PROVA DE MATEMÁTICA DO 3O ANO _EM DO COLÉGIO ANCHIETA – BA.
ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.
QUESTÃO 01.
Na figura, as medidas dos segmentos AD e DB são,
respectivamente, p e q.
É verdade que:
(01) O raio do círculo é igual à media aritmética das medidas
p e q.
(02) A medida do segmento AC é igual à média geométrica
das medidas p e q.
(p + q) p.q
.
(04) A área do triângulo ABC é igual a
2
q
(08) sen (BÂC) =
.
p+q
(16) A medida do segmento EC é igual à média harmônica das medidas p e q, isto é, igual a
2p.q
.
p+q
RESOLUÇÃO:
O triângulo ABC é retângulo ( o diâmetro AB é um dos seus lados).
(01) VERDADEIRO.
AD + DB = 2r ⇒ p + q = 2r ⇒ r =
p+q
.
2
(02) FALSO.
AC é um cateto do triângulo ABC e o segmento AD sua projeção ortogonal sobre a
hipotenusa AB , logo , AC2 = AB.AD ⇒ AC2 = (p + q) . p ≠ p . q.
(04) VERDADEIRO.
O segmento CD é a altura relativa à hipotenusa do triângulo ABC, logo, CD2 = AD.DB ⇒
h2 = p . q ⇒ h = p.q
AB.h (p + q ) p.q
=
.
2
2
A área do triângulo ABC pode então ser calculada da seguinte forma S =
(08) VERDADEIRO.
BC2 = (p + q) . q ⇒ BC =
(p + q).q ⇒ sen (BÂC) =
(p + q).q
=
p+q
(p + q).q
(p + q )
2
=
q
.
p+q

(16) VERDADEIRO.
p+q
No triângulo retângulo CDO, CD2 = CE. CO ⇒ ( p.q )2 = CE.r ⇒ p.q = CE . 
 ⇒ CE =
 2 
2p.q
.
p+q
QUESTÃO 02,
Num loteamento estão à venda três terrenos, situados em ruas distintas, com as dimensões em
metros, indicadas nas figuras abaixo:
Os preços por m2 para venda desses terrenos são:
Lote 1: R$ 40,00/m2
30,00/m2.
Lote 2: R$ 60,00/m2
Lote 3: R$
É verdade que, considerando π =3:
(01) O valor do lote (1) é R$ 18.000,00.
(02) O valor do lote (1) é igual a 75% do valor do lote (2).
(04) dividindo-se o valor total dos três lotes pela soma das suas áreas obtemos o valor unitário
médio desses lotes inferior a R$ 50,00.
(08) Se o lote (2) custou R$ 20.000,00, o lucro obtido com sua venda, em relação ao seu custo
foi de 15%.
(16) O valor do lote (2) é mais de 40% superior ao valor do lote (3).
(32) Para cercar completamente os 3 lotes são necessários 290m de muro.
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2

RESOLUÇÃO:
O lote 3 tem a forma de um trapézio retângulo. Para o cálculo
de sua área precisamos conhecer a sua altura AB ( na figura
ao lado).
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo
ABC encontramos : h2 = 625 – 225 ⇒ h = 20.
(20 + 35).20 = 550 m2.
Logo a área do lote 3 é S =
2
PERÍMETRO
Lote 2
ÁREA
m2
S=
60°
1
× 900π = × 2700 = 450
360°
6
S = 10×40 = 400 m2
2 × ( 40+10) = 100m
60 × 400 = 24.000
Lote 3
S = 550 m2
20 + 20 +35+25 = 100m
30 × 550 = 16.500
Lote 1
2 × 30 +
1
× 2 × 30 × 3 =90m
6
VALOR DE VENDA (R$)
40 × 450 = 18.000
(01) VERDADEIRO.
(02) VERDADEIRO.
18000 3
= = 75%.
24000 4
(04) VERDADEIRO.
18000 + 24000 + 16500 58500
=
= 41,7857...... < 50 .
450 + 400 + 550
1400
(08) FALSO.
Á venda do lote 2 sendo por R$ 20.000,00 determina um prejuízo de R$ 4.000,00 e não lucro.
(16) VERDADEIRO.
24000
= 1,4545..... mostra que é superior a 45%.
Pois a razão
16500
(32) VERDADEIRO.
A soma dos perímetros dos três lotes é (90+100+100) m = 290m.
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3

QUESTÃO 03.
Um objeto custou R$ 50,00 e foi vendido por R$ 60,00.
É verdade que:
(01) O lucro relativo ao preço de venda foi superior a 12%.
(02) Se o preço de venda fosse aumentado em 10%, o lucro relativo ao custo seria de 32%.
(04) Se o valor x reais, fosse acrescido ao preço de venda para que o lucro relativo ao custo
fosse igual a 60%, então x > 18.
(08) Se o valor x reais, fosse acrescido ao preço de custo de modo que o lucro relativo ao novo
custo fosse de 10%, então x = 5,32.
(16) Se o valor x reais, fosse acrescido ao preço de venda e, ao mesmo tempo, reduzido no
10 + 2x
preço de custo, então o lucro relativo ao custo seria igual a
.
50 − x
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRO.
O valor do lucro é de R$
L 10
= 0,1666..... > 12%
=
V 60
(02) VERDADEIRO.
V1 = 1,1V = 1,1 × 60 = 66 ⇒ L = 66 – 50 = 16 ⇒
L 16
=
= 32% .
C 50
(04) VERDADEIRO.
V1 = V + x = 60 + x ⇒ L = 60 + x – 50 = 10 + x ⇒
L 10 + x
=
= 0,6 ⇒ 10 + x = 30 ⇒ x = 20 > 18 .
C
50
(08) FALSO.
C1 = C + x = 50 + x ⇒ L = 60 – ( 50 + x ) = 10 – x ⇒
L 10 − x
=
= 0,1 ⇒ 10 − x = 5 + 0,1x ⇒
C1 50 + x
1,1x = 5 ⇒ x = 4,54545.....≠ 5,32.
(16) VERDADEIRO.
V1 = 60+x e C1 = 50 – x ⇒ L = 60+x – (50 – x ) = 10 + 2x ⇒
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4
L 10 + 2x
=
.
C1
50 − x

QUESTÃO 04.
O raio de um triângulo eqüilátero é o dobro do raio R de um hexágono regular.
Posto isso, é verdade que:
(01) A razão entre o perímetro do triângulo e o do hexágono é igual a 3 .
(02) A área do triângulo eqüilátero é o quádruplo da área do hexágono.
(04) Se o lado do hexágono aumenta 10% , sua área aumenta 21%.
(08) O raio do círculo inscrito no triângulo eqüilátero é igual a R.
(16) Se a distância do ponto P ao centro do círculo circunscrito ao hexágono é igual a 2R, e A é
o ponto de contacto da tangente PA ao círculo, então a medida de PA é igual a R 2 .
RESOLUÇÃO:
O lado do triângulo eqüilátero
inscrito num círculo é igual ao
produto do raio por 3 , logo L3 =
2R 3 e o do hexágono é L6 = R
(01) VERDADEIRO.
3L 3 6R 3
=
= 3.
6L 6
6R
(02) FALSO.
(2R 3 )
=
2
S3
4
3
= 3R 2 3 e S6 =
6R 2 3 3R 2 3
S
3R 2 3
=
⇒ 3 =
=2
4
2
S6 3R 2 3
2
(04) VERDADEIRO.
3(1,1R) 2 3
3R 2 3
S6 =
= 1,21 ×
2
2
(08) VERDADEIRO.
Vide figura.
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5

(16) FALSO.
No triângulo retângulo PAB a medida da hipotenusa
PO é o dobro da medida do cateto AO , logo o ângulo
PA
3
OP̂A mede 30° ⇒
= cos30° ⇒ PA = 2R ×
= R 3.
PO
2
QUESTÃO 05.
Sobre números reais é verdade que:
m
é uma fração irredutível igual à dízima 1,2666..., então m + n = 34.
n
(02) O máximo divisor comum dos números 1800, 1500 e 900 é um número maior que 250.
(04) O número 1500 possui 30 divisores.
(0,02).(0,005)
(08) O número
está compreendido entre 0,01 e 0,1.
0.004
(16) A soma dos algarismos do menor número que dividido por 12 ou por 15 dá resto 7, é 13.
(32) x, y ∈ R, x < y ⇒ 2x < 5y.
(01) Se
RESOLUÇÃO:
(01) VERDADEIRO.
90x = 114
100x = 126,666.... 
x = 1,2666.... ⇒ 
⇒
114 19 m ⇒ m + n = 34
10x = 12,666......
x = 90 = 15 = n
(02) VERDADEIRO.
1800 = 2 3 × 3 2 × 5 2

2
3
2
2
1500 = 2 × 3 × 5 ⇒ MDC(1800,1500,900) = 2 × 3 × 5 = 300.
900 = 2 2 × 3 2 × 5 2

(04) FALSO.
1500 = 22 × 3 × 53 ⇒ que 1500 tem (2+1)(1+1)(3+1) = 24 divisores.
(08) VERDADEIRO.
(0,02).(0,005) 10 × 10 −5
=
= 2,5 × 10 − 2 = 0,025 .⇒ 0,01 < 0,025 < 0,1.
0.004
4 × 10 −3
(16) VERDADEIRO.
MMC (12,15) = 60 ⇒ n = 60 + 7 = (32) x, y ∈ R, x < y ⇒ 2x < 5y.
(32) FALSO.
Fazendo, por exemplo, x = – 0,1 e y = – 0, 09 e substituindo em 2x < 5y, temos – 0,2 > – 0,45.
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6

QUESTÃO 06.
Na figura, vemos o retângulo ABCD dividido em
quatro regiões triangulares de áreas S1 , S 2 , S3 e S 4 .
Sabendo que S1 = S 2 + 20 e S 3 + S 4 = 100 , calcule
a altura do triângulo ABE relativa ao lado AB .
RESOLUÇÃO:
A área do retângulo ABCD é: 20 × 40 = 800 u. a.
Sendo S 3 + S 4 = 100 ⇒ S1 + S 24 = 800 - 100 = 700.
S1 + S 2 = 700 S 2 + 20 + S 2 = 700 S 2 = 340
⇒
⇒
Temos então o sistema: 
.
S1 = S 2 + 20
2S 2 = 680
S1 = 360
Vemos assim que SABE = 360 u.a. Então:
Resposta: 18u.c.
AB × h 40 × h
720
=
= 360 ⇒ h =
= 18 .
a
2
40
QUESTÃO 07.
Num curso que só ministra aulas de Inglês e Espanhol verifica-se que:
1) O total de alunos é 38.
2) Quem cursa Inglês não cursa Espanhol.
3) O número de alunos que estudam Inglês é igual a 26.
4) O número de mulheres que estudam Inglês é o quádruplo do número de mulheres que
estudam Espanhol.
5) O número de homens que estudam Inglês ou Espanhol é 18.
Sendo p a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um aluno do curso, ocorrer uma mulher
que estuda Espanhol, calcule 19p.
RESOLUÇÃO:
Pelas informações de 1 a 5, podemos montar a tabela:
INGLÊS
ESPANHOL
MULHERES
4x
x
HOMENS
26 – 4x
18 – (26 – 4x) = 4x – 8
Sendo ao todo 38 alunos, temos: 4x + x + 26 – 4x + 4x – 8 =38 ⇒ 5x = 20 ⇒ x = 4.
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7

Fazendo a substituição de x por seu valor numérico:
MULHERES
16
4
INGLÊS
ESPANHOL
HOMENS
10
8
A probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um aluno do curso, ocorrer uma mulher que
4
2
=
⇒ 19p = 2 .
estuda Espanhol é p =
38 19
QUESTÃO 08.
Um operário executa certo trabalho T em 3 horas. Junto com outro operário, de mesmo padrão,
7
consegue executar esse trabalho em 1 horas.
8
Em quanto tempo o segundo operário, sozinho, executará esse trabalho?
RESOLUÇÃO:
OPERÁRIO A
OPERÁRIO B
OS DOIS JUNTOS
TEMPO DO TRABALHO (H)
3
t
7 15
1 =
8 8
TRABALHO/HORA
1/3
1/t
8
15
1 1 8
+ =
⇒ 5t + 15 = 8t ⇒ 3t = 15 ⇒ t = 5.
3 t 15
Resposta: 5 horas.
QUESTÃO 09.
O algarismo das centenas de um número de três algarismos é o dobro do algarismo das
unidades.
A diferença entre esse número e o que se obtém invertendo-se a ordem dos algarismos é igual
a 297.
Qual é o algarismo das centenas?
RESOLUÇÃO:
Pelos dados do problema a representação polinomial do número em questão é:
100×2a + 10b + a.
Aplicando a condição dada: 100×2a + 10b + a – (100a + 10d + 2a) = 297 ⇒
99a = 297 ⇒ a = 3 ⇒ que o algarismo das centenas é 6.
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
QUESTÃO DISCURSIVA
QUESTÃO 10.
Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 4.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao
mês, e saldou a dívida da seguinte forma:
2 meses após ter contraído a dívida, pagou R$ 2.410,00.
2 meses após o primeiro pagamento quitou a dívida ,
x − 1205
Sendo x reais a quantia paga na quitação da dívida, calcule o valor da expressão
.
40
RESOLUÇÃO:
Valor do empréstimo: R$ 4.000,00.
Taxa de juros compostos: 5% ao mês.
Se 2 meses após ter feito o empréstimo a sua dívida era de 1,052 × R$ 4.000 = R$ 4.410.
Tendo ao final dos dois meses pago R$ 2.410,00, o seu saldo devedor passou a ser
R$ 4.410,00 – R$ 2.410,00 = R$ 2.000,00.
Ao final de mais 2 meses quando quitou a sua dívida, esta já estava num valor de
1,052 × R$ 2.000 = R$ 2.205,00.
x − 1205
2205 − 1205 1000
Logo o valor numérico de
é
=
= 25 .
40
40
40
Resposta: 25
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