Lógica de Primeira Ordem -1
Variáveis e Quantificadores
Semântica de Quantificadores
Tradução
Referência:
Language, Proof and Logic
Jon Barwise e John Etchemendy, 1999
Capítulo: 9
1
Variáveis e fórmulas atómicas

Variáveis: aparecem como argumentos de predicados
–
–
–

Não referem objectos: marcam lugares nos argumentos dos
predicados
LPO: lista infinita de variáveis
Tarski’s World: u, v, w, x, y, z
Fórmulas atómicas
–
Fórmulas bem formadas

–
variáveis podem surgir como argumentos
Para serem frases: todas as variáveis quantificadas
Lógica de Primeira Ordem-2
Quantificadores


Afirmações acerca do número de coisas que verificam uma
condição
" todos os objectos satisfazem a condição
–
–
LN: todo…, cada…, qualquer um…
LPO: "x ligação de variável

para todo o objecto x…
"x NaSala(x)
"x (AlunoLogC(x)  NaSala(x))

$ pelo menos 1 objecto satisfaz a condição
–
–
LN: algum…, existe…, um…
LPO: $x ligação de variável

para algum objecto x…
$x NaSala(x)
$x (AlunoLogC(x)  NaSala(x))
Lógica de Primeira Ordem-3
WFF’s

AlunoLogC(x)  NaSala(x)
–

WFF atómica:
–

expressão com variáveis não quantificadas
predicado n-ário + n variáveis ou constantes
Formação de WFF’s






1. P é wff, P é wff
2. P1, … Pn são wff’s, (P1  …  Pn) é wff
3. P1, … Pn são wff’s, (P1  …  Pn) é wff
4. P e Q são wff’s, (P1  Pn) é wff
5. P e Q são wff’s, (P1  Pn) é wff
6. P é wff e n é variável


"n P é wff
(ocorrências de n em P são ligadas)
7. P é wff e n é variável
 $n P é wff
(ocorrências de n em P são ligadas)
Lógica de Primeira Ordem-4
Frases
(Cube(x)  Small(x))
$y LeftOf(x,y)
wff com x variável livre
wff com x variável livre e y variável ligada
((Cube(x)  Small(x))  $y LeftOf(x,y))
wff
"x ((Cube(x)  Small(x)) $y LeftOf(x,y)) frase

Frase: wff sem variáveis livres
–
expressão com variáveis todas quantificadas
$x (AlunoLogC(x)  NaSala(x))
NaSala(x)
Frase? 
$x AlunoLogC(x) 
Frase? 
Lógica de Primeira Ordem-5
Satisfação de wff’s

Nas conectivas:
valor lógico de fórmula complexa é função dos valores lógicos das
componentes

Expressões quantificadas: componentes não são frases
$x Cube(x)

Cube(x) não é frase, não é verdadeiro nem falso
Satisfação de wff’s
–Objecto



satisfaz wff
a satisfaz Cube(x) se a é cubo
a satisfaz (Cube(x)  Small(x)) se a é cubo e a é pequeno
a satisfaz (Cube(x) Small(x)) se a é cubo ou a não é pequeno
Lógica de Primeira Ordem-6
Verificar se um objecto satisfaz a wff S(x)

Objecto tem um nome: b
–
–

S(b) é frase
S(b) verdadeira : b satisfaz S(x)
Objecto não tem nome
–
–
–
Escolhe-se um nome não usado: n1
S(n1) é frase
S(n1) é verdadeira: objecto satisfaz S(x)
Lógica de Primeira Ordem-7
Semântica dos quantificadores


Frases quantificadas: são verdadeiras ou falsas em relação a
um domínio de discurso
Domínio de discurso:
–
colecção de coisas acerca das quais se fazem afirmações

"x S(x)
Verdadeiro se e só se S(x) é satisfeito por todos os objectos
do domínio de discurso

$x S(x)
Verdadeiro se e só se S(x) é satisfeito por algum objecto
do domínio de discurso
Lógica de Primeira Ordem-8
Quantificadores: regras do jogo
Nas regras para as conectivas:
escolher frases e subfrases
Nas regras para os quantificadores:
escolher objectos
Forma
Afirmação
Quem joga
PQ
V
nós
F
Tarski’s World
V
Tarski’s World
F
nós
V
nós
F
Tarski’s World
V
Tarski’s World
F
nós
PQ
$x P(x)
"x P(x)
Objectivo
Escolher um de P e Q
verdadeiro
Escolher um de P e Q
falso
Escolher objecto b que
satisfaça a wff P(x)
Escolher objecto b que
não satisfaça a wff P(x)
Lógica de Primeira Ordem-9
As 4 formas aristotélicas
(1) Todos os P’s são Q’s
(2) Alguns P’s são Q’s
(3) Nenhum P é Q
(4) Alguns P’s não são Q’s
(1) "x (P(x)  Q(x))
(2) $x (P(x)  Q(x))
porque não $x (P(x)  Q(x)) ?
(3) "x (P(x)  Q(x))
serve $x (P(x)  Q(x)) ?
(4) $x (P(x) Q(x))
Lógica de Primeira Ordem-10
Exemplo

Linguagem:
–
–

extensão da linguagem de 1ª ordem da aritmética
predicados adicionais Par(x) e Primo(x)
Exprimir as afirmações:
Nenhum número par é primo
Todo o número primo é ímpar ou igual a 2
Algum dos números primos é par
Algum dos números primos não é par

Quais são as frases verdadeiras ?
Lógica de Primeira Ordem-11
Tradução de frases nominais complexas
Um rapaz que vive em Cedofeita…
Todas as mulheres portuguesas…

Frases existenciais um…, alguma…, alguém…
Um cão pequeno e feliz está em casa
$x ((Cao(x) Pequeno(x)  Feliz(x))  EmCasa(x))

Frases universais todo…, cada…, as…, qualquer…
Todo o cão pequeno que está em casa está feliz
"x ((Cao(x) Pequeno(x)  EmCasa(x))  Feliz(x)))
Lógica de Primeira Ordem-12
Afirmações vacuosas

"x (P(x)  Q(x))
Mundos sem objectos que satisfaçam P(x): frase é verdadeira
–
–
diz-se uma generalização vacuosamente verdadeira
Exemplo:
"x (Tet(x)  Small(x))

verdadeira em mundos onde não haja tetraedros
"x (Tet(x)  Cube(x))



verdadeira em mundos onde não haja tetraedros (e só esses)
só pode ser verdadeira de forma vacuosa: é inerentemente vacuosa
Frases vacuosamente verdadeiras: raras em LN
Todos os caloiros que frequentaram LogC tiveram 18


verdadeira se nenhum caloiro frequentou a cadeira
frases inerentemente vacuosas associada à intenção de “enganar” o ouvinte
Lógica de Primeira Ordem-13
Contradição?


Os pares de frases são contraditórios?
Quais as frases verdadeiras nos mundos apresentados?
Alguns alunos de LogC são do FCP
Alguns alunos de LogC gostam de Lógica
Todos os alunos de LogC são do FCP
Todos os alunos de LogC gostam de Lógica
FCP
alunos
alunos
SCP
logicista
Lógica de Primeira Ordem-14
Decorrência conversacional
(1) Alguns P’s são Q’s
(2) Todos os P’s são Q’s

Intuição: são contraditórias num discurso
Alguns alunos de LogC vão passar
Todos os alunos de LogC vão passar

Se fossem contraditórias: tradução de (1) seria
$x (P(x)  Q(x)) "x (P(x)  Q(x))

De novo a decorrência conversacional
"x (P(x)  Q(x)) não é parte do significado
afirmações subsequentes a (1) podem afirmar (2) sem serem contraditórias
Lógica de Primeira Ordem-15
Símbolos de função

Construir nomes complexos a partir de outros nomes
pai(pai(Rui))
(1+ (1+1))

Variáveis: podem aparecer nos termos
pai(pai(x))
(1+ (1+y))

Wff’s
MaisAlto( pai(pai(x)), x)
Par( y  y)

Frases
"y (Par(y) Par( y  y))
Lógica de Primeira Ordem-16
Negação de frases quantificadas
Leis de DeMorgan para quantificadores
(1) "x P(x)  $x P(x)
(2) $x P(x)  "x P(x)

Formas aristotélicas:
–
Todos os P’s são Q’s é negação de Alguns P’s não são Q’s
"x (P(x)  Q(x)) "x ( P(x)  Q(x))
 $x  P(x)  Q(x))
 $x ( P(x)  Q(x))
$x (P(x) Q(x))
Lógica de Primeira Ordem-17
Substituição de variáveis ligadas

Para toda a wff P(x) e variável y que não ocorre em P(x)
(1) "x P(x)
(2) $x P(x)
 "y P(y)
$y P(y)
Lógica de Primeira Ordem-18
Tradução com quantificadores
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Só os bravos sabem como perdoar
Nenhum homem é uma ilha
Eu não me preocupo com ninguém, se ninguém se
preocupar comigo
Cada nação tem o governo que merece
Não há certezas, à parte a lógica
A miséria (i.e., pessoa miserável) gosta de companhia
Nem tudo o que luz é ouro
Havia um moleiro alegre que viveu no rio Côa
Se prezas toda a gente não prezas ninguém
Algo está podre no reino da Dinamarca
Lógica de Primeira Ordem-19
Respostas
1.
2.
3.
"x (Perdoa(x)  Bravo(x))
"x (Homem(x)  Ilha(x))
$x Preocupa(x, eu)  $x Preocupa(eu, x))

4.
6.
7.
8.
9.
10.
"x (Preocupa(x, eu)  Preocupa(eu, x))
significa?
o que
"x (Nação(x)  Merece(x, governo(x))

5.
x’s diferentes
"x "y [(Nação(x)  Governo(y)  Tem(x, y))  Merece(x,
y)]
Certo(Lógica)  $x (xLógica  Certo(x))
ou com "
"x (Miserável(x)  $y (Companhia(y, x)  Gosta(x, y)))
"x (Luz(x)  Ouro(x))
$x (Moleiro(x)  Alegre(x)  Rio(Côa)  Vive(x, Côa)) sem tempo
"x [(Pessoa(x)  "y (Pessoa(y)  Preza(x,y))) 
"y (Pessoa(y)  Preza(x,y))]
Reino(dinamarca)  $x(Podre(x)  Local(x, dinamarca))
Lógica de Primeira Ordem-20