Otimização do método multigrid
geométrico para sistemas de
equações 2D em CFD
Orientando: Cosmo D. Santiago – MSc.
Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng.
Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Mecânica -PG-Mec - UFPR
1º Seminário do projeto Multigrid - abril/2008
Objetivos dessa apresentação
 Apresentar um resumo de resultados já obtidos.
 Atividades em andamento
 Resultados esperados
Objetivos dessa etapa da pesquisa
 Obter parâmetros ótimos do método multigrid
geométrico para 2 sistemas de equações.
Os parâmetros estudados são:
- Iterações internas (ITI);
- Número de níveis (L);
- Número de variáveis (N).
 Verificar se os parâmetros ótimos são os mesmos para
os esquemas CS e FAS.
 Verificar se os valores ótimos obtidos com os 2 sistemas são
os mesmos obtidos para uma equação.
Modelos Matemáticos – 2D
• Equação de Laplace
 2T
x
2

 2T
y
2
0
Solução analítica:
0  x, y  1
T x, y   xy
T representa o campo de temperaturas.
Modelos Matemáticos – 2D
• Equações de Navier (Termoelasticidade)



  u v   2u  2u
T
C     2  2  2C
 Su
x  x y  x
x
y
  u v   v  v
T
    2  2  2C 
 Sv
y  x y  x
y
y
2
C
Onde : C 
1 
1 
2
0  x, y  1
e  é a razão de Poisson, S u e S v são termos fontes
T x, y   sin x 
sinhy 
sinh( )
é o campo de temperaturas
e  1e  1
ux, y    sinx 
e  1e  1
2x
y
2
u e v representam os deslocamentos.
e
vx, y   xy 2
sol. analítica
Modelos Matemáticos – 2D
• Equações de Burgers



u 2  (vu)
p  2u  2u

  2  2
x
y
x x
y
0  x, y  1
 (uv) v 2
p  2 v  2 v

  2  2 B
x
y
y x
y
Onde : p é a pressão estática
B é o termo fonte


ux, y   8 x 4  2 x3  x 2 4 y 3  2 y



vx, y   8 4 x  6 x  2 x y  y
3
2
4
2

p, u e v são dados analíticamente por Shih et al. (1989)
u e v representam as velocidades.
Sol. analítica
Modelo numérico
Para os três problemas:
- Discretização com o Método de Diferenças Finitas
- Malha uniforme
- Aproximações: UDS/CDS para os termos
advectivos e difusivos, respectivamente
- Solver: MSI e tolerância
  1012
- Condições de contorno de Dirichlet
-
Implementação






Linguagem: Fortran/95
Multigrid Geométrico com Ciclo V
Engrossamento da malha: 2 (padrão)
Restrição: injeção
Prolongação: interpolação bilinear
Algoritmos:
• Equação de Laplace e equações de Navier (CS e FAS)
• Equações de Burgers (FAS)
Resultados
 Iterações internas (ITI): Equação de Laplace x Equações de Navier
(a) Iterações internas com CS
(b) Iterações internas com FAS
Fig. 1: Comparação do número de iterações internas com os esquemas CS e FAS
Conclusão: ITIoptimum = 2 para os dois
problemas
Conclusão: ITIoptimum = 2 para Navier
ITIoptimum = 8 para Laplace
Resultados
 Número de malhas (L): Equação de Laplace x Equações de Navier
(a) Número de níveis com CS
(b) Número de níveis com FAS
Fig. 2: Comparação do número de níveis com os esquemas CS e FAS
Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que:
tCPU Lmáximo   tCPU Lótimo 
Resultados
 Número de variáveis (N): Equação de Laplace x Equações de Navier
(a) Ajuste de curva com CS
(b) Ajuste de curva para Navier com FAS
Fig. 3: Comparação do esforço computacional com CS e FAS
Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que:
MG: o tempo computacional cresce linearmente com o aumento do número de variáveis.
SG : o tempo computacional cresce muito rapidamente com o aumento do número de variáveis.
Resultados
 Iterações internas (ITI): Equações de Burgers (Somente esquema FAS)
Fig. 6: Ajuste de curva para os
3 solvers
Fig. 4: Comparação do número de
iterações internas com o FAS
Fig. 5: Comparação do número de
níveis
Observe-se que: Na Fig. 4, ITIoptimum = 5.
Na Fig. 5,
tCPU Lmáximo   tCPU Lótimo 
Na Fig. 6: MG: o tempo de CPU cresce linearmente com o aumento do nº de variáveis.
SG : o tempo de CPU cresce muito rapidamente com o aumento do nº de variáveis.
Algumas conclusões
Verificou–se que:
Equação de Laplace x Equações de Navier
Esquema CS

ITIoptimum = 2, em qualquer malha. O ITI afeta significativamente
o tempo de CPU.

O número ótimo de malhas é próximo do máximo, isto é,
Loptimum ≈ Lmaximum. O número de malhas pode afetar
significativamente o tempo de CPU

O acoplamento das duas equações não degenera a perfomance
do multigrid quando comparado com o caso de uma equação.

O tempo de CPU cresce aproximadamente linear com o
aumento do número de variáveis.
Algumas conclusões
Esquema FAS
 ITIoptimum = 8, (Equação de Laplace)
 ITIoptimum = 2, (Equações de Navier)
O ITI afeta significativamente o tempo de CPU.

Nº de níveis (Idem a conclusão com esquema CS).

Acoplamento (Idem a conclusão com esquema CS).

O tempo de CPU (Idem a conclusão com esquema CS)
Algumas conclusões
Equações de Burgers (apenas esquema FAS)

ITIoptimum = 5, em todas as malhas. O ITI afeta significativamente
o tempo de CPU.

Nº de níveis (Idem aos casos anteriores).

Acoplamento (Idem aos casos anteriores).

O tempo de CPU (Idem aos casos anteriores).
Próximas etapas
Otimizar o método multigrid geométrico ciclo
V para as equações de Navier-Stokes nas
formulações:
 Função Corrente-Velocidade (mai/jun);
 Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set);
 Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez);
Modelo numérico:
Mesmo usado com os problemas mostrado aqui.
Atividades em andamento
 Desenvolvimento do texto de qualificação;
 Texto de artigo para Cilamce/2008 sobre os
resultados obtidos até agora;
 Implementação dos algoritmos SG/MG-FAS para a
formulação função corrente-velocidade.
Próximas etapas
Resultados esperados:
 Otimizar o método multigrid geométrico ciclo V
para problemas com duas equações;
 Mostrar que o acoplamento das equações não
degenera a performance do método multigrid.
 Otimizar o método multigrid para as equações de
Navier-Stokes em formulações alternativas.
Agradecimentos
-
Laboratório de Experimentação Numérica (LENA) do Demec/UFPR;
Prof. Marchi
Meus amigos do LENA.