Sistemas de Controle de
Aeronaves II
Introdução ao Matlab e
Equacionamento longitudinal de
uma aeronave
Eduardo Morgado Belo
Mateus Moreira de Souza
2012
Introdução ao MATLAB
Manipulação de Matrizes
Manipulação de Gráficos
Current Directory
MATLAB
Command Window
Command History
Workspace
Manipulação de Matrizes no MATLAB
• Criando uma matriz
▫ Envolva os elementos da matriz com
[ ].
▫ Separe os elementos de uma linha
usando espaços ou vírgula (,).
▫ Use o ponto e vírgula (;) para indicar
o final de uma linha.
• A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]
• A = [16,3,2,13;5,10,11,8;9,6,7,12;4,15,14,1]
Manipulação de Matrizes no MATLAB
• Utilizando elementos de uma
matriz.
▫ Matriz (linha ,coluna )
• A( 2 , 1 )
• Para selecionar mais de um
elemento da matriz.
▫ Matriz ( [ linhas ],[ colunas ])
• A( [1 2] , [1 3 4] )
Manipulação de Matrizes no MATLAB
• Usando os dois pontos ( : ).
▫ Pode gerar vários elementos com
passo unitário.
▫ Valor inicial : Valor final
• 1:10
▫ Pode gerar vários elementos com
passo escolhido.
▫ Valor inicial : Passo : Valor final
• 1:2:10
Manipulação de Matrizes no MATLAB
• Usando os dois pontos com
matrizes
▫ Pode ser utilizado para selecionar
vários elementos de uma matriz.
• A ( 1 : 3 , 1)
• A(3,2:2:4)
• A(2:4,1:2:3)
▫ Pode ser utilizado para selecionar
uma linha ou coluna de uma
matriz
• A(:,1)
• A(2,:)
• A(:,:)
Manipulação de Matrizes no MATLAB
• Operadores
▫
▫
▫
▫
▫
▫
+ Soma
- Subtração
* Multiplicação
/ Divisão
^ Potenciação
‘ Transposta de matriz e
conjugado de número
imaginário
▫ ( )Índice
Manipulação de Matrizes no MATLAB
• Comandos para matrizes
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
zeros (a,b) = Cria uma matriz a x b de 0.
ones (a,b) = Cria uma matriz a x b de 1.
eye (n)
= Cria a matriz identidade de ordem n
A (end, : ) = Apresenta a ultima linha de A.
sum (A)
= Soma dos valores de cada coluna de A.
diag(A)
= Cria um vetor com os elementos da diagonal de A.
transpose(A) = Cria a matriz transposta de A.
det (A)
= Retorna o determinante de A.
rank(A)
= Retorna o número de linhas independentes de A.
inv(A)
= Cria a matriz inversa de A.
eig(A)
= Cria um vetor com os autovalores de A.
[V,D]=eig(A) = Cria uma matriz D com os autovalores de A e
uma matriz V com os respectivos autovetores.
▫ poly(A)
= Cria um vetor com os elementos da equação
característica de A.
Exemplo
• Usar os comando para a matriz A:
• A=[15 12 4 1; 4 2 9 0; 5 1 0 0; 3 0 0 0];
• Comandos:
• A (end, : ) , A (: , end ) , sum (A) , diag(A),
transpose(A) , det (A) , rank(A) , inv(A) ,
[V,D]=eig(A) , poly(A).
Manipulação de Gráficos no MATLAB
• Criando um gráfico
▫ O comando plot (x,y) cria um
gráfico 2D.
• t=0:0.1:2*pi ;
• y=sin(t) ;
• plot(t,y)
▫ O comando plot(x,y,’prop’)
cria um gráfico com as
propriedades atribuídas à
linha.
• plot(t,y,’r--+’)
Manipulação de Gráficos no MATLAB
Manipulação de Gráficos no MATLAB
• Múltiplos gráficos
▫ Usando apenas um comando plot.
• plot(x1,y1,’prop1’,x2,y2,’prop2’)
▫ Usando hold on , hold off.
• plot(x1,y1,’prop1’); hold on ; plot(x2,y2,’prop2’); hold off.
▫ Usando subplot.
• subplot(2,1,1); plot(x1,y1,’prop1’);
• subplot(2,1,2); plot(x2,y2,’prop2’);
▫ Usando figure.
• figure(1); plot(x1,y1,’prop1’)
• figure(2); plot(x2,y2,’prop2’)
Manipulação de Gráficos no MATLAB
• Utilizando t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t);
plot(t,x,’b’,t,y,’r’)
plot(t,x,’g’) ; hold on
plot(t,x,’k’) ; hold off
subplot(1,2,1) ;
plot(t,x,’b’)
subplot(1,2,2) ;
plot(t,y,’r’)
figure(1)
plot(t,x,’b’)
figure(2)
plot(t,y,’r’)
Manipulação de Gráficos no MATLAB
• Comandos de edição do gráfico
▫ legend(‘x1’, ‘x2’ , ...)
= Insere a legenda de x1, x2, ...
▫ title(‘texto’)
= Insere o título no gráfico.
▫ xlabel(‘x’) , ylabel(‘y’) , zlabel(‘z’) = Nomeia os eixos x, y e z
respectivamente.
▫ axis([xmin xmax ymin ymax]) = Limita a área apresentada
pelo gráfico.
▫ axis equal = o incremento nos eixos x e y ficam iguais.
▫ grid on = cria uma malha no gráfico.
Exemplo
•
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•
•
•
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t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t);
plot(t,x,'r',t,y,'b')
title('Funções seno e cosseno')
xlabel('t')
ylabel('sin(t) e cos(t)')
axis([0 2*pi -1 1])
axis equal
grid on
legend('sin(t)','cos(t)')
Sistemas Dinâmicos
Sistemas dinâmicos
• Sistema massa, mola, amortecedor.
▫ Forma diferencial.
▫ Transformada de Laplace.
Sistemas dinâmicos
• Sistema massa, mola, amortecedor.
▫ Espaço de Estados
▫ Função transferência
Sistemas dinâmicos
• Comandos de MATLAB para sistemas dinâmicos
▫ SYS = ss(A,B,C,D) = Cria um sistema no espaço de estados.
▫ set(SYSEE, 'inputname', {‘u‘ }, 'outputname', {‘y'},...
'statename', {'x‘ }); = Configura o nome das entradas e saídas do
sistema.
▫ [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) = Gera o numerador e denominador
da função transferência do sistema no espaço de estados.
▫ SYS=tf(num,den) = Cria a função transferência do sistema.
▫ roots(den) = Retorna as raízes do polinômio den.
▫ step(SYS) = Cria gráficos com a resposta degrau de todas as
entradas para todas as saídas do sistema SYS.
▫ impulse(SYS) = Cria gráficos com a resposta impulso de todas as
entradas para todas as saídas do sistema SYS.
Sistemas dinâmicos
• Exemplo
▫ Escrever o sistema no espaço de estados
• M=2Kg;B=16Ns/m;K=8N/m;
▫ Obter a função transferência.
▫ Obter a equação característica.
▫ Obter as raízes da equação
característica
▫ Resposta a entrada degrau
▫ Resposta ao impulso
Trabalho
• Escrever um M.file contendo:
▫ A equações da dinâmica de vôo do Boeing 747 no
espaço de estados.
▫ A função transferência θ/δE.
▫ A equação característica.
▫ As raízes da equação característica.
▫ A resposta de θ à entrada degrau de δE.
▫ A resposta de θ à entrada impulso de δE.
Equações do vôo longitudinal
Condição de vôo B747
M=0.8 Altitude=40000 ft
W (N)
S (m2 )
c (m)
b (m)
Ix (Kg*m2)
Iy (Kg*m2)
2.8317*106
511
8.324
59.64
0.247*108
0.449*108
Iz (Kg*m2)
Izx Kg*m2)
u0 (m)
ρ (Kg/m3)
CL0
CD0
0.673*108
-0.212*107
235.9
0.3045
0.654
0.0430
X(N)
Z(N)
M(m*N)
u
(m/s)
-1.982*103
-2.595*104
1.593*104
w
(m/s)
4.025*103
-9.030*104
-1.563*104
q
(rad/s)
0
-4.524*105
-1.521*107
dw/dt
(m/s2)
0
1.909*103
-1.702*104
δE
(rad)
-54.23
-5.181*106
-1.707*106
Referências
• Help MATLAB
• Etkin, B. . ’Dynamics of flight : stability and
control’, 3ª ed.. Wiley.