Aulas Introdutórias
• O processo de medida;
– Incerteza;
– Algarismos significativos e arredondamento;
• Tratamento de erros experimentais;
• O análise gráfico:
– Elaboração de um bom gráfico;
– Regressão linear;
– Linearização;
1
Aula 1
O processo de Medida
Wellington Akira Iwamoto (com
ligeiras modificações)
2
Sobre o processo de medição
• O que é medir?
– Medir significa quantificar uma grandeza com
relação a algum padrão tomado como unidade;
• Uma medida não é “absoluta”: incerteza e
erros!
– O que acontece se
• eu repetir várias vezes a mesma medida?
• se outra pessoa fizer a mesma medida?
• Se eu usar outro instrumento?
3
Precisão e Acurácia
• O alvo é a “verdade”, o valor
real da medida;
• Os tiros ao alvo são as nossas
medidas
• Situação ideal: Alta precisão e
alta acurácia
• Pior cenário: baixa precisão e
baixa acurácia
Possíveis explicações
• Instrumentos diferentes
• Mesmo instrumento, mas
observadores diferentes 4
Erros sistemáticos e aleatórios
• Sistemáticos:
– Prejudicam a acurácia;
– Causados por fontes identificáveis;
– Podem ser eliminados ou compensados uma vez
identificados.
• Aleatórios:
– Prejudicam a precisão;
– Causado por flutuações aleatórias no processo de
medir;
– São eliminados fazendo tratamento estatístico de
erros.
5
Os instrumentos de medida e a sua
incerteza
3
2
(2,75 + 0,05) cm
Instrumento com
escala: a
incerteza é a
metade da menor
divisão
Estou em dúvida
Tenho certeza
(𝑋 ± ∆𝑋ap ) unidade
Valor
Incerteza do aparelho
6
Medindo o tempo
Relógios de parede
Menor escala: 5 min
Incerteza: 2,5 min
Meu relógio
Menor escala: 15 min
Incerteza: 7,5 min
Menor escala: 1 min
Incerteza: 0,5 min
Relógio digital
Menor escala: 1 min
Incerteza: 1 min
Pergunta: Qual dos dois é mais preciso???
Resposta: O de cima!!! Olhem a incerteza!!!
7
Exemplo: medindo o tempo no laboratório
Medindo o período de um pêndulo
Minutos
Centésimos de segundo
Única medida: 0,48 s 0,01 s
Horas
segundos
Cronômetro digital
Menor escala: 0,01 s
Incerteza: 0,01 s
Mas ao fazer mais medidas (∆𝑡ap =0,01 s)...
Medida
Período (s)
1
0,50
2
0,48
Erro aleatório!
3
0,45
4
0,51
5
0,49
Qual é valor do período??
8
• Média:
No. de vezes que medimos o valor/ N
Tratamento estatístico de erros
Os erros aleatórios
tendem a se distribuir
seguindo uma função
gaussiana
Ni/N
Para poder confiar na
média, devemos fazer
muitas medidas.
N grande
Que tão dispersa
é a medida???
Valor medido: Xi
9
Desvio padrão
𝑋
-σ
68%
σ
Desvio padrão
-2σ
95%
2σ
10
Reportando medidas
• A média é o melhor valor possível da grandeza que
queremos conhecer;
• Devemos informar qual é a incerteza do nosso
procedimento de medida: desvio padrão da média
𝜎
𝜎𝑥 =
𝑁
=
𝑁
𝑖=1
𝑥 − 𝑥𝑖
𝑁(𝑁 − 1)
2
Calculando com os dados do exemplo
𝑻 − 𝑻𝒊
Medida
Período (s)
1
0,50
0,000196
2
0,48
0,000036
3
0,45
0,001296
4
0,51
0,000576
5
0,49
0,000016
𝑇 = 0,486 s
𝟐
𝜎=0,092086915 s
𝜎 𝑇 =0,041182521 s
Números sobrando!
Algarismos significativos
Arredondamento
11
O que são algarismos significativos?
São algarismos que contribuem para a precisão de um número.
Regras:
• Todos os algarismos diferentes de zero são significativos
• Algarismos nulos (zeros) entre dois algarismos não-nulos são
significativos
• Zeros à direita de outro algarismo significativo são
significativos
• Zeros à esquerda da vírgula não são significativos
• Ao fazer operações, o número de algarismos do resultado não
deve ultrapassar à aquele com menor número de algarismos.
12
Arredondamento
As regras do arredondamento são:
• Se o algarismo decimal seguinte for menor que 5, o anterior não se
modifica.
• Se o algarismo decimal seguinte for maior que 5, o anterior incrementa-se
em uma unidade.
• Se o algarismo decimal seguinte for igual a 5,deve-se verificar o anterior:
– se ele for par não se modifica
– se ele for impar incrementa-se uma unidade.
Importante
Quando fazemos contas e a incerteza
tem casas decimais a mais dos
algarismos significativos definidos pelas
medidas em um certo aparelho,
cortamos as casas decimais extras
13
Finalmente, no exemplo
𝑻 − 𝑻𝒊
𝟐
Medida
Período (s)
1
0,50
0,000196
2
0,48
0,000036
3
0,45
0,001296
= 0,041182521 s olhando as casas decimais
4
0,51
0,000576
= 0,04 s
5
0,49
0,000016
𝑇 = 0,486 s = 0,49 s
𝜎 𝑇 = 0,041182521 s contando algarismos
Para finalizar, devemos calcular a incerteza total, que é definida como:
∆𝑇total =
∆𝑡ap
=
0,01s
2
2
+ 𝜎𝑇
2
+ 0,04s
2
= 0,04123 s
= 0,04 s
𝑇 ± ∆𝑇total = (0,49 ± 0,04) s
14
Resumo
• Ao fazer uma única medida a incerteza é aquela do aparelho,
∆𝑋ap :
– Escala: ∆𝑋ap é a metade da menor divisão;
– Digital: último digito.
• Ao fazer muitas medidas, devemos calcular a média e o desvio
padrão da média, 𝜎𝑋 .
• O valor final é reportado como 𝑋 ± ∆𝑋total , onde a incerteza é
dada por ∆𝑋total =
Média
∆𝑋ap
2
+ 𝜎𝑋
2
Desvio padrão
.
Desvio padrão da média
15