UNOCHAPECÓ
Pós-Graduação em Levantamentos Geodésicos
GEODÉSIA GERAL
Prof. Regiane Dalazoana / Henrique Firkowski
2 semestre de 2009
1- FUNDAMENTOS DA GEODÉSIA
 Definição e Objetivos em Geodésia
 Evolução dos Modelos de Terra
 Noções de Coordenadas Geodésicas e Astronômicas
 Fundamentos Geométricos da Geodésia e das
Superfícies de Referência
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
GEODÉSIA
 Helmert (1880): ciência da mensuração e representação
da superfície da Terra
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
GEODÉSIA
 Helmert (1880): ciência da mensuração e representação
da superfície da Terra
Nesta definição se inclui a determinação do campo de
gravidade, uma vez que a maioria das observações
geodésicas está a ele referida
(vertical !!!)
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
GEODÉSIA
Atual:
- ciência da determinação da forma e dimensões da
Terra;
- do seu campo da gravidade externo; e
- respectivas variações temporais
Não havia na definição dada por Helmert
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
PROBLEMA BÁSICO
Deduzir os parâmetros fundamentais da Geodésia,
associados com forma, dimensões e campo da gravidade
externo, a partir de mensurações efetivadas na superfície
ou em pontos exteriores
Métodos modernos – observações realizadas de, para e
entre satélites
Métodos clássicos – observações de: direções, distâncias,
determinação: de desníveis, de
diferenças de gravidade ou de valores
de gravidade
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
Mensurações de diferentes tipos (origem da divisão
clássica )
Geodésia Geométrica – medidas de ângulos e distâncias
Geodésia Física – medidas gravimétricas
Geodésia Celeste – técnicas espaciais
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
Geodésia Geométrica
Visão clássica -> é o conjunto de materiais e métodos
voltados à determinação de coordenadas geodésicas
(latitude  e longitude ) a partir da realização de
operações de observação / medida em campo de grandezas
geométricas (medidas de direções e de distâncias)
associadas a (poucas) determinações astronômicas.
Pode-se dizer também: conjunto dos métodos baseados em
observações de natureza geométrica que são voltados à
determinação de coordenadas de pontos da superfície
terrestre referidos a um modelo geodésico.
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
Geodésia Física
É o conjunto de materiais e métodos voltados à
determinação valores de aceleração gravidade (g) ou de
suas diferenças (Δg) a partir da realização de operações
de observação de natureza gravimétrica.
Superfície
equipotencial:
que contém
o ponto 1
que contém
o ponto 2
g1
Δg
Superfície física
Δg = g2 – g1
g2
O conhecimento de valores de aceleração da gravidade em
conjunto com outros conhecimentos da parte sólida do planeta permite
inferir sobre o sub-solo.
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
Geodésia Física
Gravímetros
Relativos -> Δg
Absolutos -> g
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
Geodésia Celeste ou Espacial
Pode-se dizer que é o conjunto de materiais e
métodos que são baseadas em técnicas espaciais de
posicionamento por meio de satélites artificiais.
Busca-se determinar, por exemplo, direções,
distâncias , coordenadas e variações de distâncias, entre
pontos localizados na superfície da Terra e satélites ou
entre satélites
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
Geodésia Celeste ou Espacial
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
O objetivo ou escopo da Geodésia se expandiu e passou a
incluir novas aplicações:
No oceano – determinação do fundo oceânico
No espaço – superfície e características de corpos celestes, como a Lua e
outros planetas
Numa visão mais atual, em Geodésia trata-se com :
- Posições 3D determinadas com alta precisão
(estabelecimento do controle geodésico)
- Campo da gravidade
- Modelagem e determinação de fenômenos geodinâmicos
(movimento do pólo, rotação da Terra, deformação da
crosta)
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
Como forma de operacionalização, o objetivo pode
ser tratado sob 3 pontos de vista – depende do usuário
Geodésia Global – forma e dimensões planetárias, referenciais,
grandezas fundamentais, campo da gravidade, variações temporais
Levantamentos Geodésicos – caráter regional, considera curvatura
da Terra e campo da gravidade
Levantamentos Topográficos – efeitos da curvatura e campo da
gravidade são omitidos
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
Embora a finalidade primordial da Geodésia seja
científica, as suas técnicas são aplicadas em atividades
voltadas ao estabelecimento da estrutura básica para o
mapeamento e para trabalhos em topografia.
Na maioria dos países isso se constitui na
finalidade e na razão de seu desenvolvimento e
realização.
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Qual é a forma da Terra?
Em uma primeira aproximação, as irregularidades da
superfície terrestre podem ser negligenciadas.
Assim pode-se reduzir o problema à determinação
das dimensões do modelo geométrico mais adequado para
esta representação.
Adotam-se modelos ou superfícies de referência
mais simples, regulares, e com características geométricas
conhecidas que possibilitem realizar reduções e sirvam de
base para cálculos e representações.
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Modelos de Terra – Histórico
 Até aprox. século IV A.C. - Terra plana. Os sábios e os
pensadores da época consideravam que a vivia-se numa
superfície plana retangular (circundada pelos mares).
Acreditavam, ainda, que no limite da água com o espaço,
habitavam seres e criaturas mitológicas
 Pitágoras, Tales e Aristóteles – Terra esférica (500 A.C.)
 Pitágoras – Terra girava em torno do Sol, teoria
combatida por Aristóteles
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
 Eratóstenes (276 a 175 A.C.) – a primeira determinação
do raio da Terra por observação ao Sol - modelo esférico
resultou no valor de aproximadamente 6.286 km
 Posidônio (150 anos depois) – determinação do comprimento do equador da Terra por observação a uma estrela
(37.800,0 km)
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
 Ptolomeu (100 – 178 D.C.) – Terra esférica – sistema
geocêntrico. Teoria que durou 14 séculos até ser
desmentida por Copérnico, que atribuiu ao modelo, além do
movimento de rotação o movimento de translação ao redor
do sol
 Picard (1619) – introduziu melhorias nos instrumentos de
medição angular, estabeleceu uma rede de triangulação a
partir da medição de um arco de meridiano de Paris a
Amiens, e a partir disso calculou o raio da Terra (6.372km)
 Newton – com base nos seus estudos sobre a gravitação,
atribuiu um achatamento aos pólos como explicação ao fato
da força da gravidade decrescer dos pólos para o equador
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
 Richter – confirmação dos resultados de Newton em suas
observações pendulares que revelaram o aumento do
período do pêndulo com a diminuição da latitude
 Cassini – continuou as triangulações de Picard e concluiu
por uma Terra alongada segundo o eixo de rotação
Cassini
Newton
Academia de Ciências de Paris
(1735) - organizou duas
expedições científicas (Peru e
Lapônia)  hipótese de Newton
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
O que é um modelo?
Um modelo pode ser considerado como uma
aproximação de algo que satisfaz aos requisitos de
aplicação.
Por que buscar modelos?
Pela necessidade de tratar um problema, pela
impossibilidade ou pela dificuldade em tratar com o
objeto real em si, ou pela possibilidade de realizar
simulações.
1 – Cartografia: superfície de representação (projeção)
2 – Geodésia: superfície de cálculo
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Adoção de um modelo para a Terra
 Irregularidades da superfície terrestre = dificuldades de
cálculo  numa primeira aproximação podem ser negligenciadas
 Para fins práticos – adoção de um modelo
associar
modelo
Terra “Real”
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Esfera
 Primeira noção da forma da Terra
 Uma esfera particular é a “esfera de adaptação de
Gauss” cujo raio (Rm) é igual ao raio médio da Terra. Ela é
adotada como superfície de referência pela NBR14166 –
Rede Cadastral Municipal – Procedimento
 Dentro de aproximação admissível para determinadas
aplicações é possível transformar um elemento da
.superfície do elipsóide em um elemento da esfera cujo raio
Rm será (MN)½.
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Plano Topográfico
 Superfície de referência adotada na Topografia – não se
considera a influência da curvatura e desvio da vertical
Veiga et. al, 2007
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Plano Topográfico
?
?
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
Modelos da Terra
Coordenadas na Esfera
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Elipsóide de Revolução
 O elipsóide de revolução foi a figura proposta por Isaac
Newton (Torge, 2001) como figura geométrica da Terra
(modelo). Pode ser entendido como uma figura gerada pela
rotação de uma semi-elipse sobre um dos seus eixos (eixo
de revolução)
b
a
DEFINIÇÃO E OBJETIVOS
Coordenadas no Elipsóide
Normal a P
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Elipsóide de Revolução
 É a superfície matemática de referência adotada pela
Geodésia
 Existem mais de 70 definições /estabelecimentos de
elipsóides de revolução utilizados em diferentes países em
seus trabalhos geodésicos
Usuário: deve saber a qual deles está referido o seu
levantamento geodésico
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Geóide
 Superfície equipotencial que mais se aproxima do NMM.
Uma superfície equipotencial é em todos os seus pontos
perpendicular à direção da vertical (ou vice-versa)
 Definição a partir da qual se estabelece a referência para
as altitudes com características físicas
 Adoção como superfície matemática de referência e uso
prático esbarram no conhecimento limitado do campo da
gravidade e no seu complexo equacionamento matemático
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Geóide
Altitude ortométrica: distância contada sobre a
vertical, do geóide até a superfície física da Terra
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Representação Esquemática
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Tamanho e Forma da Terra
 Modelo geométrico viável – elipsóide de revolução (forma
elipsóidica não é acidental, conseqüência da atração gravitacional + efeito de
rotação)
 Classicamente definido por dois parâmetros (a, f) (a, b)
(a, e)
a b
f 
a
b
a
a b
e 2f  f 
2
a
2
2
2
2
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Tamanho e Forma da Terra
 Século XIX – Geodésia deu ênfase na pesquisa dos
parâmetros do melhor elipsóide
 Foram propostos dezenas de elipsóides que são utilizados
em trabalhos geodésicos em todo o mundo
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Tamanho e Forma da Terra
ANO
1830
1830
1841
1858
1866
1880
1907
1909
1927
1948
1960
1966
1967
1972
1980
1983
1984
NOME
Airy
Everest
Bessel
Clarke
Clarke
Clarke
Helmert
Hayford
NAD 27
Krassovsky
Fischer
WGS 66
IUGG
WGS 72
Internacional
NAD 83
WGS 84
a (m)
6 377 563
6 377 276
6 377 397
6 378 294
6 378 206
6 378 249
6 378 200
6 378 388
6 378 206,4
6 378 245
6 378 155
6 378 145
6 378 160
6 378 135
6 378 137
6 378 137,0
6 378 137
b (m)
6 356 257
6 356 075
6 356 079
6 356 618
6 356 584
6 356 515
6 356 818
6 356 912
6 356 863
6 356 773
6 356 760
6 356 775
6 356 751
6 356 752,3141
f-1
299,325
300,802
299,153
294,261
294,978
293,466
298,300
297,000
294,9786982
298,300
298,3
298,25
298,247
298,26
298,257222101
298,257222101
298,257223563
EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA
Tamanho e Forma da Terra
 Evolução da Geodésia Espacial proporcionou uma evolução
no estabelecimento de modelos representativos da Terra,
de modo a permitir a associação de parâmetros
geométricos e físicos
 Ao elipsóide de revolução se atribui a mesma massa da
Terra incluindo a atmosfera, a mesma velocidade de
rotação da Terra real
 O elipsóide de revolução é definido por parâmetros
geométricos e físicos:
-
a (semi-eixo maior)
GM (constante gravitacional geocêntrica)
 (velocidade angular)
J2 (fator dinâmico de forma)
COORDENADAS GEODÉSICAS
 Elipsóide ajustado às dimensões da Terra e
devidamente orientado, torna-se um referencial adequado
para a atribuição de coordenadas a pontos sobre a S.F.
Coordenadas geodésicas:
P, P e hP
COORDENADAS GEODÉSICAS
- Equador = plano XY
- Plano XZ está associado com o meridiano
médio de Greenwich
- P é o ângulo entre a normal de P e o
plano equatorial
- P é o ângulo formado entre o plano do
meridiano de P e o meridiano de
referência
- hP altitude geométrica ou elipsoidal é a
distância do elipsóide de referência ao
ponto, contada sobre a normal
- vantagens das coord. geodésicas: tem
um sentido natural (sei onde estou); fácil
visualização; iguais em P e P’ (bom para a
Cartografia – representação)
COORDENADAS GEODÉSICAS
 Altitude elipsoidal: distância entre a projeção de P (P’)
no elipsóide e o ponto P, situado na S.F. da Terra, contada
sobre a normal
Altitude Elipsoidal
(h) - PP’
COORDENADAS GEODÉSICAS
Coordenadas cartesianas:
XP, YP e ZP
Normal ao elipsóide
COORDENADAS GEODÉSICAS
-Azimute geodésico: é o ângulo que a direção AB (geodésica da direção
considerada) forma com o meridiano geodésico do ponto (A), contado do
Norte, por leste, no sentido horário. Varia de 0o a 360o
Azimute geodésico da direção AB (AzAB) e o seu contra azimute (AzBA). Em
Geodésia a diferença entre o azimute e o contra-azimute não é igual a 180º como
acontece na Topografia, devido à convergência meridiana
COORDENADAS GEODÉSICAS
Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas
X P  ( N P  hP ) cos P cosP
YP  ( N P  hP ) cos P sen P
 


Z P  N P 1  e2  hP senP
NP 
1  e
a
2
sen  P
2

1/ 2
2
2
a

b
e2  2 f  f 2 
a2
COORDENADAS GEODÉSICAS
Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas
SOLUÇÃO DIRETA
 Z P  e' 2 bsen3 

P  arctan
2
3
 p  e a cos  
 YP
 P  arctan 
 XP



p
hP 
 NP
cos P
 ZPa 

  arctan
 pb 
a 2  b2
e' 
b2
2
p
X P2  YP2
COORDENADAS GEODÉSICAS
Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas
SOLUÇÃO ITERATIVA
p  X P2  YP2
p
hP 
 NP
cos P
1 
 Z 
NP  
2
P
P  arctan   1  e
 
N P  hP  
 p 

 YP 
P  arctan

 XP 
COORDENADAS GEODÉSICAS
Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas
SOLUÇÃO ITERATIVA
1 - O cálculo da longitude é direto
2 - cálculo de p através da fórmula
p  X P2  YP2
3 - cálculo de um valor aproximado para a latitude (0)
 Z P
 0  arctan
 p

 1  e 2



1



COORDENADAS GEODÉSICAS
Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas
SOLUÇÃO ITERATIVA
4 - cálculo de um valor aproximado para a grande normal (N0)
N0 
1  e
a
2
sen 0
2

1/ 2
5 - cálculo da altitude geométrica (h)
p
h
 N0
cos 0
6 - cálculo de um valor melhorado para a latitude
 Z

 P  arctan P
 p
N0

2
 1  e
N0  h





1




verificar se existe necessidade de
outra iteração, através da
comparação entre os valores
aproximado e melhorado da latitude
COORDENADAS GEODÉSICAS
Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas
EXERCÍCIO
1 – Quais as coordenadas cartesianas do ponto P, cujas
coordenadas geodésicas são as seguintes:
P = -28 14’ 11,8”
P = -48 39’ 21,9”
hP = 11,85m
OBS – utilizar os parâmetros do elipsóide Internacional 1980
a = 6378137,0
f = 1/298,257222101
COORDENADAS GEODÉSICAS
Vantagens das coordenadas geodésicas em relação às
coordenadas cartesianas
1 – Tem sentido natural (sei onde estou)
2 – Fácil visualização
3 – São as mesmas para um ponto na superfície física e sua projeção
no elipsóide
COORDENADAS GEODÉSICAS
 As coordenadas geodésicas (latitude e longitude), bem
como o azimute geodésico e a altitude elipsoidal são
quantidades referidas a um modelo geométrico (elipsóide).
Não dependem de situações físicas locais. No entanto,
toda mensuração geodésica na Terra é sujeita ao campo da
gravidade terrestre
Físico
(Natural)

Geodésia

Geométrico
(matemático/modelo)
COORDENADAS ASTRONÔMICAS
 As coordenadas geodésicas são referidas a um modelo
geométrico. No entanto, toda mensuração geodésica na
Terra é sujeita ao campo da gravidade terrestre
 A gravidade terrestre num ponto é o efeito resultante
da atração gravitacional da Terra sobre este ponto e o
efeito da rotação terrestre (força centrífuga)
 Vertical em um ponto é a direção da tangente ao vetor
gravidade neste ponto
COORDENADAS ASTRONÔMICAS
 As observações realizadas na superfície da Terra sofrem
a influência do campo da gravidade terrestre por meio da
vertical local
 As coordenadas astronômicas estão relacionadas a
vertical local – referencial natural associado ao
observador
COORDENADAS ASTRONÔMICAS
 O sistema de coordenadas astronômicas foi utilizado no
posicionamento e orientação dos referenciais geodésicos
horizontais antes do advento do posicionamento por
satélites, época em que não era possível obter
coordenadas geocêntricas
 Também é conhecido como “sistema de coordenadas
naturais”, devido ao seu relacionamento com certas
características físicas da Terra, como o campo da
gravidade terrestre
COORDENADAS ASTRONÔMICAS
- Zênite de P é a projeção de P na esfera
celeste, segundo a vertical
PNC
- Meridiano celeste de P é determinado
pelo plano que contém o eixo de rotação e
o zênite do ponto
ESFERA CELESTE
P
G
AP
AP
EQUADOR
PSC
EIXO DE ROTAÇÃO
- AP é o arco de meridiano contado do
Equador ao ponto
- AP é o arco de Equador contado da
interseção do meridiano de referência até
o meridiano do ponto
COORDENADAS ASTRONÔMICAS
 As coordenadas astronômicas são de difícil obtenção.
Dependendo da precisão exigida, implicam em programas
de observação bastante longos e de execução complexa
 Estas coordenadas foram fundamentais na definição dos
referenciais geodésicos clássicos
 Praticamente inviáveis para o posicionamento na
superfície física da Terra, principalmente porque
necessita-se de uma grande densidade de pontos
COORDENADAS ASTRONÔMICAS
 As coordenadas astronômicas dependem da vertical
dos pontos envolvidos
VERTICAL
NORMAL
i
SUPERFÍCIE FÍSICA
Hort
helip
- i : deflexão ou desvio da vertical
GEÓIDE
ONDULAÇÃO DO GEÓIDE
ELIPSÓIDE
COORDENADAS ASTRONÔMICAS
 Resultado da projeção da vertical e da normal de P na
esfera celeste
NORTE
VERTICAL


LESTE
i
NORMAL
 Componente meridiana
 Componente primeiro vertical
COORDENADAS ASTRONÔMICAS
Relacionamento entre coordenadas geodésicas e astronômicas
 A 
   A   cos
   AA  Acot g 
A  AA   A   . sen 
Equação de Laplace
 Componente meridiana
 Componente primeiro vertical
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Elipsóide de revolução: figura gerada pela rotação de
uma elipse sobre seu eixo
 Geometricamente definido por a e b
 Geodésia: tradicionalmente a e f
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Qualquer seção contendo o eixo Z
é uma elipse (meridianos)
 Qualquer seção perpendicular é
um círculo (paralelos) cujo raio
varia em função da
latitude
Z
b
O
a
X
a
Y
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
Z
a b
f 
a
b
O
a
Y
a
2
2
a

b
e2  2 f  f 2 
a2
X
a= semi-eixo maior
b= semi-eixo menor
f= achatamento
e= primeira excentricidade
e’= segunda excentricidade
e' 2 
a 2  b2
b2
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE

Raio de Curvatura
O raio de curvatura em um ponto é o inverso da curvatura:
1/ = s /
 Raio de curvatura principal em um ponto A de uma
superfície é a seção produzida por um plano normal à mesma,
tal que o raio de curvatura correspondente seja o máximo ou
o mínimo dentre todos os possíveis. Normalmente em uma
superfície existirão duas seções principais
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Raios de curvatura
 Seção meridiana(mín)
MP 
 Grande normal(máx)
N P  P' P' ' ' 
1  e sen P 
2

1  e sen P 
2
2
3/ 2
- Pequena normal
a
2

a 1  e2
1/ 2
N'  P' P"  N( 1 e 2 )
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Raios de curvatura
 Raio médio de curvatura
R  MN
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Raios de curvatura
Teorema de Euler
2
2
1 cos Az sen Az


R
M
N
Fornece o raio de curvatura R de uma seção genérica
com azimute Az
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Raio de paralelo que contém um ponto dado
Teorema de Meusnier
r  N cos
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Comprimento de um arco de elipse meridiana



1  
1 

S PQ  a 1  e 2  Q   P A  sen2 Q  sen2 P  B   sen4 Q  sen4 P  C  
2  
4 

1  
1  
1 

 sen6 Q  sen6 P  D  sen8 Q  sen8 P  E   sen10 Q  sen10 P  F   ...
6  
8  
10 

Z
P
S
PQ
Q
O
X
Y
 Os coeficientes A, B, C,
D, E e F são tabelados ou
calculados com base nos
parâmetros do elipsóide
de referência
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Comprimento de um arco de elipse meridiana
3 2 45 4 175 6 11025 8 43659 10
e  ...
e 
e 
A  1 e  e 
65536
16384
256
64
4
3 2 45 4 525 6 2205 8 72765 10
e  ...
e 
e 
B e  e 
65536
2048
512
64
4
45 4 105 6 2205 8 10395 10
e  ...
e 
e 
e 
C
16384
4096
256
64
35 6 315 8 31185 10
e  ...
e 
e 
D
131072
2048
512
693 10
e  ...
E
131072
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
Exemplo: Para o elipsóide de referência 1967
A  1,0050526749
B  0,0050632825
C  0,0000106283
e  0,006694609
2
a  6378160m
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Área de um quadrilátero elipsóidico
2b 2  A' sin  cos m  B' sin 3 cos 3m  C' sin 5 cos 5m 
A
2
Z
2
1
2
X
1
O
Y
 A’, B’ e C’ são tabelados
ou calculados com base
nos parâmetros do
elipsóide de referência
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Latitude Geocêntrica ()


tg  1  e2 tg
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Latitude Reduzida (u)
Z
NORMAL

tgu  1  e
u
X
Y

2 1/ 2
tg
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Seções Normais no Elipsóide
Determinada pela intersecção de um plano definido por uma normal
em um ponto e um segundo ponto, com a superfície do elipsóide
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Seções Normais no Elipsóide
A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal de
P1 e o ponto P2 com o elipsóide (linha azul) é chamada de seção normal
direta em relação a P1 ou seção normal recíproca em relação a P2
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Seções Normais no Elipsóide
A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal de
P2 e o ponto P1 com o elipsóide (linha vermelha) é chamada de seção
normal direta em relação a P2 ou seção normal recíproca em relação a P1
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Seções Normais no Elipsóide
A seção normal direta do ponto mais ao Sul é a curva mais ao Sul
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Seções Normais no Elipsóide
casos de coincidência entre a direta e a recíproca
Dois pontos com a mesma latitude
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Seções Normais no Elipsóide
casos de coincidência entre a direta e a recíproca
Dois pontos com a mesma longitude
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Linha Geodésica
- é a menor distância entre dois pontos no elipsóide, contada sobre a
superfície do elipsóide
- é uma curva reversa (não está contida num plano) situada entre as
seções normais dos dois pontos, aproxima-se da seção normal do ponto
mais próximo
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Linha Geodésica
Teorema de Clairaut
“O produto do seno do azimute da geodésica em um ponto
pelo raio do paralelo deste ponto é uma constante”
r1 sin A1  r2 sin A2  ...  constante
Aspectos importantes para a solução do problema direto e
inverso – transporte de coordenadas
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Linha Geodésica
Aproximação Esférica
Para s = 40km e Azimute de 45, tem-se um ângulo  = 0,014”
e uma abertura entre duas seções normais de d = 1mm
s21

s
d
s12
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
 Linha Geodésica
Aproximação Esférica
- Para distâncias de até 80km não se detecta diferença nos
comprimentos das seções normais e da geodésica, assim
pode-se tratar a geodésica como um arco de circunferência
de raio:
R  MN
Aproximação esférica de caráter local.
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
EXERCÍCIO
1 – Para o ponto P de latitude P = -25 25’ 42,8737”,
determinada no sistema geodésico SAD69, calcular:
OBS – o sistema SAD69 utiliza como base o elipsóide de referência
internacional 1967, com a = 6378160,0 m e f = 1/298,25
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Primeira excentricidade ao quadrado
Semi-eixo menor
Raio de curvatura da seção primeiro vertical ou grande normal
Pequena normal ou raio de curvatura da seção meridiana
Raio médio de curvatura
Raio de curvatura de uma seção cujo azimute é 30
Raio do paralelo que contém o ponto
Segunda excentricidade ao quadrado
Latitude geocêntrica
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
EXERCÍCIO
1 – Para o ponto P de latitude P = -25 25’ 42,8737”,
determinada no sistema geodésico SAD69, calcular:
OBS – o sistema SAD69 utiliza como base o elipsóide de referência
Internacional 1967, com a = 6378160,0 m e f = 1/298,25
a) Primeira excentricidade ao quadrado
2
2
2
a b
e 2f  f 
2
a
2
GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE
EXERCÍCIO
1 – Para o ponto P de latitude P = -25 25’ 42,8737”,
determinada no sistema geodésico SAD69, calcular:
OBS – o sistema SAD69 utiliza como base o elipsóide de referência
internacional 1967, com a = 6378160,0 e f = 1/298,25
a) Primeira excentricidade ao quadrado
2
2
a

b
e2  2 f  f 2 
a2
 
1
 
1

e  2
  

  298,257222101  298,257222101
e 2  0,0066943800
2
2