Mecânica – Aula 2
Maria Augusta Constante Puget (Magu)
Exemplo de MUV (1)



O exemplo mais familiar de um movimento
com aceleração constante é a queda livre
de um corpo atraído pela força gravitacional
da Terra.
Quando a distância percorrida na queda livre é
pequena em comparação com o raio da
Terra, a aceleração é constante.
Quando os efeitos de resistência do ar podem
ser desprezados, todos os corpos em um
dado local caem com a mesma
aceleração, independentemente de suas
formas e de seus respectivos pesos (*).
2
Origem da aceleração da gravidade (1)
Lei da Gravitação Universal de Newton
Dois corpos de massas m1 e m2, a uma
distância r entre si, se atraem
mutuamente com uma força que é
proporcional à massa de cada um deles e
inversamente proporcional ao quadrado
da distância que os separa.
 Matematicamente, essa lei pode ser
escrita como:

3
Origem da aceleração da gravidade (2)
onde:
 F1 (F2) é a força, sentida pelo corpo 1 (2) devido ao corpo
2 (1), expressa em newtons.
 G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2 é a constante gravitacional
universal.
 m1 e m2 são as massas dos corpos que se atraem entre si,
expressas em quilogramas.
 r é a distância entre os dois corpos, expressa em metros.
4
Origem da aceleração da gravidade (3)

Denotando por M a massa da Terra e m a massa de um
corpo que esteja próximo a sua superfície, temos então
que a força gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo
pode ser escrita como:
sendo R a distância do corpo ao centro da Terra.
 Denotando:
podemos reescrever esta equação como:
F = m gsuperfície
5
Origem da aceleração da gravidade (4)
Considerando os valores:
M = 5,972 x1024 kg (Massa da Terra)
R = 6 371 km = 6,371 x 106 m (Raio médio da Terra)
G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2

resulta:
gsuperfície= (6,67x10-11)(5,972 x1024)/(6,371 x 106)2
gsuperfície  9,8 m/s2
6
Queda Livre e Lançamento Vertical (1)
Assim, a aceleração constante de um corpo em
queda livre denomina-se aceleração da
gravidade e seu módulo é designado por g.
 Conforme deduzimos, próximo à superfície
terrestre, o valor de g é aproximadamente igual a
9,8 m/s2.
 Os movimentos de lançamento vertical e queda
livre são, portanto, exemplos de MUV.

7
Queda Livre e Lançamento Vertical (2)





As equações do MUV são:
v = v0 + at
(1)
s = s0 + v0t + at2/2
(2)
Para descrever tais movimentos, costuma-se adotar um
sistema de referência orientado debaixo para cima e com
origem no ponto de lançamento.
Como a aceleração da gravidade atua no sentido contrário
ao da orientação deste sistema, temos que: a = -g.
Normalmente, toma-se a origem no ponto de lançamento,
de forma que s0 = 0.
Substituindo nas equações (1) e (2), temos:
v = v0 – gt
s = v0t - gt2/2
8
Queda Livre e Lançamento Vertical (3)
Esse tipo de movimento apresenta as
seguintes propriedades:
1. A velocidade do corpo no ponto
mais alto da trajetória (altura
máxima) é zero, instantaneamente.
Este é o ponto de inversão do
movimento.
2. O tempo gasto na subida é igual ao
da descida.
3. A velocidade, num dado ponto da
trajetória, tem os mesmos valores
em módulo, na subida e na descida.

9
Queda Livre e Lançamento Vertical (4)
Tempo de Subida (ts)
 Fazendo v = 0 na equação: v =
v0 – gt
obtém-se o tempo necessário para
se atingir a altura máxima:
𝑣0
𝑡𝑠 =
𝑔

Tempo de Queda (tq)
Fazendo s = 0 na equação
s = v0t - gt2/2, obtemos o tempo
total do movimento t.Temos:
v0t - gt2/2 = 0
t(v0-gt/2) = 0
Esta
equação
tem
duas
soluções:
t=0 e
2𝑣0
𝑡=
𝑔
 Como o tempo total do
movimento t é a soma do
tempo de subida (ts) com o
tempo de queda (tq), temos:
t = ts + tq
logo:

𝑡𝑞 =
2𝑣0
𝑔
-
𝑣0
𝑡𝑞 =
𝑔
𝑣0
𝑔
10
Queda Livre e Lançamento Vertical (5)
Altura Máxima (hMax)
 Substituindo-se na equação s = v0t - gt2/2,
a expressão de ts= v0/g, obtém-se:
11
Queda Livre - Exemplo(1)
Um corpo é lançado verticalmente para cima, a
partir do solo, com uma velocidade inicial de 40
m/s. Desprezando-se a resistência do ar e
adotando-se g = 10 m/s2, determinar:
a) A altura máxima atingida;
b) O tempo gasto na subida;
c) A duração do movimento;
d) Quanto tempo após o lançamento estará a 60 m
do solo;
e) Sua velocidade ao passar por esse ponto;
f) Sua velocidade ao retornar ao chão;
g) Os gráficos de x = f(t) e v = f(t).

12
Princípio da Independência dos
Movimentos Simultâneos (1)

Estudando os problemas relativos a movimentos
compostos, isto é, resultante da decomposição de
dois ou mais movimentos, Galileu propôs o
Princípio da Simultaneidade:
Se um corpo apresenta um movimento composto, cada um
dos movimentos componentes se realiza como se os
demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo.
13
Lançamento Horizontal (no vácuo) (1)


Quando um corpo é lançado horizontalmente no vácuo,
nas proximidades da superfície terrestre, ele descreve, em
relação à Terra, uma trajetória que corresponde a um arco
de parábola.
A trajetória do objeto abandonado a partir do helicóptero
será vista, por um observador que esteja fixo ao solo,
conforme o que está indicado na figura.
14
Lançamento Horizontal (no vácuo) (2)
Este arco de parábola pode ser considerado, de acordo
com o Princípio da Simultaneidade, como o resultado da
composição de dois movimentos simultâneos e
independentes:
1. Queda livre: Movimento na vertical, sob a ação exclusiva
da gravidade. Trata-se de um MUV, pois a aceleração se
mantém constante (aceleração da gravidade).
2. Movimento horizontal: É um MU, pois não há nenhuma
aceleração na direção horizontal. O corpo mantém a
velocidade 𝑣0 com que foi lançado.

15
Lançamento Horizontal (no vácuo) (3)
• Em cada ponto da trajetória, a
velocidade resultante 𝑣 do corpo, cuja
direção é tangente à trajetória, é dada
pela soma vetorial da velocidade
horizontal 𝑣0 , que permanece
constante, com a velocidade vertical
𝑣𝑦
cujo módulo varia, pois a
aceleração da gravidade tem direção
vertical:
𝑣 = 𝑣0 + 𝑣𝑦
16
Lançamento Oblíquo (no vácuo) (1)

No lançamento oblíquo, o vetor velocidade
inicial da partícula tem uma componente
horizontal e uma componente vertical.

O movimento pode ser decomposto em:
1. Um movimento horizontal com velocidade
constante.
2. Um movimento vertical com aceleração
constante.
17
Lançamento Oblíquo (no vácuo) (2)
18
Lançamento Oblíquo (no vácuo) (3)

Considerando que em t = 0, o projétil esteja
na posição (x0, y0), com velocidade inicial
(v0x, v0y) e que as componentes de sua
aceleração são ax = 0 e ay = -g, então temos
as seguintes equações:
Movimento na Direção x
Movimento na Direção y
vx = v0x
vy = v0y - gt
x = x0 + v0xt
y = y0 + v0yt – gt2/2
19
Lançamento Oblíquo (no vácuo) (4)

Considerando que o ângulo que a
velocidade v0 faz com a direção horizontal
seja 0, conforme figura ao lado: y
Podemos escrever:
v0x = v0 cos 0
v0y = v0 sen 0
Considerando ainda:
x0 = 0
y0 = 0
Movimento na Direção x
v0y
𝒗𝟎
0
v0x
x
Movimento na Direção y
vx = v0 cos 0
vy = v0 sen 0 - gt
x = (v0 cos 0)t
y = (v0 sen 0)t – gt2/2
20
Lançamento Oblíquo (no vácuo) (5)
Dadas as equações do movimento,
queremos determinar:
1. A altura máxima atingida pelo projétil
(hmax).
2. A que distância do ponto de lançamento
ele atinge o solo (A).

Movimento na Direção x
Movimento na Direção y
vx = v0 cos 0
vy = v0 sen 0 - gt
x = (v0 cos 0)t
y = (v0 sen 0)t – gt2/2
21
Lançamento Oblíquo (no vácuo) (6)
Para determinar a altura máxima, basta notar que
quando o projétil atinge a altura máxima, a
componente y da sua velocidade tem que se anular.
 Na equação de vy, faz-se então vy = 0, e obtém-se o
instante tm para o qual isto ocorre:
0 = v0 sen 0 – gtM
v0 sen α0
tM =
g
 Substituindo este resultado na equação de y:
y = (v0 sen 0)t – gt2/2
2
v0 sen α0
g v0 sen α0
hmax = v0 sen α0
−
g
2
g

22
Lançamento Oblíquo (no vácuo) (7)
obtém-se:
hmax
v0 2 𝑠𝑒𝑛2 α0
=
2g
23
Lançamento Oblíquo (no vácuo) (8)
Para determinar o alcance A, basta notar que
quando o projétil atinge o solo sua altura é zero.
 Substituindo esta condição na equação y(t):
y = (v0 sen 0)t – gt2/2
temos:
(v0 sen 0)t – gt2/2 = 0

que é uma equação de segundo grau em t, que
possui duas raízes:
t0 = 0 e t A =
2v0 sen α0
g
24
Lançamento Oblíquo (no vácuo) (9)

Interpretando os resultados:
t0 = 0 e t A =



2v0 sen α0
g
A primeira raiz nos fornece o instante em que o
projétil foi lançado, quando a altura também era zero.
A segunda nos fornece o instante em que o projétil
chegou ao solo.
Note-se que tA = 2tm , o que significa que a partícula
leva um tempo tm para chegar ao ponto mais alto da
trajetória e o mesmo tempo tm para descer.
25
Lançamento Oblíquo (no vácuo) (10)

2v sen α
0
Substituindo t A = 0
na equação de x(t),
g
encontramos o quanto a partícula percorreu na
direção horizontal, isto é, o seu alcance A:
x = (v0 cos 0)t
2v0 sen α0
A = (v0 cos 0)
g

v0 2 sen (2α0 )
𝐴=
g
A partir da expressão acima, conclui-se que o alcance
é máximo quando 0= 45º(ou π/4), porque 20= π/2 e
sen(π/2)= 1, que é o valor máximo da função seno.
Assim, para 0 = 45º, temos que o alcance máximo é:
v0 2
𝐴=
g
26