CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL
CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Aula 03
• Funções polinomiais
• Logaritmo
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Funções Polinomiais
Introdução: Polinômio
Para a sucessão de termos
grau n possui a seguinte forma :
comcom
Ex :
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, um polinômio de
Funções Polinomiais
Função polinomial de 1° grau:
Toda função definida como
f : R  R , tal que f ( x)  ax  b
com
e b  R.
O conjunto de pares ordenados formados numa função de primeiro grau
organiza-se em forma de uma retaf (xquando
representados no plano
)
cartesiano.
Ex:
a
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Funções Polinomiais
Função polinomial de 1° grau:
• Se a > 0 então a função é estritamente crescente;
• Se a < 0 então a função é estritamente decrescente;
• Se a = 0 então a função é definida como função constante.
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Funções Polinomiais
Função polinomial do 2° grau:
Defini-se como função polinomial de segundo grau, a função
,tal que f ( x)  ax²  bx  c , com a, b e c  R .
f :RR
Graficamente a função polinomial de segundo grau é representada por
uma parábola, na qual o valor de ‘c’ indica o ponto em que a parábola
intercepta o eixo das ordenadas. As raízes ou zeros da função indicam
os pontos em que a parábola intercepta o das abscissas.
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Funções Polinomiais
Função polinomial do 2° grau:
 até o “y do vértice” e depois cresce até
Se a> 0, a função decresce de +
+
ao passo que x varia de -
até +.



Se a<0, a função cresce de até o”y do vértice” e depois decresce até ao passo que x varia de até +
.


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Funções Polinomiais
Função polinomial do 2° grau:
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Funções Polinomiais
Função polinomial do 2° grau:
Vértice da Parábola:
O vértice da parábola é o ponto de coordenadas: V (b / 2a, / 4a)
Se a > 0, então o vértice é o ponto máximo da mesma, se a < 0, então o
vértice da parábola é o ponto de mínimo da mesma.
Forma fatorada de um polinômio de grau n:
p( x)  a( x  x' )(x  x' ' )(x  x' ' ' )...
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Funções Polinomiais
Forma fatorada de um polinômio:
Sendo X’ , X’’, X’’’ raízes da função. Ou seja, elementos em x que geram
imagem nula.
p( x' )  0, p( x' ' )  0...
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Funções Polinomiais
Operações envolvendo polinômios:
p( x)  ax²  bx  c
h( x)  dx²  ex  f
Adição: p(x) + h(x) = (a+d)x² + (b+e)x + (c+f)
Subtração: p(x) - h(x) = (a-d)x² + (b-e)x + (c-f)
Multiplicação: p(x) . h(x) = (ax² + bx + c)(dx² + ex + f)
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Funções Polinomiais
Operações envolvendo polinômios:
Divisão: Método das chaves
Q(x).D(x) + R(x) = P(x)
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Logaritmo
Definição:
b = Antilogaritmo ou logaritmando
a = base
c = logaritmo
Condição de existência:
b  0 , 1 a  0
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Logaritmo
Consequências:
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Logaritmo
Propriedades:
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Logaritmo
Propriedades:
Mudança de Base: Como as propriedades logarítmicas só valem para
logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão
dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente.
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Logaritmo
A função logarítmica:
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Logaritmo
O Logaritmo Neperiano ou Logaritmo Natural:
É o logaritmo cuja base é o n° de Euler “e” ( aproximadamente
2,718281828459045). Ou seja, corresponde à função inversa da função
exponencial.
É comumente utilizado como ferramenta matemática para modelar
fenômenos que ocorrem na natureza.
Notação:
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Exercícios -Polinômios
1)Sabendo-se que 3 é raiz de P(x)= x³ +4x²- ax +1, calcular o valor de a.
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Exercícios -Polinômios
1)Sabendo-se que -3 é raiz de P(x)= x³ +4x²- ax +1, calcular o valor de a.
Resolução: Se -3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.
P(-3)=0 => (-3)³+4(-3)²-a.(-3)+1 = 0
3a = -10 => a=-10/3
Resposta: a=-10/3
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Exercícios -Polinômios
2) Calcular m para que o polinômio
P(x)=(m²-1)x³ +(m+1)x² -x +4 seja:
a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau
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Exercícios -Polinômios
Resposta:
a) para o polinômio ser do 3º grau, o coeficiente de x³ deve ser diferente
de zero. Então:
m²-1≠0 => m² ≠ 1 => m ≠ 1 , m ≠ -1
Portanto, o polinômio é do 3º grau se m ≠ 1 e m ≠ -1.
b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x³ deve ser igual a zero e
o coeficiente de x² diferente de zero. Então:
m²-1=0 => m²=1 => m=1 ou m= -1
m+1 ≠ 0 => m ≠ -1
Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.
c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser
iguais a zero. Então:
m²-1=0 => m²=1 => m=1 ou m=-1
m+1=0 => m=-1
Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.
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Exercícios -Polinômios
3)Num polinômio P(x), de 3º grau, o coeficiente de x³ é 1. Se P(1)=P(2)=0 e
P(3)=30, calcule o valor de P(-1).
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Exercícios -Polinômios
3)
Resolução:
Temos o polinômio: P(x)=x³+ax²+bx+c.
Precisamos encontrar os valores de a,b e c
(coeficientes).
Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado
do problema:
P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0
=> 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1
P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c =
0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8
P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c =
30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3
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Exercícios -Polinômios
3) Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:
a=9, b=-34, c=24
Portanto o polinômio em questão é P(x)= x³+9x²-34x+24.
O problema pede P(-1):
P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24
P(-1)= 66
Resposta: P(-1)= 66
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Exercícios -Polinômios
4) O polinômio p(x) = x³ - x² - 14x + 24 é divisivel por :
a)x+7
b)X
c)x+2
d)x+4
e)x-4
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Exercícios -Polinômios
4) Como todo polinômio pode ser escrito da forma p(x) = a(x-x’)(x-x’’)(x-x’’’)...
Sendo x’,x’’,x’’’ ..raízes do polinômio e que p(x’) = 0
Q(x).D(x) + R(x) = P(x)
Basta verificar qual D(x) que gera R(x) = 0
Ou verificar qual o numero “a” do polinômio D(x) = (x – a) , que faz com que
P(a) = 0
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Exercícios -Polinômios
4) Testando os valores vê-se que o polinômio p(x) = x³ - x² - 14x + 24 é
divisível por D(x) = x+ 4. Visto que produz R(x) = 0
OU seja, P(-4) = 0
Resposta ) letra D
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Exercícios -Polinômios
5) Efetue a divisão entre os polinômios:
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Exercícios -Polinômios
5)
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Exercícios –logaritmo
1) Determine o valor de log0.2532.
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Exercícios –logaritmo
1) log0.2532 = log1/432
Logo : ¼^x = 2^5 => 2^-2x = 2^5
X = -5/2
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Exercícios –logaritmo
2) Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de
5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os
montantes estarão iguais?
Dica : M = C(1+i)^t
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Exercícios –logaritmo
2)
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Exercícios –logaritmo
3)
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Exercícios – logaritmo
3)
Log x + log ( x-5 ) = log 36
Log ((x)(x-5)) = log 36
Log (x²-5x) = log36
x² - 5x = 36
x= 9 ou x= -4
Porêm x não pode assumir o valor -4 pois o logaritimando deve ser sempre
maior que 0.
Resposta : D
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