RESOLUÇÃO ENSINO MÉDIO
GRE Recife Sul
1) (Ufv) Considere a equação x² + y² - 6x + 4y + p =0. O maior valor inteiro “p”
para que a equação anterior represente uma circunferência é:
a) 13 b) 12 c) 14 d) 8 e) 10
Destacando o centro e o raio da circunferência C; ( x -a)² + ( y -b)² = R²
Do Problema temos : C =x² +y² - 6x + 4y + p = 0
Completando os quadrados de C:
( x -3)² + ( y +2)² + p = 9 + 4
( x -3)² + ( y +2)² = ( - p + 9 + 4 ) ²
Condição R ˃ 0
R
-p+9+4˃0
- p + 13 ˃ 0
- P ˃ - 13
P ˂ 13
Logo o maior valor inteiro de p é p =12
2) (Ufrrj) Em um circo, no qual o picadeiro tem no plano cartesiano a forma de um
círculo de equação igual a x² + y² - 12x - 16y ≤ 300 . O palhaço acidentou-se com o
fogo do malabarista e saiu desesperadamente do centro do picadeiro, em linha reta,
em direção a um poço com água localizado no ponto (24, 32). Calcule a distância d
percorrida pelo palhaço, a partir do momento em que sai do picadeiro até o momento
em que chega ao poço.
a) 50m b) 40m c)30m d) 20m e)10m
Encontrando o centro c(a,b) da circunferência a partir da equação geral:
Ax2 +By2 + Cx + Dy + Exy + F tem-se a=- C/2 b=- D/2
p( 24,32)
x² + y² - 12x - 16y ≤ 300
a=12/2
a=6
C( 6,8)
b=16/2
b=8
Em relação ao Raio, faz-se a complementação dos quadrados
(x – a)² + (y – b)² = r²
(x – 6)² + (y – 8)² - 300 = r²
C( 6,8)
(x – 6)² + (y – 8)² - 300 = 36 + 64
(x – 6)² + (y – 8)² = 400
d=distância percorrida pelo palhaço
x=distância entre o Centro “c” e o ponto “p” que representa o poço
r = raio da circunferência
r² = 400
r = 20
x=distância entre o Centro “c” e o ponto “p” que representa o poço = dcp
C( 6,8)
p( 24,32)
p( 24,32)
dcp = ( xb – xa)² + (yb –ya)²
dcp = ( 24 – 6)² + (32 –8)²
C( 6,8)
dcp² = ( 18)² + (24)²
dcp² = 324 + 576
dcp² = 324 + 576 = 900
dcp = x = 30m
d = x - 20
d = 30 - 20
Logo : d = 10m
3) (UFPB) Cumprindo outra promessa de campanha, a prefeita Maria decidiu construir na
praça (figura abaixo) um banheiro público. O esgoto desse banheiro deve partir do centro
C da circunferência x²-16x+y²+14y+109=0 e ser ligado a um ponto P no cano
representado pela reta que passa pelos pontos A=(2,6) e B=(-4,-6). Para que a distância
entre C e o cano AB seja mínima.o ponto P será igual a:
a) (2, 2) b(3,2) c) ( -2, -2) d( -3,-2) e) ( 4,-2)
x²-16x+y²+14y+109=0
(x- 8)²+(y +7)²+109=0
(x- 8)²+(y +7)²+109= 64+ 49
(x- 8)²+(y +7)²= 4
r
Intersecção r e s Q(x,y )
(x- 8)²+(y +7)²= 2²
s
c(8,-7) e r= 2
p1( 2,6)
p2( -4,-6)
c(8,-7)
Definindo a reta “r” através de p1 e p2 : p1( 2,6) ; p2(-4,-6)
m= -6 – 6
-4 - 2
m= 2
y – 6 = 2 (x – 2 )
r : 2 x – y + 2 =0
A menor distância ocorrerá quando a reta “s” que passa pelo centro da circunferência for perpendicular a “r”
Se a reta r é ┴ a reta s, temos : mr x ms = -1
Com o centro “C” ; c(8, -7)
Logo : 2 x ms = -1
ms = -1/2
e ms = -1/2
s: x + 2y + 6 = 0)
s: y – (-7) = -1 ( x – 8)
s: 2y +14 = - x + 8)
2
O ponto P relativo a menor distância, será o ponto de intersecção entre a reta “s” e a reta r
r : 2 x – y + 2 =0
s: x + 2y + 6 = 0
x
(2)
r : 4 x – 2y + 4 =0
s:
x + 2y + 6 = 0
5x + 0y + 10 = 0
Em s : -2 + 2y + 6 = 0
2y +4 = 0
y=-2
x=-2
p( - 2 , -2)
4). (Uel) Na figura a seguir têm-se a reta r, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, e as
circunferências C1•e C2, de mesmo raio, tangentes entre si e com centros sobre “r” ; . Se a
equação de C1 é x²+y²=9, então o centro de C2 é o ponto de coordenadas :
a) (1; √2) b) (3; 3) c) (3√2; 3√2) d) (3; 6) e) (7; 7)
Bissetriz
dcp = 6
y
p(x;y)
Como x = y
3
dcp² = ( x -0)² + ( x – 0)²
6² = ( x)² + ( x)²
36 = 2 x²
x = 3√2
y = 3√2
C(0,0)
3
5) Adaptada - (GRE –RCF SUL) O Professor João Gusmão da Escola de Referência Othon Paraíso
, que vê matemática em tudo, no dia dos namorados, após várias tentativas, criou uma frase em
forma de fórmula matemática com a seguinte declaração a sua esposa : Traduzindo esta expressão para
uma linguagem cotidiana, o que realmente o professor João quis dizer a sua esposa representada pela
variável “x” foi:
a) eu te amo
(
b) amo – te
)
2
= a²
= a²
a( x + te) = a² mo
a mo= x + te
x = amo – te
c) te – amo d) a te amo
e) xata e amo
6) Em um terreno retangular de por foi construído um barracão de forma retangular para servir como
depósito de uma firma. Esse depósito ocupa uma área de . Em torno do barracão foi deixado um recuo
de x metros de cada lado pra ser gramado. Nessas condições, calcular a medida x do recuo.
a) 5m b)10m c)15m d)20m e)25m
Área do depósito : a x b
Área do depósito = 1000m²
1000m²
50 – 2x
lado a = 80 – 2x
lado b = 50 – 2x
b
1000 = (80 – 2x) x (50 – 2x)
1000 = 4000 - 160x – 100x + 4x²
4x² - 260x + 3000 =0 ÷ 4
x² - 65x + 750 =0
80 – 2x
Aplicando Bhaskara: ∆ = 65² - 4 .1 . 750
a
x1, x2 = 65 ± 35
2.1
∆ = 1225
√∆ = 35
x1 = 50
x2 = 15
Logo : resposta x = 15 metros
7) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de
Domicílios. Supondo-se que, no Sudeste, 14900 estudantes foram entrevistados nessa
pesquisa, quantos deles telefone móvel celular?
a)5.513 b)6.556 c)7.450 possuíam d)8.344 e)9.536
Total de Estudantes : 14.900
Percentual dos que possuiam celular = 56%
Número de estudante = 56% x 14.900
Número de estudante = 8.344
8) O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro.
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de
um campo de futebol (com as medidas de 120m  90m ) para auxiliar a visualização de
áreas consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol
correspondente à área aproximada do pantanal ?
a)1.400 b)14.000 c)140.000 d)1.400.000 e)14.000.000
biomas
área
continenta is
aproximada
área / total
Brasil
brasileiros
Amazônia
(km )
4.196.943
49,29%
Cerrado
2.036.448
23,92%
Mata Atlântica
1.110.182
13,04%
2
Caatinga
844.453
9,92%
Pampa
176.496
2,07%
Pantanal
150.355
1,76%
Área Total Brasil 8.514.877
01 campo de futebol tem área 120 x 90 m²
01 campo de futebol tem área = 10.800 m²
Convertendo em km²
10.800m²
10.800(10 – 3km)²
10,8km²
Utilizando uma regra de três simples:
1 campo de futebol → 10,8 10 – 3km²
x campos de futebol →150.355km²
Logo x = 150.355
10,8 x 10–3
área aproximada : 14.000.000 campos de futebol
x = 13.921.759
a)indígenas
b)gestantes.
c)doentes crônicos.
9) O gráfico expõe alguns números da gripe A-H1N1. Entre as categorias que estão em
processo de imunização, uma já está completamente imunizada, a dos trabalhadores da
saúde. De acordo com o gráfico, entre as demais categorias, a que está mais exposta ao
vírus da gripe A-H1N1 é a categoria de
a)indígenas
b)gestantes.
c)doentes crônicos.
d)adultos entre 20 e 29 anos.
e)crianças de 6 meses a 2 anos.
Mais Exposta é quem Está MENOS IMUNIZADA
Categoria : Adultos entre 20 e 29 anos
9) O gráfico expõe alguns números da gripe A-H1N1. Entre as categorias que estão em
processo de imunização, uma já está completamente imunizada, a dos trabalhadores da
saúde. De acordo com o gráfico, entre as demais categorias, a que está mais exposta ao
vírus da gripe A-H1N1 é a categoria de
a)indígenas
b)gestantes.
c)doentes crônicos. d)adultos entre 20 e 29 anos. e)crianças de 6 meses a 2 anos.
A categoria que está mais exposta
é a categoria menos vacina recebeu
Pelo gráfico : serão os adultos entre 20 e 29 anos
DESCRITORES
10) O raio de uma circunferência centrada na origem dos eixos cartesianos e igual a 9. A
equação desta circunferência é:
a) x² + y² = 9. b) x² + y² = 18. c) x² + y² = 81 . d) x² + y² = 324 e) x² + y² = 729.
c(0,0)
r=9
Equação : ( x-0)² + ( y – 0)² = 9²
Equação : x² + y² = 81
11) Uma circunferência tem centro no ponto C(4,5) e passa pelo ponto P(4,7). A equação cartesiana
dessa circunferência é
A) (x - 4)² + (y - 5)² = 4.
B) (x - 5)² + (y - 4)² = 2.
C) (x - 5)² + (y - 4)² = 4.
D) (x - 4)² + (y - 5)² = 2
E) (x - 4)² + (y + 5)² = 2
P(4,7).
distância de c até p = raio
C(4,5)
ou seja : dcp = r
Dcp² = (4 – 4)² + ( 7 – 5 )²
dcp² = 2²
dcp = 2
Logo r = 2
Equação da Circunferência: (x – 4)² + ( y – 5)² = 4
12) A tabela abaixo mostra a distância (d) percorrida por Igor em função do tempo (x).
a expressão que relaciona a distância d e o tempo(x)
é:
a) d = 40x b) d = 80x c) d = 400x
d) d = 80 + 5x
e) d = 400 +5x
d = f(x)
400= 5 K
÷
800= 10 K
÷
1200= 15 K
÷
Variando d e x
Vê-se a
proporcionalidade
k=8
Logo d = 80x
1600= 20 K
÷
13) Um atleta de salto com vara, ao sair do solo, descreve no ar uma curva que tem o
formato de um arco de parábola Desenhada no plano cartesiano, essa curva é descrita pela
função definida por: -x² + 4x Qual a altura máxima que o atleta atingiu nesse salto?
a) 2 m. b) 4 m. c) 6 m. d) 8 m. e) 10m
-x² + 4x
a= -1
b=4 c=0
Se c=0 então ∆ = b²
∆ = 16
Yv = -∆
4a
Yv = -16
4(-1)
Yv = 4m
14) Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre a preferência de 400 alunos quanto ao
gênero de filmes alugados nas locadoras da cidade. Os resultados dessa pesquisa estão
representados no gráfico abaixo. Nesse grupo de 400 alunos, entre os que preferem
comédia, 40 são mulheres. Quantos homens preferem comédia?
A) 40. B) 80. C) 120. D) 160. E) 200
nº total de alunos = 400
Fração de alunos que assistem comédia = 30 % do total
Fração de alunos que assistem comédia = 30 % x 400
Fração de alunos que assistem comédia = 120
Se 40 são mulheres , então o número de homens é igual a 80
Número de Homens que assistem comédia = 80
15) Dada a expressão E = (x – 5)(x + 12), quais são os valores de x para que se tenha E = 0 ?
A) x = 5 ou x = – 12. B) x = 5 ou x = 12. C) x = – 5 ou x = 12. D) x = – 5 ou x = – 12.
E = (x – 5)(x + 12)
Se E = 0; por decomposição de fatores :
x – 5 =0
;x=5
x + 12 =0 ; x = -12
x = 5 ; x = -12
E) -2 e 8
16) Veja a equação abaixo. Quais são as raízes dessa equação?
A) – 6 e 8.
B) – 2 e – 4.
C) 1 e 5.
D) 2 e 4.
E) -2 e 4.
x² - 6x + 8 =0
Aplicando Bhaskara: ∆ = (-6)² - 4 .1 . 8
∆ =4
√4 = 2
x1, x2 = -(-6) ± 2
2.1
x1 = 2
x2 = 4
x1 = 2
x2 = 4
GRE Recife Sul
Obrigado a todos!
Um abraço!