ISBN 978-85-8015-053-7
Cadernos PDE
VOLUME I I
Versão Online
2009
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS
DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
Produção Didático-Pedagógica
A Utilização do LEM (Laboratório de Ensino de Matemática) no
Ensino de Funções
Ivanilde Rinaldi
Maringá - PR
2010
1
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
A Utilização do LEM (Laboratório de Ensino de Matemática) no Ensino de
Funções
Material didático (caderno pedagógico) para
intervenção pedagógica na escola, apresentado
por Ivanilde Rinaldi à Secretaria Estadual de
Educação do Estado do Paraná, como requisito
parcial à obtenção do título de Professor PDE,
sob a responsabilidade da Universidade
Estadual de Maringá – UEM.
Orientador: Prof. Dr. João Roberto Gerônimo.
Maringá
2010
2
Sumário
1.
2.
3.
4.
5.
Apresentação ....................................................................................................... 4
Introdução ............................................................................................................ 5
O Conceito de Função ......................................................................................... 5
Função Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva ................................................................. 7
Função Afim ......................................................................................................... 8
Gráfico da Função Afim ..................................................................................................... 9
Função Identidade ........................................................................................................... 12
Função Linear .................................................................................................................. 12
Função Constante............................................................................................................ 13
Problemas........................................................................................................................ 13
6.
Função Quadrática ............................................................................................. 18
Gráfico de uma Função Quadrática ................................................................................. 18
Zeros (ou Raízes) de uma Função Quadrática ................................................................ 24
Sinal da Função quadrática ............................................................................................. 27
7. Máximos e mínimos com funções quadráticas ................................................... 29
8. Propriedade/Aplicação da Parábola ................................................................... 30
9. Considerações Finais ......................................................................................... 33
10. Referências Bibliográficas ............................................................................... 34
11. Apêndice A: Relação de Atividades ................................................................. 36
Atividade 1: Olhando através de tubo .............................................................................. 39
Atividade 2: Qual a “função” da
mola?................................................................................493
Atividade 3: Os retângulos ............................................................................................... 49
Atividade 4: Enigma de funções ....................................................................................... 52
Atividade 5: Trabalhando com retângulos. ....................................................................... 64
Atividade 6: Família de função ......................................................................................... 67
Atividade 7: Uso do software Geogebra na construção de parábolas. ............................. 73
Atividade 8: Resolvendo equações através do cálculo mental ......................................... 79
Atividade 9: Descobrindo raízes de equações quadráticas completas ............................. 83
12.
Apêndice B: Linha do Tempo do Conceito de Função .................................... 89
3
1. Apresentação
O presente material é resultado do Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE, enquanto política de formação continuada e de valorização dos
professores da Rede Pública Estadual de Ensino do Estado do Paraná, em parceria
com o Ensino Superior.
O material didático aqui apresentado, organizado sob a forma de Caderno
Pedagógico, foi elaborado em consonância com o objeto de estudo sobre o tema
“Funções”, na área de Matemática, no período referente ao segundo semestre do
ano de 2010. As atividades do Programa foram realizadas na Universidade Estadual
de Maringá – UEM, sob a orientação do Professor Dr. João Roberto Gerônimo.
Esta produção permitirá a reflexão teórica sobre a prática, promovendo uma
discussão sobre a utilização de Laboratório de Ensino de Matemática - LEM como
de sala de aula.
A implementação deste trabalho será realizado no segundo semestre do ano
de 2010, no Colégio Estadual Adaile Maria Leite – Ensino Fundamental e Médio, em
Maringá, Núcleo Regional da Educação de Maringá, envolvendo estudantes da
primeira série do ensino médio.
As atividades aqui apresentadas têm importância na formação de conceitos
matemáticos a respeito de funções por meio de uma metodologia diferenciada que
pode auxiliar professores e estudantes no processo de ensino e aprendizagem.
4
2. Introdução
Uma função pode ser entendida como uma relação de dependência. Antes de
apresentar o conceito observemos alguns exemplos:
.
A população de um país varia com o passar do tempo e por isso dizemos que a
população de um país depende do tempo.
.
Em cada localidade, a temperatura varia durante o dia. Num mesmo dia e local
há momentos mais quentes, outros mais frios. Dizemos, então, que a
temperatura, numa localidade, depende da hora do dia.
.
A quantidade de tinta que se gasta para pintar uma parede depende da área
ocupada por essa parede.
.
O consumo de combustível de um veículo depende da velocidade do veículo.
.
O comprimento de uma barra de ferro depende da temperatura, pois o ferro se
dilata quando aquecido.
.
O preço que se paga por um telefonema interurbano depende do tempo que se
fala ao telefone.
Atividade 1: Olhando através dos Tubos.
Nesta atividade desenvolveremos o conceito de função, construção de gráfico e tabela. O
detalhamento da mesma se encontra no apêndice A.
Estes são exemplos que reforçam a importância do conceito de função para
compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais, etc.
3. O Conceito de Função
Algumas definições são apresentadas na literatura:
.
“Função É” um conjunto de pares ordenados cujos primeiros elementos são todos
diferentes. (caráter estático).
.
“Função FAZ” corresponder a cada elemento de um conjunto, um único elemento
de outro conjunto (caráter dinâmico).
5
.
“Dados dois conjuntos A e B, dá-se o nome de função, definida em A e com
valores em B, à lei ou regra que a todo elemento de A faz corresponder um e um
só elemento de B”.
.
Não apresenta a definição e sim tabelas que relacionem duas grandezas e, se
possível, um gráfico explicativo.
Consideremos a seguinte definição de função:
Sejam A e B dois conjuntos não vazios chama-se função de A em B, f: A 
B, qualquer relação de A em B que associa a cada elemento x de A a um único
elemento y de B.
O diagrama representa uma função f(x) = y ou f: A  B
O diagrama representa uma função, f: A  B ou f(x) = y, pois cada elemento de A
tem um único correspondente em B.
O diagrama não representa uma função, f: A  B ou f(x) = y, pois não é possível
um único elemento de A estar associado com dois elementos em B.
6
O diagrama não representa uma função, f: A  B ou f(x) = y, pois ficou um
elemento de A sem seu correspondente em B.
Sendo f: A  B ou f(x) = y uma função, o conjunto A é chamado conjunto de partida
da função, ou simplesmente domínio de f, representado por D(f). A imagem f é
formado pelos elementos de B que se corresponde aos elementos de A e é
representado por Im(f). Todos os elementos de B é denominado contra domínio de
f.
B
A
•
Dom (x)
OU
•
•
•
•
•
•
Dom (A)
OU
•
•
•
Im (y)
•
Im (B)
•
4. Função Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva
Uma função é injetiva quando todo elemento da imagem está associado com
um único elemento do domínio.
A função f do diagrama abaixo é a função injetiva. Cada elemento da
imagem de f, Im (f) = {5, 7, 9, 10}, está associado a um único elemento do domínio.
B
A
7
A função f do diagrama abaixo não é injetiva, porque o elemento 30 da
imagem está associado a mais de um elemento do domínio A, 30 = f(3) e também 30
= f(4).
Uma função f: A B é sobrejetiva se a imagem de f for igual ao
contradomínio de B.
Exemplo:
A função f do diagrama abaixo é sobrejetiva, porque para todo elemento de
B existe um elemento de A associado a ele.
Uma função f: A B é bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Exemplo:
Numa função bijetiva, a cada "x" do domínio corresponde um "y" no contra
domínio e, vice-versa, a cada "y" do contra domínio corresponde um único "x" no
domínio.
5. Função Afim
8
Um vendedor recebe um salário mínimo R$ 430,00 mais comissão de 15%
sobre o total de suas vendas durante o mês. Nesse caso, podemos dizer que:
Salário mensal = 430,00 + 0,15 (total de vendas do mês).
Observamos então que o salário mensal desse vendedor é dado em função
do total de vendas que ele faz durante o mês. Ou seja:
Onde:
s(x) = 430,00 + 0,15v
x é o total de vendas do mês
ou y = 0,15x + 430,00
s(x) ou y é o salário mensal
v é o total de vendas
Este é um exemplo de função afim. Uma função definida por f: R→R chamase afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais
que f(x) = ax + b para todo x ∈ R. Outros exemplos de afim são dadas a seguir:
a) f(x) = 3x + 1, onde a = 3 e b = 1
b) f(x) = - x + 5, onde a = -1 e b = 5
O valor de x para o qual f(x) = ax + b se anula, ou seja, pra o qual f(x) = 0,
denomina-se zero da função afim. Para determinar o zero de uma função afim basta
resolver a equação: ax + b = 0
Exemplo: Seja a função afim f(x) = 2x – 4, fazendo f(x) = 0, temos: 2x – 4 = 0, 2x = 4
x = 2. Para f(x) = 0, temos x = 2. Logo, 2 é o zero da função
Gráfico da Função Afim
O gráfico de uma função afim f(x) = ax + b, é uma reta não perpendicular ao
eixo Ox.
9
Domínio: D = R
Imagem: Im = R
Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um elemento do gráfico dessa
função.
Coeficiente a: coeficiente angular de uma reta. A é igual à tangente do ângulo que a
reta faz com o eixo x.
Coeficiente b: é a ordenada do ponto em que o gráfico de f cruza o eixo das
ordenadas, ou seja, b = f(0).
Quando a > 0, a função é crescente
Quando a < 0, a função é decrescente
Função crescente
Função decrescente
Exemplos:
a) f(x) = 2x + 1 é uma função crescente.
b) f(x) = - 3x + 1 é uma função decrescente.
c) f(x) = 3 + 3x é uma função crescente.
Podemos estudar o sinal da função afim pela análise do gráfico.
10
Para: x = a → f(x) = 0
x > a → f(x) > 0
x < a → f(x) < 0
a>0
a<0
a > 0 função crescente
a < 0 função decrescente
Dada a função f: R → R tal que f(x) = - 3x + 2, vamos analisar a seguinte situação:
a) Qual é o zero dessa função f? Qual é o seu significado geométrico?
-3x + 2 = 0 → 3x = 2 → x = 3/2(1; 5)
Se 3/2 é o zero de f, então o gráfico de f intersecta o eixo x em (3/2 ; 0)
b) Construa o gráfico de f. Dados quaisquer dois pontos podemos construir
o gráfico.
c) Faça o estudo do sinal da função f.
f(x) = -3x + 2
a = -3 < 0 (função decrescente)
x = 3/2 → f(x) = 0
x > 3/2 → f(x) < 0
x < 3/2 → f(x) > 0
11
Exemplos:
Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x) > 0 e f(x) < 0.
a) f(x) = x+1
x+1 > 0  x > -1, logo, f(x) será maior que 0 quando x > -1
x+1 < 0  x < -1, logo, f(x) será menor que 0 quando x < -1
b) f(x) = - x + 1
-x+1 > 0  -x > -1  x < 1, logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1
-x+1 < 0  -x < -1  x > 1, logo, f(x) será menor que 0 quando x > 1
Importante: ao multiplicar por -1 inverte-se o sinal da desigualdade.
Função Identidade
É uma função f: R → R que para cada x em R, associa f(x) = x para todo x
∈ R. O gráfico da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também
o terceiro quadrante em duas partes iguais.
Função Linear
Uma função linear é uma função f: R→R definida por f(x) = ax para todo x ∈R.
Exemplos:
a) f(x) = - 3x
b) f(x) = 2x
c) f(x) = x/2
O gráfico da função linear é
uma reta que sempre passa
12
pela origem (0,0).
Atividade 2: Qual a “Função” da Mola
Nesta atividade desenvolveremos o conceito de função. O detalhamento da
mesma se encontra no apêndice A.
Função Constante
A função constante associa cada x ϵ R o valor f(x) = b. O gráfico de uma
função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).
Exemplos:
a) f(x) = 1
b) f(x) = -7
c) f(x) = 0
Atividade 2: Os Retângulos
Nesta atividade desenvolveremos o conceito de função e de suas várias
representações (gráficos, tabelas, fórmulas, etc.). O detalhamento da mesma
encontra no apêndice A.
Problemas
01) Numa fábrica que produz roupas femininas a R$15,00 cada peça e despesas
fixas de R$400,00. Considere, portanto as seguintes grandezas: vamos chamar de p
o número de peças produzidas pela fábrica, d as despesas fixas e g o ganho final.
Pergunta-se:
a) Qual a lei da função que relaciona o ganho e a produção dessa fábrica?
b) Quanto deve ser vendido para obter um lucro de R$1500,00?
c) Construa uma tabela que retrata a produção durante um mês.
13
d) Construa um gráfico dessa função.
e) Dê o domínio e a imagem dessa função.
Resolução:
G = 15.p – 400
1500 = 15.p – 400
15p = 1500 + 400
15p = 1900
P = 1900/ 15
P ≅ 127
Aproximadamente 127 peças para obter um lucro de R$1.500,00.
Tabela
Gráfico
P
G
0
-400
30
50
60
500
90
950
120
1400
e) Dom = [0 , ∞[
e
Im = R
02) Construa um gráfico para as seguintes funções:
Obs. Os gráficos poderão ser construídos utilizando o software Geogebra.
f(x) = x + 4
f(x) = -3 + 2x
14
03) Uma caixa d água com capacidade para 2500 litros contém 100 litros de água.
Uma torneira é aberta e despeja dentro dela 12 litros por minutos.
a) Escreva a lei da função que representa a quantidade de água na caixa em
relação ao tempo;
b) Em quanto tempo a caixa estará cheia?
c) Construa uma tabela para a função;
d) Construa o gráfico da função;
e) Determine o domínio e a imagem.
04) Uma escola cobra de seus alunos uma matrícula de 40 reais e mais as
mensalidades no valor de 95 reais ao mês. Escreva a lei da função que representa o
gasto de um aluno em relação aos meses de estudos.
05) Construa uma tabela e um gráfico para as seguintes funções:
a) f(x) = 3 – x
b) f(x) = x + 2
06) Um Professor escolhe um estudante e combina com ele uma regra que
relaciona dois números quaisquer. A turma diz alguns números e o estudante que
sabe a regra responde os números correspondentes para cada um dos números
ditos pela turma de acordo com a regra combinada. Combinar com um estudante a
regra: os estudantes falam um número e este estudante dobra este valor e soma
com três.
X = Números ditos pelos estudantes e Y = Número respondido pelo estudante.
a) Elabore uma tabela e relacione cada número dito e cada número respondido;
b) Escreva em linguagem matemática a resolução desta situação;
c) Podemos dizer que esta atividade representa uma função? Justifique sua
resposta por escrito.
15
07) Uma firma que conserta geladeiras cobra uma taxa fixa o valor R$ 10,00 pela
visita e mais R$ 8,00 por hora de mão-de-obra. Logo, o valor do conserto é em
função – depende - do tempo trabalhado.
a) Qual a lei matemática que pode ajudar a resolver este problema?
b) Construa a tabela da função se o trabalhador gastar 1h, 2h, 3h, 4h,...
08) Bruna está guardando dinheiro para comprar um computador. No momento
possui uma reserva de R$ 250,00 e pretende economizar R$ 50,00 por mês.
Considerando que um computador custa em média R$ 3.000,00, analise as
seguintes proposições:
a) Quanto tempo Bruna demorará a ter este dinheiro para a compra à vista?
b) E se comprasse um carro de R$ 15.000,00, quanto tempo teria que
economizar?
c) Determine a lei matemática que permite o cálculo do valor necessário para
comprar este computador em função do tempo.
09) Uma panela com certa quantidade de água a 20º C é posta sobre um tripé. Em
contém. De dois em dois minutos alguém põe um termômetro dentro da água, mede
a sua temperatura.
Tempo (minutos)
Temperatura (º C)
0
20
2
23
4
26
6
29
8
32
Y  20 
3t
2
a) É correto dizermos que a temperatura da água varia em função do tempo?
Por quê?
b) Continuando da mesma maneira, qual será a temperatura da água aos 10
minutos de aquecimento?
16
c) Quanto à temperatura da água está aumentando por minuto?
d) Escreva a equação da função que relaciona a temperatura ao tempo de
aquecimento.
6. Função Quadrática
Consideremos a seguinte situação: Numa praia, alguns jogadores de futebol,
decidiram montar um campo de futebol com 100m de comprimento por 70m de
largura e, por medida de segurança, decidiram cercá-lo, deixando o campo com a
cerca, uma pista de 3m de largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?
Podemos ilustrar o problema com o retângulo ABCD:
A
B
C
D
A área da região cercada é:
A = (100 + 2.3) (70 + 2.3) = (100 + 6) (70 + 6) = 8.056m²
Se a largura da pista fosse de 4m, a área da região cercada seria:
A= (100 + 2.4) (70 + 2.4) = (100 + 8) (70 + 2.4) = 8.424m²
Observe que a cada largura x da pista, há uma área A(x) da região cercada. E que o
valor de A(x) é uma função de x dada pela expressão:
A(x) = (100 + 2x) (70 + 2x)
A(x) = 7000 + 200x + 140x + 4x²
Então, A(x) = 4x² + 340x + 7000
17
Este é um caso particular de função quadrática ou função polinomial do 2º
grau. Uma função f: R→R é denominada função quadrática ou função polinomial do
2º grau quando, para todo x pertencente aos reais temos f(x) = y = ax² + bx + c em
que a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0. Nessa função quadrática, x é chamado
de variável independente e y é a variável dependente.
Esta noção está associada originalmente a idéia de equação do 2º grau, por
volta de 300 a.C, onde o matemático grego Euclides (325-265 a.C), desenvolveu
uma nova técnica denominada Álgebra Geométrica.
No Renascimento, destacaram-se as tentativas de explicar os movimentos
de queda livre de um corpo ou trajetória de uma bola de canhão, que é uma
parábola, vários teóricos dos séculos XVI e XVII, tentaram explicar essa trajetória,
sem obter uma parábola, tais explicações foram aperfeiçoadas até se chegar à
parábola associada à curva do 2º grau, o que acelerou a necessidade de se
relacionar curvas a equações, de modo geral, álgebra à geometria.
Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:
1) f(x) = ax2 + bx + c é chamada a forma geral ou forma polinomial
(também chamada de forma desenvolvida), onde a, b e c são constantes
reais e a ≠ 0.
2) f(x) = a(x – r1)(x – r2) é chamada a forma fatorada, onde r1 e r2 são as
raízes da equação quadrática, e
3) f(x) = a(x – h)2 + k é chamada a forma padrão ou forma vértice (também
chamada de forma canônica).
Exemplos:
a) y = x² + 3x + 2
(a = 1; b = 3; c = 2)
b) y = x²
(a =1; b = 0; c = 0)
c) y = x² - 4
(a = 1; b = 0; c = -4)
Gráfico de uma Função Quadrática
Sua representação gráfica é dada por uma parábola:
18
Quando a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e quando
a < 0, a parábola está voltada para baixo.
Exemplo:
f(x) = x² - 4
a = 1 (> 0)
Observe que quando a concavidade está voltada para cima (a > 0), o vértice
representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo
(a < 0), o vértice representa o valor máximo.
Exemplo: Construa o gráfico da função y = -x²+4:
f(x) = - x² + 4
19
a = - 1(< 0)
Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos
seus valores correspondentes para y.
x
y = f(x) = x²
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
Notem que os pontos: A e A’, B e B’, C e C’ são simétricos (estão a mesma
distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir
dele que determinamos todos os outros pontos.
A determinação do vértice da parábola ajuda a elaboração do gráfico e
permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.
Vejamos algumas formas de calcular esse vértice:
1) Quando Δ = 0
ax² + bx + c = ӯ
20
ax² + bx + c = 0 (única solução)
Δ=0
b² - 4ª.(c- ӯ) = 0
4a(c- ӯ) = b²
b2
c- ӯ =
4a
-ӯ=
b2
–c
4a
ӯ=c-
b2
 4ac  b 2
=
4a
4a
4ac  b 2
4a

ӯ = yv =
4a
ӯ=
Para o Vértice x → Vx substituiremos o Δ por 0
Δ = 0 → b² - 4ac
b
Xv 
2a
Uma outra maneira de se determinar o vértice é lembrar que a parábola é
simétrica em relação a um eixo vertical. Determinando a posição desse eixo,
encontraremos abscissa do vértice, e como a abscissa do vértice obteremos a
ordenada, que é função da abscissa. O vértice de todas as parábolas tem uma
característica própria, ele sempre se encontra "equidistante" de ambas as raízes, ou
seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das
duas raízes. Trocando em miúdos, a coordenada "x" do vértice é a média aritmética
das coordenadas "x" das raízes, isto é, a soma das duas dividido por dois. Vamos
chamá-lo de Xv ("x" do vértice):
21
Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv. Se você não conseguir se lembrar
na hora, faça a dedução como está aí em cima. É bem fácil!
b
2a
Xv 
Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Este
valor pode conseguir substituindo o "x" da função pelo "Xv", pois com isso estaremos
calculando qual o valor de Y para o Xv, que é justamente o Yv ou f(Xv). A equação
geral de uma função do segundo grau é f(x) =ax2+bx+c. Então vamos substituir
todos "x" pelo valor de Xv da fórmula acima:
Veja que na última igualdade temos como denominador -(b2 - 4ac) e isso é
justamente igual à -  , portanto a fórmula final para o cálculo de Yv, também
chamado de f(Xv) é:
Yv  

4a
Como vimos, a coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por:
X
b
2a
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y = x² - 4x + 3
Temos: a = 1, b = -4 e c = 3
22
x
 b  (4) 4

 2
2a
2.1
2
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada
y? Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada
x e determinar o valor da coordenada y. Assim, para
determinarmos
a
coordenada
y
da
parábola
y = x² - 4x + 3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)² - 4.(2) + 3 = 4 – 8 + 3= -1
Logo, as coordenadas do vértice serão V= (2, -1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola,
achamos o valor da coordenada x (através de x  
b
) e substituindo este valor na
2a
função, achamos a coordenada y.
O vértice de uma parábola é o número crítico da função quadrática. Se a
função estiver na forma padrão, o vértice é dado por (h, k). Pelo método de
completar o quadrado transforma-se a forma geral: f(x) = ax2 + bx + c em:
Desta forma, o vértice da parábola é:
Se a função quadrática estiver na forma fatoradaf(x) = a(x – r1)(x – r2)
a média aritmética das duas raízes, é:
r1  r2
fornece a coordenada x do vértice, e
2
assim o vértice é dado por
(
r1  r2
r r
, f ( 1 2))
2
2
O vértice é também o ponto máximo se a < 0 ou o ponto mínimo se a > 0.
A linha vertical x  h  
b
que passa pelo vértice é chamada de eixo de simetria
2a
da parábola.
23
Atividade 5: Trabalhando com Retângulos
Nesta atividade desenvolveremos o cálculo de área máxima e mínima. O
detalhamento da mesma se encontra no apêndice A.
Zeros (ou Raízes) de uma Função Quadrática
Denominam-se raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a ≠
0 os valores de x que zera a função, ou seja, tornam f(x) = 0, valores estes que são
obtidos pela chamada fórmula de Bháskara.
Algebricamente, os zeros da função quadrática são obtidos quando
resolvemos a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, usando a fórmula de Bhaskara,
veja sua apresentação abaixo:
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo à fatorá-lo num
quadrado perfeito ax2 + bx + c = 0, inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0, agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac -->
(2ax + b) 2 = b2 – 4ac
2ax + b =
 2ax =
onde: b² - 4ac, é chamado de discriminante e é representado pela letra grega Δ
(delta).
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor
obtido do radicando Δ = b² - 4ac.
.
Se Δ > 0, a função tem dois zeros reais desiguais (x’ e x”);
.
Se Δ = 0, a função tem um zero real duplo (x’ = x”);
.
Se Δ < 0, a função não tem zero real.
Exemplos
1) Vamos obter a raiz da função y=x²- 4x+3. Fazendo y = f(x) = 0, temos x² - 4x + 3=
0. Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.
24
Acharemos as raízes da função x’=1 e x”=3. Vejamos o gráfico:
Notem que quando x’ = 1 e x” = 3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x. Estes
valores representam as raízes da função.
2) Vamos obter a raiz da função f(x) = x² + 2x + 1. Fazendo f(x) = 0, obtemos
x² + 2x + 1 = 0
Δ = b² - 4ac = (2²) – 4.1.1 = 4 – 4 = 0
 x = x’ = -
b
=-1
2a
As coordenadas do vértice serão V = (-1,0). Vejamos o gráfico:
3) Vamos obter a raiz da função f(x) = x² - x + 2. Temos
Δ = b² - 4ac = ( -1)² - 4.1.2 = 1 – 8 = - 7(< 0)
Vejamos o gráfico:
25
Resumindo:
Δ=0
Δ>0
Δ<0
a>0
a>0
a>0
Δ=0
Δ>0
Δ<0
a>0
a>0
a>0
Atividade 4: Enigma de Funções
Nesta atividade abordaremos a forma gráfica e algébrica da função quadrática,
bem suas respectivas características. O detalhamento da mesma se encontra
no apêndice A.
26
Sinal da Função quadrática
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos
os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é
positivo. Conforme o sinal do discriminante   b 2  4ac podem ocorrer os seguintes
casos:
Obs. O sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
Quando a > 0
Quando a < 0
y > 0 → (x < x1 ou x > x2)
y > 0 → (x1 < x < x2 )
y < 0 → (x1 < x < x2 )
quando a > 0
y>0
y < 0 → (x < x1 ou x > x2)
Quando a < 0
1
∄ x tal que y < 0
y < 0,
∄ x tal que y > 0
27
Atividade 7: Uso do sofware Geogebra na construção de
parábolas
Nesta atividade desenvolveremos a construção de gráficos da
função quadrática com o uso do Geogebra. O detalhamento da
mesma se encontra no apêndice A.
Exemplo: Vamos desenhar o gráfico da função y = -x² - 4x – 3.
Primeiro passo: Raízes ou zeros da função -x² - 4x – 3 = 0. Aplicando a fórmula de
Bháskara, temos que x’ = -1, x’’= -3
Segundo passo: Coordenadas do vértice Xv  
Xv  
b
, então a coordenada
2a
(4)
 2 .
2(1)
Assim, para a coordenada y, basta substituir o valor de x obtido na função ou utilizar
a fórmula abaixo.
y = -x² - 4x - 3 = -(-2)² - 4.(-2)-3 = -4 + 8 -3 = 1.
Ou Yv 

, portanto temos assim o vértice da parábola → V= (-2,1)
4a
Terceiro passo: Concavidade da parábola
y = - x²- 4x – 3. Como a = -1, portanto a < 0, a concavidade estará voltada para
baixo. Feito isso, vamos esboçar o gráfico:
28
7. Máximos e mínimos com funções quadráticas
Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está
relacionada com a questão de máximos e mínimos.
Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é possível construir se o
seu perímetro mede 36 m.
Solução: Se x é a medida do comprimento e y é a medida da largura, a área
será dada por: A (x, y) = xy, mas acontece que 2x + 2y = 36, ou seja, x + y=18,
assim:
A(x) = x(18-x)
A(x) = - x² + 18x.
Esta parábola corta o eixo OX nos pontos x = 0 e x = 18 e o ponto de
máximo dessa curva ocorre no ponto médio entre x=0 e x=18, logo, o ponto de
máximo desta curva ocorre em x = 9. Observamos que este não é um retângulo
qualquer, mas é um quadrado, pois x = y = 9 e a área máxima será A = 81m²
O máximo ou mínimo de uma função é sempre obtido no vértice. O seguinte
método se baseia na mesma idéia fazendo uso do cálculo. A vantagem desse
método é que ele funciona para funções mais gerais.
Tomando f ( x)  ax 2  bx  c como um exemplo de equação quadrática para
achar seus pontos extremos (que dependem de , se
, tem um ponto mínimo,
se a < 0, tem um ponto máximo) é necessário antes encontrar sua derivada:
f(x) = ax² + bx + c → f’ = 2ax + b
Depois, encontramos as raízes de f ' ( x) : 2ax + b =  x = 
b
2a
29
Então, 
b
é o x valor de f(x). Agora, para encontrar o valor de y,
2a
substituimos x  
b
em f(x):
2a
Assim, as coordenadas do ponto mínimo/máximo são:
Atividade 8: Família de Função
Nesta atividade desenvolveremos a forma gráfica da função quadrática.
O detalhamento da mesma se encontra no apêndice A.
Atividade 9: Descobrindo Raízes De Equações Quadráticas Completas
Nesta atividade desenvolveremos o cálculo de raízes de equações quadráticas
completas. O detalhamento da mesma se encontra no apêndice A.
8. Propriedade/Aplicação da Parábola
Constantemente nos deparamos com situações nas quais necessitamos a
utilização de modelos matemáticos. Veremos que curvas de uso comum tais como
as parábolas são definidas através de funções quadráticas. Essas curvas têm muitas
aplicações no mundo moderno da tecnologia. Várias situações do cotidiano têm a
aplicação de uma parábola.
Parábola é uma curva resultante de uma secção feita em um cone, por um
plano.
É
uma
curva
geométrica
muito
bem
definida
matematicamente.
Etimologicamente, a palavra parábola provém do grego e significa “lançar ao longe”.
O seu significado foi sempre muito associado à trajetória de um objeto lançado sob
30
determinado ângulo. Por exemplo, o lançamento de uma bola de basquete, de uma
pedra, de um foguete, etc.
Tanto as lanternas como as antenas parabólicas dos satélites têm refletores
em forma de parábola. O refletor parabólico de uma lanterna reflete a luz de uma
lâmpada pequena, em raios paralelos. O refletor parabólico de um satélite que
recebe sinais de rádio e os envia para um receptor.
Lanterna (Imagem: arquivo pessoal)
Parabólica (Imagem: arquivo pessoal)
As antenas parabólicas em geral têm um grande diâmetro (parábola mais
aberta, a pequena) para captar uma grande quantidade maior de sinais do satélite,
portanto a distância focal acima onde está o foco: é nele que fica o captador dos
sinais de TV.
Antenas parabólicas (Imagem: arquivo pessoal)
31
Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um
espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um
conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o
espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos
paralelamente ao eixo que contém o “foco” e o vértice da
superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica
importante ligada à Ótica.
Antenas parabólicas: se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária
emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua
antena parabólica, uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem
formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único
lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que
converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar
em ondas que por sua vez significa filmes, jornais e outros programas que você
assiste.
Radares: Os radares usam as propriedades óticas da
parábola, similares às citadas anteriormente para a
antena parabólica e para os faróis.
Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no
espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a
maior distância possível tanto na horizontal como na
vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se
considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena.
32
9. Considerações Finais
Para o desenvolvimento deste trabalho, é necessário conhecimento prévio
do LEM, o professor deverá produzir os materiais manipuláveis antes de ser utilizado
em sala de aula, são atividades de fácil manipulação, porém requer cuidados
necessários quanto a sua confecção e utilização junto com seus alunos, e que tem o
objetivo de coletar importantes informações sobre as características, gráficos e
representações algébricas das funções, bem como o uso do software Geogebra,
transformando o momento prático no ambiente do LEM (mesmo que a escola não
possua um ambiente exclusivo para o LEM, pode-se improvisar na sala ambiente, ou
mesmo na sala de aula comum, presente em nossas escolas), favorável à criação e
desafios que apresentam e que devem ser solucionados.
As atividades foram selecionadas para o uso exclusivo de funções afins e
quadráticas, sendo materiais manipuláveis, jogos e atividades. Servem de base para
o desenvolvimento de outros tipos de funções.
Tal metodologia de ensino contribui decisivamente para a formação de uma
personalidade mais confiante, autônoma, criativa e participativa, que aprende de
forma lúdica, lidando com situações de tensão e de frustração, tornando o educando
mais forte emocionalmente e mais preparado para enfrentar a vida.
Cabe à escola estimular o exercício da cidadania, pela busca concreta e
permanente da melhor qualidade de vida na formação de pessoas, levando-as às
novas formas de sentir, pensar e agir. No entanto é preciso que o professor acredite
na sua potencialidade e na possibilidade de que venha modificar sua atitude e seu
posicionamento em relação à sua missão de educador, capaz de renovar-se pessoal
e profissionalmente.
33
10. Referências Bibliográficas
LORENZATO, Sergio. (Org.). O Laboratório do ensino de matemática na
formação de professores. Campinas: Autores Associados, 2006.
BROUGÉRE, Gilles. Brinquedo e cultura. São Paulo: Cortez, 2008.
SMOLE, Katia Stocco; DINIZ, Maria Ignez; PESSO, Neide; ISHIARA, Cristiane.
Jogos de matemática: de 1º a 3º ano. Porto Alegre: Artmed, 2008.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. São Paulo: Ática, 2005. (Vol. único)
FIORENTINI, Dario e Sergio Lorenzato. Investigação em Educação Matemática:
percursos teóricos e metodológicos. 2. ed. São Paulo: Autores Associados, 2006.
ALMEIDA, Marcos Teodoro Pinheiro de. Jogos divertidos e brinquedos criativos.
Petrópolis, RJ : Vozes, 2005.
ROCHA, Tânia. Jogos Matemáticos. Belo Horizonte, MG: Editora do Brasil, 1992.
SÁ, Ilydio Pereira de. A magia da matemática: atividades investigativas,
curiosidades e história da matemática. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.
PEREIRA, Rossana M.M.,SODRÉ, Ulysses. Ensino médio: relações e funções.
Pesquisado em:
< http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm>. Acesso
em: 02 mar 2010.
BRASÍLIA. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações
curriculares para o ensino médio: ciências da natureza, matemática e suas
tecnologias. Distrito Federal : MEC, 2008.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do Paraná, Departamento de
Educação Básica. Diretrizes curriculares da educação básica: matemática.
SEED, 2008.
GRAVINA, Maria Alice; PEIXOTO, Luciana; NOTARE, Márcia Rodrigues. Funções e
Gráficos: um curso introdutório. Pesquisado em:
<http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/cursos/trab2/exp1.htm>. Acesso em: 08 jul 2010.
(Módulo I. Experimento 1: olhando através de tubos).
34
PORTAL. Impacto. Disponível em:
<http://www.portalimpacto.com.br/docs/ImpactoBoscoPrise1Aula01.pdf>. Acesso
em: 03 jun 2010.
SLIDESHARE. Origem e fundamentos da função quadrática tarefa final.
Disponível em:<http://www.slideshare.net/guest7fc9be/origem-e-fund:amentos-dafuno-quadrtica-tarefa-final>. Acesso em: 25 jun 2010.
EXATAS. Funções. Disponível em: <http://www.exatas.mat.br/funcao2.htm>.
Acesso em: 04 jul 2010.
35
11. Apêndice A: Relação de Atividades
No decorrer do texto foram sugeridas diversas atividades relacionadas ao
conteúdo apresentado. Estas atividades estão aqui detalhadas para facilitar o
desenvolvimento do trabalho do professor em sala de aula. Cada atividade será
apresentada com o preenchimento dos seguintes itens:
Apresentação: Neste item o material será apresentado de maneira informal através
de informações relacionadas com o tipo apresentado. Por exemplo, se o material é
um jogo que possui semelhança com o dominó então a apresentação conterá
informações sobre o dominó.
Tipo: Existem diversos tipos de materiais didáticos que podem ser utilizados, entre
eles estão: jogo, atividade, quebra-cabeça, material manipulável
Descrição: Todo material deverá conter uma descrição técnica que possibilite o
professor ter uma leitura rápida das características principais do material que está
sendo proposto.
Objetivos: Um material didático, mesmo que envolva uma atividade lúdica deve ter
um fim a ser atingido no que diz respeito ao objeto de estudo da Matemática definido
pelos conteúdos.
Conteúdo estruturante: Dentro do que determina as DCE de matemática do Estado
do Paraná (2008), o material é enquadrado em algum (s) do (s) itens apresentados.
Conteúdo básico: Dentro do que determina as DCE de matemática do Estado do
Paraná (2008), o material é enquadrado em algum (s) do (s) itens apresentados.
Avaliação: Dentro do que determina as DCE de matemática do Estado do Paraná
(2008), o material é enquadrado em algum (s) do (s) itens apresentados.
Série (ano) e nível sugeridos: Um material didático, seja qual for, não pode ser
aplicado de forma aleatória para os alunos sem levar em consideração a série (ano)
36
em que se encontram. Desta forma, neste item sugerimos a partir de que série este
material pode ser trabalhado.
Material necessário e custo: todo material didático necessita de algum material
para ser desenvolvido, mesmo que seja papel e caneta (material convencional de
sala de aula). Neste item, são detalhados todos estes materiais e um valor
aproximado de referência do custo de elaboração do material, seja para aplicação
em sala de aula, seja para fazer parte do acervo de um Laboratório de Ensino de
Matemática.
Para aplicação em sala de aula dividimos o material em dois tipos: consumo
e apoio. O primeiro se refere aquele material utilizado e que não pode mais ser
reutilizado e o segundo se refere a material que servem para outras atividades e que
podem ser utilizados diversas vezes. Alguns materiais podem ser classificados como
consumo como, por exemplo, lápis, mas a sua utilização é feita tantas vezes que do
ponto de vista de gasto pode ser considerado material de apoio.
Consumo
Ordem
Especificação
Unidade
Valor Unitário (R$)
Quant.
Valor Total (R$)
Quant.
Valor Total (R$)
1
2
3
Subtotal – Consumo
Apoio
Ordem
Especificação
Unidade
Valor Unitário (R$)
1
2
3
4
5
Subtotal – Apoio
Total
Como construir: O processo de construção de um material requer alguns cuidados
e são dados numa certa ordem, principalmente se for aplicado em sala de aula. Este
37
item serve para o Professor saber todos os passos necessários para a construção
do material e, se for o caso, pode ser complementado com fotos e figuras.
Cuidados necessários: O material, no processo de construção ou depois de
pronto, requer alguns cuidados para sua conservação e durabilidade, que deveram
ser listados aqui.
Desenvolvimento da atividade: O material didático tem como principal condição de
preparação. O desenvolvimento da atividade tem como principal condição conduzir
passo a passo o professor (ministrante) com a atividade desde sua construção, se
for o caso, até a finalização da atividade. Neste tópico, é importante que tenha a
exploração do conteúdo matemático, seja através de perguntas, seja através de
observações importantes, para que o material não seja dado como perda de tempo
ou “enrolação de aula”.
Potencialidades: O desenvolvimento de uma atividade abre possibilidades de
desenvolver outros conteúdos que não estejam limitados aos apresentados e é
importante identificá-los.
Limitações: Apresentam-se as limitações que o material pode apresentar com
respeito a todos os seus aspectos.
Durabilidade e resistência: Deve-se definir aqui o quanto o material é durável e
resistente para ser guardado e manuseado.
Consumo imediato
Baixa
Média
Alta
Mídias existentes (fotos, filmes, sítios, slides, textos relacionados, referências
etc.): Toda consulta que envolva a preparação deste material ou que possa
acrescentar mais informações sobre este material deverá ser colocado neste item.
38
Atividade 1: Olhando através de tubo
Apresentação: esta é uma atividade que aborda o conceito de função de uma forma
mais concreta podendo ser visualizada e construída. Pode ser aplicada em sala de
aula após os alunos terem adquirido o conhecimento sobre funções, em
Laboratórios de Ensino de Matemática, ou até mesmo em atividades
extracurriculares.
Descrição: Material feito com cilindros ocos de tamanhos diferentes. Pode ser feito
com materiais recicláveis como: cano, rolos de papel, utiliza fita métrica e folha de
papel milimetrado.
Tipo: Material manipulável.
Objetivos:
a) Trabalhar com o conceito de funções.
b) Exercitar o conhecimento em geometria.
Conteúdo Estruturante: Números e Álgebra.
Conteúdo Básico: Funções.
Avaliação: Fazer a construção e realizar a atividade com desempenho e reconhecer
a função.
Série e nível sugerido: a partir do 1º ano do ensino médio.
Material necessário e custo:
Esta atividade pode ser confeccionada utilizando material reciclado, assim o custo
poderá ser inferior.
Consumo
39
Ordem
1
Especificação
Cilindros ocos de tamanho
Unidade
Valor Unitário (R$)
Quant.
Valor total R$
Peça
Reciclável
1
Peça
0,97
2
1,94
Peça
0,10
1
0,10
diferentes e mesmo
diâmetro
2
Fita
metrica
3
Folha de papel
milimetrado
Subtotal – Consumo
2,04
Apoio
1
Régua
Peça
0,50
1
0,50
2
Lápis
Peça
0,25
1
0,25
Subtotal - Apoio
0,75
Total
2,50
Como construir:
Tubos de cartolina
Tubos de cartolina americana
Tubos de PVC
a) Confeccione com a cartolina12 tubos de 5cm, 10cm, 15cm, 20cm, 25cm, 30cm,
35cm, 40 cm, 45cm, 50cm, 55cm e 60cm ou em cartolina americana ou em tubos de
PVC(cano) ou ainda em material reciclável ( sendo tubos de vários tamanhos, não
importa o diâmetro).
Cuidados necessários:
a) Na aplicação: O professor deve estar sempre verificando se os alunos
entenderão corretamente a atividade, o que representará as incógnitas x e y.
40
b) Na construção: A fita métrica deverá estar bem fixada da parede para que não
caia e a fita métrica do chão deverá estar bem esticada.
c) Na conservação: Manter o material em local seco e arejado.
Desenvolvimento da atividade:
a) Fixe uma fita métrica na parede e outra no chão, para que fique mais bem fixada
cole a fita métrica com fita colante.
b) Posicione-se a uma distância x da parede e visualize com o cilindro oco na mão
olhando a trena na parede fixada (y).
c) Considere a distância que a pessoa se encontra da parede como sendo a variável
independente e a medida da imagem que a pessoa enxerga como sendo a variável
dependente.
d) Depois de feito a construção, posicione-se a uma distância x da parede e visualize a fita
métrica a uma distância fixada y.
e) Anote de acordo com os valores obtidos na fita métrica de x e y.
f)
Repita algumas vezes esse procedimento, para valores diferentes de x.
g) Construa na folha de papel milimetrado, o gráfico (distância da parede pela medida da
imagem), a partir dos valores obtidos para x e y.
h) Encontre uma possível equação para a situação trabalhada, relacionando o cilindro oco
com a imagem obtida na parede y.
i)
Deduza uma relação entre x e y, a partir de uma situação geométrica.
Potencialidades: O professor poderá explorar alguns tipos de funções e trabalhar
sobre geometria.
Durabilidade e resistência:
x
Consumo imediato
Baixa
Média
Alta
Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, textos relacionados, referências etc.):
41
WINTER, Mary Carlson, Ronald J. Algebra Experiments I - Exploring Linear
Function.USA : Dale Seymour Publications, 1993.
42
Atividade 2: Qual a “função” da mola?
Apresentação: Trata-se de uma atividade que pode ser usada para se introduzir o
conceito de função, permitindo explorar função linear e/ou afim. Pode ser trabalhada
com grupos de até seis alunos. Pode-se aplicá-la tanto em sala de aula como em
exposições e Laboratórios de Matemática.
Tipo: Material manipulável.
Descrição: O aparato consta de uma base com uma haste vertical graduada na qual
é fixada uma mola e nessa um gancho. No gancho será colocado arruelas que farão
a mola alongar-se. Obtém-se dessa forma, o alongamento da mola em função da
quantidade de arruelas sustentadas pelo gancho.
Objetivos:
a) Facilitar o entendimento do conceito de função, mais especificamente afim e
linear;
b) Entender o conceito de variável dependente e independente;
c) Perceber a interdependência que pode ocorrer entre duas grandezas que podem
ser mensuradas ou quantificadas;
d) Compreender que fórmulas matemáticas podem advir de situações reais.
Conteúdo estruturante: Funções.
Conteúdo básico: Função afim e função linear.
Avaliação: Formalização do conceito de função partindo de uma situação simples e
manipulável.
43
Série e nível sugeridos: A atividade é ideal para se introduzir o estudo de funções.
Pode ser usada com alunos da oitava série e alunos da primeira série do ensino
médio, diferenciando-se apenas no nível de aprofundamento dos conceitos em cada
situação.
Material necessário e custo:
a) Para Laboratório de ensino, amostra pode ser em MDF:
Consumo por aparato (para grupo de até 6 alunos)
Ordem
01
Unidade
Valor unitário (R$)
Quant.
Valor total R$
Placa de
Madeira 20cmx20cmx1, 5cm
(MDF, aglomerado, etc.- base do aparato)
peça
0,50
01
0,50
02
Sarrafo de madeira – ripão40cmx4,5cmx1,5cm (MDF, pinus, grevilha,
etc. –haste do aparato)
peça
0,50
01
0,50
03
Régua de 30cm de plástico flexível –
dessas de propaganda.
unidade
0,50
01
0,50
04
Parafuso auto atarrachante “Phillips”
2mmx30mm
unidade
0,10
01
0,10
unidade
0,05
08
0,40
peça
5,00
01
5,00
peça
unidade
peça
0,20
0,10
1,00
01
10
01
0,20
1,00
1,00
9,20
unidade
unidade
reutilizável
reutilizável
01
01
9,20
05
06
07
08
09
Apoio
01
02
Especificação
Parafuso auto atarrachante “Phillips”
2mmx1, 5mm
Mola fabricada com fio de aço 0,7mm com
aproximadamente 20 espirais e diâmetro de
aproximadamente 2 cm.
12 cm de fio elétrico 6 mm²
Arruela 12mm chapa 14 (aba normal)
Gancho
Sub total
Chave Phillips
Alicate universal
Sub total
Total
b) Na aplicação
Consumo por grupo de 6 alunos
Folha de papel milimetrado
Subtotal - Consumo
folha
Valor Unitário
(R$)
0,30
Borracha
Régua (qualquer tamanho)
Lápis
Subtotal
unidade
unidade
unidade
0,40
0,50
0,30
Ordem
01
Apoio
01
02
03
Especificação
Total
Unidade
Quant.
06
06
06
06
Valor total
(R$)
1,80
1,80
2,40
3,00
1,80
7,20
9,00
Como construir:
44
a) Fixe a régua no sarrafo deixando o lado “zero” uns 3 cm de sua extremidade e o
lado que tem a escala bem rente à borda;
b) Fixe o parafuso 2mmx30mm na face lateral do sarrafo na direção do “zero” da
régua;
c) Fixe o sarrafo no centro da placa de madeira, com parafuso;
d) Com o auxílio do alicate, desencape o fio e dobre-o em forma de gancho;
e) Coloque a mola pendurada no parafuso e o gancho pendurado na mola( veja
figuras abaixo, do aparato pronto).
Nota 1: Se a escola tiver suportes no laboratório de química/física/biologia/etc., estes
poderão ser utilizados.
Nota 2: A mola deverá ser feita sob encomenda em oficinas( Em Maringá, casa das
molas) que trabalham com consertos de relógios-ponto, máquinas de escrever,
fechaduras, cofres, etc. São oficinas que frequentemente fabricam pequenas peças
que não existem para compra em lojas comuns.
Figura 1
Cuidados necessários: é interessante o uso das dez arruelas para que se possa
observar um padrão ao final da atividade, pois como se trata de um aparato rústico,
as medidas obtidas poderão não ser bem regulares.
Desenvolvimento da Atividade:
a) Formar equipes (de até seis alunos);
45
b) No papel milimetrado, cada aluno deverá fazer uma tabela e dois gráficos. Para
que o espaço possa ser mais bem aproveitado, o seguinte layout pode ser seguido:
d) Os dois gráficos devem ter no eixo dos “x” a variável “nº de arruelas” (fazer este
eixo na parte inferior da folha para que sobre espaço para cima);
c) A tabela a ser construída é a seguinte:
Nº de arruelas
Alongamento da mola
Comprimento da mola
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
e) O eixo dos “y” do gráfico “alongamento da mola”, deve ter a variável “alongamento
da mola” (em cm);
46
f) O eixo dos “y” do gráfico “comprimento da mola”, deve ter a variável “comprimento
da mola” (em cm);
NOTA: Usando a malha quadriculada, colocar as escalas nos eixos dos gráficos.
g) De posse do aparato montado, um aluno da equipe verifica qual o comprimento
da mola e “canta” aos demais da equipe. Todos devem registrar esse valor na
primeira linha da tabela, onde o número de arruelas é zero;
h) Um aluno da equipe pendura uma arruela no gancho e “canta” aos demais da
equipe qual o novo comprimento da mola e o alongamento1 obtido, completando a
segunda linha da tabela;
i) Repetir o passo anterior, acrescentando arruelas no gancho até a décima arruela;
j) Construir o gráfico do “alongamento da mola” utilizando a primeira e segunda
coluna da tabela;
k) Construir o gráfico do “comprimento da mola” utilizando a primeira e terceira
coluna da tabela;
l) Explorar os conceitos envolvidos com questões do tipo:
01) O alongamento e comprimento da mola variaram? Por quê?
02) O comprimento da mola depende da quantidade de arruelas no gancho ou viceversa?
03) O alongamento da mola depende da quantidade de arruelas no gancho ou viceversa?
04) O que se entende por variável dependente? E independente?
O alongamento representa o tamanho que a mola deforma a cada arruela que ela
sustenta. Por exemplo, se com 5 arruelas o comprimento da mola era de 17 cm e
com 6 arruelas o comprimento foi para 18,5 cm, significa que a mola alongou na
arruela de número 6 o tamanho de 1,5 cm.
05) A situação representada no primeiro gráfico é um tipo de função? Qual?
06) A situação representada no segundo gráfico é um tipo de função? Qual?
07) Qual é a definição de função?
08) Qual é a definição de função afim?
09) Qual é a definição de função linear?
10) As funções da mola são crescentes ou decrescentes? Por quê?
11) As variáveis que aparecem são discretas ou contínuas? Explique.
47
12) Qual a lei matemática do gráfico do alongamento da mola? E do comprimento?
Exemplo: Chamando alongamento de f(x), comprimento da mola de g(x) e número
de arruelas de x, e partindo de uma situação em que a mola tenha comprimento
inicial de 8 cm e alongue 1,5 cm a cada arruela, teremos: f (x) = 1,5x (função linear)
e g(x) = 1,5x + 8 (função afim).
13) Se a mola seguisse um ritmo de alongamento constante, qual alongamento teria
para sustentar 250 arruelas?(Use a lei encontrada na questão anterior para
calcular).
Potencialidades: Fazendo-se variações nas dimensões da mola ou espessura do
material de que é feita, ou ainda no tamanho das arruelas, os gráficos serão mais ou
menos inclinados. Isso pode ser discutido entre as equipes.
O aparato também pode ser utilizado na disciplina de Física para explorar a Lei de
Hooke: "A intensidade da força elástica Fel é proporcional à deformação X".
Limitações: Costuma ocorrer confusão nos registros das tabelas, como registrar um
valor de alongamento onde seria um valor de comprimento.
Tomar cuidado na forma de abordar o conceito das funções em questão: apesar de
os gráficos parecerem com funções afins e lineares, na verdade não o são, pois a
variável “número de arruelas” é do tipo discreto, portanto os gráficos são formados
por pontos e não por retas.
Durabilidade e Resistência: O aparato em si possui grande durabilidade e
resistência.
Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, textos relacionados, referências etc.):
ENSINO DE CIÊNCIAS. Atividades e experimentos. Adaptação disponível
em:<http://www.cienciamao.if.usp.br/tudo/exibir.php?midia=pmd&cod=_pmd2005_04
02>. Acesso em 11 jun 2010.
48
Atividade 3: Os retângulos
Apresentação: Neste experimento, consideraremos diversos retângulos que
possuam o mesmo perímetro. Então, mantendo o perímetro dos retângulos fixo,
teremos que um dos lados do retângulo será função do outro, ou seja, um dos lados
serão a variável independente e o outro lado a variável dependente.
Descrição:
.
Folhas de papel quadriculado, diversas por grupo;
.
Uma régua por aluno;
.
Folhas de papel milimetrado, uma por aluno.
Tipo: Atividade
Objetivos: Empregar corretamente os conceitos e procedimentos algébricos,
incluindo o uso do importante conceito de função e de suas várias representações
(gráficos, tabelas, fórmulas, etc.).
Conteúdo Estruturante: Número e álgebra.
Conteúdo Básico: Função Afim
Avaliação: Acompanhar o desenvolvimento na resolução da situação problema.
Série e nível sugeridos: 1ª série do ensino médio.
Material necessário e Custo:
Consumo
49
Ordem
Especificação
Unidade
Valor Unitário (R$)
Quant.
Valor Total (R$)
1
Papel quadriculado
folha
0,30
3
0,90
2
Papel milimetrado
folha
0,30
3
0,90
Subtotal – Consumo
1,80
Apoio
1
Régua
peça
0,50
1
0,50
2
Tesoura
peça
2,00
1
2,00
3
Lápis
peça
0,20
1
0,20
4
Borracha
peça
0,80
1
0,80
5
Caneta esf.
peça
0,60
1
0,60
Subtotal - Apoio
4,10
Total
5,90
Como construir:
.
Construir, com as folhas de papel quadriculado, retângulos de mesmo perímetro;
.
Anotar numa tabela os valores dos lados dos retângulos construídos (x e y);
.
A tabela abaixo mostra a relação de alguns retângulos de perímetro 20.
x - Lado1 do retângulo y - Lado2 do retângulo
1
9
2
8
3
7
4
6
5
5
Construir, na folha de papel milimetrado, o gráfico (lado1 do retângulo x lado2 do
retângulo) a partir dos valores de x e y.
Cuidados necessários: Revisar o conceito de perímetro
Desenvolvimento da atividade:
Encontre uma possível equação para a situação trabalhada, a partir dos
dados obtidos no experimento. Sabemos que o perímetro do retângulo é calculado
da seguinte maneira: P = 2x + 2y. Como, em nosso experimento, o perímetro do
retângulo é fixo, então a equação de y em função de x é:
50
2y = P - 2x
y  x 
P
2
O gráfico que representa essa equação está esboçado abaixo.
Durabilidade e resistência:
Consumo Imediato
x
Baixa
Média
Alta
Mídias existentes (fotos, filmes, sítios, slides, textos relacionados, referências etc.):
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Disponível
em:<http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/cursos/trab2/exp4.htm>. Acesso em 12 jul
2010.
51
Atividade 4: Enigma de funções
Apresentação: Este é um jogo que possibilita os alunos identificarem as funções
quadráticas, sua forma gráfica e algébrica com as suas respectivas características e
que desenvolvam a linguagem matemática própria a funções e gráficos e aprimorem
o raciocínio lógico-dedutivo.
Descrição: O jogo permite ainda que os alunos trabalhem habilidades da leitura e
interpretação de gráficos, além de possibilitar o levantamento de hipóteses e a
resolução de problemas a partir das relações estabelecidas entre as diferentes
funções e suas características.
Tipo: Jogo
Objetivos:
. Descobrir a função de cada oponente;
. Relacionar as funções quadráticas apresentadas na forma gráfica e algébrica com
suas respectivas características;
. Desenvolver a linguagem matemática própria a funções e gráficos;
. Aprimorar o raciocínio lógico-dedutivo.
Conteúdo estruturante: Função quadrática.
Conteúdo básico: Álgebra.
Avaliação:
.
Os alunos podem demonstrar o que aprenderam com o jogo de diferente
maneira:
.
Selecionar duas cartas com função e relacionar todas as perguntas cuja resposta
seja sim para as duas ao mesmo tempo.
52
.
Voltar à lista de dúvidas produzida antes de jogar e explicar quais delas o jogo
ajudou a sanar e quais ainda não.
.
O professor deverá fazer as intervenções necessárias para o esclarecimento das
dúvidas que restaram.
Série e nível sugerido: a partir do 1º ano do Ensino Médio.
Material necessário e custo: Quatro cartolinas americanas de cores diferentes com
custo unitário de R$ 0,85 cada, totalizando R$ 3,40.
Duas cartolinas para a confecção de cartazete com as funções, com o custo de R$
0,80, num total de R$ 1,60.
Totalizando... R$ 5,00.
Como construir:
Desenhe
e
recorte na
cartolina
americana
44
retângulos de dimensões 6x9 cm, sendo 24 de uma
cor e 24 de outra. Dois baralhos de funções (24 cartas
cada baralho) em duas cores distintas em um baralho
de perguntas de cor distinta dos outros baralhos (20
cartas).
Observação: Dois baralhos de funções (24 cartas cada baralho) em duas cores
distintas em um baralho de perguntas de cor distinta dos outros baralhos (20 cartas).
Monte um cartazete com as cartas e registre nas cartas as expressões algébricas de
funções e gráficos e suas características conforme o esquema abaixo:
(Para reproduzir ampliado, em duas cores distintas essas cartas de funções).
y = – x² / 2
y = x² – 2x – 3
y = – 2x² + 4x – 3
53
y = -x² + 4x – 12
y = 2x² - 4x
y = -x² + 4x – 3
y = x² - 2x
y = -x² + 2x – 1
y = x² - 2x + 5
54
y = 2x² - 4x + 3
y = - x² - 8
y = x² + 4x + 6
y = -x² + 2x + 3
y = x² + 4
y = x² + 4x + 4
y = x² - 4x + 3
y = -3x² - 12x
y = x² + 4x + 3
55
y = x² + 8
y = -x² -4x – 3
y = 9x²
y = -2x² - 8x – 8
y = -x²/4 –x – 5
y = x² + 2x
Cartas de perguntas:
56
57
58
59
Cartazete:
60
Cuidados necessários: O professor deve estar atento a organização do material a
ser utilizado, como cartas respostas, cartas dos gráficos e cartazete.Esse material
deve ser guardado em local seco e arejado.
61
Desenvolvimento da atividade:
a) Formar duplas ou duas duplas jogando uma contra
a) Cada jogador recebe um conjunto de cartas de funções que devem estar visíveis
e organizadas à sua frente.
b) As cartas de perguntas são embaralhadas e colocadas no centro da mesa
voltadas para baixo.
c) O cartazete é colocado de modo que os jogadores possam vê-lo durante o jogo.
d) Os jogadores escolhem uma função do cartazete, sem que seu oponente saiba
qual é, e registram a forma algébrica da função escolhida.
e) O objetivo de cada jogador é descobrir a função de seu oponente
f) Decidem-se quem começa e, a partir daí, os participantes ou duplas jogam
alternadamente.
g) Na sua vez, jogador retira uma carta do baralho e pergunta a seu oponente se a
sua função escolhida por ele tem aquela característica. O oponente deve
responder apenas sim ou não. O jogador deve excluir as funções que não lhe
interessam.
h) Por exemplo, se a carta retirada contiver O vértice está no terceiro quadrante? E
a resposta for sim, ficam excluídas as funções que não contêm vértices no 3º
quadrante, já se a resposta for não, isso significa que a função escondida não
tem vértice no 3º quadrante.
i) Sucessivamente, as perguntas auxiliam cada jogador a excluir funções até que
seja possível concluir qual é a função escolhida por seu oponente. As perguntas
não voltam ao baralho. Se o baralho de perguntas terminarem, as cartas são
embaralhadas para formar novamente o baralho das cartas de perguntas.
j) Ganha o jogo o primeiro jogador que identificar a função escolhida por seu
oponente.
Potencialidades: neste jogo será explorado características da função quadrática.
Limitações: Esse material apresenta alguns dos elementos da função quadrática.
Como o jogo é realizado para números pequenos de participantes, o professor terá
que possuir muitos exemplares para sua aplicação em sala de aula.
62
Durabilidade e resistência:
Consumo Imediato
x
Baixa
Média
Alta
Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, textos relacionados, referências etc.):
SMOLLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Cadernos do mathema: ensino médio.
Porto Alegre : Artmed, 2008.
63
Atividade 5: Trabalhando com retângulos.
Apresentação: Neste experimento, vamos considerar diversos retângulos que
possuem mesma área. Então, mantendo fixa a área dos retângulos, teremos que um
dos lados do retângulo dependerá do outro, ou seja, um dos lados serão a variável
independente e o outro lado a variável dependente.
Tipo: Resolução de problema.
Descrição:
.
Usar folhas de papel quadriculado, diversas por grupo;
.
Uma régua por aluno;
.
Folhas de papel milimetrado, uma por aluno.
Objetivos: Estimular o cálculo de área máxima e mínima.
Conteúdo Estruturante: Números e Álgebra
Conteúdo Básico: Função.
Avaliação: A avaliação será efetuada através da observação do desenvolvimento da
atividade, a socialização e interação entre os componentes do grupo.
Série e nível sugeridos: A partir da 8ª série do Ensino Fundamental.
Material necessário e custo:
Consumo
Ordem
Especificação
Unidade
Valor Unitário (R$)
Quant.
Valor Total (R$)
1
Papel quadriculado
folha
0,30
3
0,90
2
Papel milimetrado
folha
0,30
3
0,90
Subtotal – Consumo
1,80
Apoio
64
1
Régua
peça
0,50
1
0,50
2
Tesoura
peça
2,00
1
2,00
3
Lápis
peça
0,20
1
0,20
4
Borracha
peça
0,80
1
0,80
5
Caneta esf.
peça
0,60
1
0,60
Subtotal - Apoio
4,10
Total
5,90
Como construir:
.
Formar grupos de dois ou três alunos;
.
Construir, com as folhas de papel quadriculado, retângulos de mesma área:
(1x36, 2x18, 3x12 e 6x6 em cm);
.
Construir uma tabela com os valores dos lados dos retângulos construídos (x e
y);
A tabela abaixo mostra a relação de alguns retângulos de área 36:
.
X - Lado 1 do retângulo
Y – Lado 2 do retângulo
01
36
02
18
03
12
04
09
06
06
Construir, na folha de papel milimetrado, o gráfico (lado1 do retângulo x lado2 do
retângulo) a partir dos valores de x e y.
Cuidados necessários: Retomar o conceito de área, acompanhar a construção dos
retângulos com mesma área.
Desenvolvimento da atividade:
1. Encontre uma possível equação para a situação trabalhada, a partir dos dados
obtidos no experimento.
2. Sabemos que a área do retângulo é calculada da seguinte maneira: S = x.y
65
Como, em nosso experimento, a área do retângulo é fixa, então a equação de y em
função de x é: y = S / x
Observe que se dobrarmos o valor de x, reduziremos y à metade; se
triplicarmos o valor de x, reduziremos y à terça parte; se quadruplicarmos o valor de
x, reduziremos y à quarta parte; e assim por diante. Relações que apresentam essas
características são chamadas de "relações inversamente proporcionais".
Este gráfico recebe o nome de hipérbole.
Potencialidades: Trabalhar o conceito de função.
Limitações: Este jogo é recomendável para alunos a partir da 8ª série do Ensino
Fundamental.
Durabilidade e resistência:
Consumo Imediato
x
Baixa
Média
Alta
Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, textos relacionados, referências etc.):
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Disponível
em:<http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/cursos/trab2/exp4.htm>. Acessado em 12 jul
2010.
66
Atividade 6: Família de função
Apresentação:
É um jogo de raciocínio lógico, que possibilita que os alunos identifiquem
características das funções afins e quadráticas fazendo a leitura e a escrita algébrica
e a análise de gráficos.
Descrição: É um jogo feito em cartolina americana com 39 cartas retangulares que
pode ser jogado com dois ou quatro participantes.
Tipo: Jogo
Objetivos:
.
Relacionem as funções apresentadas nas formas gráficas e algébricas com suas
respectivas características;
.
Desenvolva a linguagem matemática própria a funções e gráficos e aprimorem o
raciocínio lógico e educativo.
Conteúdo Estruturante: Funções afins e quadráticas.
Conteúdo Básico: Álgebra.
Avaliação:
O estudo da função afim e quadrática pode ser motivado via problema de
aplicação, em que é preciso encontrar certo ponto de máximo/mínimo. O estudo
dessa função – posição do gráfico, coordenadas do ponto máximo/mínimo, zeros da
função – deve ser realizado de forma que o aluno consiga estabelecer as relações
67
entre o “aspecto” do gráfico e os coeficientes de sua expressão algébrica, evitandose a memorização de regras. Nesse estudo, também é pertinente deduzir a fórmula
que calcula os zeros da função quadrática (a fórmula de Baskara) e a identificação
do gráfico da função quadrática com a curva parábola, entendida esta como um
lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes de um ponto fixo e de
uma reta.
Série e nível sugerido: A partir do 1º ano do Ensino Médio.
Material necessário e custo:
.
Duas cartolinas americanas com custo unitário de R$ 0,85, totalizando R$1,70.
.
Uma folha de papel milimetrado com custo de R$ 0,50.
.
Um pincel atômico preto, com o custo de R$ 3,75.
.
Papel contact transparente R$ 6,45/m
.
Total do custo... R$ 5,95
Como construir:
a) Desenhe e recorte 39 retângulos de dimensão
6x9 cm.
b) Construa um envelope para guardar as cartas.
c) Registre nas cartas as expressões algébricas de
funções e gráficos e suas características conforme
o quadro seguinte (cartas):
y = 2/3
y=-4
y = -1/4x -1/2
y = -x + 2
68
y = 2x + 1
y=x +1
y = - x² + 2x - 1
y=
y = 2x² - x
y = x² + 3
2
para
3
y = - 3x²
-2 é raiz da
função.
qualquer x do
domínio.
y ≤ 0 quando
1
x≤ 
2
e y≥0
1
quando x ≥ 
2
1 é coeficiente
angular e linear
da função.
É uma função
afim decrescente.
A função é
y = -4 para
O gráfico da
crescente em
qualquer x do
função intercepta
O gráfico passa
]-∞,0] e
domínio.
o eixo y no ponto
pelo ponto (0,0).
decrescente em
Possui
concavidade para
baixo e f(0) = -1
da ordenada - 4.
[o , +∞[
69
O gráfico passa
O gráfico passa
O gráfico da
pela origem do
pelo ponto (0, 1).
função é uma reta
plano cartesiano.
FUNÇÃO
que passa por
(0,2) e (2,0).
FUNÇÃO
70
d) Plastifique-as com o papel contact transparente.
Cuidados necessários:
.
Professor deve estar sempre verificando se os alunos estão recortando
corretamente.
.
Observar o manuseio da tesoura.
.
Para construir o material é importante que se preserve os registros das
expressões gráficas, pois eles foram escolhidos de forma adequada, conforme o
objetivo e o desenvolvimento do jogo.
.
Na conservação, o material em papel cartolina deverá ser guardado em local
seco e arejado.
Desenvolvimento da Atividade:
a) Número de participantes: de 2 a 4
b) O objetivo do jogo é formar famílias de 4 cartas. Cada família é formada pela
expressão algébrica da função pelo esboço do seu gráfico e por duas outras cartas
que contém propriedades, da função, a saber: ponto importante do gráfico,
comportamento do sinal da função. É possível formar no máximo, 10 famílias.
c) Embaralham-se as cartas e coloca-se o baralho sobre a mesa, com o registro não
visto.
d) Um dos jogadores tira uma das cartas do baralho e a coloca sobre a mesa com o
registro à vista.
e) O próximo a jogar procede do mesmo modo.
71
f) Se a carta tirada por um dos jogadores pertence à mesma família de uma das
cartas já viradas, coloca-se a carta retirada abaixo da carta da mesma família. Caso
contrário, coloca-se a carta sobre a mesa, sem aproximar de outras cartas.
g) Se um dos jogadores colocar uma das cartas na família errada ele perde a vez de
jogar, e essa carta é colocada no final do baralho.
h) se a carta tirada for uma carta função, ele poderá utilizá-la para formar um trio de
jogo para formar uma família.
i) O jogo termina quando não for possível formar mais famílias.
j) Ganha o jogo quem tiver maior pontuação, de acordo com as seguintes regras:
.
Sempre que um dos jogadores retirar uma carta que pertence à mesma família
de uma das cartas da mesa, coloca a carta retirada ao lado da carta da mesma
família e ganha um ponto.
.
O jogador que completar uma das famílias ganha cinco pontos.
Potencialidades: através desse jogo podemos relembrar as equações do 1º e 2º
graus, dando suporte para que o educando possa conceituar funções.
Limitações: Esse material apenas apresenta alguns dos elementos de funções de 1º
e 2º graus. Como o jogo é realizado para números pequenos de participantes, o
professor terá que possuir muitos exemplares para sua aplicação em sala de aula.
Durabilidade e resistência: a cartolina americana é um material de baixa
durabilidade.
Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, textos relacionados, referências etc.):
SMOLLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Cadernos do mathema: ensino
médio. Porto Alegre: Artmed, 2008.
72
Atividade 7: Uso do software Geogebra na construção de parábolas.
Apresentação:
Esta situação de aprendizagem foi elaborada, porque inclui conteúdo diretamente
relacionado com as competências essenciais do domínio da ”Álgebra”.
Considera ainda aspectos transversais da Matemática: comunicação matemática;
prática compreensiva de procedimentos e exploração de conexões. O software
Geogebra é interativo, com essa atividade irá facilitar a compreensão na construção
de uma parábola.
A tarefa a desenvolver tem como ponto de partida os conhecimentos já adquiridos
pelos alunos, designadamente: o conceito do foco de uma função quadrática e a
construção da parábola.
Tipo:
Atividades.
Descrição:
Esta atividade pode ser desenvolvida com os alunos das oitavas séries do Ensino
Fundamental e primeiras séries do Ensino Médio, após serem trabalhadas, a
definição de parábola e a função quadrática. Pode ainda, ser utilizada quando os
conteúdos que abordam as cônicas forem trabalhados.
Esta atividade deve ser realizada no laboratório de informática da escola. Em cada
computador deverá ficar apenas dois alunos, para que o trabalho se torne mais fácil,
tendo a participação de todos. O professor deverá conversar com os alunos,
passando as informações gerais sobre a atividade, explicando que, para que os
objetivos sejam atingidos será necessário que todos caminhem juntos, ou seja,
realizem a atividade “passo a passo”, para que concluam juntos. O aluno que tiver
mais conhecimento em informática deverá auxiliar o colega para que todos
entendam os comandos do programa.
73
Objetivos:
Construir parábolas com as funções quadráticas, mostrando a relação dinâmica de
seus coeficientes e suas representações gráficas.
Mostrar aos alunos que se pode relacionar a informática com a Matemática.
Proporcionar uma aula agradável aos alunos, utilizando uma das coisas que eles
mais se interessam hoje, ou seja, o computador.
Despertar a criatividade dos alunos, ao verificar o que podemos fazer utilizando um
software, trabalhando com conteúdos matemáticos.
Desenvolver estratégia, aguçar o raciocínio lógico e indutivo dos alunos.
Promover uma interação entre os alunos, utilizando a troca de informações entre si,
no âmbito da informática.
Conteúdo Estruturante:
Números e álgebra.
Conteúdo Básico:
Função quadrática.
Avaliação:
Os alunos serão avaliados no decorrer da atividade. Serão levados em consideração
o comprometimento na realização da atividade e a criatividade na elaboração de
situações para a assimilação do conteúdo de função quadrática. Ao final, será
distribuída uma ficha para identificar os conhecimentos construídos.
Série e nível sugerido:
A partir da 8ª série do Ensino Fundamental, explorando na 1ª série do Ensino Médio.
Material necessário e Custo:
Utilização de computadores no Laboratório de Informática e que tenham o software
Geogebra instalado.
74
Cuidados Necessários:
Conhecimento e habilidade com o software Geogebra, isso facilitará a construção da
parábola.
Desenvolvimento da Atividade:
Para iniciar a atividade proposta, siga os “passos” a seguir:
1. Abrir a tela do Geogebra.
2. Construir uma reta horizontal, que será a diretriz da parábola, utilizando
a ferramenta
e clicar em reta definida por dois pontos;
2.1. Ocultar os pontos A e B que aparecerão sobre a reta. Clicar sobre o
ponto A, com o botão direito do mouse e desmarcar a opção exibir objeto.
Repetir o procedimento para o ponto B;
2.2 Entrar no menu exibir e desmarcar a opção eixo para ocultar o plano cartesiano.
2.3 Clicar sobre a reta com o botão direito do mouse, em seguida, ir para a opção
Renomear, digitar a letra d e clicar em Aplicar;
3. Marcar um ponto D sobre a reta d, utilizando a ferramenta Novo ponto
4. Marcar um ponto F fora da reta, que será o foco da parábola;
75
5. Construir um segmento de reta DF, utilizando a ferramenta Reta definida por dois
pontos
·, selecionar a opção Segmento definido por dois pontos, em seguida,
clicar sobre os pontos D e F;
6. Construir a mediatriz m do segmento DF, utilizando a ferramenta selecionando a
opção mediatriz, e clicar sobre o segmento DF;
7. Construir a perpendicular s à reta d, passando pelo ponto D. Usar a ferramenta
, selecionar a opção reta perpendicular, clicar sobre a reta d e sobre o ponto
D.
8. Marcar o ponto P de intersecção de t com s, utilizando a ferramenta
. Selecionar a opção intersecção de dois objetos, em seguida clicar sobre as retas s
e t.
9. Selecionar a mediatriz m, clicando sobre ela com o botão direito do mouse, ir para
a opção Habilitar rastro. Em seguida, utilize a ferramenta animação
clicar
sobre o ponto D e arraste-o sobre a diretriz d. O lugar geométrico do ponto P
(rastro), quando D se move sobre a reta d, é o que chamamos de Parábola.
Depois de concluída esta atividade, a construção deverá ficar como mostra a
figura abaixo:
76
10. Para desfazer os rastros da mediatriz m, clicar no menu Editar e selecionar a
opção desfazer, e começar a dinâmica novamente.
Observação: Para alterar a cor dos objetos, basta clicar sobre eles com o botão
direito do mouse e selecionar a opção propriedades, em seguida clicar em cor, e
selecionar a cor desejada.
O professor deverá neste momento, fixar a definição de parábola, mostrando que
quando o ponto D se move sobre a diretriz d, o ponto P está sempre equidistante do
foco F e da diretriz.
Em seguida, deve-se dar procedimento ao assunto, já que a função quadrática foi
trabalhada com os alunos, construindo parábolas utilizando o software Geogebra,
mostrando a relação que há entre os coeficientes a, b e c da função f(x) = ax2+bx+c
e sua representação no plano cartesiano. Para isso deve-se prosseguir da seguinte
forma:
1. Criar um objeto a (coeficiente de x2), digitando a=2 na Barra de Entrada, que após
clicar Enter, aparecerá na coluna que está do lado esquerdo na tela. Clicar sobre o
objeto a com o botão direito do mouse, e selecionar a opção exibir objeto.
2. Repetir o processo do item anterior para criar os objetos b (coeficiente de x) e c
(termo independente).
3. Digitar na Barra de Entrada a função f(x) =a*x^2+b*x+c e clicar em Enter.
4. Para observar a relação do coeficiente a com a curva, deve-se selecionar a
ferramenta mover
, em seguida, clicar sobre a bolinha dos valores de a que
aparece na tela principal sobre uma reta, e movê-la.
Haverá uma alteração de valores, que poderá ser observada graficamente.
5. Para observar a relação que há entre o coeficiente b e a curva, deve-se clicar
sobre a bolinha dos valores de b e movê-la.
6. Para observar a interferência do termo independente c, na função, deve-se
clicar sobre a bolinha dos valores de c e movê-la.
Potencialidades:
77
O Geogebra é um software gratuito de matemática dinâmica, onde podemos
trabalhar a geometria, a álgebra e o cálculo. Este software nos oferece a
oportunidade de visualizar a relação da representação algébrica com a geométrica
de um objeto em estudo. Este software se encontra instalado nos computadores da
escola.
Estes são apenas alguns exemplos do que se pode fazer com o Geogebra. Cabe a
cada docente, explorar este software dentro deste conteúdo e de muitos outros que
são abordados em sala de aula. Acredito que os próprios alunos, que tem facilidade
em informática, se tiverem oportunidade de trabalhar com o Geogebra, poderão
descobrir muitas formas de utilizá-lo auxiliando o professor durante suas aulas,
tornando os conteúdos matemáticos mais significativos e interessantes.
Limitações:
A escola deverá possuir pelo menos um computador para cada dois alunos, na sala
de informática.
Durabilidade e Resistência:
Cuidado no manuseio dos computadores.
Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, textos relacionados, referências etc.):
MATERIAL DIDÁTICO. Terceira atividade proposta. Disponível em:
<http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/mirtes-atividade3-proposta.pdf> e
<http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas/Curso_ConicasAplicacoes.pdf>. Acesso em 21
jun 2010.
78
Atividade 8: Resolvendo equações através do cálculo mental
Apresentação: Antes de apresentar técnicas para a resolução de equações,
induzimos os estudantes a solucioná-las por tentativas, para que se atenham
inicialmente ao significado de resolvê-las, focando a atenção em satisfazer a
igualdade. Para isto, propomos um jogo, no qual os alunos devem resolver as
equações por tentativa. Por exemplo, para encontrarmos as raízes de (x + 1) 2 = 9,
vemos que tanto 3 como -3 elevados ao quadrado dão 9. Para obtermos o 3, x deve
valer 2, e para obtermos o -3, x devem valer -4. Numa equação como (x+3) (x-1) = 0,
salientamos que um dos fatores seria obrigatoriamente nulo, seguindo-se que x = -3
ou x=1.
Descrição:
O jogo pares fora consta de 28 cartas a serem distribuídas igualmente entre 4
jogadores, um dos quais dará início ao jogo, comprando uma carta do adversário à
sua direita. Após comprá-la ele deve descartar todos os pares, sendo que um par
consiste numa equação e sua respectiva solução. O jogador do qual foi retirada
uma carta, deve comprar uma carta do jogador à sua direita e descartar os pares
que tiver e assim sucessivamente, até que algum dos jogadores fique sem nenhuma
carta. Este será o vencedor.
Tipo: Jogo
Objetivos: Estimular a percepção do aluno na identificação das várias formas de
escrita da função quadrática.
Conteúdo estruturante: Equações.
Conteúdo básico: Álgebra
Série ou nível sugerido: a partir do oitavo ano do ensino fundamental.
Material necessário e custo:
79
.
Duas cartolinas americanas com custo unitário de R$ 0,85,
totalizando R$ 1,70.
.
Papel contact transparente R$ 6,45/m.
Como construir:
.
Desenhe e recorte na cartolina americana 28 retângulos de dimensões 6x9 cm.
.
Registre nas cartas as equações quadráticas e suas respectivas respostas
conforme as cartas a seguir:
80
Observação: sugestão para as demais cartas, as funções e seus respectivos
resultados:
x’
x=1
e x’’ = 1
y = - 3x² - 6x + 9
ou x = - 3
x= 5
x= 3
y = x² - 25
ou x = - 5
y = x² -2x – 3 = 0
ou x = - 1
x=3
x=3
y = x² – 5x + 6
ou x = 2
y = 3 - 4x + x²
ou x = 1
x = 2 ou
x=-4
y=x²+x–6
x=-3
y = x² + 5x +4
ou x= - 1
A seguir, plastifique-as com o papel contact transparente, para garantir maior
y= -x² + 2x – 1
durabilidade.
Cuidados necessários:
.
O professor deve estar sempre verificando se os alunos estão recortando
corretamente.
.
Par construir o material é importante que se preserve os registros das
expressões, pois elas foram escolhidas de forma adequada, conforme o objetivo
e o desenvolvimento do jogo.
Desenvolvimento da atividade:
a) Distribuir as 28 cartas a serem distribuídas igualmente entre 4 jogadores.
b) Um aluno inicia o jogo, comprando uma carta do adversário à sua direita.
c) Após comprá-la ele deve descartar todos os pares, sendo que um par consiste
numa equação e sua respectiva solução.
81
d) O jogador do qual foi retirada uma carta, deve comprar uma carta do jogador à
sua direita e descartar os pares que tiver e assim sucessivamente.
e) O jogo continua até que algum dos jogadores fique sem nenhuma carta. Este será
o vencedor.
Potencialidades: através desse jogo podemos fazer a averiguação de aprendizagem
sobre equação do 2º grau.
Limitações: Esse material fica restrito a equação do 2º grau. Como o jogo é realizado
para números pequenos de participantes, o professor terá que providenciar vários
exemplares para sua aplicação em sala de aula.
Durabilidade e resistência: a cartolina americana é um material de baixa
durabilidade.
Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, textos relacionados, referências etc.):
ALMEIDA, Maria de F. L. B. de Paiva; SILVA, Uyanna Souza. Equação e função
quadráticas por meio de jogos e problemas. Disponível em:
<http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Minicurso/Trabalhos/MC05162087726T.doc>.
Acesso em 08 2010.
82
Atividade 9: Descobrindo raízes de equações quadráticas completas
Apresentação:
Este é um jogo que proporciona a interação entre os alunos de forma lúdica,
permitindo ao participante realizar o cálculo mental de raízes de equações
quadráticas completas. Este jogo pode ser aplicado em sala de aula, em laboratório
de ensino de matemática e até em atividades extracurriculares.
Tipo: Jogo
Descrição:
Jogo composto por 5 tabelas retangulares de dimensões 9 cm x 18 cm, e 48 peças
retangulares de dimensões 3 cm x 6 cm, feitas de cartolina americana.
Objetivo:
Exercitar o cálculo de raízes de equações quadráticas completas.
Conteúdo estruturante:
Número e Álgebra.
Conteúdo básico:
Equações quadráticas completas.
Avaliação:
Observar se o aluno estabeleça relação entre os coeficientes e as raízes.
Série e nível sugerido:
Como revisão no 1ª série do Ensino Médio e 8ª série do Ensino Fundamental e
(importante trabalhar com alunos que tenham conhecimento sobre o assunto).
83
Material necessário e custo:
Obs.: Para aplicação em sala de aula e para o LEM, amostra em cartolina
plastificada).
Consumo
Ordem
Especificação
Unidade
Valor
Quant.
Valor Total (R$)
unitário
1
Cartolina
Folha
1,80
1
1,80
Folha
1,80
1
1,80
metro
6,45
1
6,45
americana
amarela
2
Cartolina
americana
azul
3
Papel contact
transparente
Subtotal
10,05
Material de apoio
Ordem
Especificação
Unidade Valor unitário
1
Régua
Peça
0,50
2
Tesoura
Peça
Reutilizável
3
Lápis
Peça
Reutilizável
4
Caneta esferográfica preta
Peça
Reutilizável
5
Pincel atômico
Peça
6
Borracha
Peça
Quant. Valor Total
(R$)
1
0,50
1,50
2
3,00
0,50
1
0,50
Subtotal
4,00
Total
14,05
84
Como construir:
a) Na folha de cartolina ou EVA, desenhe e
recorte 5 cartelas de dimensões 9 cm x 18
cm, contendo cada uma delas o registro de 9
equações quadráticas completas, conforme
sugestão a seguir:
x² + 10x – 39 = 0
n² + 8n + 15 = 0
s² - 2s – 3 = 0
m² - m – 20 = 0
r² - 6r + 5 = 0
u² - 8u + 15 = 0
y² - 10y + 21 = 0
p² + 6p – 91 = 0
t² + 10t + 9 = 0
x² + 2x – 3 = 0
n² + 9n + 14 = 0
s² - 6s – 91 = 0
y² - 20 y + 51 = 0
p² + 3p – 4 = 0
t² - 7t + 10 = 0
m² - 3m – 10 = 0
r² - 4r + 3 = 0
u² - 16u + 60 = 0
x² + 6x – 7 = 0
n² + 20n + 19 = 0
s² - 4s – 12 = 0
y² - 7y + 6 = 0
p² + 7p – 44 = 0
t² - 5t + 6 = 0
m² - 2m – 8 = 0
r² - 12r – 45 = 0
u² - 3u + 2 = 0
x² + 5x – 6 = 0
n² + 5n + 4 = 0
s² - s – 12 = 0
y² - 13y + 40 = 0
p² + 6p – 16 =
t² + 4t + 3 = 0
m² - 8m – 48 = 0
r² - 5r + 4 = 0
u² - 10u + 16 = 0
x² + 2x – 35 = 0
n² + 6n + 5 = 0
s² - 4s – 5 = 0
y² - 10y + 24 = 0
p² + 8p – 20 = 0
t² + 18t + 72 = 0
m² - 2m – 15 = 0
r² - 6r – 7 = 0
u² - 7u + 12 = 0
b) Com a cartolina desenhe e recorte 48 cartões de dimensões 3 cm, sendo 45
com os seguintes resultados descrito abaixo e três cartões com figuras de
palhaço, representando os coringas:
-13 ; 3
6 ; 12
-3;1
-1;-9
-19 ; - 1
2;3
2;5
1;4
-4;-1
-1;7
-7;1
-3; 4
2;8
3;4
-6 ; 1
1;5
-1 ; 5
-5;-1
1;3
-3 ; - 1
5;8
85
-3;5
-7;5
4; 6
-2 ; 5
-4;5
-1;3
-2;4
3;7
- 11 ; 4
3 ; 17
-4;1
-5;-3
- 13 ; 7
- 7 ; 13
-2;6
1;6
-7;-2
-8;2
- 3 ; 15
- 4 ; 12
6 ; 10
- 10 ; 2
3;5
1;2
A seguir plastifique-as com o papel contact transparente para maior durabilidade.
Cuidados necessários:
a) Na aplicação: O professor deve verificar se os alunos estão fazendo corretamente
as resoluções.
b) Na construção: Após escrever com a caneta de tinta molhada é necessário
esperar um tempo para a secagem da tinta.
c) Na conservação: O material em cartolina americana deverá ser guardado em local
seco e arejado.
Desenvolvimento da atividade:
a) Jogos para 2 a 5 participantes.
b) Cada jogador recebe uma cartela. Embaralham-se as fichas, colocando-as
empilhadas com o registro não a vista.
c) O primeiro jogador compra uma ficha e verifica se o registro nela contido são
raízes de uma das equações quadráticas em sua cartela. Caso isso ocorra, coloca a
ficha sobre a equação correspondente; caso contrário, a ficha deverá permanecer
sobre a mesa, com o registro a vista.
d) O próximo jogador comprará uma ficha do monte ou da mesa e procederá como
exposto anteriormente.
e) Nas próximas jogadas, os jogadores poderão comprar uma ficha do monte ou
uma ficha da mesa, se esses puderem ser colocados corretamente sobre as
equações quadráticas de sua cartela.
f) Se o jogador comprar ficha coringa poderá colocá-la sobre qualquer uma das
equações quadráticas da cartela e esta ficha poderá ser movimentada livremente
para qualquer outro registro da operação que lhe convier.
86
g) Vencedor: o primeiro jogador que completar corretamente todos os registros das
equações quadráticas de sua cartela.
Potencialidades:
É possível trabalhar outros conteúdos matemáticos; utilizando a mesma estrutura
desse jogo.
Limitações:
O jogo por ser realizado por um número pequeno de participantes, o que obriga o
professor possuir muitos exemplares para a aplicação em sala de aula.
Durabilidade e Resistência:
Em cartolina
Consumo imediato
x
Baixa
Média
Alta
Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, textos relacionados, referências etc.)
ANDRINI, Álvaro. Novo Praticando Matemática, 8/ Álvaro Andrini, Maria José
Zampirolo – São Paulo: Editora do Brasil, 2007.
REIS, Lourisnei Fortes dos. Aplicando a Matemática, 8/ Reis & Trovan. Tatuí, São
Paulo:Casa Publicadora Brasileira, 2006.
TOSATTO, Cláudia Miriam. Ideias e Relações, 8ª série/ Cláudia Miriam Tosatto,
Edilaine do Pilar F. Penacchi, Violeta Maria Estephan – Curitiba: Nova Didática,
2002.
87
88
12. Apêndice B: Linha do Tempo do Conceito de Função

Babilônios (2.000 a.C) – “funções tabuladas” (tabelas sexagesimais de quadrados e
de raízes quadradas)

Eric Temple Bell:
Função é uma tabela ou correspondência entre elementos da coluna da
esquerda e uma expressão, por exemplo, n2 + n3, na coluna da direita.

Gregos – Interpolação linear

Nicole Oresme (1361) – descreveu graficamente um corpo movendo-se com
aceleração uniforme (descreve aspectos qualitativos, sem a utilização de medidas)

René Descartes (1637):
Função é qualquer potência de x.
Por exemplo: x, x2, x3,...

Leibniz (1692):
Utilizou a expressão “função” para designar uma quantidade associada a
uma curva.
Por exemplo: as coordenadas de um ponto da curva; o comprimento de uma
tangente à curva.

Bernoulli (1718):
Função é qualquer expressão analítica envolvendo uma variável e quaisquer
constantes

Euler (1750):
Não exige que a função seja expressa por uma expressão analítica, mas,
por exemplo, por uma curva.
Obs. Deve-se a Euler a notação f(x).

Lagrange (1800):
Restringia o significado de função a uma representação em série de
potência.

Fourier (1822):
Uma função arbitrária pode ser representada por uma série trigonométrica.

Dirichlet (final do séc. XIX):
89
“y é função de x, se y toma um ou mais valores definidos para cada um de
certos valores que x pode assumir em um dado intervalo (xo, x1).”

Riemann- Dirichlet (final do século XIX):
“Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números. Diz-se
que y é função de x (y = f(x)) se, entre as duas variáveis, existe uma
correspondência unívoca, no sentido x→y”.
x: variável independente
y: variável dependente.

Com a criação da teoria dos conjuntos por George Cantor, função passou a ser
definida em termos de pares ordenados de elementos, não necessariamente
números.
90