UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
UNESP - Campus de Bauru/SP
FACULDADE DE ENGENHARIA
Departamento de Engenharia Civil
Disciplina: 1309 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II
Notas de Aula
TORÇÃO EM VIGAS DE
CONCRETO ARMADO
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS
([email protected])
Bauru
Maio/2005
APRESENTAÇÃO
Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina
1309 – Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da
Universidade Estadual Paulista (UNESP), Campus de Bauru/SP.
O texto apresenta as prescrições contidas na nova NBR 6118/03 (“Projeto de estruturas de
concreto – Procedimento” – versão corrigida de março/2004) para o projeto e dimensionamento de
vigas de concreto armado submetidas à torção.
Procurou-se desenvolver a apostila de forma a mais completa possível. Inicialmente são
apresentadas diversas informações teóricas, como os casos e os valores mais comuns do momento
de torção, a torção de equilíbrio e de compatibilidade, noções da torção simples, comportamento
das vigas de concreto armado sob torção, analogia e formulação para a treliça espacial generalizada,
formas de ruptura por torção, etc.
Por último são apresentados três exemplos numéricos de aplicação. Os exemplos são
completos e abrangem todos os cálculos necessários para o projeto de uma viga, como o
dimensionamento à flexão e ao esforço cortante, a ancoragem nos apoios e a disposição da
armadura longitudinal com o cobrimento do diagrama de momentos fletores.
Quaisquer críticas e sugestões serão muito bem-vindas, pois assim a apostila poderá ser
melhorada.
Agradecimento especial ao técnico Éderson dos Santos Martins, pela confecção de vários
desenhos.
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .....................................................................................................
2. CASOS MAIS COMUNS .....................................................................................
3. CASOS TÍPICOS PARA O MOMENTO DE TORÇÃO .....................................
4. TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE ................................
5. TORÇÃO SIMPLES (TORÇÃO DE ST. VENANT) ..........................................
6. TORÇÃO SIMPLES APLICADA A SEÇÕES VAZADAS DE PAREDE FINA
7. COMPORTAMENTO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS
À TORÇÃO SIMPLES ......................................................................................
8. ANALOGIA DA TRELIÇA ESPACIAL PARA A TORÇÃO SIMPLES ...........
9. TORÇÃO COMBINADA COM MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE
10. FORMAS DE RUPTURA POR TORÇÃO ........................................................
10.1 Ruptura por Tração ......................................................................................
10.2 Ruptura por Compressão .............................................................................
10.3 Ruptura dos Cantos .....................................................................................
10.4 Ruptura da Ancoragem ................................................................................
11. DEFINIÇÃO DAS FORÇAS E TENSÕES NA TRELIÇA GENERALIZADA À
TORÇÃO SIMPLES ........................................................................................
11.1 Bielas de Concreto ......................................................................................
11.2 Armadura longitudinal ................................................................................
11.3 Estribos .......................................................................................................
12. DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118/2004 NO ESTADO LIMITE
ÚLTIMO ..........................................................................................................
12.1 Geometria da Seção Resistente ...................................................................
12.2 Torção de Compatibilidade .........................................................................
12.3 Torção de Equilíbrio ...................................................................................
12.4 Armadura Mínima .......................................................................................
12.5 Solicitações Combinadas ............................................................................
12.5.1 Flexão e Torção .................................................................................
12.5.2 Torção e Força Cortante ....................................................................
12.6 Disposições Construtivas ...............................................................
12.6.1 Fissuração Diagonal da Alma ............................................................
12.6.2 Estribos ..............................................................................................
12.6.3 Armadura Longitudinal ......................................................................
13. MOMENTO DE INÉRCIA À TORÇÃO ..........................................................
14. EXEMPLOS NUMÉRICOS DE APLICAÇÃO ................................................
14.1 EXEMPLO 1 ..............................................................................................
14.2 EXEMPLO 2 ..............................................................................................
14.3 EXEMPLO 3 ..............................................................................................
15. QUESTIONÁRIO ..............................................................................................
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ……………………………………………
ANEXO A ................................................................................................................
Pág.
1
1
3
5
9
11
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13
14
15
15
16
16
17
17
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20
21
21
22
23
23
24
24
24
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25
26
26
39
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78
79
80
ANEXO B1 - GRELHA DO EXEMPLO 1 .............................................................
ANEXO B2 - EXEMPLO 2 – PPLAN4 ..................................................................
ANEXO B3 - GRELHA DO EXEMPLO 3 .............................................................
ANEXO B4 - VIGA VS1 ISOLADA ......................................................................
ANEXO B5 - VIGA VS6 ISOLADA ......................................................................
83
85
87
94
96
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
1
TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
1. INTRODUÇÃO
Um conjugado que tende a torcer uma peça fazendo-a girar sobre o seu próprio eixo é
denominado “momento de torção”, momento torçor ou torque. O caso mais comum de torção ocorre
em eixos de transmissão.
A torção simples, torção uniforme ou torção pura (não atuação simultânea com M e V),
excetuando os eixos de transmissão, ocorre raramente na prática. Geralmente a torção ocorre
combinada com momento fletor e força cortante, mesmo que esses esforços sejam causados apenas
pelo peso próprio do elemento estrutural. De modo aproximado, os princípios de dimensionamento
para a torção simples são aplicados às vigas com atuação simultânea de momento fletor e força
cortante (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
Nas estruturas de concreto, a ligação monolítica entre as vigas e as lajes e entre vigas
apoiadas em outras vigas, dá origem a momentos de torção, que, de modo geral, podem ser
desprezados por não serem essenciais ao equilíbrio. Entretanto, no caso da chamada “torção de
equilíbrio”, como se verá adiante, a consideração dos momentos torçores é imprescindível para
garantir o equilíbrio do elemento estrutural.
Desde o início do século passado numerosos estudos experimentais foram realizados em
vigas de concreto armado sob solicitação de torção simples. Os resultados dos estudos justificaram
o dimensionamento simplificado à torção, considerando-se as vigas com seção vazada (oca) e de
parede fina, segundo as equações clássicas da Resistência dos Materiais, formuladas por BREDT.
Assim como feito no dimensionamento das vigas ao esforço cortante na torção será feita
também a analogia com uma treliça, espacial porém. A Treliça Generalizada, com ângulo θ variável
de inclinação das diagonais comprimidas, é o modelo atualmente mais aceito internacionalmente.
Como no dimensionamento para outros tipos de solicitação, as tensões de compressão serão
absorvidas pelo concreto e as tensões de tração pelo aço, na forma de duas diferentes armaduras,
uma longitudinal e outra transversal (estribos).
A análise da torção em perfis abertos de paredes finas, com aplicação da torção de Vlassov
ou Flexo-Torção, não será apresentada nesta apostila por não fazer parte do programa da disciplina
na graduação em engenharia civil.
2. CASOS MAIS COMUNS
Um caso comum de torção em vigas de concreto armado ocorre quando existe uma distância
entre a linha de ação da carga e o eixo longitudinal da viga, como mostrado nas Figuras 1 e 2. Na
Figura 1, a viga AB, estando obrigatoriamente engastada na extremidade B da viga BC, aplica nesta
um momento de torção, que deve ser obrigatoriamente considerado no equilíbrio da viga BC. Na
viga mostrada na Figura 2 a torção existirá se as cargas F1 e F2 forem diferentes. Essa situação pode
ocorrer durante a fase de construção ou mesmo quando atuarem os carregamentos permanentes e
variáveis, se estes forem diferentes nas estruturas que se apóiam na viga em forma de T invertido.
O caso mais comum de torção ocorre com lajes em balanço, engastadas em vigas de apoio,
como por exemplo lajes (marquises) para proteção de porta de entrada de barracões, lojas, galpões,
etc. (Figuras 3 e 4). O fato da laje em balanço não ter continuidade com outras lajes internas à
construção faz com que a laje deva estar obrigatoriamente engastada na viga de apoio, de modo que
a flexão na laje passa a ser torção na viga. A torção na viga torna-se flexão no pilar, devendo ser
considerada no seu dimensionamento.
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
F1
F2
C
F
B
A
Figura 1 – Viga em balanço com
carregamento excêntrico.
Figura 2 – Viga do tipo T invertido para apoio de
estrutura de piso ou de cobertura.
Figura 3 – Torção em viga devido a engastamento de laje em balanço.
C
C
B
B
B
A
A
Figura 4 – Viga contínua sob torção por efeito de laje em balanço.
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
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Um outro caso de torção em viga, de certa forma também comum nas construções, ocorre
em vigas com mudança de direção, como mostrado na Figura 5. No ponto de mudança de direção
um tramo aplica sobre o outro um momento de torção. A torção também ocorre em vigas curvas,
com ou sem mudança de direção, como mostrado na Figura 6.
Se a torção for necessária ao equilíbrio da viga e não for apropriadamente considerada no
seu dimensionamento, intensa fissuração pode se desenvolver, prejudicando a segurança e a estética
da construção.
Figura 5 – Torção em viga devido à mudança de direção.
Figura 6 – Vigas curvas e com mudança de direção são solicitação por torção.
3. CASOS TÍPICOS PARA O MOMENTO DE TORÇÃO
Apresentam-se nas Figuras 7 a 11 os valores dos momentos de torção para alguns casos mais
comuns na prática das estruturas, onde m representa o momento torçor externo aplicado, T o
momento de torção solicitante e F a força concentrada.
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
m
T=-m
Figura 7 – Momento de torção concentrado aplicado na extremidade de viga em balanço.
m
m
a
a
l
T=m
T=-m
Figura 8 – Momento de torção aplicado à distância a das extremidades de viga biengastada.
m
l
T=
ml
2
T=
ml
2
Figura 9 – Momento de torção uniformemente distribuído em viga biengastada.
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
m
l /2
T=
l /2
l
m
2
T=
m
2
Figura 10 – Momento de torção concentrado aplicado no centro de viga biengastada.
m=F.e
A
F
B
b
a
l
e
TA =
mb
l
TB=
ma
l
Figura 11 – Momento de torção concentrado aplicado fora do centro do vão de viga biengastada.
4. TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE
A torção nas estruturas de concreto pode ser dividida em duas categorias: torção de
equilíbrio e torção de compatibilidade.
Na torção de equilíbrio, o momento de torção deve ser obrigatoriamente considerado, pois
ele é necessário para o equilíbrio da estrutura. As estruturas mostradas nas Figuras 1 a 6 encontramse solicitadas por torção de equilíbrio, devendo ser obrigatoriamente considerada.
A torção de compatibilidade ocorre comumente nos sistemas estruturais, como por exemplo
aquele mostrado na Figura 12, com uma laje engastada na viga de borda. A laje, ao tentar girar,
aplica um momento de torção (mT) na viga, que tende a girar também, sendo impedida pela rigidez
à flexão dos pilares. Surgem então momentos torçores solicitantes na viga e momentos fletores nos
pilares. Quando a rigidez da viga à torção é pequena comparada à sua rigidez à flexão, a viga fissura
e gira, permitindo o giro da laje também. Ocorre então uma compatibilização entre as deformações
na viga e na laje, e como conseqüência os momentos torçores na viga diminuem bastante, podendo
ser desprezados.
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
m
(
a)
ord
b
e
ad
Vig
m E (Laje)
T
m
(La
Momento de
dimensionamento
da laje
j e)
(Laje)
T
(Viga de bordo)
m T = m E (Laje)
Mf
(Pilar)
T
Mf
Figura 12 – Torção de compatibilidade de laje com a viga de apoio.
(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
Um outro exemplo de torção de compatibilidade é aquele mostrado nas Figuras 13 e 14.
Como se observa na Figura 14, a viga AB apóia-se nas vigas CD e EF.
Figura 13 – Esquema das vigas com os pilares.
A Figura 15 mostra o caso das vigas de apoio CD e EF com rigidez à torção elevada. Neste
caso não existe total liberdade de rotação para a viga AB nas suas extremidades, o que faz surgir os
momentos de engastamento MA e MB , que, por outro lado, passam a ser momentos torçores
concentrados e aplicados em A e B.
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Figura 14 – Esquema estrutural (SÜSSEKIND, 1985).
Figura 15 – Caso das vigas de apoio com elevada rigidez à torção.
A intensidade dos momentos fletores e torçores depende das rigidezes relativas das vigas, ou
seja, da rigidez à torção das vigas CD e EF e da rigidez à flexão da viga AB. Se a rigidez à torção
das vigas CD e EF for zero, a viga AB fica livre para girar em A e B, levando a zero os momentos
fletores MA e MB , e conseqüentemente também os momentos torçores (Figura 16). Nesta análise
percebe-se que a torção é conseqüência da compatibilidade de deformações das vigas, daí a
chamada “torção de compatibilidade”. Neste caso há o equilíbrio, embora sem se considerar a
ligação monolítica da viga AB com as vigas CD e EF.
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Por outro lado, sob o efeito do momento de torção a viga irá fissurar, o que acarreta uma
significativa diminuição na rigidez da viga à torção. Desse modo, as vigas CD e EF, ao fissurarem
por efeito da torção proveniente da viga AB, têm sua rigidez à torção diminuída, diminuindo por
conseqüência os momentos MA e T, o que leva ao aumento do momento fletor positivo da viga AB.
Figura 16 – Caso de pequena rigidez à torção.
Pode-se assim resumir que, “a torção nas vigas deve ser considerada quando for necessária
para o equilíbrio (torção de equilíbrio), e pode ser desconsiderada quando for de
compatibilidade”.
Considerando-se o pavimento de um edifício constituído por lajes e vigas, além da torção de
compatibilidade existente entre as vigas, a ligação monolítica entre as lajes e as vigas, como
mostrado na Figura 12, também ocasiona o surgimento de momentos de torção nas vigas, de
compatibilidade, não imprescindível ao equilíbrio do sistema, podendo assim serem desprezados
também.
Somado a isso, por imposição da arquitetura a largura das vigas varia normalmente de 10 a
20 cm, e para as alturas correntes das vigas (comumente até 60 cm), a rigidez à torção não é
significativa, o que leva a valores baixos para a torção de compatibilidade, justificando a sua
desconsideração.
Outra análise que se faz é que, se as vigas CD e EF forem livres para girar nas extremidades,
o momento de torção T será zero, ou seja, não existirá o momento de torção. Ou, por outro lado, e o
que é mais comum na prática das estruturas, devido à ligação monolítica das vigas CD e EF com os
pilares de apoio, se as vigas não podem girar e a rigidez à torção das vigas CD e EF é muito maior
que a rigidez à flexão da viga AB, o momento fletor MA se aproxima do momento fletor de
engastamento. Portanto, os momentos T e MA resultam do giro da viga AB em A e B, que deve ser
compatível com o ângulo de torção das vigas CD e EF em A e B.
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5. TORÇÃO SIMPLES (TORÇÃO DE ST. VENANT)
Numa barra de seção circular, como a indicada na Figura 17, submetida a momento de
torção, com empenamento permitido (torção livre), surgem tensões principais inclinadas de 45° e
135° com o eixo longitudinal da barra. As trajetórias das tensões principais desenvolvem-se
segundo uma curvatura helicoidal, em torno da barra. A trajetória das tensões principais de tração
ocorre na direção da rotação e a compressão na direção contrária, ao longo de toda o perímetro da
seção.
Figura 17 – Trajetórias das tensões principais na seção circular.
Se considerado um estado de tensão segundo a direção dos eixos longitudinal e transversal
da seção, o momento de torção provoca o surgimento de tensões de cisalhamento em planos
perpendiculares ao eixo da barra circular e em planos longitudinais, simultaneamente, como
mostrado nas Figuras 18, 19 e 20.
τ
τ
Figura 18 – Tensões de cisalhamento numa barra de seção circular sob torção.
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
a)
b)
c)
Figura 19 – Tensões devidas à torção: a) tensões de cisalhamento; b) tensões principais
de tração e compressão; c) trajetória helicoidal das fissuras.
(MACGREGOR, 1997).
T
T
I
45
°
II
II
I
Figura 20 – Tensões de cisalhamento e tensões principais na seção circular.
A distribuição das tensões de cisalhamento em seções transversais circulares e quadradas
ocorre como indicado na Figura 21. A tensão de cisalhamento é máxima nas superfícies externas da
seção e zero nos vértices e no eixo que passa pelo centro de gravidade.
Figura 21 – Variação da tensão de cisalhamento na seção transversal.
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
Por questão de simplicidade, as vigas de concreto armado sob momento de torção são
dimensionadas como se fossem ocas e de parede fina. Ao desprezar a parte correspondente à área
interna da seção o erro cometido não é significativo nem antieconômico, porque a espessura da
casca ou parede é determinada de forma que represente uma seção com grande percentual de
resistência ao momento de torção. Este procedimento resulta num acréscimo de segurança que não é
excessivo, sendo, portanto, pouco antieconômico.
6. TORÇÃO SIMPLES APLICADA A SEÇÕES VAZADAS DE PAREDE FINA
Considere a seção vazada mostrada na Figura 22, com espessura t, submetida ao momento
de torção T.
A
I
X
T
IA
A'
d
____
s
ds
LI
NH
A
M
ÉD
+
s
dt
t + ____
s
ds
x
s
O
x
r
t
-I
s
A
B dA
s
d
T
X
Figura 22 – Seção vazada com parede fina (SÁNCHEZ, 2001).
Do equilíbrio estático da seção tem-se a igualdade da resultante das tensões τ com o
momento de torção T que as originou:
T = ∫ (τ t ds ) r
(Eq. 1)
O produto τ . t (fluxo de cisalhamento ou de torção) é constante, e o produto ds . r é o dobro
da área do triângulo OAB (d . Ae), vindo:
T = 2 τ t ∫ d Ae
(Eq. 2)
Da Eq. 2 surge a tensão de cisalhamento em qualquer ponto da parede fina, devida ao
momento de torção:
τ=
T
2 t Ae
(Eq. 3)
com Ae sendo a área interna compreendida pelo eixo da parede fina, como indicada na Figura 23.
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
t
Ae
Figura 23 – Área Ae da seção vazada.
7. COMPORTAMENTO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À
TORÇÃO SIMPLES
LEONHARDT & MÖNNIG (1982) descrevem os resultados de ensaios realizados por
MÖRSCH, entre 1904 e 1921. Foram estudados cilindros ocos à torção simples, sem armadura,
com armadura longitudinal, com armadura transversal, com ambas as armaduras e com armadura
em forma de hélice, como mostrado na Figura 24.
Os ensaios confirmaram que nas seções de concreto armado as tensões principais de tração e
de compressão são inclinadas de 45° e com traçado helicoidal. Após o surgimento das fissuras de
torção que se desenvolvem em forma de hélice, apenas uma casca externa e com pequena espessura
colabora na resistência da seção à torção. Isso ficou evidenciado em ensaios de seções ocas ou
cheias com armaduras idênticas, que apresentaram as mesmas deformações e tensões nas
armaduras.
φ 10
φ 10
φ 10
34
40
φ 10
10,8
10,8
10,8
10,8
34
34
40
40
10,7
10,8
10,8
φ 10
34
40
10,7
Figura 24 – Seções estudadas por MÖRSCH (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
A Tabela 1 apresenta os resultados experimentais obtidos, para o momento fletor de
fissuração (momento fletor correspondente à primeira fissura) e para o momento fletor de ruptura.
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
Tabela 1 – Momentos fletores de primeira fissura e de ruptura (MPm)
de seções ocas ensaiadas por MÖRSCH.
Momento Fletor Momento Fletor
Seção
de Primeira fissura
de Ruptura
Sem armaduras
2,33
2,33
Com armadura longitudinal
2,33
2,38
Com armadura transversal
2,50
2,50
Com armaduras longitudinal e
2,47
3,78
transversal
Com armadura helicoidal
2,70
> 7,00*
* A máquina de ensaio não levou a seção à ruptura
Os ensaios demonstraram que: na seção oca sem armadura as fissuras são inclinadas a 45° e
em forma de hélice; com somente uma armadura, seja longitudinal ou transversal, o aumento de
resistência é muito pequeno e desprezível; com duas armaduras a resistência aumentou e, com
armadura helicoidal, segundo a trajetória das tensões principais de tração, o aumento de resistência
foi muito efetivo. Os valores contidos na Tabela 1 demonstram as observações.
Fissuras inclinadas podem se desenvolver quando a tensão principal de tração alcança a
resistência do concreto à tração, levando uma viga não armada à ruptura. Se a viga for armada com
barras longitudinais e estribos fechados transversais, a viga pode resistir a um aumento de carga
após a fissuração inicial.
8. ANALOGIA DA TRELIÇA ESPACIAL PARA A TORÇÃO SIMPLES
Existem hoje basicamente duas teorias muito diferentes com o intuito de explicar o
comportamento de uma viga sob torção. Uma delas é chamada de “Flexão Esconsa” (skew bending
theory), e foi desenvolvida por LESSIG (1959) e atualizada por HSU (1968). A segunda teoria
baseia-se na analogia da seção vazada (Teoria de Bredt) com uma treliça espacial, chamada de
“Treliça Generalizada”. A teoria foi inicialmente elaborada por RAUSCH em 1929, estando em uso
por diversas normas até os dias de hoje.
Como apresentado no item anterior os ensaios experimentais realizados mostraram que as
seções cheias de concreto podem ser calculadas como seções vazadas de paredes finas. A Figura 25
mostra o modelo de uma seção cheia fissurada, sob torção simples. As tensões de compressão são
resistidas pelo concreto da casca e as tensões de tração são resistidas pelo conjunto armadura
longitudinal e armadura transversal (estribos).
Fissuras
R s,e
Cd
Cd
R sl
Cd
Cd
Cd
R sl
Cd
Cd
R sl
Cd
Cd
R s,e
R sl
Figura 25 – Modelo resistente para a torção simples em viga de concreto fissurada.
(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
A treliça clássica inicialmente concebida admitia que a viga apresentasse fissuras inclinadas
de 45° com o eixo longitudinal (Figura 26). Os banzos paralelos representam a armadura
longitudinal, as diagonais comprimidas desenvolvem-se em hélice, com inclinação de 45°,
representando as bielas de compressão e os montantes verticais e horizontais representam estribos
fechados a 90° com o eixo longitudinal da viga.
Esforços solicitantes
no corte ll - ll
Cd /cos 45
B
M
Cd /sen 45
Cd /sen 45
Cd /cos 45
ll
Esforços nas barras
do nó B
R sl
a
D
=
bm
R s,e
45°
a
es
tr
ll
bm
M
C d 45°
C d 45°
R sl
R s,e
Barras tracionadas
T
Diagonais comprimidas
bm
Figura 26 – Treliça espacial para viga com torção simples com armadura longitudinal e
transversal (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
9. TORÇÃO COMBINADA COM MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE
A Figura 27 mostra as trajetórias das fissuras numa viga de concreto de seção retangular. As
fissuras apresentam-se com trajetórias inclinadas de aproximadamente 45° com o eixo longitudinal
da viga.
T
Figura 27 – Trajetórias das fissuras na viga vazada de seção retangular.
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
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Quando o valor do momento fletor é elevado comparativamente ao momento de torção, a
zona comprimida pelo momento fletor fica isenta de fissuras, como mostrado na Figura 28.
M
T
V
Figura 28 – Modelo para vigas com altos momentos fletores (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
No caso da força cortante elevada, uma face vertical deverá ficar isenta de fissuras, sendo
aquela onde as tensões de cisalhamento da torção e do esforço cortante têm sentidos contrários. Isso
fica demonstrado nos modelos de treliça adotados, onde as diagonais comprimidas da treliça para o
cortante opõem-se às diagonais tracionadas da treliça espacial da torção.
As fissuras nesses casos apresentam-se contínuas, em forma de hélice e em três das quatro
faces da viga. Numa face, onde as tensões de compressão superam a de tração, não surgem fissuras
(Figura 29).
M
T
V
Figura 29 – Modelo para vigas com altas forças cortantes (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
10. FORMAS DE RUPTURA POR TORÇÃO
Após a fissuração, a ruptura de uma viga sob torção pura pode ocorrer de alguns modos:
escoamento dos estribos, da armadura longitudinal, ou escoamento de ambas as armaduras. No caso
de vigas superarmadas à torção, o concreto comprimido compreendido entre as fissuras inclinadas
pode esmagar pelo efeito das tensões principais de compressão, antes do escoamento das
armaduras. Outros modos de ruptura podem também ocorrer, estando descritos a seguir.
10.1 Ruptura por Tração
A ruptura brusca também pode ocorrer por efeito de torção, após o surgimento das primeiras
fissuras. A ruptura brusca pode ser evitada pela colocação de uma armadura mínima, para resistir às
tensões de tração por torção.
Segundo LEONHARDT & MÖNNIG (1982) sendo as armaduras longitudinal e transversal
diferentes, a menor armadura determinará o tipo de ruptura. Uma pequena diferença nas armaduras,
pode, no entanto, ser compensada por uma redistribuição de esforços.
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16
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
Ao contrário do esforço cortante, onde a inclinação do banzo comprimido pode diminuir a
tração na alma da viga, na torção essa diminuição não pode ocorrer, dado que na analogia de treliça
espacial não existe banzo comprimido inclinado.
10.2 Ruptura por Compressão
Com armaduras colocadas longitudinalmente e transversalmente pode surgir forte
empenamento das faces laterais, ocasionando tensões adicionais ao longo das bielas comprimidas,
podendo ocorrer o seu esmagamento (Figura 30).
Tração
Compressão
Cd
T
c
Rs
Rc
45°
tT
Superfície de dupla curvatura
Figura 30 – Empenamento da viga originando tensões adicionais de flexão.
(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
10.3 Ruptura dos Cantos
A mudança de direção das tensões de compressão nos cantos, como indicado na Figura 31,
origina uma força que pode levar ao rompimento dos cantos da viga. Os estribos e as barras
longitudinais dos cantos contribuem para evitar essa forma de ruptura. Vigas com tensões de
cisalhamento da torção muito elevadas devem ter o espaçamento dos estribos limitados a 10 cm
para evitar essa forma de ruptura.
Engastamento à torção
U
U
U
Rc
Rc
T
Rc
Rc
Rompimento do canto
U
Estribo
Rc
Rc
Figura 31 – Possível ruptura do canto devida à mudança de direção das diagonais comprimidas.
(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).
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17
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
10.4 Ruptura da Ancoragem
Esta forma de ruptura pode ocorrer por insuficiência da ancoragem do estribo, levando ao
seu “escorregamento”, e pelo deslizamento das barras longitudinais. O cuidado na ancoragem das
armaduras pode evitar essa forma de ruptura.
11. TORÇÃO SIMPLES - DEFINIÇÃO DAS FORÇAS E TENSÕES NA TRELIÇA
GENERALIZADA
Nas décadas de 60 e 70 a treliça clássica foi generalizada por LAMPERT, THÜRLIMANN
e outros, com a admissão de ângulos variáveis (θ) para a inclinação das bielas (Figura 32). O
modelo de treliça generalizada é o atualmente adotado pelas principais normas internacionais, como
ACI 318/95 e MC-90 do CEB (1990).
A NBR 6118/03 também considera o modelo de treliça generalizada para o
dimensionamento de vigas de concreto armado à torção, em concordância com a treliça plana
generalizada concebida para a análise da força cortante.
Estribo
B
A
Barras
Longitudinais
Y
Bielas
Comprimidas
C
R ld
A
Rwd
l co
tg
Cd
l
D
NÓ A
= inclinação
da biela
l
Cd
Rld
X
Z
PLANO ABCD
Cd sen
l
Rwd
y
y
l co
Cd
Cd sen
sen
C d sen
l
tg
l co
tg
l co
tg
Figura 32 – Treliça espacial generalizada (LIMA et al., 2000).
11.1 Diagonais de Compressão
Considerando-se o plano ABCD da treliça espacial generalizada indicada na Figura 32 e que
os esforços internos resistentes devem igualar o esforço solicitante (TSd), tem-se:
TSd = 2 C d sen θ l
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(Eq. 4)
18
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
A força nas diagonais comprimidas surge da Eq. 4:
TSd
Cd =
2 l sen θ
(Eq. 5)
com: Cd = força na diagonal comprimida;
TSd = momento de torção de cálculo;
θ = ângulo de inclinação da diagonal comprimida;
l = distância entre os banzos.
A força de compressão Cd nas diagonais atua sobre uma seção transversal de área:
y . t = l cos θ . t
(Eq. 6)
com: t = espessura da casca ou da parede da seção oca;
y = largura de influência da diagonal inclinada da treliça.
Assim, substituindo a força Cd da Eq. 5 por σcd y t = σcd l cos θ . t, a tensão de compressão
na diagonal (σcd) assume o valor:
σ cd l cos θ . t =
TSd
2 l sen θ
σ cd =
TSd
(l cos θ . t ) 2 l sen θ
σ cd =
TSd
l t sen 2 θ
2
(Eq. 7)
como l 2 = A e determina-se a forma final para a tensão na diagonal de compressão:
σ cd =
TSd
A e t sen 2 θ
(Eq. 8)
A Eq. 3 pode ser escrita como: TSd = τt 2 Ae t . Da Eq. 3 reescrita na Eq. 8 fica:
σcd =
2 τ td
sen 2 θ
(Eq. 9)
11.2 Armadura longitudinal
Conforme as forças indicadas no nó A da Figura 32, fazendo o equilíbrio de forças na
direção x, tem-se:
4 R ld = 4 Cd cos θ
(Eq. 10)
com R ld = resultante em um banzo longitudinal. Como 4 R ld = A sl f ywd , substituindo na Eq. 10
fica:
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19
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
A sl f ywd = 4 C d cos θ
(Eq. 11)
Substituindo a Eq. 5 na Eq. 11 fica:
A sl f ywd = 4
TSd
cos θ
2 l sen θ
Isolando a armadura longitudinal:
2 TSd
A sl =
cot g θ
l f ywd
(Eq. 12)
Com o objetivo de evitar fissuração entre os vértices da seção vazada, a armadura deve ser
distribuída no perímetro ue = 4 l , de modo que a taxa de armadura longitudinal por comprimento
do eixo médio da seção vazada é:
A sl
2 TSd
2 TSd
=
cot g θ =
cot g θ
ue
l f ywd u e
l f ywd 4 l
A sl
TSd
=
cot g θ
ue
2 A e f ywd
(Eq. 13)
A sl
TSd
=
ue
2 A e f ywd tg θ
(Eq. 14)
ou
com:
A sl = área total da armadura longitudinal;
Ae = área interna delimitada pelo eixo da parede fina (ver Figura 23);
ue = perímetro do contorno da área Ae .
11.3 Estribos
Na Figura 32, fazendo o equilíbrio do nó A na direção do eixo Z, tem-se:
Rwd = Cd sen θ
(Eq. 15)
onde Rwd representa a força nos montantes verticais e horizontais da treliça espacial.
Substituindo a Eq. 5 na Eq. 15 tem-se:
R wd =
TSd
T
sen θ = Sd
2 l sen θ
2l
(Eq. 16)
Sendo s o espaçamento dos estribos e l cot g θ o comprimento de influência das barras
transversais da treliça que representam os estribos (ver Figura 32), tem-se:
R wd =
l cot g θ
A s,90 f ywd
s
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(Eq. 17)
20
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Igualando as Eq. 16 e 17 fica:
T
l cot g θ
A s,90 f ywd = Sd
s
2l
Isolando a armadura transversal relativamente ao espaçamento s dos estribos:
A s,90
TSd
=
s
2 l l cot g θ f ywd
A s,90
s
=
TSd
tg θ
2 A e f ywd
(Eq. 18)
com As,90 sendo a área de um ramo vertical ou horizontal do estribo vertical.
12. DIMENSIONAMENTO DA TORÇÃO UNIFORME NO ESTADO LIMITE
ÚLTIMO (ELU) SEGUNDO A NBR 6118/03
A norma separa o estudo dos elementos lineares sujeitos à torção em Torção Uniforme e
Torção em Perfis Abertos de Parede Fina (item 17.5). No texto subseqüente será considerado o
dimensionamento apenas dos elementos lineares sujeitos à torção uniforme.
A norma pressupõe “um modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir
de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar. As
diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto, têm inclinação que
pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo de 30° ≤ θ ≤ 45° ”. Esse modelo é o da treliça espacial
generalizada, descrito anteriormente. O projetista tem a liberdade de escolher o ângulo de
inclinação das bielas de compressão, que deve estar coerente com o ângulo adotado no
dimensionamento da viga à força cortante.
12.1 Geometria da Seção Resistente
No caso de seções poligonais convexas cheias, a seção vazada equivalente terá a espessura
da parede equivalente (he) dada por:
he ≤
A
u
he ≥ 2 c1
(Eq. 19)
(Eq. 20)
onde: A = área da seção cheia;
u = perímetro da seção cheia;
c1 = distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento
estrutural.
O item 17.5.1.4 da NBR 6118/03 também define como deve ser considerada a seção
resistente de Seções Compostas por Retângulos e de Seções Vazadas.
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21
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
12.2 Torção de Compatibilidade
No caso de torção de compatibilidade a norma diz que “é possível desprezá-la, desde que o
elemento estrutural tenha a adequada capacidade de adaptação plástica e que todos os outros
esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados”.
No caso de elementos sob torção com comprimento menor ou igual a duas vezes a altura
(≤ 2 h), com o objetivo de possibilitar a adaptação plástica, a norma recomenda que a peça tenha a
armadura mínima à torção e à força cortante de cálculo limitada a:
com:
VSd ≤ 0,7 VRd2
(Eq. 21)
VRd2 = 0,27 αv . fcd . bw . d . sen 2 θ
(Eq. 22)
12.3 Torção de Equilíbrio
Elementos sujeitos à torção de equilíbrio devem possuir armaduras longitudinal e transversal
(estribos fechados e verticais), destinados a resistir aos esforços de tração.
Admite-se satisfeita a resistência de um elemento estrutural à torção pura quando se
verificarem simultaneamente as seguintes condições:
TSd ≤ TRd,2
TSd ≤ TRd,3
TSd ≤ TRd,4
(TRd,2 = limite dado pela resistência das diagonais comprimidas do concreto);
(TRd,3 = limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo
do elemento estrutural);
(TRd,4 = limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais,
paralelas ao eixo do elemento estrutural).
A resistência proveniente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida pela Eq. 8,
fazendo a tensão de compressão na diagonal de concreto ficar limitada ao valor máximo dado por
0,5 αv2 fcd . Assim, o máximo momento de torção que uma seção pode resistir, sem que ocorra o
esmagamento das diagonais comprimidas é:
TRd,2 = 0,50 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2 θ
(Eq. 23)
com: αv2 = 1 – (fck/250)
, fck em MPa;
θ = ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30° ≤ θ ≤ 45°;
Ae = área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo
a parte vazada;
he = espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto
considerado.
Segundo a NBR 6118/03, a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento
estrutural deve atender à expressão seguinte, semelhante à Eq. 18 já desenvolvida:
TRd,3 = (As,90/s) fywd 2 Ae cotg θ
(Eq. 24)
donde, com TSd = TRd,3 , calcula-se a área da armadura transversal:
A s,90
s
=
TSd
tg θ
2 A e f ywd
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(Eq. 25)
22
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
onde: As,90 = área de um ramo do estribo;
fywd = resistência de cálculo do aço da armadura, limitada a 435 MPa.
Para o ângulo θ de inclinação das diagonais comprimidas igual a 45° a Eq. 25 transforma-se
em:
A s,90
s
=
TSd
2 A e f ywd
(Eq. 26)
Conforme a NBR 6118/03, a resistência decorrente da armadura longitudinal deve atender à
expressão seguinte, já deduzida na Eq. 14:
TRd,4 = (Asl/ue) 2Ae fywd tg θ
(Eq. 27)
donde, com TSd = TRd,4 , calcula-se a área da armadura longitudinal:
A sl
TSd
=
ue
2 A e f ywd tg θ
(Eq. 28)
onde: Asl = soma da área das barras longitudinais;
ue = perímetro da área Ae.
Para o ângulo θ de inclinação das diagonais comprimidas igual a 45° a Eq. 28 transforma-se
em:
A sl
TSd
=
ue
2 A e f ywd
(Eq. 29)
12.4 Armadura Mínima
Segundo a NBR 6118/03 (item 17.5.1.2), sempre que a torção for de equilíbrio deverá existir
armadura resistente aos esforços de tração, constituída por estribos verticais e barras longitudinais
distribuídas na área correspondente à parede equivalente ao longo do perímetro da seção resistente.
A taxa geométrica mínima de armadura é:
ρ sl = ρ sw =
f ct ,m
A sw
A sl
=
≥ 0,2
bw s bw ue
f ywk
(Eq. 30)
A Eq. 30 prescrita pela NBR 6118/03 dá margem à dúvida porque a área de estribos Asw
refere-se ao esforço cortante, onde Asw representa a área total do estribo. No caso da torção
geralmente os estribos têm apenas dois ramos e As,90 , calculada pela Eq. 25, representa a área de
apenas um ramo do estribo. Nosso entendimento é que a área de estribos mínima dada pela Eq. 30
deve representar a área de apenas um ramo do estribo, e por isso a notação será alterada para
As,90mín, ficando a Eq. 30 escrita como:
ρ sl,mín = ρ s,90 mín =
com:
A s ,90 mín
bw s
=
A sl,mín
bw ue
≥ 0,2
f ct ,m
f ywk
ρ sl,mín = taxa mínima de armadura longitudinal;
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(Eq. 31)
23
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
ρ s,90 mín = taxa mínima de armadura transversal, composta por estribos verticais;
As,90mín = área da seção transversal de um ramo do estribo vertical;
A sl ,mín = área mínima de armadura longitudinal;
bw = largura média da alma;
s = espaçamentos dos estribos verticais;
ue = perímetro da área Ae;
fct,m = resistência média à tração do concreto.
fywk = resistência de início de escoamento do aço da armadura transversal.
Na Eq. 31, isolando As,90mín/s e A sl,mín / u e fica:
A s,90 mín
s
=
A sl,mín
ue
≥
0,2 f ct ,m
f ywk
bw
(Eq. 32)
Fazendo o espaçamento s e o perímetro ue iguais a 100 cm (1 m), a armadura mínima fica:
A s ,90 mín = A sl ,mín =
20 f ct ,m
f ywk
bw
(Eq. 33)
com: As,90mín e A sl ,mín em cm2/m;
bw em cm;
fywk e fct,m em kN/cm2;
f ct ,m = 0,3 3 f ck 2 , com fck e fct,m em MPa.
12.5 Solicitações Combinadas
12.5.1 Flexão e Torção
Nos elementos estruturais submetidos à torção e à flexão simples ou composta, as
verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais,
devendo-se atender ainda:
- na zona tracionada pela flexão, a armadura longitudinal de torção deve ser acrescentada à
armadura longitudinal necessária para flexão;
- no banzo comprimido pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em
função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva he e no trecho de
comprimento ∆ue correspondente à barra ou feixe de barras consideradas;
- nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que
reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em vigas de
seção celular, o valor de cálculo da tensão principal de compressão não deve superar o
valor 0,85 fcd . Esta tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de
tensões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da
tensão tangencial de torção, calculada por:
τTd = Td / 2 Ae he
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(Eq. 34)
24
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
12.5.2 Torção e Força Cortante
Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação
das bielas de concreto (θ) coincidentes para os dois esforços. Na utilização do modelo de cálculo I
para a força cortante, subentende-se a consideração de θ igual a 45º também para a torção.
A resistência à compressão diagonal no concreto será satisfeita se atendida a expressão:
VSd
T
+ Sd ≤ 1
VRd 2 TRd 2
(Eq. 35)
onde VSd é a força cortante de cálculo e TSd é o momento de torção de cálculo.
A armadura transversal total pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas
separadamente para VSd e TSd .
Nessa questão é importante salientar que: a área de armadura transversal calculada para o
esforço cortante refere-se à área total, contando todos os ramos verticais do estribo. Já no caso da
torção a área de armadura transversal calculada é apenas de um ramo do estribo. Portanto, para
cálculo da armadura transversal total deve-se tomar o cuidado de somar as áreas de apenas um ramo
do estribo, para ambos os esforços de cortante e torção.
12.6 Disposições Construtivas
As disposições construtivas para a torção constam no item 18.3.4 da NBR 6118/03.
A armadura destinada a resistir aos esforços de tração provocados por torção deve ser
constituída por estribos normais ao eixo da viga, combinados com barras longitudinais
paralelas ao mesmo eixo.
Os estribos e as barras da armadura longitudinal devem estar contidos no
interior da parede fictícia da seção vazada equivalente. “ Consideram-se efetivos na
resistência os ramos dos estribos e as armaduras longitudinais contidos no interior da
parede fictícia da seção vazada equivalente ”.
Para prevenir a ruptura dos cantos é necessário alojar quatro barras longitudinais nos
vértices das seções retangulares. Segundo LEONHARDT & MÖNNIG (1982), para seções de
grandes dimensões é necessário distribuir a armadura longitudinal ao longo do perímetro da seção, a
fim de limitar a fissuração.
12.6.1 Fissuração Diagonal da Alma
Usualmente não é necessário verificar a fissuração diagonal da alma de elementos estruturais
de concreto. Em casos especiais em que isso for considerado importante deve-se limitar o
espaçamento da armadura transversal a 15 cm.
12.6.2 Estribos
Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendo as barras
das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio
de ganchos em ângulo de 45º.
O diâmetro do estribo deve atender a:
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25
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
⎧≥ 5 mm
⎪ b
⎪⎪< w
φ t ⎨ 10
⎪≤ 12 mm para barra lisa
⎪
⎪⎩≥ 4,2 mm para estribos formados por tela soldada
(Eq. 36)
O espaçamento entre os estribos deve possibilitar a passagem da agulha do vibrador, a fim
de garantir o perfeito adensamento do concreto.
O espaçamento máximo deve atender as seguintes condições:
- se VSd ≤ 0,67 VRd2 ⇒
smáx = 0,6 d ≤ 30 cm;
- se VSd ≥ 0,67 VRd2 ⇒
smáx = 0,3 d ≤ 20 cm.
(Eq. 37)
12.6.3 Armadura Longitudinal
As barras longitudinais da armadura de torção, de área total Asl, podem ter arranjo
distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de
35 cm. Deve-se respeitar e manter constante a relação ∆Asl/∆ue, onde ∆ue é o trecho de perímetro da
seção efetiva correspondente a cada barra ou feixe de barras de área ∆Asl, exigida pelo
dimensionamento.
Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção deve ser colocada pelo menos
uma barra longitudinal.
13. MOMENTO DE INÉRCIA À TORÇÃO
O momento de inércia à torção (J) e o módulo de inércia à torção (Wt) de vigas com seção
retangular podem ser calculados com base nas equações:
J = j b3 h
(Eq. 38)
Wt = w b 2 h
(Eq. 39)
n=
b
h
onde: j = parâmetro dependente da relação n entre as dimensões dos lados do retângulo, conforme
a Tabela 2;
b = menor dimensão da seção retangular;
h = maior dimensão da seção retangular.
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26
w
0,333
0,312
0,291
0,273
0,258
0,246
0,237
0,229
0,221
0,214
0,208
b
n
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Tabela 2 – Valores de w e j.
j
0,333
0,312
0,291
0,270
0,249
0,229
0,209
0,189
b
0,171
0,155
0,141
h
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h
14. EXEMPLOS NUMÉRICOS DE APLICAÇÃO
Apresentam-se a seguir três exemplos numéricos de aplicação sobre o dimensionamento de
vigas de concreto armado sob solicitação de torção. Os cálculos são completos, abrangendo todos os
dimensionamentos necessários para o projeto de uma viga (flexão, esforço cortante, ancoragem nos
apoios e cobrimento do diagrama de momentos fletores pela armadura longitudinal).
14.1 EXEMPLO 1
Uma viga em balanço, como mostrada na Figura 33, suporta em sua extremidade uma outra
viga, nela engastada, com uma carga concentrada característica de 50 kN em sua extremidade. As
distâncias e dimensões adotadas para as duas vigas estão indicadas na planta de fôrma (Figura 34).
As vigas têm como carregamento somente a carga F e o peso próprio.
São conhecidos: C25 ; CA-50 ; cnom = 2,5 cm ; γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15.
P1
35/60
V2 (20 x 50)
F
V (20 x 50)
V1 (35 x 50)
150
Figura 33 – Perspectiva da estrutura com
a força F aplicada.
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Figura 34 – Planta de fôrma.
97,5
27
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
RESOLUÇÃO
Os esforços solicitantes serão calculados de dois modos, primeiro considerando-se a atuação
conjunta das vigas como uma grelha, e segundo considerando-se as vigas individualmente. Para
cálculo da grelha foi utilizado o programa GPLAN4, de CORRÊA et al. (1992).
a) Cálculo dos esforços como grelha
Vão efetivo e peso próprio da viga V2:
lef,V2 = lo + a1 = 80 + 15 = 95 cm
Vão livre: lo = 80 cm
⎧t / 2 = 35 / 2 = 17,5 cm
∴ a1 = 15 cm
a1 ≤ ⎨ 1
⎩0,3 h = 0,3 ⋅ 50 = 15 cm
Peso próprio: gpp,V2 = 25 . 0,20 . 0,50 = 2,5 kN/m
Vão efetivo e peso próprio da viga V1:
Vão livre: lo = 150 cm
⎧t / 2 = 60 / 2 = 30 cm
∴ a1 = 15 cm
a1 ≤ ⎨ 1
⎩0,3 h = 0,3 ⋅ 50 = 15 cm
lef,V1 = lo + a1 = 150 + 15 = 165 cm
Peso próprio: gpp,V1 = 25 . 0,35 . 0,50 = 4,375 kN/m
A Figura 35 mostra o esquema utilizado para a grelha, com a numeração dos nós e das
barras. Na barra correspondente à viga V1 (2) deve ser considerado o momento de inércia à torção.
O nó 2 deve ser obrigatoriamente considerado um engaste perfeito, e os nós 1 e 3 não têm restrições
nodais.
165
2
2
3
1
95
1
Figura 35 – Esquema da grelha.
Para o módulo de elasticidade do concreto (módulo de deformação longitudinal) será
considerado o valor secante. O módulo tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte
expressão (NBR 6118/03, item 8.2.8):
E ci = 5600 f ck = 5600 25 = 28.000 MPa = 2.800 kN/cm2
O módulo de elasticidade secante (Ecs) vale:
Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 2800 = 2.380 kN/cm2
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28
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
Para o módulo de elasticidade transversal (G) pode-se utilizar 0,20 Ecs, o que resulta 476
kN/cm2. Para a grelha em questão foi adotado um valor um pouco superior, de 480 kN/cm2.
O momento de inércia à torção (J) foi calculado com a Eq. 38. Na Tabela 2, com n = 0,7
encontra-se o valor de 0,189 para j e:
b 35
n= =
= 0,7
h 50
J = j b 3 h = 0,189 ⋅ 353 ⋅ 50 = 405.169 cm4
O arquivo de dados para entrada no programa, apresentado a seguir, foi feito conforme o
manual de utilização do programa (CORRÊA et al., 1992) e o manual com diretrizes para a sua
aplicação, de BASTOS (1995).
OPTE,0,2,0,0,2,
TORCAO
CONCRETO II
EXEMPLO 1
NO
1,165,0,
2,0,95,
3,165,95,
RES
2,1,1,1,
BAR
1,1,3,1,1,
2,2,3,2,1,
PROP
1,1,1000,208333,100,50,
2,1,1750,364583,405169,50,
MATL
1,2380,480,
FIMG
CARR1
CBR
1,1,-.025,1,
2,1,-.04375,1,
CNO
1,-50,
FIMC
FIME
Os resultados gerados pelo programa estão listados no Anexo B1. Os diagramas de esforços
solicitantes característicos estão indicados na Figura 36. A flecha máxima para a grelha resultou
igual a 0,5 cm, no nó 1, menor que os valores limites indicados pela NBR 6118/03.
59,6
4863
9237
52,4
+
-
4863
Tk
(kN.cm)
Vk
Mk
(kN)
(kN.cm)
50
Figura 36 – Diagrama de esforços solicitantes característicos calculados como grelha.
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29
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b) Cálculo dos esforços e dimensionamento da viga V2 (20 x 50)
A título de exemplo e comparação com os esforços da grelha, as vigas terão os esforços
novamente calculados, agora considerando-as individualmente.
A viga V2 deve estar obrigatoriamente engastada na viga V1. Seu esquema estático e
carregamento estão indicados na Figura 37.
b1) Esforços solicitantes máximos
50 kN
V = 2,5 . 0,95 + 50 = 52,4 kN
M=
2,5 kN/m
2,5 ⋅ 0,95 2
+ 50 ⋅ 0,95
2
95
M = 48,63 kN.m = 4.863 kN.cm
Comparando os resultados dos
esforços acima com aqueles obtidos no
cálculo de grelha (Figura 36), nota-se que
os esforços solicitantes na viga V2 são
idênticos.
52,4
50
Vk (kN)
4863
_
Mk (kN.cm)
Figura 37 – Esquema estático, carregamento
e esforços na viga V2.
b2) Dimensionamento à flexão
A armadura mínima de flexão é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com:
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup
f ctk ,sup = 1,3 f ct ,m = 1,3 . 0,3 3 f ck 2 = 1,3 . 0,3 3 252 = 3,33 MPa
b h 3 20 . 50 3
=
= 208333 cm4
12
12
I 208333
W0 = =
= 8333 cm3
(no estádio I, y é tomado na meia altura da viga)
y
25
Md,mín = 0,8 . 8333 . 0,333 = 2.220 kN.cm
I=
Dimensionamento da armadura longitudinal para o momento fletor mínimo:
b d 2 20 . 46 2
Kc = w
=
= 19,1 ⇒ da Tabela A1 anexa tem-se Ks = 0,023.
Md
2220
M
2220
= 1,11 cm2
A s = K s d = 0,023
d
46
Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BASTOS, 2005) para seção retangular e concreto
C25, a taxa mínima de armadura (ρmín) deve ser de 0,15 % Ac, portanto:
(2 φ 10 mm = 1,60 cm2)
As,mín = 0,0015 . 20 . 50 = 1,50 cm2 > 1,11 cm2
Momento fletor máximo na viga: Mk = 4.863 kN.cm
Md = 1,4 . 4863 = 6.808 kN.cm
20 ⋅ 46 2
Kc =
= 6,2
6808
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30
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na Tabela A1 anexa tem-se: βx = 0,14, Ks = 0,024 e dom. 2.
6808
A s = 0,024
= 3,55 cm2 ≥ As,mín = 1,50 cm2
46
(2 φ 16 mm = 4,00 cm2 ou 3 φ 12,5 = 3,75 cm2)
Se adotados 3 φ 12,5 a distância livre entre as três
barras da armadura negativa deve ser suficiente para a
passagem da agulha do vibrador.
3 φ 12,5
2,5
50
2,5
20
b3) Armadura de pele
De acordo com a NBR 6118/03, a armadura de pele não é necessária, dado que a viga não
tem altura superior a 60 cm. No entanto, a fim de evitar possíveis fissuras de retração que possam
surgir em vigas com altura de 50 cm ou superior, será colocada uma armadura de pele com área de
0,05 % Ac (área da armadura de pele conforme a NBR 6118/80), em cada face da viga:
As,pele = 0,0005 . 20 . 50 = 0,50 cm2
4 φ 4,2 mm (0,56 cm2) em cada face, distribuídos ao longo da altura.
b4) Dimensionamento ao esforço cortante
A resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas
desenvolvidas e apresentadas em BASTOS (2005). Para a seção retangular da viga será considerado
o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38° para a inclinação das diagonais de compressão.
Vk = 52,4 kN.cm
VSd = γf . Vk = 1,4 . 52,4 = 73,4 kN
b4.1) Verificação das diagonais de compressão
Da Tabela 3 da apostila de Cortante em Vigas (BASTOS, 2005), para o concreto C25,
determina-se a força cortante última ou máxima:
VRd2 = 0,87 b w . d . sen θ . cos θ = 0,87 . 20 . 46 . sen 38 . cos 38 = 388,3 kN
VSd = 73,4 < VRd 2 = 388,3 kN → não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão.
b4.2) Cálculo da armadura transversal
Da mesma Tabela 3 da apostila de Cortante, para o concreto C25 a equação para determinar
a força cortante correspondente à armadura mínima é:
VSd,mín = 0,040. b w . d . cot g θ + Vc1
V − VSd
Vc1 = Vc0 Rd 2
VRd 2 − Vc 0
Com Vc0 :
⎛
0,3 3 25 2
⎜
Vc 0 = 0,6 f ctd b w d = 0,6 0,7
⎜
10 . 1,4
⎝
388,3 − 73,4
Vc1 = 70,8
= 70,2 kN
388,3 − 70,8
⎞
⎟ 20 . 46 = 70,8 KN
⎟
⎠
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31
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VSd,mín = 0,040. 20 . 46 . cot g 38 + 70,2 = 117,3 kN
VSd = 73,4 < VSd ,mín = 117,3 kN → portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima.
A armadura transversal mínima é calculada pela equação:
20 f ctm
2
A sw ,mín =
b w (cm2/m), com f ctm = 0,3 3 f ck = 0,3 3 25 2 = 2,56 MPa
f ywk
A sw,mín =
20 . 0,256
. 20 = 2,05 cm2/m
50
b4.3) Detalhamento da armadura transversal
- Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒
- Espaçamento máximo:
0,67 VRd2 = 0,67 . 388,3 = 260,2 kN
VSd = 73,4 < 0,67 VRd2 = 260,2 kN ⇒
0,6 d = 0,6 . 46 = 27,6 cm
⇒
φt ≤ 200/10 ≤ 20 mm
s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm
Portanto, s ≤ 27,6 cm
Supondo estribo de dois ramos com diâmetro de 5 mm tem-se:
0,40
= 0,0205
→ s = 19,5 cm ≤ smáx = 27,6 cm
s
b5) Ancoragem da armadura longitudinal negativa
A armadura negativa deve ser cuidadosamente ancorada na viga V1, pois nela está
engastada. A ancoragem inadequada pode resultar em sérios riscos de ruptura da viga.
Conforme apresentado na apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 2005) o
comprimento de ancoragem básico deve ser calculado. Nas Tabelas A2 e A3 anexas nesta apostila
constam os comprimentos de ancoragem básicos para os aços CA-50 e CA-60.
Para concreto C25, aço CA-50 (Tabela A2), situação de má aderência e barra de diâmetro
12,5 mm o comprimento de ancoragem básico, sem gancho, resulta 67 cm.
Considerando que a armadura negativa calculada foi 3,55 cm2 e que a armadura efetiva será
composta por 3 φ 12,5 (3,75 cm2), o comprimento de ancoragem corrigido, que leva em conta a
diferença de áreas de armaduras, é:
lb,corr
A s,anc
3,55
l b,corr = l b
= 67
= 63,4 cm ≥ lb,mín = 10,0 cm
A s,ef
A s,ef
3,75
O comprimento de ancoragem mínimo é:
⎧r + 5,5 φ
l b,mín ≥ ⎨
⎩6 cm
r = (D/2) = 5 φ/2 = 5 . 1,25/2 = 3,1 cm
r + 5,5 φ = 3,1 + 5,5 . 1,25 = 10,0 cm > 6 cm
VIGA DE APOIO
50
b
35 cm
∴lb,mín = 10,0 cm
O comprimento de ancoragem efetivo da viga de apoio é a largura de viga menos a
espessura do cobrimento: lb,ef = b – c = 35 – 2,5 = 32,5 cm.
Verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido é maior que o comprimento de
ancoragem efetivo: lb,corr = 63,4 cm > lb,ef = 32,5 cm. Não é possível fazer a ancoragem dessa forma
na viga de apoio. Uma solução para tentar resolver o problema é fazer o gancho nas extremidades
das barras. O comprimento de ancoragem necessário com gancho é:
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32
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l b,gancho = α1 l b,corr = 0,7 ⋅ 63,4 = 44,4 cm ≥ lb,mín = 10,0 cm
Verifica-se que o comprimento de ancoragem com gancho é superior ao comprimento de
ancoragem efetivo (lb,gancho = 44,4 cm > lb,ef = 32,5 cm). Se a armadura a ancorar for aumentada
para As,corr fica:
A s ,corr =
0,7 l b
0,7 ⋅ 67
3,55 = 5,12 cm2
A s,anc =
32,5
l b,ef
3 φ 12,5 + 1 grampo φ 10 = 5,35 cm2
A Figura 38 mostra o detalhamento completo da armadura da viga V2. O espaçamento dos
estribos foi diminuído de 19,5 cm para 15 cm, a favor da segurança e com pequeno acréscimo no
consumo de aço. A armadura de pele, embora não obrigatória neste caso, foi adotada. As barras
longitudinais inferiores, porta-estribos, foram adotadas φ 8 mm.
V2 (20 x 50)
N1 - 6 c/15
3N2
2N3
4N4
4N4
110
45
N2* - 3 φ 12,5
C = 275
45
2N5
30
14
15
N3 - 2 φ 10 C = 228
(2° cam)
N4 - 2 x 4 φ 4,2 C = 110
45
N5 - 2 φ 8 C = 110
* N2 sobre N2 da V1
N1 - 6 φ 5 mm C = 130
Figura 38 – Armadura final da viga V2.
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33
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c) Cálculo e dimensionamento da viga V1 (35 x 50)
A viga V1 deve estar obrigatoriamente engastada no pilar P1, como demonstrado no
esquema estático (Figura 39). O carregamento consiste no seu próprio peso e nas ações
provenientes da viga V2 (reação de apoio e momento torçor).
c1) Esforços solicitantes máximos
52,4 kN
4,375 kN/m
Vk = 4,375 . 1,65 + 52,4 = 59,6 kN
4,375 ⋅1,65 2
+ 52,4 ⋅1,65
2
Mk = 92,42 kN.m = 9.242kN.cm
4863 kN.cm
Mk =
P1
165
Tk = 4.863 kN.cm
59,6
Verifica-se que os esforços solicitantes
acima são idênticos com aqueles obtidos no
cálculo de grelha (Figura 36).
9242
52,4
Vk (kN)
_
Mk (kN.cm)
4863
Tk (kN.cm)
Figura 39 – Esquema estático, carregamento
e esforços na viga V1.
c2) Dimensionamento á flexão
A armadura mínima de flexão é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com:
fctk,sup = 3,33 MPa
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup ,
3
3
bh
35 . 50
=
= 364.583 cm4
I=
12
12
I 364583
W0 = =
= 14.583 cm3
(no estádio I, y é tomado na meia altura da viga)
y
25
Md,mín = 0,8 . 14583 . 0,333 = 3.885 kN.cm
Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo:
b w d 2 35 . 46 2
Kc =
=
= 19,1 ⇒ da Tabela A1 anexa tem-se Ks = 0,023.
Md
3885
M
3885
= 1,94 cm2
A s = K s d = 0,023
d
46
Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BASTOS, 2005) para seção retangular e concreto
C25, a taxa mínima de armadura (ρmín) deve ser de 0,15 % Ac, portanto:
→
(2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2)
As,mín = 0,0015 . 35 . 50 = 2,63 cm2 > 1,94 cm2
O momento fletor solicitante característico na viga V1 é 9.242 kN.cm. O momento fletor de
cálculo é:
Md = 1,4 . 9.242 = 12.939 kN.cm
35 ⋅ 46 2
Kc =
= 5,7
12939
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na Tabela A1 anexa tem-se: βx = 0,16, Ks = 0,025 e
domínio 2.
12939
A s = 0,025
= 7,03 cm2 ≥ As,mín = 2,63 cm2
46
(5 φ 12,5 + 1 φ 10 = 7,05 cm2)
O espaçamento livre entre as barras é:
35 − [2 (2,5 + 0,63) + 5 ⋅1,25 + 1,0]
eh =
= 4,3 cm
5
(espaço livre suficiente para a passagem da agulha do
vibrador, φag = 25 mm).
1 φ 10
5 φ 12,5
eh
2,5
50
2,5
35
c3) Armadura de pele
De acordo com a NBR 611/03, a armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem
altura superior a 60 cm. No entanto, a fim de evitar possíveis fissuras de retração que possam surgir
em vigas com altura de 50 cm, deve ser colocada uma armadura de pele com essa finalidade. A
armadura para a torção que será colocada nas faces laterais da viga terá também a função de
armadura de pele.
c4) Dimensionamento ao esforço cortante
Para a seção retangular será considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38°,
conforme a apostila de Cortante em Vigas (BASTOS, 2005).
Vk = 59,6 kN.cm
VSd = γf . Vk = 1,4 . 59,6 = 83,4 kN
C4.1) Verificação das diagonais de compressão
Na Tabela 3 da apostila de Cortante, para o concreto C25 determina-se a força cortante
última ou máxima:
VRd2 = 0,87 b w . d . sen θ . cos θ = 0,87 . 35 . 46 . sen 38 . cos 38 = 679,5 kN
VSd = 83,4 < VRd 2 = 679,5 kN → não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão.
c4.2) Cálculo da armadura transversal
Da mesma Tabela 3, para o concreto C25, a equação para determinar a força cortante
correspondente à armadura mínima é:
VSd,mín = 0,040. b w . d . cot g θ + Vc1
V − VSd
Vc1 = Vc0 Rd 2
VRd 2 − Vc 0
Com Vc0 :
⎛
0,3 3 25 2
Vc0 = 0,6 f ctd b w d = 0,6 ⎜ 0,7
⎜
10 . 1,4
⎝
679,5 − 83,4
Vc1 = 123,9
= 132,9 kN
679,5 − 123,9
⎞
⎟ 35 . 46 = 123,9 KN
⎟
⎠
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35
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VSd,mín = 0,040. 35 . 46 . cot g 38 + 132,9 = 215,3 kN
VSd = 83,4 < VSd ,mín = 215,3 kN → portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima.
A armadura mínima é calculada pela equação:
20 f ctm
2
A sw ,mín =
b w (cm2/m), com f ctm = 0,3 3 f ck = 0,3 3 25 2 = 2,56 MPa
f ywk
A sw ,mín =
20 . 0,256
. 35 = 3,58 cm2/m
50
c4.3) Detalhamento da armadura transversal
- Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒
φt ≤ 350/10 ≤ 35 mm
- Espaçamento máximo:
0,67 VRd2 = 0,67 . 679,5 = 455,3 kN
s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm
VSd,máx = 83,4 < 455,3 kN ⇒
0,6 d = 0,6 . 46 = 27,6 cm ⇒
Portanto, s ≤ 27,6 cm
c5) Ancoragem da armadura longitudinal negativa
A armadura negativa da viga (5 φ 12,5 + 1 φ 10) deve ancorar no pilar P1, que tem seção
transversal 35/60. Conforme a Tabela A2 anexa, com concreto C25, CA-50 (barra de alta aderência)
e situação de má aderência para a armadura negativa, o comprimento de ancoragem básico (sem
gancho) é 67 cm para φ 12,5 mm.
O comprimento de ancoragem mínimo também é o mesmo da viga V2 para φ 12,5 mm,
lb,mín = 10,0 cm.
O comprimento de ancoragem corrigido, considerando a armadura a ancorar de 7,03 cm2 e a
armadura efetiva composta por 5 φ 12,5 + 1 φ 10 (7,05 cm2), sem gancho, é:
l b,corr = l b
A s,anc
A s,ef
= 67
7,03
= 67,0 cm
7,05
lb,corr = 67,0 cm ≥ l b,mín = 10,0 cm
lb,corr
67,1
A s, ef
50
O comprimento de ancoragem efetivo é:
lb,ef = b – c = 60 – 2,5 = 57,5 cm
c
2,5
lb,ef
57,5
b
60
Verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido, sem gancho, é superior ao
comprimento de ancoragem efetivo (lb,corr = 67 cm > lb,ef = 57,5 cm), que não possibilita fazer a
ancoragem reta no pilar. A primeira alternativa para resolver o problema é fazer gancho nas
extremidades das barras, reduzindo o comprimento corrigido para:
l b,gancho = 0,7 ⋅ 67,0 = 46,9 cm
O comprimento de ancoragem necessário, com gancho, é inferior ao comprimento de
ancoragem efetivo (lb,gancho = 46,9 cm < lb,ef = 57,5 cm), o que possibilita fazer a ancoragem no
pilar, sem a necessidade de acréscimo de armadura. A favor da segurança, a armadura negativa
pode ser estendida até próximo à face do pilar, no comprimento de lb,ef (Figura 40).
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36
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
c6) Dimensionamento à torção
O momento de torção característico (Tk) é 4.863 kN.cm e o momento de cálculo é:
TSd = 1,4 . 4863 = 6.808 kN.cm
c6.1) Verificação das diagonais comprimidas
Área da seção transversal: A = bw . h = 35 . 50 = 1.750 cm2
Perímetro da seção transversal: u = 2 (bw + h) = 2 (35 + 50) = 170 cm
As Eq. 19 e 20 fornecem os limites para a espessura he da parede fina:
he ≤
tem-se:
A 1750
=
= 10,3 cm
u 170
e
he ≥ 2 c 1
c1
c nom
Supondo φl = 12,5 mm e φt = 8 mm, com cnom = 2,5 cm
c1 = φl /2 + φt + cnom = 1,25/2 + 0,8 + 2,5 = 3,93 cm
he ≥ 2 . 3,93 = 7,9 cm
Portanto, os limites para he são: 7,9 cm ≤ he ≤ 10,3
cm. Será adotado he = 10,0 cm.
bw
he
A área efetiva e o perímetro da parede fina são:
h
Ae = (bw – he) . (h – he) = (35 – 10) . (50 – 10) = 1.000 cm2
ue = 2 [(bw – he) + (h – he)] = 2 [(35 – 10) + (50 – 10)]
ue = 130 cm
he
O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 23 , com ângulo θ (38°) igual ao aplicado
no cálculo da viga ao esforço cortante é:
TRd,2 = 0,5 αv2 fcd Ae he sen 2 θ = 0,5 (1 – 25/250) . (2,5/1,4) 1000 . 10 . sen 2 . 38 = 7.797 kN.cm
Para não ocorrer o esmagamento das diagonais comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34
deve-se ter:
VSd
T
+ Sd ≤ 1
VRd 2 TRd 2
Como calculado no item c4.1, os valores de VRd2 e VSd são 679,5 kN e 83,4 kN,
respectivamente. Aplicando a Eq. 34 tem-se:
83,4 6808
+
= 1,0 ≤ 1,0
679,5 7797
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
37
Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão. Caso
resultasse valor superior à unidade, haveria a necessidade de se fazer alguma mudança. O aumento
da largura ou da altura da viga são soluções comumente utilizadas na prática.
c6.2) Cálculo das armaduras para torção
A armadura mínima transversal já foi calculada no dimensionamento da viga ao esforço
cortante (item c4.2), sendo 3,58 cm2/m. Esta armadura é a mínima também para a torção, tanto para
a armadura transversal como para a longitudinal, como mostrado na Eq. 32.
Armadura transversal composta por estribos a 90° conforme a Eq. 25:
A s,90
TSd
=
tg θ
s
2 A e f ywd
A s,90
s
A s,90
s
=
6808
50
2 ⋅1000
1,15
tg 38 = 0,0612 cm2/cm = 6,12 cm2/m
= 6,12 cm2/m ≥ As,90mín = 3,58 cm2/m
Armadura longitudinal conforme a Eq. 28:
A sl
TSd
6808
=
=
= 0,1002 cm2/cm
ue
2 A e f ywd tg θ 2 ⋅1000 50 tg 38
1,15
A sl
= 10,02 cm2/m ≥ A sl , mín = 3,58 cm2/m
ue
c6.3) Detalhamento das armaduras
c6.3.1) Armadura longitudinal
A área total de armadura longitudinal é obtida pela soma das armaduras de flexão e de
torção, calculada para cada uma das quatro faces da viga, como:
Face superior:
- da flexão – As = 7,03 cm2
- da torção – As = (bw – he) Asl = (35 – 10) 0,1002 = 2,51 cm2
- As,total = 7,03 + 2,51 = 9,54 cm2 (8 φ 12,5 = 10,00 cm2)
Face inferior:
- da flexão – As = 0,00 cm2
- da torção – As = (bw – he) Asl = (35 – 10) 0,1002 = 2,51 cm2
- As,total = 2,51 cm2 (2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2)
Faces laterais:
- As,total = (h – he) Asl = (50 – 10) 0,1002 = 4,01 cm2 (5 φ 10 mm = 4,00 cm2).
É importante ressaltar que devem ser dispostos 5 φ 10 mm em ambas as faces laterais da
viga. Esta armadura pode atuar também para evitar as fissuras por retração do concreto, não sendo
necessário acrescentar armadura de pele, embora a norma não exija porque a viga não tem altura
superior a 60 cm.
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38
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
c6.3.2) Armadura transversal
A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço
cortante e à torção. A armadura para o esforço cortante resultou igual à armadura mínima, de
0,0358 cm2/cm. Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima do
cortante para um ramo é 0,0358/2 = 0,0179 cm/m2, a armadura transversal total é:
A s,total A sw ,1ramo A s ,90
=
+
= 0,0179 + 0,0612 = 0,0791 cm2/cm = 7,91 cm2/m
s
s
s
onde As,90 representa a área de um ramo do estribo.
O diâmetro do estribo para a torção deve ser igual ou superior a 5 mm e inferior a bw/10 =
350/10 = 35 mm. Fazendo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 6,3 mm tem-se:
0,31
= 0,0791
→ s = 3,9 cm ≤ smáx = 27,6 cm
s
O espaçamento resultou muito pequeno. Fazendo com diâmetro de 8 mm encontra-se:
0,50
= 0,0791 → s = 6,3 cm ≤ smáx = 27,6 cm
s
O espaçamento ainda está pequeno. Fazendo com diâmetro de 10 mm encontra-se:
0,80
= 0,0791 → s = 10,1 cm ≤ smáx = 27,6 cm
s
A Figura 40 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. Como visto, as
armaduras para o momento fletor, para o esforço cortante e para a torção foram calculadas
separadamente e somadas no final. O comprimento do gancho das barras N2 foi aumentado de 10
cm para 40 cm, para garantir uma melhor ancoragem da armadura no pilar.
V1 (35 x 50)
6 N2
N1 - 15 c/10
1 N3
1 N3
5 N4
P1
40
202
2 N5
N2 - 6 φ 12,5 C = 242
30
N3 - 2 φ 12,5 C = 202 (2 a cam)
45
N4 - 2 x 5 φ 10 C = 202
N1 - 15 φ 10 C = 160
N5 - 2 φ 12,5 C = 202
Figura 40 – Armadura final da viga V1.
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
39
Como a viga V2 está apoiada na viga V1 convém posicionar as barras N2 da V2 sobre as
barras N2 da V1.
Os ganchos nas extremidades dos estribos da V1 devem ser inclinados a 45°, como prescrito
pela NBR 6118/03, e com comprimento de 5 φ ≥ 5 cm.
14.2 EXEMPLO 2
Este exemplo refere-se ao projeto estrutural de uma laje em balanço (marquise) engastada na
viga de apoio. A marquise tem a função arquitetônica de proteger a entrada de uma construção. A
Figura 41 mostra uma perspectiva da estrutura. As Figuras 42 e 43 mostram a planta de fôrma da
estrutura e o pórtico do qual a marquise faz parte. Este exemplo tomou como base aquele
encontrado em GIONGO (1994). Para a estrutura pede-se calcular e dimensionar as armaduras da
viga V1.
NOTA: A planta de fôrma da estrutura é desenhada com o observador posicionado no nível inferior
à estrutura que se quer mostrar e olhando para cima. Como as vigas V1, V3 e V6 são invertidas, os
traços de uma das faces das vigas estão desenhados com linha tracejada.
As seguintes informações são conhecidas:
a) marquise acessível a pessoas apenas para serviços de construção e manutenção;
b) o coeficiente de segurança das ações permanentes e variáveis (γf) será tomado como 1,4 (tabela
11.1 NBR 6118/03). O coeficiente de segurança do concreto (γc) será tomado como 1,4;
c) lajes e vigas em concreto aparente (sem revestimentos);
d) sobre a viga V1 há uma parede de alvenaria de bloco cerâmico furado (γalv = 13 kN/m3), com
espessura final de 23 cm e altura de 2,6 m;
e) γconcr = 25 kN/m3, γimperm = 21 kN/m3;
f) espessura média de 3 cm para a camada de impermeabilização e regularização sobre a laje da
marquise;
g) vigas V2, V3 e V6 sem função estrutural;
h) classe II de agressividade ambiental (tabela 6.1 da NBR 6118/03);
i) concreto C25 (tabela 7.1 da NBR 6118/03); aço CA-50;
j) cobrimento nominal de 2,0 cm (item 7.4.7.6 da NBR 6118/03);
k) carga da laje interna na viga V1 (plaje = 5,0 kN/m).
Figura 41 – Perspectiva da estrutura.
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40
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
Laje interna
P3
20/30
h = 10 cm
10
V2 (10 x 40)
A
788
10
10
Corte A
40
V1
V2
10
30
V3
P1
10
140
20
Figura 42 – Planta de fôrma e corte da marquise.
V (20 x 40)
300
40
P1
20/30
260
P2
20/30
P3
20/30
V1 (20 x 40)
40
450
tramo 1
30
tramo 2
30
359
359
417,5
V (20 x 25)
25
Figura 43 – Vista do pórtico com a viga V1.
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30
155
P2
20/30
140
P1
20/30
V6 (10 x 40)
20
A
V7 (20 x 35)
Laje interna
V1 (20 x 40)
V3 (10 x 40)
394
V5 (20 x 35)
V4 (20 x 35)
394
41
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
RESOLUÇÃO
Como a laje em balanço está num nível inferior ao da laje interna à construção, não é
indicado considerar alguma vinculação entre as duas lajes, de modo que a laje em balanço deve ser
considerada engastada na viga V1, onde se apóia. A flexão na laje passa a ser torção na viga,
devendo ser obrigatoriamente considerada. No cálculo dos pilares também deve ser computada a
flexão originária da torção na viga V1.
Caso se quisesse evitar esforços de torção na viga V1 uma solução para isso seria prolongar
as vigas V4, V5 e V7 até a extremidade livre da laje em balanço. Que proporcionam a devida
resistência e equilíbrio da marquise. A laje da marquise passaria a ser uma simples laje apoiada nas
quatro vigas de borda e armada em uma direção, sem engastamento na viga V1, e portanto, sem
torção.
O engastamento da laje em balanço da marquise nas lajes internas da construção seria
possível, desde que ambas as lajes estivessem no mesmo nível superior, o que também eliminaria a
torção na viga V1.
a) Dimensionamento da laje da marquise
Na laje da marquise ocorrem ações uniformemente distribuídas na área da laje e linearmente
distribuídas no contorno externo da marquise, representadas pelas vigas V2, V3 e V6.
a1) Ações uniformemente distribuídas
As cargas atuantes na laje são as seguintes:
- peso próprio
– gpp = 25 . 0,10 = 2,50 kN/m2
- impermeabilização – gimp = 21 . 0,03 = 0,63 kN/m2
- ação variável
– q = 0,5 kN/m2 (laje sem acesso público)
- CARGA TOTAL - p = 3,63 kN/m2
a2) Ações uniformemente distribuídas no contorno
No contorno da laje há a ação do peso próprio das vigas V2, V3 e V6, em concreto aparente:
- gpp,vigas = 25 . 0,10 . 0,30 = 0,75 kN/m
a3) Cálculo das solicitações
Não havendo a possibilidade de engastamento da laje da marquise com as lajes internas do
edifício, a laje em balanço deve ser obrigatoriamente engastada na viga V1. Como a laje é armada
em uma direção, os esforços solicitantes são calculados supondo-se a laje como viga de largura
unitária (1 m), Figura 44.
Vão efetivo da laje:
lef = lo + a1 = 150 + 3 = 153 cm
Vão livre: lo = 150 cm
0,75 kN
3,63 kN/m
5
⎧t / 2 = 20 / 2 = 10 cm
a1 ≤ ⎨ 1
⎩0,3 h = 0,3 ⋅10 = 3 cm
148
∴ a1 = 3 cm
536
-
Os esforços solicitantes máximos são:
3,63 ⋅1,532
M=
+ 0,75 ⋅1,48 = 5,36 kN.m/m
2
V = 3,63 . 1,53 + 0,75 = 6,30 kN/m
M K (kN.cm/m)
6,30
0,75
VK (kN/m)
Figura 44 – Esquema estático, carregamento
e esforços solicitantes máximos.
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42
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
a4) Verificação da laje à força cortante
A laje deve ser verificada quanto à necessidade ou não de armadura transversal. De modo
geral as lajes maciças com cargas baixas, como neste caso, não requerem esse tipo de armadura
transversal, e por isso, o cálculo não será apresentado.
a5) Determinação da armadura de flexão na laje
A determinação da armadura principal negativa, posicionada perpendicularmente ao eixo
longitudinal da viga V1 e junto à face superior da laje, considerando a altura útil d é:
d = h – (c + φ/2) = 10 – (2,0 + 0,63/2) = 7,7 cm
100 ⋅ 7,7 2
Kc =
= 7,9 → da Tabela A1 anexa tem-se Ks = 0,024
1,4 ⋅ 536
1,4 ⋅ 536
A s = 0,024
= 2,34 cm2/m (φ 6,3 c/13 = 2,42 cm2/m)
7,7
A armadura negativa das lajes, segundo as tabelas 19.1 e 17.3 da NBR 6118/03 deve ter o
valor mínimo de:
0,15
A s ,mín = 0,15 % b w h =
100 ⋅10 = 1,50 cm2/m < As = 2,34 cm2/m
100
O espaçamento máximo para laje armada em uma direção deve atender a:
⎧2h = 2 ⋅10 = 20 cm
s≤⎨
∴ s ≤ 20 cm
⎩20 cm
As lajes armadas em uma direção devem ter, posicionada na direção secundária, uma
armadura de distribuição de área igual a 1/5 da área da armadura principal, com o espaçamento
máximo de 33 cm (As,sec = 2,34/5 = 0,47 cm2/m - φ 4,2 c/28 cm = 0,49 cm2/m).
a6) Detalhamento das armaduras
O detalhamento esquemático das armaduras dimensionadas está na Figura 45. Deve-se
observar que a armadura principal da laje em balanço é posicionada junto à face superior, isto é,
onde ocorrem as tensões longitudinais de tração. A armadura principal da laje deve ser
cuidadosamente ancorada na viga onde está engastada. O detalhe das barras N1 no interior da viga
V1 garante a necessária ancoragem.
A armadura inferior (barras N3) não é necessária ao equilíbrio da laje, podendo ser
dispensada. Nas lajes em balanço, no entanto, a sua colocação pode ser útil para aumentar a
segurança da laje numa eventual ruptura, além de aumentar a sua ductilidade e diminuir a flecha,
que deve ser verificada no caso de um projeto completo.
V1
N1
N3
N2 - 6 φ 4,2 c/ 25 CORR
166
6
N1 - 61 φ 6,3 c/ 13 C = 235
36
6
16
N3 - 26 φ 4,2 c/ 30 C = 165
Figura 45 – Detalhamento esquemático das armaduras da laje.
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43
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
b) Dimensionamento da viga V1
Sobre a viga V1 atuam ações provenientes do seu peso próprio, da parede de alvenaria
existente sobre ela, das lajes internas do edifício e da laje em balanço (reação de apoio e momento
fletor na seção de engastamento da laje, que leva à torção da viga). Todas essas ações são
uniformemente distribuídas ao longo do comprimento da viga.
b1) Ações a considerar
- peso próprio
- parede
- laje externa (marquise)
- laje interna
- CARGA TOTAL
– gpp = 25 . 0,20 . 0,40 = 2,00 kN/m
– gpar = 13 . 0,23 . 2,60 = 7,77 kN/m
– plaje = 6,30 kN/m
– plaje = 5,0 kN/m
– p = 21,07 kN/m
b2) Esforços solicitantes
O modelo adotado para o esquema estrutural da viga, para a determinação dos momentos
fletores e torçores e forças cortante, é aquele que considera a viga vinculada aos pilares extremos
por meio de engastes elásticos (molas). Para a avaliação dos momentos torçores há que se
considerar os dois tramos da viga engastados nos pilares P1, P2 e P3.
Os vãos efetivos da viga são: lef = lo + a1 = 359 + 12 +12 = 383 cm
Vão livre: lo = 359 cm (394 + 10 – 30 – 15)
⎧t / 2 = 30 / 2 = 15 cm
∴ a1 = 12 cm
a1 ≤ ⎨ 1
0,3
h
=
0,3
⋅
4
0
=
12
cm
⎩
O apoio interno da viga (pilar P2) pode ser considerado como um apoio simples, pois de
acordo com o esquema mostrado na Figura 43 tem-se que o comprimento de flambagem do lance
inferior do pilar é le = 450 cm e le/4 = 450/4 = 112,5 cm.
Como a dimensão do pilar na direção da viga (bint = 30 cm) é menor que le/4 (112,5 cm)
deve-se considerar o pilar interno como um apoio simples. A viga deveria ser considerada
engastada no pilar P2 caso bint resultasse maior que le/4.
A Figura 46 mostra o esquema estático da viga, com os carregamentos atuantes, vãos
efetivos, numeração das barras e nós, etc. Para determinação dos esforços solicitantes na viga pode
ser utilizado algum programa computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o
programa para cálculo de pórtico plano, chamado PPLAN4, de CORRÊA et al. (1992).
y
21,07 kN/m
1
1
2
191,5
2
191,5
383
3
3
4
191,5
4
5
x
191,5
383
Figura 46 - Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barras da viga V1.
Considerando que os pilares extremos P1 e P3, nos quais a viga se encontra vinculada, estão
engastados na estrutura de fundação (bloco de duas estacas e vigas baldrames), o coeficiente de
rigidez do lance inferior do pilar será tomado como 4EI/le . Quando o pilar for considerado apoiado
na estrutura de fundação, o coeficiente de rigidez poderá ser tomado como 3EI/le . Pilares sobre
blocos de uma estaca devem ser considerados apoiados.
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
44
A rigidez da mola que vincula a viga a esses pilares é avaliada por:
Kmola = Kp,sup + Kp,inf
O módulo de elasticidade do concreto tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte
expressão (NBR 6118/03, item 8.2.8):
E ci = 5600 f ck = 5600 25 = 28.000 MPa = 2.800 kN/cm2
O módulo de elasticidade secante (Ecs) vale:
Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 2800 = 2.380 kN/cm2
O momento de inércia dos lances inferior e superior do pilar é:
b h 3 20 . 30 3
=
= 45.000 cm4
Ip,sup = Ip,inf =
12
12
Observe que a dimensão do pilar considerada ao cubo é aquela coincidente com a direção
longitudinal da viga.
Os coeficientes de rigidez dos lances inferior e superior do pilar são:
4 ⋅ 2380 ⋅ 45000
= 952.000 kN.cm
Kp,inf =
450
4 ⋅ 2380 ⋅ 45000
Kp,sup =
= 1.428.000 kN.cm
300
Rigidez da mola:
Kmola = 952.000 + 1.428.000 = 2.380.000 kN.cm
Para os coeficientes de mola foram considerados os comprimentos de flambagem do pilar, e
não a metade deles como preconizado pela NBR 6118/03.
A viga em questão tem simetria de geometria e carregamento no pilar interno (nó 3). A viga
pode, por simplicidade, ser calculada considerando-se apenas os nós 1, 2 e 3, e as barras 1 e 2. Para
isso deve-se fazer o nó 3 com restrição de rotação, além das restrições de apoio simples. Os
resultados devem ser idênticos aqueles para a viga completa.
O arquivo de dados de entrada no programa, considerando a simetria, tem o aspecto:
OPTE,0,2,0,0,2,
CONCRETO II
EXEMPLO 2
V 1 (20 x 40)
NOGL
1,3,1,0,0,383,0,
RES
1,1,1,2,0,0,2380000,
3,1,1,1,
BARG
1,2,1,1,1,2,1,1,1,
PROP
1,1,800,106667,40,
MATL
1,2380,
FIMG
CARR1
CBRG
1,2,1,1,-0.2107,1,
FIMC
FIME
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45
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
A Figura 47 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores (valores
característicos máximos) obtidos no programa PPLAN4. A listagem dos resultados calculados pelo
programa encontra-se no Anexo B2. Na Figura 47 também estão incluídos os esforços de torção,
provocados pelo momento fletor na laje em balanço (5,36 kN.m), que é momento de torção
solicitante na viga.
Os momentos de torção máximos nos apoios foram calculados considerando-se os tramos da
viga biengastados. Conforme mostrado na Figura 47 os valores são:
Tk =
5,36 ⋅ 3,83
= 10,26 kN.m = 1.026 kN.cm
2
5,36 kN.m
5,36 kN.m
P1
P2
P3
3,83 m
3,83 m
10,26
10,26
TK (kN.m)
10,26
10,26
45,7
35,0
VK (kN)
45,7
35,0
~ 172
3254
M K(kN.cm)
~ 57
-
1218
+
1218
~ 90
1690
1690
Figura 47 – Diagramas de esforços solicitantes característicos.
A flecha calculada pelo programa para o nó 2 (0,07 cm) não é a flecha máxima no vão, mas
é próxima a ela, de modo que serve como um indicativo da deslocabilidade da viga. Um valor mais
próximo da flecha máxima poderia ser obtido colocando-se outros nós à esquerda do nó 2 indicado
na Figura 46. A flecha de 0,07 cm é muito pequena e com certeza inferior à flecha máxima
permitida para a viga.
b3) Dimensionamento das armaduras
Serão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal, para os esforços solicitantes
de força cortante, momentos fletores e torçores.
b3.1) Armadura mínima de flexão
A armadura mínima de flexão é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com:
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup
f ctk ,sup = 1,3 f ct ,m = 1,3 . 0,3 3 f ck 2 = 1,3 . 0,3 3 25 2 = 3,33 MPa
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
46
b h 3 20 . 403
=
= 106.667 cm3
12
12
I 106667
W0 = =
= 5333 cm3
(no estádio I, y é tomado na meia altura da viga)
y
20
Md,mín = 0,8 . 5333 . 0,333 = 1.421 kN.cm
I=
Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo:
b d 2 20 . 37 2
Kc = w
=
= 19,3
⇒ da Tabela A1 anexa tem-se Ks = 0,023.
Md
1421
M
1421
= 0,88 cm2
A s = K s d = 0,023
d
37
Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BASTOS, 2005) para seção retangular e concreto
C25, a taxa mínima de armadura (ρmín) deve ser de 0,15 % Ac, portanto:
(2 φ 10 mm = 1,60 cm2)
As,mín = 0,0015 . 20 . 40 = 1,20 cm2 > 0,88 cm2
b3.2) Armadura de pele
A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. Para
a viga com largura de 20 cm e a altura de 40 cm não devem surgir fissuras por retração.
b3.3) Momento fletor negativo
b3.3.1) Apoio interno (P2)
Mk = - 3.254 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . (- 3.254) = - 4.556 kN.cm
Para a altura da viga de 40 cm será adotada a altura útil de 37 cm. A largura colaborante da
laje em balanço para formar uma seção L com a viga, conforme o item 14.6.2.2 da NBR 6118/03, é:
b3 = 0,10 (0,6 . 383) = 23 cm
bf = bw + b3 = 20 + 23 = 43 cm
b d 2 43 . 37 2
Kc = f
=
= 12,9
Md
4556
Da Tabela A1 anexa tem-se:
βx = x/d = 0,06 ≤ 0,50, Ks = 0,024 e domínio 2.
M
4556
= 2,95 cm2 > As,mín = 1,20 cm2
A s = K s d = 0,024
d
37
4 φ 10 mm = 3,20 cm2 ou 2 φ 12,5 + 1 φ 8 = 3,00 cm2
No caso de se adotar 4 φ 10 na primeira camada, a distância livre horizontal entre as barras
deve ser superior a 25 mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o
diâmetro do estribo igual a 6,3 mm, para 4 φ 10 mm a distância livre resulta:
20 − [2 (2,0 + 0,63) + 4 . 1,0]
eh =
= 3,6 cm
3
distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador.
b3.3.2) Apoios extremos (P1 e P3)
Mk = - 1.218 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . (- 1.218) = - 1.705 kN.cm
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47
b f d 2 43 . 37 2
Kc =
=
= 34,5
Md
1705
M
1705
= 1,06 cm2 < As,mín = 1,20 cm2
A s = K s d = 0,023
d
37
2 φ 10 mm = 1,60 cm2
b3.3.3) Momento fletor máximo positivo
Mk = 1.690 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . 1.690 = 2.366 kN.cm
Na seção do máximo momento positivo pode-se considerar a contribuição da laje interna
para formar uma seção L, dado que a laje está comprimida:
b1 = 0,10 (0,6 . 383) = 23 cm
bf = bw + b1 = 20 + 23 = 43 cm
b f d 2 43 . 37 2
=
= 24,5
Md
2366
M
2366
= 1,47 cm2 > As,mín = 1,20 cm2
A s = K s d = 0,023
d
37
2 φ 10 mm = 1,60 cm2
Kc =
b3.3.4) Armadura longitudinal máxima
A soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não deve ter valor maior que
4 % Ac, calculada na região fora da zona de emendas. Para a viga em questão, as taxas de armadura
longitudinais são pequenas e não superam a taxa de armadura máxima.
b4) Dimensionamento da armadura transversal ao esforço cortante
A resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas
desenvolvidas e apresentadas na apostila de Cortante em Vigas (BASTOS, 2005). Será adotado o
Modelo de Cálculo II com ângulo θ de 38° para a inclinação da diagonais comprimidas, valor esse
intermediário entre seção retangular e seção T.
b4.1) Pilar interno P2
Vk = 45,7 kN.cm
VSd = γf . Vk = 1,4 . 45,7 = 64,0 kN
a) Verificação das diagonais de compressão
Da Tabela 3 da apostila de Cortante em Viga, para o concreto C25, determina-se a força
cortante última ou máxima:
VRd2 = 0,87 b w . d . sen θ . cos θ = 0,87 . 20 . 37 . sen 38 . cos 38 = 312,3 kN
VSd = 64,0 kN < VRd2 = 312,3 kN
∴ não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão.
b) Cálculo da armadura transversal
Da mesma Tabela 3, para o concreto C25, a equação para determinar a força cortante
correspondente à armadura mínima é:
VSd,mín = 0,040. b w . d . cot g θ + Vc1
V − VSd
Vc1 = Vc0 Rd 2
VRd 2 − Vc 0
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48
Com Vc0 :
⎛
0,3 3 25 2 ⎞⎟
Vc0 = 0,6 f ctd b w d = 0,6 ⎜ 0,7
20 . 37 = 56,9 KN
⎜
10 . 1,4 ⎟
⎠
⎝
312,3 − 64,0
Vc1 = 56,9
= 55,3 kN
312,3 − 56,9
VSd,mín = 0,040 . 20 . 37 . cotg 38 + 55,3 = 93,2 kN
VSd = 64,0 kN < VSd,mín = 93,2 kN→ portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima
A armadura mínima é calculada pela equação:
20 f ctm
2
A sw ,mín =
b w (cm2/m), com f ctm = 0,3 3 f ck = 0,3 3 25 2 = 2,56 MPa
f ywk
A sw,mín =
20 . 0,256
. 20 = 2,05 cm2/m
50
A força cortante de cálculo nos pilares extremos (VSd = 49,0 kN) é também menor que a
força cortante mínima, o que significa que a armadura mínima deve se estender ao longo dos dois
tramos livres da viga V1.
b4.2) Detalhamento da armadura transversal
a) Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒ φt ≤ 200/10 ≤ 20 mm
b) Espaçamento máximo:
0,67 VRd2 = 0,67 . 312,3 = 209,2 kN
s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm
VSd,máx = 64,0 < 209,2 kN ⇒
0,6 d = 0,6 . 37 = 22,2 cm ⇒
Portanto, s ≤ 22 cm
b5) Ancoragem das armaduras longitudinais
b5.1) Armadura positiva nos pilares extremos P1 e P3
Como a viga tem simetria de carregamento e geometria, a ancoragem nos pilares P1 e P3 é
idêntica.
O valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (al) segundo o modelo de
cálculo II, com VSd = 49,0 kN é:
a l = 0,5 d (cot g θ − cot g α) = 0,5 . 37 (cotg 38 – cotg 90)
al = 23,6 cm ≥ 0,5 d = 0,5 . 37 = 18,5 cm
Conforme a Eq. 18 da apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 2005), a armadura a
ancorar no apoio, com NSd nula, é:
1 ⎛ 23,6
1 ⎛ al
⎞
⎞
A s ,anc =
49,0 ⎟ = 0,72 cm2
⎜ VSd + N Sd ⎟ =
⎜
50
f yd ⎝ d
⎠
⎝ 37
⎠
1,15
A armadura calculada a ancorar no apoio deve atender à armadura mínima, dada pelas
relações:
M vão
⎧1
⎪⎪ 3 A s ,vão se M apoio = 0 ou negativo e M apoio ≤ 2
A s ,anc ≥ ⎨
M vão
⎪1 A
⎪⎩ 4 s,vão se M apoio = negativo e M apoio > 2
Md,apoio = - 1.705 kN.cm > Md,vão/2 = 2.366/2 = 1.183 kN.cm
Portanto, As, anc ≥ 1/4 As,vão = 1,47/4 = 0,37 cm2
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49
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As, anc = 0,72 cm2 > 1/4 As,vão = 0,37 cm2
⇒ portanto, ancorar 0,72 cm2
A armadura positiva do vão adjacente é composta por 2 φ 10 mm, que deverão ser
obrigatoriamente estendidos até os apoios. Portanto, As,ef = 2 φ 10 = 1,60 cm2 > As, anc = 0,72 cm2.
O comprimento de ancoragem mínimo no apoio (lb,mín) é:
⎧r + 5,5 φ
l b,mín ≥ ⎨
⎩6 cm
r = D/2 = 5φ/2 = 5 . 1,0/2 = 2,5 cm
(com D determinado na Tabela 1 da apostila de Ancoragem e Emendas)
r + 5,5φ = 2,5 + 5,5 . 1,0 = 8,0 cm > 6 cm → ∴ lb,mín = 8,0 cm
c
2,0
lb,ef
28
40
O comprimento de ancoragem básico (lb),
conforme a Tabela A2, para barra com diâmetro de
10 mm, concreto C25, aço CA-50, região de boa
aderência e sem gancho é 38 cm.
O comprimento de ancoragem corrigido é:
A
0,72
l b,corr = l b s,anc = 38
= 17,1 cm
A s,ef
1,60
lb,corr
17,1
A s, ef
O comprimento de ancoragem efetivo é:
lb,ef = b – c = 30 – 2 = 28 cm
b
30
Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido (sem gancho)
é inferior ao comprimento de ancoragem efetivo (lb,corr = 17,1 cm < lb,ef = 28 cm). Isto significa que
é possível fazer a ancoragem sem gancho, no comprimento de 17 cm. A favor da segurança pode-se
estender as duas barras até próximo à face externa do pilar e fazer o gancho para a ancoragem ficar
mais eficiente, como mostrado na Figura 50 (barras N5).
b5.2) Armadura positiva no pilar interno P2
Estendendo 2 φ 10 (1,60 cm2) da armadura longitudinal positiva até o pilar interno, esta
armadura deve ser superior à mínima, dada por:
Md,apoio = - 4.556 kN.cm > Md,vão/2 = 2.366/2 = 1.183 kN.cm
Portanto, As, anc ≥ 1/4 As,vão = 1,47/4 = 0,37 cm2
As,ef = 1,60 cm2 > 1/4 As,vão = 0,37 cm2
As duas barras de 10 mm devem se estender pelo menos 10φ além da face do apoio.
b5.3) Armadura negativa nos pilares extremos P1 e P3
A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve
penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho
direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser
de 5φ, como indicado na Figura 48.
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50
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2φ10
35 φ
35 cm
5φ
40
30
Figura 48 – Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos.
b6) Dimensionamento à torção
O momento de torção característico (Tk) é 1.026 kN.cm e o momento de cálculo é:
TSd = 1,4 . 1026 = 1.436 kN.cm
b6.1) Verificação das diagonais comprimidas
Como a torção tem o mesmo valor máximo nos três pilares de apoio, a verificação das
diagonais de compressão será feita para o esforço cortante máximo na viga (pilar P2), a favor da
segurança.
Área da seção transversal: A = bw . h = 20 . 40 = 800 cm2
Perímetro da seção transversal: u = 2 (bw + h) = 2 (20 + 40) = 120 cm
As Eq. 19 e 20 fornecem os limites para a espessura he da parede fina:
A 800
he ≤ =
= 6,7 cm
e he ≥ 2 c1
u 120
Com c = 2,0 cm e supondo φl = 12,5 mm e φt = 6,3 tem-se:
c1 = φl /2 + φt + cnom = 1,25/2 + 0,63 + 2,0 = 3,26 cm
he ≥ 2 . 3,26 = 6,5 cm
Portanto, os limites para he são: 6,5 cm ≤ he ≤ 6,7 cm
Será adotado he = 6,5 cm.
Ae = (bw – he) . (h – he) = (20 – 6,5) . (40 – 6,5) = 452,3 cm2
ue = 2 [(bw – he) + (h – he)] = 2 [(20 – 6,5) + (40 – 6,5)] = 94 cm
O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 23, com ângulo θ (38°) igual ao aplicado
no cálculo da viga ao esforço cortante é:
TRd,2 = 0,5 αv2 fcd Ae he sen 2 θ = 0,5 (1 – 25/250) . (2,5/1,4) 452,3 . 6,5 . sen 2 . 38 = 2.292 kN.cm
Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34
deve-se ter:
VSd
T
+ Sd ≤ 1
VRd 2 TRd 2
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51
A força cortante máxima calculada para a viga é VRd2 = 312,3 kN e a força cortante atuante é
VSd,P2 = 64,0 kN. Substituindo os valores encontra-se:
64,0 1436
+
= 0,83 ≤ 1,0
312,3 2292
Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão.
b6.2) Cálculo das armaduras
As armaduras mínimas, transversal e longitudinal para a torção são iguais à armadura
mínima para o esforço cortante (ver Eq. 32) e já foram calculadas, com valor de 2,05 cm2/m.
Armadura transversal (estribos) conforme a Eq. 25:
A s,90
s
A s,90
s
=
TSd
tg θ =
2 A e f ywd
1436
50
2 ⋅ 452,3
1,15
tg 38 = 0,0285 cm2/cm
= 2,85cm2/m ≥ As,90mín = 2,05 cm2/m
Armadura longitudinal conforme a Eq. 28:
A sl
TSd
1436
=
=
= 0,0467 cm2/cm
ue
2 A e f ywd tg θ 2 ⋅ 452,3 50 tg 38
1,15
A sl
= 4,67 cm2/m ≥ A sl ,mín = 2,05 cm2/m
ue
b6.3) Detalhamento das armaduras
b6.3.1) Armadura longitudinal
A área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculada
para cada uma das quatro faces externas da viga. As diferentes regiões com as maiores armaduras
ao longo dos vãos da viga devem ser analisadas.
Pilares P1 e P3:
Face superior:
- da flexão – As = 1,06 cm2
- da torção – As = (bw – he) A sl = (20 – 6,5) 0,0467 = 0,63 cm2
- As,total = 1,06 + 0,63 = 1,69 cm2 (2 φ 10 = 1,60 cm2)
Face inferior:
- da flexão – As = 0,00 cm2
- da torção – As = (20 – 6,5) 0,0467 = 0,63 cm2
- As,total = 0,63 cm2 (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva do
vão, que se estende até o apoio externo - 2 φ 10 mm = 1,60 cm2)
Faces laterais:
- As,total = (h – he) A sl = (40 – 6,5) 0,0467 = 1,56 cm2 (3 φ 8 mm = 1,50 cm2). Esta
armadura contribui também para evitar possíveis fissuras causadas pela retração do concreto.
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52
Pilar P2 (ambos os lados)
Face superior:
- da flexão – As = 2,95 cm2
- da torção – As = (20 – 6,5) 0,0468 = 0,63 cm2
- As,total = 2,95 + 0,63 = 3,58 cm2 (3 φ 12,5 = 3,75 cm2)
Face inferior:
- da flexão – As = 0,00 cm2
- da torção – As = (20 – 6,5) 0,0467 = 0,63 cm2
- As,total = 0,63 cm2 (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva do
vão, que se estende até o apoio interno - 2 φ 10 mm = 1,60 cm2)
Faces laterais:
- As,total = (40 – 6,5) 0,0467 = 1,56 cm2 (3 φ 8 mm = 1,50 cm2).
b6.3.2) Armadura transversal
A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço
cortante e à torção.
A armadura para o esforço cortante resultou igual à armadura mínima, de 0,0205 cm2/cm, ao
longo de toda a viga.
Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima do cortante
para um ramo é 0,0205/2 = 0,0103 cm/m2, a armadura transversal total é:
A s,total
s
=
A sw ,1ramo
s
+
A s ,90
s
= 0,0103 + 0,0285 = 0,0388 cm2/cm = 3,88 cm2/m
onde As,90 representa a área de um ramo do estribo.
O diâmetro do estribo deve ser superior a 5 mm e inferior a bw/10 = 200/10 = 20 mm.
Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 5 mm (1 φ 5 mm = 0,20 cm2) tem-se:
0,20
= 0,0388
s
s = 5,2 cm < smáx = 22 cm (este espaçamento máximo vale para o cortante e para a torção).
O espaçamento resultou muito pequeno. Considerando o estribo com diâmetro de 6,3 mm
fica:
0,31
= 0,0388
s
→
s = 8,0 cm < smáx = 22 cm
Por questão de simplicidade e a favor da segurança pode-se dispor estribos φ 6,3 c/8 em toda
a extensão do vão livre da viga. A Figura 50 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1.
b7) Detalhamento da armadura longitudinal
O deslocamento (al) do diagrama de momentos fletores de cálculo foi determinado como
23,6 cm (ver item b5.1). O cobrimento do diagrama de momentos fletores deve ser feito apenas para
a armadura negativa no pilar P2, já que as armaduras positivas dos vãos têm apenas duas barras, que
devem se estender obrigatoriamente até os apoios.
Os comprimentos de ancoragem básicos (sem gancho) para barras φ 8, 10 e 12,5 mm, em
região de má aderência, aço CA-50 e concreto C25, conforme a Tabela A-2 anexa são
respectivamente 43 cm, 54 cm e 67 cm.
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53
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A Figura 49 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo. Como a
viga é simétrica o cobrimento foi feito sobre um tramo apenas.
No pilar interno P2 foi considerada a armadura calculada para a flexão (2 φ 12,5 + 1 φ 8
mm). Porém, no detalhamento final a barra φ 8 foi trocada por φ 12,5 por imposição da área
necessária à torção. A armadura positiva, composta por apenas 2 φ 10 mm, é estendida até os dois
apoios.
126
67
lb
= 43
lb = 67
1φ8
face externa do pilar
A
A
86
10 φ
lb = 54
2 φ 12,5
al
2 φ 10
A
10 φ
al
B
B
al
2 φ 10
centro do pilar P2
Figura 49 – Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo.
A Figura 50 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. As barras N6 foram
estendidas até as faces do pilar interno com o propósito de melhorar a ancoragem dessas barras,
dado que elas trabalham também à torção.
V 1 (20 x 40)
3 N3
N1- 45 c/8
N1- 45 c/8
2 x 3 N4
A
P2
P1
P3
35
125
125
N3 - 3 φ 12,5 C = 250
N2 - 2 φ 10 C = 352
35
40
40
N2 - 2 φ 10 C = 352
2 N5
16
36
N1 - 90 φ 6,3 mm
C = 114
N5 - 2 φ 10 C = 417
N5 - 2 φ 10 C = 417
A
Figura 50 – Detalhamento das armaduras finais da viga V1.
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10
10
N4 - 2 x 3 φ 8 CORR
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54
14.3 EXEMPLO 3
As Figuras 51, 52 e 53 mostram a estrutura em três dimensões, a planta de fôrma e um corte
esquemático da estrutura de concreto de uma construção com dois pavimentos. Essa estrutura já
teve a viga VS1 calculada e mostrada na apostila de “Vigas de Edifícios” (BASTOS, 2005). Agora,
a viga VS1 teve seu traçado modificado com o objetivo de introduzir esforços de torção, para este
terceiro exemplo numérico de aplicação.
Para as vigas VS1 e VS6 pede-se projetar e detalhar as suas armaduras. São conhecidos:
concreto C20, aço CA-50, γc = γf = 1,4, γs = 1,15, cnom = 2,0 cm, γrev = 19 kN/m3, γcontr = 21 kN/m3,
γconc = 25 kN/m3, γalv = 13 kN/m3.
OBSERVAÇÕES:
a) há uma parede de vedação em toda a extensão das vigas, constituída por blocos cerâmicos
de oito furos (dimensões de 9 x 19 x 19 cm), espessura final de 23 cm e altura de 2,40m;
b) laje do tipo pré-fabricada treliçada com altura total de 16 cm e peso próprio de 2,33 kN/m2;
c) ação variável (q) nas lajes de 2,0 kN/m2;
d) piso cerâmico sobre as lajes, com γpiso = 0,15 kN/m2;
e) espessura do revestimento inferior da laje = 1,5 cm; espessura do contrapiso = 3,0 cm.
Figura 51 – Perspectiva da estrutura.
RESOLUÇÃO
Todas as vigas do pavimento superior serão representadas em um modelo de grelha, para
assim se determinarem os esforços solicitantes e os deslocamentos verticais (flechas). As vigas
serão consideradas vinculadas aos pilares extremos por meio de engastes elásticos.
Devido à mudança de direção que existe nas vigas VS1 e VS6 entre os pilares P3 e P6,
surgem esforços de torção nas vigas nesses trechos.
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55
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719
330
389
VS1 (19 x 60)
P2
19/19
19/30
P3
19/30
284
16
45
523
P1
VS2 (19 x 70)
VS5 (19 x 45)
523
P6
19/30
19/30
VS6 (19 x 60)
P5
19/30
VS4 (19 x 45)
P4
VS3 (19 x 60)
P7
P8
19/19
P9
19/30
719
19/19
719
Figura 52 – Planta de fôrma do pavimento superior com as vigas VS1 e VS6.
VC1 (19 x 60)
300
60
P1
P2
19/19
19/30
240
P3
19/30
VS1 (19 x 60)
VS6
60
tramo 2
300
tramo 1
19
700
255
19
tramo 3
305,5
VB1 (19 x 30)
30
Figura 53 – Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1.
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56
a) Vãos efetivos
a1) Lajes
O vão efetivo da laje pré-fabricada é de centro a centro dos apoios dos trilhos ou nervuras,
portanto, igual a 523 cm.
a2) Vigas
Por questão de simplicidade e porque o erro cometido será pequeno e a favor da segurança,
na discretização dos nós da grelha os apoios verticais (pilares) serão considerados no centro
geométrico dos pilares. Essa simplificação leva a vãos para as vigas um pouco maiores que aqueles
que resultariam caso se considerassem os vão efetivos.
b) Estimativa da altura das vigas
A largura das vigas foi adotada igual à dimensão do bloco cerâmico de oito furos assentado
na posição deitada, ou seja, na dimensão de 19 cm. Sendo o concreto do tipo C20, para a estimativa
da altura da viga VS1 foi aplicada a seguinte equação, relativa ao seu maior vão:
h=
l ef 719
=
= 59,9 cm
12
12
∴ h = 60 cm
A viga VS6 terá a mesma seção transversal da VS1, isto é, 19 x 60 cm.
Como as vigas têm lajes apoiadas em toda a extensão dos vãos, a estabilidade lateral está
garantida.
c) Cargas na laje e nas vigas
Como se pode observar na Figura 52, existe o carregamento da laje pré-fabricada sobre a
viga VS1, pois as nervuras da laje nela se apóiam. Na viga VS6 a laje aplica apenas uma pequena
parcela de carga, dado que as nervuras da laje não se apóiam nessa viga.
c1) Lajes
Para a laje de piso do pavimento superior considerou-se a laje do tipo pré-fabricada
treliçada, com altura total de 16 cm e peso próprio de 2,33 kN/m2. A carga total por m2 da área da
laje é:
- peso próprio:
gpp = 2,33 kN/m2
- revestimento teto:
grev = 19 . 0,015 = 0,29 kN/m2
- contrapiso:
gcontr = 21 . 0,03 = 0,63 kN/m2
- piso:
gpiso = 0,15 kN/m2
- ação variável:
q = 2,00 kN/m2
CARGA TOTAL:
p = 5,40 kN/m2
c2) Viga VS1
Considerando a carga total na viga consistindo de uma parede apoiada sobre toda a sua
extensão (composta por blocos furados de peso específico 13 kN/m3, com espessura final de 23 cm
e altura de 2,40 m), da laje pré-fabricada com carga total de 5,40 kN/m2, e o peso próprio da viga
(com seção transversal de 19 x 60 cm), o carregamento total atuante nos vãos entre os pilares P1 e
P3 é:
- peso próprio:
gpp = 25 . 0,19 . 0,60 = 2,85 kN/m
- parede:
gpar = 13 . 0,23 . 2,40 = 7,18 kN/m
- laje:
plaje = 5,40 . (5,23/2) = 14,12 kN/m
CARGA TOTAL:
P = 24,15 kN/m
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57
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
No trecho onde ocorre a mudança de direção, entre o pilar P3 e a viga VS6, a carga da laje
na VS1 foi diminuída proporcionalmente à diminuição do comprimento das nervuras da laje. O vão
entre o pilar P6 e a viga VS6 foi dividido ao meio para separar dois trechos de carga, com as
nervuras da laje tendo os comprimentos médios de 474 cm e 341 cm. A carga da laje foi calculada
segundo esses comprimentos médios (Figura 54).
389
474
P5
523
19/30
285
P3
341
19/30
474
P2
P6
19/30
19/30
Figura 54 – Comprimentos médios considerados para as nervuras da laje no final da viga VS1.
c3) Viga VS6
A carga da laje na viga foi calculada como sendo a correspondente à metade da largura da
lajota (30 cm). A carga atuante na viga VS6 é:
- peso próprio:
- parede:
- laje:
CARGA TOTAL:
gpp = 25 . 0,19 . 0,60 = 2,85 kN/m
gpar = 13 . 0,23 . 2,40 = 7,18 kN/m
glaje = 5,40 . (0,30/2) = 0,81 kN/m
p = 10,84 kN/m
d) Modelo de grelha para as vigas do pavimento
Os pilares internos das vigas podem ser considerados como apoios simples em função da
largura dos pilares ser menor que um quarto do comprimento de flambagem dos pilares:
comprimento de flambagem do pilar (le) = 300 cm; le/4 = 300/4 = 75 cm
largura do apoio (bint) = 19 cm < le/4 = 75 cm
A NBR 6118/03 considera que a flexão das vigas contínuas calculadas isoladamente com os
pilares extremos seja obrigatoriamente considerada. Neste exemplo, as vigas serão consideradas
vinculadas aos pilares extremos por meio de engastamentos elásticos (molas). No pilar P3 não se
considerou a mola devido à continuidade das vigas VS1 e VS6 neste pilar.
Para determinação dos esforços solicitantes na grelha pode ser utilizado algum programa
computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa chamado GLAN4, de
CORRÊA et al. (1992). Na Figura 55 mostra-se o modelo de grelha representativo do pavimento
superior, com a numeração dos nós e das barras. Os números externos ao modelo são as
propriedades das barras. No total são 16 nós e 19 barras. Alguns nós no meio das barras não são
necessários ao modelo; foram introduzidos apenas para fornecerem uma indicação das flechas nas
vigas.
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58
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
3
4
1
4
9
10
13
11
1
12
15
14
16
12
17
13
11
19
3
14
6
5
6
7
2
8
7
8
9
10
y
16
1
18
x
2
1
2
15
3
3
4
5
1
4
Figura 55 – Numeração dos nós, das barras e das propriedades das barras.
d1) Rigidez da mola
A rigidez da mola pode ser avaliada pela equação: Kmola = Kp,sup + Kp,inf
Como os comprimentos de flambagem dos lances inferior e superior e a seção transversal
dos pilares extremos são idênticos, as rigidezes dos lances inferior e superior são iguais e valem:
4 EI
Kp,sup = Kp,inf =
le
8 EI
A rigidez da mola vale portanto: K mola =
le
No cálculo da rigidez das molas será tomado o comprimento de flambagem dos pilares e não
a metade como preconizado pela NBR 6118/03.
O módulo de elasticidade do concreto tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte
expressão (NBR 6118/03, item 8.2.8):
E ci = 5600 f ck = 5600 20 = 25.044 MPa = 2.504,4 kN/cm2
O módulo de elasticidade secante (Ecs) é:
Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 2504,4 = 2128,7 kN/cm2
O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P1, P7 e P9 é:
19 . 193
= 10.860 cm4
Ip,sup = Ip,inf =
12
Rigidez da mola:
8 EI 8 . 2128,7 . 10860
=
= 616.476 kN.cm
K mola =
le
300
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
59
O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P4 e P6 é:
30 . 19 3
Ip,sup = Ip,inf =
= 17.148 cm4
12
Rigidez da mola:
8 EI 8 . 2128,7 . 17148
=
K mola =
= 973.384 kN.cm
le
300
O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P2 e P8 é:
19 . 30 3
= 42.750 cm4
Ip,sup = Ip,inf =
12
Rigidez da mola:
8 EI 8 . 2128,7 . 42750
=
= 2.426.718 kN.cm
K mola =
le
300
d2) Arquivo de dados
Para o arquivo de dados da grelha seguiram-se as recomendações contidas no manual de
utilização do programa GPLAN4 e no Manual para sua utilização (BASTOS, 1995). Para o módulo
de elasticidade do concreto adotou-se o valor de 2.128 kN/cm2.
Para o módulo de elasticidade transversal (G) pode-se utilizar 0,20 Ecs, o que resulta 476
2
kN/cm . Para a grelha em questão foi adotado um valor um pouco superior, de 480 kN/cm2.
Nas barras com mudança de direção (12, 13 e 14) é necessário considerar o momento de
inércia à torção. Nas demais barras, sem torção, apenas um valor pequeno deve ser adotado, como
100 por exemplo.
Os momentos de inércia à torção (J) das barras 12, 13 e 14 foram calculados com a Eq. 38 e
a Tabela 2, considerando a seção transversal 19 x 60 cm:
n=
b 19
=
= 0,317
h 60
J = j b 3 h = 0,266 ⋅193 ⋅ 60 = 109.470 cm4
O arquivo de dados de entrada para o programa GPLAN4 tem o aspecto:
OPTE,0,2,0,0,2,
TORCAO
EXEMPLO 3 - COM MOLAS
GRELHA PAV.
NOGP
1,5,1,0,0,1438,0,
6,10,5,0,523,1438,523,
NOGL
11,12,1,1438,807,1244,925,
13,15,1,0,1046,719,1046,
NO
16,1049,1046,
RESG
1,5,4,1,2,2,0,616476,616476,
6,10,4,1,0,2,0,0,973384,
3,15,12,1,2,0,0,2426718,
RES
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60
13,1,2,2,0,616476,616476,
8,1,
16,1,
BARG
1,4,1,1,1,2,1,1,1,
5,8,1,6,1,7,1,2,1,
9,11,1,13,1,14,1,1,1,
12,13,1,16,-4,12,-1,3,1,
16,17,1,1,5,6,7,4,1,
18,19,1,3,5,8,7,4,1,
BAR
14,11,10,3,1,
15,10,5,1,1,
PROP
1,1,1140,342000,100,60,
2,1,1330,543083,100,70,
3,1,1140,342000,109470,60,
4,1,855,144281,100,45,
MATL
1,2128,480,
FIMG
CARR1
CBRG
1,4,1,1,-.2415,1,
5,8,1,1,-.3844,1,
9,11,1,1,-.2415,1,
14,15,1,1,-.1084,1,
16,17,1,1,-.1057,1,
18,19,1,1,-.1138,1,
CBR
12,1,-.2283,1,
13,1,-.1926,1,
FIMC
FIME
d3) Esforços solicitantes
As Figuras 56 e 57 mostram os diagramas de esforços solicitantes característicos (forças
cortantes, momentos fletores e momentos torçores) obtidos no programa GPLAN4 para as vigas
VS1 e VS6, respectivamente. A listagem completa dos resultados calculados pelo programa
encontra-se no Anexo B3.
A flecha calculada pelo programa para os nós 2 (0,43 cm), 7 (0,44 cm), 14 (0,60 cm), 11
(1,04 cm) e 12 (0,69 cm), embora não sendo as flechas máximas da viga, servem como indicativos
da deslocabilidade da viga. A maior flecha, de 1,04 cm no nó 11 é muito próxima à máxima
permitida pela NBR 6118/03.
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61
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V k (kN)
74,2
P2
P1
Barras 12 e 13
58,2
66,2
13,5
P3
99,5
37,9
10810
Mk
(kN.cm)
~325
1790
-
Barras 12 e 13
1721
P2
P1
~130
+
2101
P3
+
1918
5636
9638
Tk
(kN.cm)
Barras 12 e 13
P2
P3
1099
Figura 56 – Diagrama de esforços solicitantes característicos na viga VS1.
68,7
37,9
2,4
54,3
P9
P6
V k (kN)
Barra 14
13188
372
P6
P9
+ 1940
Mk
(kN.cm)
~ 416
Barra 14
Barra 14
P6
P9
1059
1059
Tk
(kN.cm)
Figura 57 – Diagrama de esforços solicitantes característicos na viga VS6.
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62
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Com relação aos momentos fletores positivos é importante analisar os vãos entre os pilares
P2 e P3 da viga VS1 e o vão entre os pilares P9 e P6 da viga VS6.
Na Figura 58 encontra-se o esquema para obtenção do momento fletor máximo positivo na
viga VS1, no tramo entre os pilares P2 e P3.
24,15 kN/m
1
1
2
330
Figura 58 – Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barra para obtenção do
momento fletor positivo considerando engaste no apoio interno P2 da viga VS1.
O arquivo de dados de entrada para o programa PPLAN4 tem o aspecto apresentado abaixo
e a listagem dos resultados encontra-se no Anexo B4.
OPTE,0,2,0,0,2,
CONCRETO II - TORCAO
MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO
VS 1 (19 x 60)
NOGL
1,2,1,0,0,330,0,
RES
1,1,1,1,
2,1,1,
BAR
1,1,2,1,1,
PROP
1,1,1140,342000,60,
MATL
1,2128,
FIMG
CARR1
CBR
1,1,-0.2415,1,
FIMC
FIME
O máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 58, conforme o
arquivo de dados acima, resultou 1.840 kN.cm. Esse momento positivo deve ser considerado no
dimensionamento do tramo, que no modelo de grelha apresentou somente momentos fletores
negativos.
Para verificação do máximo momento fletor positivo na viga VS6, entre os pilares P9 e P6,
será calculado o momento considerando o vão engastado no pilar P6 e com engaste elástico no pilar
P9 (Figura 59). Na rigidez da mola do engaste elástico será considerado apenas o lance inferior do
pilar, considerando que o lance superior do pilar ainda não esteja construído.
O momento de inércia do lance inferior do pilar P9 é:
b h 3 19 . 193
=
= 10.860 cm4
Ip,sup = Ip,inf =
12
12
Rigidez da mola:
4 EI 4 . 2128,7 . 10860
=
= 308.238 kN.cm
K mola =
le
300
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63
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
y
10,84 kN/m
1
1
2
x
523
Figura 59 – Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barras para obtenção do
momento fletor positivo considerando engaste no apoio interno da viga VS6.
O arquivo de dados de entrada para o programa PPLAN4 tem o aspecto apresentado abaixo
e a listagem dos resultados encontra-se nos Anexos.
OPTE,0,2,0,0,2,
CONCRETO II - TORÇÃO
MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO
VS 6 (19 x 60)
NOGL
1,2,1,0,0,523,0,
RES
1,1,2,0,308238,
2,1,1,1,
BAR
1,1,1,2,1,1,
PROP
1,1,1140,342000,60,
MATL
1,2128,
FIMG
CARR1
CBR
1,1,-0.1084,1,
FIMC
FIME
O máximo momento fletor positivo para o esquema mostrado na Figura 59, conforme o
arquivo de dados acima, resulta 2.023 kN.cm, muito superior ao valor de 372 kN.cm calculado para
a viga contínua (Figura 57). No dimensionamento da armadura positiva do tramo deve ser
considerado o maior valor entre os dois.
e) Armadura mínima de flexão
Para a seção transversal 19 x 60 cm a armadura mínima de flexão é:
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup
f ctk ,sup = 1,3 f ct ,m = 1,3 . 0,3 3 f ck 2 = 1,3 . 0,3 3 20 2 = 2,87 MPa
b h 3 19 . 603
=
= 342.000 cm3
12
12
I 342000
W0 = =
= 11.400 cm3
(no estádio I, y é tomado na meia altura da viga)
y
30
Md,mín = 0,8 . 11400 . 0,287 = 2.617 kN.cm
I=
Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo:
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64
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b w d 2 19 . 55 2
Kc =
=
= 22,0
⇒ da Tabela A1 anexa tem-se Ks = 0,023.
Md
2617
M
2617
A s = K s d = 0,023
= 1,09 cm2
d
55
Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BASTOS, 2005) para seção retangular e concreto
C20, a taxa mínima de armadura (ρmín) deve ser de 0,15 % Ac, portanto:
As,mín = 0,0015 . 19 . 60 = 1,71 cm2 > 1,09 cm2
(2 φ 10 mm = 1,60 cm2)
f) Armadura de pele
A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No
entanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem em vigas com altura superior a 50 cm, será
colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % Ac (área da armadura de pele conforme a NBR
6118/80), em cada face da viga:
As,pele = 0,0005 . 19 . 60 = 0,57 cm2
4 φ 4,2 mm = 0,56 cm2 em cada face, distribuídos ao longo da altura (ver Figura 63).
g) Dimensionamento das armaduras da viga VS1
Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais, para os esforços solicitantes
de M, V e T.
g1) Armadura longitudinal de flexão
Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores
máximos, positivos e negativos.
g1.1) Momento fletor negativo
g1.1.1) Apoio interno P2
Mk = - 10.810 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . (-10.810) = - 15.134 kN.cm
Para a altura da viga de 60 cm será adotada a
altura útil de 56 cm:
b d 2 19 . 56 2
= 3,9
Kc = w
=
Md
15134
Da Tabela A1 anexa tem-se:
βx = x/d = 0,30 ≤ 0,50, Ks = 0,026 e domínio 3.
M
15134
A s = K s d = 0,026
= 7,03 cm2
d
56
2
6 φ 12,5 mm = 7,50 cm
6 φ 12,5
eh
A distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 25
mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5
mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta:
19 − [2 (2,0 + 0,5) + 4 . 1,25]
eh =
= 3,0 cm
3
distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador com φag = 25 mm.
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65
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
g1.1.2) Apoio interno P3
Neste pilar, devido aos esforços de torção, ocorrem dois diferentes valores para o momento
fletor negativo. O cálculo será feito para o maior valor, de 2.101 kN.cm.
Md = γf . Mk = 1,4 . (- 2.101) = - 2.941 kN.cm
b w d 2 19 . 57 2
2φ10
Kc =
=
= 21,0
Md
2941
Da Tabela A1 anexa tem-se:
βx = x/d = 0,05 ≤ 0,50, Ks = 0,024 e domínio 2.
M
2101
A s = K s d = 0,024
= 1,24 cm2 < As,mín
d
57
2
(As,mín = 1,71 cm → 2 φ 10 mm)
g1.1.3) Apoio extremo P1
Mk = - 1.721 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . (- 1.721) = - 2.409 kN.cm
Md = 2.409 < Md,mín = 2.617 kN.cm
∴As = As,mín = 1,71 cm2 → 2 φ 10 mm
2φ10
g1.1.4) Momento fletor positivo entre os pilares P1 e P2
Mk = 9.638 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . 9.638 = 13.493 kN.cm
Como a laje adjacente à viga é do tipo nervurada pré-fabricada, com capa de concreto de
espessura 4,0 cm, normalmente não se considera a contribuição dessa capa de pequena espessura
para formar a mesa da seção T, de modo que a viga deve ser então calculada como seção retangular.
b d 2 19 . 57 2
= 4,6
Kc = w
=
Md
13493
Da Tabela A1 anexa tem-se:
βx = x/d = 0,25, Ks = 0,026 e domínio 2.
M
13493
A s = K s d = 0,026
= 6,15 cm2
d
57
3 φ 16 = 6,00 cm2 ou
5 φ 12,5 = 6,25 cm2
(arranjo indicado para construções de pequeno porte).
5 φ 12,5
g1.1.5) Momento fletor positivo entre os pilares P2 e P3
Mk = 1.841 kN.cm
(ver listagem de resultados no Anexo B5)
Md = 1,4 . 1841 = 2.577 kN.cm < Md,mín = 2.617
∴As = As,mín = 1,71 cm2 → 2 φ 10 mm
2 φ 10
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66
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g1.1.6) Momento fletor positivo à direita do pilar P3
Mk = 5.636 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . 5.636 = 7.890 kN.cm
b w d 2 19 . 57 2
Kc =
=
= 7,8
Md
7890
Da Tabela A1 anexa tem-se:
βx = x/d = 0,14, Ks = 0,024 e domínio 2.
M
7890
A s = K s d = 0,024
= 3,32 cm2
d
57
3 φ 12,5 = 3,75 cm2
3 φ 12,5
g2) Armadura transversal ao esforço cortante
O dimensionamento ao esforço cortante será feito com as equações simplificadas
apresentadas na apostila de Cortante em Vigas, de BASTOS (2005). Sendo a seção retangular será
considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de inclinação das diagonais de 38°. O cálculo
está apresentado apenas para a força cortante máxima na viga VS1; para as demais forças cortantes
a armadura está apenas indicada.
g2.1) Pilar interno P2
Vk = 99,5 kN.cm
VSd = γf . Vk = 1,4 . 99,5 = 139,3 kN
g2.1.1) Verificação das diagonais de compressão
Para o concreto C20 determina-se a força cortante última ou máxima:
VRd2 = 0,71 b w . d . sen θ . cos θ = 0,71 . 19 . 56 . sen 38 . cos 38 = 366,5 kN
VSd = 139,3 < VRd 2 = 366,5 kN → não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão
g2.1.2) Cálculo da armadura transversal
Para o concreto C20 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura
mínima é:
VSd,mín = 0,035. b w . d . cot g θ + Vc1
V − VSd
Vc1 = Vc0 Rd 2
VRd 2 − Vc 0
Com Vc0 :
⎛
0,3 3 20 2 ⎞⎟
Vc0 = 0,6 f ctd b w d = 0,6 ⎜ 0,7
19 . 56 = 70,6 KN
⎜
10 . 1,4 ⎟
⎝
⎠
366,5 − 139,3
Vc1 = 70,6
= 54,2 kN
366,5 − 70,6
VSd,mín = 0,035. 19 . 56 . cot g 38 + 54,2 = 101,9 kN
VSd = 139,3 > VSd ,mín = 101,9 kN → portanto, deve-se calcular a armadura transversal p/ VSd
Da equação para Asw na Tabela 3 da apostila de Cortante em Vigas (concreto C20):
(V − Vc1 ) = 2,55 tg 38 (139,3 − 54,2) = 3,03 cm2/m
Asw = 2,55 tg θ Sd
d
56
A armadura mínima é calculada pela equação:
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
A sw ,mín =
20 f ctm
bw
f ywk
67
(cm2/m), com f ctm = 0,3 3 f ck 2 = 0,3 3 20 2 = 2,21 MPa
20 . 0,221
. 19 = 1,68 cm2/m
50
Como Asw = 3,03 cm2/m > Asw,mín = 1,68 cm2/m, deve-se dispor a armadura transversal
calculada.
A sw ,mín =
g2.1.3) Detalhamento da armadura transversal
- Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒
φt ≤ 190/10 ≤ 19 mm
- Espaçamento máximo:
0,67 VRd2 = 0,67 . 366,5 = 245,6 kN
VSd = 139,3 < 245,6 kN
⇒
s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm
0,6 d = 0,6 . 56 = 33,6 cm ⇒
Portanto, s ≤ 30 cm
- Espaçamento transversal entre os ramos do estribo:
0,20 VRd2 = 0,20 . 366,5 = 73,3 kN
VSd = 139,3 > 73,3 kN
⇒
s ≤ 0,6 d ≤ 35 cm
0,6 d = 0,6 . 56 = 33,6 cm ⇒
Portanto, s ≤ 33,6 cm
g2.1.4) Detalhamento da armadura transversal
No pilar P2 tem-se Asw = 3,03 cm2. Considerando estribo vertical composto por dois ramos e
diâmetro de 5 mm (1φ 5 mm = 0,20 cm2), tem-se:
A sw
0,40
= 0,0303 cm2/cm
⇒
= 0,0303
⇒ s = 13,2 cm ≤ smáx = 30 cm
s
s
Para a armadura mínima de 1,68 cm2/m, considerando o mesmo estribo, tem-se:
A sw
0,40
= 0,0168 cm2/cm
⇒
= 0,0168
⇒ s = 23,8 cm ≤ smáx = 30 cm
s
s
Para as demais forças cortantes ao longo da viga VS1 as armaduras transversais são
mostradas na Tabela 3. Apenas no lado esquerdo do pilar P2 a armadura transversal é maior que a
mínima.
Tabela 3 – Forças cortantes (kN) e armaduras (cm2/m) ao longo da viga VS1.
Pilar
Vk
VSd
Asw
P1
74,2
103,9
1,70
P2
66,2
92,3
1,68
P3
58,2
81,5
1,68
P3
13,5
18,9
1,68
Intersecção VS6
37,9
53,1
1,68
g3) Ancoragem das armaduras longitudinais
g3.1) Armadura positiva no pilar extremo P1
Vk = 74,2 kN
VSd = 1,4 . 74,2 = 103,9 kN
Valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (al) segundo o modelo de cálculo
II:
a l = 0,5 d (cot g θ − cot g α) = 0,5 . 57 (cotg 38 – cotg 90)
al = 36,5 cm ≥ 0,5 d = 0,5 . 57 = 28,5 cm
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68
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Conforme a Eq. 19 da apostila de Ancoragem e Emendas, a armadura a ancorar no apoio é:
1 ⎛ al
⎞ 1 ⎛ 36,5
⎞
103,9 ⎟ = 1,53 cm2
⎜ VSd ⎟ =
⎜
f yd ⎝ d
⎠
⎠ 50 ⎝ 57
1,15
A armadura calculada a ancorar no apoio deve atender à armadura mínima, é dada por:
M vão
⎧1
⎪⎪ 3 A s ,vão se M apoio = 0 ou negativo e M apoio ≤ 2
A s ,anc ≥ ⎨
M vão
⎪1 A
⎪⎩ 4 s,vão se M apoio = negativo e M apoio > 2
A s ,anc =
Md,apoio = - 2.409 kN.cm < Md,vão/2 = 13.493/2 = 6.747 kN.cm
Portanto, As, anc ≥ 1/3 As,vão = 6,15/3 = 2,05 cm2
As, anc = 1,53 cm2 < 1/3 As,vão = 2,05 cm2
Portanto, deve-se ancorar As, anc = 2,05 cm2, valor mínimo a ancorar no pilar P1.
A armadura positiva do vão adjacente ao pilar é composta por 5 φ 12,5 mm, onde 2 φ 12,5
mm posicionados nos vértices dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidos até os apoios.
Portanto, As,ef = 2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2.
O comprimento mínimo da ancoragem no apoio (lb,mín) é:
⎧r + 5,5 φ
l b,mín ≥ ⎨
⎩6 cm
r = 5φ/2 = 5 . 1,25/2 = 3,1 cm
(com D determinado na Tabela 1 na apostila de Ancoragem e Emendas)
r + 5,5φ = 3,1 + 5,5 . 1,25 = 10,0 cm > 6 cm
∴ lb,mín = 10,0 cm
O comprimento de ancoragem básico, sem gancho,
para barra de diâmetro 12,5 mm, concreto C20, aço CA-50,
região de boa aderência é 55 cm.
O comprimento de ancoragem corrigido, sem
gancho é:
A
2,05
l b,corr = l b s,anc = 55
= 45,1 cm
2,50
A s,ef
O comprimento de ancoragem efetivo do apoio é:
lb,ef = b – c = 19 – 2 = 17 cm
lb,corr
As,ef
c
lb,ef
b
Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem corrigido (sem gancho)
é superior ao comprimento de ancoragem efetivo (lb,corr = 45,1 cm > lb,ef = 17 cm). Isto significa
que não é possível fazer a ancoragem sem gancho. A próxima tentativa de ancoragem é fazer o
gancho. O comprimento de ancoragem, com gancho, é:
l b,gancho = 0,7 . 45,1 = 31,6 cm
Verifica-se que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem, pois o
comprimento de ancoragem resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo: (lb,gancho =
31,6 cm > lb,ef = 17 cm).
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A próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio, para As,corr,
como definido pela Eq. 25 da apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 2005), ou colocar
grampos:
0,7 l b
0,7 ⋅ 55
2,05 = 4,64 cm2
A s ,corr =
A s,anc =
l b,ef
17
Para atender a armadura corrigida pode-se estender mais duas barras das cinco barras da
armadura positiva no vão, o que leva a As,ef = 4 φ 12,5 = 5,00 cm2, o que atende à armadura
necessária corrigida.
Como uma alternativa ao arranjo anterior pode-se manter as duas barras φ 12,5 da armadura
efetiva longitudinal e acrescentar dois grampos complementares, com área de:
As,gr = 4,64 – 2,50 = 2,14 cm2
→ (2 grampos: 4 φ 8 = 2,00 cm2)
A armadura a ancorar fica com 2 φ 12,5 + 4 φ 8 = 4,50 cm2. O detalhe da ancoragem está
mostrado na Figura 60.
2,0
100 φgr = 80 cm
2 cm
10
16,2
19
2 φ 12,5
Grampos
Figura 60 – Detalhe da ancoragem nos pilares extremos.
g3.2) Armadura positiva nos pilares internos
Nos pilares internos a ancoragem da armadura longitudinal positiva deve atender à armadura
mínima e estender 10φ além da face do apoio.
g3.3) Armadura negativa no pilar extremo P1
A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve
penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho
direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser
de 5φ, como indicado na Figura 61.
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2 φ 10
35 cm
35 φ
5φ
Figura 61 – Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos.
g4) Dimensionamento à torção
O momento de torção característico (Tk) é 1.099 kN.cm e o momento de cálculo é:
TSd = 1,4 . 1.099 = 1.539 kN.cm
g4.1) Verificação das diagonais comprimidas
Área da seção transversal: A = bw . h = 19 . 60 = 1140 cm2
Perímetro da seção transversal: u = 2 (bw + h) = 2 (19 + 60) = 158 cm
As Eq. 19 e 20 fornecem os limites para a espessura he da parede fina:
A 1140
he ≤ =
= 7,2 cm
e he ≥ 2 c 1
u 158
Sendo c = 2,0 cm e supondo φl = 12,5 mm e φt = 5 mm encontra-se:
c1 = φl /2 + φt + cnom = 1,25/2 + 0,5 + 2,0 = 3,125 cm
he ≥ 2 . 3,125 = 6,3 cm
Portanto, os limites para he são: 6,3 cm ≤ he ≤ 7,2 cm.
Será adotado he = 7,0 cm.
Ae = (bw – he) . (h – he) = (19 – 7) . (60 – 7) = 636 cm2
O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 23, com ângulo θ (38°) igual ao aplicado
no cálculo da viga ao esforço cortante é:
TRd,2 = 0,5 αv2 fcd Ae he sen 2 θ = 0,5 (1 – 20/250) . (2,0/1,4) 636 . 7,0 . sen 2 . 38 = 2.838,7 kN.cm
Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34
deve-se ter:
VSd
T
+ Sd ≤ 1
VRd 2 TRd 2
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71
Sendo VRd2 = 366,5 kN e VSd,máx = 81,5 kN, aplicando os valores numéricos na Eq. 34 fica:
81,5 1539,0
+
= 0,76 ≤ 1,0
366,5 2838,7
Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das diagonais de compressão.
g4.2) Cálculo das armaduras
As armaduras mínimas, transversal e longitudinal, já foram calculadas no dimensionamento
da viga ao cortante, e valem 1,68 cm2/m.
Armadura transversal (estribos) conforme a Eq. 25:
A s,90
s
A s,90
s
=
TSd
tg θ =
2 A e f ywd
1539
tg 38 = 0,0217 cm2/cm
50
2 ⋅ 636
1,15
= 2,17 cm2/m ≥ As,90mín = 1,68 cm2/m
Armadura longitudinal conforme a Eq. 28:
A sl
TSd
1539
=
=
= 0,0356 cm2/cm
50
ue
2 A e f ywd tg θ 2 ⋅ 636
tg 38
1,15
A sl
= 3,56 cm2/m ≥ A sl,mín = 1,68 cm2/m
ue
g4.3) Detalhamento das armaduras
g4.3.1) Armadura longitudinal
A área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculada
para cada uma das quatro faces da viga.
Pilar P3:
Face superior:
- da flexão – As = 1,24 cm2
- da torção – As = (bw – he) Asl = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2
- As,total = 1,24 + 0,43 = 1,67 cm2 (2 φ 10 = 1,60 cm2)
Face inferior:
- da flexão – As = 0,00 cm2
- da torção – As = (bw – he) Asl = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2
- As,total = 0,43 cm2
Esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva à direita do pilar P3, que se
estende até o pilar - 2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2).
Faces laterais:
- As,total = (h – he) Asl = (60 – 7) 0,0356 = 1,89 cm2 (4 φ 8 mm = 2,00 cm2). Esta armadura,
em cada face, deverá se estender do pilar P3 até a intersecção com a viga VS6; a armadura contribui
também para evitar possíveis fissuras por retração do concreto.
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Região do máximo momento positivo
Face superior:
- da flexão – As = 0,00 cm2
- da torção – As = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2
- As,total = 0,43 cm2 (2 φ 8 = 1,00 cm2)
Face inferior:
- da flexão – As = 3,32 cm2
- da torção – As = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2
- As,total = 3,32 + 0,43 = 3,75 cm2 (3 φ 12,5 mm = 3,75 cm2)
Faces laterais:
- As,total = (h – he) Asl = (60 – 7) 0,0356 = 1,89 cm2 (4 φ 8 mm = 2,00 cm2).
g4.3.2) Armadura transversal
A área total de estribos verticais é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço
cortante e à torção. A armadura para o esforço cortante máximo entre o pilar P3 e a interseção com
a viga VS6 resultou na armadura mínima, de 0,0168 cm2/cm.
Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima do cortante
para um ramo é 0,0168/2 = 0,0084 cm/m2, a armadura transversal total é:
A s,total
s
=
A sw ,1ramo
s
+
A s ,90
s
= 0,0084 + 0,0217 = 0,0301 cm2/cm = 3,01 cm2/m
onde As,90 representa a área de um ramo do estribo.
O diâmetro mínimo para o estribo à torção é de 5 mm. Supondo estribo fechado de dois
ramos com diâmetro de 6,3 mm (1 φ 6,3 mm = 0,31 cm2) tem-se:
0,31
= 0,0301 →
s = 10,3 cm < smáx = 30 cm
s
Na Figura 63 encontra-se mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS1.
g5) Detalhamento da armadura longitudinal
Segundo o modelo de cálculo II o deslocamento (al) do diagrama de momentos fletores
resultou 36 cm. O comprimento de ancoragem básico para barras φ 12,5 mm em situação de má
aderência e concreto C20 consta da Tabela A2 e vale 78 cm.
A Figura 62 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo, feito para
determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa.
A Figura 63 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito
comumente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito
normalmente nas escalas de 1:25 ou 1:20.
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73
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194
152
196
114
78
114
78
2 φ 12,5
78
12,5
120
62
78
12,5
2 φ 10
114
2 φ12,5
78
12,5
78
12,5
2 φ 12,5
12,5
10
12,5
2 φ 12,5
10 φ
12,5
A
12,5
10 φ
12,5
2 φ 12,5
10 φ
12,5
61
2 φ 12,5
B
B
12,5
1 φ 12,5
79
370
A
143
10 φ
12,5
1 φ 12,5
151
234
lb
lb
54
54
Figura 62 – Cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo da viga VS1.
VS 1
(19 x 60)
2N6
N1 - 8 c/13
N1 - 13 c/23
104
P1
N2
P2
35
4N8
50
120
N4 - 2 φ 12,5 C = 660
2N13 2N11
VS6
150
195
N6 - 2 φ 12,5 C = 345
N5
-2φ
115
115
N7 - 2 φ 12,5 C = 230 (2° cam)
8 C
= 41
4
30
80
N13 - 2 φ 12,5 C = 742
235
140
-2x
4φ
8 C
=
501
80
30
N14 - 2 φ 10 C = 340
N16 - 2 φ 8 C = 174
N1 2
N15
-1φ
-2φ
12,5
30
N11 - 2 φ 12,5 C = 528
N9
N1 - 47 φ 5 C = 152
N2 - 42 φ 6,3 C = 152
C=
361
12,5
C=
511
40
14
10
60
15
56
N8 - 2 x 4 φ 4,2 C = 1056
N10 - 1 φ 12,5 C = 343 (2° cam)
4N8
1N10
195
150
2N4
2N7
c/10
P3
40
N3 - 2 φ 10 C = 606
- 42
40
N1 - 26 c/23
Figura 63 – Desenho final das armaduras da viga VS1.
h) Dimensionamento das armaduras da viga VS6
Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais para os esforços de M, V e T.
h1) Armadura longitudinal de flexão
Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores
máximos, positivos e negativos.
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h1.1) Apoio interno P6
Mk = - 13.188 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . (- 13.188) = - 18.463 kN.cm
Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil
de 56 cm:
b d 2 19 . 55,5 2
= 3,2
Kc = w
=
Md
18463
Da Tabela A1 anexa tem-se:
βx = x/d = 0,38 ≤ 0,50, Ks = 0,027 e domínio 3.
M
18463
A s = K s d = 0,027
= 8,98 cm2
55,5
d
7 φ 12,5 mm = 8,75 cm2
7 φ 12,5
eh
Deve-se ter βx = x/d ≤ 0,50. Neste caso, com βx = x/d = 0,38 o limite está satisfeito, o que
deve garantir a necessária ductilidade à viga nesta seção.
A distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 25
mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5
mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta:
19 − [2 (2,0 + 0,5) + 4 . 1,25]
= 3,0 cm
3
distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador.
eh =
h1.2) Momento positivo na extremidade da viga
Mk = 1.940 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . (1.940) = 2.716 kN.cm
b w d 2 19 . 57 2
= 22,7
Kc =
=
Md
2716
Da Tabela A1 anexa tem-se Ks = 0,024 e dom. 2.
M
2716
A s = K s d = 0,024
= 1,14 cm2 < As,mín
d
57
2
(As,mín = 1,71 cm → 2 φ 10 mm)
2φ10
h1.3) Momento fletor positivo entre os pilares P6 e P9
Mk = 2.023 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . 2.023 = 2.832 kN.cm
b d 2 19 . 57 2
Kc = w
=
= 21,8
Md
2832
Da Tabela A1 tem-se Ks = 0,024.
M
2832
A s = K s d = 0,024
= 1,19 cm2 < As,mín
d
57
2
(As,mín = 1,71 cm → 2 φ 10 mm)
2 φ 10
h2) Armadura transversal ao esforço cortante
Na viga VS6 o esforço cortante máximo é VSd = 96,2 kN, valor menor que a força cortante
mínima, o que leva à armadura transversal mínima (Asw,mín = 1,68 cm2/m – estribo φ 5 c/ 23 cm) na
viga.
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h3) Ancoragem das armaduras longitudinais
O esforço cortante no pilar P9 é pequeno (2,4 kN) e existe também um pequeno momento
fletor positivo (372 kN.cm). A armadura mínima de flexão do vão adjacente (2 φ 10 mm) é
suficiente para resistir a este momento. A favor da segurança deve-se ancorar as duas barras no pilar
P9 fazendo-se o gancho.
h4) Armadura positiva no pilar interno
Nos pilares internos a ancoragem da armadura longitudinal positiva deve atender a armadura
mínima e estender 10φ além da face do apoio.
h5) Dimensionamento à torção
O momento de torção característico (Tk) é 1.059 kN.cm e o momento de cálculo:
TSd = 1,4 . 1.059 = 1.483 kN.cm
Este momento torçor é um pouco menor e muito próximo daquele encontrado para o trecho
final da viga VS1 (Td = 1.539 kN.cm). Desse modo, como a seção transversal é a mesma, será
adotada a mesma armadura de torção calculada para a viga VS1.
A
Estribos: s,90 = 0,0217 cm2/cm = 2,17 cm2/m ≥ As,90mín = 1,68 cm2/m
s
A
Armadura longitudinal: sl = 0,0356 cm2/cm = 3,56 cm2/m ≥ A sl,mín = 1,68 cm2/m
ue
h5.2) Detalhamento das armaduras
h5.2.1) Armadura longitudinal
A área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculadas
para cada uma das quatro faces externas da viga.
Face superior:
- da flexão – As = 8,98 cm2
- da torção – As = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2
- As,total = 8,98 + 0,43 = 9,41 cm2 (7 φ 12,5 + 1 φ10 = 9,55 cm2)
Face inferior:
- da flexão – As = 0,00 cm2
- da torção – As = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2
- As,total = 0,43 cm2
Esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva que se estende até o apoio 2 φ 10 mm = 1,60 cm2)
Faces laterais:
- As,total = (60 – 7) 0,0356 = 1,89 cm2 (4 φ 8 mm = 2,00 cm2).
Esta armadura deverá se estender do pilar P6 até a intersecção com a viga VS1.
h5.3.2) Armadura transversal
A área total de estribos é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço cortante e à
torção. A armadura para o esforço cortante máximo entre o pilar P6 e a interseção com a viga VS1
resultou na armadura mínima, de 0,0168 cm2/cm.
Considerando o estribo composto por dois ramos verticais, e que a área mínima do cortante
para um ramo é 0,0168/2 = 0,0084 cm/m2, a armadura transversal total é igual à da viga VS1:
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76
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A s,total
s
=
A sw ,1ramo
s
+
A s ,90
= 0,0084 + 0,0217 = 0,0301 cm2/cm = 3,01 cm2/m
s
O diâmetro mínimo para o estribo à torção é de 5 mm. Supondo estribo fechado de dois
ramos com diâmetro de 5 mm (1 φ 5 mm = 0,20 cm2) tem-se:
0,20
= 0,0301 →
s = 6,6 cm < smáx = 30 cm
s
O espaçamento resultou pequeno. Alterando o diâmetro para 6,3 mm (1 φ 6,3 mm = 0,31
cm ) tem-se:
0,31
= 0,0301 →
s = 10,3 cm < smáx = 30 cm
s
2
Na Figura 65 encontra-se mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS1.
h6) Detalhamento da armadura longitudinal
Como já calculado o deslocamento do diagrama de momentos fletores de cálculo é 36 cm. O
comprimento de ancoragem básico para barras φ 12,5 mm em situação de má aderência e concreto
C20 é 78 cm.
A Figura 64 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo, feito para
determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa.
284
463
205
272
137
78
167
78
3 φ 12,5
A
A
78
78
12,5
12,5
2 φ 12,5
12,5
B
B
2 φ 12,5
12,5
78
A
12,5
12,5
B
Figura 64 – Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo.
A Figura 65 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito
normalmente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito
normalmente na escala de 1:25 ou 1:20. Atenção máxima deve ser dispensada a este detalhamento
final, pois comumente é apenas com ele que a armação da viga será executada.
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77
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
VS 6
(19 x 60)
N2 - 27 c/10
N1 - 22 c/23
2N4 2N3
1N6
3N5
40
P9
P6
VS1
4N8
40
N3 - 2 φ 12,5 C = 895
270
4N8
2N10
15
205
N4 - 2 φ 12,5 C = 475
170
56
140
N5 - 3 φ 12,5 C = 310 (2° cam)
N1 - 22 φ 5 mm
C = 152
N6 - 1 φ 10 C = 299 (2° cam)
10
N7 - 2 x 4 φ 4,2 C = 535
N9 - 2 φ 10 C = 545
N8 - 2 x 4 φ 8 C = 329
30
N10 - 2 φ 10 C = 339
40
N2 - 27 φ 6,3 mm
C = 152
Figura 65 – Desenho com a armadura final da viga VS6.
15. QUESTIONÁRIO
1ª) Comente sobre os casos mais comuns de torção nas construções.
2ª) O que são torção de equilíbrio e torção de compatibilidade? Cite exemplos.
3ª) Qual o valor do momento de torção solicitante no caso de viga biengastada sob solicitação de
torção externa uniforme no vão?
4ª) O que é torção de St. Venant?
5ª) Para uma seção circular, mostre numa figura como se configuram as tensões principais devidas à
torção.
6ª) E como se configuram as tensões de cisalhamento devidas à torção?
7ª) Qual a equação que define a tensão de cisalhamento devida à torção para uma seção vazada?
8ª) Indique numa figura o que é a área Ae e o perímetro u.
9ª) Verifique a eficiência alcançada pela viga em função dos diferentes arranjos para a armadura.
10ª) Por que uma viga de concreto armado retangular pode ser analisada à torção como se fosse oca
e com espessura da casca constante?
11ª) Por que se pode fazer uma analogia da viga sob torção com uma treliça espacial?
12ª) Como se configura a treliça espacial generalizada?
13ª) Como se configuram as trajetórias das fissuras numa viga sob torção e flexão?
14ª) Explique resumidamente quais são as formas de ruptura de uma viga por torção.
15ª) Estude a dedução das equações desenvolvidas para a treliça espacial generalizada.
16ª) Como a norma define a espessura da casca da seção vazada?
17ª) Qual é a resistência proporcionada pelas diagonais comprimidas de concreto?
18ª) Como são as equações que definem as armaduras para a torção?
19ª) No caso de torção combinada com cortante, como se verifica a biela de concreto comprimido?
20ª) Qual o objetivo de se dispor uma armadura mínima à torção?
21ª) Como é calculada a armadura mínima para a torção?
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
78
22ª) Qual o diâmetro mínimo e máximo para os estribos? Qual é o espaçamento máximo?
23ª) Por que os estribos para torção não podem ser abertos?
24ª) Como deve ser feita a distribuição da armadura longitudinal nas faces da viga?
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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318 R-95. Farmington Hills, 1995, 369p.
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Procedimento - NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, mar/2003, 170p.
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1309 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de
Engenharia - Universidade Estadual Paulista, mar/2005, 55p. wwwp.feb.unesp.br/pbastos.
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Paulista, abril/2005, 37p. wwwp.feb.unesp.br/pbastos.
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BASTOS, P.S.S. Programa GPLAN3 – Diretrizes para o desenvolvimento de modelos de grelhas.
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COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Model Code 1990, MC-90, CEB-FIP, Bulletin
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dimensionamento de estruturas de concreto armado, v. 1, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 1982,
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nova NBR 6118. In: 42 CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO, IBRACON. Fortaleza,
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79
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CD-ROM, 7p.
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80
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
ANEXO A
Tabela A1 – Valores de Kc e Ks para o aço CA-50.
FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES
βx =
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,40
0,42
0,44
0,45
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,63
x
d
Kc (cm2/kN)
Ks (cm2/kN) Dom.
C15
C20
C25
C30
C35
C40
C45
C50
CA-50
137,8
69,2
46,3
34,9
28,0
23,4
20,2
17,7
15,8
14,3
13,1
12,0
11,1
10,4
9,7
9,2
8,7
8,2
7,8
7,5
7,1
6,8
6,6
6,3
6,1
5,9
5,7
5,5
5,4
5,2
5,1
4,9
4,8
4,7
4,6
4,5
4,4
4,3
4,1
3,9
3,8
3,7
3,7
3,5
3,4
3,3
3,2
3,2
3,1
3,0
2,9
2,9
103,4
51,9
34,7
26,2
21,0
17,6
15,1
13,3
11,9
10,7
9,8
9,0
8,4
7,8
7,3
6,9
6,5
6,2
5,9
5,6
5,4
5,1
4,9
4,7
4,6
4,4
4,3
4,1
4,0
3,9
3,8
3,7
3,6
3,5
3,4
3,3
3,3
3,2
3,1
2,9
2,8
2,8
2,7
2,7
2,6
2,5
2,4
2,4
2,3
2,3
2,2
2,2
82,7
41,5
27,8
20,9
16,8
14,1
12,1
10,6
9,5
8,6
7,8
7,2
6,7
6,2
5,8
5,5
5,2
4,9
4,7
4,5
4,3
4,1
3,9
3,8
3,7
3,5
3,4
3,3
3,2
3,1
3,0
3,0
2,9
2,8
2,7
2,7
2,6
2,6
2,5
2,4
2,3
2,2
2,2
2,1
2,1
2,0
1,9
1,9
1,8
1,8
1,8
1,7
68,9
34,6
23,2
17,4
14,0
11,7
10,1
8,9
7,9
7,1
6,5
6,0
5,6
5,2
4,9
4,6
4,3
4,1
3,9
3,7
3,6
3,4
3,3
3,2
3,1
2,9
2,8
2,8
2,7
2,6
2,5
2,5
2,4
2,3
2,3
2,2
2,2
2,1
2,0
2,0
1,9
1,9
1,8
1,8
1,7
1,7
1,6
1,6
1,5
1,5
1,5
1,5
59,1
29,6
19,8
14,9
12,0
10,0
8,6
7,6
6,8
6,1
5,6
5,1
4,8
4,5
4,2
3,9
3,7
3,5
3,4
3,2
3,1
2,9
2,8
2,7
2,6
2,5
2,4
2,4
2,3
2,2
2,2
2,1
2,1
2,0
2,0
1,9
1,9
1,8
1,8
1,7
1,6
1,6
1,6
1,5
1,5
1,4
1,4
1,4
1,3
1,3
1,3
1,2
51,7
25,9
17,4
13,1
10,5
8,8
7,6
6,6
5,9
5,4
4,9
4,5
4,2
3,9
3,7
3,4
3,2
3,1
2,9
2,8
2,7
2,6
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
2,1
2,0
1,9
1,9
1,8
1,8
1,8
1,7
1,7
1,6
1,6
1,5
1,5
1,4
1,4
1,4
1,3
1,3
1,2
1,2
1,2
1,2
1,1
1,1
1,1
45,9
23,1
15,4
11,6
9,3
7,8
6,7
5,9
5,3
4,8
4,4
4,0
3,7
3,5
3,2
3,1
2,9
2,7
2,6
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
2,0
2,0
1,9
1,8
1,8
1,7
1,7
1,6
1,6
1,6
1,5
1,5
1,5
1,4
1,4
1,3
1,3
1,2
1,2
1,2
1,1
1,1
1,1
1,1
1,0
1,0
1,0
1,0
41,3
20,8
13,9
10,5
8,4
7,0
6,1
5,3
4,7
4,3
3,9
3,6
3,3
3,1
2,9
2,7
2,6
2,5
2,3
2,2
2,1
2,1
2,0
1,9
1,8
1,8
1,7
1,7
1,6
1,6
1,5
1,5
1,4
1,4
1,4
1,3
1,3
1,3
1,2
1,2
1,1
1,1
1,1
1,1
1,0
1,0
1,0
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,023
0,023
0,023
0,023
0,023
0,024
0,024
0,024
0,024
0,024
0,024
0,024
0,024
0,024
0,024
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
0,025
0,026
0,026
0,026
0,026
0,026
0,026
0,026
0,026
0,026
0,027
0,027
0,027
0,027
0,027
0,027
0,028
0,028
0,028
0,028
0,028
0,029
0,029
0,029
0,030
0,030
0,030
0,031
0,031
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
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3
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
Tabela A2 – Comprimento de ancoragem lb para CA-50 nervurado.
TABELA A2
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM lb (cm) PARA As,ef = As,calc
CA-50 nervurado
Concreto
φ
(mm)
C15
C20
C25
C30
C35
C40
C45
C50
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com
48
33
39
28
34
24
30
21
27
19
25
17
23
16
21
15
6,3
33
23
28
19
24
17
21
15
19
13
17
12
16
11
15
10
61
42
50
35
43
30
38
27
34
24
31
22
29
20
27
19
8
42
30
35
24
30
21
27
19
24
17
22
15
20
14
19
13
76
53
62
44
54
38
48
33
43
30
39
28
36
25
34
24
10
53
37
44
31
38
26
33
23
30
21
28
19
25
18
24
17
95
66
78
55
67
47
60
42
54
38
49
34
45
32
42
30
12,5
66
46
55
38
47
33
42
29
38
26
34
24
32
22
30
21
121 85
100
70
86
60
76
53
69
48
63
44
58
41
54
38
16
85
59
70
49
60
42
53
37
48
34
44
31
41
29
38
27
151 106 125
87 108
75
95
67
86
60
79
55
73
51
68
47
20
106 74
87
61
75
53
67
47
60
42
55
39
51
36
47
33
170 119 141
98 121
85
107
75
97
68
89
62
82
57
76
53
22,5
119 83
98
69
85
59
75
53
68
47
62
43
57
40
53
37
189 132 156 109 135
94
119
83
108
75
98
69
91
64
85
59
25
132 93
109
76
94
66
83
58
75
53
69
48
64
45
59
42
242 169 200 140 172 121 152 107 138
96
126
88
116
81
108 76
32
169 119 140
98 121
84
107
75
96
67
88
62
81
57
76
53
303 212 250 175 215 151 191 133 172 120 157 110 145 102 136 95
40
212 148 175 122 151 105 133
93
120
84
110
77
102
71
95
66
Valores de acordo com a NBR 6118/03
No Superior: Má Aderência ;
No Inferior: Boa Aderência
lb Sem e Com ganchos nas extremidades
As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada
O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: l b ,mín
γc = 1,4 ;
γs = 1,15
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
⎧0,3 l b
⎪
≥ ⎨10 φ
⎪100 mm
⎩
82
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
Tabela A3 – Comprimento de ancoragem lb para CA-60 entalhado.
TABELA A3
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM lb (cm) PARA As,ef = As,calc
CA-60 entalhado
Concreto
C15
C20
C25
C30
C35
C40
C45
C50
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com
35
41
29
35
25
31
22
28
20
26
18
24
17
22
16
3,4 50
35
24
29
20
25
17
22
15
20
14
18
13
17
12
16
11
61
43
51
35
44
31
39
27
35
24
32
22
29
21
27
19
4,2
43
30
35
25
31
21
27
19
24
17
22
16
21
14
19
13
73
51
60
42
52
36
46
32
41
29
38
27
35
25
33
23
5
51
36
42
30
36
25
32
23
29
20
27
19
25
17
23
16
88
61
72
51
62
44
55
39
50
35
46
32
42
29
39
27
6
61
43
51
35
44
31
39
27
35
24
32
22
29
21
27
19
84
59
73
51
64
45
58
41
53
37
49
34
46
32
7 102 71
71
50
59
41
51
36
45
32
41
28
37
26
34
24
32
22
96
67
83
58
74
51
66
46
61
42
56
39
52
37
8 117 82
82
57
67
47
58
41
51
36
46
33
42
30
39
27
37
26
114
80
99
69
87
61
79
55
72
50
67
47
62
43
9,5 139 97
97
68
80
56
69
48
61
43
55
39
50
35
47
33
43
30
Valores de acordo com a NBR 6118/03
No Superior: Má Aderência ;
No Inferior: Boa Aderência
lb Sem e Com ganchos nas extremidades
As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada
φ
(mm)
O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: l b ,mín
γc = 1,4 ;
γs = 1,15
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
⎧0,3 l b
⎪
≥ ⎨10 φ
⎪100 mm
⎩
83
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
ANEXO B
LISTAGENS DE RESULTADOS DOS PROGRAMAS
GPLAN4 E PPLAN4
B1) GRELHA DO EXEMPLO 1
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS - USP
SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS
PROGRAMA GPLAN4 - ANALISE DE GRELHAS - VERSAO FEV/92
PROJETO: TORCAO
CLIENTE: CONCRETO II
============================
GRELHA: EXEMPLO 1
============================
===========================================================================
COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS
NO
COORD X
COORD Y
RESTR Z
RESTR X
RESTR Y
===========================================================================
1
2
3
165.000
.000
165.000
.000
95.000
95.000
0
1
0
0
1
0
0
1
0
===========================================================================
CARACTERISTICAS DAS BARRAS
NO
ROT
NO
ROT
COSSENO
BARRA
INIC
INIC
FIN
FIN
PROP
COMPRIMENTO
DIRETOR
===========================================================================
1
2
1
2
0
0
3
3
0
0
1
2
95.000
165.000
.0000
1.0000
===========================================================================
PROPRIEDADES DAS BARRAS
PROP
MAT
AREA
I FLEXAO
I TORCAO
ALTURA
===========================================================================
1
2
1
1
.10000E+04
.17500E+04
.20833E+06
.36458E+06
.10000E+03
.40517E+06
50.00
50.00
===========================================================================
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
MAT
MOD LONG
MOD TRANS
PESO ESP
COEF TERM
===========================================================================
1
.238000E+04
.480000E+03
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
.00000E+00
.0000E+00
84
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
===========================================================================
CARREGAMENTO: CARR1
(GRELHA: EXEMPLO 1
)
===========================================================================
===========================================================================
DESLOCAMENTOS NODAIS
NO
DESLOC Z
ROTACAO X
ROTACAO Y
===========================================================================
1
2
3
-.5163226
.0000000
-.0950533
.0045879
.0000000
.0041256
.0008594
.0000000
.0008594
===========================================================================
ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS
BARRA
NO
CORTANTE
M FLETOR
M TORCOR
===========================================================================
1
1
3
-50.000
-52.375
.015
-4862.804
.000
.000
2
2
3
59.594
52.375
-9237.421
-.002
4862.793
4862.793
===========================================================================
RESULTANTES NODAIS
NO
FORCA Z
MOMENTO X
MOMENTO Y
===========================================================================
1
2
3
.000
59.594
.000
-.015
-4862.793
-.011
SOMATORIO DAS REACOES TRANSVERSAIS ...........................
SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES ...................
ERRO PERCENTUAL ..............................................
.000
-9237.421
.002
59.594
-59.594
.0000256 %
===========================================================================
ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS
BARRA
REL X/L
CORTANTE
M FLETOR
M TORCOR
===========================================================================
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0/10
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10
10/10
-50.000
-50.238
-50.475
-50.713
-50.950
-51.188
-51.425
-51.663
-51.900
-52.138
-52.375
.015
-476.114
-954.499
-1435.140
-1918.037
-2403.191
-2890.601
-3380.268
-3872.190
-4366.369
-4862.804
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
2
2
2
2
2
0/10
1/10
2/10
3/10
4/10
59.594
58.872
58.150
57.428
56.706
-9237.421
-8260.080
-7294.649
-6341.130
-5399.522
4862.793
4862.793
4862.793
4862.793
4862.793
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
85
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
2
2
2
2
2
2
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10
10/10
55.984
55.262
54.541
53.819
53.097
52.375
-4469.825
-3552.038
-2646.162
-1752.198
-870.144
-.001
4862.793
4862.793
4862.793
4862.793
4862.793
4862.793
- Analise completa - fim do processamento
B2) EXEMPLO 2 – PPLAN4
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS
SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS
PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92
PROJETO: CONCRETO II
CLIENTE: EXEMPLO 2
============================
PORTICO: V 1 (20 x 40)
============================
===========================================================================
COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS
NO
COORD X
COORD Y
RESTR X
RESTR Y
RESTR R
===========================================================================
1
2
3
.000
191.500
383.000
.000
.000
.000
.10000E+38
0
1
.10000E+38
0
1
.23800E+07
0
1
===========================================================================
CARACTERISTICAS DAS BARRAS
NO
ROT
NO
ROT
COSSENO
BARRA
INIC
INIC
FIN
FIN
PROP
COMPRIMENTO
DIRETOR
===========================================================================
1
2
1
2
0
0
2
3
0
0
1
1
191.500
191.500
1.0000
1.0000
===========================================================================
PROPRIEDADES DAS BARRAS
PROP
MAT
AREA
I FLEXAO
ALTURA
TEMP
===========================================================================
1
1
.80000E+03
.10667E+06
40.00
.00
===========================================================================
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
MAT
MOD LONG
PESO ESP
COEF TERM
===========================================================================
1
.238000E+04
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
.00000E+00
.00000E+00
86
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
===========================================================================
CARREGAMENTO: CARR1
(PORTICO: V 1 (20 x 40)
)
===========================================================================
===========================================================================
DESLOCAMENTOS NODAIS
NO
DESLOC X
DESLOC Y
ROTACAO
===========================================================================
1
2
3
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
-.0710151
.0000000
.0005119
-.0001280
.0000000
===========================================================================
ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS
BARRA
NO
NORMAL
CORTANTE
M FLETOR
===========================================================================
1
1
2
.000
.000
35.033
-5.316
-1218.352
1627.123
2
2
3
.000
.000
-5.316
-45.665
1627.123
-3254.246
===========================================================================
RESULTANTES NODAIS
NO
RESULT X
RESULT Y
MOMENTO
===========================================================================
1
2
3
.000
.000
.000
35.033
.000
45.665
SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................
SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................
ERRO PERCENTUAL ..............................................
-1218.352
.000
3254.246
80.698
-80.698
.0000000 %
===========================================================================
ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS
BARRA
REL X/L
NORMAL
CORTANTE
M FLETOR
===========================================================================
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0/10
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10
10/10
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
35.033
30.998
26.964
22.929
18.894
14.859
10.824
6.789
2.754
-1.281
-5.316
-1218.352
-586.096
-31.109
446.609
847.059
1170.241
1416.154
1584.799
1676.176
1690.283
1627.123
2
2
2
2
2
0/10
1/10
2/10
3/10
4/10
.000
.000
.000
.000
.000
-5.316
-9.351
-13.385
-17.420
-21.455
1627.123
1486.694
1268.997
974.031
601.797
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
87
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
2
2
2
2
2
2
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10
10/10
.000
.000
.000
.000
.000
.000
-25.490
-29.525
-33.560
-37.595
-41.630
-45.665
152.294
-374.477
-978.517
-1659.825
-2418.401
-3254.246
B3) GRELHA DO EXEMPLO 3
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS - USP
SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS
PROGRAMA GPLAN4 - ANALISE DE GRELHAS - VERSAO FEV/92
PROJETO: TORCAO
CLIENTE: EXEMPLO 3 - COM MOLAS
============================
GRELHA: GRELHA PAV.
============================
===========================================================================
COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS
NO
COORD X
COORD Y
RESTR Z
RESTR X
RESTR Y
===========================================================================
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
.000
359.500
719.000
1078.500
1438.000
.000
359.500
719.000
1078.500
1438.000
1438.000
1243.500
.000
359.500
719.000
1049.000
.000
.000
.000
.000
.000
523.000
523.000
523.000
523.000
523.000
807.000
926.500
1046.000
1046.000
1046.000
1046.000
.10000E+38
0
.10000E+38
0
.10000E+38
.10000E+38
0
1
0
.10000E+38
0
0
.10000E+38
0
.10000E+38
1
.61648E+06
0
.24267E+07
0
.61648E+06
.00000E+00
0
0
0
.00000E+00
0
0
.61648E+06
0
.24267E+07
0
.61648E+06
0
.00000E+00
0
.61648E+06
.97338E+06
0
0
0
.97338E+06
0
0
.61648E+06
0
.00000E+00
0
===========================================================================
CARACTERISTICAS DAS BARRAS
NO
ROT
NO
ROT
COSSENO
BARRA
INIC
INIC
FIN
FIN
PROP
COMPRIMENTO
DIRETOR
===========================================================================
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
6
7
8
9
0
0
0
0
0
0
0
0
2
3
4
5
7
8
9
10
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
359.500
359.500
359.500
359.500
359.500
359.500
359.500
359.500
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
88
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
13
14
15
16
12
11
10
1
6
3
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
14
15
16
12
11
10
5
6
13
8
15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
3
3
3
1
4
4
4
4
359.500
359.500
330.000
228.277
228.277
284.000
523.000
523.000
523.000
523.000
523.000
1.0000
1.0000
1.0000
.8520
.8520
.0000
.0000
.0000
.0000
.0000
.0000
===========================================================================
PROPRIEDADES DAS BARRAS
PROP
MAT
AREA
I FLEXAO
I TORCAO
ALTURA
===========================================================================
1
2
3
4
1
1
1
1
.11400E+04
.13300E+04
.11400E+04
.85500E+03
.34200E+06
.54308E+06
.34200E+06
.14428E+06
.10000E+03
.10000E+03
.10947E+06
.10000E+03
60.00
70.00
60.00
45.00
===========================================================================
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
MAT
MOD LONG
MOD TRANS
PESO ESP
COEF TERM
===========================================================================
1
.212800E+04
.480000E+03
.00000E+00
.0000E+00
===========================================================================
CARREGAMENTO: CARR1
(GRELHA: GRELHA PAV.
)
===========================================================================
===========================================================================
DESLOCAMENTOS NODAIS
NO
DESLOC Z
ROTACAO X
ROTACAO Y
===========================================================================
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
.0000000
-.4313683
.0000000
-.4313675
.0000000
.0000000
-.4384310
.0000000
-.4137887
.0000000
-1.0433960
-.6875809
.0000000
-.5983620
.0000000
.0000000
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
-.0008127
-.0006779
-.0005432
.0000298
.0006027
.0000000
.0000000
-.0000001
-.0011135
-.0022268
-.0041370
.0006757
.0008127
.0006780
.0005434
.0052094
.0022300
-.0005575
.0000000
.0005575
-.0022300
.0022569
-.0005528
-.0000457
.0005299
-.0020741
.0036414
.0023666
.0027923
-.0003741
-.0012958
.0006376
89
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
===========================================================================
ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS
BARRA
NO
CORTANTE
M FLETOR
M TORCOR
===========================================================================
1
1
2
67.983
-18.837
-1374.770
7459.192
.018
.018
2
2
3
-18.837
-105.656
7459.191
-14918.370
.018
.018
3
3
4
105.656
18.837
-14918.380
7459.182
.077
.077
4
4
5
18.837
-67.983
7459.182
-1374.782
.077
.077
5
6
7
108.533
-29.659
-2196.740
11980.990
.000
.000
6
7
8
-29.659
-167.850
11980.990
-23521.220
.000
.000
7
8
9
166.625
28.433
-23521.330
11540.290
-.149
-.149
8
9
10
28.433
-109.759
11540.290
-3078.051
-.149
-.149
9
13
14
74.178
-12.641
-1721.450
9339.938
-.018
-.018
10
14
15
-12.641
-99.460
9339.936
-10810.200
-.018
-.018
11
15
16
66.239
-13.456
-10810.080
-2101.024
.679
.679
12
16
12
58.202
6.087
-1790.493
5547.339
-1099.280
-1099.280
13
12
11
6.087
-37.880
5547.332
1918.534
-1099.280
-1099.280
14
11
10
-37.880
-68.665
1940.952
-13188.420
1059.191
1059.191
15
10
5
54.274
-2.419
-13188.270
371.645
.014
.014
16
1
6
22.167
-33.114
-501.009
-3363.497
.002
.002
17
6
13
33.114
-22.167
-3363.497
-501.009
.049
.049
18
3
8
26.100
-33.418
-1318.285
-3231.950
-.004
-.004
19
8
15
33.418
-26.099
-3231.802
-1318.011
-.115
-.115
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
90
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
===========================================================================
RESULTANTES NODAIS
NO
FORCA Z
MOMENTO X
MOMENTO Y
===========================================================================
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
90.150
.000
237.412
.000
70.402
174.761
.000
401.311
.000
232.698
.000
.000
96.346
.000
191.798
71.659
500.991
.000
1318.227
.000
-371.569
.000
.000
.000
.000
-.003
.001
-.003
-500.991
.000
-1318.708
.004
SOMATORIO DAS REACOES TRANSVERSAIS ...........................
SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES ...................
ERRO PERCENTUAL ..............................................
-1374.773
.000
.000
.000
1374.768
-2196.786
-.002
.000
.000
2018.874
-.007
-.006
-1721.401
-.003
.001
.005
1566.536
-1566.536
.0000078 %
===========================================================================
ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS
BARRA
REL X/L
CORTANTE
M FLETOR
M TORCOR
===========================================================================
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0/10
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10
10/10
67.983
59.301
50.619
41.937
33.255
24.573
15.891
7.209
-1.473
-10.155
-18.837
-1374.770
913.144
2888.944
4552.628
5904.197
6943.651
7670.990
8086.214
8189.322
7980.316
7459.193
.018
.018
.018
.018
.018
.018
.018
.018
.018
.018
.018
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0/10
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10
10/10
-18.837
-27.519
-36.201
-44.882
-53.564
-62.246
-70.928
-79.610
-88.292
-96.974
-105.656
7459.191
6625.954
5480.601
4023.132
2253.549
171.850
-2221.964
-4927.894
-7945.938
-11276.100
-14918.370
.018
.018
.018
.018
.018
.018
.018
.018
.018
.018
.018
3
3
3
3
3
3
0/10
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
105.656
96.974
88.292
79.610
70.928
62.246
-14918.380
-11276.100
-7945.942
-4927.898
-2221.970
171.844
.077
.077
.077
.077
.077
.077
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
91
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
3
3
3
3
3
6/10
7/10
8/10
9/10
10/10
53.564
44.882
36.201
27.519
18.837
2253.542
4023.125
5480.594
6625.947
7459.184
.077
.077
.077
.077
.077
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
0/10
1/10
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3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10
10/10
18.837
10.155
1.473
-7.209
-15.891
-24.573
-33.255
-41.937
-50.619
-59.301
-67.983
7459.182
7980.304
8189.311
8086.202
7670.979
6943.640
5904.186
4552.616
2888.932
913.132
-1374.783
.077
.077
.077
.077
.077
.077
.077
.077
.077
.077
.077
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
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1/10
2/10
3/10
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5/10
6/10
7/10
8/10
9/10
10/10
108.533
94.714
80.895
67.076
53.257
39.437
25.618
11.799
-2.020
-15.839
-29.659
-2196.740
1456.631
4613.203
7272.975
9435.947
11102.120
12271.490
12944.070
13119.840
12798.820
11981.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
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3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10
10/10
-29.659
-43.478
-57.297
-71.116
-84.935
-98.754
-112.574
-126.393
-140.212
-154.031
-167.850
11980.990
10666.370
8854.944
6546.722
3741.700
439.878
-3358.744
-7654.165
-12446.390
-17735.410
-23521.230
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
0/10
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10
10/10
166.625
152.806
138.986
125.167
111.348
97.529
83.710
69.890
56.071
42.252
28.433
-23521.330
-17779.570
-12534.610
-7786.453
-3535.092
219.470
3477.233
6238.196
8502.359
10269.730
11540.290
-.149
-.149
-.149
-.149
-.149
-.149
-.149
-.149
-.149
-.149
-.149
8
8
8
8
8
8
8
8
8
0/10
1/10
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3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
28.433
14.614
.795
-13.025
-26.844
-40.663
-54.482
-68.301
-82.121
11540.290
12314.050
12591.010
12371.180
11654.540
10441.110
8730.878
6523.844
3820.011
-.149
-.149
-.149
-.149
-.149
-.149
-.149
-.149
-.149
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
92
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
8
8
9/10
10/10
-95.940
-109.759
619.380
-3078.052
-.149
-.149
9
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9
9
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9
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9/10
10/10
74.178
65.497
56.815
48.133
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30.769
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4.723
-3.959
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4874.176
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9624.583
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9339.939
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
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9/10
10/10
-12.641
-21.323
-30.005
-38.687
-47.369
-56.050
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7806.831
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-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
-.018
11
11
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.679
.679
.679
.679
.679
.679
.679
.679
.679
.679
.679
12
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26.933
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11.298
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-1790.493
-521.353
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-1099.280
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13
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6.087
1.690
-2.707
-7.103
-11.500
-15.896
-20.293
-24.690
-29.086
-33.483
-37.880
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5636.094
5624.491
5512.523
5300.190
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4574.431
4061.004
3447.212
2733.055
1918.533
-1099.280
-1099.280
-1099.280
-1099.280
-1099.280
-1099.280
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-1099.280
-1099.280
-1099.280
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-40.958
-44.037
-47.115
-50.194
-53.272
-56.351
-59.430
-62.508
-65.587
-68.665
1940.952
821.455
-385.473
-1679.832
-3061.622
-4530.843
-6087.496
-7731.580
-9463.095
-11282.040
-13188.420
1059.191
1059.191
1059.191
1059.191
1059.191
1059.191
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54.274
48.604
42.935
37.266
31.597
25.927
20.258
14.589
8.919
3.250
-2.419
-13188.270
-10498.000
-8104.244
-6006.988
-4206.239
-2701.995
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-583.022
31.707
349.929
371.647
.014
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.014
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22.167
16.639
11.111
5.583
.055
-5.473
-11.001
-16.529
-22.058
-27.586
-33.114
-501.009
513.783
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1823.438
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1250.940
531.011
-478.038
-1776.208
-3363.498
.002
.002
.002
.002
.002
.002
.002
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33.114
27.586
22.058
16.529
11.001
5.473
-.055
-5.583
-11.111
-16.639
-22.167
-3363.497
-1776.208
-478.038
531.011
1250.940
1681.749
1823.438
1676.007
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513.783
-501.008
.049
.049
.049
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.049
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26.100
20.148
14.196
8.244
2.293
-3.659
-9.611
-15.562
-21.514
-27.466
-33.418
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-108.910
789.190
1376.013
1651.561
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1268.828
610.547
-359.010
-1639.842
-3231.951
-.004
-.004
-.004
-.004
-.004
-.004
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33.418
27.466
21.514
-3231.802
-1639.681
-358.836
-.115
-.115
-.115
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
94
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
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15.563
9.611
3.659
-2.292
-8.244
-14.196
-20.148
-26.099
610.733
1269.027
1616.044
1651.785
1376.250
789.439
-108.648
-1318.011
-.115
-.115
-.115
-.115
-.115
-.115
-.115
-.115
- Analise completa - fim do processamento
B4) VIGA VS1 ISOLADA
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS
SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS
PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92
PROJETO: CONCRETO II - TORCAO
CLIENTE: MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO
============================
PORTICO: VS 1 (19 x 60)
============================
===========================================================================
COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS
NO
COORD X
COORD Y
RESTR X
RESTR Y
RESTR R
===========================================================================
1
2
.000
330.000
.000
.000
1
1
1
1
1
0
===========================================================================
CARACTERISTICAS DAS BARRAS
NO
ROT
NO
ROT
COSSENO
BARRA
INIC
INIC
FIN
FIN
PROP
COMPRIMENTO
DIRETOR
===========================================================================
1
1
0
2
0
1
330.000
1.0000
===========================================================================
PROPRIEDADES DAS BARRAS
PROP
MAT
AREA
I FLEXAO
ALTURA
TEMP
===========================================================================
1
1
.11400E+04
.34200E+06
60.00
.00
===========================================================================
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
MAT
MOD LONG
PESO ESP
COEF TERM
===========================================================================
1
.212800E+04
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
.00000E+00
.00000E+00
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
===========================================================================
CARREGAMENTO: CARR1
(PORTICO: VS 1 (19 x 60)
)
===========================================================================
===========================================================================
DESLOCAMENTOS NODAIS
NO
DESLOC X
DESLOC Y
ROTACAO
===========================================================================
1
2
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
-.0002484
===========================================================================
ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS
BARRA
NO
NORMAL
CORTANTE
M FLETOR
===========================================================================
1
1
2
.000
.000
49.809
-29.886
-3287.419
.000
===========================================================================
RESULTANTES NODAIS
NO
RESULT X
RESULT Y
MOMENTO
===========================================================================
1
2
.000
.000
49.809
29.886
SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................
SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................
ERRO PERCENTUAL ..............................................
-3287.419
.000
79.695
-79.695
.0000000 %
===========================================================================
ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS
BARRA
REL X/L
NORMAL
CORTANTE
M FLETOR
===========================================================================
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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1
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.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
.000
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
49.809
41.840
33.870
25.901
17.931
9.962
1.992
-5.977
-13.947
-21.916
-29.886
-3287.419
-1775.206
-525.987
460.238
1183.471
1643.709
1840.954
1775.206
1446.464
854.729
.000
96
1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
B5) VIGA VS6 ISOLADA
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS
SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS
PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92
PROJETO: CONCRETO II - TORCAO
CLIENTE: MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO
============================
PORTICO: VS 6 (19 x 60)
============================
===========================================================================
COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS
NO
COORD X
COORD Y
RESTR X
RESTR Y
RESTR R
===========================================================================
1
2
.000
523.000
.000
.000
.10000E+38
1
.10000E+38
1
.30824E+06
1
===========================================================================
CARACTERISTICAS DAS BARRAS
NO
ROT
NO
ROT
COSSENO
BARRA
INIC
INIC
FIN
FIN
PROP
COMPRIMENTO
DIRETOR
===========================================================================
1
1
0
2
0
1
523.000
1.0000
===========================================================================
PROPRIEDADES DAS BARRAS
PROP
MAT
AREA
I FLEXAO
ALTURA
TEMP
===========================================================================
1
1
.11400E+04
.34200E+06
60.00
.00
===========================================================================
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
MAT
MOD LONG
PESO ESP
COEF TERM
===========================================================================
1
.212800E+04
.00000E+00
.00000E+00
===========================================================================
CARREGAMENTO: CARR1
(PORTICO: VS 6 (19 x 60)
)
===========================================================================
===========================================================================
DESLOCAMENTOS NODAIS
NO
DESLOC X
DESLOC Y
ROTACAO
===========================================================================
1
2
.0000000
.0000000
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
.0000000
.0000000
.0004206
.0000000
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1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado
===========================================================================
ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS
BARRA
NO
NORMAL
CORTANTE
M FLETOR
===========================================================================
1
1
2
.000
.000
21.632
-35.061
-129.650
-3641.493
===========================================================================
RESULTANTES NODAIS
NO
RESULT X
RESULT Y
MOMENTO
===========================================================================
1
2
.000
.000
21.632
35.061
SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................
SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................
ERRO PERCENTUAL ..............................................
-129.650
3641.493
56.693
-56.693
.0000000 %
===========================================================================
ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS
BARRA
REL X/L
NORMAL
CORTANTE
M FLETOR
===========================================================================
1
1
1
1
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.000
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UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos
21.632
15.962
10.293
4.624
-1.045
-6.715
-12.384
-18.053
-23.723
-29.392
-35.061
-129.650
853.440
1540.025
1930.104
2023.678
1820.747
1321.310
525.367
-567.081
-1956.035
-3641.493