Capacitância
Revisando a Física 1
Universidade Estadual do Piauí
Campus Parnaíba
Professor : Olímpio Sá
Curso de Física 2 para Ciências da Computação
1o semestre, 2014
Capacitância
Capacitores
Dois condutores carregados com cargas +Q e –Q e isolados, de
formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor .
A sua utilidade é armazenar energia potencial no campo
elétrico por ele formado .
Capacitância
Capacitores
O capacitor mais convencional é o de placas paralelas . Em
geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos
condutores que o compõem, independentemente das suas formas.
Capacitor de placas paralelas
Outros capacitores
Capacitância
Capacitores
Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam
superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à
diferença de potencial entre elas, ou seja:
Q  CV ,
onde C é a chamada capacitância do capacitor. Então:
Q
C
V
A constante C depende apenas da geometria do capacitor.
No SI a capacitância é medida em farads (F).
1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V
6
1  farad = 10 F
Importante:  0  8,85 pF/m
Capacitância
Carregando o capacitor
Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma
bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao
capacitor. Assim, em função de
Q  CV ,
cargas Q e –Q irão se acumular nas placas do
capacitor estabelecendo entre elas uma
diferença de potencial –V que se opõe à
diferença de potencial da bateria e faz cessar o
movimento de cargas no circuito.
Cálculo da Capacitância
Esquema de cálculo
Em geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria,
o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior
através da lei de Gauss:
 
qint
   E ( r )  nˆdA 
0
A
De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de
potencial entre as duas placas como: 
rf
  
V  V f  Vi    E ( r )  dl

ri
E, finalmente, usamos o resultado anterior em Q  CV , de onde
podemos extrair C.
Capacitância
Capacitor de placas paralelas
 
qint
   E ( r )  nˆdA 
0
A
Q
E
0 A

rf
  
V f  Vi    E ( r )  dl

ri
Q  CV
V  Ed
C
0 A
d
Nota-se que a capacitância só depende de fatores geométricos do
capacitor.
Capacitância
Capacitor cilíndrico
 
qint
   E ( r )  nˆdA 
0
A

rf
E
Q
2  0 Lr
  
V f  Vi    E ( r )  dl
b
V
ln  
20 L  a 
Q  CV
L
C  2 0
b

ln 
a

ri
Q
Capacitância
Capacitor esférico
 
qint
   E ( r )  nˆdA 
0
A

rf
E
Q
4  0 r 2
  
V f  Vi    E ( r )  dl
Q ba
V
40 ab
Q  CV
ab
C  4 0
ba

ri
Capacitância
Esfera isolada ( R  a)
+
+
+
ab
a
C  40
 40
a
ba
1
b
b
a
+
+
+
b
+
+
+
+
C  40 a
Exemplo numérico:
R=1m ,  0  8,85 pF/m

E
C 1,110 10 F
+
Capacitância
Capacitores em paralelo
q1  C1V , q2  C2V e q3  C3V
q  q1  q2  q3  q  (C1  C2  C3 )V
Como
q  Ceq V
Ceq  C1  C2  C3
ou
Ceq 
C
i
i
Capacitância
Capacitores em série
q  C1V1 , q  C2V2 e q  C3V3
1 1 1
V1  V2  V3  V  q     V
 C1 C2 C3 
Como
q  Ceq V
1
1
1
1
ou
 

Ceq C1 C2 C3
1

Ceq

i
1
Ci
Energia no capacitor
Energia armazenada no campo elétrico
Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um
capacitor. Este trabalho fica armazenado sob a forma de energia
potencial na região do campo elétrico entre as placas.
Suponha que haja q e – q armazenadas nas placas de um
capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar dq de uma
placa para a outra é então:
q
q2
W  dW 
dq 
C
2C
0
q
dW  V  dq  dq
C

2
q
1
U
 CV 2
2C 2
q

Energia no capacitor
Densidade de energia
energia potencial
u
volume
Em um capacitor de placas paralelas sabemos que:
C
0 A
d
e
V  Ed
1
1 0 A 2 2
2
U  CV 
Ed
2
2 d
U 1
u
 0E2
Ad 2
Apesar da demonstração
ter sido para o capacitor
de placas paralelas, esta
fórmula é sempre válida!
Dielétricos
Visão atômica
Dielétricos são materiais isolantes que podem
ser polares ou não-polares.
E0=
0
-+
-+
-+
-+
-
-+
-+
-+
-+
-
-+
- + E0 - +
-+
-
E
E´
+
+
E0
+
Dielétricos
Capacitores com dielétricos
Ao colocarmos um material dielétrico entre
as placas de um capacitor a sua capacitância
aumenta. Como
Q  CV
Se V é mantido constante, a carga
nas placas aumenta; então C tem que
aumentar.
Vimos: C   0 ,
onde  tem dimensão de comprimento.
Então, na presença de um dielétrico
preenchendo totalmente o capacitor:
Cd   0  onde
 1
No vácuo, 
1
Dielétricos
Material
Constante dielétrica Resistência
Dielétrica (kV/mm)
Ar (1 atm)
1,00054
3
Poliestireno
2,6
24
Papel
3,5
16
Pirex
4,7
14
Porcelana
6,5
5,7
Silício
12
Etanol
25
Água (20º)
80,4
Água (25º)
78,5
Lei de Gauss com Dielétricos
 
q
(a):  E0 ( r )  nˆdA 
q
E0 
0 A
0
S
 
q  q
q  q
(b):  E ( r )  nˆdA 
E
0 A
0
S
E0
q
q
q  q

E 
 q  q 

  0 A  0 A
 
q
Em (b):  E ( r )  nˆdA 
 0
S
Ou:
 
,
ˆ
D
(
r
)

n
dA

q

 
 A
onde D(r )   0 E ( r ) é o vetor de deslocamento elétrico.

Então, na lei de Gauss expressa com o vetor D aparecem apenas
as cargas livres (das placas).