Alexandre Mello
Um time de praia montou um campo de futebol de 100 m de
comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu
cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca
uma pista com 3 m de
largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?
3
100
3
campo
pista
Alexandre Mello
70
3
3
A área da região cercada é:
(100 + 2 . 3) (70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8 056 m2
Se a largura da pista fosse de 4 m, a área da região cercada seria:
(100 + 2 . 4) (70 + 2 . 4) = 108 . 78 =8 424 m2
Observe que a cada largura x da pista, há uma área A(x) da região
cercada. E que o valor de A(x) é uma função de x dada pela expressão:
A(x) = (100 + 2x) (70 + 2x) =
= 7 000 + 200x + 140x + 4 x2
= 4 x2 + 340x + 7 000
Esse é um caso particular de função quadrática ou função polinomial
do 2 º grau.
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Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2 º grau,
qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax2 +bx + c,
em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Veja alguns exemplos de funções quadráticas:
f(x) = 2 x2 + 3x + 5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = 3 x2 - 4x + 1, sendo a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 - 1, sendo a = 1, b = 0 e c = - 1
f(x) = - x2 + 2x, sendo a = - 1, b = 2 e c = 0
f(x) = - 4 x2 , sendo a = - 4, b = 0 e c = 0
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O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola.
Vamos construir o gráfico da função quadrática dada por f(x) = x2 - 3x + 2
y
x f(x)
-1 6
0 2
1 0
2 0
3 2




x






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



Significado dos parâmetros a, b e c no gráfico da função quadrática
• Parâmetro a: responsável pela concavidade e abertura da parábola.
Se a > 0 a concavidade é para cima.
Se a < 0 a concavidade é para baixo.
• Parâmetro b: indica se a parábola cruza o eixo y com seu ramo crescente ou
decrescente. Se b > 0 a parábola cruza o eixo y no ramo crescente. Se b < 0 a
parábola cruza o eixo y no ramo decrescente.
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• Parâmetro c: indica o ponto em que a parábola cruza o eixo y.
(0, c)
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ZEROS OU RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Zeros ou raízes da função quadrática f(x)= ax2 + bx + c são os valores
de x para os quais a função se anula, ou seja, f(x) = 0. Assim, os zeros da
função quadrática f(x)= ax2 +bx +c são as soluções da equação do 2º grau
ax2 +bx + c = 0, as quais são dadas pela fórmula:
x = - b ± √ b2 – 4ac
2a
Vamos obter os zeros da função f(x) = x2 - 3x + 2.
Temos a = 1, b = - 3 e c = 2
Então, aplicando a fórmula, as raízes são:
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x’ = 1 e x’’ = 2.
VÉRTICE DA PARÁBOLA
O vértice da parábola, gráfico da função f(x)= ax2 + bx + c, tem
coordenadas xv = - b (abscissa) e yv = - ∆ (ordenada). Assim, o vértice
2a
4a
da parábola é o ponto V - b , - ∆ .
2a 4a
Se a > 0, o vértice é ponto de mínimo da função.
Se a < 0, o vértice é ponto de máximo da função.
V(xv , yv)
ponto de máximo
V(xv , yv)
ponto de mínimo
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AS ORIGENS DA PARÁBOLA
Não há unanimidade sobre como a curva plana conhecida como parábola
foi introduzida na matemática. Segundo a versão mais difundida, ela teria
surgido dos esforços de Menaecmo (c. IV a.C.), um discípulo de Aristóteles
(384-322 a.C.), para resolver o chamado “problema deliano”, cuja origem é
muito curiosa.
Assolados por uma devastadora peste, os habitantes da ilha de Delos (os
delianos) recorreram aos préstimos de seu oráculo, que sugeriu , para afastar
o mal, que eles construíssem um altar cúbico cujo volume fosse o dobro do já
existente consagrado ao deus Apolo. E a parábola tem sua origem na busca
dessa solução.
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APLICAÇÕES DA PARÁBOLA
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Alexandre Mello
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BIBLIOGRAFIA:
DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática.
IEZZI, G.et al. (2004) Matemática: Ciência e Aplicações. 2ª Ed. São Paulo:
Atual
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