Funções e outros instrumentos
Matemáticos de interesse para
análises ecológicas
Uma vez com os dados:
• Análises exploratórias:
• Gráficos de dispersão (investigando relações),
categóricos ou contínuos.
• Histogramas distribuição
• Boxplot
• Análises de médias e desvios
Mas e antes dos dados?
• Modelo, teoria – previsões; o que vai
perguntar
• Modelo de coleta de dados – como vai
estabelecer o protocolo de amostragens ou
experimentos. Altamente relacionado com:
• Modelo de análise – como vai analisar os
dados.
• Necessitamos ter conhecimento de teorias
ecológicas e seus modelos matemáticos para
avaliar que tipo de relações esperamos entre as
variáveis preditoras e respostas.
• Conhecimento das funções que descrevem estas
relações
• Conhecimento de modelos matemáticos de
análise.
• Conhecimento de instrumentos de análise.
Modelo matemático
• Descreve a expectativa média das relações –
função matemática.
• Determinístico
• Estudo das funções:
• Máximos, mínimos, pontos críticos
• Parâmetros da função ajustados aos dados –
Verossimilhança.
Funções determinísticas
• Relação linear :
• F(x)= ax+b – como ela muda se mudarmos os
parâmetros?
• Relação quadrática (geral)
• F(x) = ax²+ bx+c
• Funções racionais (geral)
• F(x)=(a+bx)/(c+dx)
• Michaelis Menten= ax/(b+x)
•
•
•
•
•
•
•
Funções exponenciais
Crescimento populacional exponencial
F(x) = x0 .R^t
Função de decaimento (geral)
F(x)=a.exp(-x.b)
Ricker
Parâmetro de escala
F(x)=a.x.exp(-x.b)
• Análise das funções pode ser feita
analíticamente.
1. Tomando-se as derivadas.
• Pontos importantes das derivadas – pontos de
inflexão: derivada=0
2. Máximos, mínimos e meio.
Álgebra Matricial
Por que?
Registro dos dados- matrizes
Notação matricial – econômica
Análises multidimensionais – todas feitas com
álgebra matricial
Irão encontrar esta linguagem nos livros de
estatística
tipos
• Linear
• Colunar
• Quadrada
• Triangular (zeros acima ou abaixo da diagonal)
Tipos
• Diagonal
• identidade
• Mt ou M’ (nxp) – (pxn)
• Matriz simétrica M=M’ (quadrada)
M. assim= Msim+M simetrica enviesada
Vetores
• Colunares
• Podem representar posição no espaço.(fisica – modulo e
direção)
• Norma – comprimento (pitagoras)
Norma = √32+42 =5
Vetor normalizado – comprimento =1
• Normalização – dividir pela norma
operações
• M+M
• M+e
Operações
• M*M
• Me
O produto de dois vetores ortogonais é zero
Modelo geral
Propriedades
Propriedades
• Propriedade da Identidade:
• MI=IM=M
•
Usando a notação matricial
Modelo linear:
Usando a notação matricial
• Teste t e variáveis binárias (dummy).
Usando a notação matricial
• 1 way ANOVA Usando binárias – uma para cada nível
• di=1 para o grupo i e zero para os demais
Vamos usar o calculo matricial para achar médias de
vetores, desvios, covariância e correlação?
Problemas com escalas das variáveis –
padronização : covariância = correlação.
Como a matriz de correlação é matriz de
dispersão dos valores padronizados, para
encontrá-la diretamente, basta multiplicar a
matriz padronizada pela sua transposta.
Exercício
• Crie uma sequencia com valores de 0 a 50, de 5 em 5.
• Crie um vetor “resposta determinística”, com
coeficiente de correlação 0.8 com a primeira
sequencia, depois crie um vetor de desvios normais
aleatórios, com mesma dimensão, com média 0 e
desvio 4.
• Crie o vetor resposta somando o determinístico com os
desvios.
• Usando calculo matricial:
• Crie o vetor centralizado, crie o vetor padronizado,
calcule a variância de cada vetor, calcule a correlação
Transformações de matrizes
• Transformações preservando informações originais
• Transformadas – combinações lineares das anteriores
• Matriz Função que liga a transformada com a original
tem algumas propriedades: F(B)
1.Multilinearidade.
2. Se mudarmos linha ou coluna de posição, a função tem
alteração de sinais. Se duas colunas (ou linhas) forem iguais
ou corversíveis , elas são permutaveis e F(B) = 0
3.Existe um escalar associado a esta função – norma ou
valor
• Função determinante – única função que satisfaz as 3
condições
Função determinante
• Soma de todos os possíveis produtos na
matriz que contenham apenas um elemento
de uma linha e um elemento de uma coluna
• Matriz 2x2
Ordem superior – expansão de “menores” elment0s de
linhas e colunas diferentes dos seus.
Cofatores = menor x (-1)i+j
Cof.bij= menor bij x (-1)i+j
Pra que isso?
• Achar o determinante usando os cofatores:
Propriedades
Propriedades
De 8 e 9 – condensação pivotal. Adiciona múltiplos de
linhas a outras (8) até obter uma matriz triangular.
Soma a diagonal (9).
Rank de uma matriz – numero de vetores linearmente
independentes de uma matriz
• Se det M = 0, seu rank é menor do que o numero
atual de vetores.
• Dois vetores dependentes
• Um vetor dependente de outros dois