Gráfico de controle EWMA
(Exponentially Weighted Moving Average) – Suavização exponencial simples
Troca Rápida de
Ferramentas
Controle Estatístico do Processo 1 – PPGEP – 3º Trimestre 2011
Prof. Robert mensal
Wayne Samohyl,
Apresentação
à DiretoriaPh.D
Resultados de out/2010
Thiago Lopes Almeida
04.nov.2011
Definições
Correlação - é a relação ou dependência entre as duas variáveis de uma distribuição
bidimensional.
Distribuição Bidimensional - é a representação de uma variável bidimensional (xi , xj),
com 1 i  n e xi e xj duas variáveis unidimensionais.
Sub-grupo racional – é uma amostra nos quais todos os itens foram produzidos sob
condições onde somente causas comuns são responsáveis pela variação de um dado
processo. Causas especiais de variações não devem ocorrer dentro de um subgrupo
racional, somente entre subgrupos.
Modelo Autoregressivo – A especificação de um modelo Autoregressivo (AR) é dada
pela equação (1) [WHEELWRIGTH1985].
(1)
Onde:
xt - corresponde à observação da série temporal no tempo t;
Фt - corresponde ao parâmetro do modelo AR de ordem p ;
et - representa o erro de eventos aleatórios que não podem ser explicados pelo
modelo.
Caso as observações da série temporal possam ser representadas pela equação (1), a ordem do modelo puder ser
determinada e os parâmetros estimados, é possível prever o valor futuro da série em análise [WHEELWRIGTH1985].
Introdução
O gráfico de controle de Shewhart é uma regra de decisão
estatística, tomada com base nas observações de um processo para
determinar se a característica de qualidade sendo monitorada desviouse de seu valor-alvo. Esta forma de monitoramento é comum na
indústria, pois serve para distinguir causas comuns de causas especiais
de variação, identificar o instante em que o processo foi alterado,
entender a causa-raiz do desajuste e melhorar o processo prevenindo
reincidências.
Cartas de controle são habitualmente planejadas e avaliadas
assumindo que observações consecutivas do processo são
independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), entretanto esta
hipótese é freqüentemente violada na prática, pois a maioria dos
processos apresenta autocorrelação. Os processos de manufatura, em
geral, são regidos por elementos inerciais, e quando o intervalo entre
observações torna-se pequeno em relação a estas forças, elas se
tornam correlacionadas ao longo do tempo (MONTGOMERY, 2001).
Se a autocorrelação na variável sob monitoramento é uma
causa especial, deve-se tentar eliminá-la. Por outro lado, se ela é parte
inerente da variabilidade resultante de causas comuns e não pode ser
removida, deve-se levá-la em consideração no planejamento das cartas
de controle, evitando-se estimativas incorretas de seus parâmetros, que
refletem em aumento na taxa de alarmes falsos ou no número de
amostras necessárias para detecção de deslocamentos na média do
processo (VANDER WIEL, 1996; REYNOLDS; LU, 1997; VAN
BRACKLE, III; REYNOLDS, 1997; LU; REYNOLDS, 1999).
Na presença de correlação, os métodos clássicos
utilizados na obtenção dos limites naturais de tolerância e índice de
capacidade de processo devem ser revistos (ZHANG, 1998; KNOTH;
AMIN, 2003; RAMOS; HO, 2003).
Uma alternativa, é o uso dos gráficos EWMA (Exponentially Weighted Moving Average)
com limites de controle adaptados à existência da correlação no modelo do processo.
A carta de controle de Médias é a mais conhecida das
ferramentas de monitoramento de processos, contudo, ela serve apenas
para detectar grandes perturbações na média. O gráfico de EWMA, por
outro lado, é comumente utilizado quando o processo está sujeito a
pequenas perturbações.
Sendo as cartas de CUSUM e EWMA preferencialmente
utilizadas quando há só uma medida em cada sub-grupo racional. Os
dois em maneiras diferentes utilizam toda a série de dados para
calcular os limites de controle e os pontos no gráfico. No entanto,
entre os dois não há consenso sobre os méritos relativos.
Quando o processo está em controle qualquer sinal dado pelo
gráfico é um alarme falso, portanto, neste caso, o NMA deve ser
suficientemente grande para que a taxa de alarmes falsos seja pequena.
Com o processo em controle, o Número Médio de Amostras até o sinal é
dado pelo NMAzero.
Nas tabelas em que se compara os NMAs dos gráficos de Shewhart e de EWMA
estabeleceu-se NMAzero=500..
Média EWMA
A média calculada por suavização exponencial simples é
definida como uma combinação entre a média do período passado
Zi-1 e o valor observado mais recentemente Xi; o parâmetro  que
pondera a combinação será discutido em seguida:
Zi = Xi + (1-)Zi-1
onde: 0    1 e Z0  0
Nota-se que no período anterior, Zi-1 foi calculado usando Xi-1
e Zi-2. Nesse sentido, se for feita uma série de substituições
seqüenciais para todos os Z no passado:
 Z 3 X 3  1   Z 2

onde : Z 2 X 2  1   Z1 e Z1 X 1  1   Z 0
Z 3 X 3  1   X 2  1   X 1  1   Z 0 
A média EWMA usa todos os dados da série e que a ponderação da média declina
geometricamente no passado até um valor teórico de 0,00.
Parâmetro 
A média móvel exponencialmente ponderada (EWMA)
introduz lambda (λ), que é chamado de parâmetro de suavização.
Sob essa condição, em vez de pesos iguais, cada retorno ao
quadrado é ponderado por um multiplicador da seguinte forma:
p/
λ =0,20 0 80,00%
1 16,00% 2 3,20% 3 0,64%
O gráfico EWMA possui uma base conceitual muito intuitiva, dados mais velhos pesam
menos no cálculo da média, enquanto dados mais recentes valem mais.
Escolha do Parâmetro 
A inovação introduzida pelo EWMA advém do fato de este
método atribuir pesos diferentes a cada observação da série. Enquanto
que na Média Móvel as observações usadas para encontrar a previsão
do valor futuro contribuem em igual proporção para o cálculo dessa
previsão, na Suavização Exponencial Simples as informações mais
recentes são evidenciadas pela aplicação de um fator que determina
essa importância [WHEELWRIGTH1985].
O parâmetro  determina a que taxa os dados "mais velhos"
entram no cálculo da estatística EWMA. Um valor de  =1 implica que
apenas uma medida, a mais recente, influencia o EWMA. Assim, um
valor alto dá mais peso aos dados recentes e menos peso aos dados
mais antigos, um pequeno valor dá mais peso aos dados mais antigos.
Zi  X i  (1 -  )Zi -1

Zi  A  (1 -  )B ,
o n de : A - Valo r m ais Recen t e
B - Hist ó rico
i) se   0 ,1(1 0 %) (1 -  )  0 ,9 (9 0 %)

Zi 0,1A  0 ,9 B
ii) se   0 ,9 (9 0 %) (1 -  )  0 ,1(1 0 %)

Zi 0,9A  0 ,1 B
iii) se   1 ,0
 Zi  X i e σ Zi  σ X
O valor geralmente é ajustado entre 0,2 e 0,3 (Hunter) , embora esta escolha é um pouco
arbitrária. Lucas e Saccucci (1990) dão tabelas que ajudam o usuário selecione .
Desvio padrão - EWMA
O desvio padrão de Zi de EWMA é o seguinte:
σ Zi  σ X

λ
2i
1  1  λ 
2λ

A determinação dos limites de controle depende
exclusivamente de uma criteriosa avaliação dos conceitos de alarme
falso e alarme não dado na formulação de NMA0 e NMA1, muito
semelhante ao diagnostico feito para gráficos de controle CUSUM.
Limites de controle - EWMA
O distanciamento (L) dos limites de controle da linha do meio (alvo
ou média, 0 ) depende diretamente dos valores de .
Os limites de controle são,
LSC = + LZi
LC = 0
LSC = 0 - LZi
Exemplos:
Os conceitos atrás da escolha entre pares de valores (, L) possuem complexidade
matemática apresentados em, Hunter(1989) e Lucas e Saccucci (1990).
Bibliografia
• SAMOHYL, R. W. – Controle Estatístico da Qualidade – Cap 10.
• MAGALHÃES, Rodrigo R; CYMROT, Raquel – Técnicas alternativas de
monitoramento e controle estatístico de processos aos gráficos de controle de
Shewhart – III Jornada de Iniciação Científica – Universidade Mackenzie, 2007.
• Claro, Fernando Antonio E. - Gráficos de controle de EWMA e de X-barra
para monitoramento de processos autocorrelacionados - UNESP –
Guaratinguetá, 2007
Obrigado!
Suavização Exponencial Linear
Quando o método Suavização Exponencial Simples é
aplicado na previsão de séries temporais que apresentam tendência
entre as observações passadas, os valores prognosticados
superestimam (ou subestimam) os valores reais [MORETTIN1981].
Desta forma, a acuidade das previsões fica prejudicada.
Para evitar esse erro sistemático, o método Suavização
Exponencial Linear foi desenvolvido procurando reconhecer a
presença de tendência na série de dados [WHEELWRIGTH1985].
Suavização Exponencial Linear
O valor da previsão obtido através deste método é alcançado
pela aplicação da equação (2) [WHEELWRIGTH1985].
(2)
Onde
corresponde à previsão no tempo t, conforme equação (3);
representa a componente de tendência, obtida pela equação (4) e
m é o horizonte de previsão.
(3)
onde é
o peso atribuído à observação
, 0 < < 1.
(4)
onde é
o coeficiente de alisamento, análogo a
.
Suavização Exponencial Sazonal e Linear de Winter
Este método produz resultados similares ao Suavização
Exponencial Linear, sendo, no entanto, capaz de manipular séries
temporais que além de apresentarem tendência nos dados,
apresentam também sazonalidade [WHEELWRIGTH1985].
Suavização Exponencial Sazonal e Linear de Winter
As equações (5), (6), (7) e (8) definem o referido método de previsão.
(5)
(6)
(7)
(8)
Onde
corresponde ao alisamento do fator de sazonalidade
;
l é o intervalo da sazonalidade e
corresponde ao peso atribuído ao
fator de sazonalidade.