Ciências da Natureza e suas
Tecnologias - Física
Ensino Médio, 1º Ano
Energia potencial gravitacional
FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio
Energia potencial gravitacional
Sumário
1. Introdução
2. Energia potencial gravitacional
3. Aplicações
3.1 Velocidade de escape
3.2 Marés
4. É hora de exercitar...
FÍSICA, 10 Ano do Ensino Médio
Energia potencial gravitacional
1. Introdução
Na parte inicial do curso de mecânica, vimos como
determinar a expressão da energia potencial gravitacional
de uma partícula devido à sua interação com a terra. Vamos
relembrar:
Considere um bloco de massa m que está suspenso
por um fio preso ao teto. A distância do bloco ao solo vale h,
e a distância até uma mesa que está logo abaixo vale d. A
mesa tem uma altura h0 em relação ao solo. Vejamos a
ilustração...
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Energia potencial gravitacional
p
d
h
h0
O bloco tem capacidade de realizar trabalho, ou seja,
tem energia armazenada devida à sua posição em relação à
mesa e ao solo.
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Energia potencial gravitacional

Vamos calcular o trabalho que o peso p do bloco pode
realizar ao cair, ao longo do deslocamento, cujo módulo será
medido pela altura h.
Se a origem do referencial for a superfície da mesa, o
módulo do deslocamento será d = h – h0. Sendo o módulo
da força F = P = mg, com mesma direção e sentido do
deslocamento, o trabalho do peso do corpo medido em
relação à mesa é:
  Fd. cos(0 )  m g(h  h0 ).1
  m g(h  h0 )
0
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Se a origem for o solo, o módulo do deslocamento será
d = h. , portanto o trabalho do peso será:
  Fd. cos(00 )  mgh.1
  mgh
Se essas expressões medem o trabalho que o peso do bloco
pode realizar, elas também nos permitem medir a energia
potencial gravitacional EP desse bloco. Como sabemos, a
força gravitacional é conservativa, logo, é possível
transformar energia potencial em energia cinética e viceversa desde que não haja forças de dissipação. Assim, o
trabalho realizado pela força peso é igual à energia potencial
gravitacional que estava armazenada.
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Energia potencial gravitacional
Portanto, a energia potencial do bloco em relação à
mesa e ao solo, respectivamente, será:
EP  m g(h  h0 )
e
EP  m gh
É importante notar que, nessas condições, o valor de g é
considerado constante ao longo do deslocamento, pelo fato
de o corpo estar próximo à superfície da terra. Definimos
arbitrariamente a energia potencial do sistema corpo-terra
como zero na superfície (solo).
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2. Energia potencial gravitacional
Vamos agora considerar uma situação mais geral, em
que duas partículas, de massas m e M, separadas por uma
distância r, interagem gravitacionalmente.
Para sermos mais concretos, vamos supor M como a
massa da terra e m como a de uma bola de tênis, mas
nossas conclusões serão mais gerais, não importando as
massas relativas das partículas. Tomaremos como nula a
energia potencial no caso em que a distância r entre as
massas é infinita.
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M
r
m
A energia potencial gravitacional do sistema de duas
partículas é
GMm
EP  
r
(1)
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Energia potencial gravitacional
De acordo com essa equação, ao fazer r = infinito, a energia
potencial será nula de acordo com nossa hipótese inicial.
A origem dessa expressão vem da lei da gravitação de
Newton:
GmM
F
r2
, onde
G  6,67.1011 N.m2 / kg 2
A equação (1) é obtida se calcularmos o trabalho necessário para
trazer o corpo m do infinito (onde EP=0), realizado pela força de
atração gravitacional entre M e m, até o ponto em que a distância
entre as partículas é r. No entanto, são necessárias ferramentas
matemáticas mais avançadas que não abordaremos.
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Energia potencial gravitacional
•
A energia potencial dada pela equação (1) é uma
propriedade de um sistema de duas partículas. É impossível
dividir essa energia e dizer que uma parte pertence a uma
partícula e o restante à outra.
•
Se M >> m como certamente é o caso da terra e da
bola de tênis, quando a bola se move nas vizinhanças da
terra, mudanças na energia potencial do sistema terra-bola
se manifestam, quase na totalidade, como alterações na
energia cinética da bola. Isso vem da 2ª lei de Newton,
pois, se a força gravitacional é a mesma para a terra e a
bola, a aceleração maior se dá no corpo de menor massa
(bola), sendo praticamente nula na terra (sua massa é
infinitamente maior que a bola).
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Energia potencial gravitacional
•
Isso explica o fato de sentirmos muito mais os efeitos
gravitacionais da terra que ela de nós.
Se nosso sistema contém mais de duas partículas,
consideramos um par de cada vez, calculando a energia
potencial gravitacional deste par, usando a equação (1) como
se as outras partículas não existissem e, depois, somamos
os resultados.
Consideremos, por exemplo, um sistema de três
partículas como ilustra a figura a seguir:
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Energia potencial gravitacional
m1
r12
r13
m3
r23
m2
A energia potencial deste sistema será, portanto:
EP(total)  EP(12)  EP(13)  EP( 23)
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Energia potencial gravitacional
Assim, os índices representam os pares de partículas
consideradas. Em termos das distâncias e das massas,
teremos:
EP (total)
EP (total )
Gm1m2 Gm1m3 Gm2 m3



r12
r13
r23
 Gm1m2 Gm1m3 Gm2 m3 

 


r13
r23 
 r12
Ou seja, se tivermos um sistema de n partículas, cada
contribuição de pares deve ser somado à energia potencial
total.
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Energia potencial gravitacional
Imagem: Aglomerado globular
na constelação de
Sagitário / ESA/Hubble & NASA / Creative Commons
Attribution 3.0 Unported.
Um aglomerado globular na constelação de Sagitário é
um bom exemplo natural de um sistema de partículas. Esse
contém dezenas de milhares de estrelas, que sugerem uma
enorme quantidade de energia potencial, gravitacional,
armazenada no universo.
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3. Aplicações
3.1 Velocidade de escape
Se você jogar um objeto para cima, normalmente, ele
perderá velocidade até parar por um instante e retornar à
terra.
Há, no entanto, uma certa velocidade inicial que o fará
subir para sempre, atingindo o repouso, teoricamente, só no
infinito. Essa velocidade inicial é chamada Velocidade de
escape.
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Considere um foguete de
massa m, deixando a superfície
da terra com velocidade de
escape v. A energia mecânica
do foguete (cinética + potencial)
no início do lançamento será:
mv2 Gm M
E

2
rt
(2)
O M é a massa da terra e rt o
raio da terra.
Imagem: Apollo 15 / NASA / Public Domain.
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Quando o foguete atinge o infinito, para. Logo, não tem
energia cinética. Também não tem energia potencial, pois,
nesse ponto, consideramos que a energia potencial é zero
(como vimos). Assim, no infinito sua energia mecânica é nula.
Pelo princípio da conservação da energia, concluímos
que a energia mecânica do foguete no momento do
lançamento deve ser igual no momento em que ele atinge o
infinito. Portanto, da equação (2) teremos:
m v2 Gm M
m v2 Gm M

0


2
2
rt
rt
2GM
2GM
v 
v
rt
rt
2
Velocidade de escape
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Energia potencial gravitacional
•
Apesar de usarmos a terra como exemplo, essa
expressão vale para qualquer planeta ou corpo celeste, basta
saber sua massa e seu raio.
3.2 Marés
As marés, na terra, constituem um fenômeno resultante
da atração gravitacional (e, consequentemente, o acúmulo de
grande energia potencial gravitacional) exercida pela Lua
sobre a terra e, em menor escala, do Sol sobre a terra.
A ideia básica da maré, provocada pela Lua, é que a
atração gravitacional sentida por cada ponto da terra, devido
à Lua, depende da distância do ponto dela mesma.
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•
A atração gravitacional sentida do lado da terra que está
mais próximo à Lua é maior que a sentida no centro da terra.
Logicamente, no lado que está mais distante, a atração
gravitacional é menor.
•
Portanto, em relação ao centro da terra, um lado está
sendo puxado na direção da Lua e outro lado está sendo
puxado na direção contrária (este último por causa da
rotação da terra).
•
Como a água flui mais facilmente, ela se “empilha” nos
dois lados da terra (na direção da Lua e na direção contrária).
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Energia potencial gravitacional
•
Abaixo ilustraremos esse efeito. A parte em azul claro
representa as águas dos oceanos. Enquanto a terra gira no
seu movimento diário, o bojo de água sempre aponta na
direção da Lua.
Lua
Terra
A parte da terra mais
próxima da Lua e a parte
oposta estão em maré alta,
enquanto os pontos mais
próximos do centro estão
em maré baixa.
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•
Seis horas mais tarde, a rotação da terra levará essa
parte onde a maré estava alta a 90º da Lua e, assim, ela
terá maré baixa.
Terra
Lua
Note que estamos usando o
referencial da terra, ou seja,
na figura anterior, giramos
90º no sentido anti-horário
acompanhando a terra. Não
estamos
analisando
a
translação da Lua em torno
da terra (que dura 27 dias),
mas sim a rotação da terra
no seu próprio eixo (24h).
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•
Dali a mais seis horas, essa mesma parte estará a
180º da Lua e terá maré alta novamente. Portanto, as
marés acontecem duas vezes a cada dia!
Terra
Lua
Existe um link de um
vídeo no YouTube que
ilustra um pouco esse
fenômeno
abordado
aqui:
http://www.youtube.com/
watch?v=jm235LzAez0&
feature=related
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Energia potencial gravitacional
4. É hora de exercitar...
Questão 1
Calcule a energia potencial gravitacional entre a Terra e a
Lua, sabendo que a distância entre eles é de 384000 km e
considerando-os como partículas pontuais devido à grande
distância. Dados: Mterra = 5,97.1024 kg, MLua = 7,35.1022 kg.
Resolução:
Usando a expressão da energia potencial gravitacional de
um par de massas, teremos:
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Energia potencial gravitacional
GM Terra M Lua
EP  
r
(6,67.1011 N .m 2 / kg 2 )(5,97.1024 kg )(7,35.1022 kg )
EP  
3,84.108 m
292,67.1035 N .m
27
EP  


76
,
21
.
10
J
8
3,84.10
EP  7,621.1028 J
O sinal negativo serve apenas para indicar que a variação
da energia potencial sempre é oposta à variação do
trabalho (energia cinética).
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Questão 2
Três partículas pontuais de massas m1 = 2kg, m2 = 3kg e
m3 = 4kg estão dispostas conforme a figura abaixo:
m1
r12
r13
m3
m3
r23
Calcule a energia
potencial do sistema,
sabendo que r13 = 3m
e r23 = 4m.
m2
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Energia potencial gravitacional
Resolução:
Primeiro vamos encontrar o valor de r12 , usando o teorema
de Pitágoras:
(r12 )  (r13 )  (r23 )
2
2
2
r12  32  4 2  9  16  25  5m
Assim, usando a expressão da energia potencial
gravitacional de um sistema de três partículas, teremos:
EP (total )
 Gm1m2 Gm1m3 Gm2 m3 

 


r13
r23 
 r12
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Podemos colocar G em evidência. Assim, substituindo os
valores, obtemos:
EP (total )
EP (total )
 2kg.3kg 2kg.4kg 3kg.4kg 
 6,67.10 N .m / kg 



3m
4m 
 5m
 6,67.1011 1,2  2,66  3N .m
11
2
2
EP (total )  45,8.1011 J  4,58.1010 J
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Questão 3
Calcule a velocidade inicial que um foguete deve ter para sair
totalmente da atração gravitacional da Terra com direção ao
espaço infinito. Qual seria esse valor na Lua? Dados: raio da
Terra: 6370km, raio da Lua: 1738km.
Resolução
O que nós queremos nada mais é que a velocidade de
escape. Para a terra, teremos:
vTerra 
2GM Terra

rTerra
2.(6,67.10 11 N .m 2 / kg 2 ). 5,97.10 24 kg
6,37.10 6 m
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vTerra
79,63.1013 m 2 / s 2
8
2
2


1
,
25
.
10
m
/
s
6,37.106
vTerra  1,11.104 m / s  11,1 km / s
Logo, para o foguete escapar da gravidade terrestre, seus
motores devem desenvolver uma velocidade inicial de
11,1km/s!
Analogamente, usando a massa e o raio da Lua na mesma
expressão, encontramos a velocidade de escape do foguete
na Lua. Fica como verificação! O valor encontrado deve ser
aproximadamente:
vLua  2,3 km / s
FIM
Imagem: Estrela V838 Monocerotis / NASA, ESA and H.E.
Bond (STScI) / Public Domain.
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Tabela de Imagens
n° do
slide
15
17
31
direito da imagem como está ao lado da
foto
Aglomerado globular na constelação de
Sagitário / ESA/Hubble & NASA / Creative
Commons Attribution 3.0 Unported
Apollo 15 / NASA / Public Domain.
Estrela V838 Monocerotis / NASA, ESA and
H.E. Bond (STScI) / Public Domain.
link do site onde se conseguiu a informação
Data do
Acesso
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Messier_54 23/08/2012
_HST.jpg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Apollo_15_l 23/08/2012
aunch.jpg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:V838_Mon 23/08/2012
_HST.jpg