UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em
Engenharia
EFEITO DA ANISOTROPIA FÍSICA
SOBRE O MÉTODO MULTIGRID NA
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE
ADVECÇÃO-DIFUSÃO 2D
Aluna: Roberta Suero
Orientador: Prof Dr Carlos Henrique Marchi
Co-Orientador : Prof Dr Marcio Augusto Villela Pinto
INTRODUÇÃO

Métodos de solução de sistemas de equações

Método Multigrid
Ciclo V para o método multigrid:
33x33
17x17
relaxa
relaxa
restringe
9x9
interpola
relaxa
relaxa
5x5
interpola
restringe
relaxa
relaxa
restringe
relaxa
restringe
relaxa
interpola
relaxa
interpola
3x3
MÉTODO MULTIGRID

Transferência de informações entre as
malhas.

Tipos de ciclos.

Suavizadores (solvers).

Esquemas de aproximação.
MÉTODO MULTIGRID
De acordo com Trottenberg et al. (2001) e
Briggs et al. (2000):

Uma simples modificação no algoritmo pode
levar a uma redução significativa no tempo
computacional.
OBJETIVO

Avaliar o efeito da anisotropia física sobre o
tempo de CPU para diversos parâmetros do
método multigrid.
Entende-se por tempo de CPU como sendo
o tempo gasto para gerar as malhas, atribuir a
estimativa inicial, calcular os coeficientes e
resolver o sistema de equações.

A equação de advecção-difusão é dada por:
T
T
 T
T
u
v
  2   2  S , 0  x, y  1
x
y
x
y
2
Campo de
velocidades
2
Termo
fonte
Solução
Analítica
senh y 
senh 
Nulo
S 0
Constante
S  u vy  uv x
T x, y   uvxy
Variável
S  u 2 vy  uv 2 x
T x, y   uvxy
2
T x, y   senx 
2
Condições de
Contorno
T x,0  T 0, y   T 1, y   0
T x,1  senx 
T x,0  T 0, y   0
T 1, y   uvy, T x,1  uvx
T x,0  T 0, y   0
T 1, y   uvy, T x,1  uvx
Detalhes Numéricos
O método multigrid é empregado com:

Esquema FAS;

Restrição por injeção;

Prolongação por interpolação bilinear;

Razão de engrossamento padrão (dois);

Solver MSI;

Ciclo V;

Critério de parada baseado na média da
norma l1 do erro de iteração.
RESULTADOS
Para cada problema mostrado na tabela foram
variados: número de iterações internas, número de
níveis e número de incógnitas.

Velocidades nulas (Equação de Laplace);

Velocidades constantes;

Velocidades variáveis.
Número de iterações internas
ITI
Velocidades Nulas
Velocidades Constantes
Velocidades Variáveis
Mínimo da curva
120
110
Tempo de CPU (s)
100
90
80
70
60
50
40
0
2
4
6
8
10
ITI
12
14
16
18
20
NÚMERO DE NÍVEIS
L
N=513x513
N=1025x1025
N=2049x2049
Mínimo da curva
250
Tempo de CPU (s)
200
Velocidades Variáveis
150
100
50
0
3
4
5
6
7
L
8
9
10
11
NÚMERO DE INCÓGNITAS
N
4
10
SG-MSI
SG-EG
3
10
MG-MSI
2
Tempo de CPU (s)
10
1
10
0
10
-1
10
MG_MSI_Nulas
MG_MSI_Constantes
MG_MSI_Variáveis
SG_MSI_Nulas
SG_MSI_Constantes
SG_MSI_Variáveis
SG_EG_Nulas
SG_EG_Constantes
SG_EG_Variáveis
-2
10
-3
10
-4
10
1
10
2
10
3
10
4
10
N
5
10
6
10
7
10

A inclinação p de cada curva da figura, obtida por
ajuste
geométrico
de
mínimos
quadrados,
considerando:
tCPU  cN
Problema
Velocidades nulas
Velocidades
constantes
Velocidades
variáveis
p
SG-Eliminação de
Gauss
3,06
SG-MSI
MG-MSI
3,06
1,93
1,93
1,07
1,08
3,06
1,90
1,10
ANISOTROPIA DOS
COEFICIENTES
Quando se tem velocidades constantes e
variáveis, foram calculadas as razões entre os
coeficientes, sendo que:

Foram calculadas todas as possíveis razões entre
os coeficientes;

Para cada malha em estudo, foram tomados os
valores máximo e mínimo desta razão.
VELOCIDADES CONSTANTES
1,02
1,00
Razão dos Coeficientes
0,98
0,96
0,94
Mínimo da Razão
Máximo da Razão
0,92
0,90
0,88
0,86
0,84
0,82
1
10
2
10
3
10
4
10
N
5
10
6
10
7
10
VELOCIDADES VARIÁVEIS
1,20
Razão dos Coeficientes
1,15
Mínimo da Razão
Máximo da Razão
1,10
1,05
1,00
0,95
0,90
0,85
1
10
2
10
3
10
4
10
N
5
10
6
10
7
10
CONCLUSÃO

A anisotropia física influencia pouco o
número ótimo de iterações internas:

Para velocidades nulas, ITI = 4;
 Para velocidades constantes
variáveis, ITI = 3.

e
A anisotropia física não influencia o número
Lótimo ;Lmáximo  2
ótimo de malhas,

A anisotropia física influencia muito pouco
tempo de CPU do método multigrid e
singlegrid;

A ordem p do solver MSI com o método
multigrid fica próxima da unidade;

Para velocidades constantes e variáveis,
quanto maior o número de nós da malha,
mais isotrópico fica o problema.
AGRADECIMENTOS

Prof. Dr. Carlos Henrique Marchi;

Prof. Dr. Marcio Augusto Villela Pinto;

PPGMNE;

CAPES;

LENA.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em
Engenharia
EFEITO DA ANISOTROPIA FÍSICA
SOBRE O MÉTODO MULTIGRID NA
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE
ADVECÇÃO-DIFUSÃO 2D
Aluna: Roberta Suero
Orientador: Prof Dr Carlos Henrique Marchi
Co-Orientador : Prof Dr Marcio Augusto Villela Pinto