Eletromagnetismo – Aula 5
Maria Augusta Constante Puget (Magu)
Capacitor (1)

O capacitor (condensador) é um dispositivo no qual
é possível se armazenar energia potencial
elétrica.

Indispensável na eletrônica, os capacitores são
utilizados na grande maioria dos circuitos elétricos e
sua indústria tem acompanhado os avanços
tecnológicos, produzindo modelos cada vez mais
modernos e compactos:
◦ Em máquinas fotográficas armazenando cargas para o
flash;
◦ Nos
circuitos
com
os
quais
sintonizamos
transmissores e receptores de rádio e televisão;
◦ Capacitores microscópicos formam os bancos de
memória dos computadores.
2
Capacitor (2)


Dois condutores de qualquer formato, isolados
eletricamente um do outro e de suas vizinhanças, formam
um capacitor.
Quando o capacitor é carregado, os condutores possuem
cargas iguais mas de sinais contrários, de intensidade Q.
+Q
-Q
3
Capacitor (3)

Independentemente de sua geometria, plana ou não,
chamamos os dois condutores de placas.

Um capacitor mais usual é o capacitor de placas
paralelas, que é formado por duas placas condutoras
paralelas de área A separadas por uma distância d.
4
Capacitor (4)

O símbolo utilizado para representar um
capacitor é:

Este símbolo baseia-se na estrutura de um
capacitor de placas paralelas, mas é usado para
capacitores de todas as geometrias.
5
Capacitor (5)
Os capacitores diferem:
1. Quanto à sua geometria:

◦ Planos.
◦ Cilíndricos.
◦ Esféricos.
Quanto ao material colocado entre as suas
armaduras, que pode ser qualquer isolante:
2.
◦
◦
◦
◦
Ar.
Cerâmica.
Plástico.
Vidro.
6
Capacitor (6)
7
Capacitância (1)
Quando um capacitor está carregado, suas
placas possuem cargas iguais, porém de sinais
contrários: +q e –q.
 Mas nos referimos à carga do capacitor
como sendo q, o valor absoluto destas cargas
sobre as placas.


Importante!!! A carga total no capacitor é
nula:
+q - q = 0
8
Capacitância (2)




Importante!!! Todos os pontos de um condutor
estão a um mesmo potencial!
Como as placas de um capacitor são
condutoras,
elas
são
superfícies
equipotenciais.
Além disso, quando o capacitor está carregado,
existe uma diferença de potencial entre as
duas placas. Chamamos esta diferença de
potencial de V.
Observa-se que a carga q e a diferença de
potencial
V para um capacitor são
proporcionais, ou seja:
q = CV
9
Capacitância (3)

A constante de proporcionalidade C é chamada
capacitância do capacitor.

Assim, a capacitância é uma medida de quanta
carga tem de ser colocada sobre as placas de
um capacitor para produzir uma certa diferença
de potencial entre elas: Quanto maior a
capacitância, maior é a carga exigida.
10
Capacitância (4)
O
valor da capacitância depende
apenas da geometria das placas e
não da sua carga ou da diferença de
potencial.
11
Capacitância – Capacitor de Placas
Paralelas

Para um capacitor de placas paralelas a
capacitância é dada por:
𝐴
𝐶 = 𝜀0
𝑑
aonde:
A = Área das armaduras (m2).
d = Distância entre as armaduras (m).
0 = Constante de permissividade no vácuo (0 = 9.10-12
F/m ).
12
Capacitância – Capacitor Cilíndrico

Para
um
capacitor
cilíndrico a capacitância
é dada por:
𝐿
𝐶 = 2𝜋𝜀0
ln 𝑏/𝑎
aonde:
L = Comprimento dos cilindros
coaxiais (m).
a = Raio do cilindro interno (m).
b = Raio do cilindro externo (m).
0 = Constante de permissividade
no vácuo (C2/N∙m2).
13
Capacitância – Capacitor Esférico

Para
um
capacitor
esférico a capacitância
é dada por:
𝑎𝑏
𝐶 = 4𝜋𝜀0
𝑏−𝑎
aonde:
a = Raio da esfera interna (m).
b = Raio da casca esférica
externa (m).
0
=
Constante
de
permissividade
no
vácuo
(C2/N∙m2).
14
Capacitância – Unidade (1)
A
unidade de capacitância no SI é o
Coulomb por Volt.
 Esta unidade aparece com tanta
frequência que recebe um nome
especial, o farad (F):
1 farad = F = 1 C/V
15
Capacitância – Unidade (2)
O
farad é uma unidade muito grande.
 Na
prática, os submúltiplos do farad:
o microfarad (F = 10-6 F), o
nanofarad (nF = 10-9 F) e o picofarad
(pF = 10-12F) são mais utilizados.
16
Capacitância – Unidade (3)

O nome da unidade de
capacitância é uma
homenagem à Michael
Faraday
(Newington,
Surrey, 22 de setembro
de 1791 — Hampton
Court, 25 de agosto de
1867), cientista que
muito contribuiu para
os
campos
do
eletromagnetismo e da
eletroquímica.
17
Carregando um capacitor (1)
 Para
carregar um capacitor, o
colocamos em um circuito elétrico
com uma bateria.
S
B
+
-
V
C
18
Carregando um capacitor (2)
Circuito elétrico: Percurso através
do qual cargas podem fluir.
Bateria: Dispositivo que mantém uma
certa diferença de potencial entre os
seus terminais.
19
Carregando um capacitor (3)
A
bateria mantém uma diferença de
potencial V entre os seus terminais.
 O terminal de potencial mais alto é
indicado pelo sinal + e frequentemente é
chamado de terminal positivo.
 O terminal de potencial mais baixo é
indicado pelo sinal - e frequentemente é
chamado de terminal negativo.
S
B
+
-
V
a
C
b
20
Carregando um capacitor (4)



O circuito representado é chamado de
incompleto porque a chave S está aberta, ou
seja, ela não conecta eletricamente os fios
presos a ela.
Quando a chave é fechada, o circuito está
completo e as cargas podem então fluir
através da chave e dos fios.
Quando o circuito está completo, o campo
elétrico criado pela bateria nos fios empurra
elétrons da placa a do capacitor até o
terminal positivo da bateria.
S
B
+
-
V
a
C
b
21
Carregando um capacitor (5)
 Assim,
a placa a, perdendo elétrons,
torna-se positivamente carregada.
O
campo empurra a mesma
quantidade de elétrons do terminal
negativo da bateria para a placa b do
capacitor.
 Assim, a placa b, ganhando elétrons,
torna-se
negativamente
carregada.
S
B
+
-
V
a
C
b
22
Carregando um capacitor (6)




Inicialmente, quando as placas estão descarregadas,
a diferença de potencial entre elas é nula.
Quando as placas passam a ter cargas contrárias,
essa diferença de potencial aumenta até que ela
iguale a diferença de potencial V entre os terminais
da bateria.
Então, a placa a e o terminal positivo da bateria
estão no mesmo potencial, e não há mais um campo
elétrico no fio entre eles.
Analogamente, a placa b e o terminal negativo
atingem o mesmo potencial e não há então nenhum
campo elétrico no fio entre eles.
S
B
+
-
V
a
C
b
23
Carregando um capacitor (7)
Assim, com o campo nulo, os elétrons
deixam de ser empurrados.
 Diz-se então que o capacitor está
completamente carregado, com uma
diferença de potencial V e uma carga q
que estão relacionados pela expressão:

q = CV
S
B
+
-
V
a
C
b
24
Associação de Capacitores (1)
Quando há uma combinação de capacitores em
um circuito, às vezes podemos substituir essa
combinação por um capacitor equivalente, ou
seja, um único capacitor que possui a mesma
capacitância que a combinação de capacitores
realmente existente.
 Com tal substituição, podemos simplificar o
circuito, possibilitando soluções mais fáceis para
grandezas desconhecidas do circuito.
 Duas combinações básicas entre capacitores são:

◦ Associação em paralelo.
◦ Associação em série.
25
Capacitores em Série (1)

Dois ou mais capacitores
estarão associados em
série quando entre eles
não houver nó, ficando,
dessa forma, a armadura
negativa de um ligada
diretamente
à
armadura positiva do
outro.

Ao estabelecermos uma diferença de potencial
elétrico nos terminais da associação, haverá
movimentação de elétrons nos fios que unem os
capacitores até que estes estejam completamente
carregados.
26
Capacitores em Série (2)

Ao ser conectada ao terminal positivo
da pilha, a armadura do capacitor C1 fica
eletrizada positivamente e induz uma
separação de cargas no fio que o liga ao
capacitor C2, atraindo elétrons para sua
outra armadura que fica eletrizada
negativamente e, consequentemente,
eletrizando a armadura positiva do
capacitor C2, que por sua vez induz uma
separação de cargas no fio que une este
ao capacitor C3, e assim por diante.
Esse fato nos permite concluir que:


Todos os capacitores ficam carregados com a mesma carga elétrica
Q.
A carga elétrica armazenada na associação é igual a Q, pois foi essa
quantidade que a pilha movimentou da armadura positiva do capacitor
C1 para a armadura negativa do capacitor C3.
27
Capacitores em Série (3)



Denominamos Capacitor Equivalente
aquele capacitor que, submetido à mesma
ddp V que a associação, adquire a mesma
carga elétrica Q da associação.
V1
V2
V
V3
V
Por ser uma associação em série, a ddp V nos terminais da associação é
igual à soma das ddps individuais em cada capacitor:
V = V1+V2+V3
Sendo a ddp em cada capacitor:
𝑉1 =
𝑄
; 𝑉2
𝐶1
=

Para o capacitor equivalente temos:

Portanto:
𝑄
;
𝐶2
𝑉3 =
𝑄
𝐶3
𝑄
𝑉=
𝐶𝑆
𝑄 𝑄
=
𝐶𝑆 𝐶1
𝑄
+
𝐶2
+
𝑄
𝐶3

1 1
=
𝐶𝑆 𝐶1
1
+
𝐶2
+
1
𝐶3
28
Capacitores em Série (4)

Generalizando para um número qualquer de
capacitores em série, podemos escrever:
1
=
𝐶𝑆

𝑛
𝑗=1
1
𝐶𝑗
Com base nesta equação pode-se mostrar que
o equivalente de uma série de capacitâncias é
sempre menor que a menor capacitância da
série.
29
Capacitores em Paralelo (1)
Dois ou mais capacitores estão
associados em paralelo quando
seus terminais estão ligados aos
mesmos nós e, consequentemente,
sujeitos à mesma diferença de
potencial V.
 Na figura, os capacitores estão com
seus terminais ligados aos mesmos
nós
A
e
B.



Nó: Qualquer ponto de um circuito
em que dois ou mais terminais se
encontrem.

Podem ser terminais de elementos de
circuito, como resistores, capacitores,
etc, ou mesmo fios de ligação.
Conectando os nós A e B aos terminais da pilha, os
capacitores ficam sujeitos à mesma ddp V e, se suas
capacidades eletrostáticas forem diferentes, adquirem
cargas elétricas Q1 e Q2 diferentes entre si.
30
Capacitores em Paralelo (2)

As armaduras ligadas ao nó A cedem
elétrons para a pilha e as ligadas ao nó
B recebem elétrons da pilha, de modo
que a carga elétrica total movimentada
pela pilha, das armaduras positivas para
as negativas, é igual à soma das cargas
Q1 e Q2, até que seja atingido o
equilíbrio eletrostático.
Portanto, concluímos que:
A carga elétrica Q armazenada na associação é igual à soma das cargas
elétricas armazenadas em cada capacitor:
Q=Q1+Q2
 Essa carga elétrica é igual à quantidade de carga elétrica movimentada pela
pilha das armaduras positivas para as negativas dos capacitores da associação.


Por ser uma associação em paralelo, a ddp V nos terminais A e B da
associação é a mesma para todos os capacitores.
31
Capacitores em Paralelo (3)



A carga elétrica em cada capacitor é:
Q1 = C1V e Q2= C2V
No capacitor equivalente temos:
Q = CP V
V
V
Como Q = Q1 + Q2, então:
CPV = C1V + C2 V

Assim, a capacitância do capacitor equivalente é
dada por:
CP = C1 + C2
32
Capacitores em Paralelo (4)

Generalizando para um número qualquer
de capacitores em paralelo, podemos
escrever:
𝑛
𝐶𝑃 =
𝐶𝑗
𝑗=1
33
Energia Armazenada em um Campo
Elétrico (1)
Um agente externo deve realizar trabalho
para carregar um capacitor.
 Este agente externo é uma bateria, a qual
realiza este trabalho às custas de sua
reserva de energia química.
 O trabalho necessário para carregar um
capacitor fica armazenado na forma de
energia potencial elétrica U no
campo elétrico entre as placas.

34
Energia Armazenada em um Campo
Elétrico (2)

Pode-se mostrar que
potencial é dada por:
𝑞2
𝑈=
2𝐶
esta
energia

Usando o fato de que q = CV, também
podemos expressar esta energia como:
1 2
𝑈 = 𝐶𝑉
2
35
Capacitor com um Dielétrico (1)
Um material não-condutor (por exemplo,
ar, vidro, papel ou madeira) é chamado de
dielétrico.
 Quando o espaço entre os dois
condutores de um capacitor é ocupado
por um dielétrico, a capacitância
aumenta por um fator que é
característico do dielétrico.
 Este
fato
foi
descoberto
experimentalmente por Michael Faraday.

36
Capacitor com um Dielétrico (2)

A razão para este aumento é que o
campo elétrico entre as placas de
um capacitor diminui na presença do
dielétrico.

Assim, para uma dada carga nas placas, a
diferença de potencial V é reduzida e a
capacitância (Q/V) aumenta.
37
Capacitor com um Dielétrico (3)
Consideremos um capacitor carregado, isolado,
sem um dielétrico entre suas placas.
 Uma lâmina dielétrica é, então, inserida entre as
placas, preenchendo completamente o espaço
entre elas.

Se a intensidade do campo elétrico era E0 antes
de ser inserida a lâmina dielétrica, após a sua
inserção a intensidade do campo passa a ser:
𝐸0
𝐸=

onde  (kapa) é a constante dielétrica do
material inserido.

38
Capacitor com um Dielétrico (4)

Para um capacitor de placas paralelas com
uma separação d, a diferença de potencial
V entre as placas é:
𝐸0 𝑑 𝑉0
𝑉 = 𝐸𝑑 =
=


onde V é a diferença de potencial com o
dielétrico e V0 é a diferença de potencial
original sem o dielétrico.
39
Capacitor com um Dielétrico (5)

Assim, a nova capacitância é:
𝑄
𝑄
𝑄
𝐶= =
=
𝑉 𝑉0
𝑉0

ou
𝐶 = 𝐶0
aonde C0 é a capacitância sem o dielétrico.
40
Capacitor com um Dielétrico (6)

A capacitância de um capacitor de placas
paralelas preenchido com um dielétrico de
constante  é, portanto:
𝜀0 𝐴 𝜀𝐴
𝐶=
=
𝑑
𝑑
onde
𝜀 = 𝜀0
O parâmetro 𝜀 é a permissividade do
dielétrico.
41
Capacitor com um Dielétrico (7)
Na discussão precedente, o capacitor estava
eletricamente isolado, isto é, não fazia parte
de um circuito e, portanto, a carga em suas
placas não sofreu variação quando o
dielétrico foi inserido.
 Por outro lado, se o dielétrico é inserido
enquanto a bateria permanece conectada, a
bateria bombeia carga adicional para manter
a diferença de potencial original.
 A carga total nas placas é, então Q=Q0.
 Em ambos os casos, a capacitância (Q/V)
aumenta por um fator .

42
Capacitor com um Dielétrico (8)

Dielétricos:
◦ Aumentam a capacitância de um capacitor;
◦ Fornecem uma maneira de manter as placas
condutoras paralelas separadas;
◦ Aumentam a diferença de potencial na qual
ocorre a ruptura dielétrica.

Rigidez Dielétrica corresponde ao maior
valor do campo elétrico aplicado a um
isolante sem que ele se torne um condutor.
43
Capacitor com um Dielétrico (9)
Constante Dielétrica e Rigidez Dielétrica
de alguns materiais
44