2ª Aula
Modelação da dinâmica de populações.
Crescimento e decaimento de 1ª
ordem. Equação da logística.
O que é um modelo?

  




dV    v .n  A   n dA 

 t CV
surface
 ( So  Si )
Os modelos matemáticos melhoram com a idade.....
BEST – IST, 2006
Princípio de conservação
Taxa de acumulação
num volume de
controlo

t
Ao que entra
menos o que sai
=
 dV    
+
  
O que se produz
menos o que se
destrói



 v .n  A   n dA  ( S o  S i )
CV
surface
Volume isolado

t
 dV  ( S
o
 Si )
CV
• Se β for uma concentração uniforme no volume:

Vol
 ( So  Si )
t
• Escrevendo fontes/poços por unidade de volume:
c
 so  si
t
Dinâmica de populações
c
n
 kc
t
No caso de (n=1) => 1ª ordem:
A solução analítica é:
c  c0e
(n=0)
=> decaimento/crescimento
de ordem zero (evolução linear)
(n=1) => 1ª ordem (exponencial)
……..
c
K>0
kt
c0
No caso de (n=1) => 1ª ordem:
K >0 implica crescimento exponencial
K<0 decaimento assimptótico para zero.
K<0
t
Decaimento de 1ª ordem
• Normalmente admite-se que:
– A mortalidade bacteriana fecal tem decaimento
de 1ª ordem, quantificado pelo T90,
– Os pesticidas têm decaimento de 1ª ordem,
quantificado pelo tempo de “semi-vida”.
• Como calcular o k?
c  c0e
kt
=>
0.1c0  c0e
kT90
=>
ln0.1
k
T90
T90=1 hora => k=-6.4E-4/s.
No caso do tempo de semi-vida seria idêntico com ln(0.5)
Solução “Logística”
•A solução designada por “Logística admite que o
crescimento exponencial não é sustentável. Admitindo que
há uma população máxima.
• K deverá ser variável.
c
c
 kcn
t
k  k0 cmax  c  / cmax
Cmax
C0
t
Solução Numérica (explícito)
c
 kcn
t
k  k0 cmax  c  / cmax
Se usarmos um método
explicito vem:
ct t  1  kt ct
Discretizando a derivada
temporal obtém-se:
c t  t  c t
*
 kc
t
Comparação numérico e analítico
1.20E+07
1.00E+07
8.00E+06
6.00E+06
Numérico implícito
4.00E+06
2.00E+06
Ver folha Excel “dinâmica de populações”
18000
17100
16200
15300
14400
13500
12600
11700
10800
9900
9000
8100
7200
6300
5400
4500
3600
2700
1800
900
0
0.00E+00
Solução Numérica (explícito)
Se usarmos um método
explicito vem:
ct t  1  kt ct
Se k<o então o parênteses pode ser negativo
se o intervalo de tempo for elevado. Nesse
caso a nova concentração ficaria negativa e o
método ficaria instável. A condição de
estabilidade é:
k 0
1  kt   0  t  1 / k
Nesta passagem o sinal da
desigualdade troca quando de divide
por k<0
Solução Numérica (implícito)
c
 kcn
t
k  k0 cmax  c  / cmax
Se usarmos um método
implícito a equação fica:
t  t
c
 kc*
t
t  t
t
c  c / 1  kt 
c
t
Neste caso o método pode
instabilizar no caso de k>0:
k 0
1  kt   0  t  1 / k
Critérios de estabilidade
• Quando temos mortalidade, se o método for explícito o
número de indivíduos que morre é função do valor que
tínhamos no início do passo de tempo. Isso implica que o
valor seja calculado por excesso. Se o passo no tempo for
demasiado grande poderemos eliminar mais indivíduos do
que os existentes e ficamos com um valor negativo (o mesmo
se pode dizer para a concentração).
• Quando temos natalidade o problema coloca-se com o
método implícito porque fisicamente o número de filhos é
proporcionalmente ao número de pais e por isso o cálculo
deve de ser explícito. O cálculo implícito seria equivalente a
dizer que “os filhos já nasceriam trazendo filhos ao colo”.
Generalizando poderemos dizer que:
• As fontes devem de ser calculadas explicitamente e
os poços implicitamente. Se isso for possível evitamse instabilidades no modelo.
• Se o modelo for estável qual deve de ser o passo
temporal? O menor possível para que a solução
numérica não se afaste da solução analítica. x
c
K>0
implícito
explícito
c0
K<0
t
Considerações Finais
• Os modelos baseados em decaimentos de primeira
ordem podem ser realistas para propriedades que não
se produzem no meio ambiente.
• Os modelos baseados em crescimentos de primeira
ordem são pouco realistas.
• A equação da logística pode dar-lhes algum realismo.
• O ideal é os modelos reproduzirem os processos de
produção e de decaimento. O modelo de LotkaVolterra é o mais simples que tenta atingir este
objectivo.
Modelo Presa-Predador (Lotka-Volterra)
•Na equação:
c
 kcn
t
k  k0 cmax  c  / cmax
Só a logística é que limita o crescimento. Na
realidade aparece sempre um predador que
cresce com a presa.
c p
 k p c p  k g c p cz
t
cz
 eg k g c p cz  k mz cz
t
Equações de
Lotka-Volterra
Problemas do modelo de Lotka
Volterra
• Não conserva a massa. A Natureza precisa de pelo
menos 3 variáveis de estado:
dc p
 k pc p  k g c pcz
dt
dcz
  e g k g c p c z  k mz c z
dt
dcD
  k p c p  1  e g k g c p c z  k mz c z
dt
• Nota: As derivadas passaram a totais para descrever o caso de o fluido
estar em movimento.
• Poderá kp ser constante? Será razoável que a presa
consuma detritos? Precisamos de mais variáveis...
Forma geral das Equações
 c p

 vj


 k p c p  k g c p cz
dt
t
x j x j x j
dc p
c p
c p
dcz c z
c z
 c z

 vj


 e g k g c p c z  k mz c z
dt
t
x j x j x j
dcD c D
c D
 c D

 vj


 k p c p  1  e g k g c p c z  k mz c z
dt
t
x j x j x j
Nestas equações adicionamos o transporte difusivo.