Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 2° Ano
Semelhança de triângulos
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Os triângulos e suas aplicações no
cotidiano
Você já parou para imaginar como seria a nossa
vida sem as formas triangulares?
? ? ? ? ?
Já se perguntou sobre as utilidades delas para o
mundo do trabalho ou já observou, nos espaços que
você frequenta, onde estas formas estão presentes?
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Imagem: Ottre / Domínio Público
O conhecimento sobre triângulos é fundamental para diversos
ramos das ciências e o domínio de suas propriedades é elemento essencial
para entender suas utilidades.
Como você pode notar, é comum encontrar vários exemplos
práticos do cotidiano, no qual estas formas peculiares estão presentes.
Imagem: 1sttimeright / GNU Free Documentation License
Imagem: John Fielding / Creative Commons
Attribution-Share Alike 2.0 Generic
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Imagem: Sh Sharayan / Walters Art Museum /
GNU Free Documentation License
Imagem: Timeroot / GNU Free
Documentation License
Imagem: Werewombat / GNU Free
Documentation License
É fácil enxergar as formas triangulares a nossa volta.
Veja:
Imagem: Erik Christensen / GNU Free
Documentation License
Imagem: Qurren / GNU Free Documentation
License
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Imagem: Matteo / Creative Commons
Attribution 2.0 Generic
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Tipos de triângulos
É importante lembrar também que um triângulo
pode ser classificado “simultaneamente”, de
acordo com seus lados e ângulos.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Quanto aos lados, os triângulos podem ser
classificados em:
Imagem: Img / GNU Free
Documentation License
Triângulo equilátero:
Quando possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais.
Observação:
Um triângulo equilátero é também um triângulo equitângulo, ou
seja, possui ângulos congruentes.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Imagem: Darsie / GNU Free
Documentation License
Triângulo isósceles:
Quando possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois
ângulos congruentes.
Observações:
• O triângulo equilátero é também um caso especial de um triângulo isósceles,
porque apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como
os ângulos que medem todos 60º;
• num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado
ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e
são congruentes.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Imagem: Img / GNU Free
Documentation License
Triângulo Escaleno:
Quando possui as medidas dos três lados diferentes.
Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem
medidas diferentes.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
É importante lembrar também que, quanto aos
ângulos, os triângulos podem ser classificados em:
Triângulo retângulo:
Imagem: E2m / Domínio Público
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos
são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Triângulo obtusângulo:
Imagem: E2m / GNU Free
Documentation License
Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso (maior que 90º) e
dois ângulos agudos (menores que 90º).
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Triângulo acutângulo:
Imagem: Darsie / GNU Free
Documentation License
Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são
agudos (formando 180°).
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Congruência e semelhança
Observe as figuras abaixo:
Fig.A
Fig.B
α
6,2m
4,5m
6,2m
4,5m
β
6m
Y
6m
As figuras acima são congruentes, pois possuem
mesma forma e lados correspondentes com medidas
iguais, o que leva a deduzir que os ângulos
correspondentes também possuem medidas iguais.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Agora observe as seguintes figuras:
Fig. A
Fig. B
α
4,5m
α
β
18,6m
13,5m
β
Y
18m
6,2m
Y
6m
Note que os lados correspondentes dos
triângulos A e B são proporcionais, pois
as razões entre as medidas dos mesmos
são iguais, ou seja:
13,5 = 3
4,5
18 = 3
6
18,6 = 3
6,2
Concluímos, então, que as figuras A e B são semelhantes, pois seus
ângulos correspondes possuem medidas iguais e todos os seus
lados são proporcionais.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Como reconhecer triângulos
semelhantes?
Para saber se dois triângulos são semelhantes,
basta observar se eles obedecem a um dos
seguintes casos:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
1º CASO: ÂNGULO/ÂNGULO
“Dois triângulos são semelhantes quando dois ângulos que se
correspondem são respectivamente congruentes.”
B
Q
A
C
P
R
^
^
^
^
ABC ~
PQR
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
2º CASO: LADO/ÂNGULO/LADO
“Dois triângulos são semelhantes quando dois lados que se
correspondem são proporcionais e quando os ângulos
determinados por estes lados são congruentes.”
B
Q
^
^
ABC ~
A
C
P
R
PQR
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
3º CASO: Relação LADO/LADO/LADO
“Dois triângulos são semelhantes quando os três lados que se
correspondem são proporcionais.”
B
Q
ABC ~
A
P
C
R
PQR
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Teorema de Tales:
Cortando-se um feixe de retas paralelas por duas retas
transversais, os segmentos determinados sobre uma
transversal são proporcionais aos correspondentes
determinados sobre a outra.
Observe a situação abaixo:
Analisando a figura ao lado pelo
teorema mencionado acima,
conclui-se que:
Ou também que:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Desafio:
As redes de água e esgoto da Rua do Funil, na cidade de Tacaratu/PE, estão
distribuídas conforme mostra a figura abaixo:
Calçada
Início da rua
x
250m
Esgoto/Água
200m
300m
Calçada
Fim da rua
Se as linhas azuis (transversais) representam passarelas para pedestres, paralelas
entre si, e as linhas pontilhadas representam as tubulações de esgoto e
água,respectivamente, qual das duas redes é a maior?
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Pelo Teorema de Tales, deduzimos que:
200 = 250
300
X
200 . X = 300 . 250
200 X = 75.000
X = 75.000
200
X = 375 metros
A rede de água mede 500
metros, pois:
200 + 300 = 500
Já a rede de esgoto mede
625 metros, porque:
250 + 375 = 625
Resposta: a rede de esgoto, pois,
mede 125 metros a mais que a rede
de água.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Segmentos proporcionais determinados
num triângulo
1º Caso: Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo,
de modo que intercepte os outros dois lados em pontos
distintos, determina, nesses dois lados, segmentos
proporcionais.
B
P
r//AC
BP, PA, BQ E QC são
proporcionais.
Q
Sendo assim:
r
C
A
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
2º Caso:
a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo
determina, no lado oposto a este ângulo, dois segmentos
proporcionais aos outros dois lados deste triângulo.
B
x
BD é bissetriz
proporcionais.
x
Desta forma:
A
D
C
AD, DC, AB E BC são
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Vamos ver como estas propriedades funcionam:
1°) Sabendo que no triângulo abaixo r//AC, calcule o valor de X.
B
3cm
P
r
Solução:
x
Q
12cm
9cm
C
A
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
2°) Sabendo que BD é bissetriz do ângulo B
do triângulo abaixo, determine a medida do segmento DC
B
Solução:
5cm
A
3cm
6cm
D
X
C
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Relações métricas no triângulo
retângulo:
Em um triângulo qualquer:
a2 = b2 + c2
b2 = ma
c2 = na
Imagem: E2m / Domínio Público
h2 = mn
ah = bc
a=m+n
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Note que, do triângulo anterior, derivam dois outros
triângulos que determinam as relações métricas:
A
A’
b
c
b
h
m
D
c
h
h
n
C
A’’
a
m
B
B
n
C
C
Sendo assim, por semelhança de triângulos, temos:
b2 = ma
c2 = na
h2 = mn
Teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2
ah = bc
D
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Conhecendo apenas duas medidas no triângulo retângulo, é
possível descobrir as outras quatro aplicando as relações
métricas vistas anteriormente. Veja:
Exemplo:
Use as relações métricas do triângulo retângulo para encontrar as
medidas desconhecidas da figura abaixo:
A
12m
c
h
n
C
9,6m
D
h2 = mn
c2 = 15.5,4
h2
c2 = 9m
a=m+n
122 = 9,6a
15 = 9,6 + n
a = 144/9,6
n = 19 - 9,6
a = 15m
n = 5,4m
B
a
c2 = na
c2 = 81
b2 = ma
Note que todas as medidas
= 9,6.5.4 desconhecidas foram encontradas por
meio das relações métricas
demonstradas anteriormente.
h2 = 7,2n
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Agora use o que você aprendeu para resolver os seguintes desafios:
1º) Um prédio projeta uma sombra de 41,25m de comprimento no mesmo instante
em que Juliana, que tem 1,8m de altura, projeta uma sombra de 6,75m. Qual é a
altura do prédio?
2º)Uma determinada firma imobiliária resolveu lotear um terreno em 4 outros
menores com duas frentes: uma para a rua 1 e outra para rua 2, como mostra a
figura abaixo. Sabendo-se que as divisões laterais são perpendiculares à rua 1 e
que a frente total para a rua 2 é de 480m, qual a medida da frente de cada lote,
para a rua 2, respectivamente?
a) 40m; 80m; 120m; 160m
b) 45m; 85m; 125m; 165m
c) 48m; 96m; 144m; 192m
d) 55m; 95m; 135m; 175m
e) 60m; 100m; 140m; 180m
30m
60m
90m
Rua 1
120m
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
3º) (UFR-RJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura
abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas.
A diferença de x- y é:
A) 2
B) 4
C) 6
D) 10
E) 12
r
8
x
s
6
y
t
4º) Na figura a seguir, AB || CD então.x e y valem, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
25cm e 13 cm
4/3 e 16/3
20 cm e 12 cm
40cm e 24 cm
40 cm e 28 cm
F
24 cm
B
32 cm
X
A
y
18 cm
C
D
70 cm
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
SOLUÇÕES DOS DESAFIOS:
1º) solução:
Utilizando Hp para indicar a altura do prédio, Sp para indicar a sombra
projetada pelo prédio, Hj para a altura de Juliana e Sj para indicar a sombra
projetada pela mesma, temos:
Lembre-se de que os raio de sol se
propagam na Terra por linhas
paralelas, o que faz com que a
altura do prédio seja proporcional à
sua sombra, assim como a Altura
de Juliana é proporcional à sombra
projetada pela mesma.
Sendo assim, conclui-se que a
altura do prédio é de 11
metros.
Sp = 41,25m
Hp = x
Hj = 1,8m
Sj = 6,75m
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
2º) solução:
Marcando as medidas a serem
conhecidas
w
Note que o comprimento da rua 1
Na figura é R1=30+60+90+120
R1 = 300m
Aplicando o Teorema de Tales:
z
y
x
30m
60m
90m
120m
Rua 1
Pela proporção, conclui-se que:
y= 2x = 96m z = 3x = 144m e w = 4x = 192m
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
3º) solução:
r
8
Se temos x+y = 42 e 8+16 = 14,
Aplicando o Teorema de Tales teremos:
x
s
6
y
t
Alternativa C.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
4º) solução:
F
24 cm
B
Note que que na figura os triângulos ABF e
CDF são semelhantes e que FC = 42 cm,
Desta forma:
32 cm
X
A
y
18 cm
C
D
70 cm
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1º) Calcule o valor de cada uma das variáveis dos casos de
semelhança de triângulos propostos a seguir:
Y
6cm
3cm
X
4cm
5cm
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Os triângulos anteriores
podem ser definidos
como semelhantes a
partir da relação:
ÂNGULO/ ÂNGULO
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
B)
5
3
Y
X
9
12
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Como você pôde notar, há várias situações-problema do cotidiano que podem ser resolvidas a
partir do conhecimento de algumas propriedades
dos triângulos.
Agora que você já está “fera” nesse assunto, é hora
de pesquisar nos livros outros exercícios para
treinar o aprendeu e se dar bem no vestibular.
Mantenha o foco nos estudos e boa sorte!
Tabela de Imagens
n° do
slide
3a
3b
3c
4a
4b
4c
5a
5b
5c
direito da imagem como está ao lado da
foto
Ottre / Domínio Público
link do site onde se consegiu a informação
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vietnam
ese_wooden_ceiling.jpg
John Fielding / Creative Commons
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ramps_i
Attribution-Share Alike 2.0 Generic
n_the_Skate_Park_Penistone__geograph.org.uk_-_482429.jpg
1sttimeright / GNU Free Documentation
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Billiard_
License
Rack.jpg
Timeroot / GNU Free Documentation
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangul
License
ar_cupola_net.PNG
Werewombat / GNU Free Documentation http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Multno
License
mah_Falls_Lodge_triangular_window__Oregon.jpg
Sh Sharayan / Walters Art Museum / GNU http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sh_Shar
Free Documentation License
ayan__Triangular_Pendant_from_a_Woman%3Fs_Head
piece_-_Walters_572314_-_Back_Detail_A.jpg
Erik Christensen / GNU Free Documentation http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nor%C3
License
%B0rag%C3%B8ta,_Faroe_Islands_(3).JPG
Qurren / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joetsu_K
aryoku_powerline_tower_construction.jpg
Matteo / Creative Commons Attribution 2.0 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Woman_
Generic
with_wheelbarrow.jpg
Data do
Acesso
17/09/2012
17/09/2012
17/09/2012
17/09/2012
17/09/2012
17/09/2012
17/09/2012
17/09/2012
17/09/2012
Tabela de Imagens
n° do
slide
7
8
9
10
11
12
26
direito da imagem como está ao lado da
foto
Img / GNU Free Documentation License
link do site onde se consegiu a informação
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:TriangoloEquilatero.png
Darsie / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Isos
celes.png
Img / GNU Free Documentation License
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:TriangoloScaleno.png
E2m / Domínio Público
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tri%C3%A2n
gulo_ret%C3%A2ngulo.svg
E2m / GNU Free Documentation License
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:TriangoloOttuso.png
Darsie / GNU Free Documentation License http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Acu
te.png
E2m / Domínio Público
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tri%C3%A2n
gulo_ret%C3%A2ngulo.svg
Data do
Acesso
17/09/2012
17/09/2012
17/09/2012
17/09/2012
17/09/2012
17/09/2012
18/09/2012