Capítulo 3 – Movimento em Duas ou
Três Dimensões
3.1 – Vetor posição e vetor velocidade
objeto de nosso estudo
sistema
o observador
sistema de referência
.
O
ponto de referência
O
O
O
trajetória
O
objeto de nosso estudo
sistema
modelo:
“partícula”
O
Coordenadas cartesianas:

r  xiˆ  yˆj  zkˆ
Vetor posição

r (t )
O
Vetor posição

r (t )
O
t

r (t )
vetor posição da partícula
no instante t
em relação ao observador em O.
O
Vetor deslocamento
 

r  r (t  t )  r (t )
Vetor deslocamento da
partícula entre os instantes
t e t +Δt
t

r (t )
O

r

r ( tt )
Componentes:
tt

r  xiˆ  y  ˆj  z kˆ
 

 r  r (t  t)  r (t) 


 r final  r inicial

 
 r AB  r B  r A

 
 r BC  r C  r B

 
 r AC  r C  r A  0
A
C

 rAB

 rBC
B


r
vm 
t
Velocidade média

r (t )
O

r

r ( tt )
Componentes:

vm
secante
à trajetória

x ˆ y ˆ z ˆ
vm 
i
j
k
t
t
t
Velocidade instantânea
t

r (t )
O

r
t decrescente

vm
t decrescente
r  decrescente
t

r (t )

r

r

v  lim
t  0
O
t

vm
tangente à trajetória no
instante considerado

v (t )

v (t2 )
t

r (t )
O

v ( t1 )

v

v (t3 )
tangente à trajetória
Em termos das componentes:



r dr dx ˆ dy ˆ dz ˆ
v  lim

 i
j k
t 0 t
dt dt
dt
dt
dx
dy
dz
vx  , v y  , vz 
dt
dt
dt
Módulo do vetor velocidade:
v  vx2  v y2  vz2
(igual à velocidade escalar)
3.2 – Vetor aceleração


v
Aceleração média: am 
t



v dv

Aceleração instantânea: a  lim
t 0 t
dt
Componentes:
 dvx ˆ dvy ˆ dvz ˆ
a
i
j
k
dt
dt
dt
dvy d 2 y
dvx d 2 x
dvz d 2 z
ax 
 2 , ay 
 2 , az 
 2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Componentes perpendicular e paralela da aceleração:
Componente
perpendicular
t
a

v ( t  t )

v( t )
a||

v
Componente
paralela

v( t )

a (t )

v ( t  t )


 d v v
a

d t t
Componente paralela da aceleração altera
o módulo da velocidade


v  a  t
 
a e v são paralelos

v (t )

v

at

v (t  t )
apenas o módulo da velocidade é alterado!

v (t )
Componente perpendicular da aceleração
altera a direção da velocidade

v (t )

v

v (t  t )

a

v (t  t )
No limite t  0 , a aceleração torna-se perpendicular à velocidade

v (t )

v

v (t  t )

a

v (t )
Componente perpendicular da aceleração
altera a direção da velocidade

v (t )

v

v (t  t )

a

v (t  t )
No limite t  0 , a aceleração torna-se perpendicular à velocidade

v (t )

v (t  t )

v

a

v (t )
Componente perpendicular da aceleração
altera a direção da velocidade

v (t )

v

v (t  t )

a

v (t  t )
No limite t  0 , a aceleração torna-se perpendicular à velocidade

v (t )

v (t  t )

v

a

v
Exemplos
Aceleração normal à trajetória:
velocidade escalar é constante

a

v

a
Componente paralela da aceleração normal
no mesmo sentido da velocidade:
velocidade escalar aumenta

v

a
Componente paralela da aceleração normal
no sentido oposto da velocidade:
velocidade escalar diminui
3.3 – Movimento de um projétil
• Movimento de um corpo no campo gravitacional da
Terra, desprezando os efeitos de resistência do ar,
curvatura e rotação da Terra.
• Movimento ocorre em um plano, definido pelo vetor
velocidade inicial e pela vetor aceleração da gravidade

a

a   gˆj
a x  0, a y   g

v0  v0 x iˆ  v0 y ˆj
0
v0 x  v0 cos  0 , v0 y  v0 sen  0
Decomposição do movimento
• Movimento horizontal com velocidade constante
• Movimento vertical com aceleração constante

a
0
v0 x  v0 cos 0
a y   g (“queda livre”)
Demonstração: Kit LADIF 1C-02
Vídeos: “Physics Demonstrations in Mechanics” I.4, I.5, I.6
Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=fwNQKjTj-0w
(a partir de 46:10 min)
Equações do movimento de projétil
v0 x  v0 cos 0
• Movimento horizontal com velocidade constante 
 x  v0 cos 0 t
v y  v0 sen 0  gt
• Movimento vertical em queda livre 

1 2
 y  v0 sen 0 t  gt
2


a
0
Aplicações:

2
2
• Distância até a origem a qualquer instante r  r  x  y

2
2
• Módulo da velocidade a qualquer instante v  v  v x  v y
vy
• Direção e sentido da velocidade: tg 
vx
y

r (t )

vx
vy

v (t )
x
• Equação da trajetória:
Sabemos que:
 x  v0 cos 0 t


1 2
y  v0 sen 0 t  gt

2

x
t 
v0 cos 0

 1 

x
x




y  v0 sen 0 
 g

 v0 cos 0  2  v0 cos 0 
2
g
2
y  tg 0 x  2
x
2v0 cos2  0
y
x
A trajetória é uma parábola
(resultado obtido pela
primeira vez por Galileu)
• Altura máxima:
Obtemos o tempo t1 para alcançar a altura máxima a partir da condição
vy  0
v y  v0 sen 0  gt1  0
v0 sen 0
t1 
g
Então substituimos t1 na equação para
y(t ) :
1 2
h  y t1   v0 sen  0 t1  gt1
2
 v0 sen  0  1  v0 sen  0 
  g 



h  v0 sen  0 
y

h
v sen  0
h
2g
2
0
x
 2 
g
2
g
2

Note que a
altura será a
maior possível

para  0  90
• Alcance:
2v0 sen 0
Obtemos o tempo t2 para o projétil retornar ao solo: t 2  2t1 
g
Então substituimos t2 na equação para x(t ) :
R  xt2   v0 cos 0 t2
 2v0 sen 0 

R  v0 cos 0 
g


2v02 sen 0cos 0
R
g
y
0
v02 sen 2 0
R
g
R
x
Note que o
alcance será o
maior possível

para  0  45
Galileu: “As amplitudes das parábolas descritas por projéteis
disparados com a mesma velocidade, mas com ângulos de elevação
acima e abaixo de 45o e equidistantes de 45o, são iguais entre si”
Demonstração experimental: Kit LADIF (lançador de projéteis)
3.4 – Movimento circular
Movimento circular uniforme
Movimento ao longo de uma trajetória circular com velocidade
escalar constante (velocidade muda apenas de direção): aceleração
será sempre perpendicular à velocidade, apontando para o centro
do círculo (centrípeta)

v

v

arad
R
arad

arad

arad

arad

v

v
v2

R
Período (T ): Tempo para
uma volta completa
2R
4 2 R
v
, arad 
T
T2
Exemplo: Y&F 3.11
Um carro possui aceleração lateral máxima de
0,96g. Se o carro se desloca a 144 km/h, qual o
raio mínimo da curva que ele pode aceitar?

v

arad
R
v  144 km/h  40 m/s
v2
arad 
R
v2
Rmin 
amax

40 m/s2
0,96 9,8m/s
2
 170m
Exemplo: Órbitas dos planetas
Raio médio T translação
(U.A)
(anos)
arad
4 2 R

T2
(U.A.)
R2 arad
Mercúrio 0,39
0,24
267,30
40,7
Vênus
0,72
0,62
73,94
38,3
Terra
1
1
39,47
39,5
Marte
1,52
1,88
16,98
39,2
Júpiter
5,20
11,86
1,459
39,5
Saturno
9,54
29,46
0,4340
39,5
Urano
19,19
84,01
0,1073
39,5
Neptuno 30,06
164,79
0,04370
39,5
Plutão
247,70
0,02544
39,7
39,53
Movimento circular não uniforme
Além da aceleração radial (centrípeta), existe
também uma aceleração tangencial, que causa
variações na velocidade escalar
2
arad

dv
v
 , atg 
R
dt
3.5 – Velocidade relativa
Velocidade depende do sistema de referência (referencial):
conjunto de eixos e um cronômetro
Em 1D:
yA
yB
xP/A
OA
xB/A
OB
xP/B
P
xA, xB
A: referencial de um observador externo, parado na estrada
B: referencial de um observador sentado dentro do ônibus
xP / A  xP / B  xB / A
Derivando em relação ao tempo, obtemos:
dx P / A dx P / B dx B / A


dt
dt
dt
vP / A  vP / B  vB / A
Exemplo:
vP / B  1m/s
vB / A  4 m/s
vP / A  vP / B  vB / A  3 m/s
Em 2D e 3D:

rP / A
yA



rP / A  rP / B  rB / A
yB
Derivando em relação
ao tempo, obtemos:
P

rP / B
 OB
rB / A
OA
zA
zB
xA
xB



vP / A  vP / B  vB / A
Transformação de
velocidades de Galileu
Exemplos: Y&F 3.14 e 3.15
Velocidade do avião
em relação à Terra:



vP / E  vP / A  v A / E
vP / E  vP2 / A  v A2 / E  260 km/h
 100 km/h 

  23
 240 km/h 
  arctg
Em que direção o piloto deve inclinar
seu avião para ir do Sul para o Norte?
 100 km/h 

  arcsen
  25
 240 km/h 
Velocidade do avião em relação à
Terra:
vP / E  vP2 / A  v A2 / E  218 km/h
Próximas aulas:
6a. Feira 26/08: Aula de Exercícios (sala A-327)
4a. Feira 30/08: Aula Magna (sala A-343) e teste do Cap. 3
Avisos:
Mudança na data da P2: 2a. Feira 28/11, 17h
Testes (valendo até 1,0 ponto na prova):

(Media nos testes) 2,0
Bonus na prova
8,0
(Ausências nos testes são computadas
como nota zero para o cálculo da
média)