Universidade Salvador
Departamento de Engenharia e Arquitetura
Curso de Engenharia Elétrica
Geometria Analı́tica e Álgebra Linear:
Princı́pios e Aplicações na Engenharia
Franklin Lima
Danilo Barreto
Igor Moreira
Lucas Miranda
Thiago Sousa
Salvador
2010
Sumário
1 Introdução
3
2 Vetores
4
2.1
2.2
2.3
Soma de vetores e multiplicação por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Método geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Método analı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Produto entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.1
Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.2
Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3 Autovalores e Autovetores
11
3.1
Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2
Exercı́cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.1
3.3
Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1
Genética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Sistemas de Equações Lineares
17
4.1
Eliminação Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2
Solução por Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3
Exercı́cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4
Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4.1
Redes Elétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4.2
Balanceamento de Equações Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4.3
Matemática aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Conclusão
24
Referências Bibliográficas
25
3
1 Introdução
Uma das maiores dificuldades que os alunos de engenharia e áreas correlatas enfrentam
é a ampla quantidade de assuntos apresentados e que, na maioria das vezes, necessitam
de um alto nı́vel de abstração para o seu entendimento, uma vez que a sua comprovação
prática se torna limitada por diversos motivos.
Este trabalho propõe uma breve revisão de conceitos básicos relacionados com
a Geometria Analı́tica e a Álgebra Linear com foco em suas aplicações, objetivando minimizar os problemas enfretados pelos alunos destes cursos de modo a mostrar-lhes as
aplicações práticas dos estudos de determinados assuntos.
O estudo se inicia através da noção de vetor, apresentando subsequentemente
algumas propriedades e operações básicas com estes entes matemáticos muito usados na
fı́sica.
O capı́tulo 3 trata dos autovalores e autovetores, conceitos também matemáticos,
mas com uma infinidade de aplicações, como na mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatı́stica, dentre outros.
Por fim, mas não menos importantes, apresentaremos, no capı́tulo 4 os Sistemas de Equações Lineares, focando no métodos de eliminação Gaussiana e Matriz Inversa para a sua resolução.
Os autores
4
2 Vetores
Grandezas como temperatura, pressão, massa, potência e outras podem ser completamente definidas por um único valor numérico e sua unidade de medida, como por exemplo:
25 o C, 1 KPa, 2.800 kg. Elas são denominadas grandezas escalares porque, na forma
gráfica, podem ser visualizadas como um ponto numa escala.
Outras grandezas como velocidade, força, etc. precisam, no entanto, além do
valor escalar, de uma direção e graficamente são representadas por um segmento de reta
com seta. Estas grandezas são denominadas grandezas vetoriais.
Um vetor é, portanto, um ente matemático, que para sua completa descrição
deve ser conhecida a sua intensidade, ou módulo, ou ainda norma, direção e sentido.
Notação
Um vetor pode ser denotado por uma letra com uma seta em cima, ou ainda um acento
→
~ ou por seu segmento de reta orientado, como em −
circunflexo, por exemplo dˆ ou d,
AB.
Por ser um segmento de reta orientado, o vetor precisa de, no mı́nimo, dois
pontos para a sua definição. Vejamos o exemplo abaixo.
−→
Exemplo. Dados os pontos A = (0, 0, 0) e B = (2, 3, 1), o vetor AB, será
−→
AB = B − A ⇒ (2, 3, 1) − (0, 0, 0) = (2, 3, 1),
que pode ser chamado genericamente como ~u = (2, 3, 1), isto por que uma de suas
coordenadas é a origem.
−→
Importante! Note que existe também o vetor BA, que será
−→
BA = A − B ⇒ (0, 0, 0) − (2, 3, 1) = (−2, −3, −1),
ou pode ser chamado genericamente como ~v = (−2, −3, −1). Ressaltando-se que ~u 6= ~v ,
embora |~u| = |~v |.
2.1
Soma de vetores e multiplicação por escalar
Sejam ~v1 e ~v2 dois vetores. A soma desses vetores é um terceiro vetor, o vetor
resultante:
~v = ~v1 + ~v2
2.1.1
Método geométrico
Adição de vetores
Para determinarmos o módulo, a direção e o sentido desse vetor resultante, utilizamos a
regra do paralelogramo.
Primeiramente, desenhamos o paralelogramo definido a partir dos vetores ~v1 e ~v2 .
a) Módulo do vetor resultante: É dado pelo comprimento da diagonal indicada na
figura. Portanto, v2 = v12 + v22 + 2v1 v2 cosα, onde α é o ângulo entre os dois vetores.
b) Direção: Aquela da reta que contém a diagonal.
c) Sentido: A partir do vértice formado pelos dois vetores.
Portanto o vetor resultante é obtido desenhando-se uma das figuras abaixo:
5
Subtração de vetores
Consideremos os vetores ~v1 e ~v2 . A subtração de vetores ~v1 e ~v2 , resulta em um terceiro
vetor (chamado resultante), cujas propriedades são inferidas a partir da soma dos vetores
~ 2 ). O vetor tem módulo e direção iguais ao do vetor mas tem o sentido oposto.
~v1 e (−v
~ 2.
Reduzimos o problema da subtração de dois vetores ao problema da soma de ~v1 e −v
2.1.2
Método analı́tico
Além da representação geométrica (ou gráfica) utilizada anteriormente, podemos fazer
uso de uma outra representação, conhecida como representação analı́tica do vetor.
Na representação analı́tica também utilizamos um conjunto de três atributos de
um vetor (esses atributos são conhecidos como componentes do vetor). Para a definição de
componentes, a melhor alternativa - e a mais fácil - é usar um sistema de eixos cartesianos.
Componentes de um vetor
Dado um sistema de eixos cartesianos (composto de um conjunto de três eixos ortogonais), podemos definir as componentes de um vetor nesse sistema de eixos tomando-se as
projeções do vetor nesses eixos.
Vamos tomar, por uma questão de simplicidade, um sistema com dois eixos
ortogonais (x e y). Esses dois eixos estão contidos num plano. Consideremos um vetor
nesse plano. A componente x do vetor ~v (designada por ~vx ) é dada pela projeção do
vetor no eixo x. Para determinarmos a projeção do vetor ao longo de qualquer eixo,
consideramos as extremidades do vetor e por elas traçamos linhas perpendiculares ao eixo
até encontrá-lo. Tomamos então a distância entre as interseções como a projeção se a
flecha estiver na mesma direção do eixo (isto é, se o ângulo entre o vetor e o sentido
6
positivo do eixo for um ângulo agudo). Caso contrário, a projeção será essa distância,
mas com sinal negativo.
A projeção, portanto, tem que levar em conta a orientação do vetor em relação
ao eixo. A projeção fica melhor definida, matematicamente, em termos do ângulo θ (entre
o vetor e o eixo x). Podemos escrever:
~vx = |v|cosθ,
onde v é o módulo do vetor.
Analogamente, a componente y é a projeção do vetor ~v ao longo do eixo y. A expressão
para ~vy é, em termos de θ:
~vy = |v|senθ
Multiplicação por um escalar
Podemos multiplicar um vetor ~v por um número α. Dessa operação resulta um novo
vetor:
~ = α~v ,
R
com as seguintes caracterı́sticas:
a) O módulo do novo vetor é o que resulta da multiplicação do valor absoluto de pelo
módulo de ~v .
b) A direção do novo vetor é a mesma de ~v .
c) O sentido de R é o mesmo de ~v se α for positivo e oposto ao de ~v se α < 0.
7
2.2
Produto entre vetores
Na seção anterior vimos o produto entre um vetor e um escalar, operação que resulta
noutro vetor com mesma direção e sentido diferente caso o escalar seja negativo, ou
mesmo sentido caso o escalar seja positivo. Veremos nesta seção dois outros tipos de
produtos, agora entre vetores. São os produtos escalar e vetorial.
2.2.1
Produto Escalar
Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores ~u = x1~i+y1~j +z1~k
e ~v = x2~i + y2~j + z2~k, e se representa por ~u · ~v , ao número real
~u · ~v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
O produto escalar de ~u por ~v também é indicado por < ~u, ~v > e se lê u escalar v.
Exemplo 1. Se ~u = 3~i − 5~j + 8~k e ~v = 4~i − 2~j − ~k, tem-se
~u · ~v = 3 × 4 + (−5) × (−2) + 8 × (−1) = 12 + 10 − 8 = 14
Propriedades do Produto Escalar
I. ~v · w
~ =w
~ · ~v
II. ~v · ~v = |~v | · |~v | = |v|2
III. ~u · (~v + w)
~ = ~u · ~v + ~u · w
~
IV. (k~v ) · w
~ = ~v · (k w)
~ = k(~v · w)
~
V. |k~v | = |k||~v |
VI. |~u · ~v | < |~u| · |~v | (desigualdade de Schwarz)
VII. |~u + ~v | < |~u| + |~v | (desigualdade triangular)
2.2.2
Produto Vetorial
Dados os vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k e ~v = x2~i + y2~j + z2~k, tomados nesta ordem, chama-se
produto vetorial dos vetores ~u e ~v , e se representa por ~u × ~v , ao vetor:
~u × ~v = (y1 z2 − z1 y2 )~i − (x1 z2 − z1 x2 )~j + (x1 y2 − y1 x2 )~k
8
Cada componente deste vetor pode ainda ser expresso na forma de um determinante de
2a ordem:
y1 z1 x1 z1 x1 y 1 ~i − ~j + ~k
~u × ~v = y2 z2 x2 z2 x2 y 2 Exemplo 1. Cálculo do produto vetorial dos vetores ~u = 5~i + 4~j + 3~k e ~v = ~i + ~k, tem-se
~ ~ ~
i j k
~u × ~v = 5 4 3
1 0 1
Resolvendo o determinante, temos
4 3
~u × ~v = 0 1
5 3
~i − 1 1
5 4
~j + 1 0
~k
~u × ~v = (4 − 0)~i − (5 − 3)~j + (0 − 4)~k
~u × ~v = 4~i − 2~j − 4~k
Propriedades do Produto Vetorial
I. ~v × w
~ = −w
~ × ~v
II. ~u × (~v + w)
~ = ~u × ~v + ~u × w
~
III. k(~v × w)
~ = (k~v ) × w
~ = ~v × (k w)
~
IV. ~i × ~i = ~j × ~j = ~k × ~k = 0
V. ~i × ~j = ~k; ~j × ~k = ~i; ~k × ~i = ~j
VI. Se ~v × w
~ = 0 (~v e w
~ não nulos) então ~v e w
~ são paralelos
2.3
Aplicações
Produto Escalar
1. Sabendo que um corpo se desloca do ponto A = (0, 0, 0) para o ponto B = (5, 4, 3),
pois uma força F~ = 10~i + 8~j + 6~k atua sobre ele, e que o trabalho realizado por uma
~ determine W.
força é dado por W = F~ · d,
9
−→
Solução: O vetor d~ = AB ⇒ B − A ⇒ (5, 4, 3) − (0, 0, 0) = (5, 4, 3)
A força F~ = 10~i + 8~j + 6~k pode ser escrita como F~ = (10, 8, 6)
~ denotado por F~ · d~
O trabalho é dado pelo produto escalar de F~ e d,
W = F~ · d~
W = (10, 8, 6) · (5, 4, 3)
W = 10 × 5 + 8 × 4 + 6 × 3 = 50 + 32 + 18 = 100J
Produto Vetorial
1. Uma partı́cula de carga −1, 6 · 10−19 C viaja a uma velocidade 3 · 108 m/s quando
submetida a um campo magnético de 2, 08 · 1010 T . Qual a força que atua sobre esta
partı́cula, sabendo que a direção de deslocamento é ortogonal ao campo?
Solução:
~ ou ainda por
Sabendo-se que a força magnética é dada por F~ = q · ~v × B,
~ · sen90o , temos:
F~ = |q| · ~v · B
F~ = | − 1, 6 · 10−19 | · (3 · 108 ) · (2, 08 · 1010 ) · 1
F~ ≈ 0, 8N
2. Dado um paralelogramo ABCD, onde A = (1, 2, 0), B = (2, 3, 1) e C = (1, 0, 4),
determine a sua área.
Solução:
−→
−−→
Tomando o vetor AB e o vetor BC, temos que a área do paralelogramo é dada por:
−→ −−→
A = |AB × BC|
−→
AB = B − A ⇒ (2, 3, 1) − (1, 2, 0) = (1, 1, 0) e
−−→
BC = C − B ⇒ (1, 0, 4) − (2, 3, 1) = (−1, −3, 3)
−→ −−→
fazendo o produto vetorial, AB × BC, obtemos 1 u.a.
10
11
3 Autovalores e Autovetores
Autovalores e autovetores são conceitos importantes de matemática, com aplicações práticas
em áreas diversificadas como mecânica quântica, processamento de imagens, análise de
vibrações, mecânica dos sólidos, estatı́stica, etc. Neste capı́tulo veremos as definições e
aplicações dos autovalores e autovetores.
3.1
Definição
Se A é a matriz n × n, então um vetor não-nulo x em Rn é chamado de um autovetor de
A se A x é um múltiplo escalar de x, ou seja,
Ax = λx
(3.1)
para algum escalar λ. O escalar λ é chamado um autovalor de A e dizemos que x é um
autovetor associado a λ.
Em R2 e R3 , a multiplicação por A manda cada autovetor x de A (se houver) sobre a
mesma reta pela origem que x. Dependendo do sinal e da magnitude do autovalor λ
associado a x, o operador linear Ax = λx comprime ou estica x por um valor λ,
invertendo o sentido no caso de λ negativo, como a figura abaixo mostra.

Exemplo 1. O vetor x = 
1
2

 é um autovetor de

A=
3
0
8 −1


correspondendo ao autovalor λ = 3, pois

Ax = 
3
0
8 −1


1
2


=
3
6

 = 3x
Para encontrar os autovalores de uma matriz A de tamanho n × n nós reescrevemos
Ax = λx como
Ax = λIx
(3.2)
ou, equivalentemente,
det(λI − A) = 0
Esta equação é a equação caracterı́stica de A; os escalares que satisfazem esta
equação são os autovetores de A. Quando expandido, o determinante det(λI − A) é um
polinômio p em λ que é chamado o polinômio caracterı́stico de A.
Pode ser mostrado que se A é uma matriz n × n, então o polinônimo caracterı́stico de A
tem grau n e o coeficiente de λn é 1, ou seja, o polinômio caracterı́stico p(x) de matriz
n × n é da forma
p(λ) = det(λI − A) = λn + c1 λn−1 + · · · + cn
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra segue que a equação caracterı́stica
λn + c1 λn−1 + · · · + cn
tem, no máximo, n soluções distintas, de modo que uma matriz n × n tem, no máximo,
n autovalores distintos.
3.2
3.2.1
Exercı́cios Resolvidos
Autovalores e Autovetores
Questão 1. Dada a matriz

A=
4 −5
2 −3
12


Calcule seus autovalores e autovetores
Solução:
Calculando os autovalores

A=
4 −5
2 −3


 ⇒ A − λI = 
4−λ
−5
−3 − λ
2


det(λI − A) = 0
(4 − λ)(−3 − λ) + 10 = 0 ⇒ λ2 − λ − 2 = 0
λ=
√
1± 9
2
⇒ λ1 = −1 e λ2 = 2
Calculando os autovetores

(A − λ1 I)x = 0 ⇒ 

(A − λ2 I)x = 0 ⇒ 
3.3
3.3.1
5 −5
2 −2
2 −5
2 −5




x
y
x
y


=


=
0
0
0
0


 ⇒ x1 = 


 ⇒ x1 = 
c
c
5c
2c




Aplicações
Genética
Caracterı́sticas Hereditárias: Vamos apenas analisar a herediriedade de animais ou
plantas. Vamos supor que a caracterı́stica heriditária sob consideração é governada por
um conjunto de dis genes, que nós denominamos A e a. Por hereditariedade autossômica
cada indivı́duo de cada sexo possui dois destes genes, e os possı́veis pares são AA, Aa e
aa. Este par de genes é chamado de o genótipo do indivı́duo e determina como o caráter
controlado por estes genes se manisfeta no indivı́duo. Por exemplo, nas bocas-de-leão,
um conjunto de dois genes controla a cor da flor. O genótipo AA produz flores vermelhas,
o genótipo Aa produz flores roxas e o genótipo aa produz flores brancas. Nos humanos,
a cor dos olhos é controlada por hereditariedda autossômica, Os genótipos AA e Aa têm
olhos castanhos e o genótipo aa tem olhos azuis. Neste caso dizemos que o gene A domina
o gene a, ou então que o gene a é recessivo em relação ao gene A, pois o genótipo A a
apresenta a mesma caracterı́stica esterna que o genótipo AA.
13
Além da hereditariedade autossômica, nós também discutiremos a hereditariedade ligada ao sexo. Neste tipo de hereditariedade, o macho da espécie possui apenas
um dos dois possı́veis genes ( A ou a) e a fêmea possu somente um par de dois dos possı́veis
genes (AA, Aa ou aa). Nos humanos, o daltonismo, a calvice hereditária, a hemofilia e a
distrofia muscular , para citar somente alguns, são caracterı́sticas controladas por hereditariedade ligada ao sexo.
Hereditariedade Autossômica:
Na hereditariedade autossômica, um in-
divı́duo herda um dos genes de cada par de genes dos seus pais para formar seu próprio
e particular par. Pelo que sabemos, é uma questão de sorte qual dos dois genes os pais
passam aos filhos. Assim, se um dos pais é do genótipo Aa, é igualmente provável que o
descendente herde o gene A ou o gene a daquele genitor. Se um dos pais é do genótipo
aa e o outro genitor e do genótipo Aa, o descendente sempre receberá um gene a do
genitor aa e receberá, com igual probabilidade, ou um gene A ou um gene a do genitor
Aa. Consequentemente, cada descendente terá chances iguais de ser do genótipo Aa ou
aa. Na tabela 1 nos listamos as probabilidades dos possı́veis genótipos dos descendentes
para todas as prováveiscombinações de genótipos dos pais.
Exemplo 1. Suponha que um agricultor tem uma grande população de plantas consistindo de alguma distribuição de todos os três possı́veis genótipos AA, Aa e aa. O
agricultor deseja implementar um programa de criação no qual cada planta da população
é sempre fertilizada por um genótipo AA. Nós queremos deduzir uma expressão para a
distribuição dos três genótipos na população depois de um número qualquer de gerações.
Para n = 0, 1, 2..., vamos escrever
an = fração de plantas do genótipo AA na n-ésima geração
bn = fração de plantas do genótipo Aa na n-ésima geração
cn = fração de plantas do genótipo aa na n-ésima geração
Assim, a0 , b0 e c0 especificam a distribuição inicial dos genótipos. Nós temos que
14
an + bn + cn = 1, para n = 0, 1, 2, ...
Pela Tabela 1 nós podemos determinar a distribução de genótipos em cada geração e a
partir da distribuição na geração precedente, pelas seguintes equações:
an = an−1 + 21 bn−1
bn = cn−1 + 12 bn−1
n = 1, 2, ...
cn = 0
Por exemplo, primeira destas três equações afirma que todos os descedentes de uma
planta do genótipo AA serão do genótipo AA neste programa de criação e metade dos
descendentesde uma planta do genótipo A a será do genótipo AA. As equações (1)
podem ser escritas em notação matricial como:
x(n) = M xn−1 , n = 1, 2, ...
onde

an


an−1






x(n) =  bn , xn−1 =  bn−1



cn−1
cn


1
1
2
0







 e M =  0 12 1 



0 0 0
Observe que as três colunas da matriz M são iguais à três primeiras colunas da Tabela 1.
Da equação (2) segue que
x(n) = M xn−1 = M 2 xn−2 = · · · = M n x(0)
Consequentemente, se nós encontrarmos uma expressão explı́cita para M (n) , nós
podemos usar (3) para encontrar uma expressão explı́cita para x(n) . Para encontrar uma
expressão explı́cita para M (n) , nós primeiro diagonalizamos M , ou seja, procuramos uma
matriz invertı́vel P e uma matriz diagonal D tais que:
M (n) = P DP −1
Com esta diagonalização, nós teremos então
M (n) = P Dn P −1 para n = 1, 2, ...
15
onde




Dn = 



λ1
0 ···
0
n
0
0
..
.
λ2
..
.
0 ···
.. . .
.
.
0
..
.
0
0
0 ···
λk

λn1
0
0 ···
0





 0
 =

 ..

 .


0
λn2
..
.
0 ···
.. . .
.
.
0
..
.
0
0 ···
λnk








A diagonalização de M é obtida encontrando os autovalores e correspondentes
autovetores.
Segue-se que

x
(n)
n
= PD P
1
1
1

1
0
0

1
1
1

a0











1
n
x 0) =  0 −1 −2   0 ( 2 ) 0   0 −1 −2   b0 





0 0
1
0 0 0
0 0
1
c0
−1 (
Lembrando que an + bn + cn = 1, nós obtemos
an = 1 − ( 21 )n b)0 − ( 21 )( n − 1)c0
bn = ( 12 )n b)0 + ( 12 )( n − 1)c0
n = 1, 2, ... cn = 0
Estas são fórmulas explı́citasparaa fração dos três genótipos na n-ésima geração
deplantas em termos das frações de genótipos iniciais. Como
1n
2
tende a zero quando n
tende ao infinito, segue destas equações
an → 1
bn → 0
cn = 0
quando n tende ao infinito. Isto mostra que no limite de todas as plantas da população
serão do genótipo AA.
16
17
4 Sistemas de Equações Lineares
Qualquer linha reta no plano xy pode ser representada algebricamente por uma equação
na forma
a1 x + a2 y = b
(4.1)
onde a1 , a2 e b são constantes reais e a1 e a2 não são ambas nulas. Uma equação
desta forma é chamada de equação linear nas variáveis x e y. Mais geralmente, nós
definimos uma equação linear nas n variáveis x1 , x2 , ..., xn como uma equação que pode
ser expressa na forma
a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n = b
(4.2)
onde a1 , a2 , ..., an e b são constantes reais. As variáveis de uma equação linear
são, muitas vezes, chamadas incógnitas.
Exemplo 1. As equações x + 3y = 7, y = 21 x + 3z + 1 e x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 7
são lineares. Observe que uma equação linear não envolve quaisquer produtos ou raı́zes
variáveis. Todas as variáveis ocorrem somente na primeira potência e não aparecem
como argumentos de funções trigonométricas, logarı́tmicas ou exponenciais. As equações
√
x + 3 y = 5, 3x + 2y − z + xz = 4 e y = senx são não-lineares.
Uma solução de uma equação linear a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b é uma
sequência de n números s1 , s2 , ..., sn tais que a equação é satisfeita quando substituı́mos
x1 = s1 , x2 = s2 , ..., xn = sn . O conjunto de todas as soluções de uma equação é seu
conjunto-solução ou, às vezes, a solução geral da equação.
4.1
Eliminação Gaussiana
O Método de Eliminação de Gauss (MEG) é um algoritmo sistemático e eficaz que permite
determinar a solução geral de qualquer SEL m × n. A implementação deste método tem
por base a aplicação sucessiva de um conjunto de operações (denominadas operações
elementares) que transformam o SEL inicial num SEL mais simples mas com a mesma
solução geral que o SEL de partida. Por definição, as operações elementares que se podem
aplicar a um SEL são as seguintes:
• Multiplicação de uma equação do SEL por qualquer número real não nulo;
• Troca da ordem de duas equações do SEL;
• Soma de uma equação do SEL com um múltiplo de outra das equações do SEL.
4.2
Solução por Matriz Inversa
Consideremos o sistema com expressão geral dado abaixo e que tem n equações lineares
com n incógnitas:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3n xn
·································
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3n xn
Que pode ser escrito na forma matricial A · X = B. A matriz A chama-se matriz do
sistema, tem dimensão n × n e seus elementos são os coeficientes das incógnitas. A
matriz X é uma matriz coluna, de dimensão n × 1, formada pelas incógnitas do sistema.
Por último, a matriz B é uma outra matriz coluna, de dimensão n × 1, formada pelos
termos independentes. Assim:
A · X = B ⇔ A−1 · A · X = A−1 · B ⇔ X = A−1 · B
4.3
Exercı́cios Resolvidos
Questão 1. Com base no sistema linear abaixo é possı́vel afirmar:



x + 2x2 + 3x3 = 5

 1
2x1 + 5x2 + 3x3 = 3



 x + 8x = 17
1
3
18
I. O sistema é possı́vel e determinado
II. S1 = (1, −1, 2) é uma solução particular do sistema.
III. O sistema é impossı́vel


40 16 9




IV. A matriz inversa dos coeficientes é:  13 −5 −3 


5 −2 −1
Solução:
I. Verdadeira, pois o determinante da matriz dos coeficiente é diferente de zero 0
(exercı́cio ao leitor)
II. Verdadeira, pois:

1 2 3 1 0 0


 2

1

1


 0

0

1


 0

0

1


 0

0

1


 0

0

40


 13

5



5 3 0 1 0  L2 = L2 − 2L1 e L3 = L3 − L1

0 8 0 0 1

2
3
1 0 0


1 −3 −2 1 0  L1 = L1 − 2L2 e L3 = L3 + 2L2

−2 5 −1 0 1

2
3
1 0 0


1 −3 −2 1 0  L3 = L3 (−1)

−2 5 −1 0 1

0 9
5 −2 0


1 −3 −2 1
0  L1 = L1 − 9L3 e L2 = L2 + 3L3

0 1
5 −2 −1

0 0 40 16 9


1 0 13 −5 −3 

0 1 5 −2 −1
 
 

16 9
5
1
 
 

 
 

×
=




−5 −3
3
−1 
 
 

−2 −1
17
2
III. Falsa, comprovada pela proposição I.
IV. Verdadeira, comprovada na proposição II.
19
Questão 2 (proposta). Com base no sistema linear abaixo é possı́vel afirmar:



x + 2x2 + x3 = −1

 1
x1 − x2 + x3 = 4



 x + x = 17
1
2
I. O sistema não é possı́vel e determinado.
II. Substituindo os valores dos termos independentes por (b1 = 5, b2 = 0, b3 = 0) os
valores que x assumirá será (x1 = −5/3,x2 = 5/3, x3 = 10/3)
−1/3 1/3
1


III. A matriz inversa dos coeficientes é:  1/3 −1/3 0

2/3
1/3 −1




IV. Substituindo os valores dos termos independentes por (b1 = −1, b2 = −1, b3 = 3) os
valores que x assumirá será (x1 = 3, x2 = 0, x3 = 2)
V. S1 = (16/3, −4/3, −11/3) é uma solução particular do sistema.
4.4
4.4.1
Aplicações
Redes Elétricas
Questão 1. Encontre o valor das correntes no circuito abaixo
Suponhamos que em um circuito elétrico temos 3 correntes elétricas especificadas I1 , I2
e I3 .
Aplicando a lei de corrente de Kirchhoff aos pontos A e B, obtemos:
20
I1 = I2 + I3 (Ponto A)
I3 + I2 = I1 (Ponto B)
Como ambas estas equações simplificam à mesma equação linear
I1 − I2 − I3 = 0 (1)
Nós precisamos de mais duas equações para determinar I1, I2 e I3 de modo único. Estas
equações serão obtidas com a Lei de Voltagem de kirchhoff. Para aplicar a lei de
voltagem de Kirchhoff a um circuito fechado, selecione um sentido positivo em torno do
circuito (digamos, sentido horário) e faça a seguinte convenção de sinais:
• Uma corrente passando por um resistor produz uma diferença de potencial positiva
se flui no sentido positivo do circuito e uma diferença de potencial negativa se flui
no sentido negativo do circuito.
• Uma corrente passando por um capacitor produz uma diferença de potencial positiva
se o sentido positivo do circuito é de + para - e uma diferença de potencial negativa
se o sentido positivo do circuito é de - para +.
Aplicando a Lei de Kirchhoff e a Lei de Ohm à malha interna da figura, obtemos
7I1 + 3I3 − 30 = 0 (2)
E a malha interna 2, obtemos
11I2 − 3I3 − 50 = 0 (3)
Combinando (1), (2) e (3) resulta o sistema linear



I − I2 − I3 = 0

 1
7I1 + 3I3 = 30



 11I − 3I = 50
2
3
Resolvendo este sistema linear obtemos os seguintes valores para as correntes
I1 = 570/131(A), I2 = 590/131(A), I3 = −20/131(A)
21
4.4.2
Balanceamento de Equações Quı́micas
Questão 1. A combustão de amônia (N H3 ) em oxigênio produz nitrogênio (N2 ) e água.
Encontre uma equação quı́mica balanceada para essa reação.
Solução:
wN H3 + xO2 → yN2 + zH2 O
Comparando os números de átomos de nitrogênio, hidrogênio e oxigênio nos reagentes e
nos produtos, obtemos o seguinte sistema de equações:
Nitrogênio: w = 2y
Hidrogênio: 3w = 2z
Oxigênio: 2x = z
Desta forma, montando o sistema, temos:



w - 2y = 0


3w - 2z = 0



 2x - z = 0
cuja solução é
4N H3 + 3O2 → 2N2 + 6H2 O
4.4.3
Matemática aplicada
Questão 1. Dois alunos ao comparem suas notas perceberam algo de estranho,
Joãozinho tirou 1 ponto na prova A e 1 ponto na prova B, já Pedrinho tirou 5 pontos na
prova A e 6 na prova B e obtiveram, respectivamente, notas 2 e 9. Qual seria o peso de
cada prova?
Solução:


1 1 1 0

 L2 = L2 − 5L1
5 6 0 1
22






1
1 1

0
 L1 = L1 − L2
0 1 −5 1
1 0
6
−1
0 1 −5
6
−5
−1
1
1
×
2
9




=
3
1


Logo, os pesos são 3 e 1.
23
24
5 Conclusão
Com o trabalho realizado pudemos rever os conceitos e assuntos abordados no programa
semestral da matéria Geometria Analı́tica e Álgebra Linear, os quais são fundamentais
para uma sólida formação matemática, indispensável para o curso de engenharia elétrica
e áreas afins. Tivemos uma oportunidade ı́mpar de, além de revisar conceitos já vistos
anteriormente, conhecer algumas das aplicações destes em campos de estudo e pesquisa,
quebrando o contexto teórico em que são aplicados esses conteúdos, fazendo com que haja
um maior interesse por estes e conseqüentemente uma maior absorção. Por exemplo, saber
que assuntos como autovalores e autovetores são utilizados na investigação da propagação
de uma caracterı́stica herdada em sucessivas gerações (Genética) e que os conceitos dos
sistemas lineares são utilizados para resolver problemas através da Interpolação Spline
Cúbica aumenta a importância dada a esses assuntos e traz motivação aos seu estudo.
Essa atividade foi fundamental para mostrar que matemática não é apenas teoria, e suas
aplicações são fundamentais tanto para a engenharia quanto para a medicina, para a arte
entre outras áreas, e com isso seu estudo dedicado é peça indispensável para profissional
de sucesso.
Referências Bibliográficas
[1] Callioli, Carlos A., Álgebra Linear e Aplicações, Atual, São Paulo, 1990.
[2] Anton, H., Rorres, C., Álgebra Linear com Aplicações, Bookman, Porto Alegre, 2001.
[3] Lipschutz, S. Álgebra Linear, Makron Books, 1994 (Coleção Schaum).
[4] Steinbruch, A., Winterle, P. Álgebra Linear, Makron Books.
[5] Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler. Álgebra Linear. Harbra, 1980.