Menorização: Um Pequeno Adendo à Teoria de
Matrizes e Determinantes
R. M. Nascimento
Resumo—1Este artigo tem por objetivo apresentar e, quem
sabe, popularizar uma metodologia ainda pouco explorada na
teoria aplicada aos determinantes. Traz, ainda, uma abordagem
diferenciada para a decomposição LU. Conhecimento prévio
necessário: determinantes 2x2. Essa técnica, em virtude de sua
simplicidade, merece ser mais bem conhecida.
Palavras-chave— Matrizes, Determinantes, Decomposição LU.
I. MENORIZAÇÃO
O
PROCESSO de menorizaçao consiste em transformar
uma matriz quadrada de ordem n em outra de ordem n-1,
sucessivamente, até a matriz 1x1. Os componentes de cada
matriz subsequente são determinantes 2x2 obtidos, na matriz
imediatamente anterior, entre a fila (linha e coluna) de um
Pivô (elemento diferente de zero e escolhido de modo
aleatório) e os integrantes de seu menor complementar.
Proposição: concluída a menorização o determinante é
calculado conforme (1.1).
n
Det ( A) nxn = ∏ P
k =1
2 −k
k
, Pk ≠ 0 ∀k ≠ 1
(1.1)
Em que Pk representa o Pivô da matriz de ordem “k”.
Seja (1.2)~(1.5) a menorização de uma matriz A4x4:
A4 x 4
 P4 a12
a
a22
21
=
 a31 a32

 a41 a42
 P3 b12
B3 x 3 =  b21 b22

b b
 31 32
a13
a23
a33
a43
a14 
a24 

a34 

a44 
b13 
b23 

b33 
 P c12 
C2 x 2 =  2

 c21 c22 
D1 x1 = ( P1 )
(1.2)
a12
a21 a22
P4
a12
a31 a32
P4
a12
a41 a42
P3
b12
b21 b22
P3
b12
b31 b32
b12 =
b22 =
P4
a13
a21 a23
P4
a13
a31 a33
b13 =
b23 =
P4
a14
a21 a24
P4
a14
a31 a34
b32 =
P4 a13
P a14
b33 = 4
a41 a43
a41 a44
c12 =
P3
c22 =
b13
b21 b23
P3
b13
b31 b33
 d11 P c
2
12
D⇒  P1 =
c21 c22

Det ( A) = ∏ Pk2−k = P1(2−1) P2(2−2) P3(2−3) P4(2−4) (1.7)
k =1
(1.4)
O modo adotado em (1.2)~(1.5) é o único discutido neste
texto: propõe como Pivô o primeiro elemento da diagonal
principal de cada matriz, particularidade que o credencia como
um procedimento alternativo na resolução de sistemas lineares
[1][2][3]. Contudo, difererentes estratégias podem ser
adotadas. Em [5], p. ex., o último elemento da diagonal
principal é preposto como Pivô. Exemplos numéricos para
(1.1) podem ser verificados em [4].
Segue a comprovação do resultado indicado em (1.7).
(1.5)
II. VALIDAÇÃO
(1.3)
é um elemento qualquer de B3x3, C2x2 ou D1x1, então:
[email protected]
c11

 P2 =

C⇒ 

 c21 =

P4
(1.6)
4
A⇒ {P4 = a11
δ ij
b11

 P3 =



B⇒ b21 =


b31 =

a c
= ad − bc
b d
Para a matriz (1.2) o determinante é:
Em que:
Se
δ ij =
A proposição (1.1) pode ser reescrita na forma (2.1):
n
n
k =1
k =2
Det ( A) nxn = ∏ Pk1−( k −1) = P1 ∏
Pk
, Pk ≠ 0
Pkk −1
(2.1)
Dessa forma o determinante da matriz (1.2), calculado em
(1.7), assume a forma (2.2):
1
4
Det ( A) = P1 ∏
k =2
Pk
P P P P
= 1 2 32 43
k −1
Pk
1 P2 P3 P4
 P4

0

ATs = 
0


0


(2.2)
Para uma melhor compreensão do algoritmo de comprovação,
bem como evitar as fórmulas, é útil reorganizar as frações:
Det ( A) = 1
P4 P3 P2
P1
1 P4 P4 P3 P4 P3 P2
(2.3)
Ou seja, na menorização n→1 são utilizados n Pivôs. O
ordenamento proposto em (2.3) sugere uma regra para
organizá-los, de forma que:
o
4.
Os numeradores são dispostos de modo decrescente,
obedecendo à sequência de menorização, enquanto aos
denominadores atribui-se o produto dos numeradores
das frações precedentes.
 P4

 a21

APi = 
 a31


 a41


A. DECOMPOSIÇÃO LU
Normatizar a menorização (1.2)~(1.5):
A4 x 4
 P4 a12
a
a22
=  21
 a31 a32

 a41 a42
a13
a23
a33
a43
a14 
a24 
a34 

a44 
 P3 b12 b13 
1
B3 x 3 =  b21 b22 b23 
P4 

 b31 b32 b33 
1  P2 c12 
C2 x 2 =
P4 P3  c21 c22 
1
D1 x1 =
( P1 )
P4 P3 P2
2.
(2.4)
ATi ( i , j ) =
(2.5)
a12
P3
P4
a13
b12
P4
b21
P4
P2
P4 P3
b31
P4
c21
P4 P3




c12 
P4 P3 

P1 
P4 P3 P2 
0
P2
P4 P3
0
0




c12 
P4 P3 

P1 
P4 P3 P2 
a14
b13
P4
(2.9)
APi ( i , j )
APi ( j , j )
0
P3
P4
0
b21
P4
P2
P4 P3
b31
P4
c21
P4 P3
 1
a
 21
 P4
=  a31

 P4

 a41
P
 4


0 


0 


P1 
P4 P3 P2 
0
0
⇓
0
0
1
0
b21
P3
1
b31
P3
c21
P2
0

0


0


1 

(2.10)
(2.11)
(2.6)
(2.7)
De (2.4)~(2.7) montar a matriz AP (4x4) com as filas de
Pivôs (2.8):
 P4

 a21

AP = 
 a31


 a41


a13
b12
P4
Extrair de AP a matriz triangular inferior Api (2.10) e
ajustar suas colunas tendo em vista a diagonal
principal unitária ATi (2.11):
Segue a demonstração de (1.1) por decomposição LU (2.14) e
do Teorema de Binet (2.12).
1.
a12
P3
P4
5.
O leitor pode constatar o mesmo resultado se, de
modo similar, a diagonal principal unitária for
ajustada nas linhas de (2.9) enquanto (2.10)
permanece inalterada.
Aplicar o Teorema de Binet:
Det ( ATi . ATs ) = Det ( ATi ).Det ( ATs )
a14
b13
P4
(2.12)
Det ( A)
P P P
P1 
Det ( ATi . ATs ) = (1)  4 3 2

 1 P4 P4 P3 P4 P3 P2 
(2.8)
6.
(2.13)
Completar a prova com a verificação da igualdade
A = ATi . ATs (2.14):
L
3.
U
Extrair de AP a matriz triangular superior ATs (2.9):
2
 a11

  a21
  P P4
 4
A =   a31

P
  P4 4

 a
  41 P4
  P4

A( i , j )
U
L
a11

0
0 0  
 1

P
a
a
a
4
12
13
14
a


 21 1
P3
b12
b13 
0 0
 P4
 0 P
P4
P4 
4


 (2.14)
A = a31 b21

P2
c12 
1 0
0
0
 P4 P3

P4 P3
P4 P3 
a


b
c
31
21
 41
P1 
1  
P
0
 4 P3 P2
 0 0
P4 P3 P2 

a12
a13




 a21
P
a12 + 3 

P4 
 P4
 a21
b 
a13 + 12 

P4 
 P4




 a31
b P3 
a12 + 21


 P4
P3 P4 

 a31
b b
P 
a13 + 21 12 + 2 

P3 P4 P4 P3 
 P4




 a41
b P3   a41
b b
c P2 
a13 + 31 12 + 21
a12 + 31

 

 P4
  P4

P
P
P
P
P
P
P
4
3
4
3
4
3
2

 



 a21
b13 

a14 + 


P
P
4 
 4


 a31
b21 b13 c12 

+
a14 +



P
P
P
P
P
3
4
4 3 
 4

 a41
b31 b13 c21 c12
P1  
a14 +
+
+


P3 P4 P2 P4 P3 P4 P3 P2  
 P4

a14
{ A(1,1) = a11 }{ A(1,2) = a12 }{ A(1,3) = a13 }{ A(1,4) = a14 }{ A(2,1) = a21 }

 
 

a21a12 + P4 a22 − a21a12
a21a13 + P4 a23 − a21a13
= a22   A(2,3) =
= a23 
  A(2,2) =
P4
P4
 
 





a31a12 + P4 a32 − a31a12
a21a14 + P4 a24 − a21a14
 
A
=
=
a
A
=
a
A
=
=
a
{
}



24
(3,1)
31
(3,2)
32 
 (2,4)
P4
P4










  A = a31a13 + b21b12 + P3 b22 − b21b12 = a31a13 + P4 a33 − a31a13 = a 

(3,3)
33 

P4
P4 P3
P4


 

b b + P3 b23 − b21b13
a31a14 + P4 a34 − a31a14
a a
  A(3,4 ) = 31 14 + 21 13
=
= a34 
⇒  
P4
P4 P3
P4




a41a12 + P4 a42 − a41a12

= a42 
{ A(4,1) = a41 }  A(4,2) =
P4




  A = a41a13 + b31b12 + P3 b32 − b31b12 = a41a13 + P4 a43 − a41a13 = a 
43 
  (4,3)
P4
P4 P3
P4





c c + P2 c22 − c21c12 a41a14 b31b13 + P3 b33 − b31b13 
a a
b b
  A(4,4 ) = 41 14 + 31 13 + 21 12
=
+
=
P4
P4 P3
P4
P4 P3 P2
P4 P3




  a41a14 + P4 a44 − a41a14

= a44


P4


3
III. CONSIDERAÇÃO FINAL
É compreensível a inexistência de menções, na teoria
vigente, sobre a metodologia aqui discutida. Afinal, sua
aplicação depende de uma notória restrição: Pk≠0. Há séculos
procedimentos têm sido utilizados de modo antagônico, com
inegável êxito. A menorização oferece, no entanto, além da
praticidade, mais uma singular relação entre os números, o
que torna a matemática ainda mais bela e divertida!
AGRADECIMENTOS
“Àquele que pode, por sua força que opera em nós,
realizar infinitamente mais do que tudo o que pedimos e
imaginamos; a Ele seja dada a glória na Igreja e em Cristo
Jesus, por todas as gerações, através de todos os séculos.
Assim seja!” (Ef 3,20-21)
REFERÊNCIAS
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
M. Sadosky, Cálculo Numérico e Gráfico. Interciência, Rio de Janeiro,
pp. 87-90, 1980.
C. Soares. (2019, Dezembro). Solução de Sistemas de Equações
Lineares- Método de Castilho [Online]. Disponível em:
https://camilasoares.wordpress.com/2009/03/02/solucao-de-sistemasde-equacoes-lineares-%E2%80%93-metodo-de-castilho/
K. Kilhian. (2020, Janeiro). Método de Castilho [Online]. Disponível
em:
https://www.obaricentrodamente.com/2008/11/mtodo-decastilho.html
R. M. Nascimento. (2020, Janeiro). Cálculo do determinante de uma
matriz genérica nxn [Online], Disponível em:
http://www.somatematica.com.br/trabalhos/calc_det.zip
R. M. Nascimento. (2020, Janeiro). Linear algebra with pivoting
[Online], Disponível em:
https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/7987-detp
Reinaldo Mauricio do Nascimento é Técnico em
Eletrotécnica (CEFET-MG-1978), Técnico em Eletrônica
(COTEMIG-MG-1989) e graduado em Engenharia de
Controle e Automação pela Faculdade Pitágoras de Belo
Horizonte – MG – 2013.
4