Prática de Ensino em Matemática II
Aula 5
Curso de Licenciatura em Matemática
Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira
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Do Espaço para o Plano
A transição da Geometria Espacial para a Geometria Plana deve ocorrer de maneira gradual
para que o aluno faça a transposição dos conceitos espaciais para o plano.
Atividades envolvendo planificações de sólido são bem-vindas nesta fase
e servem, sobretudo, para que os alunos re-explorem certas características dos sólidos, agora, no plano.
Basicamente, planificar um sólido geométrico é realizar
uma projeção do sólido geométrico num plano.
Durante muito tempo as planificações foram trabalhadas em sala de aula a partir de moldes
em que os alunos deveriam montar para obter diversos sólidos geométricos.
Pelo fato de obter figuras espaciais a partir de figuras planas recomenda-se que este tipo de atividade
seja utilizada num momento posterior, apenas com o intuito de fixar os elementos de um sólido geométrico.
Planificação
Inicialmente providencie algumas caixas (podem ser embalagens trazidas pelos alunos)
em formato de paralelepípedos (caixa de remédios, creme dental, alimentos, etc).
Em seguida solicite aos alunos que representem numa folha todas as faces do caixa observada.
Explique que caso seja necessário os alunos podem movimentar a caixa.
Este tipo de atividade é muito rica pois o aluno deve considerar:
• o número de faces do poliedro;
• o formato da face do poliedro;
• a posição de cada face da planificação.
Registros
Depois do registro completo verifique com os alunos as justificativas utilizadas para obter cada planificação.
O desenho
considerou somente
a face do corpo
vista com base
num único ângulo.
Não houve
preocupação com a
posição das faces,
o que impede a
montagem do
sólido.
Só algumas faces
foram desenhadas,
sem considerar a
posição e o
tamanho delas.
O sólido foi
representado em
profundidade,
com as faces
sobrepostas.
Rolagem (1)
Uma outra atividade envolvendo planificações solicita ao aluno que, com um sólido em mãos,
efetue a rolagem do mesmo sobre uma folha registrando suas faces.
Neste caso o aluno deverá se preocupar em não registrar a mesma face mais de uma vez
e obter uma planificação de tal forma que, após sua montagem, resulte no sólido novamente.
Rolagem (2)
Quais das formas abaixo, quando dobradas, podem revestir uma caixa
com o formato da caixa de creme dental, ou seja, um bloco retangular?
Solicitar ao aluno que indique a sequência de rolagem executada pode auxiliar
na visualização de quais planificações são possíveis ou não.
Representação de um sólido a partir da localização do observador (1)
Uma atividade que vincula as representações espaciais e planas de um mesmo sólido
ocorre quando o professor solicita a um grupo de alunos
situados estrategicamente em posições diferentes representem o mesmo sólido.
Ao confrontarem os registros obtidos, geralmente, os alunos ficam surpresos
pois não acreditam que o mesmo sólido pode gerar representações diferentes.
Representação de um sólido a partir da localização do observador (2)
Uma pessoa está observando um cubo em três posições diferentes:
uma na altura de seus olhos, outra sentada no chão e
outra em cima de uma escada.
Os desenhos ao lado indicam essas três vistas.
Relacione a posição da pessoa e a visão que ela tem do cubo.
Representação de um sólido a partir da localização do observador (3)
Uma pessoa está enxergando a figura a seguir de cima.
Quantos cubos esta figura possui?
Qual das opções ao lado representa a imagem vista por ela?
Representação de um sólido a partir da localização do observador (4)
Um mesmo objeto pode parecer diferente dependendo da posição de quem está observando.
Portanto, para se ter uma visão correta do objeto, é necessário reunir todos esses pontos de vista.
Essas vistas podem ser da face superior, da face inferior, frontal, anterior ou laterais direita e esquerda.
Veja como a figura a seguir se apresenta sob diferentes pontos de vista:
Vista Lateral Esquerda
Vista Superior
Vista Frontal
Vista Inferior
Vista Lateral Direita
Representação de um sólido através da visualização de suas partes (5)
A figura a seguir foi visualizada pelas quatro crianças em diferentes posições de acordo com a ilustração.
Relacione corretamente as figuras com a posição de cada observador.
Posição D
Posição A
Posição B
Posição C
Representação de um sólido através da visualização de suas partes (6)
Um objeto foi pendurado no teto de uma sala entre duas paredes com espelhos.
A figura abaixo mostra o reflexo do objeto nesses dois espelhos.
Qual das opções representa o objeto pendurado nesta sala?
Planificação a partir de projeção
Para auxiliar a visualização das arestas que compõem as faces do poliedro
o professor pode utilizar como recurso auxiliar a projeção das arestas que compõe o poliedro
com uma fonte luminosa (lâmpada) numa superfície branca (lousa, tela branca, etc).
Neste caso o desafio do aluno é movimentar o poliedro (sustentado por um fio)
para obter as demais faces projetadas.
Figuras Espaciais em Perspectiva (1)
O desenho abaixo mostra uma rua com construção
dos dois lados. Observando as janelas dessas
construções, você diria que elas possuem o mesmo
tamanho, isto é, a mesma largura e a mesma altura?
Justifique sua resposta.
Nesta fila de pessoas, os três primeiros são mais
altos do que os últimos? Justifique sua resposta.
Figuras Espaciais em Perspectiva (2)
Na atividade inicial, você teve a oportunidade de observar os desenhos de uma rua e de uma fila de pessoas.
Nos dois desenhos, a impressão que se tem é de que as janelas ou as pessoas que estão na frente são maiores.
Esses desenhos foram feitos dessa forma para dar a sensação de profundidade, isto é, de distância.
A representação de um objeto de uma situação da forma como é vista,
dando a ideia de profundidade é chama de perspectiva.
Existem diferentes tipos de perspectiva: cônica, cavaleira e isométrica.
Vamos trabalhar com a perspectiva isométrica por representar o objeto de forma menos deformada.
Veja o exemplo da representação de um cubo nas diferentes perspectivas.
Perspectiva cônica
Perspectiva cavaleira
Perspectiva cavaleira
Figuras Espaciais em Perspectiva (3)
Isométrica significa na mesma medida pois o prefixo iso significa mesma e métrica refere-se a medida.
Cada tipo de perspectiva mostra o objeto de um jeito.
Mas a perspectiva que mantém as mesmas proporções do comprimento,
da largura e da altura do objeto representado é a isométrica.
Essa perspectiva é baseada em um sistema de três semirretas denominadas de eixos isométricos,
que possuem um mesmo ponto de origem formando ângulos iguais a 120º.
Figuras Espaciais em Perspectiva (4)
Para representar uma figura na perspectiva isométrica, utilizaremos uma malha diferente da quadrada,
chamada isométrica, formada pelo cruzamento de retas paralelas, conforme é mostrado nas figuras a seguir:
Dessa forma, a malha isométrica fica formada por triângulos equiláteros.
Chamaremos de 1 unidade cada uma das distâncias entre duas restas paralelas consecutivas.
Figuras Espaciais em Perspectiva (5)
• Trace segmentos de reta com, por exemplo, 4 unidades como medida para cada uma das arestas.
Para marcarmos essas medidas, utilizaremos cada uma das três linhas da malha.
• Em seguida trace paralelas a duas dessas arestas.
• Una as arestas para obter as paralelas da 3ª aresta.
• Basta desenhar as duas últimas paralelas para ter o cubo representado.
Planificação a partir da abertura de uma aresta
Talvez a forma mais comum utilizada pelos professores para obter uma planificação de um sólido
é através da abertura de uma de suas arestas.
Um bom desafio a ser proposto aos alunos é solicitar que verifiquem
quantas planificações diferentes podem ser obtidas a partir do mesmo sólido.
Planificações de um cubo
É importante que o aluno perceba que a planificação de um sólido não é única.
Para que isto ocorra providencie cerca de 100 quadrados feitos de E.V.A. (3 X 3 cm) e fita adesiva
e solicite ao aluno que ele una seis quadrados com a fita adesiva de tal forma a obter um cubo.
Peça aos alunos que as planificações sejam registradas em papel quadriculado.
O desafio do grupo é obter todas as possíveis planificações do cubo.