01. (ENEM 2013) Em um certo teatro, as poltronas são
divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3
desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão
reservadas e as claras não foram vendidas. A razão que
representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3
em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é:
a) 17/70
b) 17/53
c) 53/70
d) 53/17
e) 70/17
𝒏(𝒓𝒆𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒂𝒔)
𝟏𝟕
𝑷=
=
𝒏(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍)
𝟕𝟎
02. Numa roleta, estão marcados todos os números
inteiros de 0 a 36. Cada vez que a roleta é acionada,
um desses números é escolhido aleatoriamente,
tendo todos eles a mesma probabilidade de serem
escolhidos. Um grupo de cinco amigos utiliza essa
roleta para decidir quem inicia cada rodada de um
jogo. A cada rodada, a roleta é acionada e o número
escolhido é dividido por 5, tomando-se o resto
dessa divisão. Então, o jogador que inicia a rodada é
definido de acordo com a tabela abaixo.
Considere que as três próximas rodadas do jogo
serão iniciadas por três jogadores diferentes.
Dada essa condição, dentre os trios
apresentados a seguir, aquele que tem a maior
probabilidade de conter os três jogadores que
iniciarão as próximas três rodadas é:
a) Bruno, Felipe e Luana
b) Bruno, Júlia e Rafael
c) Felipe, Júlia e Luana
d) Felipe, Luana e Rafael
e) Júlia, Luana e Rafael
Resto
Jogador
Resultados favoráveis
Quantidade de resultados favoráveis
0
Bruno
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35
8
1
Felipe
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36
8
2
Júlia
2, 7, 12, 17, 22, 27, 32
7
3
Luana
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33
7
4
Rafael
4, 9, 14, 19, 24, 29, 34
7
TOTAL
Os jogadores com mais chance de
começar são: BRUNO E FELIPE
37
03.(ENEM 2013) Numa escola com 1.200 alunos foi
realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses
em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa
pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês,
500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um
desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola
ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a
probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
A) 1/2
B) 5/8
C) 1/4
D) 5/6
E) 5/14
Espanhol = 500
Inglês = 600
600 - X
X
500 - X
300
(600 – X) + X + (500 –X) + 300 = 1200
1400 – X = 1200
X = 200
Espanhol = 500
Inglês = 600
400
200
300
300
E, AGORA, QUAL É A RELAÇÃO DESEJADA?
03.(ENEM 2013) Numa escola com 1.200 alunos foi
realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses
em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa
pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês,
500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um
desses idiomas. Escolhendo-se um aluno
dessa escola ao acaso e sabendo-se que
ele não fala inglês, qual a probabilidade
de que esse aluno fale espanhol?
A)
B)
C)
D)
E)
1/2
5/8
1/4
5/6
5/14
Espanhol = 500
Inglês = 600
400
200
300
300
𝒏(𝑭𝑨𝑳𝑨 𝑬𝑺𝑷𝑨𝑵𝑯𝑶𝑳)
𝟑𝟎𝟎 𝟏
𝑷=
=
=
𝟔𝟎𝟎 𝟐
𝒏(𝑵Ã𝑶 𝑭𝑨𝑳𝑨 𝑰𝑵𝑮𝑳Ê𝑺)
04. (ENEM 2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e
decidiu se mudar, por recomendações médicas, para
uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano
ou Residencial Suburbano. A principal recomendação
médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor”
da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais
temperaturas são apresentadas no gráfico:
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para
morar, a probabilidade de ele escolher uma região que
seja adequada às recomendações médicas é:
a) 1/5
b) 1/4
c) 2/5
d) 3/5
e) 3/4
𝒏(𝒂𝒅𝒆𝒒𝒖𝒂𝒅𝒂)
𝟑
𝑷=
=
𝒏(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍)
𝟓
04. (ENEM 2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e
decidiu se mudar, por recomendações médicas, para
uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano
ou Residencial Suburbano. A principal recomendação
médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor”
da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais
temperaturas são apresentadas no gráfico:
X
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para
morar, a probabilidade de ele escolher uma região que
seja adequada às recomendações médicas é:
a) 1/5
b) 1/4
c) 2/5
d) 3/5
e) 3/4
𝒏(𝒂𝒅𝒆𝒒𝒖𝒂𝒅𝒂)
𝟑
𝑷=
=
𝒏(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍)
𝟒
05. (ENEM 2006) Um time de futebol amador ganhou uma taça ao vencer um
campeonato. Os jogadores decidiram que a taça seria guardada na casa de
um deles. Todos quiseram guardar a taça. Durante a discussão para se
definir com quem ficaria a taça, travou-se o seguinte diálogo:
Pedro (camisa6): - Tive uma ideia, nós somos onze jogadores e nossas
camisas estão numeradas de 2 a 12. Tenho um dado numerado de 1 a 6,
jogarei duas vezes o dado e somarei os resultados, quem tiver este número
na camisa, guardará a taça.
Tadeu (camisa2): - Não sei não... Pedro sempre foi muito esperto... acho que
ele está levando vantagem sobre todos nós nessa proposta.
Ricardo (camisa11): - Pensando bem ... você pode estar certo Tadeu, pois,
conhecendo Pedro, é capaz de haver mais chances de ganhar que nós dois
juntos.
Desse diálogo conclui-se que:
a) Tadeu e Ricardo estavam equivocados, pois a probabilidade
de ganhar a guarda da taca era a mesma para todos.
b) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos,
tinham mais chances de ganhar a guarda da taca do que Pedro.
c) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos,
tinham a mesma chance que Pedro de ganhar a guarda da taca.
d) Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinham
menos chances de ganhar a guarda da taca do que Pedro.
e) não é possível saber qual dos jogadores tinha razão, por se
tratar de um resultado probabilístico, que depende
exclusivamente da sorte.
Camisa
2
6
11
Resultados favoráveis
1e1
1 e 5, 2 e 4, 3 e 3,
4 e 2, 5 e 1
5 e 6, 6 e 5
TOTAL (6 x 6)
Quantidade de
resultados favoráveis
1
5
2
36
06. Um grupo de cinco amigas fez uma aposta em relação ao
resultado decorrente do lançamento de um dado. Esse dado é
numerado de 1 a 6 e apresenta duas faces escuras e 4 faces
claras conforme a figura abaixo:
A tabela a seguir indica as apostas feitas pelas
cinco amigas.
LARA
BRUNA
LETÍCIA
VANESSA
YASMIN
Face branca ou número par
Face branca ou número 5
Face preta ou número menor que 3
Face preta ou número maior que 2
Face branca ou número menor que 4
Raquel, que não fazia parte do grupo, ao
observar a tabela, sugeriu trocar em cada
aposta, o conectivo “ou“ pelo conectivo “e“.
Se essa sugestão for aceita pelo grupo, então :
a) LARA terá mais chances de vitória do que YASMIN
b) BRUNA e VANESSA terão a mesma chance de vitória.
c) LETÍCIA será a única do grupo com a chance de
vitória reduzida.
d) VANESSA será a amiga com menor chance de vitória
dentre todas as outras.
e) YASMIN terá sua chance de vitória aumentada.
MENINA
LARA
REGRA
Face branca OU número par
probabilidade
5
BRUNA Face branca OU número 5
4
LETÍCIA Face preta OU número menor que 3
3
VANESSA Face preta OU número maior que 2
5
YASMIN Face branca OU número menor que 4
5
MENINA
LARA
REGRA
Face branca E número par
probabilidade
2
BRUNA Face branca E número 5
1
LETÍCIA Face preta E número menor que 3
1
VANESSA Face preta E número maior que 2
1
YASMIN Face branca E número menor que 4
2
07. (ENEM 2001) Uma empresa de alimentos imprimiu em
suas embalagens um cartão de apostas do seguinte tipo:
Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol
e 8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 espaços possíveis,
de tal forma que a probabilidade de um cliente ganhar o
prêmio nunca seja igual a zero. Em determinado cartão
existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5.
Com esse cartão, a probabilidade de o cliente ganhar o
prêmio é:
a) 1/27 b) 1/36 c) 1/54 d) 1/72 e) 1/108
𝟏
𝑷𝟏 =
𝟑
𝟏
𝑷𝟐 =
𝟒
𝑷𝟑 =
𝟏
𝟑
𝑷𝟒 =
𝟐
𝟑
𝑷𝟓 =
Logo:
𝑷𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =
𝟐
𝟐
𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐
. . . .
𝟑 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐
=
𝟏
𝟓𝟒
08. (ENEM 2012) Em um blog de variedades, músicas,
mantras e informações diversas, foram postados “Contos
de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam
opinar, assinalando suas reações em: “Divertido”,
“Assustador” ou “Chato”.
Ao final de uma semana, o blog registrou que 500
visitantes distintos acessaram esta postagem.
O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.
O administrador do blog irá sortear um livro entre os
visitantes que opinaram na postagem “Contos de
Halloween”.
Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a
probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as
que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de
Halloween” é “Chato” é mais aproximada por:
a) 0,09
b) 0,12
c) 0,14
d) 0,15
e) 0,18
𝒏(𝒄𝒉𝒂𝒕𝒐)
𝑷𝒓𝒐𝒃 =
𝒏(𝒐𝒑𝒊𝒏𝒂𝒓𝒂𝒎)
𝑷𝒓𝒐𝒃 =
𝟏𝟐%
𝟏𝟎𝟎% −𝟐𝟏%
=
𝟏𝟐%
𝟕𝟗%
= 0,15189...
09. Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e
pressão arterial, conforme mostrado no quadro a seguir:
EXCESSO
Com base nesses dados, podemos concluir que
a) A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse
grupo ter pressão alta é de 25%.
b) Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse
grupo, tem excesso de peso, a probabilidade de ela ter
também pressão alta é de 40%.
c) Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse
grupo, tem pressão alta, a probabilidade de ela ter também
peso normal é de 8%.
d) A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse
grupo ter pressão normal e peso deficiente é de 30%.
e) Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse
grupo, tem peso deficiente, a probabilidade de ela ter
também pressão alta é superior a 90%.
EXCESSO
𝒏(𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 𝒂𝒍𝒕𝒂)
𝒂) 𝑷𝒓𝒐𝒃 =
𝒏(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍)
𝟎, 𝟐
=
= 𝟎, 𝟐 = 𝟐𝟎% (𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐)
𝟏
Com base nesses dados, podemos concluir que
a) A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse
grupo ter pressão alta é de 25%.
b) Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse
grupo, tem excesso de peso, a probabilidade de ela ter
também pressão alta é de 40%.
c) Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse
grupo, tem pressão alta, a probabilidade de ela ter também
peso normal é de 8%.
d) A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse
grupo ter pressão normal e peso deficiente é de 30%.
e) Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse
grupo, tem peso deficiente, a probabilidade de ela ter
também pressão alta é superior a 90%.
EXCESSO
𝒏(𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 𝒂𝒍𝒕𝒂)
𝒃) 𝑷𝒓𝒐𝒃 =
𝒏(𝒆𝒙𝒄𝒆𝒔𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒔𝒐)
𝟎, 𝟏𝟎 𝟐
=
= = 𝟒𝟎% (𝑽)
𝟎, 𝟐𝟓 𝟓
10. A Confederação Brasileira de Futebol – CBF, em
respeito ao Estatuto do Torcedor, realiza um sorteio para
definir os árbitros das partidas de cada rodada do
Campeonato Brasileiro de Futebol. O quadro abaixo
mostra a quantidade de árbitros por estado que
entraram no sorteio para os jogos de uma determinada
rodada do campeonato.
ESTADO
QUANTIDADE DE
ÁRBITROS
SP RJ SC PR MG GO RS DF CE PA
6
5
1
2
3
1
3
1
1
1
Para o jogo Flamengo (RJ) X Cruzeiro (MG), as diretorias
dos clubes entraram em acordo que para evitar polêmicas
deveriam solicitar a CBF a escalação de um árbitro de outro
país se a probabilidade do árbitro sorteado ser originário
de um estado diferente desses clubes foi inferior a 65%.
Ao verificar a tabela, a comissão de arbitragem da CBF
verificou que:
a) não há necessidade de arbitro de outro país, pois a
probabilidade do árbitro sorteado ser originário de um
estado diferente desses clubes é superior a 80%.
b) não há necessidade de arbitro de outro país, pois a
probabilidade do árbitro sorteado ser originário de um
estado diferente desses clubes é de aproximadamente 67%.
c) há necessidade de arbitro de outro país, pois a
probabilidade do árbitro sorteado ser originário de um
estado diferente desses clubes é de aproximadamente 53%.
d) há necessidade de arbitro de outro país, pois a
probabilidade do árbitro sorteado ser originário de um
estado diferente desses clubes é de aproximadamente 63%.
e) não há necessidade de arbitro de outro país, pois a
probabilidade do árbitro sorteado ser originário de um
estado diferente desses clubes é de aproximadamente 74%.
𝒏(𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏á𝒓𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝑹𝑱 𝒐𝒖 𝑴𝑮)
𝑷𝒓𝒐𝒃 =
𝒏(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍)
𝟓+𝟑
𝟖
𝟏
𝑷𝒓𝒐𝒃 =
=
= = 𝟑𝟑, 𝟑𝟑%
𝟐𝟒
𝟐𝟒 𝟑
𝒏(𝑵Ã𝑶 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏á𝒓𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝑹𝑱 𝒆 𝑴𝑮)
𝑷𝒓𝒐𝒃 =
𝑵(𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳)
𝟏 𝟐
𝑷𝒓𝒐𝒃 = 𝟏 − = = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔%
𝟑 𝟑
Prob (de 1ª lançamento sair CARA) =
K.C.C =
K.C2
=
𝟏 𝟏 𝟏
. .
𝟐 𝟐 𝟐
=
𝟏
𝟖
Prob (de um lançamento sair CARA) =
K.C.C + C.K.C + C.C.K =
3.K.C2
= 3.
𝟏 𝟏 𝟏
. .
𝟐 𝟐 𝟐
=
𝟑
𝟖
9º EXERCÍCIO DE CASA.
(ENEM 2009) O controle de qualidade de uma empresa
fabricante de telefones celulares aponta que a
probabilidade de um aparelho de determinado modelo
apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja
acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um
cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja
com exatamente dois aparelhos defeituosos?
a)
b)
c)
d)
e)
2 x (0,2%)4
4 x (0,2%)2
6 x (0,2%)2 x (99,8%)2
4 x (0,2%)
6 x (0,2%) x (99,8%)
Como não houve a indicação da ordem, devem
ser consideradas todas as ordens de escolhas
possíveis. Assim, como teremos 2 defeituosos e
2 não defeituosos, podemos resumir:
𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 = 6. d2.n2
𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 = 𝟔. 𝟎, 𝟐% 𝟐 . 𝟗𝟗, 𝟖
𝟐
Espanhol = 500
Inglês = 600
400
200
300
300
Falam ESPANHOL
200
Falam INGLÊS
600
1200
Não falam INGLÊS
600
Não falam ESPANHOL
400
Falam ESPANHOL
300
Não falam ESPANHOL
300
Prob (de um aluno falar INGLÊS E ESPANHOL) =
𝒏 𝑰𝑵𝑮𝑳Ê𝑺 𝑬 𝑬𝑺𝑷𝑨𝑵𝑯𝑶𝑳
𝟐𝟎𝟎
=
𝒏(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍)
𝟏𝟐𝟎𝟎
Prob (de um aluno que fala INGLÊS falar ESPANHOL) =
𝒏(𝑰𝑵𝑮𝑳Ê𝑺 𝑬 𝑬𝑺𝑷𝑨𝑵𝑯𝑶𝑳)
𝒏(𝑰𝑵𝑮𝑳Ê𝑺)
Prob (de um aluno falar INGLÊS) =
𝒏(𝑰𝑵𝑮𝑳Ê𝑺)
𝟔𝟎𝟎
=
𝒏(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍)
𝟏𝟐𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎
=
𝟔𝟎𝟎
EXTRA 01 – Argumentação Algébrica e
Probabilidade
Certo aparelho de telefonia fixa sem fio possui
uma bateria interna que permite a sua
permanência em funcionamento fora da base
de recarga por até 1,5 horas de conversação
contínua ou por até 9 horas em modo stand by,
ou seja, em modo de espera (sem a realização
de conversação).
Considerando que um aparelho deste modelo estava com sua
bateria inicialmente carregada e se descarregou após 8 horas de
funcionamento, qual é a probabilidade de tê-lo encontrado
ocupado neste período?
a) 12%
b) 7,3%
c) 5,6%
d) 3,5%
e) 2,5%
SOLUÇÃO:
Duração da bateria do telefone sem fio (8h = 480 min)
X minutos em
conversação
(480-X) minutos em
modo stand by
Modo de conversação (1,5h = 90 min)
Modo Stand by (9h = 540 min)
Com base nos cálculos anteriores, temos os seguintes tempos:
Duração da bateria do telefone sem fio (8h = 480 min)
12 minutos em
conversação
468 minutos ou 7h48min
em modo stand by
A Probabilidade de o telefone estar ocupado nestas 8h de
funcionamento é dada pela seguinte relação:
EXTRA 02 – Probabilidade
Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela
pode escolher dois trajetos: A ou B. Devido ao intenso tráfego, se
Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela
se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa
para 0,30. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B
são, respectivamente, iguais a 0,6 e 0,4.
Sabendo-se que Ana não se atrasou,
então a probabilidade de ela ter
escolhido o trajeto B é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
6/25
6/13
7/13
7/25
7/16
SOLUÇÃO:
Inicialmente, distribua todos os eventos com uma árvore de
possibilidades:
Trajeto A
(PA = 0,6)
Possíveis
trajetos de
Ana
Trajeto B
(PB = 0,4)
Atrasando-se:
PA, atrasado = 0,4 . (0,6) = 0,24
Sendo pontual:
PA, pontual = 0,6 . (0,6) = 0,36
Atrasando-se:
PB, atrasado = 0,3 . (0,4) = 0,12
Sendo pontual:
PB, pontual = 0,7 . (0,4) = 0,28
Como no enunciado, há a informação de que Ana não se atrasou, a
probabilidade de Ana ter utilizado o trajeto B é: