necessária para elevar de 10 m uma
massa na Terra e a energia necessária para elevar de
10 m a mesma massa na Lua. Explique a diferença.
Exercı́cios de Aplicação
1. Quais as transformações de energia que ocorrem quando
um jogador chuta uma bola?
2. Quais as principais diferenças entre energia potencial e
energia cinética?
7
8. Um corpo de massa 5, 0 kg é elevado do solo a um ponto
situado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2 . Determine:
a) o trabalho realizado pela força peso do corpo nesse deslocamento;
b) o aumento na energia potencial gravitaconal do corpo.
9. (Fatec-SP) Um corpo de massa 2, 0 kg escorrega, a partir
do repouso do ponto A, por uma pista vertical sem atrito.
Na base da pista, o corpo comprime a mola de constante
elástica 800 N/m. Sendo h = 1, 8 m e g = 10 m/s2 , qual a
deformação máxima sofrida pela mola?
3. Uma força é dita conservativa quando:
a) não realiza trabalho
b) o trabalho por ela realizado não depende da trajetória de
seu ponto de aplicação
c) realiza apenas trabalhos positivos
d) o trabalho por ela realizado não depende da massa do
corpo em que está aplicada
e) dissipa energia térmica
4. Um sistema fı́sico tem energia quando:
a) está sujeito apenas a ações de forças conservativas;
b) está sujeito a forças conservativas e dissipativas;
c) está capacitado a realizar trabalho;
d) possui grande quantidade de átomos
e) perde calor
Exercı́cios Complementares
5. O princı́pio da conservação da energia afirma que:
a) a energia cinética de um corpo é constante
b) a energia potencial elástica mais a energia cinética é sempre constante
c) a energia não pode ser criada nem destruı́da, mas apenas
transformada em calor devido aos atritos
d) a energia total de um sistema, isolado ou não, permanece
constante
e) a energia não pode ser criada nem destruı́da, mas apenas
transformada de uma modalidade para outra
6. A energia mecânica de um corpo:
a) é a soma da sua energia potencial e cinética
b) depende apenas do referencial
c) depende da aceleração do corpo
d) é sempre constante, independente do tipo de forças atuantes sobre ele
e) depende apenas da velocidade do corpo
7. Para esticar uma mola em 40 cm, é necessária uma força
de 20 N . Determine:
a) A constante elástica da mola;
b) O trabalho realizado pelo agente externo que estica a
mola;
c) O trabalho realizado pela mola;
d) O trabalho que seria necessário para deformar a mola em
80 cm;
e) A força necessária para esticar a mola em 80 cm.
Figura 1.4: Questão 9.
Fı́sica B
Aula 1
Grandezas Fı́sicas
Apesar de existirem muitas grandezas fı́sicas, são estabelecidos padrões e definidas unidades para que tenhamos um
número mı́nimo de grandezas denominadas fundamentais.
Utilizando as grandezas fundamentais definem-se unidades
para todas as demais grandezas, as chamadas grandezas derivadas.
A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimento por exemplo, cuja unidade é o metro (m), pode-se
definir as unidades derivadas, como área (m2 ) e volume
(m3 ). Utilizando o metro e outra grandeza fundamental,
a de tempo, definem-se as unidades de velocidade (m/s) e
aceleração (m/s2 ).
Sistema Internacional(SI)
Até o final do século XV III era muito grande a quantidade
de padrões existentes. Cada região escolhia arbitrariamente
as suas unidades. Por motivos históricos, os paı́ses de lı́ngua
inglesa utilizam até hoje os seus padrões regionais. O elevado aumento nos intercâmbios econômicos e culturais levou
ao surgimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI,
o sistema métrico.
Em 1971, a 14a Conferência Geral de Pesos e Medidas escolheu sete grandezas como fundamentais, formando assim
a base do SI. Além das grandezas, definiu-se também os
sı́mbolos, unidades derivadas e prefixos. A tabela 1.1 mostra as unidades fundamentais do SI. A tabela 1.2 apresenta
algumas unidades derivadas do SI.
8
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Grandeza
comprimento
massa
tempo
corrente elétrica
temperatura
quantidade de matéria
intensidade luminosa
Unidade
metro
quilograma
segundo
ampère
kelvin
mol
candela
Sı́mbolo
m
kg
s
A
K
mol
cd
Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI.
Grandeza
área
volume
densidade
velocidade
aceleração
força
pressão
trabalho, energia, calor
potência
carga elétrica
diferença de potencial
resistência elétrica
Unidade
metro quadrado
metro cúbico
quilograma
por
metro
cúbico
metro por segundo
metro
por
segundo ao
quadrado
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
ohm
Sı́mbolo
m2
m3
kg/m3
m/s
m/s2
N = Kg m/s2
P a = N/m2
J
W = J/s
C = As
V = J/C
Ω = V /A
Tabela 1.2: Algumas unidades derivadas do SI.
Prefixo
Sı́mbolo
pico
nano
micro
mili
centi
deci
deca
hecto
quilo
mega
giga
tera
p
n
µ
m
c
d
D
H
k
M
G
T
Potência de dez
correspondente
10−12
10−9
10−6
10−3
10−2
10−1
101
102
103
106
109
1012
Tabela 1.3: Prefixos, sı́mbolos e potências de dez.
Notação Cientı́fica
A medida de uma determinada grandeza fı́sica pode resultar
em um número que seja extremamente grande ou extremamente pequeno, por exemplos temos:
• distância da Terra à Lua: 384.000.000 m.
• diâmetro de um átomo de hidrogênio: 0, 0000000001 m.
Para manipular tais números, utilizamos a notação cientı́fica, fazendo uso das potências de 10.
O módulo de qualquer número g pode ser escrito como um
produto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que
é uma potência de dez:
g = a × 10n ,
onde devemos ter 1 ≤ a < 10.
Exemplos
• 243 = 2, 43 × 100 = 2, 43 × 102
• 5.315 = 5, 315 × 1000 = 5, 315 × 103
• 0, 00024 = 2, 4 × 0, 0001 = 2, 4 × 10−4
• 0, 00458 = 4, 58 × 0, 001 = 4, 58 × 10−3
Regra Prática
• Números maiores que 1: deslocamos a vı́rgula para
a esquerda, até atingir o primeiro algarismo do número.
O número de casas deslocadas para a esquerda corresponde ao expoente positivo da potência de 10.
• Números menores do que 1: deslocamos a vı́rgula
para a direita, até o primeiro algarismo diferente de
zero. O número de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da potência de 10.
Pense um Pouco!
• Quais são as unidades de Peso e de massa? por que
elas não são iguais?
• Um analgésico deve ser inserido na quantidade de
3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administrada
não pode exceder 200 mg. Cada gota contém 5 mg
do remédio. Quantas gotas devem ser prescritas a um
paciente de 80 kg?
Exercı́cios de Aplicação
1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimensões e as
unidades, no sistema internacional,
Grandeza
Comprimento
Massa
Tempo
Dimensão
L
M
T
Unidades SI
m (metro)
kg (quilograma)
s (segundo)
das grandezas mecânicas primárias:
a) Sabendo que força = massa · aceleração, expresse a unidade de força em unidades de grandezas primárias.
b) Determine os valores de n e p, se a expressão M Ln T n−p
corresponde à dimensão de energia cinética.
2. (FGV-SP) A dimensão de potência em função das grandezas fundamentais, massa (M ), comprimento (L) e tempo
(T ) é:
Fı́sica B – Aula 2
a) M L2 T −2
b) M L2 T −1
c) M L2 T 2
d) M L2 T −3
e) M LT −2
3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min,
o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em
segundos, é de:
a) 3, 0 × 102 .
b) 3, 0 × 103 .
c) 3, 6 × 103 .
d) 6, 0 × 103 .
e) 7, 2 × 103 .
Exercı́cios Complementares
4. (UFPI) A nossa galáxia, a Vı́a Láctea, contém cerca de
400 bilhões de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estrelas possuam um sistema planetário onde exista um planeta
semelhante à Terra. O número de planetas semelhantes à
Terra, na Vı́a Láctea, é:
a) 2 × 104 .
b) 2 × 106 .
c) 2 × 108 .
d) 2 × 1011 .
e) 2 × 1012 .
5. Transforme em quilômetros:
a) 3600 m;
b) 2160000 cm;
c) 0, 03 m;
d) 5780 dm;
e) 27600 m;
f) 5800 mm;
6. (Unifor-CE) Um livro de Fı́sica tem 800 páginas e 4, 0 cm
de espessura. A espessura de uma folha do livro vale, em
milı́metros:
a) 0, 025.
b) 0, 050.
c) 0, 10.
d) 0, 15.
e) 0, 20.
7. Escreva os seguintes números em notação cientı́fica:
a) 570.000
b) 12.500
c) 50.000.000
d) 0, 0000012
e) 0, 032
f) 0, 72
g) 82 × 103
h) 640 × 105
i) 9.150 × 10−3
j) 200 × 10−5
k) 0, 05 × 103
l) 0, 0025 × 10−4
9
Fı́sica B
Aula 2
Algarismos Significativos
A precisão de uma medida simples depende do instrumento
utilizado em sua medição. Uma medida igual a 2, 00 cm não
deve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm.
Denominamos algarismos significativos todos os algarismos
conhecidos com certeza, acompanhados de um último duvidoso, que expressam o valor da medida de uma grandeza,
ou seja: todos os algarismos que representam a medida de
uma grandeza são algarismos significativos, sendo chamados
de corretos, com exceção do último, que recebe o nome de
algarismo duvidoso.
O algarismo duvidoso de uma medida será sublinhado para
destacá-lo, quando for preciso.
Exemplos
1. A medida 2, 35 cm apresenta três algarismos significativos (2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3)
e um algarismo duvidoso (5).
2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois algarismos significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e
um duvidoso (7). Observe que os zeros à esquerda
não são algarismos significativos, pois servem apenas
para posicionar a vı́rgula no número. Nesse caso, é
aconselhável escrever a medida em notação cientı́fica:
5, 7 × 10−4 mm.
3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos significativos, sendo os quatro primeiros corretos, e o último
zero é o algarismo duvidoso. Em notação cientı́fica escrevemos: 1, 5000 × 102 km. Note que ao escrevermos um número usando as potências de 10 mantemos
a quantidade de algarismos significativos deste número,
ou seja, mantemos sua precisão.
4. Considere a medida do comprimento de uma haste com
régua com divisões em centı́metros:
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
Qual das opções abaixo melhor representa o comprimento da haste?
a) 5, 0 cm
b) 5, 40 cm
c) 5 cm
d) 5, 5 cm
e) 5, 2 cm
5. Considere a figura:
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
10
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
A mesma haste do exemplo anterior, medida agora com
uma régua milimetrada:
O resultado de uma multiplicação e divisão não pode ter
maior número de algarismos significativos do que o fator mais pobre (em algarismos significativos). Procede-se a
operação normalmente e arredonda-se o resultado.
a) 5, 2 cm
b) 5, 240 cm
c) 5, 45 cm
Exemplos
d) 5, 24 cm
e) 5, 21 cm
6. Indique o número de algarismos significativos de cada
número abaixo:
a) 7, 4
2 significativos
b) 0, 0007
1 significativo
c) 0, 034
2 significativos
d) 7, 40 × 10−10
3 significativos
Critérios de Arredondamento
Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . . × 10 8 m/s.
Como devemos proceder para escrever “c” com um número
menor de algarismos significativos? Devemos utilizar os
critérios de arredondamento.
Podemos escrever:
c = 2, 998 × 108 m/s
8
c = 3, 00 × 10 m/s
8
c = 3, 0 × 10 m/s
Multiplicação e Divisão
4 significativos
3 significativos
2 significativos
REGRAS
• Se o algarismo a ser eliminado é menor que 5, ele é
simplesmente eliminado.
√
Exemplo: 2 = 1, 41421 . . . = 1, 414
• Se o algarismo a ser eliminado é igual ou maior que
5, ele é eliminado, mas acrescentamos uma unidade no
algarismo anterior.
Exemplo: π = 3, 1415926 . . . = 3, 1416
• 4, 23 m × 2, 000 m = 8, 46 m2 = 8, 5 m2
• 4, 98 cm ÷ 2, 00 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s
Relações entre Grandezas Fı́sicas
Muitos fenômenos fı́sicos podem ser reduzidos ao estudo da
relação entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dados
obtidos das medições podem ser expressos por uma representação gráfica num plano cartesiano por meio de dois eixo
perpendiculares entre si.
Através da representação gráfica da relação entre duas grandezas pertencentes a um determinado fenômeno fı́sico, podemos obter algumas conclusões sobre o comportamento de
uma das grandezas (variável dependente) em relação a outra
(variável independente).
Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foi
medicada, ingerindo uma dose do medicamento às 8 horas
e uma outra dose às 12 horas da manhã. A temperatura da
pessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidos
são mostrados abaixo.
Tempo (h)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temperatura (◦ C)
39,0
39,0
38,5
38,0
38,5
37,5
37,0
36,5
36,5
36,5
Adição e Subtração
Podemos representar os dados da tabela acima em um
gráfico. A representação gráfica das variáveis temperatura
(variável dependente: eixo vertical) e tempo (variável independente: eixo horizontal) está mostrada na Fig. 1.1.
O resultado da adição e subtração de dois números não pode
ter maior número de casas decimais, do que a parcela mais
pobre (em casas decimais). Procede-se a operação normalmente e arredonda-se o resultado.
O gráfico cartesiano mostrado anteriormente, além de facilitar a visualização do comportamento da temperatura da
pessoa durante as 9 horas de observação, permite também,
algumas conclusões.
Operações com Algarismos Significativos
Exemplos
Como Construir um Gráfico
• 5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m
• 138, 95 m − 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m
Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para a
seguir procedermos o arredondamento.
Para que gráficos sejam construı́dos de forma objetiva e
clara é necessário respeitar algumas regras simples:
• O eixo vertical é chamado de eixo das abscissas e o
horizontal de eixo das coordenadas;
T(oC)
Fı́sica B – Aula 2
11
40.0
Exercı́cios de Aplicação
39.0
1. Determine o comprimento de cada haste:
38.0
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
a)
37.0
36.0
35.0
0.0
b)
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
t(h)
Figura 1.1: Gráfico da temperatura em função do tempo
• a variável dependente deve ser colocada no eixo vertical
e a variável independente no eixo horizontal;
• os eixos devem se encontrar no canto inferior esquerdo do papel, ou espaço (retângulo) reservado para
o gráfico;
• as escalas são independentes e devem ser construı́das
independentemente;
• as divisões numéricas das escalas (lineares) devem ser
regulares;
• o valor zero (0) não precisa estar em nenhuma das escalas;
• as escalas devem crescer da esquerda para a direita, e
de baixo para cima;
• antes de iniciar a construção de um gráfico deve-se verificar a escala a ser usada levando em consideração os
valores extremos, ou seja, o maior e o menor valor assumido por ambas as variáveis do gráfico. Divide-se então
o espaço disponı́vel, em cada eixo, para que acomode
todos os pontos experimentais;
• o teste final para saber se as escalas estão boas é feito
verificando-se se é fácil de ler as coordenadas de qualquer ponto nas escalas.
Pense um Pouco!
• A função da posição x em relação ao tempo t de um
ponto material em movimento retilı́neo, expressa em
unidades do SI, é
x = 10 + 5, 0t
Determine:
a) a posição do ponto material no instante 5, 0 s;
b) o instante em que a posição do ponto material é
x = 50 m;
c) esboce o gráfico x × t do movimento.
c)
d)
e)
f)
2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divisão,
o milı́metro. Essa trena é utilizada para se medir a distância
entre dois traços paralelos, muito finos, feitos por um estilete
sobre uma superfı́cie plana e lisa. Considerando que não
houve erro grosseiro, o resultado de uma só medição, com
o número correto de algarismos significativos, é mais bem
representado por:
a) 2 m
b) 21 dm
c) 214 cm
d) 2, 143 m
e) 2.143, 4 m
Exercı́cios Complementares
3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento
de sua mesa de trabalho. Não dispondo de régua, decide
utilizar um toco de lápis como padrão de comprimento. Verifica então que o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5
tocos de lápis. Chegando ao colégio, mede com uma régua
o comprimento do seu toco de lápis, achando 8, 9 cm. O
comprimento da mesa será corretamente expresso por:
a) 120, 15 cm
b) 120, 2 cm
c) 1 × 102 cm
d) 1, 2 × 102 cm
e) 102 cm
4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, após realizar a medida necessária, que o volume de um dado é 2, 36 cm 3 .
Levando-se em conta os algarismos significativos, o volume
total de cinco dados, idênticos ao primeiro, será corretamente expresso por:
a) 6, 8 cm3
12
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
b) 7 cm3
c) 13, 8 cm3
d) 16, 80 cm3
e) 17, 00 cm3
No exemplo anterior do carro, poderı́amos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade ~v , de módulo v = 80 km/h, na direção norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instantânea
pode ser representada por um vetor, como mostra a figura
1.1.
5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 folhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a medida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura média
de uma folha é:
a) 10−1 mm
b) 10−2 mm
c) 10−3 mm
d) 10−4 mm
e) 10−5 mm
Fı́sica B
Aula 3
Grandezas Escalares e Vetoriais
Na Fı́sica tratamos de dois tipos principais de grandezas: as
grandezas escalares e grandezas vetoriais.
Grandezas Escalares
A grandeza escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos apenas sua intensidade
acompanhada pela correspondente unidade de medida.
Como exemplos de grandeza fı́sica escalar podemos citar a
massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura
(por exemplo 36 o C), o volume (5 m3 , por exemplo), a densidade (para a água, 1000 kg/m3 ), a pressão (105 N/m2 ), a
energia (por exemplo 100 J) e muitas outras.
Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de
operações algébricas comuns, arredondando-se quando necessário.
Figura 1.1: Exemplo de representação vetorial
Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais é preciso indicar, além do módulo, a direção e
o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indicação utilizando um vetor (veja a figura 1.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho intensidade - é proporcional à intensidade da grandeza que
representa.
Para melhor entendermos o significado e a representação de
um vetor, observe a figura 1.3.
Figura 1.2: A reta s, que contém o vetor, indica a direção
e a seta indica o sentido
Grandezas Vetoriais
Dada a velocidade instantânea de um móvel qualquer (por
exemplo, um carro a 80 km/h), constatamos que apenas
essa indicação é insuficiente para dizermos a direção em que
o móvel segue. Isso acontece porque a velocidade é uma
grandeza vetorial.
Para uma grandeza fı́sica vetorial ficar totalmente caracterizada, é necessário saber não apenas a sua intensidade ou
módulo mas também a sua direção e o seu sentido. Geralmente a grandeza vetorial é indicada por uma letra com
uma setinha (por exemplo, ~v ) e o módulo ou intensidade,
por |~v | ou simplesmente por v.
A grandeza fı́sica vetorial pode ser representada graficamente por um segmento de reta (indicando a direção da
grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e
trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indicação de seu módulo ou intensidade). Tal representação é
denominada vetor.
Figura 1.3: Representação de algums vetores
Na figura de cima os vetores representados possuem mesma
direção e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam
a mesma direção e sentidos opostos. Portanto, podemos
notar que vetores de mesma direção são paralelos, o que
não garante que tenham o mesmo sentido.
Fı́sica B – Aula 3
13
Soma de Vetores Paralelos
Quando os vetores tem a mesma direção, podemos determinar o módulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente
os seus módulos. Observe:
Figura 1.4: De acordo com a convenção adotada, o
módulodo vetor será d = a + b − c.
Os vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma direção (horizontal).
Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita.
Assim, os vetores ~a e ~b são positivos e o vetor ~c é negativo.
~ é dado por
O módulo do vetor soma, d,
d=a+b−c
~ isso significa que seu
Se obtermos um valor positivo para d,
sentido é positivo, ou seja, o vetor é horizontal para a direita;
se for negativo, o seu sentido é negativo, isto é, o vetor é
horizontal para a esquerda.
Vetores Perpendiculares
Imaginaremos agora, que um móvel parte de um ponto A e
sofre um deslocamento d~1 no sentido leste, atingindo um
ponto B e, em seguida, um deslocamento d~2 no sentido
norte, atingindo um ponto C (veja a figura 1.5)
Podemos notar facilmente que o deslocamento d~1 , de A para
B, e o d~2 , de B para C, equivalem a um único deslocamento,
~ de A para C. Desta forma, o deslocamento d~ é a soma
d,
vetorial ou resultante dos deslocamentos d~1 e d~2 , ou seja,
d~ = d~1 + d~2
Figura 1.5: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos d~1
e d~2 . Portanto d~ = d~1 + d~2 .
Soma de Vetores
A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direções
quaiaquer não apresenta muita diferença. Para um móvel,
partir de A e atingir B num deslocamento d~1 e, em seguida,
atingir C num deslocamento d~2 equivale a partir de A e atingir C num deslocamento d~ (veja figura 1.7). Desta forma,
d~ = d~1 + d~2
Na determinação do módulo do vetor d~ resultante, não podemos aplicar o teorema de Pitágoras, tendo em vista que
o ângulo entre d~1 e d~2 não é reto (90o ). Assim, aplicamos a
regra do paralelogramo, como mostra a figura 1.8.
Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal é o
vetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo,
se ~a e ~b formam entre si um ângulo α, o módulo do vetor
resultante ~c será dado pela expressão:
c2 = a2 + b2 + 2ab · cos α
Decomposição de Vetores
Este resultado é válido para qualquer grandeza vetorial. Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor,
o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao
Veja a figura 1.6.
decompormos
dois vetores, realizamos um processo inverso.
Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c.
Dado
um
vetor
~a, obtêm-se outros dois vetores a~x e ~ay tal
É crucial notar que a colocação do vetor ~b na origem ou na
que a~x + a~y = ~a (veja a figura 1.9).
extremidade do vetor ~a não altera o vetor soma ~c. Devese observar que os vetores ~a, ~b e ~c formam um triângulo O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor
retângulo, em que ~c é a hipotenusa ~a e ~b são catetos. Para ~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~a x e
obtermos o módulo do vetor resultante, basta aplicar o te- ~ay formem um triângulo retângulo (figura 1.10). Aplicando
a trigonometria ao triângulo retângulo, podemos determinar
orema de Pitágoras:
o módulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical)
c2 = a 2 + b 2
de ~a em função do ângulo α. Desta forma, no triângulo
14
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Figura 1.6: O vetor ~c é a resultante ou soma vetorial de ~a
e ~b.
Figura 1.8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados são os
vetores ~a e ~b, é o vetor resultante ~c. Podemos deslocar o
vetor ~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo a figura
anterior.
• O módulo da soma de dois vetores pode ser igual à
soma de seus módulos? Quando?
• O módulo de um vetor pode ser negativo? Por quê?
Figura 1.7: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos d~1
e d~2 .
Exercı́cios de Aplicação
rachurado da figura 1.10, temos
1. Um móvel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e em
seguida, 50 m no sentido norte-sul.
a) Represente esquematicamente esses deslocamentos.
b) Determine o módulo do deslocamento resultante.
cos α =
cateto adjacente
ax
⇒ cos α =
hipotenusa
a
ax = a · cos α
onde ax é o módulo da componente horizontal ~ax do vetor
~a. Temos ainda
sin α =
2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o módulo da
resultante de F1 e F2 . (Dado: cos 120o = -0,50.)
cateto oposto
~ay
⇒ sin α =
hipotenusa
a
ay = a · sin α
onde ay é o módulo da componente vertical ~ay do vetor ~a.
Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus
componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitágoras
no triângulo formado por ~a e seus componentes ~a x e ~ay :
a2 = a 2 x + a 2 y
Pense um Pouco!
• Qual a condição para que a soma de dois vetores seja
nula?
3. Um projétil é atirado com velocidade de 400 m/s fazendo um ângulo de 45◦ com a horizontal. Determine os
componentes vertical e horizontal da velocidade do projétil.
Fı́sica B – Aula 4
15
5. Um vetor velocidade é decomposto em dois outros, perpendiculares entre si. Sabendo que o módulo do vetor é
10 m/s e que um dos componentes tem módulo igual a
8 m/s, determine o módulo do vetor correspondente ao outro componente.
6. Um projétil é lançado do solo segundo uma direção que
forma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s
(veja a figura a seguir). Determine o módulo dos componentes horizontal, v~x , e vertical, v~y , dessa velocidade. (Dados:
sen 53o = 0, 80; cos 53o = 0, 60.)
Figura 1.9: O vetor ~a pode ser decomposto em um componente horizontal, ~ax , e outro vertical, a~y .
7. Um avião voa no sentido sul-norte com uma velocidade
de 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um
forte vento com velocidade 50 km/h, no sentido sudoestenordeste.
a) Faça um esquema gráfico representando a velocidade do
avião e do vento.
b) Determine o módulo da velocidade resultante. (Dados:
cos 45o = 0, 71).
Figura 1.10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e a~y formam
um triângulo retângulo, onde ~a é a hipotenusa e ~ax e ~ay são
os catetos.
Exercı́cios Complementares
4. Na figura abaixo estão representadas duas forças: F~1 , de
módulo F1 = 5, 0 N e F~2 , de módulo F2 = 3, 0 N , formando
entre si um ângulo α = 60◦ . Determine a força resultante
F~R para o sistema de forças mostrado.
Fı́sica B
Aula 4
A Primeira Lei de Newton
O Conceito de Força
Geralmente utilizamos uma força com o objetivo de empurrar, puxar ou levantar objetos. Essa idéia é correta, porém
incompleta. A idéia de puxar ou empurrar está quase sempre associada a idéia de contato, o que exclui uma caracterı́stica fundamental da noção de força: a ação à distância.
A atração gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo,
é exercida a milhões de quilômetros de distância.
A palavra força não possui uma definição única, expressa em
palavras. A Fı́sica moderna admite a existência de quatro
tipos de força na natureza, chamadas mais adequadamente
de interações: gravitacional, eletromagnética, e as forças
nucleares forte e fraca.
Em relação ao estudo dos movimentos e de suas causas,
pode-se dizer que força é a ação capaz de modificar a velocidade de um corpo.
Como muitas outras grandezas em Fı́sica, a força é uma
grandeza vetorial, ou seja, possui módulo direção e sentido.
16
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Podemos resumir, então a definição de força da seguinte
forma:
O que é Inércia?
Força é uma grandeza vetorial que caracteriza a ação de um corpo sobre outro e que
tem como efeito a deformação ou a alteração
da velocidade do corpo sobre o qual ela está
sendo aplicada.
A Primeira Lei de Newton
Todos os corpos apresentam a tendência de se manter em
repouso ou em movimento retilı́neo uniforme. Essa propriedade dos corpos é chamada inércia. A palavra inércia é derivada do latim inertia, que significa indolência ou preguiça.
Os corpos têm uma espécie de resistência às modificações de
sua velocidade.
Equilı́brio de uma Partı́cula
Dizemos que uma partı́cula se encontra em equilı́brio,
quando a resultante das forças atuando sobre ela for nula.
Se a resultante é nula, não ocorre alteração na velocidade
do objeto. Assim,se ele estiver em repouso, chamamos o
equilı́brio de estático; se ele estiver em movimento retilı́neo
e uniforme, o equilı́brio será chamado de dinâmico.
Pense um Pouco!
• Qual a relação entre a Primeira Lei de Newton e o cinto
de segurança? e o encosto para a cabeça no banco do
carro?
• Por que quando um ônibus freia repentinamente, os
passageiros são “arremessados” para a frente? e o que
ocorre quando o ônibus é acelerado?
Figura 1.1: Isaac Newton (1642-1727).
Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pensar em uma pergunta: “o que acontece com o movimento
de um corpo livre de qualquer força?” Essa pergunta pode
ser respondida em duas partes. A primeira trata do efeito
da inexistência de forças sobre o corpo em repouso: se nenhuma força atua sobre o corpo em repouso, ele continua em
repouso. A segunda parte trata do efeito da inexistência de
forças sobre o corpo em movimento: se nenhuma força atua
sobre o corpo em movimento, ele continua em movimento.
Mas que tipo de movimento? Já que não existem forças
atuando sobre o corpo, sua velocidade não varia de módulo
ou direção. Desta forma, o único movimento possı́vel do
corpo na ausência de qualquer força atuando sobre ele é o
movimento retilı́neo uniforme.
A Primeira Lei de Newton reúne as duas respostas anteriores em um único enunciado:
Todo corpo tende a manter seu estado de
repouso ou de movimento retilı́neo e uniforme, a menos que forças externas provoquem variação na sua velocidade.
De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmar
que na ausência de forças, todo corpo tende a ficar como
está: parado se estiver parado, em movimento retilı́neo uniforme, se estiver em movimento (retilı́neo uniforme). Por
este motivo essa lei também é chamada de Princı́pio da
Inércia.
Exercı́cios de Aplicação
1. (UFMG) Um corpo de massa m está sujeito à ação de
uma força F~ que o desloca segundo um eixo vertical em sentido contrério ao da gravidade. Se esse corpo se mover com
velocidade constante é porque:
a) a força F~ é maior do que a da gravidade.
b) a força resultante sobre o corpo é nula.
c) a força F~ é menor do que a gravidade.
d) a diferença entre os módulos das forças é diferente de
zero.
e) a afirmação da questão está errada, pois qualquer que
seja F~ o corpo estará acelerado porque sempre existe a aceleração da gravidade.
2. (Vunesp-SP) Assinale a alternativa que representa o
enunciado da Lei da Inércia, também conhecida como primeira Lei de Newton.
a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo uma
órbita elı́ptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.
b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional
ao quadrado da distância entre eles.
c) Quando um corpo exerce uma força sobre outro, este reage sobre o primeiro com uma força de mesma intensidade
e direção, mas de sentido contrário.
d) A aceleração que um corpo adquire é diretamente proporcional à resultante das forças que nele atuam, e tem mesma
direção e sentido dessa resultante.
Fı́sica C – Aula 1
17
e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre ele
estejam agindo forças com resultante não nula.
tas ocorre sobre um plano bem definido, e cada planeta tem
o seu plano orbital diferente, e todos esses planos devem ter
pelo menos um ponto em comum, o Sol.
3. (Vunesp-SP) As estatı́sticas indicam que o uso do cinto
de segurança deve ser obrigatório para prevenir lesões mais
graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes.
Fisicamente, a função do cinto está relacionada com a:
a) primeira Lei de Newton.
b) lei de Snell.
c) lei de Ampère.
d) lei de Ohm.
e) primeira Lei de Kepler.
Exercı́cios Complementares
4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo,
presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se a
corda. Pela Lei da Inércia, conclui-se que:
a) a pedra se mantém em movimento circular.
b) a pedra sai em linha reta, segundo a direção perpendicular à corda no instante do corte.
c) a pedra sai em linha reta, segundo a direção da corda no
instante do corte.
d) a pedra pára.
e) a pedra não tem massa.
Figura 1.1: 1a Lei de Kepler.
A Lei da Áreas (1609)
A reta unindo o planeta ao Sol varre áreas
iguais em tempos iguais. O significado fı́sico desta
lei é que a velocidade orbital não é uniforme, mas
varia de forma regular: quanto mais distante o planeta está do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira, esta lei estabelece que a
velocidade areolar (referente a área) é constante.
5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme retilı́neo, só pode estar sob a ação de uma:
a) força resultante não-nula na direção do movimento.
b) única força horizontal.
c) força resultante nula.
d) força nula de atrito.
e) força vertical que equilibre o peso.
6. (Fiube-MG) Uma partı́cula se desloca ao longo de uma
reta com aceleração nula. Nessas condições, podemos afirmar corretamente que sua velocidade escalar é:
a) nula.
b) constante e diferente de zero.
c) inversamente proporcional ao tempo.
d) diretamente proporcional ao tempo.
e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo.
Figura 1.2: 2a Lei de Kepler.
A Lei dos Perı́odos (1618)
Fı́sica C
Aula 1
As Leis de Kepler
A Lei das Órbitas (1609)
A órbita de cada planeta é uma elipse, com o
Sol em um dos focos. Como consequência da órbita
ser elı́ptica, a distância do Sol ao planeta varia ao
longo de sua órbita.
Lembre-se, a elipse é uma linha plana, com focos no seu
mesmo plano. Isso implica em que o movimento dos plane-
O quadrado do perı́odo orbital dos planetas é
diretamente proporcional ao cubo de sua distância
média ao Sol.
Esta lei estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica que a força entre o Sol e o planeta decresce com a
distância ao Sol. Sendo P o perı́odo orbital do planeta, a
o semi-eixo maior da órbita, que é igual à distância média
do planeta ao Sol, e K uma constante, Podemos expressar
a 3a lei como:
P2
=K
a3
Se medimos P em anos (o perı́odo orbital da Terra), e a em
unidades astronômicas (1 u.a. = distância média da Terra
18
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
ao Sol), então K = 1, e podemos escrever a 3a lei como:
e podemos concluir que, para os planetas internos (a <
1 u.a.) o perı́odo orbital (ano) será menor do que o ano
terrestre. E para os planetas exteriores (a > 1 u.a.), o
perı́odo é maior do que o terrestre.
maior;
c) Quanto mais próximo de uma estrela (menor raio médio
da órbita) gravita um planeta, menor é o seu perı́odo de
revolução;
d) Satélites diferentes gravitando em torno da Terra, na
mesma órbita têm perı́odos de revolução iguais;
e) Devido à sua maior distância do Sol (maior raio médio da
órbita) o ano de Plutão tem duração menor que o da Terra.
Pense um Pouco!
Exercı́cios Complementares
P2
=1
a3
• Se um novo planeta for descoberto a meia distância
entre o Sol e a Terra, qual o seu perı́odo orbital.
• Um sátelite em órbita na Terra, passando pelo ponto
mais próximo da Terra, está mais rápido ou mais lento
se comparado ao ponto em que está mais afastado da
Terra?
Exercı́cios de Aplicação
1. A tabela abaixo mostra como fica a 3a Lei de Kepler
para os planetas visı́veis a olho nu. Complete os dados que
estão faltando.
Planeta a(u.a.) P (ano)
a3
P2
Mercúrio
0,387
0,241
0,058
0,058
Vênus
0,723
0,615
0,378
Terra
1,000
1,000
1,000
1,000
Marte
1,524
1,881
3,537
Júpter
5,203
11,862
140,700
Saturno
9,534
29,456
2. Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativa
que condiz com a 1a lei de Kepler da Gravitação Universal
(lei das órbitas):
a) As órbitas planetárias são curvas quaisquer, desde que
fechadas;
b) As órbitas planetárias são espiraladas;
c) As órbitas planetárias não podem ser circulares;
d) As órbitas planetárias são elı́pticas, com o Sol ocupando
o centro da elipse;
e) As órbitas planetárias são elı́pticas, com o Sol ocupando
um dos focos da elipse.
3. A 2a lei de Kepler (Lei das Áreas) permite concluir que
um planeta possui:
a) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol;
b) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol;
c) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol;
d) velocidade constante em toda sua trajetória;
e) n.r.a.
4. Assinale a alternativa que está em desacordo com as Leis
de Kepler da Gravitação Universal:
a) O quociente do cubo do raio médio da órbita pelo quadrado do perı́odo de revolução é constante para qualquer
planeta de um dado sistema solar;
b) quadruplicando-se o raio médio da órbita de um satélite
em torno da Terra, seu perı́odo de revolução fica 8 vezes
5. Com relação às leis de Kepler, podemos afirmar que:
a) Não se aplicam ao estudo da gravitação da Lua em torno
da Terra;
b) só se aplicam ao nosso Sistema Solar;
c) aplicam-se à gravitação de quaisquer corpos em torno de
uma grande massa central;
d) contrariam a mecânica de Newton;
e) não prevêem a possibilidade da existência de órbitas circulares.
6. Considere dois satélites de massas ma e mb , sendo ma =
2mb , descrevendo a mesma órbita em torno da Terra. Com
relação à velocidade dos dois teremos:
a) va > vb
b) va < vb
c) va = vb
d) va = vb /2
e) n.r.a
7. Um planeta descreve uma órbita elı́ptica em torno do
Sol. O ponto A é o ponto da órbita mais próximo do Sol; o
ponto B é o ponto mais distante. No ponto A:
a) a velocidade de rotação do planeta é máxima;
b) a velocidade de translação do planeta se anula;
c) a velocidade de translação do planeta é máxima;
d) a força gravitacional sobre o planeta se anula;
e) n.r.a
Fı́sica C
Aula 2
Gravitação Universal
A lei da gravitação universal, proposta por Newton, foi
um dos maiores trabalhos desenvolvidos sobre a interação
entre massas, pois é capaz de explicar desde o mais simples
fenômeno, como a queda de um corpo próximo à superfı́cie
da Terra, até, o mais complexo, como as forças trocadas
entre corpos celestes, traduzindo com fidelidade suas órbitas
e os diferentes movimentos. Segundo a lenda, Newton, ao
observar a queda de uma maça, concebeu a idéia que ela
seria causada pela atração exercida pela terra. A natureza
desta força atrativa é a mesma que deve existir entre a Terra
e a Lua ou entre o Sol e os planetas; portanto, a atração
entre as massas é, com certeza, um fenômeno universal.
Fı́sica C – Aula 2
19
Uma Força Elementar
OBSERVAÇÕES
Sejam duas partı́culas de massas m1 e m2 , separadas por
uma distância r. Segundo Newton, a intensidade da força
F de atração entre as massas é dada por
F =G
m1 m2
r2
onde G é uma constante, a constante da gravitação universal, sendo seu valor expresso, no Sistema Internacional,
por
G = 6, 67 × 10−11 N · m2 /kg 2
F
21
m
2
F
12
m
1
Figura 1.1: Duas partı́culas se massas m1 e m2 sempre se
atraem mutuamente, dando origem a um par de forças F12
e F21 .
As forças F12 e F21 é a da reta que une as partı́culas, e o
sentido tal que as massas sempre se atraem mutuamente,
com mesma intensidade de força, ou seja
F12 = F21
Podemos, ainda, enunciar a lei da gravitação universal do
seguinte modo:
Dois corpos se atraem gravitacionalmente com
força cuja intensidade é diretamente proporcional
ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre seus centros
de massa.
Após a formulação da lei da Gravitação, com o desenvolvimento do cálculo integral, Newton também mostrou que
a força gravitacional entre esferas homogêneas também
segue a mesma forma estabelecida para as partı́culas. E
também vale a mesma força para uma partı́cula e uma esfera homogênea. Esse resultado foi tão surpreendente para
o proóprio Newton, que inicialmente nem ele acreditou no
que havia provado matematicamente!
Aplicando-se a lei de gravitação para um corpo de massa m
na superfı́cie da Terra, temos então
F =G
MT m
GMT
=
m = mg = P
2
RT
RT2
onde RT e MT são o raio e a massa da Terra, respectivamente, e à força obtida chamamos peso.
Medidas atuais mostram que MT = 5, 98 × 1024 kg e
RT = 6, 37 × 106 m. A constante g que aparece acima é justamente a aceleração da gravidade na superfı́cie da Terra.
Experimente calcular g com os dados fornecidos!
1. A força gravitacional é sempre de atração;
2. A força gravitacional não depende do meio onde os corpos se encontram imersos;
3. A constante da gravitação universal G teve seu valor
determinado experimentalmente por Henry Cavendish,
em 1798, por meio de um instrumento denominado balança de torção e esferas de chumbo.
Pense um Pouco!
• Qual a direção e o sentido da força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre os corpos que estão
próximos à superfı́cie?
• A aceleração da gravidade na Lua é 6 vezes menor do
que a aceleração da gravidade próxima à superfı́cie da
Terra. O que acontece com o peso e a massa de um
astronauta na Lua?
• O valor da aceleração da garvidade é relevante para os
esportes?
Exercı́cios de Aplicação
1. Duas partı́culas de massas respectivamente iguais a
M e m estão no vácuo, separadas por uma distância d.
A respeito das forças de interação gravitacional entre as
partı́culas, podemos afirmar que:
a) têm intensidades inversamente proporcional a d;
b) têm intensidades diretamente proporcional ao produto
Mm;
c) não constituem entre si um par ação e reação;
d) podem ser atrativas ou repulsivas;
e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar.
2. A razão entre os diâmetros dos planetas Marte e Terra é
1/2 e entre as respectivas massas é 1/10. Sendo de 160 N o
peso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu peso
em Marte será de:
a) 160 N
b) 80 N
c) 60 N
d) 32 N
e) 64 N
3. Uma menina pesa 400 N na superfı́cie da Terra, onde
se adota g = 10m/s2 . Se a menina fosse transportada até
uma altura igual ao raio da Terra (6.400 km), sua massa e
seu peso seriam, respectivamente:
a) 40 kg e 100 N
b) 40 kg e 200 N
c) 40 kg e 400 N
d) 20 kg e 200 N
e) 10 kg e 100 N
4. Um corpo é colocado na superfı́cie terrestre é atraı́do
por esta com uma força F . O mesmo corpo colocado na
20
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
superfı́cie de um planeta de mesma massa da Terra e raio
duas vezes menor será atraı́do pelo planeta com uma força
cujo módulo é:
a) 4F
b) 2F
c) F
d) F/2
e) F/4
Para um corpo homogêneo, ρ será a própria densidade do
material. Para um corpo não homogêneo, como por exemplo uma corpo oco, a expressão acima resulta na densidade
média do corpo.
Unidades SI
m: massa em quilogramas (kg)
V : volume em metro cúbico (m3 )
Exercı́cios Complementares
5. Se a massa da Terra não se alterasse, mas o seu raio fosse
reduzido à metade, o nosso peso seria:
a) reduzido à quarta parte
b) reduzido à metade
c) o mesmo
d) dobrado
e) quadruplicado
6. Um corpo de massa m gira em torno da Terra, em órbita
circular, com velocidade escalar constante v. Sendo G a
constante gravitacional e M a massa da Terra, o raio da
trajetória descrita pelo corpo será:
a) G/M v 2
b) G/mv 2
c) Gm/v 2
d) GM/v 2
e) GM m/v 2
7. Sabe-se que no interior de uma nave em órbita circular
em torno da Terra um astronauta pode flutuar, como se não
tivesse peso. Esse fato ocorre porque:
a) a nave está fora do campo gravitacional da Terra;
b) há ausência de atmosfera;
c) a atração exercida pela Lua é maior do que a atração
exercida pela Terra;
d) ambos, astronauta e nave, estão em queda livre no seu
movimento circular;
e) há uma redução na massa dos corpos.
Fı́sica C
Aula 3
Fluidos
Chegou o momento de descrevermos o comportamento dos
fluidos, para isso falaremos de temas como densidade,
pressão, empuxo e outros temas que nos levarão a um aprofundamento da Hidrostática.
Densidade e Massa especı́fica
Massa especı́fica ρ de uma substância é a razão entre determinada massa desta substância e o volume correspondente.
Temos então:
m
ρ=
v
ρ: massa especı́fica em quilogramas por metro cúbico
(kg/m3 )
Observação
No caso da água, cuja massa especı́fica vale 1 g/cm3 , observamos que cada cm3 de água tem massa de 1 g. Assim é que,
numericamente, massa e volume serão iguais para a água,
desde que medidos em gramas e em centı́metros cúbicos respectivamente. Como 1 litro corresponde a 1000cm3 , no caso
da água temos uma densidade de 1 kg/l. E com um metro
cúbico equivale a 1000 litros, teremos também para a água,
a densidade 1000 kg/m3 .
Pressão
Pressão p é a força normal, por unidade de área, que um
fluido em equilı́brio exerce em contato com uma parede.
Podemos representar matematicamente por:
p=
F
A
Unidades SI
p: pressão em N/m2 = pascal = P a
F : força normal (ortogonal) em newtons ou N
A: área onde é exercida a força, em metros quadrados m 2
Pressão Atmosférica
Pressão exercida pelo peso da camada de ar existente sobre
a superfı́cie da Terra. Ao nı́vel do mar, à temperatura de
0 ◦ C é igual a 1 atm.
É comum o uso de unidades de pressão não pertencentes ao
SI: atmosfera (atm) e milı́metros de mercúrio (mmHg):
1 atm = 760 mmHg = 1, 01 × 105 P a
Pressão Hidrostática
No estudo da hidrostática, que faremos a seguir, vamos considerar o lı́quido ideal, isto é, incompressı́vel e sem viscosidade.
Suponhamos um recipiente cilı́ndrico de área de base A,
contendo um lı́quido de massa especı́fica ρ. Qual a pressão
que o lı́quido exerce no fundo do recipiente ?
Fı́sica C – Aula 3
21
Pressão Manométrica e Absoluta
A pressão absoluta é a pressão total exercida em uma
dada superfı́cie, incluindo a pressão atmosférica, quando for
o caso. A pressão absoluta será sempre positiva ou nula.
h
ρ
Em muitos casos, como na calibração de um pneu, estamos
interessados apenas na diferença entre a pressão interna de
um reservatório (o pneu) e a pressão externa (o ar, que está
na pressão atmosférica local). A essa diferença chamamos
pressão manométrica, e os aparelhos que a medem chamamos de manômetros.
pman. = pint. − patm.
A
Figura 1.1: Vaso cilı́ndrico de área A e altura h, cheio de
um lı́quido de densidade ρ.
Da definição de massa especı́fica, temos:
m
ρ=
v
A pressão manométrica pode ser negativa, positiva ou nula.
Será negativa quando a pressão interna de um reservatório
for menor do que a pressão atmosférica externa. Exemplos:
quando retiramos ar de um recipiente, fazendo-se um vácuo
parcial; ou quando sugamos um canudinho de refrigerante,
baixamos a pressão interna da boca, criando uma “pressão
negativa”.
Pense um Pouco!
V = Ah
• Porque não sentimos a pressão atmosférica normal, já
que ela é tão grande?
m
Ah
• Um barco flutua no mar. Quais as forças relevantes
para que isso ocorra?
ρ=
e portanto:
m = ρAh
Por outro lado, a força que o lı́quido exerce sobre a área A
é o seu próprio peso:
F = P = mg
mas como
• Como é possı́vel se deitar numa cama de pregos sem se
machucar?
• Como funciona o canudinho de refrigerante? Explique.
Exercı́cios de Aplicação
m = ρAh
então temos
F = ρAhg
e finalmente, pelaa definição de pressão,
p=
F
= ρgh .
A
A pressão que o lı́quido exerce no fundo do recipiente depende da massa especı́fica do lı́quido (ρ), da aceleração da
gravidade local (g) e da altura (h) do lı́quido acima do ponto
considerado. Na prática esse resultado e geral, e pode ser
usado para a determinação da pressão hidrostática em qualquer fluido (lı́quido ou gás) em equilı́brio.
Observe que a pressão total dentro de um fluido homogêneo
em equilı́brio será então:
p = patm + ρgh
onde patm é a pressão atmosférica, que atua sobre todos os
corpos imersos no ar.
1. Uma massa de 1 kg de água ocupa um volume de 1 litro
a 40◦ C. Determine sua massa especı́fica em g/cm3 , kg/m3
e kg/l.
2. Determine a massa de um bloco de chumbo que tem
arestas de 10 cm, sendo que a densidade do chumbo é igual
11, 2 g/cm3 .
3. Uma esfera oca, de 1.200 g de massa, possui raio externo
de 10, 0 cm e raio interno de 9, 0 cm. Sabendo que o volume
de uma esfera de raio R é dado por V = 34 πR3 . Usando
π = 3, 14, determine:
a) a densidade média da esfera;
b) a densidade do material de que é feita a esfera.
4. Um cubo maciço de alumı́nio (densidade = 2,7 g/cm 3 ),
de 50 cm de aresta, está apoiado sobre uma superfı́cie horizontal. Qual é a pressão, em P a e em atm, exercida pelo
cubo sobre a superfı́cie?
22
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Exercı́cios Complementares
Na realidade, temos que dividir a pressão num determinado ponto do lı́quido em dois tipos: i) pressão hidrostática:
aquela que só leva em consideração o lı́quido:
5. Existe uma unidade inglesa de pressão – a libra-força
por polegada quadrada – que se abrevia lbf /pol 2 , a qual é
indevidamente chamada de libra. Assim, quando se calibram os pneus de um automóvel, muitas pessoas dizem que
colocaram “26 libras” de ar nos pneus. Agora responda:
a) por que num pneu de automóvel se coloca mais ou menos 25lbf /pol2 enquanto que no de uma bicicleta de corrida (cujos pneus são bem finos) se coloca aproximadamente
70 lbf /pol2
b) Sendo 1 lbf /pol 2 = 0, 07 atm, qual a pressão tı́pica (em
atm) no pneu de um carro?
c) A pressão que nos interessa, neste caso do pneu, é a
pressão manométrica ou a pressão absoluta. Por quê?
Fı́sica C
Aula 4
Hidrostática
Lei de Stevin
phid = ρgh
e ii) pressão absoluta: aquela que leva em consideração o
lı́quido e o ar sobre o lı́quido:
pabs = patm + ρgh
Conseqüências da Lei de Stevin
No interior de um lı́quido em equilı́brio estático:
1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam a
mesma pressão;
2. a superfı́cie de separação entre lı́quidos não miscı́veis é
um plano horizontal;
3. em vasos comunicantes quando temos dois lı́quidos não
miscı́veis temos que a altura de cada lı́quido é inversamente proporcional às suas massas especı́ficas (densidades);
Consideremos um recipiente contendo um lı́quido homogêneo de densidade ρ, em equilı́brio estático. As pressões
que o lı́quido exerce nos pontos A e B são, respectivamente:
pa = ρgha e pb = ρghb
Figura 1.2: Vasos comunicantes, com dois lı́quidos não
miscı́veis em equilı́brio.
py = p x
patm + ρy ghy = patm + ρx ghx
ρy hy = ρ x hx
ρy
hx
=
ρx
hy
Figura 1.1: Cilindro de área de base A e altura h
A lei de Stevin ou princı́pio hidrostático afirma que a
diferença de pressão entre os pontos A e B será:
4. a diferença de pressão entre dois pontos dentro do
fluı́do, depende apenas do seu desnı́vel vertical (∆h),
e não da profundidade dos pontos.
Princı́pio de Pascal
pb − pa = ρg(hb − ha ) = ρg∆h
Pascal fez estudos em fluı́dos e enunciou o seguinte princı́pio:
O useja, a diferença entre dois nı́veis diferentes, no interior
de um lı́quido, é igual ao produto da sua massa especı́fica
pela aceleração da gravidade local e pela diferença de nı́vel
entre os pontos considerados.
A pressão aplicada a um fluı́do em equilı́brio
transmite-se integral e instantaneamente à
todos os pontos do fluı́do e às paredes do
recipiente que o contém.
Fı́sica C – Aula 4
23
Ou seja, se um corpo está mergulhado num fluido de densidade ρf e desloca volume Vf d do fluido, num local onde a
aceleração da gravidade é g, temos:
Pf = m f g
e como
ρf =
mf
Vf d
a massa do fluido deslocado será
mf = ρ f V f d
e portanto
Pf = ρ f V f d g
e, de acordo com o Princı́pio de Arquimedes
Figura 1.3: A prensa hidráulica.
E = ρ f Vf d g
ou simplesmente
A Prensa Hidráulica
E = ρV g
Uma das aplicações deste princı́pio é a prensa hidráulica
como mostramos a seguir:
Observe que:
p1 = p 2
F1
F2
=
A1
A2
A1
F1
=
F2
A2
Isso mostra que uma força pequena F1 é capaz de suportar,
no outro êmbolo, um peso muito grande (F2 ), isso é muito
utilizado, como por exemplo, em posto de gasolina.
A prensa hidráulica é o equivalente hidráulico do princı́pio
da alavanca, de Arquimedes, usado na Mecânica. É bom
lembrar que estas “engenhocas”multiplicam realmente a
força, mas não a energia. O trabalho mı́nimo necessário
para elevar um carro é o mesmo, independente da máquina
que se utilize (Wmin = mgh).
Na prensa mostrada na Fig. 1.3, uma força −F~2 (para
baixo) deverá sef feita no êmbolo da direita, para manter
o equilı́brio do sistema. Em geral, usa-se o êmbolo maior
para suspender uma carga externa, ou levantar um objeto
do chão (macaco hidráulico).
Princı́pio de Arquimedes
ficando a nosso cargo a interpretação correta dos termos
envolvidos.
Flutuação
Segundo o princı́pio de Arquimedes, quando temos um
corpo na superfı́cie de um fluı́do cujo peso (do corpo) é
anulado (igual em módulo) pelo empuxo que ele sofre antes
de estar completamente submerso, o corpo irá flutuar sobre ele, quando abandonado. Baseado nessa aplicação são
construı́dos todos os tipos de barcos e navios.
Para um corpo de peso P flutuando, a condição de equilı́brio
deve ser satisfeita:
X
Fy = +E − P = 0
ou seja
P =E
Pode-se mostrar também que se um corpo tiver uma densidade média ρc maior que a densidade ρf de um certo fluido,
ele não poderá flutuar nesse fluı́do, e acabará afundando se
for solto na sua superfı́cie.
Pense um Pouco!
Arquimedes, há mais de 200 anos a.C., estabeleceu que a
perda aparente do peso do corpo é devido ao surgimento do
empuxo, quando estamos mergulhados num lı́quido, como a
água, por exemplo.
• A pressão atmosférica varia com a altitude? Por quê?
Os corpos mergulhados totalmente ou parcialmente, num fluido, recebem do mesmo
uma força vertical, de baixo para cima, de
intensidade igual ao peso do fluido deslocado, denominada empuxo.
• Quando fechamos a porta de um pequeno quarto a janela (fechada) balança. Explique.
• Como pode um navio de ferro flutuar na água, já que
ρF e > ρH2O ?
• Mergulhando na água um objeto suspenso por um fio,
você observa que a tração no fio muda. Explique.
24
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Exercı́cios de Aplicação
que contém água, através de um fio conforme a figura. Determine a intensidade da tração T no fio que segura a bola
(Considere g = 10 m/s2 ).
1. (UFRJ) O impacto de uma partı́cula de lixo que atingiu a nave espacial Columbia produziu uma pressão da
100 N/cm2 . Nessas condições e tendo a partı́cula 2 cm2 ,
a nave sofreu uma força de:
a) 100 N
b) 200 N
c) 400 N
d) 800 N
e) 1600N
2. Uma piscina com 5, 0 m de profundidade está cheia com
água. Considere g = 10 m/s2 e patm = 1, 0 × 105 P a e
determine:
a) a pressão hidrostática a 3, 0 m de profundidade;
b) a pressão absoluta no fundo da piscina;
c) a diferença de pressão entre dois pontos separados, verticalmente, por 80 cm.
3. (Clássico) Para determinar a pressão atmosférica, Torricelli fez a seguinte experiência: um tubo de vidro, de 1 m
de comprimento, foi cheio de mercúrio e depois emborcado
num recipiente contendo mercúrio; constatou que, ao nı́vel
do mar, o mercúrio no tubo mantém uma altura de 760 mm
acima da sua superfı́cie livre (no recipiente). Se a densidade
do mercúrio é 13, 6 g/cm3 e a aceleração da gravidade local
é de 9, 8 m/s2 , qual a pressão atmosférica constatada por
Torricelli?
4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um automóvel
de massa 1.000 kg, o mesmo é erguido a uma certa altura. O
sistema utilizado é uma prensa hidráulica. Sendo os êmbolos
de áreas 10 cm2 e 2.000 cm2 , e a aceleração da gravidade
local de 10 m/s2 , pergunta-se:
a) em qual êmbolo deve-se apoiar o carro?
b) em qual êmbolo deve-se pressionar para se sustentar o
carro?
c) qual a força aplicada no êmbolo para equilibrar o automóvel?
1.1
Exercı́cios Complementares
5. Água e óleo de densidades 1, 0 e 0, 8, respectivamente,
são colocados em um tubo em “U”. Sendo de 16 cm a
altura da coluna de óleo, determine a altura da coluna de
água medida acima do nı́vel de separação entre os lı́quidos.
6. Os icebergs são grandes blocos de gelo que vagam em
latitudes elevadas, constituindo um sério problema para a
navegação, sobretudo porque deles emerge apenas uma pequena parte, ficando o restante submerso. Sendo V o volume total do iceberg e ρg = 0, 92 g/cm3 a densidade do
gelo, determine a porcentagem do iceberg que fica acima da
superfı́cie livre da água, considerada com densidade igual a
ρf = 1, 0 g/cm3 .
7. Uma bola com volume de 0, 002 m3 e densidade média
de 200 kg/m3 encontra-se presa ao fundo de um recipiente
Fı́sica D
T Aula 1
Cinemática
A Cinemática é a parte da Mecânica que estuda e descreve
o movimento dos corpos, sem se preocupar com suas causas
(forças).
Movimento
Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuitivamente uma idéia do que são os estados de movimento e
repouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso)
são relativos: ao dormir você pode estar em repouso em
relação às paredes de seu quarto; entretanto, em relação ao
sol, você é um viajante espacial. A parte da Fı́sica que trata
do movimento é a Mecânica. Ela procura compreender as
causas que produzem e modificam os movimentos. A seguir, vamos estudar uma subdivisão da Mecânica chamada
Cinemática, que trata do movimento sem se referir às causas
que o produzem.
Ponto Material
Em determinadas situações, ponto material pode representar qualquer corpo, como um trem, um avião, um carro,
uma bala de canhão, um mı́ssil etc. Por que ponto e por
que material? Ponto, porque, na resolução de problemas, estaremos desprezando as dimensões do corpo em movimento,
sempre que as distâncias envolvidas forem muito grandes em
relação às dimensões do corpo. Material, porque, embora
as dimensões do corpo sejam desprezadas, sua massa será
considerada.
Fı́sica D – Aula 1
Repouso, Movimento e Referencial
Examine as seguintes situações:
• Quando estamos dentro de um veı́culo em movimento,
a paisagem circundante é fundamental para estabelecermos os conceitos de movimento e repouso
• Quando observamos o movimento do sol através da
esfera celeste, podemos concluir que a Terra se movimenta ao redor do Sol.
• Uma pessoa nasce e cresce em um ambiente fechado,
sem janelas, não saindo dali durante toda a sua
existência. Nesse caso, pode ser que essa pessoa não
tenha condições de afirmar se aquele ambiente está em
repouso ou em movimento.
Em todos esses casos, percebemos que o movimento é determinado a partir de um referencial: a paisagem é o referencial
do carro e o Sol é o referencial da Terra; se uma pessoa passar a sua vida toda num ambiente absolutamente fechado,
não terá referencial para perceber qualquer movimento, a
não ser o de seu próprio corpo.
Trajetória
Este é outro conceito importante no estudo do movimento.
Vamos partir da figura abaixo. Ela representa uma esfera
abandonada de um avião que voa com velocidade constante:
25
neste movimento, em relação ao referencial adotado. O
deslocamento de um corpo é uma grandeza vetorial, cujo
módulo equivale ao comprimento do segmento de reta, compreendidos entre os pontos inicial e final do movimento.
A
5m
3m
B
C
4m
Na figura, uma partı́cula, saindo do ponto A, percorre a trajetória ABC. A distância percorrida pela partı́cula é a soma
dos trechos AB (3 metros) e BC (4 metros), totalizando 7
metros. Já o deslocamento é representado pela distância
entre o ponto A e ponto C, que é igual a 5 metros.
A
5m
3m
A8−132
B
C
4m
Observações
• O deslocamento foi representado por um segmento de
reta orientado que denominamos de vetor; os vetores
representam as grandezas vetoriais.
• O deslocamento é a menor distância entre o ponto de
saı́da e o ponto de chegada do corpo.
Em relação ao solo, a trajetória da esfera é um arco de
parábola; e em relação ao avião, a trajetória é um segmento
de reta vertical.
Então, podemos concluir que a trajetória:
• é a linha descrita ou percorrida por um corpo em movimento;
• depende do referencial adotado.
Deslocamento × Distância Percorrida
A distância percorrida por um corpo durante um movimento
é a grandeza escalar que corresponde ao comprimento do
segmento que representa a trajetória descrita pelo corpo
• Numa trajetória retilı́nea a distância percorrida e o deslocamento podem ser iguais.
Deslocamento Escalar ∆s
É a variação de espaço s. É medido em metros, quilômetros,
centı́metros, etc. Ou seja:
∆s = s − s0
onde s0 é o espaço inicial s é o espaço final.
O deslocamento escalar pode ser positivo, negativo ou nulo.
Quando ∆s > 0 o movimento é a favor da orientação da trajetória; quando ∆s < 0 o movimento é contra a orientação
da trajetória, mas se ∆s = 0 a posição final é igual a inicial.
26
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Importante
A cada segundo a velocidade aumenta 3, 6 km/h, ou seja,
a velocidade varia +3, 6 (km/h) a cada segundo. Isso é, a
aceleração é:
Há duas possibilidades para ∆s = 0:
• o corpo pode não ter se movimentado;
a=+
• o corpo pode ter se movimentado mas retornado a
posição inicial;
Velocidade Escalar Média
Aqui temos uma aceleração positiva, pois a velocidade vai
aumentando (em módulo) com o tempo.
Outro Exemplo
Quando falamos que um veı́culo percorreu 100 km em 2 h
é fácil determinar que em média ele 50 km a cada 1 h.
Nós dividimos a distância total e o tempo total da viagem.
Isso não significa que o veı́culo andou sempre na mesma
velocidade, pois o veı́culo pode ter parado em um posto de
combustı́vel para abastecer.
Nós sabemos apenas a distância total e o tempo total da viagem, nada sabemos dos acontecimentos durante a mesma.
Mas se o motorista quisesse a viagem no mesmo tempo e andando sempre na mesma velocidade ele deveria andar sempre a 50 km/h. É a velocidade escalar média. Normalmente
não usaremos o termo distância e sim deslocamento escalar
(∆s) e, para indicarmos o tempo decorrido usaremos intervalo de tempo (∆t). Dessa maneira:
Vm =
1, 0 m/s
3, 6 km/h
=
= 1 m/s2
s
s
s − s0
∆s
=
∆t
t − t0
Imagine o seguinte movimento:
t(s)
v(m/s)
3
35
Aceleração Escalar Média (am )
É a variação total da velocidade em relação ao intervalo
total de tempo.
1
1000 m
=
m/s
3600 s
3, 6
am =
v − v0
∆v
=
∆t
t − t0
Unidades SI
No SI medimos a velocidade em m/s, o tempo em segundos
(s), e a aceleração em m/s2 .
e também
1 m/s = 3, 6 km/h
Velocidade Escalar
Exercı́cios de Aplicação
Vamos recordar: a velocidade indica a rapidez e o sentido
do movimento.
Exemplos
1. Va = +10 m/s: a cada segundo o móvel anda 10 m
e indica movimento no sentido da orientação da trajetória.
2. Vb = −10 m/s: a rapidez é a mesma do móvel anterior
e o movimento é no sentido oposto ao da orientação da
trajetória.
Aceleração
Mede a rapidez da mudança da velocidade, é a variação da
velocidade em função do tempo. Imagine um movimento
com a velocidade mudando a cada segundo:
0
10,0
2
40
Nesse caso a aceleração é negativa, pois a velocidade vai
diminuindo (em módulo) com o tempo.
Para transformar velocidades em km/h em m/s fazemos:
t(s)
v(km/h)
1
45
A cada segundo a velocidade varia (diminui) em −5 m/s,
ou seja:
−5 m/s
a=
= −5 m/s2
s
A unidade de velocidade no SI é o m/s.
1 km/h =
0
50
1
13,6
2
17,2
3
21,8
1. (PUC) Um atleta fez um percurso de 800 m num tempo
de 1 min e 40 s. A velocidade escalar média do atleta é de:
a) 8, 0 km/h
b) 29, 0 m/s
c) 29, 0 km/h
d) 20, 0 m/s
e) 15, 0 km/h
2. (UEL) Um móvel percorreu 60, 0 m com velocidade de
15, 0 m/s e os próximos 60, 0 m a 30, 0 m/s. A velocidade
média durante as duas fases foi de:
a) 15, 0 m/s
b) 20, 0 m/s
c) 22, 5 m/s
d) 25, 0 m/s
e) 30, 0 m/s
3. (VUNESP) Ao passar pelo marco “km 200”de uma rodovia, um motorista vê um anúncio com a inscrição “ABASTECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”. Considerando que esse posto de serviços se encontra junto ao
Fı́sica D – Aula 2
27
marco “km 245”dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prevê, para os carros que trafegam nesse trecho, uma
velocidade média, em km/h, de:
a) 80
b) 90
c) 100
d) 110
e) 120
Exercı́cios Complementares
4. (FUVEST) Partindo do repouso, um avião percorre a
pista com aceleração constante e atinge a velocidade de
360 km/h em 25 segundos. Qual o valor da aceleração,
em m/s2 ?
a) 9,8
b) 7,2
c) 6,0
d) 4,0
e) 2,0
5. (PUC) Um trem está com velocidade escalar de 72 km/h
quando freia com aceleração escalar constante de módulo
igual a 0, 40 m/s2 . O intervalo de tempo que o trem gasta
para parar, em segundos, é de:
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
iguais. Se, além da velocidade apresentar valor constante e
a trajetória for retilı́nea, o movimento é dito movimento
retilı́neo uniforme (MRU).
Equação Horária do MU
Ao longo de um movimento, a posição de um móvel varia no
decorrer do tempo. É útil, portanto, encontrar uma equação
que forneça a posição de um móvel em um movimento uniforme no decorrer do tempo. A esta equação denominamos
equação horária do movimento uniforme.
Considere então, o nosso amigo corredor percorrendo com
velocidade constante v a trajetória da figura.
t
t
0
x0
O
x
X
Figura 1.1: Movimento uniforme (MU).
Onde: x0 é a sua posição inicial no instante t0 = 0 e x é a
sua nova posição no instante t posterior. A velocidade do
corredor no intervalo de tempo ∆t = t − t0 = t é
v=
v − v0
∆x
=
∆t
t
e se v é sempre constante, para qualquer instante t, então
temos um movimento uniforme (MU). Neste caso, como a
trajetória do movimento é retilı́nea, temos um movimento
retilı́neo uniforme (MRU).
6. (ACAFE) Um carro inicia a travessia de uma ponte com
uma velocidade de 36 km/h , ao passar a ponte o motorista
observa que o ponteiro do velocı́metro marca 72 km/h. Sabendo que a travessia dura 5, 0segundos, a aceleração do
carro durante a travessia é de:
a) 1 m/s2
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
d) 4 m/s2
e) n.d.a
que nos dá a posição x(t) em cada instante t > 0, para todo
o movimento.
Fı́sica D
Gráfico da Velocidade v × t
Aula 2
Movimento Uniforme (MU)
Invertendo-se a equação acima,
equação horária do movimento:
podemos escrever a
x(t) = x0 + vt
No movimento uniforme, o diagrama da velocidade em
função do tempo v × t x é uma reta paralela ao eixo dos
tempos, uma vez que a velocidade é constante e não varia
ao longo do tempo.
Suponhamos que você esteja dirigindo um carro de tal
forma que o ponteiro do velocı́metro fique sempre na mesma
posição, por exemplo 80 km/h, no decorrer do tempo. Nessa
condição, você irá percorrer 80 km a cada hora de viagem,
em duas horas percorrerá 160 km, e assim por diante. O movimento descrito nessa situação é denominado movimento
uniforme (MU).
v
v
Você já deve ter notado, então, que no movimento uniforme
o valor do módulo da velocidade é constante e não nulo, isto
é, o móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempo
Figura 1.2: Gráfico v × t para o MU: para a direita v > 0
(a); para a esquerda v < 0 (b) e repouso v = 0 (c).
v>0
v
v=0
O
t
O
t
O
t
v<0
28
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Importante
• Quando o movimento é na direção positiva do eixo orientado (o sentido positivo usual é para a direita) a velocidade do móvel é positiva (v > 0). Neste caso x cresce
com o tempo;
a
θ
• Quando o movimento é na direção negativa do eixo orientado (sentido negativo usual é para a esquerda) a
velocidade do móvel é negativa (v < 0), e neste caso, x
decresce com o tempo.
Neste caso como a velocidade está abaixo do eixo das
abscissas, esta possui valor negativo, ou seja está em
sentido contrário ao da trajetória.
• É importante notar que a velocidade corresponde a altura da reta horizontal no gráfico v × t.
• A área de um retângulo é dada pelo produto da base
pela altura: o deslocamento, pelo produto da velocidade pelo tempo.
v
∆ x = vt = Area
t
Figura 1.3: O deslocamento é igual a área sob a curva do
gráfico v × t.
Gráfico da Posição x × t
Como a equação horária no movimento uniforme é uma
equação do primeiro grau, podemos dizer que, para o movimento uniforme, todo gráfico x × t é uma reta inclinada em
relação aos eixos. Quando o movimento é progressivo (para
a direita) a reta é inclinada para cima, indicando que os valores da posição aumentam no decorrer do tempo; quando o
movimento é retrógrado (para a esquerda), a reta é inclinada
para baixo indicando que os valores da posição diminuem
no decorrer do tempo.
Observe no gráfico que, de acordo com a equação horária, a
velocidade pode ser dada pela inclinação da reta, ou seja
v = tan θ
A inclinação da reta também denominada é chamada de
declividade ou coeficiente angular da reta.
Lembre-se de que a tangente de um ângulo, num triângulo
retângulo, é dada pela relação entre cateto oposto e o cateto
adjacente:
Para o movimento progressivo temos o seguinte gráfico:
E para o movimento retrógrado observa-se que:
c
Figura 1.4: Inclinação de uma reta tan θ = b/c.
x
v>0
xo
O
O
b
t
Figura 1.5: Gráfico x × t para o movimento uniforme (MU)
progressivo.
Pense um Pouco!
• Um trem com 1 km de extensão viaja à velocidade de
1 km/min. Quanto tempo leva o trem para atravessar
um túnel de 2 km de comprimento?
• Como seria o gráfico x × t para um objeto em repouso?
• No gráfico x × t, qual a interpretação fı́sica da intersecção da reta com o eixo do tempo t?
Exercı́cios de Aplicação
1. (UEL) Um automóvel mantêm uma velocidade escalar
constante de 72, 0 km/h. Em 1h:10min ele percorre uma
distância igual a:
a) 79, 2 km
b) 80, 8 km
c) 82, 4 km
d) 84, 0 km
e) 90, 9 km
2. (ITAÚNA-RJ) A equação horária de um certo movimento é x(t) = 40 − 8t no SI. O instante t, em que o móvel
passa pela origem de sua trajetória, será:
a) 4 s
b) 8 s
c) 32 s
Fı́sica C – Aula 3
x
29
v<0
Fı́sica C
xo
O
Aula 3
Movimento Uniformemente Variado
(MUV)
t
Figura 1.6: [Gráfico x×t para o movimento uniforme (MU)
retrógrado.
d) 5 s
e) 10 s
3. (UEL) Duas pessoas partem simultaneamente de um
mesmo local com velocidades constantes e iguais a 2 m/s e
5 m/s, caminhando na mesma direção e no mesmo sentido.
Depois de meio minuto, qual a distância entre elas?
a) 1, 5 m
b) 60, 0 m
c) 150, 0 m
d) 30, 0 m
e) 90, 0 m
Analisando um movimento de queda livre, podemos verificar
que o deslocamento escalar vai aumentando com o decorrer
do tempo, isso mostra que a velocidade escalar do corpo varia com o tempo. Trata-se então de um movimento variado.
Galileu já havia descoberto esse movimento e concluiu que,
desprezando a resistência do ar, quando abandonamos do repouso os corpos próximos a superfı́cie da terra caem com velocidades crescentes, e que a variação da velocidade é constante em intervalos de tempos iguais. Podemos então concluir que este é um movimento uniformemente variado
(MUV).
Observamos um MUV quando o módulo da velocidade de
um corpo varia de quantidades iguais em intervalos de tempos iguais, isto é, apresenta aceleração constante e diferente
de zero.
No caso da trajetória ser retilı́nea, o movimento é denominado movimento retilı́neo uniformemente variado
(MRUV). Portanto em um movimento retilı́neo uniforme.
Aceleração e Velocidade no MRUV
Exercı́cios Complementares
4. (UEPG-PR) Um trem de 25 m de comprimento, com
velocidade constante de 36 km/h, leva 15s para atravessar
totalmente uma ponte. O comprimento da ponte é:
a) 120 m
b) 100 m
c) 125 m
d) 80 m
e) nenhuma resposta é correta
5. (TUIUTI-PR) Um motorista passa, sem perceber, em
um radar da polı́cia a 108 km/h. Se uma viatura está,
logo adiante a uma distância de 300 m do radar, em quanto
tempo o motorista passará pela viatura?
a) 7 s
b) 13 s
c) 20 s
d) 10 s
e) 16 s
6. (UESBA) Se dois movimentos seguem as funções horárias
de posição x1 (t) = 100 + 4t e x2 (t) = 5t, com unidades do
SI, o encontro dos móveis se dá no instante:
a) 0 s
b) 400 s
c) 10 s
d) 500 s
e) 100 s
a = constante 6= 0
Como a aceleração escalar é constante, ela coincide com a
aceleração escalar média:
a = am =
v − v0
∆v
=
∆t
t − t0
fazendo t0 = 0, podemos escrever a equação horária da velocidade, ou seja
v = v0 + at
v
O
v
MRUV
a>0
vo > 0
t
O
v
MRUV
a>0
vo < 0
t
O
MRU
a=0
vo > 0
t
Figura 1.1: v × t para o MRUV com a ≥ 0.
Posição versus tempo no MRUV
Analisando o gráfico de v×t, podemos obter a função horária
dos espaço calculando o deslocamento escalar desde t = 0
até um instante t qualquer. Como:
30
v
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
MRUV
v
a<0
vo > 0
O
MRUV
a<0
vo = 0
O
t
v
t
MRU
O
a=0
vo < 0
A Equação de Torricelli
t
Figura 1.2: v × t para o MRUV com a ≤ 0.
O fı́sico italiano Evangelista Torricelli estudou matemática
em Roma. Nos últimos meses de vida de Galileu, Torricelli
se tornou seu aluno e amigo ı́ntimo, o que lhe proporcionou
a oportunidade de rever algumas teorias do mestre. Uma
das conseqüências disso foi a unificação que Torricelli fez das
funções horárias estabelecidas por Galileu para o movimento
uniformemente variado.
Torricelli eliminou o tempo da função
v = v0 + at
∆s = área
∆s =
v + v0
2
obtendo
t = (v − v0 )/a
t
e substituindo o valor de t na função horária dos espaços,
temos
v + v0
v − v0
s = s0 + vm t = s0 +
2
a
como:
∆s = s − s0
onde vm é a velocidade média do movimento.
e
Finalmente, obtemos a equação de Torricelli:
v 2 = v02 + 2a∆s
v = v0 + at
temos
Pense um Pouco!
1
s − s0 = (v0 + at + v0 )t
2
s − s0 =
• Imagine que você está no interior de um automóvel em
movimento. O automóvel é suficientemente silencioso
e macio para que você não perceba sua velocidade e
variações de velocidade. Apenas olhando para o velocı́metro do automóvel, sem olhar pelas janelas e párabrisas, é possı́vel classificar o movimento do automóvel?
1
1
(2v0 + at)t = v0 t + at2
2
2
logo,
• Pode-se usar a equação de Torricelli para se determinar
a altura atingida por um projétil lançdo verticalmente
para cima? Como?
1
s(t) = s0 + v0 t + at2
2
é a função horária dos espaços s(t).
x
x
a>0
vo = 0
O
t
x
a>0
vo < 0
xo = 0
O
t
Exercı́cios de Aplicação
a>0
vo < 0
xo < 0
O
t
xo = 0
Figura 1.3: x × t para o MRUV com a > 0.
x
O
a<0
vo = 0
xo = 0
x
t
O a<0
vo > 0
xo = 0
x
t
O a<0
vo = 0
xo > 0
Figura 1.4: x × t para o MRUV com a < 0.
t
1. (UEL) Uma partı́cula parte do repouso e, em 5 segundos
percorre 100 metros. Considerando o movimento retilı́neo
uniformemente variado, podemos afirmar que a aceleração
da partı́cula é de:
a) 8, 0 m/s2
b) 4, 0 m/s2
c) 20 m/s2
d) 4, 5 m/s2
e) n.d.a.
2. (UFPR) Um carro transitando com velocidade de
15 m/s, tem, seu freio acionado. A desaceleração produzida pelo freio é de 10 m/s2 . O carro pára após percorrer:
a) 15, 5 m
b) 13, 35 m
c) 12, 15 m
d) 11, 25 m
e) 10, 50 m
Fı́sica D – Aula 4
31
3. (ACFE-SC) A velocidade de um certo corpo em movimento retilı́neo é dada pela expressão v(t) = 10 − 2t, no SI.
Calcule o espaço percorrido pelo corpo entre os instantes 2 s
e 3 s.
a) 3 m
b) 5 m
c) 8 m
d) 16 m
e) 21 m
Exercı́cios Complementares
4. (CEFET) Na decolagem, um certo avião partindo do
repouso, percorre 500 m em 10, 0 s. Considerando-se sua
aceleração constante, a velocidade com que o avião levanta
vôo é:
a) 100 m/s
b) 200 m/s
c) 125 m/s
d) 50 m/s
e) 144 m/s
5. (UNESP) Um móvel descreve um movimento retilı́neo
obedecendo a função horária x(t) = 8 + 6t − t2 no SI. Esse
movimento tem inversão de seu sentido no instante:
a) 8 s
b) 3 s
c) 6 s
d) 2 s
e) 4/3 s
6. (UNESP) No instante em que o sinal de trânsito autoriza a passagem, um caminhão de 24 m de comprimento
que estava parado começa atravessar uma ponte de 145 m
de comprimento, movendo-se com uma aceleração constante
de 2, 0 m/s2 . O tempo que o caminhão necessita para atravessar completamente a ponte é:
a) 12 s
b) 145 s
c) 13 s
d) 169 s
e) 14 s
Corpos em queda livre têm a mesma aceleração quaisquer
que sejam suas massas.
Esta aceleração de queda livre é denominada aceleração
da gravidade e, nas proximidades da terra, é suposta constante e com módulo g = 9.8 m/s2 , valor este que por praticidade, é usualmente aproximado para g = 10 m/s2 .
Na realidade, a aceleração da gravidade, embora seja independente da massa do corpo em queda livre, varia com o
local, dependendo da latitude e da altitude do lugar.
Se o corpo em queda livre tiver uma trajetória retilı́nea,
seu movimento será uniformemente variado; neste caso, a
aceleração escalar do corpo será constante e valerá sempre
a = −g, independente do sentido do movimento. Desta
forma, se um objeto for lançado para cima (v0 > 0), ele irá
frear (desacelerar) até parar (v = 0) e depois seu sentido de
movimento será invertido (v > 0).
Convenções
• o sentido positivo do eixo vertical é debaixo para cima;
• quando a e v possuem o mesmo sinal, o movimento é
acelerado (v cresce em módulo);
• quando a e v possuem o sinais contrários, o movimento é desacelerado, freado ou então dito também retardado (v diminui em módulo);
Velocidade Escalar Final
Em um local onde o efeito do ar é desprezı́vel e a aceleração
da gravidade é constante e com módulo g, um corpo é abandonado a partir do repouso de uma altura h acima do solo.
Vamos obter a velocidade escalar final de um corpo ao solto
(v0 = 0), atingir o solo. Pela equação de Torricelli:
v 2 = v02 + 2a∆s = v02 + 2a(s − s0 )
sendo s0 = h e s = 0, temos:
v 2 = 0 + 2(−g)(0 − h) = 2gh
então
Fı́sica D
Aula 4
Queda Livre
Um corpo é dito em queda livre quando esta sob ação exclusiva da gravidade terrestre ( ou da gravidade de outro
corpo celeste).
Foi Galileu quem estudou corretamente pela primeira vez,
a queda livre de corpos.
Galileu concluiu que todos os corpos em queda livre, isto é,
livres do efeito da resistência do ar, tem uma propriedade
comum;
v=−
p
2gh
será a sua velocidade escalar ao atingir o chão. Escolhemos
o sinal negativo (−) porque o corpo está descendo, contra o
sentido crescente do eixo vertical (que é para cima).
Observe que quanto maior a altura inicial h, maior a velocidade final v, como era de se esperar, mas que v não é
proporcional a h.
Tempo de Queda
Vamos obter agora o tempo de queda livre desde que um
corpo é solto (v0 = 0) de uma altura h, até atingir o solo.
Pela equação horária da velocidade do MRUV, temos:
v(t) = v0 + at
32
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
v
a = −g
vo = 0
tq
0
• o movimento do projétil é uniformemente variado porque a aceleração escalar é constante e diferente de zero;
• como foi lançado para cima, a velocidade inicial do
projétil é positiva (v0 > 0);
• orientando-se o eixo vertical para cima, como de costume, a aceleração escalar vale −g;
t
• A partir do ponto mais alto da trajetória, o projétil inverte o sentido de seu movimento e , portanto, sua velocidade é nula no ponto mais alto (ponto de inversão);
• O tempo de subida ts do projétil é calculado como se
segue:
se
Figura 1.1: v × t para a queda livre.
v(t) = v0 − gt
e v(ts ) = 0 para a posição mais alta, temos
e para a queda livre será
0 = v0 − gts
v(t) = v0 − gt
√
e sendo v0 = 0 e v = − 2gh temos
p
− 2gh = 0 − gt
e finalmente
e finalmente
ts =
s
√
2gh
2h
t=
=
g
g
Pode-se mostrar que o tempo de descida é igual ao
tempo de subida. Mostre você mesmo.
a = −g
vo = 0
xo = h
x
h
v0
g
• a velocidade escalar de retorno ao solo é calculada como
se segue:
como o tempo total de vôo é 2ts , temos
2v0
v(2ts ) = v0 − g(2ts ) = v0 − g
g
ou seja, a velocidade de retorno será
0
tq
v = −v0
t
Figura 1.2: x × t para a queda livre.
Observe que quanto maior a altura inicial h, maior o tempo
de queda t, como também era de se esperar, e que t também
não é proporcional a h.
A mesma aceleração que retarda a subida do projétil é a
que o acelera na descida e tem módulo constante g, portanto concluı́mos que que ao retornar ao solo, o projétil
chaga com a mesma velocidade inicial de lançamento,
em módulo.
• A altura máxima atingida pelo projétil é calculada a
partir da equação de Torricelli:
v 2 = v02 + 2a∆s
Lançamento Vertical
Em um local onde o efeito do ar é desprezı́vel e a aceleração da gravidade é constante e com módulo igual a g, um
projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade
de módulo igual a v0 .
Estudemos as propriedades associadas a este movimento:
1
s(t) = s0 + v0 t − gt2
2
e
Observa-se que:
v(t) = v0 − gt
e como v = 0 e ∆s = h, temos
0 = v02 + 2(−g)h
donde
h=
v02
2g
Observe que quanto maior a velocidade inicial v 0 , maior
a altura h atingida pelo projétil, como era de se esperar,
e que h não é proporcional a v0 .
Fı́sica D – Aula 5
Pense um Pouco!
• Por que uma folha inteira e outra amassada não chegam
juntas ao chão, quando soltas simultaneamente de uma
mesma altura?
33
c) 90 m
d) 30 m
e) 60 m
Exercı́cios de Aplicação
5. (UNICAMP) Uma atração que está se tornando muito
popular nos parques de diversão consiste em uma plataforma que despenca, a partir do repouso, em queda livre de
uma altura de 75 m. Quando a plataforma se encontra a
30 m do solo, ela passa a ser freada por uma força constante
e atinge o repouso quando chega ao solo. A velocidade da
plataforma quando o freio é acionado é dada por :
a) 10 m/s
b) 30 m/s
c) 75 m/s
d) 20 m/s
e) 40 m/s
1. (UFAL) Uma pedra é abandonada de uma altura de
7, 2 m, adotando g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistência
do ar, pode-se afirmar que a sua velocidade escalar ao atingir
o solo será:
a) 12 m/s
b) 36 m/s
c) 360 m/s
d) 18 m/s
e) 180 m/s
6. (CEFET-PR) Um balão meteorológico está subindo com
velocidade constante de 10 m/s e se encontra a uma altura
de 75 m, quando dele se solta um aparelho. O tempo que o
aparelho leva para chegar ao solo é:
a) 2 s
b) 4 s
c) 5 s
d) 3 s
e) 7 s
• Um corpo pode ter aceleração a 6= 0 e v = 0? Como?
• Um corpo pode estar subindo (v > 0) e acelerando para
baixo (a < 0)? Como?
• por que não se deve dar um tiro para cima com uma
arma de fogo?
2. (FUVEST) Um corpo é solto, a partir do repouso, do
topo de um edifı́cio de 80 m de altura. Despreze a resistência
do ar e adote g = 10 m/s2 . O tempo de queda até o solo e
o módulo da velocidade com que o corpo atinge o solo são:
a) 4, 0 s e 72 km/h
b) 2, 0 s e 72 km/h
c) 2, 0 s e 144 km/h
d) 4, 0 s e 144 km/h
e) 4, 0 s e 40 km/h
3. (FUVEST) Um corpo é disparado do solo, verticalmente para cima, com velocidade inicial de módulo igual
a 2, 0.102 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando
g = 10 m/s2 , a altura máxima alcançada pelo projétil e o
tempo necessário para alcançá-la são respectivamente:
a) 4, 0 km e 40 s
b) 2, 0 km e 40 s
c) 2, 0 km e 10 s
d) 4, 0 km e 20 s
e) 2, 0 km e 20 s
Fı́sica D
Movimento
(MCU)
Aula 5
Circular
Uniforme
Em um movimento onde a trajetória é uma circunferência
(ou arco de uma circunferência) e a velocidade escalar é
constante, este é denominado como movimento circular
uniforme (MCU). Neste movimento a partı́cula é localizada pela sua posição angular θ, que varia uniformemente
com o tempo.
No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda o
tempo todo, porém mantém fixo o seu módulo (velocidade
escalar).
Movimento Periódico
Exercı́cios Complementares
4. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um método interessante para conseguir degustar uma de suas presas favoritas –
o caranguejo. Consiste em suspendê-lo a uma determinada
altura e aı́ abandonar sua vı́tima para que chegue ao solo
com uma velocidade de módulo igual a 30 m/s, suficiente
para que se quebre por inteiro. Despreze a resistência do
ar e adote g = 10 m/s2 . A altura de elevação utilizada por
essas aves é:
a) 15 m
b) 45 m
Um movimento é chamado periódico quando todas as suas
caracterı́sticas (posição, velocidade e aceleração) se repetem
em intervalos de tempo iguais.
O movimento circular e uniforme é um exemplo de movimento periódico, pois, a cada volta, o móvel repete a
posição, a velocidade e a aceleração.
Perı́odo (T )
Define-se como perı́odo (T ) o menor intervalo de tempo
para que haja repetição das caracterı́sticas do movimento.
34
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
v
3 v
2 "
"! !"
!"
"!"!
!"
!"
"!"!
!"
!R"
"!"!
!"
!"
"!"!
!"
!"
"!"!
!!
" !"
logo, para o MCU temos
v = 2πRf
v1
θ
Velocidade Angular ω
Define a velocidade angular ω de forma semelhante à definição de velocidade v, só que nesse caso estamos interessados na variação da posição angular ocorrida no MCU.
Então:
∆θ
θ − theta0
ω=
=
∆t
t
Para uma volta completa, temos que o deslocamento angular será 2π e t = T , temos
v4
Figura 1.1: O movimento circular uniforme (MCU).
ω=
2π
= 2πf
T
Unidades SI
A velocidade angular ω é medida em rad/s no SI.
No movimento circular e uniforme, o perı́odo é o intervalo
de tempo para o móvel dar uma volta completa.
Como é uma medida de tempo, a unidade SI do perı́odo é
o segundo.
Frequência (f )
Define-se a frequência (f ) de qualquer movimento periódico
como o número de vezes que as caracterı́sticas do movimento
se repetem durante uma unidade de tempo, ou seja, 1 s.
No movimento circular uniforme, a frequência é o número de
voltas realizadas na unidade de tempo. Se o móvel realiza
n voltas em um intervalo de tempo t, a frequencia f é dada
por:
n
f=
t
e por definição, como no MCU o tempo de uma volta completa (n = 1) é o próprio perı́odo do movimento, temos que
f=
1
T
A unidade SI da frequência f é s−1 ou também chamado
de hertz, cuja abreviação é Hz. Pode-se também medir a
frequência em rotações por minuto ou rpm.
Exemplo
Se um movimento tem frequência de 2, 0 Hz, então são dadas duas voltas completas por segundo, ou seja, o perı́odo
do movimento deve ser de 1/2 s. Como o minuto tem 60
segundos, esse movimento terá uma frequência de 120 rpm.
Velocidade Escalar v
Para uma volta completa, em uma circunferência de raio R,
temos que
∆s
2πR
v=
=
∆t
T
Relação entre v e ω
Como a velocidade escalar no MCU é v = 2πRf e ω = 2πf ,
então
v = ωR
Ou seja, a velocidade escalar v é proporcional à velocidade
angular ω.
Vetores no MCU
Já vimos que no movimento circular e uniforme, a velocidade vetorial tem módulo constante, porém direção variável
e, portanto o vetor v é variável. Sendo a velocidade vetorial
variável, vamos analisar a aceleração vetorial a.
Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial at
da aceleração vetorial é nula:
at =
∆v
=0
∆t
Sendo a trajetória curva, a componente normal an da aceleração, ou também chamada de aceleração centrı́peta não
é nula (an 6= 0).
O módulo da aceleração centrı́peta pode ser calculado pela
seguinte expressão:
ac =
2v sin(∆θ/2)
∆v
=
∆t
∆t
e como ∆θ = ω∆t, e o ângulo ∆θ é pequeno para ∆t pequeno, temos
∆θ
∆θ
sin
'
2
2
e
2ωR∆θ/2
= ω2R
ac =
∆θ/ω
ou então, como v = ωR
ac =
v2
R
Fı́sica D – Aula 6
35
()&
()&
()&
()&
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)&
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)(
v)&
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(t))(
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. )&
. -,-,)&
/. )()(+* #$
*-,+&
v (t+ ∆ t)
*-,+&
+*+*
*+&
-,-,*+&
** +*+*+* ac
∆θ=ο∆ t-,+&
** +*+*
-,-,+&
** +*+* θ = ο t
+&
-,-,+&
*+&
+&
-,-,+&
* +*+*
∆v
01&
01&
01&
01&
01&
1&
1&
1&
1&
1010
v (t)
00 1&
01&
01&
01&
01&
0
0
0
0
23 1&
2
2
2
2
2
&
&
3
&
3
&
3
&
3
&
3
0 1&
0 1&
0 1&
0 1&
0 %&1010 %' 32
1&
v (t+ ∆ t)
∆θ=ο∆ t
R
Figura 1.2: A aceleração centrı́peta (normal).
Pense um Pouco!
• Certos fenômenos da natureza, como a trajetória da
Terra em torno do Sol e o movimento dos satélites apresentam movimento circular uniforme? Dê exemplos.
• Imagine um disco girando em torno do seu centro.
As velocidades de todos os seus pontos são iguias em
módulo? Explique.
• Como são os vetores de velocidade de diferentes pontos
de uma mesma roda (disco) que gira? Faça um esboço
dos vetores.
• Qual a velocidade angular do ponteiro dos segundos de
um relógio mecânico?
Exercı́cios de Aplicação
1. (FCC) Uma partı́cula executa um movimento uniforme
sobre uma circunferência de raio 20 cm. Ela percorre metade da circunferência em 2, 0 s. A frequência, em hertz, e
o perı́odo do movimento, em segundos, valem, respectivamente :
a) 4,0 e 0,25
b) 1,0 e 1,0
c) 0,25 e 4,0
d) 2,0 e 0,5
e) 0,5 e 2,0
2. (UFES) Uma pessoa está em uma roda-gigante que tem
raio de 5 m e gira em rotação uniforme. A pessoa passa pelo
ponto mais próximo do chão a cada 20 segundos. Podemos
afirmar que a frequência do movimento dessa pessoa, em
rpm, é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3. (ITA) Um automóvel percorre uma trajetória com velocidade escalar constante. A roda do automóvel, cujo raio é
30 cm, dá 40 voltas em 2, 0 s. A Velocidade escalar angular
da roda é, em rad/s:
a) 20 rad/s
b) 30 rad/s
c) 40 rad/s
d) 50 rad/s
e) 60 rad/s
Exercı́cios Complementares
4. (ACAFE) Um automóvel percorre uma estrada com velocidade escalar constante e igual a 8, 0 m/s e suas rodas
possuem raio R = 0, 40 m. A frequência de rotação da roda
é:
a) 5 Hz
b) 8 Hz
c) 12 Hz
d) 6 Hz
e) 10 Hz
5. (FUVEST) Um ciclista percorre uma pista circular de
500 m de raio, com velocidade escalar constante de 20 m/s.
A aceleração do ciclista é:
a) 0, 5 m/s2
b) 0, 8 m/s2
c) 1, 4 m/s2
d) 0, 6 m/s2
e) 1, 2 m/s2
6. (CEFET-PR) A órbita da Terra em torno do Sol, em
razão da sua baixa excentricidade, é aproximadamente uma
circunferência. Sabendo-se que a terra leva um ano para realizar uma volta completa em torno do Sol e que a distância
média da Terra ao Sol é 150 milhões de km, os módulos
dos vetores da velocidade e aceleração em km/s e m/s 2 são
respectivamente:
a) 10 e 2, 0 × 10−3
b) 20 e 2, 0 × 10−3
c) 30 e 6, 0 × 10−3
d) 20 e 6, 0 × 10−3
e) 10 e 6, 0 × 10−3
Fı́sica D
Aula 6
Termodinâmica
A Termodinâmica é a parte da Fı́sica Clássica que estuda os
sistemas térmicos, os processos de transformações fı́sicas que
ocorrem em tais sistemas, bem como as trocas de energia,
calor e o trabalho mecânico.
Temperatura
Temperatura e calor são grandezas básicas no estudo da
termofı́sica e tanto a sua compreensão como a sua perfeita
distinção são de importância vital para o entendimento de
toda a termofı́sica. De maneira simplificada pode-se definir
que temperatura como uma grandeza que permite avaliar o
36
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
nı́vel de agitação das moléculas de um corpo. De acordo com
a teoria cinética dos gases, as moléculas de um gás movem-se
livre e desordenadamente em seu interior, separadas umas
das outras, e apenas interagindo entre si durante colisões
eventuais. A medida que se aquece o gás, a velocidade com
que suas moléculas se movem aumenta, caracterizando um
aumento na energia cinética dessas moléculas, da mesma
forma um resfriamento do gás provoca a diminuição da velocidade e da energia cinética de suas moléculas. Como a
velocidade e conseqüentemente a energia cinética de cada
átomo que constitue uma molécula não é a mesma, o estado
térmico de um corpo é avaliado pela energia cinética média
de seus átomos: quanto maior for a energia cinética média
das partı́culas que compõem um corpo, maior será a sua
temperatuta.
Calor
Colocando dois corpos de temperaturas diferentes em contato térmico, observamos o mais quente esfriar e o mais
frio esquentar. O corpo mais quente perde calor e o corpo
mais frio ganha calor. Os corpo trocarão calor até a atingirem a mesma temperatura, neste caso estarão em equilı́brio
térmico. Essa é a chamada lei zero da Termodinâmica.
Portanto o calor é a energia em trânsito do corpo mais
quente para o corpo mais frio por causa da diferença de
temperatura dos corpos em contato térmico. Então, a unidade de medida de calor é a mesma unidade de energia.
No Sistema Internacional, a unidade de energia é o joule
ou J, e na Quı́mica se usa a caloria ou cal. A equivalência
entre as unidades é:
1 cal = 4, 186 J
Figura 1.1: Os pontos de referência nas diferentes escalas.
escalas termométricas pode ser obtida facilmente através de
proporções matemáticas. Imagine-se três termômetros de
construção idêntica, cada um graduado em uma das escalas
(Celsius , Fahrenheit e Kelvin), em equilı́brio térmico com
um mesmo corpo. Obviamente, os três termômetros estarão
indicando o mesmo estado térmico e, portanto, apresentarão
as colunas de mercúrio no mesmo nı́vel. Observando-se os
pontos fixos já definidos para cada escala, e chamando de
TC ,TF e T , as temperaturas do corpo nas escalas Celsius,
Fahrenheit e Kelvin, respectivamente, podem-se estabelecer
as proporções:
Escalas Termométricas
Dentre os diversos tipos, estudaremos as escalas termométricas a partir do termômetro de mercúrio, o mais
simples e comum. É constituı́do de uma haste oca de vidro, ligada a um bulbo contendo mercúrio. Ao ser colocado
em contato com um corpo ou ambiente cuja temperatura se
quer medir, o mercúrio se dilata ou contrai, de forma que
cada comprimento de sua coluna corresponde a um valor de
temperatura. A parede da haste é graduada convenientemente, para indicar a temperatura correspondente a cada
comprimento da coluna de mercúrio.
As escalas termométricas mais importantes são a Celsius,
a Fahrenheit e a Kelvin, e são atribuı́dos aos pontos fixos
(ponto de fusão PF e ponto de ebulição da água PE ), os
valores abaixo:
Conversão de Temperaturas
Embora usualmente se empregue o grau celsius (◦ C) como
unidade prática de temperatura, a conversão entre escalas é
muito importante, pois o kelvin é a unidade de temperatura
do SI, e o grau fahrenheit (◦ F ) ainda é bastante utilizado
em livros e filmes de lı́ngua inglesa. A relação entre as
TF − 32 ◦ F
T − 273 K
TC − 0 ◦ C
=
=
100 ◦ C − 0 ◦ C
212 ◦ F − 32 ◦ F
373 K − 273 K
logo:
TC
TF − 32 ◦ F
T − 273 K
=
=
◦
5 C
9 ◦F
5K
Observe que ambas as escalas Celsius e Kelvin são
centı́gradas, pois o intervalo e calibração (do ponto de fusão
do gelo ao de ebulição da água) é dividido em 100 graus, ou
100 partes. Na escala Fahrenheit, este intervalo é subdividido em 180 partes (graus frahrenheit).
Intervalos de Temperatura
Converter temperaturas de uma escala para a outra não é
o mesmo que converter intervalos de temperatura entre as
escalas. Exemplo, um intervalo de temperatura de 10 ◦ C
corresponde, na escala absoluta (ou Kelvin) a um intervalo
de 10 K, e na escala Fahrenheit, o intervalo correspondente
será de 18 ◦ F , pois para cada grau celsius, temos 1,8 grau
fahrenheit.
Fı́sica E – Aula 1
A menor temperatura que existe na natureza é o chamado
zero absoluto ou seja, 0 K. Por isso a escala Kelvin é
dita absoluta. Nas outras escalas, os zeros foram escolhidos
arbitrariamente, não levando em conta a possibilidade de
haver uma menor temperatura possı́vel na natureza, o que
só foi descoberto depois da criação das primeiras escalas
térmicas.
Pense um Pouco!
• Qual a temperatura normal do corpo humano, em ◦ F ?
• A temperatura ideal da cerveja é em torno de 4 ◦ C, antes de beber. Se dispomos apenas de um termômetro
com escala Kelvin, qual a temperatura absoluta correspondente ao mesmo estado térmico da cerveja ideal?
Exercı́cios de Aplicação
1. Ao tomar a temperatura de um paciente, um médico só
dispunha de um termômetro graduado na escala Fahrenheit.
Se o paciente estava com febre de 42 ◦ C, a leitura feita pelo
médico no termômetro por ele utilizado foi de :
a) 104 ◦ F
b) 107, 6 ◦ F
c) 72 ◦ F
d) 40 ◦ F
e) 106, 2 ◦ F
2. (URCAMP-SP) No interior de um forno, um termômetro
Celsius marca 120◦ C. Um termômetro Fahrenheit e um
Kelvin marcariam na mesma situação, respectivamente:
a) 248 ◦ F e 393 K
b) 198 ◦ F e 153 K
c) 298 ◦ F e 153 K
d) 393 ◦ F e 298 K
e) nenhuma resposta é correta
3. (ACAFE) Uma determinada quantidade de água está a
uma temperatura de 55 ◦ C. Essa temperatura corresponde
a:
a) 55 ◦ F
b) 328 ◦ F
c) 459 ◦ K
d) 131 ◦ F
e) 383 ◦ K
Exercı́cios Complementares
4. (UEL) Um termômetro foi graduado, em graus Celsius,
incorretamente. Ele assinala 1 ◦ C para o gelo em fusão e
97 ◦ C para a água em ebulição, sob pressão normal. Podese afirmar que a única temperatura que esse termômetro
assinala corretamente, em graus Celsius é:
a) 12
b) 49
c) 75
37
d) 25
e) 64
5. (CENTET-BA) Num termômetro de escala X, 20 ◦ X
correspondem a 25 ◦ C, da escala Celsius, e 40 ◦ X correspondem a 122 ◦ F , na escala Fahrenheit. Esse termômetro
apresentará, para a fusão do gelo e a ebulição da água, os
respectivos valores, em ◦ X:
a) 0 e 60
b) 0 e 80
c) 20 e 60
d) 20 e 80
e) 60 e 80
6. (PUC) Uma revista cientı́fica publicou certa vez um artigo sobre o planeta Plutão que, entre outras informações,
dizia “...sua temperatura atinge −380 ◦ ...”. Embora o autor não especificasse a escala termométrica utilizada, certamente se refere à escala:
a) Kelvin
b) Celsius
c) Fahrenheit
d) Kelvin ou Celsius
e) Fahrenheit ou Celsius
Fı́sica E
Aula 1
Eletricidade
Carga Elétrica
No século XVIII, Benjamin Franklin verificou experimentalmente que existem dois tipos de cargas diferentes, a as
batizou como cargas negativas (−) e positivas (+). Nesta
época os cientistas pensavam que a carga era um fluı́do que
podia ser armazenado nos corpos, ou passar de um para outro.
Atualmente, dizer-se que carga elétrica é uma propriedade
intrı́nseca de algumas partı́culas. Assim como massa, a
carga é uma propriedade elementar das partı́culas.
A experiência realizada por Harvey Fletcher e Robert Millikan desmosntrou que a quantidade de carga elétrica é uma
grandeza quantizada, ou seja, não pode assumir qualquer
valor. Essa descoberta levou à conclusão de que a quantidade de carga elétrica Q é sempre um número inteiro n
vezes a quantidade de carga elementar e:
Q = ne
onde e = 1, 60 × 10−19 C. A unidade SI da carga elétrica é
o coulomb ou C.
Tipos de Materiais
Em relação à eletricidade, os materiais são classificados
como condutores ou isolantes.
Para que um material seja condutor de energia elétrica, é
necessário que ele possua portadores de carga elétrica livres
38
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
(elétrons, ı́ons positivos ou ı́ons negativos) e mobilidade para
esses portadores. Os metais são bons condutores de eletricidade, pois possuem elétrons ”livres”e mobilidade para esses
elétrons; o mesmo acontece com as soluções eletrolı́ticas,
que apresentam os ı́ons como portadores de carga elétrica,
e com os gases ionizados, que possuem elétrons e ı́ons como
portadores de carga elétrica.
isolante, a eletrização será local, isto é, restrita aos pontos
de contato.
O vidro, a água pura, a madeira e os plásticos de modo geral
são bons isolantes de eletricidade. Além dos condutores e
dos isolantes, existem os materiais semicondutores, como o
silı́cio e o germânio.
Se os dois corpos forem condutores - um eletrizado e o outro neutro - e colocados em contato, poderemos imaginá-los
como um único corpo eletrizado. A separação entre eles
resultará em dois corpos eletrizados com cargas de mesmo
sinal. Na figura, um dos condutores está inicialmente neutro (a eletrização por contato pode ocorrer também com
dois condutores inicialmente eletrizados).
Eletrização por Atrito
Ao atritar vigorosamente dois corpos, A e B, estamos fornecendo energia e pode haver transferência de elétrons de um
para o outro. Se os corpos atritados estão isolados, ou seja,
não sofrem a influência de quaisquer outros corpos, as cargas elétricas cedidas por um são exatamente as adquiridas
pelo outro:
QA = −QB
Isto é, A e B adquirem quantidades de carga elétrica iguais
em módulo, mas de sinais contrários. A figura representa
o que acontece quando um pedaço de metal é atritado com
um pano de lã.
(a)
(b)
(c)
Generalizando, podemos afirmar que, na eletrização por
contato:
• os corpos ficam ou eletricamente neutros ou com cargas
de mesmo sinal;
• quando o sistema é formado por corpos isolados das influências externas, a quantidade de carga elétrica total
final é igual à quantidade de carga elétrica total inicial
(princı́pio da conservação de carga elétrica):
QA + Q B = Q 0 A + Q 0 B
Na expressão acima, Q representa a quantidade de
carga elétrica inicial e Q0 , a quantidade de carga elétrica
final. Em particular, se os corpos A e B forem iguais:
Q0 A = Q0 B = (QA + QB)/2
(a)
(b)
Quando esfregamos as mãos, não eletrizamos nenhuma delas. Para que haja eletrização por atrito, uma condição necessária é que os corpos sejam de materiais diferentes, isto
é, eles não podem ter a mesma tendência de ganhar ou perder elétrons. Em Quı́mica, essa tendência é traduzida por
uma grandeza denominada de eletroafinidade. Os materiais podem ser classificados de acordo com essa tendência,
elaborando-se a chamada série triboelétricas:
Podemos ainda observar que:
1. se os corpos colocados em contato são de tamanhos diferentes, a divisão de cargas é proporcional
às dimensões de cada um;
2. quando um corpo eletrizado é colocado em contato
com a Terra, ele se torna neutro, uma vez que
sua dimensão é desprezı́vel se comparada com à
da Terra. Simbolicamente, a ligação à Terra é
representada conforme a figura.
+ + + Vidro → Mica → Lã → Seda → Algodão →
Madeira → Âmbar → Enxofre → Metais − − −
Ao atritarmos dois materiais quaisquer de uma série triboelétrica, o que estiver posicionado à esquerda ficará eletrizado positivamente; o que estiver à direita ficará eletrizado
negativamente. Na eletrização por atrito, pelo menos um
dos corpos deve ser isolante. Se atritarmos dois condutores,
eles não vão manter a eletrização.
(a)
Eletrização por Contato
A eficiência nessa forma de eletrização depende de os corpos serem condutores ou isolantes. Se um dos corpos for
(b)
Em (a), o corpo está isolado da Terra e, portanto,
mantém sua carga elétrica. Quando o contato com
a Terra é estabelecido (b), o corpo se neutraliza
Fı́sica E – Aula 1
39
Eletrização por Indução
Nesse tipo de eletrização não há contato entre os corpos.
Vejamos como acontece.
(a)
(b)
Primeiramente, precisamos de um corpo eletrizado (a), chamado de indutor, que pode ser condutor ou isolante, pois
não terá contato com o outro. O segundo corpo (b) a ser
eletrizado, chamado de induzido, deverá ser condutor, podendo ser uma solução eletrolı́tica ou dois corpos B1 e B2
ligados eletricamente.
(a)
(b)
Na presença do indutor, desfazemos o contato entre b e a
Terra; em seguida, afastamos os corpos: o corpo b fica eletrizado com carga oposta à do indutor a.
Pense um Pouco!
• Uma pessoa pode levar um pequeno choque ao descer
de um carro num dia seco. Explique.
• Atritando-se dois materiais diferentes criamos carga
elétrica? Por quê?
Exercı́cios de Aplicação
(a)
(b)
O indutor (a) eletrizado positivamente, atrai as cargas
elétricas negativas do induzido (b). Assim, na face do induzido mais próxima do indutor, temos acúmulo de cargas
negativas, que não chegam ao indutor porque o ar entre eles
é isolante. Por outro lado, a face do induzido mais afastada
do indutor fica positiva. A essa altura, podemos nos perguntar se o corpo (b) está eletrizado. Ele não está, pois o
número de prótons no corpo continua igual ao número de
elétrons. Dizemos que o corpo (b) está induzido, porque
houve apenas uma separação das cargas. Quando retiramos o indutor, as cargas no induzido se reagrupam e ele
volta à situação neutra. Para eletrizar o induzido, devemos,
na presença do indutor, estabelecer o contato do induzido
(corpo b) com um terceiro corpo, chamado de terra. Esse
terceiro corpo pode ser um outro corpo qualquer, até mesmo
o planeta Terra.
1. Dispõese de três esferas metálicas idênticas e isoladas
uma da outra. Duas delas, A e B, estão neutras, enquanto
a esfera C contém uma carga elétrica Q. Faz-se a esfera C
tocar primeiro a esfera A e depois a esfera B. No final desse
procedimento, qual a carga elétrica das esferas A, B e C,
respectivamente?
2. ”Série triboelétrica é um conjunto de substâncias ordenadas de tal forma que cada uma se eletriza negativamente
quando atritada com qualquer uma que a antecede e positivamente quando atritada com qualquer uma que a sucede.
Exemplo: vidro - mica - lã - seda - algodão - cobre.”Baseado
na informação acima, responda:
a) Atrita-se um pano de lã numa barra de vidro, inicialmente neutros. Com que sinais se eletrizam?
b) E se o pano de lã fosse atritado numa esfera de cobre,
também inicialmente neutro?
3. Uma esfera metálica neutra encontra-se sobre um suporte
isolante e dela se aproxima um bastão eletrizado positivamente. Mantém-se o bastão próximo à esfera, que é então
40
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
ligada à terra por um fio metálico. Em seguida, desliga-se
o fio e afasta-se o bastão.
a) A esfera ficará eletrizada positivamente.
b) A esfera não se eletriza, pois foi ligada à terra.
c) A esfera sofrerá apenas separação de suas cargas.
d) A esfera ficará eletrizada negativamente.
e) A esfera não se eletriza, pois não houve contato com o
bastão eletrizado.
c) +++ —
d) +++ —
4. Dispõe-se de uma esfera condutora eletrizada positivamente. Duas outras esferas condutoras, B e C, encontramse inicialmente neutras. Os suportes das três esferas são isolantes. Utilizando os processos de eletrização por indução
e por contato, descreva procedimentos práticos que permitam obter: I. as três esferas eletrizadas positivamente II. a
eletrizada positivamente e B negativamente III. a eletrizada
negativamente e B positivamente
Fı́sica E
Aula 2
Eletricidade
Eletroscópio de Folhas
É constituı́do de duas folhas metálicas, finas e flexı́veis, ligadas em sua parte superior a uma haste, que se prende a uma
esfera, ambas condutoras. O isolante impede a passagem de
cargas elétricas da haste para a esfera. Normalmente, as
folhas metálicas são mantidas dentro de um frasco transparente, a fim de aumentar a sua justeza e sensibilidade.
Exercı́cios Complementares
5. (U. Fortaleza-CE) Um bastão é atritado com um pano.
A seguir, repele uma esfera eletrı́zada negativamente. Podese afirmar corretamente que o bastão foi eletrizado
a) positivamente, por contacto com o pano.
b) positivamente, por ter-se aproximado da esfera.
c) negativamente, por ter-se aproximado da esfera.
d) negativamente, por atrito com o pano.
e) neutralizado, ao aproximar-se da esfera
6. (PUCC-SP) Dispõe-se de uma barra de vidro, um pano
de lã e duas pequenas esferas condutoras, A e B, apoiadas
em suportes isolados, todos eletricamente neutros. Atritase a barra de vidro com o pano de lã; a seguir coloca-se a
barra de vidro em contato com a esfera A e o pano com a
esfera B. Após essas operações:
a) o pano de lã e a barra de vidro estarão neutros.
b) a barra de vidro repelirá a esfera B.
c) o pano de lã atrairá a esfera A.
d) as esferas A e B se repelirão.
e) as esferas A e B continuarão neutras.
7. (UNIRIO-RJ) Uma esfera metálica, sustentada por uma
haste isolante, encontra-se eletrizada com uma pequena
carga elétrica Q. Uma segunda esfera idêntica e inicialmente
descarregada aproxima-se dela, até tocá-la, como indica a
figura ao lado. Após o contato, a carga elétrica adquirida
pela segunda esfera é:
a) Q/2
b) Q
c) 2Q
d) 0
8. (UF-PI) Temos uma placa condutora apoiada em um suporte isolante. Estando ela inicialmente neutra, aproximase pela sua esquerda, um bastão carregado negativamente.
Em conseqüência da indução eletrostática, ocorrerá uma redistribuição de cargas na placa. Esquematicamente, teremos:
a) — +++
b) — —
(a)
(b)
Figura 1.1: O eletroscópio de folhas (a) na preseça de umbastão eletrizado negativamente (b)
Aproximando-se da esfera o corpo que se quer verificar, se
ele estiver eletrizado, ocorrerá a indução eletrostática, ou
seja: se o corpo estiver carregado negativamente, ele repele
os elétrons livres da esfera para as lâminas, fazendo com
que elas se abram devido à repulsão; se o corpo estiver com
cargas positivas, ele atrai os elétrons livres das lâminas, fazendo também com que elas se abram, novamente, devido à
repulsão.
A determinação do sinal da carga do corpo em teste, que
já se sabe estar eletrizado, é obtida carregando-se anteriormente o eletroscópio com cargas de sinal conhecido. Dessa
forma, as lâminas terão uma determinada abertura inicial.
A Lei de Coulomb
Esta lei diz respeito à intensidade das forças de atração ou
de repulsão, que agem em duas cargas elétricas puntiformes
(cargas de dimensões desprezı́veis), quando colocadas em
presença uma da outra.
Fı́sica E – Aula 2
41
Exercı́cios de Aplicação
1. Duas esferas condutoras eletrizadas, de pequenas dimensões, atraem-se mutuamente no vácuo com força de intensidade F ao estarem separadas por certa distância r.
Como se modifica intensidade da força quando a distância
entre as esferas é aumentada para 4r?
2. As cargas elétricas −q e +q 0 , puntiformes, atraem-se com
força de intensidade F , estando à distancia r uma da outra
no vácuo. Se a carga q 0 for substituı́da por outra −3q 0 e a
distância entre as cargas for duplicada, como se modifica a
força de interação elétrica entre elas?
Figura 1.2: Na presença de um bastão eletrizado positivamente
Considere duas cargas elétricas puntiformes, q 1 e q2 , separadas pela distância r. Sabemos que, se os sinais dessas
cargas forem iguais, elas se repelem e, se forem diferentes,
se atraem. Isto acontece devido à ação de forças de natureza
elétrica sobre elas.
Essas forças são de ação e reação e, portanto, têm a mesma
intensidade, a mesma direção e sentidos opostos. Deve-se
notar também que, de acordo com o princı́pio da ação e
reação, elas são forças que agem em corpos diferentes e,
portanto, não se anulam.
Charles de Coulomb verificou experimentalmente que:
As forças de atração ou de repulsão entre duas cargas elétricas puntiformes são diretamente proporcionais ao produto das cargas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que as separa.
A expressão matemática dessa força é:
F =k
q1 q2
r2
3. Considere um eletroscópio de folhas descarregado. Explique o que acontece quando um corpo eletrizado negativamente é:
a) aproximado da esfera do eletroscópio;
b) encostado na esfera do eletroscópio.
Exercı́cios Complementares
4. Duas partı́culas eletrizadas com cargas elétricas de
mesmo valor absoluto mas sinais contrários atraem-se no
vácuo com força de intensidade 4, 0 × 10−3 N , quando situadas a 9, 0 cm uma da outra. Determine o valor das cargas,
sendo k = 9 × 109 N · m2 /C 2 .
5. (Santa Casa-SP) A figura representa um eletroscópio de
folhas inicialmente descarregado. A esfera E, o suporte S e
as folhas F são metálicos. Inicialmente, o eletroscópio está
eletricamente descarregado. Uma esfera metálica, positivamente carregada, é aproximada, sem encostar, da esfera do
eletroscópio. Em qual das seguintes alternativas melhor se
representa a configuração das folhas do eletroscópio (e suas
cargas), enquanto a esfera positiva estiver perto de sua esfera?
onde q1 e q2 são os módulos das cargas elétricas envolvidas,
e k uma constante eletrostática que, no SI, para as cargas
situadas no vácuo é
k = 9 × 109 N · m2 /C 2
Pense um Pouco!
• Baseado na lei de Coulomb, explique como funciona o
eletroscópio;
• Se dobrarmos a distância r entre duas cargas dadas, o
que acontece com a força elétrica entre elas?
• Se colocarmos muitos elétrons no centro de uma chapa
metálica quadrada, o que acontecerá com essa carga?
6. Duas cargas puntiformes q1 = −5, 0 µC e q2 = +8, 0 µC
estão sobre o eixo horizontal, separadas por uma distância
r. Assinale a alternativa correta:
a) As cargas se repelem mutuamente
b) q2 atrai q1 com mais intensidade do que q1 atrai q2
c) o sistema forma um dipolo
d) As cargas se atraem elétricamente
e) A força sobre as cargas são verticais
42
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Fı́sica E
sua vizinhança possuam uma propriedade segundo a qual
todo corpo colocado nesse local sofrerá a ação de uma força
atrativa.
Aula 3
Campo Elétrico
Quando empurramos uma caixa, estamos aplicando sobre
ela uma certa força. Não é difı́cil imaginar de que forma essa
força foi transmitida à caixa, pois de imediato associamos
à aplicação da força o contato travado com a caixa. Pensemos agora na interação entre cargas elétricas: conforme
estudamos anteriormente, se aproximarmos de uma carga
Q uma outra carga q, que denominaremos carga de prova,
verificaremos a ação de uma força F~ (atrativa ou repulsiva,
conforme os sinais das cargas) sobre a carga q. Nesse caso,
não há contato entre os corpos, o que torna mais difı́cil a
compreensão da forma de transmissão da força. Durante
muito tempo afirmou-se que a força eletrostática era uma
interação direta e instantânea entre um par de partı́culas
eletrizadas, conceito este denominado ação a distância.
Uma observação muito importante deve ser feita: o campo
elétrico num ponto P qualquer da vizinhança da carga Q,
assim como o campo gravitacional num ponto qualquer nas
vizinhanças da Terra, existe independentemente da presença
da carga de prova q ou da massa m. Estas apenas testam
a existência dos campos elétrico e gravitacional nos pontos
considerados.
O Vetor Campo Elétrico
O campo elétrico é melhor caracterizado em cada ponto do
espaço por um vetor Ê, denominado vetor campo elétrico.
A definição do vetor campo elétrico é tal, que por seu
intermédio poderemos estudar muitas caracterı́sticas do
campo elétrico, a partir do estuco desse vetor num ponto.
Consideremos P um ponto genérico de um campo elétrico
gerado por uma fonte qualquer. Coloquemos em P , sucessivamente, cargas de prova q1 , q2 , q3 , ..., q. A intensidade
da força elétrica atuante nas cargas de prova irá variar, mas
a direção da força será a mesma, conforme indicamos na
sequência de figuras seguintes:
(a)
Se trabalhássemos apenas com cargas em repouso, a ação a
distância nos bastaria para que resolvêssemos a maioria dos
problemas do eletromagnetismo. No entanto, o estudo de
cargas em movimento não pode ser deixado de lado e nesse
caso a teoria da ação a distância é falha, sendo necessário
buscarmos outra forma de explicar a interação elétrica. E foi
com Faraday (1791-1867) que nasceu a idéia que constitui
hoje um dos mais importantes recursos em Fı́sica: a noção
de campo.
Dizemos que a presença da carga Q afeta a região do espaço
próxima a ela, ou seja, que a carga Q cria nas suas vizinhanças uma “propriedade”que dá a essa região “algo”mais
que atributos geométricos, “algo”que transmitirá a qualquer
carga de prova colocada nessa região a força elétrica exercida pela carga Q. Designamos por campo elétrico tal propriedade. Assim, a força F~ é exercida sobre q pelo campo
elétrico criado por Q. Esquematicamente teremos:
Ação à distância: carga ⇐⇒ carga
(b)
(c)
Concluı́mos que a relação entre a força e a carga em que ela
atua é uma caracterı́stica do ponto P considerado, denominada vetor campo elétrico. Assim, teremos:
~ = F~ /q
E
~ distinguimos dois casos:
Quanto ao sentido do vetor E,
~ e F~ têm o mesmo sentido;
a) q é positiva: E
~ e F~ têm sentidos contrários.
b) q é negativa: E
Podemos concluir, da equação, que as unidades de intensidade do vetor campo elétrico serão unidades de força por
unidades de carga. Assim, no sistema internacional de unidades, teremos:
Unidade SI
~ será
por definição, a unidade de de campo elétrico é E
newton/coulomb, ou seja N/C.
Teoria de campo: carga ⇐⇒ campo ⇐⇒ carga
A noção de campo é utilizada em muitas outras situações
fı́sicas, como por exemplo a interação gravitacional. Na figura a seguir, em vez de pensarmos numa atração direta da
Terra sobre o corpo de massa m, podemos dizer que a Terra
cria em torno de si um campo gravitacional; em outras palavras, a presença da Terra faz com que todos os pontos de
Linhas de Campo
A denominação linhas de campo ou linhas de força designa
uma maneira de visualizar a configuração de um campo
elétrico. Esse artifı́cio foi empregado por Faraday e mesmo
hoje pode ser conveniente seu uso.
Fı́sica E – Aula 3
43
Apresentamos a seguir a significação das linhas de força:
1. São linhas traçadas de forma que a tangente a cada
~ São orientadas no
ponto nos fornece a direção de E.
sentido do vetor campo.
As linhas de campo ”morrem”nas cargas negativas
2. As linhas de campo são traçadas de forma que o número
de linhas que atravessa a unidade de área de uma secção
perpendicular às mesmas é proporcional ao módulo de
~ Dessa forma, onde elas estiverem mais próximas,
E.
~ é maior; onde elas estiverem mais afastadas, | E|
~ é
|E|
menor.
As figuras seguintes mostram linhas de campo de alguns
campos elétricos particulares:
• duas cargas de sinais iguais:
3. Observe que, por definição, o campo elétrico é único
em cada ponto do espaço, e portanto, duas linhas de
campo nunca se cruzam.
Cálculo do Campo Elétrico
• campo gerado por uma carga puntiforme positiva.
Campo de uma Carga Puntiforme
O campo elétrico devido a uma carga puntiforme Q fixa é
facilmente determinado analisando-se a figura seguinte:
As linhas de campo ”nascem”nas cargas positivas.
• carga puntiforme negativa:
44
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
No ponto P da figura, colocamos urna carga de prova q, o
vetor campo elétrico no ponto P tem intensidade dada por:
E = F/q.
campo elétrico vertical, de cima para baixo de intensidade
E ≈ 100 N/C. Este campo é quase uniforme, visto em
pequena escala (alguns metros), sobre o chão plano.
O campo gerado por uma carga puntiforme Q num ponto
P qualquer do espaço tem intensidade dada por:
E=
Pense um Pouco!
F
Q
=k 2
q
r
Utilizando uma linguagem não muito rigorosa, podemos dizer que as cargas positivas geram campos de afastamento e
as cargas negativas geram campos de aproximação.
Campo Elétrico para Várias de Cargas
Se cada uma das cargas estivesse sozinha, originaria no
ponto P um campo elétrico devido à sua presença individual. Dado o efeito aditivo da força elétrica, o campo
elétrico devido à presença de n cargas puntiformes será a
soma vetorial dos campos produzidos individualmente por
cada uma das cargas, isto é:
~ =E
~1 + E
~2 + E
~3 + . . . =
E
n
X
• Num sistema de cargas puntiformes é possı́vel se encontrar algum ponto P onde o campo elétrico seja nulo?
Dê exemplos.
• Um dipolo é formado por um par de cargas +q e −q.
Esboce as linhas de campo de um dipolo.
Exercı́cios de Aplicação
~i
E
i=1
Importante: esta soma deve ser feita usando-se a soma de
vetores.
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
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EFE J9
EFE J9
EFE J9
EFE J9
EFE J9
EFE J9
EFE J9
EFE J9
EFE J9
EFE J9
EFE J9
EFE J9
EFE J9
EFE J9
EFE 4 J9
E
FEFE JIJI
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
EFE JIJ9
EFE B9
EFE D9
EFE H9
EFE H9
EFE H9
EFE H9
EFE H9
EFE H9
EFE H9
EFE H9
EFE H9
EFE HG DC BA 45JIJ9
EFE JIJ9
EFE J9
FE9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
IJ9
JIJ9
JIJ9
JIJ9
JG IJ9
JG IJ9
JG IJ9
JG IJ9
JG IJ9
JG IJ9
JG IJ9
JG IJ9
JG IJ9
G
G
G
G
G
G
G
G
G
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
B
9
D
B
9
D
B
9
D
B
9
D
B
9
D
B
9
D
B
9
D
B
9
D
B
9
D
B
FE9
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
H9
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H9
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H9
H9
H9
HGHG DCDC BABA PI9
AB9
CD9
CD9
CD9
CD9
CD9
CD9
CD9
CD9
CD9
CD9
B9
BABA I9
BABA I9
BABA I9
BABA I9
BABA I9
BABA I9
BABA I9
BABA I9
BABA I9
BABA I9
D9
D9
D9
D9
D9
D9
D9
D9
D9
EFE967 QI9
F9
EI9
I9
I9
89
8: D9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEF9
J FEFEFE 1 JIIJ
G
G
G
G
G
G
G
G
G
9
H
9
H
9
H
9
H
9
H
9
H
9
H
9
H
9
H
AB9
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
1 I9
Q
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
2
9
:
9
G
9
G
9
G
9
G
9
G
9
G
9
G
9
G
9
G
G
HH9
HH9
HH9
HH9
HH9
HH9
HH9
HH9
HHG DC BABA F9
AB9
C BAB9
C BAB9
C BAB9
C BAB9
C BAB9
C BAB9
C BAB9
C BAB9
C BAB9
C BAB9
D9
D9
D9
D9
D9
D9
D9
D9
D9
2H D9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
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F9
F9
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F9
F9
F9
F9
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FEFE
GH9
GH9
GH9
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GH9
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AA9
AA9
AA9
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AA9
AA9
AA9
AA9
AA9
EF9
EF9
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EF9
EF9
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EF9
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G
G
G
G
G
G
G
G
G
H
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
3A9
EE9
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
F9
FEEF
GH9
GH9
GH9
GH9
GH9
GH9
GH9
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H9
H9
H9
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AB9
AA E9
AB9
AB9
AB9
AB9
AB9
AB9
AB9
AB9
AB9
B9
B9
B9
B9
B9
B9
B9
B9
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E9
E9
FFE9E9
FF9
FF9
FF9
FF9
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FF9
E
; E9
GH9
GH9
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GH9
GH9
GH9
GH9
G
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<; B9
AQE9
AG E9
AG E9
AG E9
AG E9
AG E9
AG E9
AG E9
AH9
A
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
FEFE
3B9
5H9
GH9
GH9
H9
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EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
EF9
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G
G
G
G
G
G
G
G
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9
H
9
H
9
H
9
H
9
H
9
H
EFE9F9
EF9
E
E
E
E
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E
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E
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E
E
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EF9
EF9
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EF9
EF9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
F9
G
G
G
G
G
G
G
G
E 4 F9
E F9
E F9
E ?@ QH9
EH9
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
FE9=> QEF9
FE
G 5H9
G H9
G H9
G H9
G H9
G H9
G H9
G H9
G HG
Se todas as cargas Qi estiverem sobre uma mesma linha
reta, que também comtém o ponto P , então a intensidade
do campo em P será
n
E=k
• Qual as semelhanças e diferenças entre a força elétrica
e a gravitacional? Faça um paralelo.
X
Q1
Q2
Q3
+ k 2 + k 2 + ... =
kQi ri2
2
r1
r2
r3
i=1
Esta é uma soma escalar, mais fácil de fazer do que a necessária no caso anterior.
1. (Fatec-SP) Em um ponto P do espaço existe um campo
~ horizontal de 5×104 N/C, voltado para a direita.
elétrico E
a) Se uma carga de prova de l, 5 µC, positiva, é colocada em
P , qual será o valor da força elétrica que atua sobre ela?
b) Em que sentido a carga de prova tenderá a se mover, se
for solta?
c) Responda às questões a) e b) supondo que a carga de
prova seja negativa.
2. (ITA-SP) Uma placa isolante, de dimensões muito
grandes, está uniformemente carregada. Sabendo-se que o
campo elétrico por ela gerado é o mesmo em todos os pontos próximos à placa e que uma pequena esfera tem massa
de 25 gramas e o ângulo de afastamento entre a esfera e a
placa é de 30◦ ?, determinar:
a) a força elétrica que atua na esfera, supondo que ela se
encontre em equilı́brio;
b) o campo elétrico da placa, sabendo-se que a carga na
esfera vale −5 µC.
3. (USP-SP) Uma carga elétrica puntiforme q = 2 × 10 −6 C
e de massa 10−5 kg é abandonada em repouso num campo
elétrico uniforme de intensidade 104 N/C.
a) Qual é a aceleração adquirida por q?
b) Qual a velocidade da partı́cula no instante 8, 0 s?
Campo Elétrico Uniforme
Trata-se de um campo elétrico em que o vetor campo elétrico
é o mesmo em todos os pontos, o que equivale a dizer que em
~ serão
cada ponto o módulo, a direção e o sentido do vetor E
os mesmos. Em consequência dessa definição, concluimos
que as linhas de campo devem ser retas paralelas orientadas
todas com o mesmo sentido.
Por exemplo, para uma pequena região do espaço, muito
longe de uma carga puntiforme, o campo elétrico se torna
quase uniforme. Próximo à superfı́cie da Terra, existe um
Exercı́cios Complementares
4. (FUVEST-SP) O diagrama da figura seguinte representa
a intensidade do campo elétrico gerado por uma carga puntiforme fixa no vácuo, em função da distância d à carga.
a) Calcule o valor da carga Q que origina o campo.
b) Determine a intensidade do campo elétrico em um ponto
que dista 30 cm da carga fixa.
Fı́sica E – Aula 4
45
Assim, uma d.d.p. de 110 V entre dois pontos indica que o
campo (força elétrica) realiza um trabalho de 110 J sobre
cada l C de carga que se desloca de um ponto para outro.
1000
E (N/C)
800
600
400
200
0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
d (m)
5. (PUC-SP) Numa certa região da terra, nas proximidades
da superfı́cie, a aceleração da gravidade vale 9, 8 m/s 2 e o
campo eletrostático do planeta (que possui carga negativa
na região) vale 100 N/C, e é na direção vertical, sentido
de cima para baixo. Determine o sinal e o valor da carga
elétrica que uma bolinha de gude, de massa 50 g, deveria
ter para permanecer suspensa em repouso, acima do solo.
Considere o campo elétrico praticamente uniforme no local
e despreze qualquer outra força atuando sobre a bolinha.
~ apontando
6. (Mackenzie-SP) Existe um campo elétrico E
para baixo, na atmosfera terrestre, com uma intensidade
média de 100 N/C. Deseja-se fazer flutuar nesse campo
uma esfera de enxofre de 0, 5kg. Que carga (módulo e sinal)
precisa ter a esfera?
Fı́sica E
Aula 4
Para analisar o sinal da d.d.p., tente imaginar você realizando o movimento de uma carga de prova entre os pontos
A e B, e observe os sentidos da força externa e do deslocamento. Por exemplo, se você deslocar uma carga positiva,
contra o campo elétrico numa determinada região, observará
que será realizado um trabalho externo positivo, e o potencial da carga deslocada aumenta, porque ela foi deslocada
para uma região de maior potencial.
Potencial Elétrico Gerado por uma Carga Puntiforme
Para calcularmos o trabalho WEA→B realizado sobre a carga
+q, sendo deslocada próximo à uma carga puntiforme Q, devemos utilizar conceitos matemáticos que o estudante verá
em seu curso superior: trata-se do cálculo integral, que, utilizado neste caso, nos fornecerá como resultado:
1
1
−
WEA→B = −kQq
rB
rA
Dessa maneira a diferença de potencial no caminho de A
para B será:
A→B
Wext.
1
1
VA→B = VB − VA = −
−
= kQ
q
rB
rA
Se quisermos determinar o potencial de um dos pontos, por
exemplo, B, façamos rA tender ao infinito, onde supomos
que o potencial seja nulo. Quando isso acontece
Potencial Elétrico
VB = k
Diferença de Potencial
Consideremos positiva uma carga que se desloca de A para
B, em equilı́brio, ou seja, faz-se uma força externa F~ext. tal
que anule a força elétrica F~E sobre a carga:
F~ext. = −F~E
Ao trabalho realizado pelo agente externo Wext. por unidade
de carga que se desloca de A para B, denominamos diferença
de potencial ou tensão elétrica de A para B, habitualmente
representada por VB − VA ou simplesmente VAB .
Assim, matematicamente teremos:
VB − V A =
A→B
Wext.
q
=−
WEA→B
q
Essa equação fornece o potencial de B em relação a um
ponto no infinito. Se nos depararmos com uma configuração
de n cargas puntiformes, o potencial num ponto P dessa
região será a soma algébrica dos potenciais devidos a cada
carga, isto é:
n
X
Q1
Qi
Q2
Qn
VP = k
=k
+
+ ...+
r1
r2
rn
r
i=1 i
Potencial dentro de um Campo Elétrico
Seja q uma carga positiva que se desloca de A para B sobre
uma linha de força do campo uniforme mostrado na figura
seguinte:
E
Sendo o trabalho W e q grandezas escalares, a diferença de
potencial também será uma grandeza escalar.
O trabalho WEA→B independe da trajetória escolhida entre
os pontos A e B, e isso é um resultado decorrente do fato
de a força elétrica ser conservativa.
Unidades SI
No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de diferença de potencial (d.d.p.) será o joule/ coulomb, que é
denominada volt ou V .
Q
rB
RQ A RQ T
Fext NM
T S T MN S
+q
S
FE
S
OPKL B
46
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Como o campo é uniforme, a força elétrica que atua na carga
q é constante e terá intensidade dada por:
contrários é um bom exemplo de campo elétrico uniforme.
Na figura seguinte, a distância entre as placas vale 5 cm e a
intensidade do campo elétrico uniforme E é 2, 0×1O 5 N/C.
a) Qual a d.d.p. entre os pontos A e B indicados na figura?
b) Se o ponto A for tomado como nı́vel de referência para o
potencial, qual será o potencial do ponto B?
F = qE
Sabemos, da mecânica, que o trabalho realizado por uma
força constante e paralela ao deslocamento e dado por
E
A→B
Wext.
= −FE · d
Então a d.d.p. entre os pontos A e B, de A para B, será:
Z A [Z
[V
UVXYUW
B
VB − VA = −E · d
e neste caso dizemos que a tensão cai de A para B. Em
geral, a d.d.p. é negativa na direção e sentido do campo
elétrico.
A relação obtida acima é de grande utilidade, uma vez que,
conhecida a d.d.p. e o deslocamento, obteremos facilmente
o campo elétrico. Observe que o campo elétrico poderá ser
expresso também em volt/metro. Procure demonstrar que
l N/C = l V /m.
Rigidez Dielétrica
Sabe-se que o ar é isolante, porém quando submetido a
um grande campo elétrico, algumas moléculas são ionizadas e o ar se torna condutor. A esse limite de campo
elétrico máximo que um isolante suporta chamamos de rigidez dielétrica ou Emax . Para o ar de Jonville, sempre
muito úmido, temos Emax ≈ 800 v/mm.
Pense um Pouco!
• Você saberia responder o valor da d.d.p. (diferença de
potencial) entre o chão e uma nuvem, num raio?
• Qual a d.d.p. máxima entre dois fios paralelos, separados por uma distância de 10 cm, em Joinville?
• Num dado instante, a d.d.p. entre os eletrodos de uma
tomada é de 200 V . O que significa isso fisicamente?
Exercı́cios de Aplicação
1. Qual o potencial de um ponto P , situado a 20 cm de
uma carga positiva de campo cujo valor é 4, 0 × xl0 −6 C?
2. (FAAP-SP) Duas cargas Q1 e Q2 , de valores −2 µC e
+2 µC, respectivamente, estão separadas por uma distância
de 40 cm.
a) Calcule o potencial no ponto P , situado na metade do
segmento que une as cargas Q1 e Q2 .
b) Calcule o módulo, a direção e o sentido do vetor campo
elétrico em P .
c) O que se pode concluir dos resultados obtidos com esses
cálculos?
3. (UFSC-SC) O campo elétrico no interior de um sistema de placas paralelas eletrizadas com cargas de sinais
Exercı́cios Complementares
4. (ACAFE-SC) No vácuo, um corpo eletrizado com carga
elétrica Q cria um potencial igual a +3000 V num ponto
A, situado a 30 cm de Q. Sendo k = 9 × 109 N · m2 /C 2 ,
determine:
a) o valor da carga Q;
b) a intensidade do vetor campo elétrico no ponto A.
5. (UFRS-RS) Temos as cargas Q1 , Q2 e Q3 dispostas em
um retângulo de lados 6 cm e 8 cm. Calcule o potencial
elétrico total no vértice A, que não contém nenhuma carga.
Dados: Q1 = 8 µC, Q2 = 16 µC, Q3 = −12 µC e k =
9 × 109 N · m2 /C 2 .
6. (IME-RJ) Calcular o trabalho das forças do campo
elétrico de uma carga puntiforme Q = 5 µC para transportar outra carga puntiforme q = 2, 0 µC de um ponto A
a outro B, distantes 1, 0 m e 2, 0 m da carga Q, respectivamente. Esse trabalho é positivo ou negativo? Explique.
Dado: k = 9 × 109 N · m2 /C 2 .
Fı́sica E
Aula 5
Superfı́cies Equipotenciais
Denomina-se superfı́cie eqüipotencial ao lugar geométrico
dos pontos que têm mesmo potencial elétrico. Nenhum trabalho é realizado no deslocamento de uma carga de prova
entre dois pontos de uma mesma superfı́cie equipotencial.
Para aumentar a separação entre as cargas, é preciso que
um agente externo realize um trabalho, cujo sinal poderá
ser positivo ou negativo, conforme sejam as cargas de sinais
iguais ou opostos. Como sabemos, a esse trabalho corresponde uma energia armazenada no sistema sob a forma de
energia potencial elétrica. Assim, definiremos a energia potencial elétrica de um sistema de cargas elétricas puntiformes como sendo o trabalho externo realizado para trazê-las
em equilı́brio de uma separação infinita até a configuração
atual.
Fı́sica E – Aula 5
47
V (volts)
0
-50
-100
-150
V (volts)
-1.0
150
100
-0.5
0.0
x (m) 0.5
1.0
1.0
0.5
0.0
y (m)
-0.5
-1.0
50
0
-1.0
-0.5
0.0
x (m) 0.5
1.0
1.0
0.5
0.0
y (m)
-0.5
-1.0
Figura 1.2: O potencial elétrico em torno de uma carga puntual positiva q = −1 nC. Na base estão as equipotenciais,
inicando no cı́rculo maior onde V = −10 V . Masca-se as
equipotenciais a cada 20 V .
Como o trabalho é a própria energia potencial elétrica E pot
do sistema de cargas {q1 , q2 }, então
Epot =
kq1 q2
r12
onde r12 é a distância entre as cargas q1 e q2 .
Figura 1.1: O potencial elétrico em torno de uma carga puntual positiva q = +1 nC. Na base estão as equipotenciais,
inicando no cı́rculo maior onde V = +10 V . Masca-se as
equipotenciais a cada 20 V .
O potencial elétrico que uma carga q1 origina no ponto P ,
a uma distância r da carga, é dado por:
kq1
r
Imaginemos, agora, que uma segunda carga q2 foi trazida
do infinito até o ponto P . O trabalho realizado para tal é,
segundo a definição de potencial elétrico:
Pense um Pouco!
• Como seriam as superfı́cies equipotenciais de uma carga
puntiforme?
• Qual o trabalho necessário para se deslocar uma carga
q 0 em torno de uma carga fixa q, mantendo-se a
distância fixa entre elas?
V1 =
W 2 = q 2 V1
Exercı́cios de Aplicação
1. (FATEC-SP) Sabe-se que a carga do próton é igual em
valor absoluto à do elétron, tendo no entanto sinal contrário
48
ao da referida carga. Um próton tem velocidade relativa
zero em relação a um elétron. Quando eles estiverem separados pela distância 10-13 cm, calcule a energia potencial
do sistema.
2. (IME-RJ) Três cargas q1 , q2 e q3 estão dispostas, uma
em cada vértice de um triângulo equilatero de lado a. Qual
a energia potencial do sistema? Suponha em q1 = 1, 0 µC,
q2 = −4, 0 µC, q3 = 2, 0 µC e a = 10 cm.
3. No esquema abaixo representamos as superfı́cies equipotenciais e as linhas de força no campo de uma carga elétrica
puntiforme Q. Considere que o meio é o vácuo. Sendo
V1 = 60 V ; V2 = 30 V ; V3 = 20 V , e do centro da carga até
V2 a distância r = 0, 30 m. Determine:
a) o valor de Q;
b) a d.d.p. encontrada no caminho da superfı́cie com V 1 até
a outra com V2 ;
c) o trabalho da força elétrica que atua sobre uma carga de
prova q 0 = +1, 0 µC ao ser deslocada de V2 para V3 .
Exercı́cios Complementares
4. (USP-SP) Uma partı́cula de massa m e carga elétrica
q > 0 está em equilı́brio entre duas placas planas, paralelas
e horizontais, e eletrizadas com cargas de sinais opostos. A
distância entre as placas é d, e a aceleração local da gravidade é g.
a) Determine a diferença de potencial entre as placas em
função de m, g, q e d.
b) Qual placa tem o maior potencial? Explique.
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Fı́sica E
Aula 6
Condutores em Equilı́brio
Vamos estudar o campo elétrico e o potencial elétrico de
uma distribuição de cargas em um condutor em equilı́brio
eletrostático.
Para estudar os campos elétricos, vamos usar não sistemas
de cargas puntiformes e sim distribuições de cargas em condutores. Deve-se considerar que estes estão em equilı́brio
eletrostático, ou seja, nenhuma carga está sendo colocada
ou retirada do condutor, e todo o movimento interno de
cargas já cessou.
Equilı́brio Eletrostático
Um condutor está em equilı́brio eletrostático quando
nele não ocorre movimento ordenado de cargas elétricas.
Fornecendo-se ao condutor representado em corte da Fig.
1.1, uma a carga elétrica Q, a repulsão mútua das cargas
elementares que constituem Q faz com que elas fiquem tão
longe uma da outra quanto possı́vel. O maior afastamento
possı́vel corresponde a uma distribuição de cargas na superfı́cie externa do condutor, situação, aliás, que destacamos nas figuras de condutores que até agora apareceram
em nossas aulas. Nessa configuração de cargas, todas na
superfı́cie, o condutor possui a sua menor energia potencial
elétrica.
5. (FEI-SP) Uma partı́cula da massa m = 200 mg e carga
q = +1µC é abandonada num ponto A e se dirige a outro
B. Sendo de −100 V a diferença de potencial de A e B, a
velocidade com que a partı́cula alcança B é:
a) 5, 0 m/s
b) 4, 0 m/s
c) 3, 0 m/s
d) 2, 0 m/s
e) 1, 0 m/s
6. (Santa Casa-SP) Sabe-se que a massa do elétron é 9, 1 ×
10−31 kg, que sua carga elétrica vale −1, 6×10−19 C e que a
diferença de potencial entre os ponto A até B é 100 V . Um
elétron é abandonado em B sob a ação exclusiva do campo
elétrico. O módulo da velocidade do elétron ao atingir o
ponto A é um valor mais próximo de:
a) 36 × 1012 m/s
b) 6, 0 × 1012 m/s
c) 6, 0 × 106 m/s
d) 35 × 106 m/s
e) 6, 0m/s
Figura 1.1: Um condutor carregado com carga positiva.
O Campo Interno
No interior de um condutor eletrizado, de qualquer formato,
o campo elétrico é nulo em todos os pontos, ou seja,
~ = ~0.
E
Fı́sica E – Aula 6
Isso pode ser constatado simplesmente notando que, se houvesse campo elétrico no interior do condutor, ele agiria nos
elétrons livres, os quais teriam um movimento ordenado
sob sua influência, contrariando o conceito de condutor em
equilı́brio eletrostático.
O Campo Externo
Contudo, da sua superfı́cie para fora, o campo elétrico não
~
será nulo. Porém, nesses pontos, o vetor campo elétrico E
deve ser normal à superfı́cie, como em A, na Fig. 1.1. Se o
~ 0 no ponto B da mesma figura, ele
vetor campo fosse como E
teria uma componente tangencial à superfı́cie do condutor,
o que provocaria movimento ordenado de cargas ao longo
da superfı́cie.
O Poder das Pontas
Nas regiões pontiagudas de um condutor carregado (região
C da Fig. 1.1), a densidade de carga, isto é, a concentração
de cargas elétricas por unidade de área superficial é mais
elevada. Por isso, nas pontas e em suas vizinhanças o campo
elétrico é mais intenso.
Quando o campo elétrico nas vizinhanças da ponta atinge
determinado valor, o ar em sua volta se ioniza e o condutor
se descarrega através da ponta. Esse fenômeno recebe o
nome de “poder das pontas”. É nele que se baseia, por
exemplo, o funcionamento dos pára-raios.
49
constante. Assim, para o condutor da Fig.
VA = V B = V C = V D .
1.1, temos
Condutor Esférico
Para se determinar o vetor campo elétrico e o potencial
elétrico em pontos externos a um condutor esférico eletrizado, supõe-se sua carga Q puntiforme e concentrada no
centro:
Q
Eext = k 2
r
e
Q
Vext = k
r
O potencial elétrico do condutor esférico de raio R é o potencial de qualquer ponto interno ou superficial, sendo dado
pelo valor fixo:
Q
Vint, sup = k
R
Blingdagem Eletrostática
Considere um condutor oco A em equilı́brio eletrostático e,
em seu interior, o corpo C (Fig. 1.3). Como o campo elétrico
no interior de qualquer condutor em equilı́brio eletrostático
é nulo, decorre que A protege o corpo C, no seu interior, de
qualquer acão elétrica externa. Mesmo um corpo eletrizado
B externo induz cargas em A, mas não em C. Desse modo,
o condutor A constitui uma blindagem eletrostática para o
corpo C.
Condutor Oco
Evidentemente, não importa se o condutor é maciço ou oco
(Fig. 1.2): o campo elétrico no interior do metal é sempre
nulo e as cargas se distribuem na sua superfı́cie externa.
Figura 1.3: A blindagem eletrostática.
Uma tela metálica envolvendo certa região do espaço
também constitui uma blindagem satisfatória – a chamada
“gaiola de Faraday”.
A blindagem eletrostática é muito utilizada para a proteção
de aparelhos elétricos e eletrônicos contra efeitos externos
perturbadores. Os aparelhos de medidas sensı́veis estão
acondicionados cm caixas metálicas, para que as medidas
não sofram influências externas. As estruturas metálicas
de um avião, de um automóvel e de um prédio constituem
blindagens eletrostáticas.
Figura 1.2: Um condutor oco.
Como Funciona o Pára-Raios?
Potencial Elétrico
O potencial elétrico em todos os pontos, internos e superficiais, de um condutor em equilı́brio eletrostático, é
O pára-raios tem por finalidade oferecer um caminho mais
eficiente para as descargas elétricas, protegendo casas,
edifı́cios, depósitos de combustı́veis, linhas de transmissão
de energia elétrica, etc.
50
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Saiba Mais
e) ( ) As cargas elétricas em excesso distribuem-se na superfı́cie externa do condutor.
O pára-raio foi criado por BENJAMIN FRANKLIN (l7061790). polı́tico, escritor e cientista norte-americano. Atualmente, é constituı́do essencialmente de uma haste condutora
disposta verticalmente na parte mais alta da estrutura a ser
protegida. A extremidade superior da haste apresenta uma
ou mais pontas de material com elevado ponto de fusão, a
outra extremidade da haste é ligada, através de condutores
metálicos, a barras metálicas que se encontram cravadas,
profundamente no solo. Se uma nuvem eletrizada estiver
sobre as pontas do pára-raios, induz nelas cargas elétricas
intensificando o campo na região já ionizada pela descarga
lı́der. Produz-se a descarga principal através do pára-raios.
+
+
+
\]\^
+
+
B +
+
+
+
+
A
_]_`
+
+
+
+
+
+
C
+ ab
a]
+
2. Considere uma esfera metálica oca provida de um orifı́cio
e eletrizada com carga Q. Uma pequena esfera metálica
neutra é colocada em contato com a primeira. Quais são as
afirmações corretas?
a) ( ) Se o contato for interno, a pequena esfera não se
eletriza.
b) ( ) Se o contato for externo, a pequena esfera se eletriza.
c) ( ) Se a pequena esfera estivesse eletrizada, após um contato interno ficaria neutra.
d) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, sem tocar na esfera eletrizada, a carga elétrica da pequena esfera aumenta.
3. (Efei-MG) Um condutor esférico de raio R = 30 cm está
eletrizado com carga elétrica Q = 6, 0 nC. O meio é o vácuo
(k = 9 × 109 N · m2 /C 2 ). Determine:
a) o potencial elétrico e a intensidade do vetor campo
elétrico no centro da esfera;
b) o potencial elétrico e a intensidade do vetor campo
elétrico num ponto externo e situado a 50 cm do centro
da esfera.
Exercı́cios Complementares
Pense um Pouco!
• Como funciona um pára-raios? Que área ele protege?
• Por que durante uma tempestade para se proteger das
chuvas é mais seguro ficar dentro do carro que debaixo
de uma árvore?
Exercı́cios de Aplicação
1. (Cefet-BA) Considere um condutor metálico com a forma
indicada na figura. O condutor está eletrizado positivamente e em equilı́brio eletrostático. Observe os pontos A,
B e C. Quais são as afirmações corretas?
a) ( ) O campo elétrico em A é nulo.
b) ( ) A densidade de cargas elétricas é maior em C do que
em B.
c) ( ) O campo elétrico em B é mais intenso do que em C.
d) ( ) Os pontos A, B e C possuem mesmo potencial
elétrico.
4. (Efei-MG) Duas esferas metálicas, A e B, de raios R e
3R, estão eletrizadas com cargas 2Q e Q, respectivamente.
As esferas estão separadas de modo a não haver indução
entre elas e são ligadas por um fio condutor.
a) Quais as novas cargas após o contato?
b) Qual opotencial elétrico de cada esfera, depois do contato?
5. (ACAFE-SC) Duas esferas metálicas, A e B, de raios
10 cm e 20 cm, estão eletrizadas com cargas elétricas 5, 0 nC
e −2, 0 nC, respectivamente. As esferas são postas em contato. Determine, após atingir o equilı́brio eletrostático:
a) as novas cargas elétricas das esferas;
b) o potencial elétrico que as esferas adquirem.
c) Houve passagem de elétrons de A para B ou de B para
A? Explique.
6. (UNICAMP-SP) Conhecidas duas esferas metálicas
idênticas, A e B, de cargas elétricas 5, 0 × 10−6 C e
3, 0 × 10−6 C, respectivamente. As esferas são colocadas
em contato.
a) Determine o número de elétrons que passou de um condutor para outro.
b) Qual das esferas recebe elétrons?
Fı́sica E – Aula 6
51
7. Sabendo-se que existe um campo elétrico na superfı́cie
da Terra, vertical para baixo igual a 100 N/C. Dado o raio
da Terra R = 6.400 km, determine:
a) O potencial elétrico da Terra (do chão);
b) A carga elétrica total da Terra.
Capacidade Elétrica
Denomina-se capacidade elétrica ou capacitâcia de um corpo
condutor a capacidade que ele possui de armazenar cargas.
Da mesma forma que a quantidade de moles de um gás
que um balão pode conter depende da pressão a que o gás
estiver submetido e também das dimensões e forma do balão,
a capacidade elétrica dependerá das dimensões e forma do
condutor.
A experiência mostra que, se fornecemos a um condutor
cargas Q1 , Q2 , Q3 , ..., Q, o potencial adquirido pelo mesmo
será V1 , V2 , V3 , ..., V , sempre proporcionaias à carga Q
fornecida. Isso quer dizer que o quociente Q/V é constante
(Fig. 1.4).
c +ed
c +ed
c +ed
c ed
c ed
c+ ed
c ed
c ec
ed
+ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c +ed
c ec
Os condutores que constituem o capacitor são denominados
armaduras do capacitor.
A classificação dos capacitores é dada em função da forma
de suas armaduras e da natureza do dielétrico que existe
entre as mesmas.
Em todo capacitor, existe uma relação constante entre o
módulo da carga (que é a mesma em valor absoluto nas
duas armaduras) e a d.d.p. V entre as armaduras. Essa
relação é denominada capacitância do condensador.
C = Q/V
Num circuito, os capacitores serão representados por duas
barras paralelas.
Capacitores Planos
O capacitor plano é constituı́do por placas condutoras planas e paralelas, separadas por um dielétrico qualquer (ar,
mica, papel, polı́meros, etc.)
Q
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ec +
ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ec +
+ ecded
cd
e cd
e cd
e cd
e cd
e cd
e cd
e cd
e ce
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ec +
+ ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ec
ed
+ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c +ec
c+ +ed
c ed
c ed
c ed
c ed
c +ed
c +ed
c ec
ed
V
+
−
+
Figura 1.4: Capacitor metálico carregado com carga positiva
+Q.
Essa constante de proporcionalidade C é denominada capacitância do condutor.
Unidades SI
No Sistema Internacional de Unidades (SI), temos:
1 F = 1 f araday = 1 coulomb/1 volt = 1 F arad
A capacitância de um condutor que recebe uma carga de
l coulomb, adquirindo um potencial de l volt, é igual a l F .
Na prática, os capacitores tem capacitância da ordem tı́pica
de µF arad.
Capacitores
Na prática, é impossı́vel obter condutores de capacitância
elevada, sem que suas dimensões sejam extraordinariamente
grandes. No entanto, é possı́vel obtermos dispositivos, de
dimensões pequenas, capazes de armazenar uma razoável
quantidade de cargas com diferenças de potencial não muito
grandes. Esses dispositivos são denominados capacitares
ou condensadores.
Um capacitor é um par de condutores, separados por um
isolante (dielétrico).
Seja A a área de cada armadura e d a distância entre as
mesmas. Consideremos inicialmente que haja vácuo entre as
placas. É possı́vel demonstrar, mediante a aplicação da lei
de Gauss, que o campo uniforme que existe entre as placas
é dado por:
Q
E=
0 A
onde 0 é a constante de permitividade elétrica do
vácuo,
0 = 8, 85 × 1O −12 F/m
no SI.
Relação Entre k e 0
As constantes k, a constante elétrica da lei de Faraday, e
0 , a permissividade elétrica do vácuo, estão intimamente
relacionadas, e pode-se mostrar que:
k=
1
4π0
e como 0 é dado em F/m, então pode-se escrever a constante k em m/F , já que estas constantes são inversamente
proporcionais.
52
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Qual seria então o raio da esfera com capacitância de 1, 0 F ?
Como C = R/k então
R = kC = (9, 0 × 109 m/F )(1, 0 F ) = 9, 0 × 109 m
Se compararmos esse valor com o raio da Terra, cerca de
6.4 × 106 m, veremos que o capacitor teria que ter um raio
com aproximadamente 1.400 vezes maior que a Terra!
Conforme já estudamos anteriormente, a d.d.p. entre as
placas vale V = Ed. Assim:
V =
Qd
0 A
A capacitância do capacitor plano é dada por:
C=
0 A
d
Observe que a capacitância obtida é diretamente proporcional à área A das placas, e inversamente proporcional à sua
distância d.
Se, em vez de ar ou vácuo, houver entre as armaduras um
dielétrico de constante dielétrica b, a capacitância de um
condensador plano será maior, dada por:
C=
b0 A
d
Para que o dielétrico tenha efeito sobre a capacitância, ele
deve ser colocado na região de campo elétrico do capacitor. Alguns dielétricos como a mica e poliéster chegam a
aumentar a capacitância em até 100 vezes o seu valor no
vácuo (sem dielétrico).
Capacitor Esférico Simples
Se construirmos um capacitor com uma esfera simples condutora de raio R, sua capacitância será
C=
Q
Q
R
=
=
= 4π0 R
V
kQ/R
k
ou seja, a capacitância da esfera é diretamente proporcional
ao seu raio R.
+ + +
Q
+ +
+
+ R
+ +
+
+
+
+ + +
+
+
+
+
+
+
Capacitor Esferico
´
+
+
+ +
Exemplo
Vamos calcular a capacitância de uma esfera condutora de
raio igual a 1, 0 m.
C=
1, 0 m
R
=
≈ 0, 11 nF
k
9, 0 × 109 m/F
Pense um Pouco!
• Qual a utilidade dos capacitores em nosso cotidiano?
• Se tentarmos afastar as placas (armaduras) de um capacitor carregado, realizaremos algum trabalho?
• Se conectarmos duas esferas metálicas idênticas de capacitância C cada uma, qual a capcitância do conjunto?
Comente.
• A capacitância de um corpo metálico depende dele ser
oco ou maciço? Explique.
Exercı́cios de Aplicação
8. Três condutores, de capacidades 2 pF , 3 pF e 5 pF ,
estão eletrizados com cargas de 4 µC, 12 µC e −20 µC,
respectivamente.
a) Determine os potenciais elétricos desses corpos.
9. (FUVEST-SP) Um capacitor plano tem uma capacitância C. Entre suas armaduras há uma distância d. Qual
será sua capacidade se a distância entre suas placas for aumentada para 2d?
10. (UFBA) Um capacitor plano possui capacidade C =
100 pF , área das armaduras A = 100 cm2 , e dielétrico
com b = 5. Quando a ddp entre as armaduras for igual
a 50V , calcule a intensidade do campo elétrico no interior
do dielétrico. Dado: 0 = 8, 85 × 1O −12 F/m.
Exercı́cios Complementares
11. (UFPR) Uma partı́cula de massa 2, 0 × 10−10 kg com
carga positiva e igual a 2, 0×1O −6 C penetra através de um
orifı́cio, com velocidade de 1, 0×104 m/s, numa região onde
existe um campo elétrico uniforme de módulo 4 × 10 5 N/C.
A distância entre as placas vale 10 cm. Determine a energia cinética com que a partı́cula atinge a segunda placa,
andando contra o campo elétrico.
12. (UEL-PR) Um capacitor de capacidade C exibe, entre seus terminais, uma diferença de potencial V . A carga
elétrica armazenada nesse capacitor é dada por:
a) C/V
b) V /C
c) C 2 V
d) CV 2
e) CV
Fı́sica E – Aula 8
53
13. (Puccamp-SP) Um capacitor de 8, 0 × 10−6 F é sujeito
a uma diferença de potencial de 30 V . A carga que ele
acumulou vale:
a) 1, 2x10−4 C
b) 2, 4x10−4 C
c) 2, 7x10−7 C
d) 3, 7x106 C
e) 7, 4x106 C
14. (UF-ES) Um equipamento elétrico contém duas pilhas
de 1, 5 V em série, que carregam um capacitor de capacitância 6, 0 × 10−5 F . Qual a carga elétrica que se acumula
no capacitor, em coulombs?
Fı́sica E
Aula 8
Associação de Capacitores
Associação de Capacitores em Série
C1 C2
a
a
C1
b
a
(a)
• Como as cargas são iguals nos dois capacitores em série,
a d.d.p. do maior capacitor será a menor;
• Se os capacitores ligados em série forem iguais C 1 =
C2 = C, a d.d.p. de ambos será igual a V /2 e a capacitância equivalente será Cser. = C/2, a metade da
capacitância de um dos capacitores;
• Para uma associação em série de n capacitores teremos
1
1
1
1
1
=
+
+ ...+
= sumni=1
Cser.
C1
C2
Cn
Ci
(Veja a Fig. 1.1(b) ).
Neste caso, como os terminais de ambos os capacitores são
ligados nos mesmo pontos a e b, conectados a uma bateria
de tensão V , a placa positiva de cada capacitor está ligada à
placa positiva do outro, o mesmo acontecendo com as placas
negativas.
Observamos que a mesma d.d.p. V é aplicada aos capacitores da associação.
C3
V = V1 = V2
b
b
C2
• Na associação em série, a capacitância equivalente do
conjunto, Cser. será menor do que a menor das capacitâncias utilizadas;
Associação de Capacitores em Paralelo
Assim como os aparelhos em geral, os capacitores podem
ser associados de vários modos, sendo os principais em série
e em paralelo. Se numa associação encontramos ambos os
tipos, chamaremos de associação mista.
C1
Propriedades
Cada capacitor adquire uma carga parcial:
Q = Q 1 + Q2
C2
(b)
(c)
A capacidade equivalente é dada por:
Cpar. = C1 + C2
Figura 1.1: Associação de capacitores em série (a), em paralelo (b) e mista (c).
Na associação em série, ver Fig. 1.1 (a), quando uma fonte
bateria de tensão V é ligada nos terminais a e b, as cargas
removidas de um terminal serão deslocadas para o outro,
ou seja, as cargas em ambos os terminais são de mesmo
módulo:
Q1 = Q 2 = Q
. Então
Q
Q
V1 =
e V2 =
C1
C2
Os capacitores adquirem diferentes d.d.p. V1 e V2 , respectivamente, tal que
V = V1 + V2
e assim
Q
Q
Q
=
+
Cser.
C1
C2
e então a capacidade equivalente é dada por:
1
Cser.
=
1
1
+
C1
C2
Propriedades
• Na associação em paralelo, a capacitância equivalente
do conjunto, Cpar. será maior do que a maior das capacitâncias utilizadas;
• Como as tensões são iguals nos dois capacitores em paralelo, a carga do maior capacitor será a maior das cargas;
• Se os capacitores ligados em paralelo forem iguais C 1 =
C2 = C, a carga de ambos será a mesma e a capacitância equivalente será Cpar. = 2C, o dobro da capacitância de um dos capacitores;
• Para uma associação em paralelo de n capacitores teremos
Cpar. = C1 + C2 + . . . + Cn = sumni=1 Ci
54
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Energia de um Caacitor
2. (FAAP-SP) Associam-se em série três capacitores neutros com capacitâncias C1 = 20 µF , C2 = 50 µF e
C3 = 100 µF . Calcule a capacitância equivalente do sistema.
Imaginemos um capacitor carregado. Liguemos agora suas
armaduras por um fio condutor: as cargas negativas vão
fluir para a outra armadura até que ambas se neutralizem.
O tempo necessário para isso é muito pequeno, e muitas vezes a descarga vem acompanhada de uma faı́sca que salta
dos extremos do condutor que une as armaduras. Conforme
já estudamos anteriormente, o transporte de cargas elétricas
entre pontos que possuem diferentes potenciais elétricos implica aparecimento de energia elétrica. Quando uma carga
elétrica é transportada entre dois pontos, entre os quais
existe uma diferença de potencial V qualquer, o trabalho
realizado é W = qV
Na descarga do capacitor, porém, a d.d.p. varia, diminuindo
à medida que uma parcela da carga vai se transferindo para
a outra armadura.
Como a carga total do capacitor é Q = CV , e a d.d.p. varia
de V até zero durante o processo de descarga, podemos
tomar o valor médio da tensão como sendo V /2 e calcular o
trabalho
W = qV = CV · f racV 2 =
1
CV 2
2
e como esse trabalho foi realizado durante a descarga, podemos supor que essa energia estava armazenada no capacitor,
como energia potencial elétrica.
Assim, definimos a energia do capacitor como
E=
1
CV 2
2
Observe que a expressão anterior pode ser reescrita de duas
outras formas equivalentes:
E=
Q2
1
QV =
2
2C
Pense um Pouco!
• Cite duas aplicações direta dos capacitores.
• Alguém disse que os fios usados em circuitos elétricos
servem para igualar o potencial elétrico nas partes conectadas nas suas duas pontas. O que você acha disso?
• Na figura 1.1, imagine que se conecte nos terminais a
e b, os terminais (polos) de uma bateria de tensão V .
Sobre a figura, pinte de uma cor todas as partes que
tem o mesmo potencial elétrico de a, e de outra cor
as partes que tem o mesmo potencial de b. Observe o
conclua você mesmo.
Exercı́cios de Aplicação
1. (UERJ) Uma associação de l.000 capacitores de l0 µF
cada um, associados em paralelo, é utilizada para armazenar
energia. Qual o custo para se carregar esse conjunto até
50.000 volts, supondo-se R$ l,00 o preço do kW h?
3. Calcule a capacitância equivalente da associação mista
mostrada na Fig. 1.1 (c), para os capacitores C1 = 20 µF ,
C2 = 10 µF e C3 = 40 µF .
Exercı́cios Complementares
4. (FCC-BA) Determine a energia acumulada num conjunto de capacitores com capacitância total de 2.000 µF e
sob tensão de 900 V .
5. (UCS-RS) Dois capacitores de capacitância C 1 = 6, 0 µF
e C2 = 3, 0 µF são associados em paralelo e a associação é
submetida a uma d.d.p. V. O capacitor de capacitância C 1
se eletriza com carga elétrica Q1 = 1, 2 × 10−4 C, e o de
capacitância C2 , com carga elétrica Q2 . Determine V e Q2 .
6. (Acafe-SC) Qual a d.d.p. que deve ser aplicada a um
capacitor, de capacitância 2, 0 µF , a fim de que armazene
energia potencial elétrica de 2, 5 × 10−3 J?
7. (UESB-BA) Um capacitor de um circuito de televisão
tem uma capacitância de 1, 2 µF . Sendo a diferença de
potencial entre seus terminais de 3.000 V , a energia que ele
armazena é de:
a) 6, 7 J
b) 5, 4 J
c) 4, 6 J
d) 3, 9 J
e) 2, 8 J
Quı́mica
Quı́mica A
Aula 1
Estrutura Atômica
que algumas destas partı́culas defletiam mais de 90 ◦ e umas
poucas retornavam no caminho de onde tinham vindo. Ver
a Fig. 2.1.
Estes resultados sugerem um modelo de átomo no qual há
uma densa carga positiva central circundada por um grande
volume vazio. Rutherford chamou esta região carregada positivamente de núcleo atômico.
Modelos Atômicos
As partı́culas carregadas positivamente são chamadas
prótrons.
A primeira abordagem sobre a constituição da matéria data
de ± 400 anos a.C. Os filósofos gregos Demócrito e Leucipo
conceberam o átomo como a menor partı́cula constituinte
da matéria e supunham que essa partı́cula era indivisı́vel.
As partı́culas carregadas negativamente continuam sendo
chamadas de elétrons.
Lavoisier: em 1780, é considerado o pai da Quı́mica por ter
criado o método cientı́fico: as leis surgem da observação da
regularidade das teorias, como tentativas de explicação dessas regularidades. Provou que “na natureza nada se cria,
nada se perde, tudo se transforma”, ou seja, numa transformação quı́mica da matéria, a massa se conserva.
John Dalton: em 1808, criou a Teoria Atômica Clássica (baseado em modelos experimentais), considerando os átomos
como esferas maciças (Modelo da Bola de Bilhar), indivisı́veis.
J. J. Thomson: em 1897, através de experimentos sobre
descargas elétricas em gases rarefeitos, admitiu a existência
de cargas negativas, os elétrons, e de cargas positivas, os
prótons. Propôs um modelo em que o átomo seria uma
esfera de eletricidade positiva, incrustada de elétrons com
carga negativa (Modelo do Pudim de Passas).
Assim, o modelo de Rutherford consta de núcleo denso,
diminuto, carregado positivamente, e de uma parte envolvendo esse núcleo, uma região rarefeita e proporcionalmente
muito grande chamada eletrosfera, com elétrons, de carga
negativa.
Resumo do Modelo de Rutherford
Este foi o modelo proposto por Rutherford. Basicamente
tinha os seguintes fundamentos:
• O átomo é dividido em duas regiões, núcleo e eletrosfera, no núcleo encontramos os prótons e os nêutrons,
na eletrosfera encontramos os elétrons;
• Os prótons apresentam carga positiva, os elétrons apresentam carga negativa e os nêutrons apresentam carga
nula;
• A massa de um próton e de um nêutron equivalem a 1
u.m.a enquanto a massa do elétron é 1836 vezes menor
que a massa do próton ou do nêutron.
O número de prótons em um núcleo atômico é chamado de
número atômico, Z, do elemento.
O número total (soma) de prótons e nêutrons no núcleo é
chamado de número de massa, A, do elemento.
A=Z +N
Figura 2.1: Aparato Experimental de Rutherford.
Ernest Rutherford: em 1911, bombardeou uma lamina
metálica delgada com um feixe de partı́culas α. Estas
partı́culas eram positivas. A maior parte das partı́culas
atravessava a lamina metálica sem sofrer desvio detectável,
algumas partı́culas atravessavam sofrendo desvio e um
número infı́mo de partı́culas refletiam. Se os átomos fossem bolhas de geléia carregados positivamente as partı́culas
α deveriam passar facilmente através das folhas com uma ligeira deflexão ocasional de seus caminhos. Mas, percebeu-se
Representação
ZX
A
Mas, o modelo planetário de Rutherford apresenta duas falhas cruciais:
• Uma carga negativa colocada em movimento ao redor
de uma carga positiva estacionária, adquire movimento
espiral até colidir com ela;
56
• Essa carga perde energia emitindo radiação, violando o
Princı́pio da Conservação de Energia.
Pense um Pouco!
1. Você sabe dizer o que significa “tempo de meia-vida”?
2. O que significa Fissão Nuclear e Fusão Nuclear?
Exercı́cios de Aplicação
1. A palavra átomo é originária do grego e significa “indivisı́vel”, ou seja, segundo os filósofos gregos, o átomo seria
a menor partı́cula da matéria que não poderia ser mais dividida. atualmente essa idéia não é mais aceita. A respeito
dos átomos, é verdadeiro afirmar que:
a) ( ) Não podem ser desintgrados;
b) ( ) São formados por pelo menos três partı́culas fundamentais;
c) ( ) Possuem partı́culas positivas denominadas elétrons;
d) ( ) Apresentam duas regiões distintas, núcleo e eletrosfera;
e) ( ) Apresentam elétrons cuja carga elétrica é negativa;
f) ( ) Contém partı́culas sem carga elétrica, os nêutrons.
2. (UFSC) Analise as afirmativas a seguir e assinale como
V ou F:
a) ( ) O primeiro modelo atômico baseado em resultados
experimentais, ou seja, com base cientifı́ca foi proposto por
Dalton;
b) ( ) Segubdo Dalton, a matéria é formada de partı́culas
indivisı́veis chamadas átomos;
c) ( ) Thomson foi o primeiro a provar que que o átomo
não era indivisı́vel;
d) ( ) O modelo atômico proposto por Thomson é o da bola
de bilhar;
e) ( ) O modelo atômico de Dalton teve como suporte experimental para a sua criação a interpretação das leis das
reações quı́micas.
3. (UFSC) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
a) ( ) Os átomos são partı́culas fundamentais da matéria;
b) ( ) Os átomos são quimicamente diferentes quando têm
números de massa diferentes;
c) ( ) Os elétrons são as partı́culas de carga elétrica positiva;
d) ( ) Os prótons e os elétrons possuem massas iguais e
cargas elétricas diferentes;
e) ( ) Os átomos apresentam partı́culas de carga nula denominados nêutrons;
f) ( ) Os átomos são partı́culas inteiramente maciças.
Exercı́cios Complementares
4. (ACE) Assinale a alternativa falsa:
a) o número de massa de um átomo é dado pela soma do
número de prótons e de nêutrons existentes no núcleo;
b) um elemento quı́mico deve ter seus átomos sempre como
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
mesmo número de nêutrons;(c) o número de prótons permanece constante, mesmo que os números de massa dos átomos
de um elemento variem;
c) o número atômico é dado pelo número de prótons existentes no núcleo de um átomo;
d) n.d.a
5. (UEL) O urânio-238 difere do urânio-235 por que o primeiro possui:
a) 3 elétrons a mais;
b) 3 prótons a mais;
c) 3 prótons e 3 nêutrons a mais;
d) 3 prótons e 3 elétrons a mais;
e) 3 nêutrons a mais.
6. (ACAFE) Um sistema é formado por partı́culas que apresentam a composição atômica de 10 prótons, 10 elétrons, 11
nêutrons. Ao sistema foram adicionadas novas partı́culas. O
sistema resultante será quimicamente puro se as partı́culas
adicionadas apresentarem a seguinte composição atômica:
a) 21 prótons, 10 elétrons e 10 nêutrons;
b) 20 prótons, 10 elétrons e 22 nêutrons;
c) 10 prótons, 10 elétrons e 12 nêutrons;
d) 11 prótons, 11 elétrons e 12 nêutrons;
e) 11 prótons, 11 elétrons e 11 nêutrons;
7. (FUVEST) As seguintes representações: 2 X 2 , 2 X 3 e2 X 4 ,
referem-se a átomos com:
a) igual número de nêutrons;
b) igual número de prótons;
c) diferente número de elétrons;
d) diferentes números atômicos;
e) diferentes números de prótons e elétrons;
Quı́mica A
Aula 2
Modelos Atômicos
O Modelo Atômico de Bohr
Com o objetivo de solucionar estas limitaçãoes do modelo de
Ruthrford entra em cena um cientista chamado Niels Bohr.
Niels Bohr: em 1913, propôs que o átomo é constituı́do por
um núcleo positivo, onde se concentra praticamente toda
massa do átomo, e por elétrons que giram ao seu redor em
órbitas circulars bem definidas, formando camadas, designadas pelas letras K, L, M, N, O, P, Q.
Através de processos experimentais Bohr, concluiu que:
• Um elétron só pode ter certas energias especı́ficas, e
cada uma destas energias corresponde a uma órbita
particular. Quanto mais afastado do núcleo maior a
energia do elétron;
• Se o elétron receber energia ele pula para uma órbita
mais afastada do núcleo;
• Como esta órbita não é natural ele tende a retornar
Quı́mica A – Aula 2
57
A mecânica quântica, que trata do universo microscópico
das partı́culas, não se descreve perfeitamente o átomo.
Heisenberg: em 1927, estabeleceu o Prı́ncipio da Incerteza,
segundo o qual “não é possı́vel predizer, ao mesmo tempo,
a posição e a quantidadade de movimento de um elétron”
Tudo que nós podemos conhecer sobre o movimento de um
sistema de partı́culas se reduz a uma função complexa Ψ de
coordenadas (x, y, z) das partı́culas e do tempo t.
Figura 2.1: O modelo Atômico de Bohr.
para sua órbita de maior estabilidade, assim sendo,
ocorre liberação de energia;
• Para calcular a energia emitida pelo elétron, Max
Planck estabeleceu que a energia se propaga em “pacotes”de quantidades mı́nimas e descontı́nuas. A essa
quantidade mı́nima chamou de fóton ou quantum. O
valor do quantum é proporcional a frequência da onda
ν, cuja magnitude pode ser calculada por
E = hν
onde h é a famosa constante de Planck, que tem valor
de 6, 63 × 10−34 J · s.
Se os átomos oscilantes transferem uma energia E para
a vizinhança, radiação de frequência ν = E/h será detectada. É importante notar que a intensidade da radiação é uma indicação do número de pacotes de energia gerados, enquanto E é a medida de energia de cada
pacote.
Esta função é chamada Função de Onda, criada por
Schrödinger (1927).
O quadrado do módulo da função de onda |Ψ|2 representa a
probabilidade de se encontrar no instante t a determinada
partı́cula.
Na concepção clássica, uma partı́cula se encontra ou não
num determinado instante em um dado ponto do espaço.
Pela mecânica quântica nós só podemos conhecer a probabilidade de encontrar a partı́cula no ponto considerado.
Schrödinger deduziu matematicamente regiões com probabilidades de se encontrar o elétron, simplificadas por meio
de modelos geométricos que chamamos de orbitais.
Sommerfeld, de Broglie e Schrödinger formaram a Mecânica
Quântica, que nos levou ao modelo atômico atual. O átomo
possui núcleo denso com elétrons em orbitais.
Orbital é a região, em torno do núcleo, com maior probabilidade de se encontrar o elétron. O elétron move-se em torno
do núcleo.
Sommerfeld: em 1916, estabeleceu que os elétrons descrevem órbitas circulares e elı́pticas em torno do núcleo.
Figura 2.3: Representação Atômica.
Figura 2.2: Modelo Atômico de Sommerfeld.
Isótopos, Isóbaros, Isótonos e Isoeletrônicos
O Modelo Atômico Atual
Louis de Broglie: em 1924, foi quem lançou as as bases
de uma nova mecânica chamada ondulatória ou quântica,
através do Princı́pio da Dualidade matéria-onda para o
elétron: “Toda partı́cula em movimento, o elétron, no caso,
tem associado a si uma onda”.
A mecânica clássica prevê, para cada corpo, sua trajetória,
conhecendo sua posição e velociade.
Isótopos: são átomos de um mesmo elemento quı́mico que
apresentam diferentes número de massa e diferentes número
de nêutrons, ou seja são átomos de mesmo número atômico
e diferentes número de massa.
6C
12
6C
13
6C
14
Isótopos de Carbono
8O
16
8O
17
8O
17
Isótopos de Oxigênio
58
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Isóbaros: são átomos de elementos quı́micos diferentes mas
com mesmo número de massa.
20 Ca
40
1840
Ar
Isótonos: são átomos de elementos quı́micos diferentes,
mas com mesmo numero de nêutrons.
5B
11
6C
2+
11 N a
1+N e
10
9F
K
L
M
N
O
P
Q
2
8
18
32
32
18
2
Orbitais Atômicos
12
Isoeletrônicos: são átomos ou ı́ons que apresentam o
mesmo número de elétrons.
12 M g
1s2
2s2 , 2p6
2
3s , 3p6 , 3d10
2
4s , 4p6 , 4d10 , 4f 14
5s2 , 5p6 , 5d10 , 5f 14
6s2 , 6p6 , 6d10
7s2
1−
7N
3−
Como vimos, orbital é a região, em torno do núcleo, com
máxima probabilidade de se encontrar elétrons. As formas dessas regiões são calculadas matematicamente e têm
o núcleo localizado no ponto zero dos eixos x, y e z.
Nı́veis e Subnı́veis de Energia
A eletrosfera do átomo está dividida em 7 regiões denominadas de nı́veis de energia ou camadas eletrônicas.
São as camadas K, L, M, N, O, P, Q, representadas pelos
números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 denominados de números quânticos
principais e representados pela letra n.
O número máximo de elétrons em cada camada é calculado
pela equação
e = 2 · n2 sendo que
K(2), L(8), M (18), N (32), O(50), P (72), Q(98)
Mas para os 112 elementos quı́micos existentes temos:
K(2), L(8), M (18), N (32), O(32), P (18), Q(2)
Existem 7 subnı́veis de energia (s, p, d, f, g, h, i) que estão
dentro das camadas. Mas para os 112 elementos existentes
não são ocupados todos os subnı́veis de energia e sim somente quatro, s, p, d, f , que são representados pela letra l
que significa número quântico secundário e são números que
vão de 0 a 3, ou seja, 0, 1, 2, 3 para os subnı́veis s, p, d, f ,
cada subnı́vel comporta um número máximo de elétrons
s(2), p(6), d(10), f (14).
Figura 2.4: Coordenadas espaciais de um átomo.
As formas dos orbitais mais importantes são:
1. esférica - chamado orbital s:
Configuração Eletrônica
Diagrama de Linus Pauling
K(2)
1s2
L(8)
2s2 2p6
M(18) 3s2 3p6 3d10
N(32) 4s2 4p6 4d10 4f 14
O(32) 5s2 5p6 5d10 5f 14
P(18) 6s2 6p6 6d10
Q(2)
7s2
Representamos a distribuição eletrônica de duas formas:
1. ordem energética, seguindo as diagonais do diagrama
de Pauling:
1s2 , 2s2 , 2p6 , 3s2 , 3p6 , 4s2 , 3d10 , 4p6 , 5s2 , 4d10 ,
5p6 , 6s2 , 4f 14 , 5d10 , 6p6 , 7s2 , 5f 14 , 6d10
2. ordem geométrica, agrupando os subnı́veis em camadas:
Figura 2.5: Representação do Orbital s.
2. halter - chamado orbital p:
Prı́ncipio de Exclusão
Certas experiências, em particular a ação de um campo
magnético, mostram que as funções de onda construı́das uni-
Quı́mica A – Aula 3
59
Exercı́cios Complementares
Figura 2.6: Representação do Orbital p.
camente sobre as coordenadas de espaço não são aptas para
explicar totalmente os fenômenos, o que levou a se introduzir uma nova coordenada chamada spin. Trata-se de um
coosdenada suplementar associada à rotação do elétron. Os
valores permitidos para a função de spin são − 12 e 21 , e são
de spins opostos.
Dois elétrons podem ocupar um mesmo
orbital desde que possuam spins opostos.
Este enunciado é conhecido por “Princı́pio de Exclusão, de
Wolfgang Pauli”.
Cada subnı́vel comporta um número máximo de elétrons
(como visto anteriormente). Se cada orbital comporta no
máximo dois elétrons, temos então:
2
s
p6
d10
f 14
↑↓
Representação do Orbital
↑↓
↑↓ ↑↓ ↑↓
↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓
↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓
1
3
5
7
orbit.
orbit.
orbit.
orbit.
Pense um Pouco!
1. Você sabe quais são os tipos de radiações existentes e
quais as caracterı́sticas particulares de cada uma?
2. Quais são os efeitos causados pelas radições? E quais
as princı́pais aplicações das reações nucleares?
Exercı́cios de Aplicação
1. (ACAFE-99) A vitamina B12 , anti-anêmica, contém ı́ons
de cobalto Co+2 . Dado: Co(Z = 27). A configuração
eletrônica nos orbitais 4s e 3d do Co+2 , é:
a) 4s0 , 3d8 .
b) 4s2 , 3d7 .
c) 4s2 , 3d5 .
d) 4s1 , 3d6 .
e) 4s0 , 3d7 .
2. (UDESC) Uma átomo com número atômico igual a 38,
apresentará em seu antepenúltimo nı́vel:
a) 8 elétrons.
b) 18 elétrons.
c) 16 elétrons.
d) 10 elétrons.
e) 6 elérons.
3. (FUVEST) De acordo com os postulados de Bohr é correto afirmar que:
a) ( ) Os elétrons se movem ao redor do núcleo em órbitas
bem definidas, que são denominadas órbitas estacionárias;
b) ( ) Movendo-se numa órbita estacionária, o elétron não
emite nem absorve energia;
c) ( ) Ao saltar de uma órbita mais próxima do núcleo para
outra órbita mais afastada, o elétron absorve energia;
d) ( ) Quando o elétron de um átomo salta de uma camada mais externa para outra mais próxima do núcleo, há
emissão de energia;
e) ( ) No núcleo de um átomo existem prótons e nêutros.
4. (UEL) Átomos neutros e ı́ons de um mesmo elemento
quı́mico tem, necessariamente, o mesmo número:
a) atômico;
b) de massa;
c) de oxidação;
d) de carga;
e) de isômeros.
5. (CESGRARIO) Um átomo Q tem número atômico dado
por (3x − 5). Um átomo R tem número de massa 6x. É
sábido que R e Q são isótopos. Assinale a distribuição
eletrônica de Q, no estado fundamental, em ordem crescente dos nı́veis energéticos:
a) [Ar] 4s2 , 4p6 4d8 .
b) [Ar] 3d10 , 4s2 , 4p4 .
c) [Ne] 3d10 , 4s2 , 4p4 .
d) [Ar] 3d10 , 4s2 , 4p2 .
e) [Ne] 3d10 , 4s2 , 4p6 .
Quı́mica A
Aula 3
Ligações Quı́micas
Estabilidade dos Átomos
Os gases nobres são os únicos encontrados na natureza na
forma monoatômica, ou seja, não se ligam se, apresentam
na forma de átomos. Isto significa que o átomo é totalmente
estável.
Os gases nobres (Coluna 8A da Tabela Periódica), com
exceção do hélio, apresentam oito elétrons na camada de
valência.
He(Z=2)
Ne(Z=10)
Ar(Z=18)
Xr(Z=36)
Xe(Z=54)
Rn(Z=86)
Gases Nobres
2
2 8
2 8 18 8
2 8 18 18
2 8 18 32
2 8 18 32
8
18
32
8
18
8
Camada de valência é a camada eletrônica mais externa.
Pode receber ou fornecer elétrons na união entre átomos.
60
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
A valência de um átomo é o número de ligações que um
átomo precisa fazer para adquirir a configuração de um gás
nobre.
Repare nos exemplos acima que o cloro possui sete elétrons
de valência, enquanto que o ı́on cloreto, oito.
Teoria do Octeto
Foi feita uma associação entre a estabilidade dos gases nobres e o fato de possuı́rem 8 elétrons na última camada.
Surgiu então a Teoria do Octeto:
Para atingir uma situação estável, há
uma tendência dos átomos para conseguir
estrutura eletrônica de 8 elétrons na camada
de valência igual ao gás nobre de número
atômico mais próximo.
Uma ligação covalente é aquela ligação quı́mica formada
pelo compartilhamento de um par de elétrons entre dois
átomos. A Estrutura de Lewis de um composto covalente
ou de um ı́on poliatômico mostra como os elétrons estão
distribuı́dos entre os átomos, de formas a mostrar a conectividade entre eles. No caso do metano, por exemplo, quatro
elétrons, um de cada hidrogênio, mais os quatro elétrons de
valência do carbono, são emparelhados na Estrutura, mostrando como cada átomo se conecta a outro por um par de
elétrons.
No caso de átomos menores em número de elétrons, a
tendência é alcançar o dueto, isto é, conseguir dois elétrons
na última camada, como o hélio (Z = 2) : 1s2 . É o caso do
hidrogênio e do lı́tio.
Classificação dos Elementos
Quanto à Configuração Eletrônica, podemos classificar os
elementos quı́micos como:
Metais: São elementos que possuem menos de quatro
elétrons na camada de valência. Doam elétrons quando fazem ligações quı́micas;
Não-Metais: São elementos que possuem mais de quatro
elétrons na camada de valência. Recebem elétrons quando
fazem ligações quı́micas;
Figura 2.2: Configuração da estrutura de Lewis para o metano.
Ao invés de utilizarmos dois pontos para indicar o par de
elétrons que perpetuam a ligação covalente, podemos utilizar um traço. Assim, o traço irá representar os dois elétrons
da ligação covalente.
Semimetais: São alguns elementos que ora comportam-se
como metais ora como não-metais, independente do número
de elétrons na camada de valência;
Hidrogênio: Não tem classificação, porém sua tendência
é de ganhar um elétron. Os elementos que possuem quatro elétrons na camada de valência podem ceder ou receber
elétrons nas ligações.
O carbono por exemplo, terá comportamento de não-metal,
recebendo elétrons.
O silı́cio e o germânio são semimetais: ora cedem elétros,
ora recebem.
Estruturas de Lewis
Um sı́mbolo de Lewis é um sı́mbolo no qual os elétrons da
camada de valência de um átomo ou de um ı́on simples são
representados por pontos colocados ao redor do sı́mbolo do
elemento. Cada ponto representa um elétron. Por exemplo:
(a)
(b)
Figura 2.1: Configuração eletrônica e estrutura de Lewis
para o átomo neutro de cloro (a) e para o ı́on de cloro (b).
Figura 2.3: Configuração da ligação covalente.
Vamos representar na Figura (2.4) a estrutura de Lewis da
água. Dois hidrogênios são ligados ao átomo de oxigênio
central. Os elétrons de ligação são indicados pelas linhas
entre o oxigênio e cada um dos hidrogênios. Os elétrons
remanescentes - dois pares - que constituem o octeto do
oxigênio, são chamados de não-ligantes, por não estarem
envolvidos em ligações covalentes.
O primeiro passo para se desenhar uma estrutura de Lewis
é determinar o número de elétrons de valência dos átomos
que serão conectados. Depois é necessário determinar qual
é o átomo central, e ligá-lo aos átomos periféricos por pares
de elétrons.
Considere o dióxido de carbono CO2
carbono(C) →
tem 4e− de valência × 1 carbono = 4e−
Quı́mica A – Aula 3
61
aceitável. “O carbono está deficiente de elétrons - ele
tem só quatro elétrons em sua volta. Esta não é uma
estrutura de Lewis aceitável”.
• Se a camada de valência do átomo central não está
completa, use um par solitário de um dos átomos da
periferia para formar uma dupla ligação daquele átomo
com o átomo central. Continue o processo de fazer
múltiplas ligações dos átomos periféricos com o átomo
central, até que a camada de valência do átomo central
esteja completa.
Figura 2.4: Estrutura de Lewis da Água.
oxigênio(O) →
tem 6e− de valência × 2 oxigênio = 12e−
Existe um total de 16 e− para serem colocados na Estrutura
de Lewis.
Conecte o átomo central aos outros átomos na molécula com
ligações simples.
O carbono é o átomo central, os dois oxigênios são ligados
a ele; mais tarde iremos adicionar mais elétrons para completar os octetos dos átomos periféricos.
Figura 2.7: Construção da estrutura de Lewis do CO2 -2.
Torna-se,
Conecte o átomo central aos outros átomos na molécula com
ligações simples.
O carbono é o átomo central, os dois oxigênios são ligados
a ele; mais tarde iremos adicionar mais elétrons para completar os octetos dos átomos periféricos.
Figura 2.8: Construção da estrutura de Lewis do CO2 -3.
O átomo central ainda está deficiente de elétrons, portanto compartilhe outro par.
Figura 2.5: Estrutura do CO2 .
Até aqui foram utilizados quatro elétrons dos 16 à disposição.
Complete a camada de valência dos átomos da periferia da
molécula.
Figura 2.9: Construção da estrutura de Lewis do CO2 -4.
Figura 2.6: Construção da estrutura de Lewis do CO2 -1.
Torna-se,
Foram utilizados todos os 16 elétrons disponı́veis. Coloque quaisquer elétrons remanescentes sobre o átomo central.
“Não existem mais elétrons disponı́veis nesse exemplo”.
Certifique-se que você tenha utilizado do número correto de elétrons na Estrutura de Lewis. Lembre-se que
alguns elementos, como o enxofre, por exemplo, podem ampliar sua camada de valência para além de oito
elétrons.
• Se a camada de valência do átomo central está completa, você acaba de desenhar uma Estrutura de Lewis
A melhor Estrutura de Lewis que pode ser escrita para
o dióxido de carbono é:
62
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Existem três tipos de ligações quı́micas;
1. Iônica;
2. Metálica;
3. Covalente.
Figura 2.10: Construção da estrutura de Lewis do CO2 -5.
Ligação Iônica ou Eletrovalente
A ligação iônica ocorre quando um metal se liga a um não
metal ou ao hidrogênio. O metal doa elétrons formando o
cátion. O não-metal ou o hidrogênio recebe elétrons formando um ânion.
Figura 2.11: Melhor estrutura de Lewis para o CO2
A consequência da atração entre os ı́ons positivos (cátions)
e negativos (ânions) é um agrupamento organizado de ı́ons,
a que chamamos de cristal iônico.
Pense um Pouco!
• Dê uma possı́vel aplicação para a mesma fórmula
quı́mica escrita de formas diferentes. Ou seja, qual
é a utilidade de escrevermos a fórmula estrutural e
eletrônica de um mesmo elemento?
• Os gases nobres também são chamados de gases inertes? Explique.
(a)
(b)
Exercı́cios de Aplicação
Figura 2.1: Arranjo Atômico de um Cristal Iônico.
1. Indique a fórmula estrutural das seguintes moléculas:
Dados: Cl (Z = 17), C (Z = 12), N (Z = 7), H (Z =
1), O (Z = 8).
a) CCl4
b) N H3
c) CO2
d) HN O3
Exercı́cios Complementares
2. Dê as fórmulas estruturais e eletrônicas das segiuntes
moléculas, dados: H (Z=1), O (Z=8) e S (Z=16).
a) H2 S
b) SO2
c) SO3
d) HN O3
Quı́mica A
Aula 4
O cristal iônico é representado por uma fórmula mı́nima, ou
seja, o número mı́nimo de cátions e ânions necessários para
que ambas as cargas sejam neutralizadas. Por exemplo a
Fórmula Mı́nima do sal de cozinha é dada por:
N a Cl
Esta estrutura de alta coesão de natureza elétrica confere
ao composto iônico alto ponto de fusão. No estado sólido
não conduz eletricidade. Isso só ocorre se os ı́ons estiverem
livres, em solução aquosa ou no estado fundido (lı́quido).
Montamos uma fórmula de composto iônico colocando à esquerda o cátion e a direita o ânion. Verificamos se as cargas
positiva e negativa se anulam. Se as cargas se anularem, a
fórmula será de um cátion para um ânion. Caso as cargas
se anulem, usaremos o seguinte artifı́cio: invertemos a carga
do cátion para ı́ndice do ânion e a carga do ânion para ı́ndice
do cátion:
Ax+ B y− → Ay Bx
Caracterı́sticas da Ligação Iônica
Ligações Quı́micas
Como consequência da tendência dos átomos de formar sistemas eletrônicos estáveis, pela doação ou recebimento de
elétrons, os átomos se unem.
• Formação de ı́ons;
• Transferência de elétrons;
• Compostos sólidos a temperatura ambiente;
Quı́mica A – Aula 4
63
• Formação de compostos cristalinos;
• Fórmula molecular: indica apenas o tipo e o número
de átomos que formam uma molécula.
• Os compostos iônicos quando em meio aquoso conduzem corrente elétrica.
O2
Ligação Metálica
Ligação Dativa ou Coordenada
Ocorre entre metais. Como sabemos, um metal tem
tendência de doar elétrons formando cátions. A ligação
metálica ocorre quando muitos átomos de um metal perdem elétrons ao mesmo tempo, e os cátions formados se
estabilizam pela ”nuvem” de elétrons que fica ao redor.
É o caso de ligação covalente que ocorre quando o par de
elétrons compartilhado entre dois átomos provém apenas de
um deles.
Analisando um fio de cobre, excelente condutor de eletricidade e calor, encontraremos nos elétrons livres que o material apresenta a explicação desta condutibilidade. Os ”n”
átomos de cobre cedem seus elétrons periféricos e se tornam
cátions envoltos por muitos elétrons livres.
A ligação coordenada é indicadapor uma seta do átomo que
oferece o par de elétrons para o átomo que o aceita.
Ligação Covalente ou Molecular
Para que o átomo possa fazer uma ligação coordenada ele
tem que possuir pares de elétrons livres.
O número máximo de ligações coordenadas que os nãometais podem oferecer é:
No caso do monóxido de carbono, temos um bom exemplo: o
oxigênio faz uma ligação dativa com o carbono, isto é, compartilha coordenadamente com ele seus pares eletrônicos.
Conforme podemos ver na Fig. (2.3):
Ligação covalente é aquela formada como consequência do
compartilhamento de elérons entre seus átomos.
Haverá formação de uma molécula, no sentido em que os
átomos se unem como ”socios” dos mesmos elétrons.
Por exemplo: o cloro apresenta 7 elétrons na última camada
quando realizada a ligação covalente forma HCl.
O par compartilhado é formado por dois elétrons, um de
cada átomo, compartilhado por ambos os átomos.
Figura 2.3: Ligação Dativa do CO.
Orbitais Moleculares
Para visualizarmos melhor as ligações covalentes (átomos
formando moléculas), estudaremos as ligações sob o ponto
de vista dos orbitais atômicos formando orbitais moleculares.
Figura 2.2: Par Eletrônico Compartilhado.
Ambos adquirem configuração eletrônica estável de gás nobre.
Representação Molecular
Há diferentes maneiras de representar uma molécula. Tomemos a molécula de gás oxigênio, formada por dois átomos
de oxigênio.
Orbital molecular é a região em torno dos núcleos de maior
probabilidade de ser encontrado o par eletrônico compartilhado.
Há dois tipos de orbital molecular:
Orbital Molecular σ (sigma), ou simplismente ligação σ, é
aquele formado na interpenetração de orbitais atômicos segundo um eixo.
Orbital Molecular π, ou simplismente ligação π, é aquele
formado na interpenetração de orbitais atõmicos p exclusivamente segundo os eixos paralelos.
Exemplo
• Fórmula eletrônica ou de Lewis: representa os
elétrons da última camada dos átomos.
• Fórmula estrutural: cada par de elétron compartilhado é representado por um traço.
O=O
H2 (molécula H : H ou H − H)
O hidrogênio apresenta apenas um elétron no orbital s, que
sabemos ser esférico: 1s1 , e precisa de mais um elétron para
adquirir estabilidade.
Quando ocorre a aproximação de outro átomo de hidrogênio, o núcleo positivo de um atrai a eletrosfera do
64
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
outro.
a) 6 e 2
b) 2 e 2
c) 4 e 2
d) 4 e 0
e) 0 e 4
Figura 2.4: Dois átomos de H.
Como consequência dessa atração, teremos a aproximação
resultando numa interpenetração de orbitais chamada overlap.
Overlap é a interpenetração dos orbitais atõmicos formando
um orbital molecular.
Na formação do overlap há uma distância ideal entre os
núcleos de cada átomo, onde a repulsão das cargas de
memsmo sinal compensa a atração das cargas de sinais diferentes.
Figura 2.5: Overlap.
No caso do H2 , H − H, temos orbital σ(s − s). A notação
σ(s − s) significa orbital molecular σ feito através de dois
orbitais atômicos do tipo s.
Pense um Pouco!
3. (ACAFE) Incrı́vel, mas 15% dogás metano existente na
atmosfera provém do arroto dos bois, vacas, cabras e carneiros, contribuindo para o efeito estufa (aquecimento atmosférico). Assinale a alternativa que descreve os tipos de
ligações quı́micas encontradas neste gás:
a) 2 iônicas e 2 covalentes
b) 2 ligações dativas
c) 4 ligações duplas
d) 2 sigmas e 2 pi
e) 4 ligações sigmas
Exercı́cios Complementares
4. (ACAFE-99) Um metal alcalino terroso (M) apresenta
dois elétrons na sua camada de valência. A alternativa que
indica a fórmula de um óxido e de cloreto desse metal, respectivamente é:
a) M2 O − M2 Cl
b) M2 O − M Cl
c) M O2 − M Cl2
d) M O − M Cl2
e) M O − M Cl4
5. (UFSC) Na molécula H − O − O − H, existe:
a) nenhuma ligação iônica
b) três ligações covalentes
c) três ligações sigmas
d) três ligações iônicas
e) duas ligações metálicas
Quı́mica A
• Quais são as principais utilidades das Ligações
Quı́micas na natureza?
A Estrutura da Matéria
• Como os elementos quı́micos são encontrados na natureza, ”puros ou misturados com outros elementos”?
Propriedades Gerais
Exercı́cios de Aplicação
1. (ACAFE) O grupo de átomos que é encontrado na forma
monoatômica pelo fato de serem estáveis são
a) Halogênios
b) Calcogênios
c) Metais Alcalinos Terrosos
d) Metais Alcalinos
e) Gases Nobres
2. (ACAFE) O propadieno (H2 C = C = CH2 ) apresenta
respectivamente quantas ligações sigmas e ligações pi?
Aula 5
De acordo com a teoria cinética molecular, todas as formas
de matéria são compostas de partı́culas pequenas e que se
movem rapidamente. Há duas razões principais por que
os gases, lı́quidos e sólidos diferem tanto uns dos outros.
Uma é a rigidez do empacotamento das partı́culas e outra
é a intensidade das forças atrativas entre elas. Podemos
listar como propriedades influênciadas por estas duas razões
o segiunte:
Compressibilidade
Num gás, as moléculas estão bastante separadas, de forma
que há muito espaço vázio dentro do qual elas podem ser
comprimidas, por isso os gases são bastante compressı́veis.
Quı́mica A – Aula 5
Entretanto, as moléculas num lı́quido ou sólido estão rigidamente empacotadase há muito pouco espaço vázio entre
elas, sendo então virtualmente incompressı́veis.
Difusão
Comparadas com as moléculas de um lı́quido ou sólido, as
moléculas de um gás se difundem rapidamente, uma vez
que as distâncias que elas se movem entre as colisões são
relativamente grandes. Em virtude de as moléculas num
lı́quido estarem tão próximas, a distância média que elas
percorrem entre as colisões - o seu livre caminho médio
- é muito pequena, onde estas sofrem bilhões de colisões
antes de percorrer uma distância muito grande e essas interupçõesimpedem-nas de espalhar-se aatravés do lı́quido.
A difusão dentro dos sólidos é muito mais lenta que nos
lı́quidos. Não só as moléculas estão fortemente compactadas como, também, são mantidas rigidamente no mesmo
lugar.
Volume e Forma
A propriedade mais óbvia dos gases, lı́quidos e sólidos é a
forma como eles se comportam quando transferidos de um
frasco para outro. Ambos, gases e lı́quidos são fluı́dos; eles
escoam e podem ser bombeados de um lugar para outro.
Um sólido, porém, não é um fluı́do e mantém tanto sua
forma quanto seu volume. As forças intermoleculares de
um gás são tão fracas que as moléculas podem facilmente
superar essa força e expandir para encher o recipiente. O
que não acontece num sólido, cujas forças atrativas mantém
as moléculas mais ou menos firmes num lugar, de modo que
elas não podem se mover umas em torno das outras.
Tensão Superficial
Num lı́quido cada molécula move-se sempre sob influência
das moléculas vizinhas. As moléculas na superfı́cie de um
certo recipiente sentem uma atração na direção do interior
do lı́quido. Para uma molécula chegar a superfı́cie ela deve
superar esta atração. Ou seja, a energia potencial deve aumentar, então deve-se realizar trabalho para levá-las até a
superfı́cie. Portanto, tornar a superfı́cie de um lı́quido maior
requer um gasto de energia e a quantidade de energia necessária é então a tensão superfı́cial.
65
Forças de Atração Inter-moleculares
As atrações dipolo-dipolo são, normalmente, consideravelmente mais fracas do que as ligaçõe iônicas ou covalentes.
A sua força também diminui muito rapidamente à medida
que a distância entre os dipolos aumenta, de forma que a
distância entre os dipolos aumenta, de forma que o seu efeito
entre as moléculas bastante afastadas de um gás é muito menor do que entre moléculas fortemente compactadas num
lı́quido ou num sólido. É por isso que as moléculas de um
gás comportam-se quase como se não houvesse atração nenhuma entre elas.
Pontes de Hidrogênio
Acontece entre moléculas muito polares, onde a diferença
de eletronegatividade é muito acentuada, tendo H numa
das extremidades da “ponte”. No estado lı́quido há pontes de hidrogênio entre moléculas de água. Como há movimento das moléculas, as pontes de hidrogênio se quebram
e se restabelecem em seguida. No estado sólido as pontes
de hidrogênio entre as moléculas de água são fixas e direcionadas segundo um ângulo de 104, 5◦ entre suas ligações.
Devido à direção das pontes de hidrogênio na água sólida,
ficam espaços vázios entre as moléculas, responsáveis pelo
aumento de volume ao congelar.
Força de Van der Waals (ou de London)
Essa força pode aparecer entre átomos de um gás nobre (por
exemplo, hélio lı́quido) ou entre moléculas apolares (CH 4 ,
CO2 ). O gelo seco quando sublima, passa do estado sólido
para o estado gasoso, rompendo as forças de Van der Waals
e liberando as moléculas das influências das outras. São as
forças intermoleculares, tipo Van der Waals, que justificam
a possibilidade de liquefazer os gases nobres. As moléculas
podem se unir através de polarização induzida temporariamente.
Os Gases
Muitos gases são capazes de sofrer reações quı́micas uns com
outros. Observações experimentais feitas por Gay-Lussac
formaram a base da Lei de Combinação dos Volumes
A Lei de Combinação de Volumes
Evaporação
Num lı́quido ou num sólido, assim como num gás, as
moléculas estão constantemente sofrendo colisões, dando assim origem a uma distribuição de velocidades moleculares
individuais e, evidentemente, de energias cinéticas. se algumas dessas moléculas possuı́rem energia cinética suficiente
para superar as forças atrativas dentro do lı́quido ou do
sólido, elas poderão escapar através da superfı́cie para o estado gasoso – elas evaporam. No lı́quido existem trs fatores
que influenciam na velocidade de evaporação: a temperatura, a área superficial e a intensidade das atrações superficiais.
os volumes das substâncias gasosas que são produzidas e consumidas numa reação quı́mica estão numa
razão de números inteiros pequenos, desde que os
volumes sejam medidos nas mesmas condições de
temperatura e pressão.
A importância das observações de Gay-Lussac foi posteriormente reconhecida por Amadeo Avogadro. Ele propôs que
agora é conhecido como princı́pio de Avogadro.
O Princı́cpio de Avogadro
sob condições de temperatura e pressão constantes,
66
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
volumes iguais de gases contém números iguais de
moléculas.
Exercı́cios de Aplicação
Uma vez que números de iguais de moléculas significam
números iguais de mols, o número de mols de qualquer gás
está relacionado com o seu volume:
1. (FUVEST) Em uma amostra de 1, 15 g de sódio, o
número de átomos existentes será igual a (N a = 23):
a) 6 × 1022
b) 3 × 1023
c) 6 × 1023
d) 3 × 1022
e) 1023
V ∝n
onde n é o número de mols do gás. Assim, a lei de GayLussac é facilmente compreeendida, uma vez que os volumes
dos gases, reagentes e produtos, ocorrem nas mesmas razões
que os coeficientes na equação balanceada.
O Mol
Sabemos que os átomos reagem para formar moléculas,
mantendo entre si razões simples de números inteiros. Os
átomos de hidrogênio e oxigênio, por exemplo, combinamse numa razão de 2 para 1 a fim de formar a água, H2 O.
Entretanto é impossı́vel trabalhar com os átomos individualmente, devido às suas dimensões minúsculas. Assim, em
qualquer laboratório da vida real, devemos aumentar o tamanho destas quantidades até o ponto em que possamos
vê-las e pesá-las.
Infelizmente, por exemplo, uma dúzia de átomos ou
moléculas é ainda uma quantidade muito pequena para se
trabalhar; deve-se, portanto, encontrar uma unidade maior
ainda. A “dúzia de quı́mico”chama-se mol (unidade mol).
Ele é composto de 6, 022 × 1023 objetos. Então:
1 dúzia = 12 objetos
1 mol = 6, 02 × 1023 objetos
O Volume Molar
É o volume ocupado por um mol de qualquer gás em
condições normais de temperatura e pressão (CNTP).
CNTP:
• temperatura de 0◦ C ou 273 K;
• pressão de 1 atm ou 760 mmHg).
Verifica-se experimentalmente que o volume molar é de
22, 4 l (CNTP).
Conclusão:
M M g → 6, 02 × 1023 moléculas → 22, 4 l.
Observe que
1 mol ≈ 602.000.000.000.000.000.000.000
Pense um Pouco!
• Você tem noção de como funciona um freio de automóvel? Ou que um freio tem em comum com o assunto que estamos tratando?
• Dê exemplos de elementos quı́micos sólidos que evaporam, sem que haja fusão.
2. (ACAFE-00) Qual destas ligações é mais fraca?
a) Eletrovalente
b) Covalente
c) Ponte de hidrogênio
d) Van der Waals
e) Metálica
3. (PUC) As pontes de hidrogênio aparecem:
a) quando o hidrogênio está ligado a um elemento muito
eletropositivo
b) quando o hidrogênio está ligado a um elemento muito
eletronegativo
c) em todos os compostos hidrogenados
d) somente em compostos inorgânicos
e) somente em ácidos de Arrhenius
Exercı́cios Complementares
4. (Osec-SP) Tem-se 1 litro de He; 1 litro de H2 ; 1 litro
de CO2 ; e 1 litro de N H3 , todos estes gases nas CN T P
em recipientes separados. O recipiente que possui maior
número de moléculas é o que contém:
a) He
b) H2
c) CO2
d) N H3
e) o número de moléculas é o mesmo em cada um dos quatro
recipientes.
5. (PUC-RS) Os elevados pontos de ebulição da água, do
álcool etı́lico e do fluoreto de hidrogênio são explicados:
a) através das pontes de hidrogênio intermoleculares
b) pelas macromoléculas formadas
c) através de forças de Van der Waals
d) pelas ligações covalentes dativas que se formam entre
moléculas destes compostos
e) atraes das pontes de higrogênio intramoleculares
6. (PUC) Qual a massa total da seguinte mistura: 0, 25 mol
de oxigênio mais 3 × 1022 moléculas de oxigênio mais 3 g de
oxigênio? Dado: M MO = 16 g.
a) 11, 8 g
b) 12, 6 g
c) 23, 6 g
d) 32 g
e) 34 g
Quı́mica A – Aula 6
Quı́mica A
67
Aula 6
A proporcionalidade pode ser transformada numa igualdade
pela introdução de uma constante de prporcionalidade. Assim,
1
P
P V = constante
V ∝
Teoria Cinética dos Gases
As moléculas de um gás ocupam o volume do recipiente
que as contém. A energia que mantém as moléculas de um
gás em movimento é a energia cinética, que é diretamente
proporcional a temperatura absoluta (Kelvin).
Ec ∝ T
onde
Ec = energia cinética
T = temperatura de Kelvin
p 1 V1 = p 2 V2
Desta forma, a temperatura constante, se aumentarmos a
pressão, o volume diminui; se diminuirmos a pressão o volume aumenta.
Transformação Isobárica (Lei de Charles)
à pressão constante, o volume de uma dada quantidade de um gás é diretamente proporcional á sua
temperatura absooluta.
Gás Ideal
Escrevendo esta Lei matematicamente, temos:
Um gás é considerado perfeito (ideal) quando obedece ás
seguintes condições:
V ∝T
(2.2)
• No estado gasoso o movimento das moléculas ocorre
de maneira contı́nua e caótica, descrevendo trajetórias
retilı́neas;
Transformando a proporcionalidade em igualdade e rearranjando, obtemos
• O volume da molécula é desprezı́vel em relação ao volume do recipiente que a contém;
(2.3)
• Uma molécula não sente a presença da outra (não há
interação, forças de Van der Waals, entre as moléculas);
• Os choques entre as moléculas, se ocorrerem, são perfeitamente elásticos (a molécula não ganha nem perde
energia cinética)
V
= constante
T
V1
V2
=
T1
T2
Desta forma, se a pressão é constante, á medida que aumentarmos a temperatura o volume ocupado pelo gás aumentará; diminuindo a temperatura, o volume diminuirá.
Transformação Isocórica, Isométrica
lumétrica (Lei de Charles-Gay Lussac)
Gás Real
Um gás real se aproxima do comportamento de um gás perfeito à medida que se torna mais rarefeito (diminui o número
de moléculas) e se encontra a baixa pressão e a alta temperatura.
O estado de um gás é definido quando sabemos sua pressão,
temperatura, e volume Essas grandezas são as variáveis de
estado de um gás e são interdependentes.
Se mantivermos constante uma de suas variáveis, poderemos
estudar de que maneira variam as outras.
ou
Isovo-
a volume constante, a pressão é diretamente proporcional à temperatura.
Matematicamente temos que:
P ∝T
Leis dos Gases Ideais
(2.4)
(2.5)
ou também,
P
= constante
T
p2
p1
=
T1
T2
(2.6)
(2.7)
Transformação Isotérmica (Lei de Boyle-Mariotte)
a uma temperatura constante, o volume ocupado
por uma quantidade fixa de gás é inversamente proporcional à pressão aplicada.
Isso pode ser expresso matematicamente como:
V ∝
1
P
Se aumentarmos a temperatura, a pressão aumentará; se
diminuirmos a temperatura, a pressão diminuirá.
Lei Combinada dos Gases
As equações correspondentes ás leis de Boyle-Mariotte e
(2.1) Charles-Gay Lussac podem ser incorporadas em uma única
68
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
equação, que é útil para muitos cálculos. Esta é
Pressão parcial (P 0 ) é o produto da fração molar pela
pressão totaldos gases.
Pi V i
Pf V f
=
Ti
Tf
(2.8)
Da mesma forma que para as leis separadas, a lei combinada dos gases verifica-se somente se a quantidade de gás
for constante. Onde o gás deve estar submetido às CN T P .
Lei dos Gases Ideais
Discutimos, assim, três relações (2.1, 2.2, 2.5) de volume a
que um gás idel obedece.
Podemos combiná-las, para obter
1
V ∝n
(T )
ou
P
nT
V ∝
P
(2.9)
0
Pgás
= Xgás · Ptotal mistura
(2.14)
Volumes Parciais
Volume parcial é o volume que o gás ocuparia estando sozinho e sendo submetido à pressão total, na temperatura da
mistura. O volume total é a soma dos volumes parciais de
cada gás, na mistura. Esta afirmativa é conhecida como a
lei de Amagat.
O volume parcial (V) é dado pelo produto de fração molar
do gás pelo volume total da mistura.
(2.10)
0
Vgás
= Xgás · Vtotal mistura
(2.15)
Casos Particulares
• Se n e T forem constantes na equação (2.10) teremos a
lei de Boyle-Mariotte;
• Se n e P forem constantes na equação (2.10) teremos a
lei de Charles-Gay Lussac;
• Se P e T forem constantes na equação (2.10) teremos
o Princı́pio de avogadro;
A prporcionalidade na equação (2.10) pode ser transformada numa igualdade, pela introdução de uma constante
de prporcionalidade, R, chamada de constante universal
dos gases. Daı́, temos:
nRT
P
P V = nRT
V =
ou
(2.11)
(2.12)
onde R = 8, 31J/mol · K.
A equação (2.12) é obedecida por apenas um gás ideal hipotético e é uma expressão matemática da lei dos gases
ideais. É também chamada equação de estado do gás ideal,
porque relaciona as variáveis (P, V, n, T ) que especificam as
propriedades fı́sicas do sistema.
Lei das Pressões Parciais de Dalton
É simplismente a pressão que o gás exerceria se estivesse
sozinho no recipiente, ocupando o volume total da mistura
na mesma temperatura. Segundo as observações de John
Dalton, a pressão total é igual à soma das pressões parciais de cada gás, na mistura. Esta afirmativa é conhecida
como a lei das pressões parciais de Dalton que pode
ser expressa por:
PT = p a + p b + p c + · · ·
Mudanças de Estado Fı́sico
Uma substância pura pode apresentar-se sob três formas de
agregaçãoda matéria: sólido, lı́quido, gasoso (aceita-se o
quarto estado da matéria: plasma). Cada fase depende das
condições fı́sicas de pressão e temperatura.
Fusão e Solidificação
Na fase sólida, as moléculas de uma substância estão fortemente ligadas entre si, formando um reticulado cristalino.
Fornecendo calor a um sólido, as moléculas absorverão a
energia, aumentando a amplitude de sua vibração, rompendo o reticulado cristalino e passando para a fase lı́quida,
onde as moléculas estão ligadas entre si com menor intensidade do que na fase sólida.
• A temperatura em que ocorre a passagem de
fase sólida para a lı́quida é denominada ponto de
fusão.
• A temperatura em que ocorre a passagem de
fase lı́quida para a sólida é denominada ponto de
solidificação.
• Nas substâncias puras, o ponto de fusão e solidificação coincidem, se a pressão for mantida constante.
Vaporização e Condensação
A vaporização é a passagem da fase lı́quida para a gasosa.
Existem três maneiras de se efetuar a vaporização:
(2.13)
onde PT é a pressão totalda mistura e pa , pb , pc são as
pressões parciais dos gases a, b c.
1. Vaporização tı́pica ou ebulição: mudança de fase
a determinada pressão e temperatura. Por exemplo, a
água entra em ebulição a 100 ◦ C e à pressão de 1 atm.
Quı́mica A – Aula 6
69
2. Evaporação: fênomeno que se observa a qualquer
temperatura, através da superfı́cie exposta ao meio
amiente. Isso ocorre porque as moléculas com maior velocidade escapam através da superfı́cie livre do lı́quido.
Ao ocorrer uma evaporação, a temperatura do lı́quido
diminue pois ao escaparem as moléculas com maior velocidade, diminue a energia cinética. Quanto maior a
área livre maior a evaporação.
3. Calefação: fenômeno que ocorre a temperaturas
acima da temperatura normal de vaporização. É observável, por exemplo, ao se deixar cair uma gota
d’água numa chapa de metal, a uma temperatura acima
de do ponto de vaporização.
A condensação é a passagem de uma substância da fase
gasosa para a lı́quida. Ela pode ocorrer, também, à temperatura ambiente. Por exemplo, ao se colocar água gelada
num copo, observa-se a condensação do vapor de água do
ar na sua parede externa.
Figura 2.3: Diagrama de fase da água.
Para o dióxido de carbono (CO2 ), o ponto triplo é definido
por:
• temperatura: −56, 6 ◦ C
• pressão: 5 atm
A água tem o seu ponto triplo definido por:
Para o dióxido de carbono (CO2 ), o ponto triplo é definido
por:
Figura 2.1: Mudanças de estados: sólido, lı́quido e gás.
• temperatura: 0, 01 ◦ C
• pressão: 4, 58 mmHg
Diagrama de Fases
Colocando-se em um único diagrama, as curvas de equilı́brio
entre as fases de uma substância pura, tem-se o diagrama
de fases.
Sublimação
Abaixo da temperatura do ponto triplo, existe uma
curva denominada curva de subimação, que representa
as condições de pressão e temperatura nas quais uma
substância pode passar diretamente da fase sólida para fase
gasosa ou vice-versa sem se transformar em lı́quido.
Pense um Pouco!
• Por que dentro de uma panela de pressão, é possı́vel
manter-se a água na fase lı́quida acima dos 100 C ?
Quais são os beneficios que isso nos traz?
• É possı́vel ferver água à temperatura ambiente? Como?
Exercı́cios de Aplicação
Figura 2.2: Diagrama de fase tı́pico.
O ponto de equilı́brio entre as três fases é denominado
ponto triplo ou trı́plice (PT ).
1. (MACK-SP) Assinale a afirmação correta:
a) O ponto de fusão e o ponto de ebulição da água aumentam
com o aumento da pressão.
b) O ponto de fusão e o ponto de ebulição da água diminuem
com o aumento da pressão.
c) O ponto de fusão da água diminui e o ponto de ebulição
70
da água aumentam com o aumento da pressão.
d) O ponto de fusão da água aumenta e o ponto de ebulição
da água diminui com o aumento da pressão.
e) O ponto de fusão e o ponto de ebulição da água não são
alterados com o aumento da pressão.
2. (STA. CASA-SP) Quando você assopra a sua pele úmida
de água, sente que a pele esfria. Isto se deve ao fato de:
a) o sopro arrasta ar mais frio que a pele.
b) a pele está mais fria do que a água.
c) a água é normalmente mais fria do que o ar.
d) o sopro é mais frio do que a água.
e) a água absorve calor da pele para evaporar-se.
3. (ACAFE) Bolinhas de naftalina são colocadas nos roupeiros para combater as traças pois elas danificam as roupas.
Com o tempo as bolinhas diminuem de tamanho. A causa
disso deve-se:
a) a sua liquefação.
b) ao consumo da naftalina pelas traças.
c) a sua condensação.
d) a sua fusão.
e) a sua sublimação.
Exercı́cios Complementares
4.
(VUNESP) Indique a alternativa que indica um
fenômeno quı́mico:
a) Dissolução de cloreto de sódio em água.
b) Fusão da aspirina.
c) Destilação fracionada de ar lı́quido.
d) Corrosão de uma chapa de ferro.
e) Evaporação da água do mar.
5. (ACAFE) Do petróleo podemos extrair vários materiais
importantes para o homem, como a gasolina, o GLP, a parafina, o metano e outros. Sobre o petróleo e seus derivados
não podemos afirmar:
a) a gasolina é uma mistura de alcanos.
b) GLP é a sigla para Gás Liquefeito de Petróleo e é basicamente uma mistura homogênea dos gases propano e butano.
c) a parafina é uma mistura de alcanos superiores ou seja
de grandes massas moleculares.
d) o petróleo é uma mistura heterogênea.
e) o gás metano principal componente do gás natural, conhecido como gás do lixo, só pode ser obtido a partir do
petróleo.
(ACAFE) Algumas substâncias em contato com a pele, nos
dão uma sensação de estarem frias. Dentre elas podemos
destacar o éter comum. Isso ocorre por que:
f) o éter ao cair na pele, evapora, e este é um processo
exotérmico.
g) o éter ao cair na pele, evapora, e este é um processo
endotérmico.
h) o éter reage endotermicamente com substâncias da pele.
i) o éter sublima.
j) o éter é resfriado.
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Quı́mica A
Aula 7
Ácidos e Bases
Ácidos e Bases de Arrhenius
Funções Quı́micas são grupos de substâncias com propriedades semelhantes. As funções inorgânicas são quatro: ácidos,
bases, sais e óxidos.
Ácidos são compostos com sabor azedo (vinagre, frutas
cı́tricas), que reagem com bases formando sal e água.
Bases são compostos de sabor adstringente (leite de
magnésia - M g(OH)2 ) que reagem com ácidos dando sal
e água.
Ácidos e Bases atuam sobre indicadores coloridos substâncias que possuem duas colorações, dependendo do
meio em que se encontram.
Indicador
Tornassol
Fenolftaleı́na
Meio Ácido
Vermelho
Incolor
Meio Básico
Azul
Vermelho
Definições de Arrhenius
Ácido é qualquer composto molecular que em solução
aquosa sofre ionização liberando como único cátion o ı́on
H + ou H3 O+ (hidroxônio ou hidrônio).
Exemplos
HCl + H2 O → H + + Cl−
HN O 3 + H2 O → H + + N O3−
H2 SO4 + H2 O → 2H + + SO4−2
H3 P O4 + H 2 O → 3H + + P O4−3
Dizemos que o ácido, que era um composto covalente, na
presença de água ionizou, e formou ı́ons.
Grau de ionização (α) é a razão do número de moléculas ionizadas para um total de moléculas inicialmente dissolvidas
em água. A força de um ácido está associada ao maior ou
menor grau de ionização do mesmo.
α=
n.o de moléculas ionizadas
total de moléculas dissolvidas
Caracterı́sticas
• Apresentam sabor azedo;
• Tornam vermelho o papel tornassol azul e a fenolftaleı́na de vermelha para incolor;
• Conduzem corrente elétrica em solução aquosa;
• Quando adicionados ao mármore ou carbonatos, produzem uma efervescência com liberação de gás carbônico.
Quı́mica A – Aula 7
71
Classificação
Nomenclatura dos Ácidos
Em geral, pode-se classificar os ácidos quanto à:
Hidrácidos
Presença de Oxigênio
Nomenclatura: Ácido (nome do elemento)ı́drico.
• Hidrácidos: não apresentam oxigênio na molécula;
HCl, HCN, H2 S
• Oxiácidos:
apresentam
HN O3 , H2 SO4 , H3 P O4
oxigênio
na
molécula.
hidrogênio
ionizável;
Quando ionizado, um hidrácido produz ao lado do cátion
H + ou H3 O+ , um ânion com terminação eto. Conforme
exemplo abaixo:
HCl: Ácido Clorı́drico H + +Cl− : Cloreto. (na presença
de H2 O)
Número de Hidrogênios Ionizáveis
• Monoácidos:
apenas
HCl, HCN, HN O3
• Diácidos:
dois
H2 S, H2 SO4 , H2 CO3
um
hidrogênios
ionizáveis;
• Triácidos: três hidrogênios ionizáveis. H3 SO3 , H3 P O4
Mas tome cuidado:
H3 P O2 → monoácido (um hidrogênio ionizável)
H3 P O3 → diácido (dois hidrogênios ionizáveis)
Volatilidade
• Volátil: todos os hidrácidos;
• Fixo: todos os oxiácidos.
Estabilidade
• Instável: só existem dois ácidos instáveis;
H2 CO3 → H2 O + CO2
H2 SO3 → H2 O + SO2
• Estáveis: todos com excessão dos ácidos carbônico e
sulfuroso.
Força
Oxiácidos
Nomenclatura:
Ácido
oso(menos oxigenado)
ico(mais oxigenado)
(nome do elemento)
Conforme podemos ver no exemplo abaixo:
H2 SO3 : Ácido Sulfuroso 2H + + SO3−2 : Sulfito. (na
presença de H2 O)
H2 SO4 : Ácido Sulfúrico 2H + + SO4−2 : Sulfato. (na
presença de H2 O)
Bases
Bases ou Hidróxidos são substâncias que, ao serem dissolvidas em água, sofrem dissociação iônica, originando
o “ânion”OH − , denominado hidroxila ou oxidrila. Os
hidróxidos são compostos formados por um metal ou um ı́on
positivo, ligado a hidroxila. Observe abaixo a dissociação
iônica de algumas bases em solução aquosa:
N aOH → N a+ + OH −
F e(OH)3 → F e+3 + 3OH −
N H4 OH → N H4+ + OH −
Caracterı́sticas das Bases
• Para Hidrácidos:
– Fortes: HCl, HI, HBr
– Moderado ou Semi-Forte: HF
– Fracos: HCN, H2 S
• Para Oxiácidos: m = N0 − NH+
–
–
–
–
–
Fraco: quando m = 0;
Moderado ou Semi-Forte: quando m = 1;
Forte: quando m = 2;
Muito Forte: quando m = 3.
Exemplos:
HCl → m = 0
fraco
H2 CO3 → m = 1 moderado
H2 SO4 → m = 2 forte
HClO4 → m = 3 muito forte
• Apresentam sabor amargo;
• Reagem com os ácidos produzindo sal;
• Tornam azul o papel tornassol vermelho e a fenolftaleı́na de incolor para vermelha;
• Conduzem corrente elétrica em solução aquosa;
• São untuosas ao tato.
Classificação das Bases
Classifica-se as bases quanto à:
Número de Hidroxilas (OH − )
• Monobase: possui apenas uma hidroxila.
KOH;
Exemplo:
72
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
• Dibase: possui apenas duas hidroxilas.
Ca(OH)2 ;
Exemplo:
• Tribase: possui três duas hidroxilas.
Al(OH)3 ;
Exemplo:
• Tetrabase; possui apenas quatro hidroxilas. Exemplo:
P b(OH)4 .
Conceito de Lewis
Ácido
É toda espécie quı́mica (molécula ou ı́on) capaz de aceitar
um par de elétrons através da ligação coordenada dativa.
Base
Solubilidade em Água
• Solúveis: bases formadas pelas famı́lias 1A, 2A e
N H4 OH;
É toda espécie quı́mica (molécula ou ı́on) capaz de doar um
par de elétrons através da ligação coordenada dativa.
Exemplo
• Insolúveis: todas as demais bases.
Força
• Forte: quando a base é dissolvida em água, ocorre dissociação iônica quase que totalmente. Bases de metais
alcalinos (1A) e de metais alcalinos terrosos (2A);
AlCl3 (Ácido) + : Cl− (Base) → AlCl4−
Comparando Coceitos
• Lewis: o mais geral;
• Fraca: todas as demais bases.
• Brönnsted-Lowry: bem amplo;
Outros Conceitos de Ácidos e Bases
• Arrhenius: o mais limitado.
Conceitos de Brönsted-Lowry
• Um ácido ou base de Arrhenius será também de
Brönnsted-Lowry e de Lewis;
Ácido
É toda espécie quı́mica (molécula ou ı́on) capaz de doar um
próton na forma de H + .
• Um ácido ou base de Brönnsted-Lowry pode ou não ser
de Arrhenius, mas será de Lewis;
• Existem ácidos e bases de Lewis que não são de
Brönnsted-Lowry nem de Arhenius.
Base
É toda espécie quı́mica (molécula ou ı́on) capaz de receber
um próton na forma de H + .
Estequiometria
É o cálculo da quantidade de reagentes necessários e de produtos obtidos numa determinada reação quı́mica. Baseia-se
nas Leis de Lavoisier (conservação das massas), Proust (proporção das massas) e Gay Lussac (proporção de volumes).
Exemplos
HCl(Ácido) + H2 O(Base) H3 O+ (Ácido) + Cl− (Base)
(2.16)
N H3 (Ácido) + H2 O(Base) N H4 (Ácido) + OH − (Base)
(2.17)
Fundamenta-se no fato de que a prporção de mols entre
reagentes e produtos numa reação é constante, dada pelos
coeficientes estequiométricos.
Outro fundamento do cálculo estequiométrico é a definição
de mol.
Par Conjugado Ácido–Base
Chamamos de par conjugado as espécies quı́micas que diferem entre si por um H + . No exemplo (2.16) temos o
seguinte par conjugado ácido-base:

HCl − (ácido forte)



(grande facilidade doar elétrons)
Cl− − (base fraca)



(pequena facilidade de receber elétrons)
Isso explica por que a reação tende para o sentido direito,
ou seja, da esquerda para direita.
O mol
• Pesa: MMg (MM=Massa Molecular);
• Possui: 6, 02 × 1023 moléculas;
• Ocupa: 22, 4 l (gás nas CNTP).
Exemplo
Dada a reação de combustão da acetona:
C3 H6 O → CO2 + H2 O
Quı́mica A – Aula 8
Balanceando a equação pelo método das tentativas, chegaremos aos seguintes coeficientes menores e inteiros:
1 C3 H6 O (1 mol) + 4 O2 (4 mols) →
3 CO2 (3 mols) + 3 H2 O (3 mols)
Pense um Pouco!
• O que você entende por chuva ácida? Ela pode trazer
algum malefı́cio à vida humana?
• Enumere algumas substâncias ácidas e básicas de uso
diário.
73
a) HN O3
b) H2 SO4
c) H3 P O4
d) HCl
e) HCN O
5. O amonı́aco usado para fins de limpeza é uma solução
aquosa de amônia que contém ı́ons:
a) hidroxila
b) sulfato
c) nitrato
d) cálcio
e) sódio
6. Temos a seguinte equação:
2O3 → 3O2
Exercı́cios de Aplicação
1. Um tanque de automóvel está cheio com 60 litros de
álcool hidratado (96% álcool). A densidade é de 0, 9 g/ml.
Dada sua equação de combustão completa
1C2 H5 OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O
indique:
a) a massa da água obtida ao queimar-se todo o álcool do
tanque;
b) o volume de gás carbônico que sai do escapamento, supondo combustão completa.
2. (ACAFE) Em regiões industriais o anidrido sulfuroso
(SO2 ), resultante da queima de combustı́veis fósseis, dá origem à chuva ácida na atmosfera devido a sua oxidação e
contato com a precipitação pluviométrica. Em relação a estas regiões, a alternativa falsa é:
a) São Paulo e Cubatão são exemplos de cidades onde a incidência de chuvas ácidas é bastante acentuada;
b) Ocorre uma oxidação dos portões de ferro com uma intensidade bem maior que em regiões distantes das regiões
industriais;
c) As plantações são bastante afetadas, pois a chuva diminui
o pH do solo, retardando o crescimento das mesmas;
d) A vegetação pode vir a secar completamente, caso o
perı́odo das chuvas seja prolongado;
e) Não é recomendada a utilização de portões de alumı́nio
porque este é atacado pela chuva ácida.
Os números 2 e 3 que aparecem ao lado esquerdo da equação
representam, respectivamente:
a) coeficiente estequiométrico e número de átomos da
molécula
b) coeficiente estequiométrico e número de moléculas
c) número de moléculas e coeficiente estequiométrico
d) número de átomos da molécula e coeficiente estequiométrico
e) número de átomos da molécula e número de moléculas
Quı́mica A
Aula 8
Soluções Quı́micas
Concentração
Você já reparou, por exemplo, que numa dada quantidade
de água podemos dissolver quantidades menores ou maiores
de sal comum, desde que evidentemente, não ultrapassemos
o ponto de saturação.
Pois bem, chama-se concentração de uma solução a toda e
qualquer maneira de expressar a proporção existente numa
dada solução.
Usaremos a seguinte convenção:
ms → massa do soluto
msv → massa do solvente
3. (FUVEST) Um elemento metálico M forma um cloreto
de fórmula M Cl3 . A fórmula de seu sulfato é:
a) M2 SO4
b) M SO4
c) M2 (SO)3
d) M (SO)4
e) M (SO)3
Tı́tulo τ
Exercı́cios Complementares
É o quociente de massa do soluto pela massa total da solução
(soluto + solvente).
4. (COMVESUMC) O ácido que corresponde à classificação
monoácida, oxiácido, e ternário é:
onde
mt → massa do solução
mt = ms + msv
T =
ou
ms
msv
(2.18)
(2.19)
74
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
τ=
ms
ms + msv
(2.20)
É a massa molar do soluto dividida pela carga total do
cátion ou do ânion de uma substância.
sendo o tı́tulo uma grandeza adimensional.
Porcentagem em Massa P
E=
É o quociente da massa do soluto (multiplicado por 100)
pela massa total da solução (soluto + solvente).
ms
P =
× 100%
mt
Equivalente-Grama
M → massa molar
x → carga do átion ou ânion
Para um ácido: x → no de H +
(2.21)
(2.22)
Para um base: x → no de OH −
É o quociente da massa do soluto (emgramas), pelo volume
da solução (emlitros).
ms
V
Número de Equivalentes-Gramas
Corresponde a massa da amostra pelo equivalente-grama da
substância.
Concentração Comum C
C=
(2.23)
onde a relação entre a concentração comum, tı́tulo e densidade da solução é
NE =
ms
E
(2.28)
Normalidade
É o número de equivalentes-gramas do soluto dividido pelo
volume da solução em litros.
N=
C = d · τ · 1000
(2.27)
sendo
onde a relação entre porcentagem em massa e tı́tulo é
P = τ × 100%
M
x
(2.24)
NE
V
(2.29)
Observação: a melhor maneira de se calcular a normalidade é a partir da molaridade, usando a expressão:
Onde:
N =M ·x
C → Concentração Comum (g/l)
d → Densidade (g/ml)
τ → Tı́tulo
(2.30)
Resumo das Principais Equações
Relações das Massas
Molaridade M
m = m1 + m2
Concentração em M ol/l ou Molaridade M é o quociente
do número de mols do soluto pelo volume da solução (em
litros). Sendo:
Número de Mols
n1 =
ns → número de mols do soluto
d → massa do soluto (g)
Ms → massa molar do soluto (g)
V → volume da solução (l)
Densidade
M → molaridade (mols)
d=
m
V
T =
m1
m
Tı́tulo
M=
ns
V
(2.25)
ns =
ms
Ms
(2.26)
onde
m1
mol1
Porcentagem em Massa
P = 100 ·
m1
m
Quı́mica B – Aula 1
75
Concentração (g/l)
C=
m1
V
M=
n1
V
Molaridade
evaporado completamente para a produção de 5 kg de sal
de cozinha é aproximadamente:
a) 12 l
b) 25 l
c) 40 l
d) 200 l
e) 430 l
Molalidade (mol/kg) de solvente
W =
n1
m2
Exercı́cios Complementares
Concentração em Equivalentes-Gramas
N=
Ne1
V
Número de Equivalentes-Gramas
Ne1 =
m
E
Equivalentes-Gramas
mol
E=
x
Pense um Pouco!
• Pense em possı́veis aplicações dos conceitos apresentados até aqui, referentes a soluções e cite alguns exemplos.
• Se fervermos uma solução de água+sal, e a água for evaporando, o que acontese com as propriedades da solução
(M , τ , P , etc)?
Exercı́cios de Aplicação
1. (ACAFE) A massa de BaCl2 necessária para preparar
25 litros de solução 0, 1 M deste sal será:
a) 208 g
b) 520 g
c) 260 g
d) 416 g
e) 71 g
2. (ACAFE) A uréia, N H2 CON H2 , é um produto do metabolismo de proteı́nas. Que massa de uréia é necessária
para preparar 500 ml de uma solução 0, 20 M ?
a) 5, 1 g
b) 12, 0 g
c) 18, 0 g
d) 24, 0 g
e) 6, 0 g
3. (ACAFE) A concentração de N aCl na água do mar é de
0, 43 mol/l. O volume em l, de água do mar que deve ser
4. (ACAFE) Para uma solução a 20 % em massa e densidade 4 g/ml, calcule a concentração em g/l.
a) 80 g/l
b) 800 g/l
c) 8 g/l
d) 8000 g/l
e) 400 g/l
5. (ACAFE) Uma gota de água ocupa um volume aproximado de 0, 0500 ml. Sabendo-se que a densidade da água
é 1, 00 g/cm3 . O número de moléculas por gota de água
será:
a) 1, 67 × 1021
b) 1, 67 × 1023
c) 6, 00 × 1023
d) 6, 00 × 1021
e) 3, 00 × 1021
6. Uma solução de AgN O3 a 1, 00 % em água é utilizada
para tratar os olhos de recém-nascidos. Sendo a densidade
da solução 1, 08 g/ml, a sua molaridade em mol/l é:
a) 1, 0 mol/l
b) 0, 10 mol/l
c) 20 mol/l
d) 0, 5 mol/l
e) 0, 06 mol/l
Quı́mica B
Aula 1
O que é Quı́mica?
Quı́mica é a ciência que estuda a natureza da matéria, suas
propriedades, suas transformações e a energia envolvida nesses processos.
A quı́mica está presente em toda matéria orgânica e
inorgânica, natural e artificial e tem contato diário e direto
com o homem.
76
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
vez mais gerais, que nos permitam prever e controlar os
fenômenos futuros.
Observação → Hipóteses → Experimentação →
Medição → Leis experimentais → Modelo cientı́fico
Fenômenos Quı́micos e Fı́sicos
Fenômeno é qualquer acontecimento da natureza. Quando
ocorre um fenômeno, uma transformação, há alteração no
sistema do estado inicial ao estado final.
Um Pouco de História...
Podemos dizer que tudo começou com o homem primitivo,
quando ele aprendeu a “produzir o fogo”, a coser seus alimentos, a fazer tintas para se pintar, a usar plantas como
remédio para suas doenças, etc. No começo da era cristã,
surgiram os chamados alquimistas, que sonhavam em descobrir o “elixir da longa vida”, aperfeiçoaram técnicas de
metalurgia, introduziram a quı́mica medicinal, sintetizaram várias substâncias, isolaram outras, além de terem registrado um grande número de experimentos em suas observações.
A partir do século XVII, a ciência se transforma, tornandose mais experimental e menos filosófica. Dentre os cientistas com essa nova proposta, destacam-se o inglês Robert Boyle(1627-1691)- com seus estudos sobre o comportamento dos gases, a distinção entre mistura e “combinação”,
e o francês Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794) publicou (Tratado elementar de Quı́mica) que estabeleceu um
marco na quı́mica moderna, no qual podemos destacar o
Princı́pio da Conservação da Massa, a descoberta do elemento oxigênio e sua análise quantitativa da composição da
água. Por seu trabalho, Lavoisier é considerado o “pai da
Quı́mica”.
A Importância da Quı́mica
Podemos dizer que tudo à nossa volta é quı́mica, pois todos os materiais que nos cercam passaram ou passam por
algum tipo de transformação. A quı́mica proporciona progresso, desenvolvimento e através do uso dela que suprimos as necessidades: O uso de materiais de limpeza e higiene, roupas de fios artificiais, desenvolvimento da indústria
farmacêutica, fertilizantes e pesticidas para plantação, produtos industrializados cuja obtenção depende de transformações quı́micas como plásticos, vidros, tintas, cimento
etc.
Figura 2.1: O pai da Quı́mica: Lavoisier (1743-1794)
Fenômeno Fı́sico
É qualquer transformação sofrida por um material sem que
ocorra alteração de sua constituição ı́ntima de seus constituintes. Ex: o amassar do papel, evaporação da água,
quebra de um objeto.
Fenômeno Quı́mico
É qualquer transformação sofrida por um material de modo
que haja alteração na sua constituição ı́ntima de seus
constituintes. Ex: oxidação do ferro (formação da ferrugem), apodrecimento de um alimento.
Pense um Pouco!
Método Cientı́fico
Desenvolvido por Galileu Galilei o método cientı́fico é a base
¯
de toda a Ciência, pois sintetiza o conjunto de atividades
que visam observar, experimentar, explicar e relacionar os
fenômenos da natureza, criando leis, teorias e modelos cada
• Fatos comuns envolvendo materiais e transformações
quı́micas são de conhecimento recente ou antigo?
• Quais as atividades do seu dia em que a quı́mica está
presente?
Quı́mica B – Aula 2
Exercı́cios de Aplicação
1. (U.E.CE) Assinale a alternativa correta:
a) Oxidação do ferro é um fenômeno fı́sico
b) Fusão do chumbo é um fenômeno quı́mico.
c) Combustão da madeira é um fenômeno quı́mico.
d) Queima do papel é um fenômeno fı́sico.
2. (UFSC) Indique na relação abaixo os fenômenos fı́sicos
(F) e os fenômenos quı́micos (Q).
a) ( ) Queima da gasolina nos motores dos carros
b) ( ) Digestão dos alimentos ingeridos
c) ( ) Formação de ferrugem
d) ( ) Quebra de um objeto
e) ( ) Enfiar um prego na madeira
f) ( ) Derretimento de um iceberg
3. (UFPR) Aquecer uma barra de ferro até o ponto de fusão,
recolher o lı́quido em uma forma esférica, transformando a
barra em uma bola de ferro, é exemplo de fenômeno:
a) Quı́mico, pois altera a forma da barra de ferro.
b) Fı́sico, pois a substância continua sendo ferro.
c) Fı́sico-quı́mico, pois há alteração na forma da
substância.
d) Não é exemplo de fenômeno.
Exercı́cios Complementares
4. (F.E.-SP) Sejam os seguintes fenômenos: I. sublimação
da naftalina, II. formação da ferrugem, III.queima do álcool
comum, IV.fusão do gelo. São quı́micos:
a) todos
b) nenhum
c) somente II e III
d) somente I e III
e) somente II e IV
5. (MACKENZIE-SP) I. Fusão do gelo, II. Sublimação do
iodo, III. Digestão dos alimentos, IV. Queima de madeira.
São exemplos de fenômenos:
a) I e II quı́micos
b) I e IV fı́sicos
c) II e III fı́sicos
d) II e IV quı́micos
e) III e IV quı́micos
6. (UDESC) Aquecendo uma fita de magnésio até a combustão, notamos o desprendimento de fumaça, restando um
pó branco. Isso é exemplo de fenômeno:
a) Fı́sico, pois alterou a estrutura do magnésio.
b) Quı́mico, pois houve a formação de novas substâncias.
c) Fı́sico, pois podemos juntar o pó branco e a fumaça, recuperando o magnésio.
d) Não é exemplo de fenômeno.
77
Quı́mica B
Aula 2
Matéria e Energia
Matéria é tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar no
espaço, ou seja, têm volume.
Corpo é qualquer porção limitada da matéria. Se uma
porção de matéria se presta a um certo uso, ela é chamada
de objeto ou sistema.
Durante a queima de uma vela (matéria), ela se desgasta,
produzindo fumaça (matéria: fuligem e gases) e liberando
energia (luz: energia luminosa; calor: energia calorı́fica).
Desse modo, podemos conceituar energia como tudo aquilo
que pode modificar a estrutura da matéria, provocar ou anular movimentos e, ainda, iluminar aquecer e resfriar pode até
causar sensações.
Princı́pio da conservação de matéria e energia: A matéria
e energia não podem ser criadas nem destruı́das; podem
somente ser transformadas.
Lei da Conservação da Massa
”A soma das massas dos reagentes é igual a soma
das massas dos produtos”.
Ou ainda,
”Na natureza, nada se cria, nada se perde; tudo se
transforma”.
Estados da Matéria
Existem vários tipos de matéria e cada um é chamado de
substâncias que podem se apresentar num dos três estados
fı́sicos:
Sólido (S)
A substância apresenta forma e volume constantes
(partı́culas fortemente unidas, bem arrumadas e com movimento vibratório discreto);
Lı́quido (L)
A substância apresenta forma variável e volume constante
(partı́culas levemente unidas, havendo certa liberdade de
movimento);
Gasoso (G)
A substância apresenta forma e volume variados (partı́culas
livres umas das outras, havendo total liberdade de movimento);
78
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Mudanças de Estado
O princı́pio da incerteza, de Heisenberg, diz que:
• Fusão (S → L): a substância funde à temperatura fixa
(ponto de fusão) a uma certa pressão. Ex.: o gelo funde
à 0◦ C ao nı́vel do mar.
“É impossı́vel se determinar simultaneamente a posição e a velocidade de um
elétron.”
• Solidificação (L → S): a substância solidifica à uma
temperatura fixa igual ao ponto de fusão, já que o processo é inverso ao da fusão. Ex.: o congelamento da
água também ocorre à 0◦ C ao nı́vel do mar, quando a
temperatura está baixando;
Com base nesse princı́pio, criou-se modernamente a
idéia de orbital, como sendo a região onde há grande
possibilidade (probabilidade) do elétron ser encontrado.
Na prática, podemos pensar no elétron como uma “nuvem” que circunda o núcleo.
• Vaporização (L → G): é a passagem de uma
substância do estado lı́quido para o estado de gás, que
ocorre quando suas moléculas atingem o seu chamado
ponto de ebulição. Pode ocorrer de três modos:
1. Evaporação: ocorre à temperatura ambiente é
lenta e espontânea (ex: a água de um lago evapora com o calor do sol);
2. Ebulição: ocorre quando fornecemos calor ao
lı́quido, é rápida e violenta (ex: uma chaleira
d’água fervendo);
3. Calefação: ocorre quando se borrifa um lı́quido
numa chapa aquecida acima do seu ponto de
ebulição (ex.: pingar uma gota d’água numa chapa
de ferro muito quente).
• Condensação G → L: a substância no estado gasoso é resultado de um lı́quido vaporizado que, ao sofrer um resfriamento, retorna ao estado lı́quido por
condensação. (ex: gotı́culas de água se formam na
tampa de uma chaleira). Outro processo similar é a
Liquefação: é a condensação de uma substância que
em condições ambientes, é um gás que ao comprimi-la
(aumentar a pressão) passa para o estado lı́quido (ex.:
o gás de cozinha é comprinido num botijão e se liquefaz
– gás liquefeito de petróleo (GLP)).
• Sublimação S → G: a substância passa da forma
sólida diretamente para o estado gasoso (ex: naftalina,
iodo, cânfora).
Partı́culas e Átomos
Toda a matéria conhecida é formada por três tipos de
partı́culas elementares fundamentais:
• Próton: partı́cula massiva que possui uma carga
elétrica elementar positiva (+e) e participa da formação
do núcleo dos átomos;
• Nêutron: partı́cula também massiva que não possui
carga elétrica, mas desempenha um importante papel na estrutura e estabilidade interna do núcleo dos
átomos, reduzindo a repulsão coulombiana entre os
prótons;
• Elétron: partı́cula muito leve que possui uma carga
elementar negativa (−e) e circula o núcleo atômico,
formando uma espécie de nuvem (orbital). No seu movimento ao redor do núcleo, apresenta um “comportamento duplo” de partı́cula e onda; daı́ dizer-se que a
natureza do elétron é a de uma partı́cula-onda.
Elementos e Substâncias
Todos as substâncias encontradas na natureza são constituı́das por combinações de átomos, que por sua vez, são
as estruturas fı́sico-quı́micas estáveis elementares.
• Elemento quı́mico: é o conjunto de todos os átomos
quimicamente iguais.
• Substância Simples: são substâncias formadas por
átomos de um amesmo mesmo elemento quı́mico, e que
por ação de agentes fı́sicos não se decompõe, e portanto, não forma outras substâncias. Exemplos: H, O,
O3 . Chama-se de alotropia o fenômeno pelo qual um
único elemento quı́mico forma duas ou mais substâncias
simples diferentes. Exemplo: o carbono pode ser encontrado na natureza em duas formas diferentes: o grafite
e o diamante.
• Substâncias Compostas: são formadas por átomos
de dois ou mais elementos quı́micos diferentes, e que
por ação de agentes fı́sicos, se decompõem formando
duas ou mais substâncias novas. Exemplos: água +
eletricidade → gás oxigênio + gás hidrogênio.
Sistemas e Misturas
Para acilitar o estudo da Quı́mica definimos:
• Sistema: é uma parte do universo fı́sico que contém ou
não matéria, cujas propriedades estão sob investigações
cientı́ficas.
• Mistura Homogênea: mistura de substâncias que
apresenta único aspecto e as mesmas caracterı́sticas em
toda a sua extensão. A mistura homogênea pode ser
uma solução monofásica, por exemplo água + açúcar,
ou uma liga metálica, como exemplos temos o latão
(cobre (Cu) + zinco (Zn)) ou o bronze (cobre (Cu) +
estanho (Sn)).
• Mistura Heterogênea: mistura que apresenta vários
aspectos fı́sicos, sendo possı́vel de distinguir seus componentes (polifásica). Exemplo: água + óleo + areia.
Pense um Pouco!
• O iodo (I) é um sólido de cor castanha. Ao ser aquecido libera vapores violeta, que se transformam em iodo
sólido ao encontrarem uma superfı́cie fria. Explique e
dê o nome dos fenômenos observados.
Quı́mica B – Aula 3
• Durante a ebulição da água destilada (água pura) a
temperatura não se modifica, ao passo que, durante
a ebulição da água do mar, a temperatura continua
aumentando. Pense um pouco e explique esse fato.
Exercı́cios de Aplicação
79
Quı́mica B
Aula 3
Metais, Semimetais e Ametais
Para distinguir diferentes tipos de átomos usamos:
1. (UFSC) Matéria é tudo que tem massa e ocupa lugar no
espaço. São exemplos de matéria (marque V ou F):
a) ( ) pedra
b) ( ) madeira
c) ( ) corpo humano
d) ( ) ar
e) ( ) água
f) ( ) carro
2. (PUC-SP) O conceito de elemento quı́mico está relacionado com a idéia de:
a) átomo
b) molécula
c) ı́on
d) substância pura
e) mistura
3. (UDESC) Assinale a opção que apresenta apenas
substância simples:
a) H2 , Cl2 , N2 , CH4
b) M gCl2 , H2 O, H2 O2 , CCl4
c) N a2 O, N aCl, H2 , O2
d) CCl4 , H2 O, Cl2 , HCl
e) H2 , Cl2 , O2 , N2
• Número Atômico ou Z: é o número correspondente
a carga nuclear, ou seja, o número de prótons (P ) existente no núcleo. Então: Z = P ;
• Número de Massa ou A: é o total de prótons P e de
nêutrons N existente no núcleo. Assim: A = P + N .
O número de massa A define em si a massa do átomo,
já que os elétrons possuem uma massa desprezı́vel.
Exemplos
1. Hidrogênio (H): Z = 1, A = 1, N = 0;
2. Hélio (He): Z = 2, A = 4, N = 2;
3. Urânio (U ): Z = 92, A = 238, N = 146.
Considerando um elemento no estado natural, com átomos
eletricamente neutros, temos:
N o de prótons = Z
N o de elétrons = Z
Exercı́cios Complementares
4. (UFMG) Considerando-se completa ausência de poluição
entre os materiais citados a seguir, a substância pura é:
a) ar
b) água
c) madeira
d) cinza
e) terra
5. (Acafe-SC) A passagem turbulenta de um lı́quido para o
estado de vapor, com agitação em toda sua massa lı́quida,
denomina-se:
a) ebulição
b) evaporação
c) sublimação
d) calefação
e) irradiação
6. (UDESC) A liberação ou consumo de energia:
a) Só ocorre em transformações fı́sicas.
b) Só ocorre em transformações quı́micas.
c) Em geral, é menor nos fenômenos fı́sicos do que nos
quı́micos.
d) Em geral, é maior nos fenômenos fı́sicos do que nos
quı́micos.
e) Nunca ocorre nas transformações materiais.
N o de neutros = A − Z
Para um átomo de elemento X qualquer representamos, usamos a seguinte notação:
ZX
A
para representar o seu número atômico e sua massa atômica.
Exemplo: para um átomo de ferro temos 26 F e56 .
Isótopos e Isóbaros
• Isótopos: são átomos com mesmo número de prótons
(Z) e diferente do número de massa (A); apresentam
propriedades quı́micas iguais e fı́sicas diferentes.
Exemplo
O hidrogênio (H) possui três isótopos conhecidos:
1. o hidrogênio comum (prótio): 1 H 1 , com N = 0 e
Z = 1;
2. o deutério: 1 H 2 , com N = 1 e Z = 1;
3. o trı́tio: 1 H 1 , com N = 2 e Z = 1;
80
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
• Famı́lias: são as colunas verticais da tabela, elementos
da mesma famı́lia apresentam propriedades quı́micas
semelhantes.
Algumas famı́lias importantes:
– Metal: possui de 1 a três elétrons na camada externa;
– Não-metal: possui de 5 a 7 elétrons na camada
externa;
– Elementos Representativos: apresentam subnı́veis
mais energéticos s e p, famı́lia A e gases nobres
com 1 A, 2 A, 13 A a 18A;
– Elementos de Transição: apresentam subnı́vel
mais energético d nas famı́lias 3B até 12B;
Figura 2.1: Alumı́nio metálico comum.
– Elementos de Transição Interna: apresentam
subnı́vel mais energético f . Os lantanı́dios e actinı́dios;
• Isóbaros: são átomos de diferentes números de
¯
prótons (elementos diferentes), mas que possuem o
mesmo número de massa (A); apresentam propriedades quı́micas e fı́sicas diferentes;
Exemplo
Alguns isótopos do Cálcio e do Argônio possuem o
mesmo número de massa A = 40: 20 Ca40 e 19 Ar40
• Isótonos: são átomos que possuem o mesmo número
de nêutrons (elementos diferentes), apresentando A e Z
diferentes; apresentam propriedades quı́micas e fı́sicas
diferentes;
Exemplo
Boro e Carbono: 5 B 11 (N = 6) e 6 C 12 (N = 6)
Figura 2.2: O lı́tio, metal da famı́lia 1A.
Classificação dos Elementos
Döbereiner, em 1817, demonstrou a existência de Trı́ades de
elementos com propriedades quı́micas semelhantes, onde o
peso atâmico de um elemento era aproximadamente a média
aritmética dos pesos atômicos dos outros dois. Ex: cloro,
bromo e iodo.
Íons e Valência
Quando um átomo está com falta ou excesso de elétrons,
sua carga lı́quida não é mais zero, e o chamamos de ı́on:
Newlands, em 1863, dividiu os elementos de ordem crescente
de pesos atômicos, em grupos de sete, análogo às oitavas
musicais, logo, esta idéia foi abandonada.
• Cátion: ı́on positivo ou átomo que perdeu um ou mais
elétrons;
Dmitri Mendeleyev, em 1869, propôs uma tabela muito semelhante à atual, mas que apresentava os elementos dispostos em ordem crescente de pesos atômicos, essa classificação
definiu seis elementos desconhecidos.
• Ânion: ı́on negativo ou átomo que ganhou um ou mais
elétrons;
Moseley, em 1913, verificou que os elementos quı́micos na
Tabela Periódica deveriam obedecer a uma ordem crescente
de número atômico, e chegou-se até a tabela atual;
Na tabela atual além de os elementos serem colocados em
ordem crescente de número atômico, observa-se a seguinte
disposição (veja Apêndice):
• Perı́odos ou Séries: são as filas horizontais em
número de 7 e indicam os nı́veis ( K, L, M, N, O, P, Q );
elementos do mesmo perı́odo apresentam propriedades
quı́micas diferentes.
A valência de um átomo ionizado (ı́on) é definida pelo
número de elétrons removidos ou adicionados ao átomo
(ı́on).
• monovalente: ı́on com excesso (ou falta) de um elétron;
• bivalente: ı́on com excesso (ou falta) de dois elétrons;
• trivalente: ı́on com excesso (ou falta) de três elétrons;
• tetravalente: ı́on com excesso (ou falta) de quatro
elétrons;
• ...
Quı́mica B – Aula 4
Exemplos
• Ca+ é um cátion monovalente de cálcio.
• F e−2 é um ânion bivalente do ferro.
• K +3 é um cátion trivalente do potássio.
Propriedades Periódicas
São as propriedades que dependem da posição do átomo
na tabela periódica, e que variam suavemente entre átomos
vizinhos.
Exemplos
Pense um Pouco!
• O que ocorre quando um elétron de um átomo é capturado por outro átomo diferente?
• Seria possı́vel produzirmos água (H2 O) com deutério
ou trı́tio? Ela teria um gosto diferente? O que seria
diferente nessa nova água?
• O número atômico de um átomo ne nitrogênio é 7 e seu
número de massa é 14. Qual é o número de prótons, de
elétrons e nêutrons desse átomo neutro?
Exercı́cios de Aplicação
1. (UDESC) Um determinado átomo apresenta 16 prótons,
16 elétrons e 16 nêutrons; outro átomo apresenta 16 prótons,
16 elétrons e 17 nêutrons.”Sobre eles, são feitas as seguintes
afirmativas:
I - Os átomos são isótonos.
II - Os átomos são isóbaros.
III - Os átomos são isótopos.
IV. - Os átomos têm o mesmo número atômico.
V - Os átomos pertencem elementos quı́micos diferentes.
Em relação às afirmações acima, podemos dizer que são corretas apenas:
a) I e V
b) II e III
c) III e IV
d) I e IV
e) II e V
2. (UFSC) Um determinado átomo apresenta 20 prótons,
20 nêutrons e 20 elétrons; outro, apresenta 20 prótons, 21
nêutrons e 20 elétrons. Marque V ou F:
a) ( ) Pertencem a elementos quı́micos diferentes.
b) ( ) São isóbaros
c) ( ) São isótopos
d) ( ) Têm o mesmo número atômico
e) ( ) O número de massa de ambos é de 41
81
b) Isotopia, isobaria, isotonia.
c) Isobaria, isotopia, isotonia.
d) Isotopia, isotonia, isobaria.
e) isobaria, isotonia, isotopia.
Exercı́cios Complementares
4. (UNIFOR) O átomo desconhecido 17 X 37 tem igual
número de nêutrons que o átomo de cálcio 20 Ca. O número
de massa A do átomo de Ca é igual a:
a) 10
b) 17
c) 20
d) 37
e) 40
5. (CESGRANRIO) Um certo átomo X é isóbaro do Ca40
e isótopo do 18 Ar36 . O número de nêutrons do átomo X é:
a) 4
b) 18
c) 22
d) 36
e) 40
6. (FEI-SP) Um cátion metálico trivalente tem 76 elétrons
e 118 nêutrons. O átomo de elemento quı́mico do qual se
originou tem número atômico e número de massa, respectivamente:
a) 76 e 194
b) 76 e 197
c) 79 e 200
d) 79 e 194
e) 79 e 197
Quı́mica B
Aula 4
Propriedades Periódicas
A Tabela Periódica foi elaborada com base nas propriedades
quı́micpas e fı́sicas dos elementos, analisando-a, podemos
obter informações sobre eles, chegando-se assim a propriedades importantes dos perı́odos e famı́lias (ou grupos)
quı́micos:
Tamanho do Átomo
Os fatores determinantes do tamanho de ump átomo são o
números de camadas eletrônicas (Z) e carga nuclear (P ).
Nas famı́lias: à medida que o Z aumenta, o número de
camadas aumenta, o que leva ao aumento do tamanho do
átomo (de cima para baixo);
Nos perı́odos: à medida que o Z aumenta, o número
3. (Acafe-SC) Os pares de átomos C 12 e C 13 ; K 40 e Ar40 ; de camadas permanece igual, mas a carga nuclear auCa40 e Ar38 representam, respectivamente, a ocorrência de: menta, Z aumenta, a atração do núcleo sobre os elétrons
periféricos também aumenta, resultando átomos menores.
a) Isotonia, isotopia, isobaria.
82
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Eletroafinidade
É a medida de energia liberada por um átomo isolado no
estado gasoso ao receber um elétron, formando o ı́on gasoso
negativo(ânion).
Exemplo
Ionização do cloro (Cl):
Cl(g) + e− → Cl− (g) + 83, 3Kcal/mol
e nesnte caso a energia é liberada na reação.
Nas famı́lias a eletroafinidade aumenta debaixo para cima;
e nos perı́odos aumenta da esquerda para direita.
Figura 2.1: A Tabela Periódica.
Num perı́odo, o tamanho do átomo aumenta da direita para
a esquerda.
Potencial de Ionização
Eletronegatividade
Propriedade que o átomo apresenta maior ou menor
tendência de atrair elétrons para si, resultando da ação conjunta da (Ei ) e da eletroafinidade, ou seja, compara a força
de atração exercida pelo átomo sobre seus elétrons.
É a medida de energia fornecida a um átomo isolado no
estado gasoso para retirar ou desprender um elétron, formando um ı́on gasoso positivo(cátion). Quanto maior o tamanho do átomo, menor energia de ionização (E i ), numa
famı́lia a (Ei ) aumenta debaixo para cima. Nos perı́odos
(Ei ) aumenta da esquerda para direita.
Figura 2.3: Aumento da eletroafinidade dos átomos.
Nas famı́lias aumenta debaixo para cima e nos perı́odos aumenta da esquerda para direita.
Figura 2.2: Aumento da energia de ionização dos átomos.
Reatividade Quı́mica
Exemplo
Considere uma amostra de sódio gasoso (P = 11, Z = 11):
Está relacionada com o caráter metálico ou não-metálico de
um elemento, quanto maior a capacidade de perder elétrons
mais metálico é o elemento.
N a(g) + Ei = +119 kcal/mol → N a (g) + e (g)
Quanto maior o tamanho do átomo menor o potencial de
ionização (Ei ) e menor a eletronegatividade = maior caráter
metálico = maior reatividade quı́mica do metal.
Neste caso, a energia de ionização (Ei ) do sódio é de
119 kcal/mol, e o sinal positivo indica que a energia deve
ser absorvida.
Quanto menor o tamanho do átomo maior a eletroafinidade,
maior a eletronegatividade e maior caráter não-metálico =
maior a reatividade quı́mica do não-metal.
+
−
Quı́mica B – Aula 4
83
Figura 2.4: Aumento da Reatividade quı́mica.
Figura 2.6: Aumento do volume atômico dos átomos.
Densidade (ρ)
Ponto de Fusão (PF )
A densidade ou massa especı́fica de um corpo é a razão entre
sua massa m e seu volume V , ou seja,
É a temperatura em que um sólido passa do estado sólido
para o estado lı́quido.
ρ=
m
V
e será medida em kg/m3 no SI, ou também em g/cm3 .
Exemplo: a densidade do alumı́nio (Al) é ρAl =
2, 700 g/cm3 = 2.700 kg/m3 .
Figura 2.7: Aumento do Ponto de Fusão (PF ).
Nas famı́lias, o PF aumenta de cima para baixo, exceto em
1(1A) e 2(2A), que é o contrário; nos perı́odos, aumenta das
laterais para o centro.
Figura 2.5: Aumento da densidade dos átomos.
Nas famı́lias aumenta de cima para baixo, e nos perı́odos
aumenta das laterais para o centro.
Volume Atômico v
Mede o volume molar especı́fico do material sólido, e está
relacionado com a estrutura cristalina do elemento (distribuição dos átomos no espaço):
v=
massa molar
M
=
densidade
ρ
.
Nas famı́lias o volume atômico aumenta de cima para baixo,
e nos perı́odos aumenta do centro para as laterais.
Pense um Pouco!
• Dentre as propriedades periódicas estudadas, quais são
fı́sicas e quais são quı́micas?
• Qual o elemento mais denso que você já viu? Consulte a
tabela periódica do Apêndice e verifique se existe algum
elemento ainda mais denso.
• Cite exemplos de semi-metais e não-metais conhecidos.
Exercı́cios de Aplicação
1. (UDESC) Observe os elementos representados na Tabela
Periódica e julgue os itens (V = verdadeiro e F = falso), na
ordem:
I - A eletronegatividade dos elementos boro(B) , carbono
84
(C), nitrogênio (N ), oxigênio (O) e flúor(F ) diminui da direita para a esquerda.
II - O elemento de menor eletropositividade é o césio (Cs).
III - Dentre os elementos conhecidos, o boro (B) é o único
semimetal.
IV - A energia de ionização do criptônio (Kr) é maior que
a do potássio (K).
V - O raio atômico do magnésio (M g) é maior que o de
sódio (N a) porque ele possui um elétron a mais.
Assinale a alternativa que julga corretamente os itens acima,
na seqüência de I a V.
a) F, V, V, F, F
b) F, V, F, F, V
c) F, F, F, V, F
d) V, F, F, V, F
e) V, V, F, F, V
2. (UFSC) Sobre os elementos N a, M g e Al, podem ser
feitas as afirmações:
I - N a+ , M g ++ e Al+++ possuem o mesmo número de
elétrons.
II - A ordem decrescente de eletronegatividade destes elementos é N a, M g e Al.
III - M g ++ e Al+++ possuem o mesmo número de prótons.
IV - A ordem crescente de reatividade com o H2 O é: Al,
M g e N a.
A opção que contém apenas afirmações corretas é:
a) I e IV
b) I e III
c) II e IV
d) III e IV
e) II e III
3. Na reação F (g) + e− (g) → F − (g) + 402 kcal/mol, a
medida de energia 402 quilocalorias por mol representa:
a) a eletronegatividade do flúor
b) a eletropositividade do flúor
c) o potencial de ionização do flúor
d) a eletroafinidade do flúor
e) a polaridade do flúor
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Quı́mica B
Aula 5
Ligações Quı́micas
Compostos Iônicos e Moleculares
A união de átomos formam diversas substâncias, essa união
(ligação quı́mica) pode ocorrer de três formas:
1. ligação iônica;
2. ligação covalente simples e dativa;
3. ligação metálica.
Os gases nobres são elementos estáveis, pois apresentam oito
elétrons na sua camada de valência, exceção do gás hélio.
Estabilidade Eletrônica
Oito elétrons na camada de valência.
Ligação Iônica
Ocorre entre metal que tem tendência de perder elétron,
com não-metal, que tem tendência de receber elétron, formando ı́ons de cargas contrárias, que se atraem mutuamente.
Exemplos
Fazer o esquema de Lewis:
N a+ Cl− :
K + + Cl− :
Íon Fórmula
Exercı́cios Complementares
4. Para que o ı́on 7 N −3 se transforme no átomo neutro de
nitrogênio, ele deve:
a) receber 3 prótons
b) perder 3 elétrons
c) receber 3 elétrons
d) perder 7 prótons
e) receber 7 elétrons
5. Para que um átomo neutro de cálcio se transforme no
ı́on Ca+2 , ele deve:
a) perder 2 prótons
b) receber 2 elétrons
c) perder 2 elétrons
d) receber 2 prótons
e) perder 1 próton
Conhecendo as valências dos elementos cujos átomos vão se
ligar para formar um composto iônico, podemos calcular a
ı́on fórmula:
20 Ca
15 P
= 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 perde 2e−
= 1s2 2s2 2p6 3s2 3p3 ganha 3e−
Escrevemos os sı́mbolos na ordem crescente de eletronegatividade, de modo que o ı́ndice corresponda à valência do
outro (regra de 3):
Ca → valência 2 + P → valência 3 = Ca3 P2
Ligação Covalente Simples
Ocorre entre não-metais, e entre não-metal e hidrogênio, e
seu princı́pio é o compartilhamento de elétrons.
O conjunto estável de átomos ligados entre sı́ apenas por
ligações covalentes, ou seja por pares eletrônicos, recebe o
nome de molécula.
Quı́mica B – Aula 5
Exemplos
Cl + Cl → Cl2
H + Cl → HCl
H + O → HO
O + O → O2
Fórmula eletrônica:
Fórmula Estrutural Plana:
Fórmula Molecular:
Ligação Covalente Dativa
Só ocorre se o átomo que vai contribuir com o par de
elétrons estiver estabilizado pela covalente simples e tiver
pares eletrônicos disponı́veis:
Exemplos
HN O3
H2 SO4
H 3 P O4
Ligação Covalente Apolar
Ocorre entre ametais de mesmo elemento quı́mico (solúveis
em água) (mesma eletronegatividade). Por exemplo: H −H.
Ligação Covalente Polar
Ocorre entre ametais de elementos diferentes (insolúveis em
água) (eletronegatividade diferentes). Exemplo: molécula
HCl, pois o cloro é mais eletronegativo que o hidrogênio,
ou seja, apresenta maior capacidade de atrair elétrons; portanto o par de elétrons da ligação é atraı́do por ele, criandose nesse extremo uma maior densidade eletrônica. Assim,
surgem pólos distintos (representado pela letra δ), formando
uma ligação covalente polar: δ+ HClδ− .
Pense um Pouco!
• Analisando a variação da eletronegatividade na tabela
periódica, indique a ligação menos polar e a mais polar:
H–O:
H–H:
H–I:
H–P:
H–N:
H–F:
85
Exercı́cios de Aplicação
1.
(UFSC) Considerando-se a ligação quı́mica entre
oxigênio e o alumı́nio, sob a luz da teoria do octeto, para a
formação do óxido de alumı́nio, é correto afirmar (some os
números correspondentes às alternativas corretas):
01. Cada átomo de alumı́nio, perderá 3 elétrons;
02. O Oxigênio será o ânion, com carga negativa igual a
três para cada átomo;
04. O envolvidos dois átomos de alumı́nio na ligação;
08. Cada átomo de oxigênio receberá dois elétrons;
16. O número de cargas positivas, por fórmula, será seis.
32. A configuração eletrônica do Al +3 será 1s2 2s2 2p6 .
64. A fórmula mı́nima do óxido de alumı́nio conterá quatro
átomos no total.
2. (UniRio-RJ) Átomos de um elemento X (número atômico
20) e de outro elemento Y (número atômico 7) unem-se por
ligações iônicas, originando o composto de fórmula:
a) XY
b) X2 Y
c) X3 Y2
d) X2 Y3
e) X3 Y4
3. (Acafe-SC) A força de atração entre ı́ons positivos e
negativos caracteriza a ligação:
a) coordenada
b) covalente
c) metálica
d) dativa
e) iônica
Exercı́cios Complementares
4. (Supra-SC) No cloreto de magnésio, a união entre
magnésio e cloro ocorre através de ligação:
a) molecular
b) covalente
c) metálica
d) iônica
e) dativa
5. (UFRGS) O conceito de ligação covalente se refere à
idéia de:
a) atração eletrostática
b) par iônico
c) atração intermolecular
d) elétrons livres
e) emparelhamento de elétrons
6. (Supra-SC) Entre os átomos dos compostos KBr, N H 3 ,
e HCN , as ligações quı́micas predominantes são, respectivamente:
a) covalente, iônica, iônica
b) covalente, iônica, covalente
c) covalente, covalente, iônica
d) Iônica, iônica, covalente
e) Iônica, covalente, covalente
86
Quı́mica B
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Aula 6
Ligações Quı́micas
Geometria Molecular
Teoria da Repulsão dos pares eletrônicos, desenvolvida na
década 1960:
“Os pares de elétrons ao redor do átomo central
distribuem-se no espaço de tal forma que a repulsão
entre eles é a menor possı́vel, garantindo maior estabilidade”.
Os pares de elétrons podem ou não fazer parte de ligações.
Quando os elétrons são ligantes, os pares podem constituir
ligações simples, duplas, triplas ou dativas.
As posições relativas dos átomos ligantes são dadas
pela disposição de todos os pares de elétrons, mas
a geometria da molécula é considerada apenas pela
posição relativa de seus núcleos.
Figura 2.2: O composto SO3 apresenta geometria molecular
é trigonal plana, a distribuição espacial dos pares eletrônicos
forma um triângulo equilátero e possui 3 átomos ligados ao
átomo central.
Forças de Van der Waals
Exemplos
São forças de fraca intensidade que se classificam em dipolo–
dipolo e dipolo instantâneo–dipolo induzido.
A polaridade da ligação apresenta uma direção, um sentido
e uma intensidade, podendo ser representada por um vetor
(~
p : vetor momento dipolo), este vetor se orienta sempre no
sentido do pólo negativo para o positivo. Para moléculas
com mais de dois átomos, conhecendo-se a geometria molecular, é possı́vel determinar se a molécula apresenta dipolo,
ou seja, se na molécula há distribuição desigual de carga negativa e positiva. Essa determinação é feita levando-se em
conta os vetores momento de cada ligação. Conforme tenham ou não dipolo elétrico, as moléculas são classificadas
em polares ou apolares, respectivamente.
Exemplos
CO2 é apolar (~
p = ~0). Veja a simetria da molécula na Fig.
2.1.
H2 O é polar (~
p 6= ~0). Veja a assimetria da molécula na
Fig. 2.3.
Figura 2.1: O gás carbônico (CO2 ) apresenta geometria molecular linear, distribuição espacial dos pares eletrônicos é
linear e possui 2 átomos ao ligados ao átomo central.
Forças de Van der Waals dipolo–dipolo
Este tipo de interação ocorre entre moléculas polares.
Exemplo
A molécula
Forças Intermoleculares
As substâncias moleculares podem ser encontradas nos três
estados fı́sicos, o que nos leva a concluir que, entre as
moléculas, existem forças de atração de diferentes intensidades. A essas forças damos o nome de forças intermoleculares,
elas podem ser de dois tipos:
• forças de Van der Waals
• pontes de hidrogênio
δ+
HClδ− .
A formação do dipolo ocorre devido à diferença de eletronegatividade entre o hidrogênio e o cloro. A extremidade
negativa de uma molécula atrai a extremidade positiva da
molécula vizinha. Esse tipo de atração é o mesmo que ocorre
na ligação iômica, mas com intensidade bem menor.
Forças de Van der Waals dipolo instâneo–dipolo induzido
São forças de atração que aparecem nas substâncias formadas por moléculas apolares, no estado sólido ou lı́quido. A
nuvem eletrônica nas moléculas apolares é uniforme, não
Quı́mica B – Aula 6
Figura 2.3: A água (H2 O) apresenta geometria molecular angular, mas a distribuição dos pares de elétrons é tetraédrica e possui 2 átomos ligados ao átomo central.
87
Figura 2.4: O metano (CH4 ) apresenta geometria molecular
tetraédrica e distribuição dos pares eletrônicos também é
tetraédrica e possui 4 átomos ligados ao átomo central
aparecendo cargas. Essa nuvem pode sofrer deformação por
ação externa, ou flutuações estatı́sticas (colisões), ou com
o aumento da pressão e diminuição de temperatura, provocando, então, uma distribuição desigual de cargas, o que faz
com que surja um dipolo temporário. O dipolo instantâneo
induz a polarização da molécula vizinha, resultando uma
ação fraca entre elas. Esse tipo de interação também é chamado de força de London, em homenagem ao cientista
Fritz London (1900-1957), que elaborou todo o desenvolvimento teórico.
Pontes de Hidrogênio
As pontes de hidrogênio são casos particulares da interação
dipolo-dipolo, em que o dipolo molecular é fixo e de grande
intensidade. Esse fenômeno ocorre quando o hidrogênio está
ligado à um dos três elementos mais eletronegativos – flúor,
oxigênio e nitrogênio – pois a diferença de eletronegatividade entre o hidrogênio e esses elementos é muito grande.
Figura 2.5: O P Cl5 apresenta geometria molecular bipirâmide trigonal e possui 5 átomos ligantes.
Exemplo
A água H2 O é uma molécula muito polarizada (polar) e as
pontes de hidrogênio produzem força suficiente para manter
as moléculas unidas no estado lı́quido. Veja a Fig. 2.3.
Para Aprender Mais!
Tensão superficial é uma propriedade que faz com que uma
superfı́cie lı́quida se comporte como uma pelı́cula elástica.
Esta propriedade ocorre com todos os lı́quidos e é observada
com maior intensidade na água. As moléculas no interior
do lı́quido mantêm-se unidas pelas forças de atração, que
ocorrem em todas as direções. As moléculas da superfı́cie,
no entanto, sofrem apenas atração lateral e inferior, que
geram a tensão superficial, criando uma pelı́cula elástica.
Quanto mais intensas as forças de atração, maior será a
tensão superficial.
Você Sábia?
Os icebergs são massa de gelo flutuante que geralmente se
desprende numa geleira polar e, portanto, são constituı́dos
por água doce. Eles flutuam por que a densidade da água
sólida é menor do que a da água lı́quida. Na água lı́quida,
as moléculas estão unidas por pontes de hidrogênio e dispostas de forma menos organizada do que no estado sólido.
Neste estado, a organização é maior, formando estruturas
hexagonais tridimensionais, mais espaçadas, que diminuem
a densidade, permitindo assim que o gelo flutue sobre a
água. Esta propriedade explica também a quebra de garrafa de bebidas esquecidas no congelador.
Forças Intermoleculares e Ponto de Ebulição
: O importante fator que influencia o ponto de ebulição
de uma substância é o tamanho da molécula, pois quanto
maior a molécula, mais fácil a ocorrência de distorção da
nuvem eletrônica; conseqüentemente, mais fácil a formação
de pólos, ou seja, a medida que o tamanho da molécula aumenta (aumento da massa molecular), o ponto de ebulição
88
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
também deve aumentar. OBS: Na passagem do estado liquido para o gasoso ocorre uma separação das moléculas assim, quanto maior a atração entre as moléculas no liquido,
maior será o ponto de ebulição. Quanto maior a molécula
mais fácil é a formação de pólos.
conseqüência:
a) da baixa massa molecular da água
b) das ligações covalentes
c) das pontes de hidrogênio entre as moléculas
d) do fato de o oxigênio ter o maior raio atômico dessa
famı́lia
e) do fato de que o gelo é menos denso que a água lı́quida
Pense um Pouco!
• Quando se ferve a água, qual o tipo de ligação é rompida na mudança de estado?
• Temos duas substâncias, HX e HY. O que podemos
dizer com relação ao ponto de ebulição (PE) dessas
substâncias, sabendo que em HX ocorrem forças de Van
der Waals e em HY ocorrem pontes de hidrogênio?
Exercı́cios de Aplicação
1. Qual dessas ligações é mais fraca?
a) eletrovalente
b) covalente
c) ponte de hidrogênio
d) Van der Waals
e) iônica
2. (Acafe-SC) Cada molécula de água é capaz de efetuar,
no máximo:
a) 5 pontes de hidrogênio.
b) 2 pontes de hidrogênio.
c) 4 pontes de hidrogênio.
d) 1 pontes de hidrogênio.
e) 3 pontes de hidrogênio.
3. (UFSM-RS) Dentre os compostos abaixo:
I. H3 C–CH2 –O–CH3
II. H3 C–CH2 –N H2
III. H3 C–CH2 –OH
Apresentam pontes de Hidrogênio entre suas moléculas:
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas I e III
d) apenas II e III
e) I, II e III
Exercı́cios Complementares
4. (UEFS - BA) Por ação de energia, o hidrogênio
doatômico se dissocia de acordo com a equação: H–H(g) →
2H(g). Nesta dissociação, ocorre rompimento de ligação
quı́mica do tipo:
a) ponte de hidrogênio.
b) de Van der Waals.
c) metálica
d) iônica
e) covalente
5. (ITA-SP) Os hidretos do tipo H2 X dos elementos da
famı́lia do oxigênio são todos gasosos em condições ambientais, com exceção do hidreto de oxigênio. Esta situação é
6. Dentre as seguintes substâncias, qual apresenta pontes
de hidrogênio entre as moléculas?
a) metano (CH4 )
b) clorofórmio (CHCl3 )
c) benzeno (C6 H6 ).
d) Éter-etı́lico (H2 C2 –O–C2 H5 )
e) Água (H2 O)
Quı́mica B
Aula 7
Equações e Reações Quı́micas
Uma reação quı́mica é representada pela equação geral
c1 R1 + c2 R2 + . . . + cn Rn → c01 P1 + c02 P2 + . . . + c0m Pm
onde n reagentes R1 , R2 ,. . .,Rn foram usados para formar
os m produtos P1 , P2 ,. . .,Pm . Os coeficientes {ci } indicam o
número de moléculas de cada reagente utilizado na reação,
e os coeficientes {c0j }, o numéro de moléculas de cada produto resultante da reação. Em ambos os casos, se utilizam
coeficientes inteiros.
Como cada molécula, de reagente ou produto, pode conter
vários átomos de diferentes elementos quı́micos, o número
total de átomos de cada espécie quı́mica deve ser o mesmo
em ambos os lados da equação acima, e chamamos de balanceamento quı́mico o cálculo dos menores coeficientes
{ci } e {c0j } para que essa igualdade seja satisfeita.
Exemplos
A sı́ntese (formação) da água é descrita pela equação
2H2 (g) (reagente) +O2 (g) (reagente) → 2H2 O(l) (produto)
onde a proporção da reação de sı́ntese da água é 2:1:2, o que
significa que, para cada duas moléculas de H2 O formadas,
reagiram duas moléculas H2 e uma molécula de O2 . Cada
reação tem a sua proporção, que, como vimos pela lei das
Proporções Constantes.
Determinação dos Coeficientes
Na reação de combustão:
C2 H6 O + O2 → CO2 + H2 O
observamos primeiro a quantidade de átomos de hidrogênio.
No primeiro membro, existem seis (C2 H6 O), e no segundo,
Quı́mica B – Aula 7
dois (H2 O). Para igualar o número de átomos, fazemos a
transposição dos ı́ndices, obtendo:
2C2 H6 O + O2 → CO2 + 6H2 O
Vamos agora acertar a quantidade de átomos de carbono. No primeiro membro existem agora quatro carbonos
(2C2 H6 O); no segundo, um (CO2 ). Então, devemos multiplicar CO2 , no lado direito da equação, por 4.
89
É toda reação quı́mica em que ocorre com liberação de
calor.
Por exemplo, temos a combustão do hidrogênio:
2H2 + O2 → 2H2 O + calor%
Quanto à Velocidade
Reações Rápidas
2C2 H6 O + O2 → 4CO2 + 6H2 O
Finalmente, acertamos a quantidade de átomos de oxigênio.
No segundo membro, já acertado, existem quatorze átomos
de oxigênio (4CO2 e 6H2 O), e no primeiro, quatro (2C2 H6 O
e O2 ). Então o coeficiente da molécula O2 será 6, para se
obter 12 átomos que, com outros dois perfazem os quatorze:
2C2 H6 O + 6O2 → 4CO2 + 6H2 O
Observe que em ambos os lados da reação (reagentes e produtos) temos um total de 4 átomos de C, 12 átomos de H e
14 átomos de O. Como todos os coeficientes são múltiplos
de 2, então podemos reduzı́-los, dividindo-os por 2:
C2 H6 O + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O
e obtemos os menores coeficientes para o balanço quı́mico
da reação dada.
As que ocorrem rapidamente e de forma explosiva, por
exemplo, a combustão (queima) do álcool etı́lico:
C2 H6 O + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O + calor%
Reações Lentas
Ocorrem devagar, por exemplo, a formação da ferrugem
(oxidaxão do ferro):
4F e + 3O2 → 2F e2 O3 + calor%
Quanto à Reversibilidade
Reações Reversı́veis
Ocorrem simultaneamente nos dois sentidos (indicado pela
dupla seta):
CaO + CO2 CaCO3
Reações Irreversı́veis
Dicas
Reações que ocorrem num só sentido.
Algumas consideração para o balanceamento de uma
equação quı́mica:
Por exemplo:
N aCl + AgN O3 → AgCl + N aN O3
1. Deve-se começar o acerto dos coeficientes pelo elemento
que aparece uma única vez nos dois membros;
Quanto aos Reagentes e Produtos
2. Se os ı́ndices do elemento escolhido forem múltiplos, a
simplificação pode ser feita antes da transposição;
Sı́ntese ou Adição
3. As fórmulas das substâncias não podem ser modificadas; por isso, nunca coloque números entre os sı́mbolos
de uma mesma fórmula.
Tipos de Reações
Reação entre duas ou mais substâncias (simples ou composta) que originam uma única substância composta:
2CO + O2 → 2CO2
neste caso a reação é do tipo
composta + simples → composta
Quanto ao Calor
Quanto ao envolvimento (absorção ou liberação) de calor:
Reações Endotérmicas
Veja que endo=para dentro e térmica = calor. É toda reação
quı́mica em que ocorre com absorção de calor.
.
Análise ou Decomposição
Reação em que uma única substância composta se desdobra
em outras substâncias simples ou compostas:
2HCl → H2 + Cl2
Por exemplo, a decomposição do calcáreo:
CaCO3 @ >> ∆ > CaO + CO2%
onde ∆ indica que há a necessidade de aquecimento dos
reagentes para que ocorra a reação quı́mica.
Reações Exotérmicas
Observe que exo=para fora e térmica = calor.
Dupla Troca
Reação em que as duas substâncias compostas produzem
duas outras substâncias compostas (o nome resulta no fato
de as substâncias permutarem entre si parte de suas estruturas):
HCl + N aOH → N aCl + H2 O
90
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
ou
d) III libera menos calor do que IV
e) IV absorve calor para ocorrer
N aCl + AgN O3 → AgCl + N aN O3
Deslocamento ou Simples Troca
Reação em que uma substância simples reage com outra
composta, produzindo outra substância composta e outra
simples:
F e + CuSO4 → F eSO4 + Cu
Para Saber Mais!
O oxigênio e o hidrogênio liquefeitos são os combustı́veis
lı́quidos mais comuns, usados para impulsionar os foguetes
pela expulsão dos gases de combustão, gerados pela reação
de sı́ntese:
2H2 + O2 → 2H2 O
nos motores de combustı́vel lı́quido, também usados na
operação de mı́sseis, o combustı́vel e o comburente devem ser armazenados isoladamente e a reação só ocorre na
câmara de combustão, o que torna esses motores bastante
complexos.
Você Sabia?
Para combater a acidez estomacal, causada pelo suco
gástrico existente (HCl ou ácido clorı́drico) que em excesso só causa azia. O uso de leite de magnésia, uma suspensão de hidróxido de magnésio, ou medicamentos à base
de hidróxido de alumı́nio, diminuem a acidez, aliviando a
azia. As reações que ocorrem são:
M g(OH)2 + 2HCl → M gCl2 + 2H2 O
Al(OH)3 + 3HCl → AlCl3 + 3H2 O
Também pode-se usar o bicarbonato de sódio:
N aHCO3 + HCl → N aCl + H2 O + CO2
Pense um Pouco!
• Explique porque o bicarbonato de amônio misturado
em uma massa de bolo, ao ser aquecido, faz a massa do
bolo crescer deixando o bolo fofo? Que tipo de reação
ocorre ? Faça a reação.
Exercı́cios de Aplicação
1. Considere as seguintes reações do metano:
I. CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2 O com ∆H = −212, 8 kcal/mol
II. CH4 + H2 O → CO + 3H2 com ∆H = −49, 3kcal/mol
III.CH4 + CO2 → 2CO + 2H2 com ∆H = −59kcal/mol
IV. CH4 + 12 O2 → CO + 2H2 com ∆H = −8, 5kcal/mol
Pode-se afirmar que a reação:
a) I é endotérmica
b) II libera mais calor do que a I
c) III é espontânea
2. (Unisinos-RS) Considerando a equação termoquı́mica
abaixo representada, S(s) + 23 O2 (g) → SO3 (g) com ∆H =
−94, 4kcal/mol. Podemos afirmar que, na formação de
200 g de trióxido de enxofre:
a) Ocorre a liberação de 94, 4 kcal, uma vez que a reação é
exotérmica
b) Ocorre a absorção de 94, 4 kcal, uma vez que a reação é
endotérmica
c) Ocorre a liberação de 169, 5 kcal, uma vez que a reação
é exotérmica
d) Ocorre a absorção de 236 kcal, uma vez que a reação é
endotérmica
e) Ocorre a liberação de 236 kcal, uma vez que a reação é
exotérmica
3. Dadas as equações das reações:
I. H2 SO4 + H2 O → H3 O + HSO4− + calor
II. C2 H5 OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O + calor
−
III. N H4 Cl(s) + H2 O(l) + calor → N H4+ (aq) + Cl(aq)
IV. C2 H2 + 23 2O2 → CO2 + H2 O + C + calor
V. 2F e2 O3 + 3C + calor → 4F e + 3CO2
Consideram-se as reações endotérmicas:
a) III e V
b) I , II e IV
c) II, III e V
d) I, III e IV
e) II e III
Exercı́cios Complementares
4. A análise da reação
H2 (g) + 12 O2 (g) → H2 O(l) + 68 kcal
permite concluir que:
a) a reação é endotérmica
b) a reação tem ∆H positivo
c) a entalpia dos reagentes é maior que a dos produtos
d) a entalpia dos reagentes é menos que a dos produtos
e) a entalpia dos reagentes é igual a dos produtos
5. (PUC-RS) A equação a seguir representa: HN O3 (aq) +
N aOH(aq) → N aN O3 (aq) + H2 O(l) com ∆H =
−13, 69 kcal/mol
a) um processo endotérmico
b) a neutralização parcial de um ácido
c) um processo que há a liberação de calor
d) um processo não espontâneo
e) uma reação de análise
6. As reações endotérmicas caracterizam-se por:
I. serem espontâneas
II. ocorrerem co absorvição de calor
III. apresentam sinal positivo para a variação da entalpia
a) somente a afirmativa I é correta
b) somente a afirmativa II é correta
c) somente a afirmativa III é correta
d) somente as afirmativas I e II são corretas
e) somente as afirmativas II e III são corretas
Matemática
Matemática A
Aula 1
Relações e Funções
Relações
Definimos relação como:
Dados dois conjuntos não vazios S e T chama-se relação R
de S em T qualquer subconjunto de Sxt. Assim, R está
contido em Sxt (R ⊂ SxT ).
Exemplo
R = {(x, y)/x < y}
Os segundos elementos desses pares formam o conjunto
imagem da relação: Im(R). Assim, na relação R =
{(−1, 3), (0, 4), (1, 5)}, D(R) = {−1, 0, 1} e Im(R) =
{3, 4, 5}.
Representação
Podemos representar uma relação por um diagrama de setas
ou no plano cartesiano: Consideremos os conjuntos A =
{−1, 0, 1, 2} e B = {1, 0, 1, 4} e a relação R = {(x, y) ∈
AxB/y = x2 }.
Funções
O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos
dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que
faça corresponder a todo o elemento do primeiro conjunto
um único elemento do segundo conjunto, ocorre uma função.
Observemos os pares de conjuntos abaixo.
Exemplos
1. Dados L = {2, 5, 9, 12} e A = {4, 25, 81, 144} e a relação
R = {(x, y) ∈ LxA/y = x2 }.
Notação
Podemos escrever uma relação de A em B das seguintes
formas:
• Nomeando os pares ordenados, por exemplo: R =
{(0, 1), (1, 2), (2, 3)}.
• Através de uma sentença matemática, por exemplo:
R = {(x, y) ∈ AxB/y = x + 1}, sendo que
A = {0, 1, 1, 2, 3} e B = {1, 3, 4, 9}.
Domı́nio e Imagem
Ao conjunto formado por todos os primeiros elementos dos
pares ordenados (x, y) de uma relação damos o nome de
domı́nio e representamos por D(R).
Figura 3.1: É função.
2. Dados A = {10, 12, 15, 16, 13} e B = {20, 24, 30, 26} e
a relação R = {(x, y) ∈ AxB/y = 2x}.
3. Dados A = {5, 12, 23} e B = {7, 14, 25} e a relação
R = {(x, y) ∈ AxB/y = x + 2}.
4. Dados A = {16, 81} e B = {−2, 2, 3} e a relação R =
{(x, y) ∈ AxB/y 4 = x}
92
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Figura 3.4: Não é função.
Figura 3.2: Não é função.
Figura 3.3: É função.
Serão reconhecidas como função as relações que tiverem todos os elementos de A associados a elementos de B, sendo
que cada elemento de A deve estar ligado somente a um
único elemento de B.
Domı́nio, Imagem e Contradomı́nio
Tomemos os exemplos acima que representam funções
(Ex01, Ex03):
Para ambos os exemplos, chamamos de domı́nio o conjunto
A, indicado pela letra D:
Ex01: D = {2, 5, 9, 12}; Ex03: D = {5, 12, 23}.
A imagem será o conjunto dos elementos y que têm correspondência com x.
EX01: I = {4, 25, 81, 144};
Ex03: D = {7, 14, 25}.
O contradomı́nio será o conjunto B:
EX01: CD = {2, 4, 6}; Ex03: CD = {5, 7, 14, 15, 16, 25, 26}.
Tipos de Funções
Função Par
É a função em que qualquer que seja o valor de x ∈ D ocorre
f (x) = f (−x).
Exemplos
f (x) = x2
f (x) = |x|
f (x) = cos(x)
Matemática A – Aula 1
93
Figura 3.5: Esquema para compreender função crescente.
Função Ímpar
É a função em que para todo valor de x ∈ D ocorre f (x) =
−f (−x).
Exemplos
Exemplos
f (x) = 2x
f (x) = −x + 2
f (x) = sin(x)
f (x) = 10−x
f (x) = x3
f (f ) = −2x
Função Crescente
Figura 3.6: Esquema para compreender função decrescente.
Uma função y = f (x) é crescente num conjunto A se,
somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto
A, com x1 < x2 , tivermos f (x) < f (x2 ).
Função Injetora
Exemplos
f (x) = x + 2
f (x) = 10x
Uma função y = f (x) : A → B é injetora, se somente
se, num conjunto A, dois elementos distintos quaisquer do
domı́nio de f (x) possuem imagens distintas em B.
Exemplos
f (x) = x3
Função Sobrejetora
Função Decrescente
Uma função y = f (x) é decrescente num conjunto A se,
somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto
A, com x1 < x2 , tivermos f (x1 ) > f (x2 ).
Uma função y = f (x) : A → B é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem é igual ao contradomı́nio:
Im(f ) = B
Exemplos
94
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Figura 3.7: Função injetora
Figura 3.9: Função sobrejetora
Figura 3.8: Função não injetora
Figura 3.10: Função não sobrejetora
Função Bijetora
Uma função y = f (x) : A → B é bijetora, se somente se, é
injetora e sobrejetora.
Na figura 3.11 temos que a função:
• É injetora, pois quaisquer elementos distintos de A possuem imagens distintas em B;
• É sobrejetora, pois
Im = B = {4, 25, 81, 144};
• É bijetora porque é injetora e sobrejetora.
inversa de f a função f −1 : B → A tal que (a, b) ∈⇔ (b, a) ∈
f −1 .
Exemplos
y = f (x) = x2 ;
D = {2, 5, 9, 12}
Im = {4, 25, 81, 144}
A função inversa
p será:
y = f (x) = (x)
D = {4, 25, 81, 144}
Im = {2, 5, 9, 12}
Função Composta
Função Inversa
Considere uma função y de L → A, sendo que D = L e
Im = A. A função inversa de y será aquela função que fizer
corretamente a relação de A → L onde D = A e Im = L.
Ou seja, a função inversa “transforma” o que antes era
domı́nio em imagem e imagem em domı́nio. Porém, isto
só poderá ocorrer se y for bijetora.
Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {2, 4},
C = {4, 16}, vamos considerar as funções:
f : A → B definida por f (x) = 2x;
g : B → C definida por g(x) = x2 .
Observamos que:
Então, podemos definir:
• A cada x pertencente a A associa-se um único y pertencente a B tal que y = 2x;
Dada função bijetora y = f (x) : A → B, chama-se função
• A cada y pertencente a B associa-se um único z per-
Matemática A – Aula 1
95
Figura 3.13: f = {(1, 2), (2, 4)}; g = {(2, 4), (4, 16)}
Pense um Pouco!
Figura 3.11: Função bijetora
(a)
A função n : A → R, definida por n(t) = 6t + t2 , expressa o número de colônias de bactérias em uma placa,
onde n é o número de colônias, t é tempo em horas e
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} tem seus elementos representando os
instantes em que as colônias foram contadas. Com esses
dados, determine:
a) O número de colônias para t = 3h;
b) O conjunto contradomı́nio;
c) O conjunto imagem (Im(n)).
(b)
Exercı́cios de Aplicação
Figura 3.12: Fique atento ao sentido das setas!
tencente a C tal que z = x2 ;
• A cada x pertencente a A associa-se um único z per2
tence C tal que z = y 2 = (2x) = 4x2 .
Então, podemos afirmar que vai existir uma função h de A
em C definida por h(x) = 4x2 , que indicamos por gof ou
g(f (x)) (lê-se: g composta com f ).
1. (UFRGS) Se a função f : R∗ em R é tal que f (x) =
então f (2x) é:
a) 2
b) 2x
c) 2x+1
x
d) 4x+1
x
2x+2
x ,
É aquela função que é definida por mais de uma relação.
2. (Fuvest-SP) As funções f e g são dadas por f (x) =
3/5x − 1 e g(x) = 4/3x + a. Sabe-se que f (0) − g(0) = 1/3.
O valor de f (3) e g(1/5) é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Exemplo

 x + 1, se x > 2;
x2 ,
se -2 ≤ x ≤ 2;

2,
se x < −2
3. (FCC-SP) A função inversa da função
x+3
a) f −1 (x) = 2x−1
3x−1
−1
b) f (x) = x−2
c) f −1 (x) = 3x+1
2−x
d) f −1 (x) = 1−2x
3−x
Logo: h(x) = gof = g(f (x)) = {(1, 4), (2, 16)}.
Função Definida por Partes
Função Constante
Toda função f : R → R, definida por f (x) = C, com C
pertencendo ao conjunto dos reais, é denominada função
constante.
2x−1
x+3
é:
Exercı́cios Complementares
4. (UFSC) Dada a função f : R em R+ , definida por
f (x) = x2 + 1, determine a soma dos números associados às
afirmações verdadeiras.
01. A função é sobrejetora.
02. A imagem da função é R+ .
04. A função é bijetora.
96
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
√
08. Para x = 5, temos f (x) = 6.
16. O gráfico de uma função é uma reta.
32. A função é par.
5. (UA) Se f e g são funções tais que f (x) = 2x − 3 e
f (g(x)) = x, então é igual a:
a) (x + 3)/2
b) 3x + 2
c) 1/(2x − 3)
d) 2x + 3
6. (UDESC) Seja f (x) = c − ax2 . Se f (−1) = 1 e f (2) = 2,
então f (5) é igual a:
a) 3
b) 11/3
c) 7/3
d) 9
e) -3
Matemática A
• atribuı́mos valores a variável x;
• substituı́mos na função;
• encontramos o valor de f (x), ou seja, o valor de y.
Tendo encontrado o y, temos agora o par ordenado (x, y)
que devemos encontrar no plano cartesiano.
x
0
1
2
y =x−2
y = 0 − 2 = −2
y = 1 − 2 = −1
y =2−2=0
(x, y)
(0, −2)
(1, −1)
(2, 0)
Aula 02
Funções Polinomiais
Função Polinomial de 10 Grau
Uma função f com A,B ⊂ R é uma função polinomial do
10 grau se a cada x ∈ A se associa o elemento (ax + b) ∈ B,
com a pertencendo a R∗ e b pertencendo a R:
f : A → B definida por f (x) = ax + b ou y = ax + b
Na sentença matemática y = ax + b, as letras x e y representam as variáveis, enquanto a e b são denominadas
coeficientes.
Na função real f (x) = ax + b, a é o coeficiente angular e
b é o coeficiente linear. Pelo coeficiente angular, sabemos
se a função é crescente (a > 0) ou descrescente (a < 0). O
coeficiente linear indica a ordenada do ponto em que a reta
intercepta o eixo 0y.
Zero da Função de 1o Grau
Denomina-se zero ou raiz da função f (x) = ax + b o valor
x que anula a função, isto é, torna f (x) = 0. O zero da
função de primeiro grau é único e corresponde a abscissa do
ponto em que a reta corta o eixo x. Observando o gráfico,
x
0
1
2
y =x−2
y = 0 − 2 = −2
y = 1 − 2 = −1
y =2−2=0
(x, y)
(0, −2)
(1, −1)
(2, 0)
verificamos que: f (x) = 0 para x = 2.
Estudo do Sinal
Gráfico
Para construirmos gráficos de funções devemos seguir os seguintes passos:
Para fazermos o estudo dos sinais vamos considerar um
exemplo:
Dada a função f (x) = 2x − 4, determinar os valores reais
de x para os quais:
Matemática A – Aula 02
97
a) f (x) = 0
b) f (x) > 0
c) f (x) < 0
Solução: Podemos verificar que a função é crescente pois
a = 2 > 0. O zero da função é: 2x − 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒
x=2
A reta corta o eixo x no ponto de abscissa x = 2. Observando essas considerações, vamos fazer um esboço do gráfico
da função:
Zero da Função de 2◦ Grau
Denominam-se zeros ou raı́zes de uma função quadrática
os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam
f (x) = 0.
Figura 3.1: À direita do eixo y os pontos da reta têm ordenada positiva e à esquerda os pontos da reta têm ordenada
negativa.
Resposta:
f (x) = 0 x = 2
f (x) > 0 para {x ∈ R/x > 2}
f (x) < 0 para {x ∈ R/x < 2}
Função Polinomial de 2o grau
A função dada f (x) : R → R dada por f (x) = ax2 + bx + c,
com a,b,c reais e a 6= 0, denomina-se função do 2o grau ou
função quadrática.
Exemplos:
f (x) = x2 − 4x − 3 (a = 1, b = −4, c = −3)
2
f (x) = −2x + 5x + 1(a = −2, b = 5, c = 1)
Para determinar os zeros de f (x) = ax2 + bx + c, basta fazer
f (x) = 0:
√
∆
ax2 + bx + c = 0 ⇒ x = −b∓
√
√2a
∆
∆
⇒ x = −b+
⇒ x = −b−
2a
2a
2
em que ∆ = b − 4ac.
Assim, x1 e x2 são as abscissas nas quais a parábola corta o
eixo x, ou seja, (x1 , 0) e (x2 , 0) são os pontos de intersecção
da parábola com o eixo x.
• Quando ∆ > 0, x1 6= x2 e a parábola intercepta o eixo
x em dois pontos diferentes.
• ∆ = 0, x1 = x2 e a parábola intercepta o eixo x em um
único ponto.
• ∆ > 0, não existem raı́zes reais e a parábola não intercepta o eixo x.
Gráfico Parabólico
No gráfico abaixo, da função f (x) = x2 −8x+12, marcamos
um ponto v. Esse ponto tem o nome de vértice da parábola.
As coordenadas de V (xv , yv ) são dadas por:
O gráfico da função de 1o grau é uma curva aberta chamada parábola. Se o gráfico da função tem a parábola com
concavidade voltada para cima, a > 0.
Se o gráfico da função tem a parábola com concavidade
voltada para baixo, a < 0.
b
xv = − 2a
∆
yv = − 4a
b
∆
v − ,−
2a 4a
98
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
xv = − −8
2
yv = − 16
4
v (4, −4)
x < x1 ou x > x2 ⇒ f (x) > 0
x1 < x < x2 ⇒ f (x) < 0
Se traçarmos uma reta paralela ao eixo y que passe pelo
vértice, estaremos determinando o eixo de simetria da
parábola.
Intersecção com o Eixo y
Para determinar as coordenadas desse ponto, basta substituir x por 0 (zero) na função:
2
y = ax2 + bx + c ⇒ y = a(0) + b(0) + c ⇒ y = c
Exemplo
Para f (x) = x2 − 8x + 12 as coordenadas para o ponto de
intersecção com o eixo y:
2
y = x2 − 8x + 12 ⇒ y = (0) − 8(0) + 12 ⇒ y = 12
Então, encontramos (0, 12).
x = x1 ou x = x2 ⇒ f (x) = 0
x < x1 ou x > x2 ⇒ f (x) < 0
x1 < x < x2 ⇒ f (x) > 0
• ∆ > 0, f (x) possui raiz dupla:
Mı́nimo ou Máximo da Parábola
Quando y assume o menor valor da função, ele é a ordenada
do ponto mı́nimo da função (yv ):
x = x1 = x2 ⇒ f (x) = 0
x 6= x1 = x2 ⇒ f (x) > 0
Quando y assume o maior valor da função, ele é a ordenada
do ponto máximo da função (yv ):
x = x1 = x2 ⇒ f (x) = 0
x 6= x1 = x2 ⇒ f (x) < 0
• ∆ > 0, f (x) possui duas raı́zes reais:
Estudo do Sinal
Para estudar o sinal da função f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0,
temos que considerar o valor do discriminante (∆) e o sinal
do coeficiente a. Assim:
• ∆ > 0, f (x) possui duas raı́zes reais e diferentes: x =
x1 ou x = x2 ⇒ f (x) = 0
Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f (x) > 0
Matemática A – Aula 3
99
c) -9
d) -7
e) 0
Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f (x) < 0
Pense um Pouco!
• O gráfico de um polinômio de primeiro grau é sempre
uma reta?
• O gráfico de um polinômio de segundo grau é sempre
uma parábola?
• Quantos zeros pode ter, no máximo, uma função de
primeiro grau? E a de segundo grau?
• À esquerda e à direita de um zero, a função de segundo
grau tem sempre sinais contrários?
Exercı́cios de Aplicação
1. (FGV-SP) O gráfico da função f (x) = mx+n passa pelos
pontos A(1, −2) e B(4, 2). Podemos então afirmar que:
a) m + n = −2
b) m − n = −2
c) m = 3/4
d) n = 5/2
e) m.n = −1
2. (PUC-SP) Para que a função do 1o grau dada por f (x) =
(2 − 3k)x + 2 seja crescente, devemos ter:
a) k = 2/3
b) k < 2/3
c) k > 2/3
d) k < −2/3
e) k > −2/3
3. (UFC-CE) Considere a função f : R → R, definida por
f (x) = x2 − 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:
a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4).
b) f possui dois zeros reais distintos.
c) f atinge um máximo para x = 1.
d) O gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.
5. (Mack-SP) Um valor k para que uma das raı́zes da
equação x2 − 4kx + 6k = 0 seja o triplo da outra é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
6. (Santa Casa-SP) As dimensões de um retângulo são numericamente iguais às coordenadas do vértice da parábola
de equação y = −128x2 + 32x + 6. A área do retângulo é:
a) 1
b) 8
c) 64
d) 128
e) 256
7. O lucro mensal de uma empresa é dado por L = −x2 +
30x − 5, onde x é quantidade mensal vendida.
a) Qual é o lucro mensal máximo possı́vel?
b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal
seja no mı́nimo igual a 195?
Matemática A
Aula 3
Funções Especiais
Função Modular
O módulo, ou valor absoluto, de um número real x, indicado
por |x|, é definido assim:
x, se, x ≥ 0
|x| =
−x, se, x < 0
Pela definição, podemos concluir que o módulo de um
número real é sempre maior ou igual a zero.
Cuidado!
√
x2 = ±|x|
Exemplos
| − 10| = 10
Exercı́cios Complementares
|1| = 1
|1/3| = 1/3
4. (UFPA) A função y = ax + b passa pelo ponto (1, 2) e
intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a − 2b
é igual a:
a) -12
b) -10
|0| = 0
Definimos então a unção modular se a cada x real se associa
|x|, ou seja:
f (x) = |x|
100
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
.
Observa-se que o domı́nio da função módulo é R e a imagem
R+ .
y
x
2
Representação Gráfica
Pela definição de |x|, temos de considerar duas sentenças
para f (x), de RemR:
f (x) =
x, se, x ≥ 0
−x, se, x < 0
Construindo os dois gráficos num único plano cartesiano,
obtemos o gráfico de f (x) = |x|:
fg
(0,1)
x
(1/2)
o
x
Figura 3.2: Funções exponenciais: f (x) = 2x e g(x) =
(1/2)x .
Figura 3.1: Função módulo: f (x) = |x|.
Função Exponencial
A função f : R → R dada por f (x) = ax (com a 6= 1 e a > 0)
é denominada função exponencial de base a e definida para
todo x real. Assim, são funções exponenciais:
f (x) = 2
Figura 3.3: Exponencial crescente ax com a > 1.
x
g(x) = (1/3)x
Gráfico da Função Exponencial
Vamos representar no plano cartesiano o gráficos das
funções f (x) = 2x e f (x) = (1/2)x .
Pense um Pouco!
• O número de bactérias em um meio de cultura cresce
aproximadamente segundo a função , sendo t o número
de dias após o inı́cio do experimento. Calcule:
a)o número n de bactérias no inı́cio do experimento;
b)em quantos dias o número inicial de bactérias irá triplicar.
Caracterı́sticas
• D(ax ) = R
• Im(ax ) = R+
• ax é uma função crescente se a > 1
• ax é uma função decrescente se 0 < a < 1
• ax ) passa pelo ponto (0, 1) pois a0 = 1
Exercı́cios de Aplicação
1. (ITA-SP) Considere a equação |x| = x − 6. Com respeito
à solução real dessa equação, podemos afirmar que:
a) a solução pertence ao intervalo [1,2]
b) a solução pertence ao intervalo [-2,-1]
c) a solução pertence ao intervalo ]-1,1[
d) a solução pertence ao intervalo [3,4]
e) nehuma resposta é correta
Matemática A – Aula 4
101
Matemática A
Aula 4
Funções Especiais (II)
Função Logarı́tmica
O logaritmo de um número real e positivo a, na base b,
positiva e diferente de 1, é o número x ao qual se deve
elevar a base b para se obter a
logb a = x ⇐⇒ bx = a
Observação
x
Figura 3.4: Exponencial decrescente a com a < 1.
2. (PUC-SP) A equação |2x − 1| = 5 admite:
a) duas raı́zes positivas
b) das raı́zes negativas
c) ua raiz positiva e outra negativa
d) smente uma raiz real e positiva
e) smente uma raiz real e negativa
2x
x
3. (PUC-PR) A equação 16 · 5 = 25 · 20 , onde x pertence
aos reais, admite:
a) os números -2 e 2 como soluções
b) apenas o número 2 como solução
c) apenas o número 21 como solução
d) os números 2 e 12 como soluções
e) apenas o número como solução
Aos logaritmos que se indicam com log a chamamos de sistema de logaritmos de base a. Existe uma infinidade de
sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o mais
importante é o sistema de logaritmos decimais, ou de base
10. Indica-se: log10 ou log. Quando o sistema é de base 10,
é comum omitir-se a base na sua representação.
Exemplo
Considerando a definição dada, calcular o valor dos logaritmos:
log6 36 = 2
log2 16 = 4
log3 0 = 1
log1 01000 = 3
Exercı́cios Complementares
4. (UEL-PR) Quaisquer que sejam os números reais x e y,
a) se |x| < |y|, então x < y
b) |xy| = |x||y|
c) |x + y| = |x| + |y|
d) | − |x|| = −x
e) se x < 0, então |x| < x
5. (PUC-SP) Resolvendo a equação 4+4 = 5·2x , obtemos:
a) x1 = 0 e x2 = 1
b) x1 = 1 e x2 = 4
c) x1 = 0 e x2 = 2
d) x1 = −1 e x2 = −2
e) x1 = −4 e x2 = −5
6. (PUC-MG) Se 2x = 4y e 25x = 25 · 5y , o valor de x + y
é:
a) 4/3
b) 2/3
c) 1/3
d) 1
e) 2
f) -3
Propriedades dos Logaritmos
• O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores tomados na mesma base, isto é:
logb (x · y) = logb x + logb y
• O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do
numerador menos o logaritmo do denominador tomados na mesma base, isto é:
logb (x/y) = logb x − logb y
• O logaritmo de uma potência é igual ao produto do
expoente pelo logaritmo da base da potência, isto é:
logb xn = n logb x
Caso particular
logb
√
n
x = logb x( 1/n) =
1
logb x
n
102
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Mudança de Base
Suponha que apareçam logaritmos de bases diferentes e que
precisamos reduzir os logaritmos de bases diferentes para
uma base conveniente. Essa operação é chamada mudança
de base:
logb a =
logc a
logc b
onde c é a nova base.
Exemplo
log2 10 =
log1 010
1
=
log1 02
log1 02
Representação Gráfica
Figura 3.2: Função logarı́tmica com base 0 < a < 1
Ao estudar a função exponencial, vimos que ela é bijetora,
portanto admite função inversa, que é a logarı́tmica. Do
estudo das funções inversas, descobrimos que, no plano cartesiano, seus gráficos são simétricos em relação a bissetriz
do 1◦ e 3◦ quadrantes. Assim, para as funções exponencial
e logarı́tmica, de base 0 < a < 1 e a > 1, temos:
Os ponto A e B são chamados de extremidades dos arcos.
Medida de um arco
Grau é o arco umitário equivalente a 1/360 da circunferência
que o contém.
Figura 3.1: Função logarı́tmica com base a > 1
Observação: 1◦ = 600 e 10 = 6000
Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao comprimento
do raio da circunferência que o contém.
Funções Trigonométricas
Arco de Circunferência
Observemos que os pontos A e B dividem a circunferência
em duas partes. Cada uma dessas partes é denominado arco
de circunferência. Assim, temos:
arco AB= arco BA
Matemática A – Aula 4
103
Observação: O raio da circunferência quando utilizado como
instrumento de medida é denominado raio unitário, isto é,
se o comprimento de um arco é x raios, sua medida é x
radianos. Lembrando que qualquer circunferência tem 360 ◦ ,
temos que: 360◦ corresponde a 2π rad e 180◦ corresponde
a π rad.
Ângulo Plano
É a abertura de duas semi-retas que partem do mesmo
ponto.
Ângulo Central de uma Circunferência
É o ângulo que tem o vértice no centro dessa circunferência.
Função Cosseno
Chamamos de função cosseno a função f : R → R que, a
cada número real x, associa o cosseno desse número.
f (x) = cos x
Circunferência Trigonométrica
Uma circunferência orientada, de raio unitário (r = 1), sobre a qual um ponto A é a origem de medida de todos os
arcos nela contidos, é uma circunferência trigonométrica.
Vamos considerar uma circunferência cujo centre coincide
com a origem do sistema cartesiano e o ponto A(1, 0), que é
a origem de todos os arcos, como mostra a figura a seguir:
O domı́nio dessa função é R e a imagem é o intervalo real
[-1,1], visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é
unitário.
Sinal da Função Cosseno
O sinal da função cosseno é dada seguindo o esquema
abaixo:
Os eixos 0x e 0y do plano cartesiano dividem a circunferência em quatro arcos de mesma medida, numerados no
sentido anti-horário. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, também numeradas
no sentido anti-horário.
Função Tangente
Função Seno
Chamamos de função seno a função f : R → R que, a cada
número real x, associa o seno desse número:
f (x) = sen x
O domı́nio dessa função é R e a imagem é intervalo [-1,1],
visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é unitário.
Sinal da função seno
O sinal da função seno é dada seguindo o esquema abaixo:
A função f definida em R que a cada número x associa a
tangente desse número:
f (x) = tan x
O domı́nio da função tan x é R − {nπ/2}, com n =
0, ±1, ±2, . . ., e a imagem da função é R.
Sinal da Função Tangente
O sinal da função tangente é dada seguindo o esquema
abaixo:
104
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Lei dos Senos
É a relação válida para qualquer triângulo que se traduz
pela seguinte fórmula:
b
c
a
=
=
sen A
sen B
sen C
c
A
Cotangente
Por definição temos:
cotg x =
1
tan x
para todo x|tan x 6= 0
Secante
B
a
C
b
Lei dos Cossenos
É a relação válida para qualquer triângulo que se traduz
pela seguinte fórmula:
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A
Por definição temos:
sec x =
1
cos x
para todo x|cos x 6= 0
Com essa fórmula, dadas as medidas de dois lados e do
ângulo compreendido entre eles, calcula-se o terceiro lado de
qualquer triângulo. Como se pode ver, é uma generalização
do Teorema de Pitágoras.
Cossecante
Por definição temos:
Pense um Pouco!
cossec x =
1
sen x
para todo x|sen x 6= 0
• Dado o sen x como você acharia o cos x? E a tan x?
• A tan x pode ser maior do que 1?
Relações trigonométricas
tanx = f racsen xcos x
2
• Para que valores de x temos sen x > cos x?
Exercı́cios de Aplicação
2
sen x + cos x = 1
1 + tan2 x = sec2 x
1 + cotan2 x = cossec2
Transformações Trigonométricas
1. (FCC-Ba) Indica-se por log x o logaritmo do número x
na base 10. A equação xlog x = 10000 admite duas raı́zes:
a) iguais
b) opostas entre si
c) inteiras
d) cujo produto é 1
e) cuja soma é 101
Fórmulas da Adição
2. (MACK-SP) Se
Sejam a e b dois arcos positivos, do primeiro quadrante,
cuja soma ainda pertence ao primeiro quadrante. Valem
para esses arcos as seguintes identidades:
sen (a ± b) = sen a · cos b ± sen b · cos a
cos (a ± b) = cos a · cos b ± sen a · sen b
tan (a ± b) =
tan a ± tabb
1 ∓ tan a · tan b
1
1
1
+
+
=2
log2 x log3 x log6 x
então x2 é igual a:
a) 25
b) 36
c) 16
d) 81
e) 100
Matemática B – Aula 01
105
Exercı́cios Complementares
3. (FGV-SP) Determine a de forma
√ que se tenha simultaneamente sem x = 1/a e cos x = 1 + a/a
a) a = −1 ou a = −2
b) a = 1 e a = 2
c) a = −1 e a = 2
d) a = 2 e a = −2
e) a = 1 ou a = −1
4. (UEL-PR) Para todo número real, tal que que 0 < x <
1/2, a expressão
sec x + tg x
cos x + cot x
é equivalente a:
a) (sen x)(cotg x)
b) (sec x)(cotg x)
c) (cos x)(tg x)
d) (sec x)(tg x)
e) (sen x)(tg x)
linha e a coluna que o elemento ocupa. Uma matriz A do
tipo m × n é representada por:




A=


Aula 01
Se essa tabela é formada por m linhas e por n colunas,
dizemos que a matriz é do tipo m por n, e indicamos m × n.
No exemplo, a matriz A tem 3 linhas e 3 colunas; então, A
é do tipo 3 × 4: A(3 × 4).
De modo geral, apresentamos uma matriz cercando as linhas e as colunas por parênteses como na matriz A acima.
Podemos também utilizar colchetes ou duplas barras.
Exemplos
2 1/2 −3
é uma matriz (2 × 3)
5 0 −1
1 4 é uma matriz de ordem 2
5 −1 −1
am3
···
···
···
a1n
a2n
a3n
..
.
···
· · · amn







2 6
−5 0

a11



a12
a21



a22
=2
=6
= −5
=0
Tipos de matrizes
é chamada matriz.
am2
A=
Uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como
por exemplo:


3 1
4
2
 6 −5 0 −1 
7 11 −3 5
3. D =
am1
Na matriz:
Matrizes
2. C = a13
a23
a33
..
.
Exemplo
Matemática B
1. B =
a12
a22
a32
..
.
ou, abreviadamente, A = [aij ]m×n , em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento
ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a31 é o elemento
da 3a linha e da 1a coluna.
temos
a11
a21
a31
..
.
0 3 5
é uma matrix (1 × 4)
Notação Geral
Normalmente representamos as matrizes por letras
maiúsculas e seus elementos por letras minúsaculas, acompanhadas por dois ı́ndices que indicam, respectivamente, a
Algumas matrizes recebem nomes especiais, devido suas caracterı́sticas.
• Matriz linha : matriz do tipo 1 × n, ou seja,
com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =
5 8 −2 3 , do tipo 1 × 4.
• Matriz coluna : matriz do tipo m× 1, ou
seja, com
3
uma única coluna. Por exemplo,  −5 , do tipo
2
3 × 1.
• Matriz quadrada : matriz do tipo n × n, ou seja,
com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que
a matriz é de ordem n. Os elementos da forma aii
constituem a diagonal principal. Os elementos a ij em
que i + j = n + 1 constituem a diagonal secundária.
Por exemplo, a matriz
7 −9
C=
2 4
é do tipo 2 × 2, isto é, quadrada de ordem 2.
• Matriz nula: matriz em que todos os elementos são
nulos; é representada por 0m×n . Por exemplo,
02×3 =
.
0 0
0 0
0
0
106
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os
elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:


4 0 0
B3×3 =  0 5 0 
0 0 −3
.
• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os
elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In , sendo n a ordem
da matriz. Por exemplo:


1 0 0
I3 =  0 1 0 
0 0 1
Para uma matriz identidade
aij = 1 se i = j
aij = 0 se i =
6 j
• Matriz transposta: Dada uma matriz A(m × n), a
matriz que se obtém trocando ordenadamente as linhas
pelas colunas chama-se transposta de A, e é indicada
por At (ou por At ). Por exemplo


2 3
2 5 0
t


A = 5 −1 =⇒ A =
3 −1 6
0 6
• Matriz simétrica: matriz
que A = At . Por exemplo

3
A= 5
6
Exercı́cios de Aplicação
1. Escreva a matriz A(3 × 3) = [aij ], onde aij = i + 2j.
Determine, em seguida, At (a matriz transposta de A).
2.
Escreva a matriz A(2 × 2)
aij = 2i,
se i = j
aij = j − 10 se i 6= j
=
[aij ] onde
3. (ACAFE) Seja A = B, onde
2
x +1 0
10 y − 2
A=
eB=
4
4
logx 81 y 2
então os valores de x e y serão, respectivamente:
a) 2 e 3
b) ±2 e ±3
c) 3 e 2
d) −3 e −2
e) ±3 e ±2

5 6
2 4 
4 8
4. Sendo A = [aij ]2×3 tal que aij = i + j, determinde x, y
2 y−1 4
.
e z tais que A =
x
z
5
• Matriz oposta: matriz −A obtida a partir de A
trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por
exemplo, se
3 0
A=
4 −1
−A =
• No que a matriz antisimétrica difere da matriz
simétrica?
Exercı́cios Complementares
• Matriz anti-simétrica: Uma matriz quadrda A =
[aij ] é anti-simétrica se At = −A. Por exemplo


0 3 4
A =  −3 0 −6 
−4 6 0
• Qual a relação entre uma matriz A e sua oposta?
quadrada de ordem n tal
é simétrica pois temos aij = aji .
então
Pense um Pouco!
−3
−4
0
1
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m × n, são iguais
se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma
posição são iguais. Por exemplo, se
x y
8 −1
A=
eB=
z t
5 3
A = B se, e somente se, x = 8, y = −1, z = 5 e t = 3.
5. Dada a matriz A = (aij )3×3 tal que aij = i2 + 2j − 5,
calcule a12 + a31 .
6. Calcule a soma dos elementos da 2a coluna da matriz
B = (bij )2×3 , em que bij = 2i + j − 1
Matemática B
Aula 02
Operações com Matrizes
Adição
Dadas as matrizes A e B, ambas do mesmo tipo (m × n),
somar A com B é obter a matriz A + B, do tipo m×n, onde
cada elemento é a soma dos elementos de mesma posição de
A e B. Por
exemplo: 8 −7 3
2 3 5
eB=
Se A =
2 4 6
−1 4 −2
então
A+B =
2+8 3−7 5+3
−1 + 2 4 + 4 −2 + 6
Matemática B – Aula 02
A+B =
10 −4
1
8
107
8
4
Multiplicação de Matrizes
Propriedades da Adição
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m × n), temos as
seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz
nula m × n
d) elemento oposto: A + (−A) = (−A) + A = 0
Subtração
Para entendermos a subtração de matrizes devemos saber
o que é uma matriz oposta. A oposta de uma matriz M é
a matriz −M , cujos elementos são os números opostos de
mesma posição de M . Por exemplo:
M=
2 −3
−5 7
=⇒ −M =
−2 3
5 −7
Com a matriz oposta podemos definir a diferença de matrizes:
A − B = A + (−B)
ou seja, para subtrair matrizes, somamos a primeira com a
oposta da segunda. Assim para as matrizes A e B acima,
temos:
A−B =
Logo,
A−B =
2
−1
−6
−3
A − B = A + (−B)
−8 7 −3
3 5
+
−2 −4 −6
4 −2
10 2
0 −8
Multiplicação por um Número Real
Multiplicar um número k por uma matriz A é obter a matriz
kA, cujos elementos são os elementos de A multiplicados,
todospor k.



2
1
6
3
A =  4 −3  =⇒ 3A =  12 −9 
−1 5
−3 15
Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m × n e x e y números
reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: x · (yA) = (xy) · A
b) distributiva de um número real em relação à adição de
matrizes: x · (A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois
números reais: (x + y) · A = xA + yA
d) elemento neutro: xA = A, para x = 1, ou seja, 1 · A = A
Dadas as matrizes A = (aik )m × n e B = (bik )m × p, definese como produto de A por B a matriz C = (cij )m × p tal
que o elemento cij é a soma dos produtos da i-ésima linha
de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de
B.
C = A · B ⇒ cij =
Pp
k=1 (Aik
· Bik )
Observação
Somente existe o produto de uma matriz A por outra matriz
B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas
de B. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz
produto é dado pelo número de linhas de A e pelo número
de colunas de B. Pode existir o produto de A por B, mas
não existir o produto de B por A.
Propriedades
Verificadas as condições de exixtência para a multiplicação
de matrizes, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: (A · B) · C = A · (B · C)
b) distributiva em relação à adição: A·(B+C) = A·B+A·C
ou (A + B) · C = A · C + B · C
c) elemento neutro: A · In = In · A = A, sendo In a matriz
identidade de ordem n
Geralmente a propriedade comutativa não vale para a multiplicação de matrizes (A · B 6= B · A). Não vale também
o anulamento do produto, ou seja: sendo 0m×n uma matriz nula, A · B = 0m×n não implica, necessariamente, que
A = 0m×n ou B = 0m×n .
Inversão de Matrizes
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se exixtir uma
matriz A0 , de mesma ordem, tal que A · A0 = A0 · A = In ,
então A0 é matriz inversa de A. Representamos a matriz
inversa por A−1 .
Pense um Pouco!
• Sempre podemos multiplicar matrizes de mesma ordem
(iguais) ?
• (ACAFE) Sejam as matrizes A3×2 , B3×3 e C2×3 . A
alternativa em que a expressão é possı́vel de ser determinada é:
a) B 2 · (A + C)
b) (B · A) + C
c) (C · B) + A
d) (A · C) + B
e) A · (B + C)
108
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Exercı́cios de Aplicação
a) 94
b) 49
c) 4
d) 59
e) − 91
1 2
1. Sendo A =
, determine sua inversa, se exix−2 1
1/5 −2/5
tir. A =
2/5 1/5
0 1
, seja At a sua
2. (ACAFE) Dada a matriz A =
2 −2
matriz transposta. O produto A · At é a matriz:
0 1
a)
2 −2
0 2
b)
1 −2
1 −2
c)
0
−2 1 0
d)
2 1
1 −2
e
−2 8
3. (ACAFE)
Considre
asmatrizes
1
2
x
A=
,B=
e
−2 −1
y
6
. Sabendo que A · B = C, o valor de |x| + |y| é:
C=
9
a) 15
b) 1
c) 57
d) 9
e) 39
Exercı́cios Complementares


1 0
4. Dadas as matrizes A =  3 2  e
5 4
2 −1 0
, calcule X = 2A − 3B t .
B=
1 3 4
5. A matriz A = (aij )3×3 é definida, de tal forma que:
aij =
(
se i>j
se i=j
i + j se i < j
i−j
i∗j
8. (UECE)
Oproduto da inversa
da matriz
1 0
1 1
é igual a:
pela matriz I =
A=
0 1
1 2 −2 1
a)
−1 1
2 −1
b)
1 −1
−2 1
c)
1 −1
2 −1
d)
−1 1
Matemática B
Determinantes
Determinante é um número que se associa a uma matriz
quadrada. De modo geral, um determinante é indicado
escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antecedendo a matriz pelo sı́mbolo det.
a b
Assim, se A =
, o determinante de A é indicado
c d
por:
a b a b
=
detA = det
c d c d
O cálculo de um determinante é efetuado através de regras
especı́ficas que estudaremos mais adiante. É importante
ressaltarmos alguns pontos:
1. Somente às matrizes quadradas é que associamos determinantes.
2. O determinante não representa o valor de uma matriz.
Lembre-se, matriz é uma tabela, e não há significado
falar em valor de uma tabela.
Determinante de 1a Ordem
Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M = [a11 ], o seu
determinante é o número real a11 :
Determinar a matriz inversa de A.
det M = |a11 | = a11
6. Dada a matriz

cos θ
M =  sen θ
0
t
Calcule M · M .
−sen θ
cos θ
0
Aula 03

0
0 
1
7. (ITA-SP)
Considere P a matriz inversa da matriz M =
1/3 0
. A soma dos elementos da diagonal principal
1/7 1
da matriz P é:
Exemplo
M = [5] ⇒ det M = 5 ou |5| = 5
Determinante de 2a Ordem
a11 a12
Dada a matriz M =
, de ordem 2, por definição
a21 a22
o determinante associado a M , determinante de 2 a ordem,
Matemática B – Aula 03
é dado por:
a11
a21
a12
a22
109
−
= a11 a22 − a12 a21
Menor Complementar
Determinante de 3a Ordem
Para o cálculo de determinantes de ordem 3 podemos utilizar uma regra prática, conhecida como Regra de Sarrus,
que só se aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, explicaremos detalhadamente como utilizar a Regra de Sarrus
para calcular o determinante
a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 a31 a32 a33 1o passo:
terceira:
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento
aij de uma matriz M , quadrada de ordem n > 1, o determinante M C ij , de ordem n − 1, associado à matriz obtida de
M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por
aij . Por exemplo, dada a matriz
M=
a21 a22 a23 a21 a22
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22
a23 a21 a22
a31 a32
a33 a31 a32
o
3 passo: Encontramos a soma do produto dos elementos
da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela
multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:
a11
a12 a13
a11
a12
a21
a22 a23
a21
a22
a31
a32 a33
a31
a32
multiplicar e somar
Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, podemos escrever o determinante como:
=
(a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 )
a12
a22
a11
a21
a12 ⇒ M C 11 = |a22 | = a22
a22 a11
a21
a12 ⇒ M C 12 = |a21 | = a21
a22 Para um determinante de ordem 3, o processo de obtenção
do menor complementar é o mesmo utilizado anteriormente,
por exemplo, sendo

a11
M =  a21
a31
a12
a22
a32

a13
a23 
a33
de ordem 3, temos:
a
M C 11 = 22
a32
Cofator
multiplicar e somar
a11
a21
De modo análogo, para obtermos o menor complementar
relativo ao elemento a12 , eliminamos a linha 1 e a coluna 2:
a31 a32 a33 a31 a32
2o passo: Devemos encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos
pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:
de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo
ao elemento a11 (M C 11 ), eliminamos a linha 1 e a coluna 2:
Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da
a11 a12 a13 a11 a12
D
(a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 )
a23 = a22 a33 − a23 a32
a33 Chama-se de cofator de um elemento aij de uma matriz
quadrada o número Aij tal que
Aij = (−1)
i+j
· M Cij
Exemplo

a11
Considerando M =  a21
a31
a12
a22
a32

a13
a23 
a33
calcularemos o cofator A23 . Temos que i = 2 e j = 3, logo:
2+3
A23 = (−1)
· M C23 . Devemos calcular M C23 .
M C 23
a
= 11
a31
a12 = a11 a32 − a12 a31
a32 Assim A23 = (−1) · (a11 a32 − a12 a31 )
110
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Teorema de Laplace
igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplica-
O determinante de uma matriz quadrada M
=
[aij ]m×n (m ≥ 2) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da
matriz M pelos respectivos cofatores.
dos por (−1) 2 .
P11 ) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,
det(AB) = det A · det B. Como A · A−1 = I, det A−1 =
1/det A.
P12 ) Se k ∈ R, então det (k · A) = k n · det A.
n(n−1)
Desta forma, fixando j ∈ N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos:
det M =
Pm
i=1
aij Aij
Pm
em que i=1 é o somatório de todos os termos de ı́ndice i,
variando de 1 até m, m ∈ N.
Exemplo: Calcule o determinante a seguir utilizando o
Teorema de Laplace:
2 3 −4 D = −2 1 2 0 5 6 Aplicando o Teorema
1, te
de Laplace na coluna
2+1 3 −4 1+1 1 2 mos: D = 2(−1)
5 6 +
5 6 + (−2)(−1)
3+1 3 −4 0(−1)
1 2 D = 2(+1)(−4) + (−2)(−1)38 + 0 = −8 + 76 = 68
Observação
Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus,
obteremos o mesmo número real.
Propriedades dos determinantes
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
P2 ) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
P3 ) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais,
então seu determinante é nulo.
P4 ) Se os elementos de uma matriz são combinações lineares
dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu
determinante é nulo.
P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz
não se altera quando somamos aos elementos de uma fila,
uma combinação linear dos elementos correspondentes de
filas paralelas.
P6 ) O determinante de uma matriz e o de sua transposta
são iguais.
P7 ) Multiplicando-se por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz
fica multiplicado por esse número.
P8 ) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o
determinante de uma matriz muda de sinal.
P9 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo
da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual
ao produto dos elementos dessa diagonal.
P10 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo
da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é
Pense um Pouco!
• Podemos associar um determinante apenas a matrizes
quadradas?
Exercı́cios de Aplicação
log2 8
1. (ACAFE) O valor do determinante −1/2
4
a) 0
b) 4
c) 7
d) 17
2
e) 53
2
log10 é:
2
31 2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem 2, A =
(aij ) com aij = i2 − j 2 e B = (bij ) com bij = aij − 3 se
i > j, e bij = aij + 3 se i ≤ j.
Determine:
a) a matriz A
b) a matriz B
c) a matriz A · B
d) o determinante da matriz A · B
3. (UDESC) A partir da matriz A = [aij ]2×2 , onde aij =
n
−1 se i≥j
i+j se i<j , calcular o determinante do produto da matriz
A pela sua transposta, ou seja: det(A × At ), onde At é a
matriz transposta de A.
Exercı́cios Complementares
4. (UNIFENAS) Dada a matriz A =
minate de sua matriz inversa A
a) −2
b) −4
c) 12
d) 4
e) − 41
−1
é:
1
2
0
−4
o deter-
5. (MACK) A e B são matrizes quadrdas de ordem 3 e
B = k · A. Sabe-se que det A = 1, 5 e det B = 96. Então:
a) k = 64
b) k = 96
c) k = 14
d) k = 23
e) k = 4
Matemática C – Aula 01
111
6.
(PUC) O cofator do elemento a23 da matriz A =
2 1 3 1 2 2 é:
0 1 2 a) 2
b) 1
c) −1
d) −2
e) 3
7. (UDESC) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3,
apresentada abaixo, cujo determinante é igual a 0, 75.


sen x
0
1
−1
2 
A= 0
2
sen x 0
Considerando π/2 < x < π, determinar o valor de tg x.
Matemática C
Aula 01
para a lógica, a Teoria dos Números e outros ramos da Matemática. Em função disso, Cantor é conhecido como o criador da Teoria dos Conjuntos. Na formulação dessa teoria,
Cantor utilizou também formas de representação em diagramas que já tinham sido utilizadas no estudo da Lógica por
Leonard Euler (1707−1783) e por John Venn (1834−1923).
Conjunto
A noção de conjunto é aceita sem definição, como conceito
primitivo, formada a partir da idéia de coleção: Assim, podemos nos referir a conjunto de animais, pessoas, objetos,
números, letras, etc . . . Existem certos conjuntos que têm
um nome especial chamado coletivo. Exemplo: O coletivo
de cavalos é manada, o coletivo de estrelas é constelação,
o coletivo de lobos é alcatéia. Cada um dos integrantes de
um conjunto é chamado de elemento do conjunto. Em geral, indicamos o nome de um conjunto por letras maiúsculas
(A,B,C,. . . ,Z) e o de seus elementos, que se supõe distintos
entre si, dois a dois, por letras minúsculas (a,b,c,. . . ,z).
À noção de constituir associamos, em matemática, o conceito também primitivo de pertencer.
Teoria dos Conjuntos
Dessa forma, tomando o conjunto V das vogais, dizemos
que o elemento a pertence ao conjunto V . Simbolizamos
essa relação por:
História
As noções que deram origem à Teoria dos conjuntos, estão
diretamente ligadas aos estudos dos matemáticos ingleses Augustus De Morgan (1806 − 1871) e George Boole
(1815 − 1864), considerados fundadores da lógica moderna.
Boole publicou em 1854 uma obra onde eram apresentados
os fundamentos de uma álgebra especı́fica para o estudo
da lógica. Em seus trabalhos, ele utilizou freqüentemente
relações entre “conjuntos”de objetos. Entretanto, não chegou a desenvolver o conceito de conjunto de modo adequado.
a∈V
Para indicar que a consoante m não pertence a V , escrevemos:
m∈
/V
Os sı́mbolos ∈ (pertence) e ∈
/ (não pertence), são sempre
utilizados no sentido do elemento para o conjunto.
Representação de Conjuntos
Um conjunto pode ser representado de várias formas distintas: por enumeração, por uma propriedade caracterı́stica
ou por diagramas. Enumeração: Neste caso, escrevemos
seus elementos entre chaves, separados por vı́rgulas e sem
repetição.
Exemplo: O conjunto P dos números inteiros e positivos,
compreendidos entre 3 e 8.
P = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
(a)
(b)
Figura 3.1: George Boole (1815–1864) (a) e George Cantor
(1845-1918) (b)
Somente em 1890, o matemático russo George Cantor
(1845 − 1918), que desenvolvia estudos sobre a Teoria dos
Números, publicou na Alemanha uma série de proposições e
definições que vieram a se constituir na linguagem simbólica
Propriedade Caracterı́stica
Para representar um conjunto através de uma propriedade
caracterı́stica α , escrevemos:
A = {a/a tem a propriedade α}.
Exemplo
Para o conjunto do exemplo anterior, temos:
P = {x/x é Natural maior do que 7}.
112
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Diagramas de Venn
Exemplo
Na representação por diagrama, traçamos uma linha fechada em torno dos seus elementos associados a pontos.
Seja A = {5, 7, 9} e B = {5, 7, 9}. Veja que: A = B, pois
todo elemento que pertence a A é também elemento de B,
e todo elemento de B é elemento de A.
Exemplo
O diagrama abaixo representa o conjunto A das vogais.
A
Subconjunto
Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outro
conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B. Assim:
A ⊂ B, que se lê: A está contido em B. Simbolicamente
escrevemos:
a
e
A ⊂ B ⇔ (∀ x) (x ∈ A e x ∈ B)
i
Exemplos
o
u
U = alfabeto
O conjunto A = {2, 3, 4, 5} é um subconjunto de B =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}, pois cada um dos elementos de A se acha
em B (note que a recı́proca não é verdadeira). Quando
dois conjuntos C e D têm todos os elementos em comum
(C = D), implica em:
C⊂DeD⊂C
Figura 3.2: Diagrama de Venn para o conjunto A das vogais.
Em geral, o diagrama de Venn representa também o conjunto universo U , que contém o conjunto representado. Para
isso, desenha-se em torno do diagrama um retângulo representando o conjunto U .
Classificação dos Conjuntos
Podemos classificar um conjunto de acordo com o seu
número de elementos n(D). Portanto, um conjunto D é
chamado conjunto vazio se não possui elementos. Isto é:
O conjunto C = {3, 6, 9} está contido em D = {9, 3, 6} e
vice-versa. Caso exista pelo menos um elemento de A que
não pertença a B, dizemos que A não está contido em B,
ou que A não é subconjunto de B.
(∃x/x ∈ A e x 6∈ B) ⇒ A 6⊂ B
Conjunto das Partes
Em geral, para qualquer conjunto A, pode-se construir um
novo conjunto, cujos elementos sejam todos os subconjuntos possı́veis de A. A esse novo conjunto chamamos de:
Conjunto das partes de A, que é representado por P (A).
P (A) = {x/x ⊂ A}
n(D) = 0 ⇔ vazio
Representamos o conjunto vazio por:
D = { } ou D = Ø
Por outro lado, um conjunto D é dito conjunto unitário,
quando tiver apenas um elemento, isto é: n(D) = 1.
n(D) = 1 ⇔ D é unitário
Ainda: Quando não se pode contar o número de elementos, temos um conjunto infinito, caso contrário, temos um
conjunto finito.
Exemplo
Sendo o conjunto A = {2, 3, 5},
podemos escrever seus subconjuntos como segue:
Com zero elemento - ∅
Com um elemento - {2},{3},{5}
Com dois elementos - {2, 3},{2, 5},{3, 5}
Com três elementos - {2, 3, 5}
Assim, temos:
P (A) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}
Pode-se demonstrar que, se n(A) = k então, o número de
elementos que formam o conjunto das partes de A n(P (A)),
é dado por 2k .
Igualdade
Um conjunto A será igual a um conjunto B, se ambos
possuı́rem os mesmos elementos, isto é, se cada elemento
que pertence a A pertencer também a B e vice-versa.
A = B ⇔ ∀ x, x ∈ A e x ∈ B
Operações com Conjuntos
União
A união entre dois conjuntos A e B consiste num outro
conjunto C de todos os elementos que pertencem a A ou a
Matemática C – Aula 01
113
B ou a ambos. Simbolicamente, temos: C = A ∪ B, lê-se:
C é igual a A união B. De uma maneira mais concisa a
definição dada acima pode ser escrita simbolicamente por:
L
c s l
r a o
u
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo
B
A
4
2
3
i
V
U={a,b,c,...,x,y,z}
Fazendo a união dos conjuntos A = {2, 4, 7} e B = {1, 3, 4},
temos: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 7} Também podemos representar
a união usando diagramas:
1
e
Figura 3.4: Intersecção de conjuntos.
• A ∩ B = A.
• A ∩ B = B ∩ A.
• (A ∩ B) ⊂ A = (A ∩ B) ⊂ B.
7
U=N
Figura 3.3: União de conjuntos.
Obs.: Não é necessário que se repitam os elementos comuns
aos dois conjuntos. Assim, no exemplo anterior o 4 é comum
tanto a A como a B, no conjunto união ele deve ser escrito
uma só vez.
Propriedades da União
• A ∪ A = A, pois: A ∪ A = {x/x ∈ A ou x ∈ A}.
• ∅ ∩ A = ∅.
Complemento e Universo
Em muitos casos, faz-se necessário que consideremos um
conjunto mais amplo que os demais. A esse conjunto (que
contém todos os outros como subconjuntos) é denominado
de conjunto Universo. Para representa-lo, usamos a letra maiúscula U . Obs.: A noção de conjunto Universo
é relativa, dependendo das circunstâncias e amplitude do
contexto que desejamos empregá-la.
Exemplos
• para os conjuntos de números inteiros, Z o conjunto
universo;
• A ∪ B = B ∪ A, ou seja a união é comutativa, visto que:
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B} = {x/x ∈ Bou x ∈ A} =
B ∪ A.
• para os conjuntos de letras, o alfabeto é o conjunto
universo;
• A ⊂ (A ∪ B) = B ⊂ (A ∪ B), isto é: Tanto A como B
são subconjuntos do conjunto A ∪ B.
• para os resultados da loteria, N é o conjunto universo;
• ∅ ∪ A = A , visto que: ∅ ∪ A = {x/x ∈ ∅ ou x ∈ A},
como se sabe o conjunto vazio não tem elementos, logo;
resta-nos que x ∈ A, o que implica que ∅ ∪ A = A.
Intersecção
Chamamos de intersecção de um conjunto A com outro conjunto B, ao conjunto constituı́do pelos elementos x que pertencem tanto a A como a B, simultaneamente. A esse conjunto indicamos:A ∩ B, lê-se: “A intersecção B”, ou por
simplicidade “A inter B”. Esquematicamente temos:
A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}
Exemplo
Sejam L = {c, a, r, l, o, s} e V = {a, e, i, o, u}, temos: L ∩
V = {a, o}. Em diagramas:
Propriedades da Intersecção
• para o conjunto das raı́zes de 4, {+2, −2} é o conjunto
universo.
Na maioria dos assuntos estudados em matemática, o conjunto dos números reais é o conjunto universo.
Diferença
Denominamos diferença A − B (lê-se: A menos B), o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e não a B,
ou seja:
A − B = {x/x ∈ A e x 6∈ B}
Exemplo
Considerando os conjuntos: L = {c, a, r, l, o, s} e V =
{a, e, i, o, u}, temos que a diferença A − B = {c, r, l, s}.
Em diagramas:
Propriedades
114
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Exercı́cios de Aplicação
L
c s l
r a o
u
e
i
V
U={a,b,c,...,x,y,z}
Figura 3.5: Diferença de conjuntos.
• A−A=∅
• A−∅=A
• ∅−A=∅
• A⊂B ⇒A−B =∅
Complementar de um Conjunto
Sejam dois conjuntos A e B, tais que: B ⊂ A. Chamamos
à diferença A − B de: Complementar de B em relação a A.
1. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas
matérias dadas são português e matemática, 240 alunos
estudam português e 180 alunos estudam matemática. O
número de alunos que estudam português e matemática é:
a) 120
b) 60
c) 90
d) 120
e) 180
2. Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o
número mı́nimo de elementos de A é?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 9
e) 10
3. (ACAFE-SC) Dados os conjuntos A = {x ∈ R| − 3 <
x < 5} e B = {x ∈ Z| − 1 < x < 7}. Quantos elementos
possui A ∩ B?
a) infinitos
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5
Exemplo
Temos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6}. Note
que B ⊂ A; Assim, temos que A − B será:
A
3
1
4
B
5
6
2
U=N
Figura 3.6: Complementar de B em relação à A.
Pense um Pouco!
• Qual o conjunto universo para os resultados de um
lançmentos de um dado?
• Qual o conjunto união das letras do seu nome?
• Qual o conjunto de dinossauros vivos?
• {∅} é o mesmo que {}? Explique.
Exercı́cios Complementares
4. (PUC-CAMPINAS) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à
noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de
manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três perı́odos. Assim:
a) 150 operários trabalham em 2 perı́odos;
b) há 500 operários na indústria;
c) 300 operários não trabalham à tarde;
d) há 30 operários que trabalham só de manhã;
e) N.d.a.
5. (PUC-SP) - Se A = ∅ e B = {∅}, então:
a) A ∈ B
b) A ∪ B = ∅
c) A = B
d) A ∩ B = B
e) B ⊂ A
6. Em uma pesquisa sobre o consumo de dois produtos A e
B, foram entrevistas “n”pessoas, das quais descobriu-se que:
40 consomem o produto A, 27 consomem B, 15 consomem
A e B e 20 pessoas não consomem o produto A. Qual o
número de pessoas “n”que foram entrevistadas?
a) 85
b) 75
c) 60
d) 90
e) n.d.a
Matemática C – Aula 02
115
7. (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois
jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal
A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de
pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem
ambos é:
a) 48%
b) 60%
c) 40%
d) 140%
e) 80%
Matemática C
Aula 02
Conjuntos Numéricos
Figura 3.1: Leonardo Pisano Fibonacci (1175-1240).
O Nascimento do Número
A noção de número tem provavelmente a idade do homem
e certamente sempre esteve ligada à sua necessidade de registrar e interpretar os fenômenos que o cercavam.
Os primeiros sı́mbolos numéricos conhecidos surgiram com
o intuito de representar a variação numérica em conjuntos
com poucos elementos. Com a ampliação e a diversificação
de suas atividades, o homem sentiu a necessidade de criar
novos sı́mbolos numéricos e processos de contagem e desenvolver sistemas de numeração.
A maioria dos sistemas de numeração tinha como base os
números 5 ou 10, numa clara referencia ao numero de dedos
que temos nas mãos. Esses sistemas ainda não possuı́am a
notação posicional nem o número zero.
mado “número racional”.
Q = {x|x =
Exemplos
1
3
∈ Q;
7
5
∈ Q;
Exemplos
Também se atribuiu aos hindus o atual sistema de numeração posicional decimal, que foi introduzido e difundido na Europa pelos árabes. Por essa razão, esse sistema é
costumeiramente chamado de sistema de numeração indoarábico.
π
√
2
√
3
e
Deve-se a Leonardo de Pisa (1175-1240), também chamado Fibonacci, a difusão do sistema indo-arábico na Europa, através de sua obra Lı́ber Abacci, de 1202.
Observação
1. Conjunto dos números naturais (N):
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}
2. Conjunto dos números inteiros (Z):
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .}
Z∗+ = {1, 2, 3, 4, . . .}
3. Conjunto dos números racionais (Q): Todo
número que puder ser representado na forma de uma
fração com numerador e denominador inteiros é cha-
3
1
∈ Q.
4. Conjunto dos números irracionais (Q0 ): Todo
número que não pode ser representado na forma de
uma fração, com numerador e denominador inteiros é
chamado “número irracional”.
Os primeiros registros da utilização da notação posicional
ocorreram na Babilônia, por volta de 2500 a.C. Já o aparecimento do zero data do século IX e é atribuı́do aos hindus.
Conjuntos Numéricos
a
, a ∈ Z, b ∈ Z∗ }
b
=
=
=
=
3, 1415926535 . . .
1, 414213562 . . .
1, 7320508 . . .
2, 718281827 . . .
Note que as dı́zimas periódicas são números racionais,
enquanto as dı́zimas não periódicas são números irracionais.
5. Conjunto dos números reais (R): É o conjunto
obtido com a união do conjunto dos números racionais
com o dos números irracionais.
Representando em diagramas temos:
Operações com Números Inteiros
I) Adição e Subtração
I.a) Sinais iguais:
Soma-se e conserva-se o mesmo sinal.
116
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Propriedades
Q´
1. am · an = am+n
2. am ÷ an = am−n
Q
Z
3. (am )n = am·n
N
U=R
4. (am · bn )n = am·x · bn·x
5. (am /an )x = amx /bnx
6. a−m = 1/am
Figura 3.2: Os conjuntos numéricos.
Potências de “Base 10”
I.b) Sinais diferentes:
maior.
Diminui-se e dá-se o sinal do
A) 10n = 1 000
. . . 0}
| {z
“n”zeros
II) Multiplicação
e Divisão: Aplica-se a regra dos si
+
+
=
+



− +=−
Observação: Pela ordem, resolver
nais:
+
−=−



− −=+
( ); [ ]; { }.
Exercı́cio resolvido:
−3 · {14 ÷ (−7) − 3 · [4 − (10 − 12 + 9 − 7 − 4) ÷ 2]} −3 ·
{−2 − 3 · [4 − (−4) ÷ 2]}
−3 · {−2 − 3 · [4 + 2]}
−3.{−2 − 3 · [+6]}
−3.{−2 − 18}
−3.{−20}
+6
B) 10−n = 1/1 000
. . . 0}
| {z
“n”zeros
⇒ 0, 000
. . . 01}
| {z
“n”casas
Pense um Pouco!
• Quantos números inteiros tem no intervalo real 0 < x <
3?
• Quantos números racionais tem no intervalo anterior?
• Quanto é −1100 ?
Potenciação
An = X
onde:
A = Base;
B = Expoente;
X = Potência;
Exercı́cios de Aplicação
1. O valor de ((23 )3 )3 é:
a) 212
b) 1024
c) 281
d) 1
e) n.d.a.
Casos Especiais
X1 = X
1n = 1
0n = 0
X0 = 1
Regras
1. Expoente par:
Resultado positivo.
2. Expoente ı́mpar:
Repete-se o sinal da base.
2. O valor de:
[13 − (8 ÷ 2 − 3 − 7 + 2 · 3)] ÷ [25 ÷ (−3 − 22)], é:
a) −13
b) 14
c) 13
d) 0
e) n.d.a.
3. A expressão (a7 · b3 · c5 · b4 )/(c3 · b6 · a7 · c) é igual a:
a) a2 · b
b) b · c
c) cb
d) 1
e) n.d.a.
Matemática C – Aula 03
117
Exercı́cios Complementares
4. Resolvendo
a) 5 · 1012
b) 100
c) 103
d) 107
e) n.d.a.
108 ·102 ·105 ·104
103 ·10·108
Unidade Imaginária
5. O valor da expressão
{72 ÷ (−12) + 2 · [4 · (−2) + (30 − 20 + 10) ÷ 5]}
é:
a) +20
b) −20
c) −14
d) +14
e) n.d.a.
Para simplificar
a notação, criou-se ”i”para designar o
√
número −1, isto é:
√
i = −1 ⇔ i2 = −1
Com isso, a solução da equação proposta acima é:
p
X = ± 9 · (−1) ⇒ x = ±3 · i
Logo, S = {+3i, −3i}.
6. O valor de
a) 0
b) 94
c) 1
d) 2
e) n.d.a.
3
Essa representação foi considerada, a princı́pio, como um
passatempo.
√
Particularmente, o número −1 foi denominado unidade
imaginária, devido à desconfiança que os matemáticos tinham dessa nova criação.
16 3
22
Potências Naturais de i
−2
32
é:
Consideremos as potências do tipo in , em que n é natural.
Vejamos alguns exemplos:
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
7. 22 · (23 ) :
a) 215
b) 229
c) 1024
d) 214
e) n.d.a.
Resumindo:
5
8. O valor de (24 ) · 2−8 é:
a) 218
b) 212
c) 215
d) 20
e) n.d.a.
Matemática C
in
1
i
-1
-i
1
i
-1
-i
1
i4n = 1
i4n+1 = i
4i4n+2 = −1
i4n+3 = −i
Assim:
i4n + i4n+1 + i4n+2 + i4n+3 = 0
Ou seja: A soma das quatro potências de i cujos expoentes
são números naturais consecutivos é igual a zero.
Aula 03
Note que, à medida que n cresce, os resultados de i n , vão se
repetindo periodicamente, assumindo sempre um dos quatro
valores da seqüência:1, i, −1, −i.Ou seja:
in ∈ {1, i, −1, −i}, (n ∈ N)
Números complexos (C)
No conjunto dos números reais algumas equações não possuem solução, por exemplo, a equação:
Para n ≥ 4, temos:
N 4
⇒n=4·q+r er <4
R q
2x2 + 18 = 0
q
Como se trata de uma equação incompleta (b = 0), podemos
resolvê-la isolando a variável. Assim:
√
−18
x2 =
⇒ x = −9
2
Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos reais, a equação acima dada não tem solução. Para
que equações sem soluções reais, como a dada acima, os matemáticos começaram a utilizar novos entes matemáticos.
q
Então, in = i4·q+r = i4·q · ir = (i4 ) · ir = (1) · ir = ir , ou
seja:
in = i r
Exemplo
Calcule o valor de i3795 .
3795
3
4
, como r = 3 temos i3795 = i3 = −i
3948
118
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Forma Algébrica
Exemplo
Todo número complexo pode ser escrito na forma z = a+b·i,
com a e b ∈ R. Tal forma é denominada forma algébrica.
O número real a é denominado parte real de z, e o número
real b é denominada parte imaginária de z.
z = a + 0i ⇒ z = a
z =a+b·i⇒
z =0+b·i⇒z =b·i
Igualdade de Complexos
Dois números complexos são iguais quando suas partes reais
e imaginárias forem respectivamente iguais.
a=c
a+b·i=c+d·i⇒
b=d
Exemplo
Determinar x e y de modo que:
(2x + 3) + 6 · i = 7 + (2 + 4y) · i.
Para que os complexos sejam iguais devemos ter:
2x + 3 = 7 ⇒ x = 2
e
2 + 4y = 6 ⇒ y = 1
Logo, para que (2x + 3) + 6 · i = 7 + (2 + 4y) · i, devemos
ter x = 2 e y = 1.
Operações com Complexos
Adição e Subtração
Multiplicação de Complexos
Multiplicamos dois números complexos de acordo com a regra da multiplicação de binômios. Devemos lembrar que
i2 = −1. Com isso temos que:
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) · i
Exemplos
a) (3 − 3i) · (−2 + 2i):
(3 − 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i + 6i + 6i2
(3 − 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i + 6i − 6
(3 − 3i) · (−2 + 2i) = −12 + 12i
b) (5 − 3i)2 :
(5 − 3i)2 = (5 − 3i) · (5 − 3i)
(5 − 3i)2 = 25 − 15i − 15i + 9i2
(5 − 3i)2 = 25 − 15i − 15i − 9
(5 − 3i)2 = 16 − 30i
Conjugado de um Complexo
Sendo z = a + bi um número complexo qualquer, defini-se
como o conjugado de z o número complexo z = a − bi.
Exemplos
Para somarmos ou subtrairmos dois ou mais números complexos, somamos ou subtraı́mos, respectivamente, suas partes reais e imaginárias, separadamente. Ou seja:
(a + bi) + (c + di)
(a + bi) − (c + di)
Sejam os complexos: z1 = 6 − 3i e z2 = 3 + 2i. Determinar
o valor de 3 · z1 − 5 · z2 .
3 · z1 − 5 · z2 = 3 · (6 − 3i) − 5 · (3 + 2i)
3 · z1 − 5 · z2 = 18 − 9i − 15 − 10i
3 · z1 − 5 · z2 = 3 − 19i
= (a + c) + (b + d)i
= (a − c) + (b − d)i
1. Sendo z = 6 − 5i, temos que: z = 6 + 5i.
2. O conjugado de z = −3 + 2i é o complexo z = −3 − 2i.
Observação
Exemplo
O produto de um número complexo z pelo seu conjugado Z
é sempre um número real e positivo. Esse produto chama-se
norma de z.
Seja
Exemplo
z1
z2
z3
=
=
=
5 − 3i
2 + 4i
−3 − 5i
calcule:
a) z2 − z3
z2 − z3 = (2 + 4i) − (−3 − 5i)
z2 − z3 = (2 + 3) + (4 + 5)i = 5 + 9i
b) z1 + z2
z1 + z2 = (5 − 3i) + (2 + 4i)
z1 + z 2 = 7 + i
Multiplicação por um Real
Para multiplicar um complexo por um número real basta
multiplicar a parte real e a parte imaginária pelo respectivo
número.
Sendo z = 5 − 3i, o produto z · Z é:
(5 − 3i) · (5 + 3i) = 25 + 15i − 15i − 9i2
Lembrando que i2 = −1, temos que:
z · Z = 25 + 9 = 34
Divisão de Complexos
Para dividirmos dois complexos, escrevemos o quociente sob
a forma de uma fração, a seguir, usando o procedimento de
racionalização de denominadores, multiplicamos ambos os
termos da fração pelo conjugado do denominador. Ou seja:
z1 z1
z1
=
·
z2
z2 z2
Exemplo
Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = −2 − 3i, obter:
3 + 2i
z1
=
z2
−2 − 3i
z1
z2 .
Matemática C – Aula 03
119
Exemplo
3 + 2i −3 + 2i
z1
=
·
z2
−2 − 3i −2 + 3i
−6 + 9i − 4i + 6i2
2
−2 − (3i)
logo,
2
=
−6 + 9i − 4i − 6
4+9
Calcular o módulo do número complexo z = 3 + 4i. Como
vimos: p
|z| = ρ = √ x2 + y 2 , assim;
√
√
|z| = ρ = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
logo: |z| = ρ = 5
Argumento de um Complexo
−12 + 5i
−12
z1
5i
z1
=
=
⇒
+
z2
13
z2
13
13
Sendo um número complexo z = z + yi, com z 6= 0; Definese como o argumento de z, o número real θ(0 ≤ θ ≤ 2π)
que corresponde à medida do ângulo formado pelo segmento
orientado OP e o eixo Ox, no sentido anti-horário.
Representação Geométrica
Consideremos num plano, chamado plano de ArgandGauss ou plano complexo, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais x O y e nele um ponto P de coordenadas x e y. Lembrando que um número complexo na forma
algébrica tem a forma de: z = (x, y) = x + yi, podemos
estabelecer uma correspondência entre os pontos do plano
e os números complexos. Ou seja: Podemos representar os
complexos geometricamente, pelos pontos do plano.
Indicamos por:
arg(z) = θ
A partir da figura (plano complexo), obtemos as importantes relações:
y
x
cos θ = e sen θ =
ρ
ρ
Forma Trigonométrica
Im
Com as definições de módulo e argumento, podemos representar os números complexos de outra forma, além da
algébrica, já conhecida.
z = x + yi
y
Assim, para o complexo z = x + yi, temos:
cos θ =
x
⇒ x = ρ cos θ
ρ
sen θ =
y
⇒ y = ρ sen θ
ρ
e
θ
x
Re
Como z = x + yi
z = ρ cos θ + iρ sen θ
Figura 3.1: O plano complexo.
De outra forma:
O ponto P é a imagem geométrica de z ou afixo de z.
Observação
z = ρ(cos θ + i sen θ)
- A parte real de um complexo tem seus afixos no eixo Re;
eixo real.
A igualdade acima é denominada forma trigonométrica
ou polar do número complexo.
- A parte imaginária de um complexo é representada no
eixo Im, que por essa razão é chamado de: eixo imaginário.
Módulo de um número complexo
Na representação geométrica de um número complexo z =
x + yi, vamos considerar a distância entre o afixo P desse
número e a origem. A essa distância denominamos módulo
de z e indicamos por |z| ou ρ.
Calculando a referida distância, temos:
q
p
2
2
dop = (x − 0) + (y − 0) = x2 + y 2
Portanto,temos:
p
|z| = ρ = x2 + y 2
O número complexo z = 0, para o qual não é possı́vel determinar o argumento θ, não pode ser escrito na forma trigonométrica.
Observe que, quando multiplicamos um número complexo
por i, ele gira 90◦ no sentido anti-horário, no plano complexo.
Pense um Pouco!
• Pode-se dizer que R ⊂ C? Por quê?
• Existe alguma semelhança entre o plano complexo e o
plano cartesiano? Quais?
• 1/i é um número complexo?
120
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Exercı́cios de Aplicação
d) i
e) −i
1. (UFPA-PA) O número complexo z = x + (x2 − 4)i é real
se, e somente se:
a) x = 0
b) x 6= 0
c) x = ±2
d) x 6= ±2
e) x 6= 0 e x 6= 2
9. (U.C.SALVADOR-BA) Sejam os números x e y tais que
12−x+(4+y)i = y +xi. O conjugado do número complexo
z = x + yi é:
a) 4 + 8i
b) 4 − 8i
c) 8 + 4i
d) 8 − 4i
e) −8 − 4i
2. (UFRN-RN) Se z = 4 + 2i, então z − 3z vale :
a) 6 + i
b) 1 + 8i
c) −8 + 8i
d) 1 − 8i
e) 12 + 6i
3. (UFSE-SE) Se o número complexo z é tal que z = 3 − 2i,
2
então (z) é igual a:
a) 5
b) 5 − 6i
c) 5 + 12i
d) 9 + 4i
e) 13 + 12i
2−i
2+i
Aula 4
Razão
A razão entre dois números a e b (com a e b reais e b 6= 0),
nessa ordem, é o quociente ab . O número a é chamado
antecedente e o número b é chamado conseqüente.
é igual a:
Exemplos
1. A razão entre 4 e 6 é:
2
4
=
6
3
Exercı́cios Complementares
6. (PUC-SP) O conjugado do número complexo
a) (−1 − 7i)/5
b) (1 − i)/5
c) (1 + 2i)/7
d) (−1 + 7i)/5
e) (1 + i)/5
Matemática C
Razões e Proporções
4. Sendo i2 = −1, o valor de i58 + i85 é:
a) 0
b) 1 + i
c) −1 + i
d) 1 − i
e) −1 − i
5. (Sta Casa -SP) O valor de
a) 35 + 54 i
b) 23 − 34 i
c) 35 − 54 i
d) 3 − 4i
e) 4 + 3i
10. (FATEC-SP) Se i é a unidade imaginária e z = (2 −
i)2 /(1 + i), então:
a) z = (5 − 5i)/2
b) z = (7 − i)/2
c) z = (5 + 5i)/2
d) z = (7 + i)/2
e) z = (−5 − 5i)/2
2. A razão entre 2 m e 30 cm é:
1+3i
2−i
2m
200 cm
20
=
=
30 cm
30 cm
3
é:
7. A soma S = i7 + i8 + i9 + . . . + i93 + i94 + i95 é:
a) 1
b) i
c) -1
d) -i
e) 1 - i
8. (UFRG-RG) Efetuando as operações indicadas na
4−3i
equação 5−i
1+i − 2+i , obtemos :
a) 1 − i
b) 1 + i
c) −1 − i
Observe que a razão deve ser calculada numa unidade
comum, a fim de ser cancelada. Finalmente, a razão
obtida não dependerá da unidade escolhida, pois é adimensional.
Escala
É a razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real.
Exemplo
Um edifı́cio tem 30 m de altura. Essa medida foi representada no projeto por 15 cm. Qual foi a escala usada nesse
projeto?
Matemática C – Aula 4
121
comprimento no desenho
15 cm
15 cm
=
=
comprimento real
30 m
3000 cm
E=
1
100
Grandezas
(GIP)
Inversamente
Proporcionais
Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, os produtos entre os valores de A
e os correspondentes valores de B forem constantes.
ou E = 1 : 200
Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grandezas inversamente proporcionais, então:
Proporção
Os números a, b, c e d, com b e d não nulos (6= 0, formam
nessa ordem, uma proporção se, e somente se, a razão entre
a e b é igual a razão entre c e d. Ou seja:
a1 · b 1 = a 2 · b 2 = a 3 · b 3 = . . . = k
Exemplo
c
a
=
b
d
Lê-se: a está para b, assim como c está para d.
Os números a e d são chamados de extremos e os números
b e c são chamados de meios.
Se considerarmos que a distância que separa duas cidades A
e B é de 300 km e que um móvel viaja de A para B com uma
certa velocidade, vamos observar pela tabela abaixo que o
tempo gasto para percorrer essa distância varia conforme a
velocidade do móvel.
Velocidade (km/h)
Tempo (h)
Propriedades
50
6
60
5
100
3
I) O produto dos meios é igual ao produto dos extremos
a
c
= ⇔a·d=b·c
b
d
Temos que 50 · 6 = 60 · 5 = 100 · 3, logo as grandezas velocidade e tempo, neste exemplo, são grandezas inversamente
proporcionais.
II) A soma dos dois primeiros termos está para o segundo,
assim como, a soma dos dois últimos está para o último.
Pense um Pouco!
c
a+b
c+d
a
= ⇔
=
b
d
b
d
III) Cada antecedente está para o seu conseqüente, assim
como; a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes.
a
c
a+c
= =
b
d
b+d
Grandezas
(GDP)
Diretamente
Proporcionais:
Uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza B, se, e somente se, as razões entre os valores de A e
os correspondentes valores de B forem constantes.
Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grandezas diretamente proporcionais, então
a1
a2
a3
=
=
= ... = k
b1
b2
b3
Exemplo
Se considerarmos a distância percorrida por um móvel com
velocidade constante de 50 km/h viajando a 3 horas tere100
150
mos a seguinte tabela : como 50
1 = 2 = 3 = 50, temos
Distância (km)
tempo (h)
50
1
100
2
150
3
que distância e tempo, neste exemplo, são grandezas diretamente proporcionais.
• Determine o valor de x nas proporções:
a) x4 = 69
3x+2
= 24
b) 2x−1
9
• Calcule o valor de x e y na proporção
que x + y = 42.
x
y
= 25 , sabendo
• Determine x e y, sabendo que as sucessões de números
são diretamente proporcionais:
2 x 9
3 9 y
Exercı́cios de Aplicação
1. Determine m e n, sabendo que as sucessões numéricas
são inversamente proporcionais:
3 m 9
12 4 n
2. Antônio, João e Pedro trabalham na mesma firma há 10,
4 e 6 anos, respectivamente. A firma distribuiu uma gratificação de R$ 80.000,00 entre os três, em partes diretamente
proporcionais ao tempo de serviço de cada um. Quantos reais cada um irá receber?
3. Divida 210 em partes inversamente proporcionais a 1/2,
1/5 e 1/7.
122
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Exercı́cios Complementares
Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais então:
a·c=b·d⇔
4. Represente a razão entre:
a) 18 e 12 =
b) 6 m e 4 m =
c) 150 g e 2 kg =
d) 750 litros e 1 m3 =
e) 600 s e 1 hora =
f) 8 km e 1600 m =
Exemplos
5. Um comprimento real de 25 m foi representado num
desenho por 10 cm. Nesse caso, qual foi a escala usada?
a) 1 : 250
b) 1 : 300
c) 1 : 150
d) 1 : 500
e) n. d. a.
6. A distância entre duas cidades, em linha reta, é 120 km
e foi representada num mapa rodoviário por um segmento
de 60 cm. Qual foi a escala usada nesse mapa?
a) 2 : 125
b) 1 : 120.000
c) 1 : 200.000
d) 1 : 12.000
e) n. d. a.
7. Em geral, num adulto, a altura da cabeça está para
a altura do restante do corpo, assim como 1 está para 7.
Quanto mede uma pessoa cuja cabeça tem 22 cm de altura?
a) 1,54m
b) 1,60m
c) 1,76m
d) 1,82m
e) n. d. a.
Matemática C
Aula 5
Regras de Três Simples e Composta
1. Uma torneira que despeja 15 l/min enche um tanque
em 80 min. Uma outra torneira, despejando 25 l/min,
em quanto tempo encheria esse tanque?
Temos um exemplo que envolve grandezas inversamente proporcionais, pois; ao aumentarmos a vazão,
o tempo necessário para encher o mesmo tanque diminuirá. Com isso:
15 · 80 = 25 · X ⇔
Sendo a e b dois valores da grandeza A e, c e d os valores correspondentes da grandeza B, chama-se de regra de
três simples ao método prático para determinar um desses
quatro valores, sendo conhecidos os outros três.
Técnica Operatória
Conforme a definição acima temos:
GRANDEZA B
c
d
Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais então:
b
a
c
a
= ⇔ =
c
d
b
d
15
X
=
⇒ X = 48
25
80
Logo, encherá o tanque em 48 min.
2. Um automóvel percorre 132 km com 12 litros de
combustı́vel. Quantos litros de combustı́vel serão necessários para que ele percorra 550 km?
Neste exemplo temos grandezas diretamente proporcionais, pois; aumentando a distância, também aumentará
o consumo de combustı́vel. Com isso:
550
132
=
⇔ 132 · x = 550 · 12 ⇒ x = 50
12
x
logo, serão necessários 50 litros de combustı́vel.
[Regra de Três Composta
Chama-se regra de três composta, ao método prático empregado para resolver problemas que envolvem mais de duas
grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais.
Propriedade
Considere uma grandeza A (a1, a2, a3, . . .) diretamente proporcional a uma grandeza B (b1, b2, b3, . . .) e a uma grandeza C (c1, c2, c3, . . .), então :
b1
c1
a1
=
=
a2
b2
c2
Regra de Três Simples
GRANDEZA A
a
b
a
d
=
b
c
Exemplo
Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes
em 3 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias
para confeccionar 2160 uniformes em 24 dias.
N o de Máquinas Uniformes Dias
16
720
3
x
2160
24
A grandeza N o de máquinas, onde está a variável deve ser
comparada com as grandezas Uniformes e Dias. Assim temos que:
1. N o de máquinas e Uniformes são grandezas diretamente proporcionais, pois mais máquinas produzem
mais uniformes.
Matemática C – Aula 6
2. N o de máquinas e Dias são grandezas inversamente proporcionais, pois, quanto maior o número de máquinas,
menor o número de dias necessários. Com isso 16
x =
24
720
·
⇒
x
=
6,
logo
serão
necessárias
6
máquinas.
2160
3
Pense um Pouco!
• Se um fio pesa 10N g/cm, quanto pesará por metro?
• Se uma cópia xerográfica custa 9 centavos, quanto custou essa apostila (só o xerox)?
• Cite exemplos de onde você já usou as regras de três
estudadas?
Exercı́cios de Aplicação
1. Na merenda escolar, 320 crianças consumiram 1440 litros
de leite em 15 dias. Quantos litros de leite deverão ser
consumidos por 400 crianças em 30 dias?
a) 2500
b) 3600
c) 7200
d) 4440
e) n.d.a
2. Calcular a altura de uma torre que projeta uma sombra
de 45 m, o mesmo instante em que uma árvore de 6 m
de altura, plantada verticalmente, projeta uma sombra de
3, 6 m.
a) 75m
b) 90 m
c) 55 m
d) 70 m
e) n.d.a
3. (PUC-MG)Uma pessoa viajando de automóvel, com velocidade média de 88 km/h, leva 5 horas para ir de Belo
Horizonte - Poços de Caldas.
Na volta para Belo Horizonte, fez o mesmo percurso em 4
h. Portanto, a velocidade média, em km/h, ao retornar foi
de:
a) 93
b) 96
c) 100
d) 110
e) 120
3.1
123
d) 9,0 h/d
e) n.d.a
5. Em uma fabrica de refrigerante, uma máquina encheu
4000 garrafas em 8 dias, funcionando 8 horas por dia. Quantos dias s essa máquina levará, para encher 6000 garrafas,
trabalhando 16 horas diárias?
a) 9
b) 5
c) 11
d) 6
e) n.d.a
6. Em um zoológico, a alimentação de 15 animais durante
90 dias custa R$ 2.700,00. Qual será o custo da alimentação
de 25 animais por um perı́odo de 12 dias?
a) R$ 900,00
b) R$ 750,00
c) R$ 600,00
d) R$ 450,00
e) n.d.a
Matemática C
Aula 6
Juros e Porcentagens
Juros Simples
Juro é a importância cobrada por unidade de tempo, pelo
empréstimo de dinheiro, expressa como porcentagem da
soma emprestada.
Noção Intuitiva e Nomenclatura Usual
Em “A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a 10% ao ano,
durante 3 anos, rendeu R$ 600,00 de juros simples”.
O raciocı́nio é:
Se o capital 100 produz 10 em um ano, então o capital 2.000
produzirá 600 em 3 anos.
Temos os seguintes dados:
O Capital é 99K
A Taxa é 99K
O tempo é 99K
Os juros são 99K
C = 2.000
i = 10(em % ao ano)
t = 5(em anos)
J = 600
Exercı́cios Complementares
Observações:
4. Um certo trabalho pode ser realizado por um grupo de
12 operários em 20 dias de trabalho de 8 horas diárias. Se
esse mesmo trabalho tivesse que ser feito em apenas 16 dias,
com 16 operários igualmente eficientes, quantas horas por
dia eles deveriam trabalhar?
a) 7,5 h/d
b) 6,0 h/d
c) 8,5 h/d
Denominamos juros simples aqueles que não são somados
ao capital, durante o tempo em que foi empregado.
Se a taxa “i”for referida ao ano, mês, dia etc, o tempo
“t”também deverá ser tomado correspondentemente em
anos, meses, dias, etc.
Para efeito de cálculo o ano é considerado de 12 meses de
30 dias cada.
124
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Técnica Operatória
Porcentagem
Os problemas envolvendo juros simples, na verdade são de
Regra de três composta, que obedecem ao seguinte esquema;
Comumente usamos expressões que refletem acréscimos ou
reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.
Grandezas
100 . . . i . . . l
C ... j ... t
Exemplos
1. A gasolina terá um aumento de 10%, na próxima semana.
Interpretação
Se o capital 100 produz i em 1 ano, então; o capital
“c”produzirá j em t anos.
Quando resolvemos isolando “j”, temos:
J=
C ·i·t
100
Significa que em cada R$ 100,00 haverá um acréscimo
de R$ 10,00.
2. Numa pesquisa de intenção de votos, o candidato A
aparece em 2o lugar, com 25% da preferência dos eleitores, ao cargo de prefeito municipal.
Quer dizer que; em média, a cada 100 pessoas que foram
entrevistadas, 25 preferem o candidato A.
Exemplos
1. Quanto renderá um capital de R$ 5.000,00 empregado
à taxa de 5% a.a, em regime de juros simples, durante
3 anos?
Temos:
C = 5000;
I = 5;
T = 3;
Razão Centesimal
Toda a razão que tem por denominador o número 100
denomina-se razão centesimal.
Exemplos
Substituindo os respectivos valores na fórmula, temos:
5000 · 5 · 3
= 750
J=
100
Assim, terá um rendimento de R$ 750, 00.
2. Calcular os juros de R$ 8.500,00 à taxa de 36% a.a,
durante 6 meses.
Observe que a taxa está expressa em anos, enquanto o
tempo em meses. Como devemos trabalhar com as duas
grandezas em unidades de tempos iguais, tomaremos o
6
tempo como sendo 12
anos.
a)
b)
c)
25
100
47
100
125
100
= 25% (lê-se: 25 por cento)
= 47% (lê-se: 47 por cento)
= 125% (lê-se:125 por cento)
Chamamos as expressões 25% ; 47% ; 9% de taxas centesimais ou taxas percentuais.
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa
percentual a um determinado valor. Dessa forma; podemos resolves problemas de porcentagem, utilizando taxas
percentuais.
Exemplos
Assim:
J=
8500 · 36 ·
100
6
12
⇒J =
8500 · 36 · 6
= 1530
1200
1. Um jogador de voleibol efetuou 25 finalizações no decorrer de uma partida, obtendo um aproveitamento de
80%. Qual o número de sucessos que ele obteve?
Portanto, os juros são de R$ 1.530,00.
3. Calcular os juros produzidos por um capital de R$
25.000,00 durante 2 meses e 15 dias, a uma taxa de
1% a.m.
Como não há concordância entre a taxa e o tempo,
devemos fazer algumas modificações para que possamos resolver o problema. Faremos as seguintes transformações:
75
2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou então: 360
anos. Ainda; a taxa 1% ao mês, corresponde a 1% vezes
12 meses, o que dá 12% a.a.
Aplicando a fórmula, temos:
J=
2500 · 12 ·
100
75
360
=
2500 · 12 · 75
= 625
36000
Logo, os juros produzidos são de R$ 625,00.
80% de 25 =
80
· 25 = 20
100
Logo, ele obteve 20 sucessos.
2. Um investidor comprou um lote de ações por R$
1.500,00 e as revendeu um mês depois, por R$ 2.100,00.
Qual foi o percentual de lucro por ele obtido?
Para resolver o problema, vamos montar um esquema
em que somaremos o percentual de lucro obtido, aos
R$ 1.500,00 investidos inicialmente, chegando assim ao
valor final de venda das ações.
x
· 1.500 = 2.100
1.500 + 100
15x = 2.100 − 1.500
x = 600
15 ⇒ x = 40
Desse modo, ele obteve um lucro de 40%.
Matemática C – Aula 6
125
Fator de Multiplicação
Quando um dado valor sofre um acréscimo percentual, podemos incorporar tal acréscimo, obtendo assim o que chamamos de “fator de multiplicação”.
Pense um Pouco!
• Tomando-se uma quantidade inicial X e adicionandose a ela um certo percentual p obtemos um valor final
X 0 . Se tomarmos agora o valor X 0 e descontarmos o
mesmo percentual p obteremos o valor X? Discuta.
Exemplo
Um valor que sofre um aumento de 25%, terá um fator de
multiplicação igual a 1, 25, pois:
Exercı́cios de Aplicação
100% + 25% = 125%, ou seja:
125% = 125
100 = 1, 25
1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00.
Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago em
reais?
a) 1350
b) 1300
c) 1250
d) 1200
e) n.d.a
Da mesma forma, podemos estender esse raciocı́nio para
outros valores, como mostra a tabela abaixo:
Lucro ou Acréscimo
10%
15%
20%
47%
67%
Fator de Multiplicação
1,10
1,15
1,20
1,47
1,67
Exemplo
Quanto passará a receber um funcionário, que tem um
salário de R$ 950,00 e, obtém um aumento de 35%?
Para chegarmos ao valor do novo salário, basta que usemos
um fator multiplicativo igual a 1,35 sobre o valor atual,
assim:
950 · 1, 35 = 1.282, 50
Portanto, o novo salário será de R$ 1.282,50.
Para os casos em que ocorrem decréscimos, o fator de multiplicação será dado por:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma
decimal).
Veja a tabela abaixo:
Desconto
10%
25%
34%
60%
90%
3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma
gráfica. No perı́odo de um mês, ela apresentou um lucro de
R$ 100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de
compra?
a) 5
b) 10
c) 6
d) 11
e) n.d.a
Exercı́cios Complementares
Fator de Multiplicação
0,90
0,75
0,66
0,40
0,10
Exemplo
Qual será o valor do desconto de um produto, que custa R$
350,00 , mas que em promoção é vendido por 22% abaixo
do preço?
Nesse caso, o fator de multiplicação é:
Fator = 1 - 0,22 = 0,78
Assim 350 · 0, 78 = 273
2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele
passou a custar?
a) 12.400,00
b) 13.200,00
c) 13.800,00
d) 14.600,00
e) n.d.a
Portanto, quando descontados 22%, o produto passa a custar R$ 273,00.
4. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado
através de capitalização simples?
a) 10 meses
b) 9 meses
c) 8 meses
d) 7 meses
e) n.d.a
5. Qual o capital, em reais, que aplicado a juros simples de
1, 5%a.m. rende R$ 250,00 de juros em 50 dias?
a) 10.000
b) 15.000
c) 25.000
d) 17.500
e) n.d.a
6. (Desafio) Um determinado produto teve um acréscimo
de 20%, sobre o seu preço de tabela. Após certo perı́odo,
teve um decréscimo também de 20% sobre o preço que foi
126
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
aumentado, obtendo assim o preço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro
valor (preço de tabela)?
a) 100%
b) 96%
c) 90%
d) 85%
e) n.d.a
números de 0000 a 9999, ou seja, 10 mil linhas diferentes.
Ou, de outro modo:
7. O valor de 10 % é igual a:
a) 100
b) 10
c) 1
d) 0,1
e) n.d.a
Análise Combinatória
Princı́pio Fundamental da Contagem
O princı́pio fundamental da contagem nos mostra um
método algébrico, para determinar o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento, sem precisarmos descrever todas as possibilidades. Se um acontecimento
pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes
de tal modo que:
p1 é o no de possibilidades da 1a etapa
p2 é o no de possibilidades da 2a etapa
..
.
pn é o no de possibilidades da n-ésima etapa
Então, o número total P de possibilidades do acontecimento
ocorrer é dado por:
P = p1 × p2 × p3 × . . . × p n
Exemplos
P = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000
3) Quantos números ı́mpares de 3 algarismos distintos, são
possı́veis utilizando os algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Ao iniciar a resolução de um problema de análise combinatória, é aconselhável que se faça alguns grupos dos quais
queremos calcular o total. No caso do nosso atual problema,
veja alguns exemplos de números ı́mpares de 3 algarismos
distintos: 347, 815, 135, 451,etc. Note que o número 533 não
nos serve, pois houve repetição do algarismo 3; o número 534
também não serve, pois é par. Um outro ponto importante
é, por onde começar a resolver o problema. Procure sempre
atacar o problema, por onde houver um maior número de
restrições. Veja:
centena
Logo, para a casa das unidades, temos 4 possibilidades
(1,3,5,7). A seguir, vamos analisar a casa das centenas, na
qual; podemos usar qualquer um do 6 algarismos dados pelo
problema, porém eliminando-se um deles (aquele que estiver na casa das unidades), já que não pode haver repetição.
Portanto, temos para a casa das centenas 5 possibilidades.
Finalmente, analisando a casa das dezenas, concluı́mos que
restaram 4 possibilidades, pois: não podemos repetir o algarismo que estiver na casa das unidades e nem o que estiver
na casa das centenas. Portanto: O total de possibilidades
é: P = 5 × 4 × 4 = 80, o que dá um total de 80 números.
Fatorial
Sendo n um número natural, define-se fatorial de n, e indicase ”n!”à expressão
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 3 × 2 × 1
Propriedade
Para fins de cálculo, define-se que:
0! = 1
P = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175.760.000
2) Obtenha o total de linhas telefônicas que podem ser instaladas, com o prefixo 436:
Para resolver este problema, é preciso escolher um algarismo
para a casa das milhares, outro para as centenas, outro para
as dezenas e um outro para as unidades. Os algarismos a serem utilizados em cada uma das casas, podem ser escolhidos
entre os dez dı́gitos do sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9. Como cada uma das casas podem ser preenchidas com
um dos 10 algarismos acima, temos que: O total de linhas
possı́veis com o prefixo 436 é o produto das possibilidades
que se tem para preencher cada uma das casas. Logo:
As linhas podem ter números no formato 436-ABCD, onde
os quatro dı́gitos ABCD de 0 a 9 indicam que podemos ter
unidades
Em nosso caso, temos a restrição de que os números devem
ser ı́mpares.
1) Quantas placas (distintas) de automóveis, poderão ser
emitidas; com o sistema atual de emplacamento?
O atual sistema de emplacamento de automóveis no Brasil
utiliza três letras e quatro algarismos. No novo alfabeto são
consideradas 26 letras e temos dez dı́gitos entre os números.
Logo o número de possibilidades será :
dezenas
1! = 1
Observe que: fatorial é uma definição por recorrência, ou
seja: cada fatorial é calculado com a utilização do fatorial
anterior. Assim:
0! =
1
1! =
1
2! =
2
3! =
6
4! =
24
5! =
120
6! =
720
..
..
.
.
n!
=
n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1
Matemática C – Aula 6
Exemplos
10!
10 × 9 × 8!
=
= 90
8!
8!
127
c) 5
d) 12
e) n.d.a.
13. (Saem) A quantidade de números que podemos formar
(x + 3)!
(x + 3)(x + 2)(x + 1)!
=
= (x+3)(x+2) = x2 +5x+6 com os algarismos {3, 4, 5, 6}, sem repeti-los, maiores que
(x + 1)!
(x + 1)!
4000, é:
a) 64
b) 09
Pense um Pouco!
c) 06
• De quantas formas diferentes pode resultar o d) 18
e) n.d.a
lançamento de dois dados simultâneos?
• Na série de números de 0 a 100, quantos algarismos
noves são usados?
• Quantos numeros pares se pode formar com os algarismos {1, 2, 3, 4}?
Exercı́cios de Aplicação
8. O resultado de
22!8!
11!19!
é:
a) 25
b) 28/3
c) 31/7
d) 15
e) n.d.a
9. Numa eleição de uma empresa, há 4 candidatos a presidente, 3 a vice-presidente, 5 a supervisor-geral e 3 a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição?
a) 120
b) 180
c) 150
d) 210
e) n.d.a
10. Simplifique as expressões:
a) (x + 5)!/(x + 3)!
b) (3x + 1)!/(3x − 1)!
11. (Mack-SP) Quantos números de 5 dı́gitos podem ser
escritos com os algarismos {1, 2, 3, 4}, sem que apareçam
algarismos consecutivos iguais?
a) 20
b) 32
c) 40
d) 120
e) n. d. a.
Exercı́cios Complementares
12. Sobre uma circunferência marcam-se 6 pontos, igualmente espaçados. Quantas retas eles determinam:
a) 21
b) 16
14. Quantos carros podem ser licenciados, se cada placa
contém duas vogais e três dı́gitos?
a) 125.000
b) 110.000
c) 95.000
d) 154.000
e) n.d.a
15. Resolvendo a equação, (x + 3)!/(x + 1)! = 12, temos
que:
a) x = 0
b) x = 1
c) x = 2
d) x = 3
e) n.d.a
16. (Ufes) Um shopping center possui 4 portas de entrada
para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao
primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento. De quantas maneias diferentes uma pessoa, partindo de fora do shopping center
pode atingir o segundo pavimento, usando os acessos mencionados?
a) 25
b) 30
c) 45
d) 125
e) n.d.a
17. (Puc-SP) Chamam-se polı́ndromos os números inteiros
que não se alteram quando é invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O número total
de polı́ndromos de cinco algarismos é:
a) 900
b) 780
c) 560
d) 640
e) n.d.a
128
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Matemática C
As comissões formadas devem Ter 3 pessoas, por exemplo
A , B e C. Invertendo-se a ordem destas pessoas, obtemos
a mesma comissão. Portanto, o problema é de combinação.
Aula 8
C5,3 =
Arranjo, Combinação e Permutação
Arranjos Simples
5!
5 · 4 · 3!
=
= 10
3!2!
3!2!
Logo, podemos formar 10 comissões.
2) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma outra
reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos
triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos?
Arranjo simples é o tipo de agrupamento sem repetição em
que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. O número de arranjos
simples de n elementos em grupos de p elementos é dado
por:
n!
An,p =
(n − p)!
Se tomarmos os três pontos sobre a mesma reta, não formaremos um triângulo, com isso, o total de triângulos obtidos
é dado por
Esta fórmula mostra que os arranjos dos n elementos tomados p a p podem ser escritos utilizando-se fatoriais.
Permutações Simples
Exemplos
Permutações simples é o tipo de agrupamento ordenado,
sem repetição, em que entram todos os elementos em cada
grupo.
1) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com
os algarismos 1,2,3,4,5 e 7, sem repeti-los?
Os números formados devem ter 3 algarismos, por exemplo 123. Invertendo-se a ordem destes algarismos, obtemos
novos números, portanto, o problema é de arranjo simples.
Logo
6 · 5 · 4 · 3!
6!
=
= 120
A6,3 =
(6 − 3)!
3!
2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números
de quatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos são divisı́veis por 5. Como os números devem ser divisı́veis por 5,
os mesmos devem obrigatoriamente terminar em 5, logo, dos
6 algarismos que tı́nhamos para trabalhar nos restam 5, dos
quais vamos tomar 3 a 3. Se tomarmos uma das possı́veis
respostas, por exemplo 2345 e invertermos a ordem dos seus
elementos teremos o número 4325, que é outra resposta do
problema. Logo o problema proposto é de arranjos simples.
Com isso temos que:
A5,3 =
5!
5 · 4 · 3 · 2!
=
= 60
(5 − 3)!
2!
Combinações Simples
Combinação simples é o tipo de agrupamento, sem repetição
em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza
dos elementos componentes. O número de combinações de
n elementos de grupos de p elementos é igual ao número de
arranjos de n elementos tomados p a p, dividido por p!, isto
é:
n!
An,p
=
Cn,p =
p!
p!(n − p)!
Exemplos
1) Quantas comissões constituı́das de 3 pessoas podem ser
formadas com 5 pessoas ?
Com os 13 pontos, podemos obter C13,3 triângulos.
C13,3 − C8,3 − C5,3 = 286 − 56 − 10 = 220
A permutação simples é um caso particular de arranjo simples.
O número de permutações simples que se pode formar com
n elementos é igual ao fatorial de n, ou seja:
Pn = n!
Exemplos
1) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser
formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?
Como usaremos todos os algarismos dados, em cada resposta do problema, temos agrupamentos do tipo permutações simples, logo o número de algarismos é igual a
P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
2) Quantos anagramas tem a palavra MITO?
Qualquer ordenação das letras de uma palavra é denominada anagrama. Como a palavra MITO tem 4 letras, temos:
P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Pense um Pouco!
• Qual a diferença básica entre combinação e arranjo?
• Se houverem elementos repetidos num conjunto, qual o
número de permutações diferentes possı́veis? Exemplo:
quantos anagramas tem a palavra MARIA?
Exercı́cios de Aplicação
1. Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 4, 5, 7, 8 e 9?
Matemática C – Aula 8
a) 120
b) 720
c) 1.296
d) 15.625
e) n.d.a
2. De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol
de salão dispondo de 8 jogadores?
a) 48
b) 56
c) 72
d) 28
e) n.d.a
3. Considere o conjunto A = {2, 4, 5, 6}. Quantos números,
distintos, múltiplos de 5 se podem formar, com todos os
elementos de A?
a) 24
b) 12
c) 18
d) 06
e) n.d.a
4. Quantas palavras de 3 letras, sem repetição, podemos
formar com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto?
a) 504
b) 324
c) 27
d) 81
e) n.d.a
5. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
a) 2560
b) 1440
c) 4536
d) 2866
e) n.d.a
6. Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos
podemos formar de 2 rapazes e 3 moças?
a) 30
b) 200
c) 300
d) 150
e) n.d.a
7. Quantos números de 7 algarismos distintos podem ser
formadas, usando-se os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 ?
a) 5040
b) 3640
c) 2320
d) 720
e) n.d.a
8. Quantos são os números compreendidos entre 2.000 e
3.000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
a) 210
b) 175
c) 336
d) 218
e) n.d.a
129
Exercı́cios Complementares
9. Quantas comissões com 6 membros podemos formar com
10 alunos?
a) 210
b) 120
c) 75
d) 144
e) n.d.a
10. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria
de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?
a) 10
b) 15
c) 6
d) 12
e) n.d.a
11. (PUC-SP) Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De
quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ficando 5 sentadas e 2 em pé?
a) 5.040
b) 21
c) 120
d) 2.520
e) n.d.a.
12. Quantos anagramas da palavra EDITORA, começam
com A e terminam com E?
a) 120
b) 720
c) 840
d) 24
e) n.d.a
13. (UFCE) A quantidade de números pares de 4 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2,
4, 5, 7, 8 e 9 é:
a) 20
b) 60
c) 240
d) 360
e) n.d.a.
14. (Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemos
formar com 10 sócios de uma empresa são:
a) 5.040
b) 40
c) 2
d) 210
e) n.d.a.
15. (UFPA-PA) Quantos são os anagramas da palavra
BRASIL começados por B e terminados por L?
a) 24
b) 120
c) 720
d) 240
e) 1.440
130
Apostila do Curso Pré-Vestibular UDESC 2005 – Módulo I
Matemática C – Aula 8
131