MOVIMENTO CIRCULAR
 Movimento circular uniforme
 Vetor posição
 Velocidade angular
 Período e frequência
 Aceleração centrípeta
 Movimento circular uniformemente acelerado
 Aceleração angular
 Aceleração total
MOVIMENTO EM TRÊS DIMENSÕES
 Vetor posição
 Velocidade
 Aceleração
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MOVIMENTO CIRCULAR
2
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
No movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante,
porém sua direção muda continuamente
Exemplos:
As pessoas girando com o movimento da Terra
Movimento de satélites artificiais
Pontos de um disco num gira discos
Pontos de um disco rígido de computador
Ponteiros de um relógio
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Movimento circular uniforme  MCU
y

ey

r


ex
Para descrever o MCU utilizamos as coordenadas polares
x
r
e 
y

e
r sin y

r
Vetor posição


ex
r cos 
x



r  r cos e x r sin  ey
onde

r r
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O arco sobre a trajectória que subentende um ângulo
y
r

é:
s  r
S

x
ds
r

d
s
O arco descrito em d é dado por
ds  r d
x
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No movimento circular uniforme 
O vetor velocidade é sempre tangente à
trajetória da partícula e é perpendicular
ao raio da trajetória

v

ac
r
B

v

ac
A
Demonstraremos que
• A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo
• A aceleração centrípeta é responsável pela mudança da direcção da velocidade
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No movimento circular uniforme a velocidade angular é constante


t
A unidade da velocidade angular é
rad s 1
O movimento circular é um movimento periódico
O tempo de uma volta completa é o período T

o tempo que demora para descrever um ângulo de
A velocidade angular é

2
T
ou
2
  2f onde f é a frequência
A unidade da frequência no SI é o hertz (Hz)
7
y



r  r cos e x r sin  ey
A velocidade da partícula

v
é a
derivada em ordem ao tempo de

r

 dr 
d   
d
v
   r sin 
e

r
cos

 x 
dt 
dt 
dt

mas

ey

e y


v
d

dt

vx

r

v


ex
x
 v  r sin 
 vy  x
v y  r cos



v   r sin  e x r cos ey 



O módulo da velocidade é v  v    r sin  e x  r cos  e y   r
porque
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
v 2   2  r sin    2 (r cos ) 2   r sin    r cos    r (sin   cos  )
2
 v  r
Relaciona a velocidade angular

velocidade linear
v
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O valor absoluto da velocidade linear não varia mas a direção varia
Como
v  r ,  é constante.
O movimento circular uniforme é acelerado e a única função da aceleração é mudar a
direção da velocidade
A aceleração é



v   r sin  e x r cos ey 

 dv d


a
  r sin  e x r cos  e y 
dt dt

d   
d   
    r cos
 e x   r sin 
 ey 
dt 
dt  




2
a    r 

  2  r 
ou



(r  r cos e x r sin  ey )

2
a   r
Observe que :
a direção da aceleração tem sentido inverso ao do vetor posição
 a aceleração está dirigida para o centro da circunferência e por esse motivo chamase aceleração centrípeta
É a aceleração centrípeta que faz variar o vetor velocidade !
9
Vetor posição
Vetor aceleração centrípeta
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O módulo da aceleração centrípeta é

v

ac


2
ac    r
B

v

ac
ac   r
2
A
como
v
v  r   
r
2
Substituindo em
ac

2
v
v
 
2
ac   r    r  2 r
r
r
2
v
ac 
r
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Exemplo 1: Observe a animação abaixo. O carro se move com velocidade linear
constante.
Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior?
v2
ac 1 
r
v2
ac 2 
2r
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Exemplo 2. Um astronauta está numa centrífuga horizontal de raio de 6.0 m.
a) Qual o módulo da velocidade escalar do astronauta se a aceleração
centrípeta possui um módulo de 7g, onde g é a aceleração da gravidade
v2
ac   v  rac  6  7  9.8
r
v  20.3 m/s
b) Quantas rotações por minuto são
necessárias para produzir esta aceleração 
É a frequência:
v  r  2fr  f 
f 
v
2r
v
20.3  60
 60 

2r
2  6
f  32 rpm
c) Qual é o período do movimento 
T
1
60


f 32 rpm
T  1 .9 s
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Exemplo 3. Um pião roda uniformemente com frequência de 16 Hz. Qual é a
aceleração centrípeta de um ponto na superfície do pião em r = 3 cm ?
A velocidade angular é:
  2 f
  (2 rad)(16 Hz) 
  (2  3.14 rad)(16 Hz)  100.48 rad s -1 ~ 101 rad s -1
A aceleração centrípeta será
ac   2 r  (101 rad s -1 ) 2 (3  10 2 m)  306.0 m s -2
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Exemplo3 : MCU
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No movimento circular uniforme (MCU)
Vetor posição



r  r cos e x r sin  ey
Vetor velocidade



v   r sin  e x r cos ey 
Aceleração centrípeta

2
ac   r
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MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
No movimento circular uniformemente variado, a velocidade linear
Como
v  r , a velocidade angular 
também não é constante.


d   
d   
    r cos
 e x  r sin 
 ey 
dt 
dt  





2

a   r    r sin  e x r cos ey 

at

d
dt
não é constante.

 dv d


a

  r sin  e x  r cos  e y  
dt dt
A aceleração é
onde

v


 d
  r sin  e x  r cos  e y 

dt
é a aceleração angular
  
a  ac  at

v
at

ac
é a aceleração tangencial
 e tem a mesma direção
do vetor velocidade v

at  r
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
at

a
Módulo da aceleração total

ac

a  a  ac2  at2
Quando a aceleração angular é constante podemos obter
  const
  0  t
1 2
   0   0 t  t
2
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MOVIMENTO EM TRÊS DIMENSÕES
Para um movimento em três dimensões o vetor posição é




r  xex  ye y  zez
A velocidade média é




v  vmx ex  vmy e y  vmz ez
A velocidade é




v  v x ex  v y e y  v z ez
z
A aceleração média é




a  amx ex  amy e y  amz ez

ez

ex
A aceleração é




a  a x ex  a y e y  a z ez
x

ey


r
y
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