Teoria da Relatividade
Lista suplementar
Considere dois referenciais, S e S´, com origens em O e O´. O referencial S´ move-se com
velocidade v = 4/5 cî, em relação a S.
(a)Se um foguete e lançado de S com velocidade u = (1/2î +2/5 ĵ)c qual e a velocidade u´ do
foguete para um observador em repouso no referencial S´?
S´ 4/5c
S
u´ x 
ux  v
1/2- 4/5c

vu x  4 / 5  1 / 2 c 2
1 2
1 

c
c2






 1 / 2c
v2
u y 1 2
c
u´ y 
 2 / 5c
 vu y 
1 

2 

c 



u´  1 / 2iˆ  2 / 5 ˆj c
(b)Suponha que dois pulsos de luz sejam enviados simultaneamente em S,dos pontosx1 = 600 m
e x2 = 800 m, na direção de um detector localizado na origem O. Quais os intervalos de tempo
entre as detecções dos pulsos de luz em O, medidos por observadores nos sistemas S e S0?
4/5c
S
Em S
t1  x1 / c  2 106 s
t 2  x2 / c  8 / 3 106 s
t  2 / 3 106 s
Em S´
t´ t  1 / 9 105 s
c) Suponha agora que uma partícula de massa M0 = 1.0 GeV/c2 move-se em S, com velocidade
v = 3/5cî.
Determine a energia e o momento linear relativístico da partícula, em relação ao referencial S.
4/5c
S
Cálculode  : v  3/5c
 (v)  1 
v2
c
2
 5/ 4
E   ( v) M 0 c  1,25GeV
2
O momento linear:


p   ( v) M 0 v  0,75GeV/c
4. Dois foguetes, A, B, partem da Terra com velocidade constante de magnitude 0,6 c na mesma
direção, mas em sentidos opostos, em relação à Terra, tendo sincronizado seus respectivos
relógios, um com o outro e com o relógio da Terra, no momento da decolagem. Considere
desprezíveis os efeitos da aceleração dos foguetes.
(a) Determine a magnitude da velocidade do foguete A em relação ao foguete B.
ua  ub
v´ A 
 15 / 17c
uaub
1 2
c
(b) Após um ano medido na Terra, o foguete B emite um sinal luminoso. Depois de quanto
tempo, nos referenciais da Terra, do foguete A e do foguete B, o foguete A recebe o sinal.
Da Terra o pulsodemora : tc  3anos
Um fogueteem relação ao outroo tempo é :
t´ t 
t
1
2
VA
c2
 3,75anos
(c) O foguete A está indo na direção de uma estrela que fica a 6,0 anos-luz, medido por um
observador da Terra. Determine o tempo que o foguete A leva para atingir esta estrela, segundo
o relógio de bordo.
No ref. A a dist.terra - estrelaserá menor :
d´ d / 
No ref. de A o tempo para percorrera dist.6,0 anos - luz será :
d 1
t´ d´/VA 
VA
Va
c2
 8anos
4. Uma partícula de massa de repouso m0 = 1 GeV/c2 e velocidade v =√3/2c colide com outra
partícula idêntica, mas que está em repouso. Após a colisão, as duas partículas caminham
juntas, formando uma partícula composta, com massa de repouso M0 e velocidade V após a
colisão. Calcule, para essa partícula composta:
a) Sua velocidade V após a colisão.
P or conservação de momento :
m 0   ´M 0V
P or conservação de energia:
  1m0 c 2   ´M 0 c 2
Subst.uma na outra: V 
3
calculando: V 
c
3

  1
v
(b) Sua massa de repouso M0.
P orconservação de energia:
  1m0 c 2   ´M 0 c 2
obtemosM 0 :
M0

  1

m

0
 6GeV / c 2
c) Sabendo que essa partícula decai depois de t´d = √2×10−8 s (tempo medido do referencial da
partícula), calcule qual a distância total percorrida pela partícula desde o choque até a sua
desintegração no referencial do laboratório. Qual é a velocidade escalar de uma partícula da
corda na posição x = 1, 5 cm quando t = 9/8 s?
L  Vtd esta é a dist.percorridapela part.no ref. Lab.
t d   ´t d´ 
3
3
2 108 
6
3
L
c 108  3m
3 3
3
3
108 s
4. Uma partícula é criada a 20 km acima do nível do mar com energia E = 2 MeV em relação à
Terra, e passa a se deslocar verticalmente para baixo. No seu sistema próprio (sistema que se
desloca com a mesma velocidade da partícula) ela se desintegra no intervalo de tempo Δt´ = 2,0
× 10−8 s após a sua criação. A energia de repouso da partícula é E0 =√3 MeV . Determine, para
um observador na Terra:
(a) Quanto tempo demora para a partícula se desintegrar?
E  m0 c 2
  E / E0
2
t  t´
2
3
O tempo para desintegrar medido na terra é :
3
8
2,0  10

4
3
 108
(b) A que altura acima do nível do mar se dá a desintegração?
Se o  
1
1
2
 v  1 / 2c
v
c2
L´ vt´ 1 / 2c(2,0  108 )  3metros
2
L  L´
3  6 / 3metros
3
A Alturaacima do níveldo mar ondeocorrea desint.é :

6 

metros
H   200003

5. Um próton, de massa de repouso M0 = 1, 0 GeV/c2, desloca-se com velocidade up = 0, 8 c î
em relação ao referencial do laboratório. Um elétron, de massa de repouso m0 = 0, 5 MeV/c2,
desloca-se com velocidade ue= 0, 5 c î também em relação ao referencial do laboratório.
Determine:
(a) A magnitude do momento linear pp e a energia cinética Tp do próton, medidas
no referencial do laboratório;
p 
1
1
u p2
 5/3
c2
5 8
p p  p M 0u p  1 c  4 / 3GeV / c
3 10


A energiacinéticado prótoné : Tp   p  1 M 0 c 2  2 / 3GeV / c 2
(b)A velocidade do elétron u´e , a magnitude do momento linear p´e e a energia relativística E´e
e do elétron medidas no referencial do próton.
Veloc.do elétronno ref. próton:
ue  u p
u´e 
 1 / 2c na direçãode x
u p ue
1 2
c
1
 e´ 
 2/ 3
u´e 2
1 2
c
Momento lineardo elétronno ref. próton.
p´e   e´m0 u´e  3 / 6 MeV / c
Energiarelativística totaldo elétronno ref. próton.
3
E´e   e´m0 c 
MeV
3
2
Dr. Sebastião Simionatto
FEP 2198 - 2009