Comparação de Médias de Várias Populações
2.1. Experimentos com um fator e vários níveis
H0 : 1  2  ...  a
H1 : Ao menosum i   j , para i  j {1,2,...,a}
(2.2)
2.2. Experimento envolvendo três fabricantes de bloco de concreto
H 0 :  A   B  C
H1 : Ao menosum i   j , para i  j {A, B, C}
2.2. Experimento envolvendo três fabricantes de bloco de concreto
2.2. Experimento envolvendo três fabricantes de bloco de concreto
2.2. Experimento envolvendo três fabricantes de bloco de concreto
Tabela 2.8: Resistência dos blocos- ya 290
A
B
C
57
50
54
58
54
48
61
56
55
54
52
51
60
53
52
y a 58
y b 53
y c 52
ya 290
yb 265
yc 260
Tabela 2.9: Valores de L, n, gl e SQ para os dados da Tabela 2.8.
Tratamento
Total
Número
de níveis
L=a
3
Tamanho
da amostra
n
5
Graus de
liberdade
gl
L-1=2
Ln-1=14
y
290;265;260
S2
258,33
QM S2 /n
SQ=gl*QM
51,67
103,33
2.2. Experimento envolvendo três fabricantes de bloco de concreto
Tabela 2.9: Valores de L, n, gl e SQ para os dados da Tabela 2.8.
Tratamento
Número
de níveis
L=a
3
Tamanho
da amostra
n
5
Total
Graus de
liberdade
gl
L-1=2
y
290;265;260
S2
258,33
QM S2 /n
SQ=gl*QM
51,67
103,33
Ln-1=14
Tabela 2.10: Quadro de análise de variância para os dados da Tabela 2.8
Fonte de
Soma dos
Variação
Quadrados
103,33
Entre tratamento
Erro (dentro dos
80
tratamentos)
14*13,10=183,33
Total
Graus de
Liberdade
2
12
14
Quadrado
Médio
S N2 =51,67
S D2 =80/12=6,67
f0
S N2 / SD2 =7,75
f 0,01(2,12)
6,93
2.4. Teste de Tukey para determinação do melhor fabricante de blocos de concreto
Tabela 2.10: Quadro de análise de variância para os dados da Tabela 2.8
Fonte de
Variação
Entre tratamento
Erro (dentro dos
tratamentos)
Total
Soma dos
Quadrados
2*51,67
=103,33
183,33103,33=80
14*13,10
=183,33
Graus de
Liberdade
2
Quadrado
Médio
S N2 =51,67
f0
S N2 / SD2
f 0,01(2,12)
6,93
=7,75
14-2=12
S
2
D
=80/12=6,67
14
\
S R2
S R2
6,66
\
Zeta=q (a, )
q1% (3,12)
5,04
5,82
n
n
5
Análise de Variância - ANOVA
Zeta  5,82
X A  X B  58,0  53,0  5,0
X A  X C  58,0  52,0  6
X B  X C  53,0  52,0  1,0
Conclusão:
Só podemos concluir que o concreto A é mais resistente que o
concreto C.
2.8. Experimentos com dois fatores sem réplica
A
B
C
D
E
F
5,4
3,2
3,8
4,6
5,0
4,4
Variedade 2 5,7
4,0
4,2
4,5
5,3
5,0
Fertilizante
Variedade 1
Temos dois conjuntos de hipóteses:
1) Quanto ao fertilizante
H 0 :  A   B  C  ...   F
H1 : Ao menos um i   j , para i, j A, B, C,..., F e i  j
2) Quanto a variedade
H 0 : 1   2
H1 : 1  2
2.8. Experimentos com dois fatores sem réplica
Tabela 2.20: Valores de L, n, gl e SQ dos experimentos com dois fatores sem réplicas.
Fator
A
Número
de Níveis
L
a
B
b
T amando Graus de
da amosta Liberdade
n
gl
a 1
nA
b1
nB
SYi
S 2
2
SFator
S2 /n
2
SQglSFator
a somasde
n A valores
S2A
S A2 S2A /nA
SQA(a1)S A2
b somasde
nB valores
S2B
S B2 S2B /nB
SQB (b1)S B2
Tabela 2.21: Produção de cada unidade experimental
Variedade
1
2

A
5,4
5,7
11,1
B
3,2
4,0
7,2
Fertilizante
C
D
3,8
4,6
4,2
4,5
8,0
9,1

E
5,0
5,3
10,3
F
4,4
5,0
9,4
Tabela 2.22: Valores de n, a-1, SYi , S 2 e S N2 .
Fator
L n gl
Fertilizante 6 2
5
SYi
S 2
11,1; 7,2; 8,0 2,062
2
2
SFator
S2 /n SQ= gl S Fator
SF2  1,031
SQF=5,154
S|V2  0,441
SQV=0,441
9,1; 10,3; 9,4
Variedade
2 6
1
26,4; 28,7
2,645
26,4
28,7
55,1
Fator
L n gl
Fertilizante 6 2
5
2
2
SFator
S2 /n SQ= gl S Fator
S 2
SYi
11,1; 7,2; 8,0 2,062
SF2  1,031
SQF=5,154
S|V2  0,441
SQV=0,441
9,1; 10,3; 9,4
Variedade
2 6
1
26,4; 28,7
2,645
Fonte de
Variação
Fertilizante
Variedade
Erro
Total
Soma dos Quadrados
5,154
0,441
5,829-5,154-0,441=
=0,234
11*0,53=5,829
Graus de
Liberdade
5
1
5
11
c
Tabela 2.23: ANOVA com dois fatores: fertilizante e variedade
Quadrado
Médio
1,031
0,441
S R2  0,0468
F
22,03
9,42
f  ( 1 , 2 )
f1% (5,5)  10,97
f1% (1,5)  16,26
2.8. Experimentos com dois fatores sem réplica
Tabela 2.22: Valores de n, a-1, SYi , S 2 e S N2 .
Fator
L n gl
Fertilizante 6 2
5
S 2
SYi
11,1; 7,2; 8,0 2,062
2
2
SFator
S2 /n SQ= gl S Fator
SF2  1,031
SQF=5,154
S|V2  0,441
SQV=0,441
9,1; 10,3; 9,4
Variedade
2 6
1
26,4; 28,7
2,645
Tabela 2.23: ANOVA com dois fatores: fertilizante e variedade
Fonte de Variação Soma dos
Quadrados
Fertilizante
5,154
Variedade
0,441
Erro
0,234*
Total
*0,234=5,829-5,154-0,441
2
5,829 11*ST
Graus de
Liberdade
5
1
5
11
Quadrado
Médio
1,031
0,441
S R2  0,0468
F
22,03
9,42
f  ( 1 , 2 )
f1% (5,5)  10,97
f1% (1,5)  16,26
Tabela 2.23: ANOVA com dois fatores: fertilizante e variedade
Tabela 2.21: Produção de cada unidade experimental
Fonte de Variação Soma dos
Graus de
Quadrado
F
f  ( 1 , 2 )
Fertilizante

Quadrados
Liberdade
Médio
Variedade
A
B
D
E22,03
F
Fertilizante
5,154
5 C
1,031
f1% (5,5)  10,97
1
5,4
3,2
3,8
4,6
5,0
4,4
26,4
Variedade
0,441
1
0,441
9,42
16,26
f1% (1,5) 
2
5,7
4,0
4,2
4,5
5,3
5,0
28,7
11,1
7,2
9,4
55,1

Erro
0,234*
5 8,0
S 29,1
 0,0468 10,3
R
Total
5,829
11
*0,234=5,829-5,154-0,441
S2R
S2R
0,0468
Zeta = q (a, )
 q1% (6,5)
 8,91
 1,36
n
n
2
S2R
S2R
0,0468
Zeta = q (a, )
 q1% (6,5)
 8,91
 1,36
n
n
2
S2R
S2R
0,0468
Zeta = q (a, )
 q1% (6,5)
 8,91
 1,36
n
n
2
Tabela 2.25: Valores de X i  X j
A
X i  X j  5,55
5,55
3,6
4
4,55
5,15
4,7
A
B
C
D
E
F
B
3,6
C
4
D
4,55
E
5,15
F
4,7
1,95
1,55
0,4
1
0,95
0,55
0,4
1,55
1,15
0,6
0,85
1,1
0,7
0,15
0,45
Tabela 2.21: Produção de cada unidade experimental
Variedade
1
2

A
5,4
5,7
11,1
B
3,2
4,0
7,2
Fertilizante
C
D
3,8
4,6
4,2
4,5
8,0
9,1

E
5,0
5,3
10,3
F
4,4
5,0
9,4
26,4
28,7
55,1
Experimento com dois fatores, com repetição
Operário
Método
1
2
3
4
I
54
46
55
51
I
52
47
54
60
II
59
61
59
56
II
57
55
61
57
III
59
63
63
59
III
62
58
61
60
Temos três conjuntos de hipóteses:
1) Quanto ao operário
H 0 : 1  2  3  4
H1 : Ao menos um i   j , para i, j 1,2,3,4 e i  j
2) Quanto ao método
H 0 :  I   II  III
H1 : Ao menos um i   j , para i, j I, II, IIIe i  j
3) Quanto a interação método-operário
H 0 : 1I  2 I  3I  ...  4III
H1 : Ao menos um i   j , para i, j 1I,2I,3I,...,4IIIe i  j
Fator
Tabela
Fator
A
Número
T amando
de
Níveis
2.26: Valoresdadeamosta
L, n,
L
n
Número
Operário
de Níveis4
L
Método a
3
B
b
Método-
AB
T amando
6
da amosta
n
nA 8
operário ab
gl
2
2
2
SQ
S

S
/n com réplicas.
Fator

experimentos com dois fatores
S 2
SYi
Graus de
SY
343; 330; 353;i 343
3
liberdade
gl
a 1
a somas
419;
465; 485de
2
n A valores
b1
nB
12
Graus de
glliberdade
e SQ dos
b somasde
alores
Bv
106; n
93;
109;
111;
3*2
116;somas
120; 113;
de
(a1)(b1)116;ab
121;r121;
124; 119
valores
r
2
S

88,92
2
S A
1145,3
S2B
73,36
S2AB
2
S2Fator
S2 /n
SO  14,82
1
Fonte
dede 1
Fonte
variação
variação
2
2
2
343
330
SQB (b1)SB2
SQMO 1136,678
44,46286 ,33
2
SQB SQAB 
S AB
S2AB /r72,SQ
67 A
2
SMO
 36,678
2
(ab1)S AB

3
4
Grausdede 60
Quadrado
Quadrado
54Graus
liberdade médio
médio
liberdade
52
(106)
(109)
Operário
44,46
Operário
 =3
Método
2
59
61
59 1
Método
286,33
Método
2
57
55
61 1=2
Método-Operário
11(36,678)Método-Operário (116)
72,67
(116)
(120) 1=6
Erro
488,96-11(36,678)
=85,50*
Erro
488,96-11(36,678) =85,50*
2=12
3
59
63
63
Total
23*21,259=488,96
Total
23
23*21,259=488,96
3
62
58
61
(121)
(121)
(124)

2
S B2 S2B /nB
Tabela
2.31: Quadro
de análise
54
46
55 de variância
51
Soma
dos
Soma
47dos
quadrados
quadrados
(93)
44,46
S2 A143,17
SA /nA SQM 2SQ
(a)1)S A
(143
,17
A
SM
286,33
Operário
1
Soma dos
SQ
SQO 3quadrados
(14,82)
353
(111)
14,82
14,82
56
143,17
143,17
57
(113)12,11
7,13
59
60
(119)
343
419
f0 f0
2,08
465
20,08
1,70
485
f (f1 ,(21), 2 )
5,95
6,93
4,82
Figura 2.8: Tempos médio de execução de uma tarefa para cada combinação método-operário
Tabela 2.32: Segundo conjunto de tempos de execução de uma tarefa
Operário
1
2
3
4
1
51
56
58
62
1
53
58
54
62
Método
2
2
59
57
61
55
59
55
56
57
3
3
63
62
56
57
59
60
51
52
Fonte de Variação
Método
Operário
Método-Operário
Erro
Total
Tabela 2.33: Quadro de análise de variância
Soma dos Graus de
Quadrado
F
Quadrados Liberdade
Médio
2,58
2,79
234,08
42,50
281,96
2
3
6
12
23
1,29
0,93
39,01
3,54
0,36
0,26
11,02
Fcrítico
F1% (2,12) =6,93
F1% (3,12) =5,95
F1% (6,12) =4,82
Fonte de Variação
Método
Operário
Método-Operário
Erro
Total
Tabela 2.33: Quadro de análise de variância
Soma dos Graus de
Quadrado
F
Quadrados Liberdade
Médio
2,58
2,79
234,08
42,50
281,96
2
3
6
12
23
Método 1
1,29
0,93
39,01
3,54
Método 2
0,36
0,26
11,02
Fcrítico
F1% (2,12) =6,93
F1% (3,12) =5,95
F1% (6,12) =4,82
Método 3
Tempo
63
60
57
54
51
48
45
1
2 Operário
3
4
Figura 2.9: Tempos médio de execução de uma tarefa para cada combinação método-operário
Fonte de Variação
Método
Operário
Método-Operário
Erro
Total
Zeta
Tabela 2.33: Quadro de análise de variância
Soma dos Graus de
Quadrado
F
Quadrados Liberdade
Médio
2,58
2,79
234,08
42,50
281,96
2
3
6
12
23
1,29
0,93
39,01
3,54
0,36
0,26
11,02
Fcrítico
F1% (2,12) =6,93
F1% (3,12) =5,95
F1% (6,12) =4,82
S2R
S2R
3,54
= q (a, )
 q1% (12,12)
 7,06
 9,4
n
n
2
Tabela 2.32: Segundo conjunto de tempos de execução de uma tarefa
Operário
1
2
3
4
1
51
56
58
62
1
53
58
54
62
Método
2
2
59
57
61
55
59
55
56
57
3
3
63
62
56
57
59
60
51
52
(2.41)
Tabela 2.32: Segundo conjunto de tempos de execução de uma tarefa
Operário
1
2
3
4
1
51
56
58
62
1
53
58
54
62
Método
2
2
59
57
61
55
59
55
56
57
3
3
63
62
56
57
59
60
51
52
Tabela 2.34: Tempos médios de execução da tarefa
Operário
Método
1
2
3
4
1
52
57
56
62
2
58
58
57
56,5
3
62,5
56,5
59,5
51,5
Tabela 2.35: Valores de Xij Xlm
Zeta
Operário
 M 2 M1 
1
58
2
58
3
57
4
56,5
1
52
6
6
5
4,5
S2R
S2R
3,54
= q (a, )
 q1% (12,12)
 7,06
 9,4
n
n
2
2
57
1
1
0
0,5
3
56
2
2
1
0,5
4
62
4
4
5
5,5
Operário

1
2
3
4
1
M3 M 1  52
62,5
10,5
56,5
4,5
59,5
7,5
51,5
0,5
2
57
5,5
0,5
2,5
5,5
3
56
6,5
0,5
3,5
4,5
4
62
0,5
5,5
2,5
10,5