ESTRATÉGIAS PARA ESTUDOS DE ILUMINAÇÃO SÍSMICA BASEADAS NA
EQUAÇÃO ACÚSTICA DA ONDA
Viviane Ferreira da Silva
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Civil, COPPE, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do tı́tulo de Mestre em
Engenharia Civil.
Orientadores: Webe João Mansur
André Bulcão
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2011
ESTRATÉGIAS PARA ESTUDOS DE ILUMINAÇÃO SÍSMICA BASEADAS NA
EQUAÇÃO ACÚSTICA DA ONDA
Viviane Ferreira da Silva
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE)
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM
CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.
Examinada por:
Prof. Webe João Mansur, Ph.D.
Dr. André Bulcão, D.Sc.
Prof. Carlos Friedrich Loeffler Neto, D.Sc.
Dr. Djalma Manoel Soares Filho, D.Sc.
Prof. Roberto Fernandes de Oliveira, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
FEVEREIRO DE 2011
Silva, Viviane Ferreira da
Estratégias para Estudos de Iluminação Sı́smica Baseadas
na Equação Acústica da Onda/Viviane Ferreira da Silva. – Rio
de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.
XXIII, 187 p.: il.; 29, 7cm.
Orientadores: Webe João Mansur
André Bulcão
Dissertação (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de
Engenharia Civil, 2011.
Referências Bibliográficas: p. 150 – 157.
1. Modelagem Sı́smica.
Iluminação Sı́smica.
2. Migração Sı́smica.
I. Mansur, Webe João et al..
3.
II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de
Engenharia Civil. III. Tı́tulo.
iii
“Pois tu és a minha esperança,
Senhor Deus; tu és a minha
confiança desde a minha
juventude”.(Salmos 71:5)
iv
Agradecimentos
Agradeço a Deus por me conceder paz e saúde.
Aos meus familiares, em especial a Sergio, Carmelia, Eduardo, Marcela, Leonardo e
Paulo Henrique, pela compreensão e incentivo em todos os momentos.
Aos meus orientadores, Prof. Webe João Mansur e Dr. André Bulcão, pela oportunidade concedida e dedicação em orientar-me. Obrigada pelos valiosos ensinamentos!
Aos amigos do LAMEC-B, em especial a Raul, Álvaro, Raphael, Gilmar, Luiz Alberto, Jorge, Rodrigo Carmargo, Rodrigo Dias, Michelle, Ana, Marco Túlio, Felipe, Fernanda e João.
Agradeço também a Elias, Edivaldo, Franciane, Marlucio, Cleberson, Cid, Welington,
Wilson, Pablo, Vinı́cius e demais amigos do PEC.
A Ivone e Renan pela amizade e auxı́lio nas questões administrativas.
Aos componentes da banca, por suas importantes correções e sugestões.
À CAPES e à PETROBRAS pelo suporte financeiro e apoio aos projetos do LAMEC.
v
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ESTRATÉGIAS PARA ESTUDOS DE ILUMINAÇÃO SÍSMICA BASEADAS NA
EQUAÇÃO ACÚSTICA DA ONDA
Viviane Ferreira da Silva
Fevereiro/2011
Orientadores: Webe João Mansur
André Bulcão
Programa: Engenharia Civil
Com esta dissertação pretende-se avaliar o efeito do emprego de diferentes
aproximações na Equação Acústica da Onda na metodologia de Estudo de Iluminação
Sı́smica. Além disso, busca-se comparar as respostas de Estudos de Iluminação Sı́smica
com os resultados obtidos através das imagens em profundidade oriundas da Migração
Reversa no Tempo analisando-se a possibilidade de obter-se uma relação entre elas, deste
modo relacionando o valor de iluminação com a resolução sı́smica.
vi
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
STRATEGIES FOR SEISMIC ILLUMINATION STUDIES BASED ON THE
ACOUSTIC WAVE EQUATION
Viviane Ferreira da Silva
February/2011
Advisors: Webe João Mansur
André Bulcão
Department: Civil Engineering
This study aims to assess the effect of using different approaches to the acoustic equation wave in the methodology of Seismic Illumination Studies. Also, compare the responses of the Seismic Illumination Studies with the results obtained using the depth
images derived from the Reverse Time Migration by analyzing the possibility of obtaining a relationship between them, thus relating the value of Illumination with the seismic
resolution.
vii
Sumário
Lista de Figuras
1
2
Introdução
1
1.1
Considerações preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Objetivos da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Modelagem Sı́smica
6
2.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Equação Acústica da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Métodos para Obtenção de Solução da Equação da Onda . . . . . . . . .
10
2.3.1
Métodos Diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3.2
Métodos Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Condições de Contorno e Bordas Não-reflexivas . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4.1
Condições de Contorno de Dirichlet e de Neumann . . . . . . . .
13
2.4.2
Bordas Não-reflexivas e Camadas de Amortecimento . . . . . . .
14
Termo Fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4
2.5
3
xii
Migração Sı́smica
18
3.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2
Migração Reversa no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3
Condição de Imagem de Tempo de Excitação . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.3.1
Critério da Amplitude Máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3.2
Critério da Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira
3.4
Quebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Condição de Imagem de Correlação Cruzada . . . . . . . . . . . . . . .
24
viii
3.5
4
26
4.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2
Métodos Globais para Estudos de Iluminação Sı́smica . . . . . . . . . . .
29
4.2.1
Fold (Método de Cobertura) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2.2
Método Binning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2.3
Método Tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Métodos Locais para Estudos de Iluminação Sı́smica . . . . . . . . . . .
32
4.3.1
Diagrama de Rosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3.2
Análise de Feixe Focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.3.3
Método CFP (Common Focus Point) . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.3.4
Análise de Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Estudos de Iluminação Sı́smica pelo Método de Diferenças Finitas . . . .
35
4.4
Extensão dos Estudos de Iluminação Sı́smica
39
5.1
Migração e Valor de Iluminação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.2
Obtenção da Função de Green do Meio . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.3
Extrapolação do Campo de Ondas com o emprego da Função de Green e
da Pseudofunção de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4
5.5
44
Critério da Amplitude Máxima como Ferramenta para Obtenção de
Aproximação da Função de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6
43
Extrapolação do Campo de Onda com o emprego da Pseudofunção de
Green na Condição de Imagem de Deconvolução . . . . . . . . . . . . .
46
Extrapolação do Campo de Onda com o emprego da Pseudofunção de
Green na Condição de Imagem de Correlação Cruzada . . . . . . . . . .
6
25
Estudos de Iluminação Sı́smica
4.3
5
Condição de Imagem de Deconvolução . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Resultados e Aplicações
50
6.1
Aplicações de Modelagem Sı́smica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
6.1.1
Modelagem Sı́smica com Modelo Gaia . . . . . . . . . . . . . .
51
6.1.2
Modelagem Sı́smica com Modelo Pluto . . . . . . . . . . . . . .
60
Aplicações de Migração Sı́smica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
6.2.1
64
6.2
Migração Sı́smica com Modelo Gaia . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
6.2.1.1
Migração Sı́smica com Condição de Imagem de Tempo
de Excitação no Modelo Gaia . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1.2
Migração Sı́smica com Condição de Imagem de
Correlação Cruzada no Modelo Gaia . . . . . . . . . .
73
Migração Sı́smica com Modelo Pluto . . . . . . . . . . . . . . .
76
Aplicações de Iluminação Sı́smica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.2.2
6.3
64
6.3.1
6.3.2
Estudos de Iluminação Sı́smica com o emprego da Metodologia
Convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.3.1.1
86
Iluminação Sı́smica com Modelo Gaia . . . . . . . . .
Estudos de Iluminação Sı́smica Aprimorados pelo Critério de
Amplitude Máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2.1
Aplicações de Iluminação Sı́smica Aprimorada no Modelo Plano-paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2.2
95
Aplicações de Iluminação Sı́smica Aprimorada no Modelo Inclinado com Senoide . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2.3
95
98
Aplicações de Iluminação Sı́smica Aprimorada no Modelo Gaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3.2.4
Aplicações de Iluminação Sı́smica Aprimorada no Modelo Hess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7
Considerações Finais
146
7.1
Resultados Apresentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2
Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Referências Bibliográficas
150
A Discretização da Equação da Onda 2D
158
B Parâmetros de Dispersão e Instabilidade Numérica
160
C Princı́pio da Reciprocidade
167
D Obtenção da Resposta Sı́smica por meio da Equação Integral do Método dos
Elementos de Contorno
170
D.1 Desenvolvimento da Equação Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
x
D.2 Exemplo Numérico de Obtenção da Resposta Sı́smica . . . . . . . . . . . 176
xi
Lista de Figuras
1.1
Cadeia de Valores Sı́smicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.1
Comparação entre as condições utilizadas nas bordas inferiores do modelo. 15
2.2
Fonte Sı́smica dada pela Segunda Derivada da função Gaussiana . . . . .
17
4.1
Comparação dos Métodos Convencionais . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2
Comparação entre as coberturas CMP e CRP . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.3
Geometria mapeada em células pelos esquemas de Iluminação por Binning, adaptada de LAURAIN et al. [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.4
Matriz de Energia (à direita) para o modelo de testes Gaia. . . . . . . . .
38
5.1
Esquema de obtenção da Pseudofunção de Green na superfı́cie
considerando-se o ponto de iluminação r e o par fonte-receptor representado por rF e rR , respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
42
Modelo de Velocidades com Duas Camadas Paralelas - Posições da Fonte
e dos Receptores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.3
Posição de Fonte e Receptores para Obtenção de Traços Sı́smicos. . . . .
45
5.4
Esquema de obtenção da fonte baseada na Amplitude Máxima da Segunda
Derivada da Função Gaussiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.1
Modelo de Velocidades Gaia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
6.2
Modelo de Densidades Gaia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.3
Snapshots realçados em um mesmo tempo t = 2.8s para a propagação do
campo de ondas com o emprego das diferentes equações acústicas. . . . .
6.4
53
Snapshots em Diferentes Tempos da Equação Não-Reflexiva da Onda.
Posição de Tiro: 801x51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xii
56
6.5
Snapshots em Diferentes Tempos da Equação Acústica da Onda com Densidade Constante. Posição de Tiro: 801x51 . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6
Snapshots em Diferentes Tempos da Equação Acústica da Onda com Densidade Variável. Posição de Tiro: 801x51 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7
57
58
Sismogramas obtidos com o emprego das diferentes Equações Acústicas
da Onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
6.8
Modelo de Velocidades Pluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
6.9
Modelo de Densidades Pluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
6.10 Representação dos snapshots para a propagação do campo de ondas no
modelo Pluto com o emprego da Equação Acústica da Onda com Densidade Constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
6.11 Representação dos sismogramas do modelo Pluto com o emprego da
Equação Acústica da Onda com Densidade Constante e com Densidade
Variável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
6.12 Matriz de Tempo de Trânsito com o emprego da Equação Acústica Nãoreflexiva da Onda e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades
de Primeira Quebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
6.13 Matriz de Tempo de Trânsito obtida com o emprego da Equação Acústica
da Onda com Densidade Constante e do Critério de Amplitude Máxima
nas Proximidades de Primeira Quebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
6.14 Matriz de Tempo de Trânsito obtida com o emprego da Equação Acústica
da Onda com Densidade Variável e do Critério de Amplitude Máxima nas
Proximidades de Primeira Quebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.15 Imagem Final, obtida com o emprego da Equação Acústica Não-reflexiva
da Onda e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e o sismograma também obtido por esta equação. . . . . . .
70
6.16 Imagem Final, obtida com o emprego da Equação Acústica Não-reflexiva
da Onda e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e o sismograma obtido pela Equação Acústica da Onda
com Densidade Constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xiii
71
6.17 Imagem Final, obtida com o emprego da Equação Acústica Não-reflexiva
da Onda e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e o sismograma obtido pela Equação Acústica da Onda
com Densidade Variável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
6.18 Imagem Final, obtida com o emprego da Equação Acústica da Onda com
Densidade Constante e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e o sismograma obtido pela Equação Acústica da
Onda com Densidade Constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
6.19 Imagem Final, obtida com o emprego da Equação Acústica da Onda com
Densidade Constante e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e o sismograma obtido pela Equação Acústica da
Onda com Densidade Variável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
6.20 Imagem Final, obtida com o emprego da Equação Acústica da Onda com
Densidade Variável e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades
de Primeira Quebra e o sismograma obtido pela Equação Acústica da
Onda com Densidade Variável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
6.21 Representação da propagação (a-d) e depropagação (e-h) do campo de
ondas descendente empregando-se o artifı́cio de reinjeção da energia das
bordas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
6.22 Imagem Final obtida pelo Esquema de Migração Reversa no Tempo com
Condição de Imagem de Correlação Cruzada. . . . . . . . . . . . . . . .
75
6.23 Matriz de Tempo de Trânsito obtida pelo Critério da Amplitude Máxima
nas Proximidades de Primeira Quebra pela Equação com Densidade
Constante sem suavização do Modelo Pluto. . . . . . . . . . . . . . . . .
76
6.24 Matriz de Tempo de Trânsito obtida pelo Critério da Amplitude Máxima
nas Proximidades de Primeira Quebra pela Equação com Densidade
Constante com suavização do Modelo Pluto. . . . . . . . . . . . . . . . .
77
6.25 Matriz de Tempo de Trânsito obtida pelo Critério da Amplitude Máxima
nas Proximidades de Primeira Quebra pela Equação Não-reflexiva sem
suavização do Modelo Pluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xiv
77
6.26 Matriz de Tempo de Trânsito obtida pelo Critério da Amplitude Máxima
nas Proximidades de Primeira Quebra pela Equação com Densidade
Variável sem suavização do Modelo Pluto. . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
6.27 Matriz de Tempo de Trânsito obtida pelo Critério da Amplitude Máxima
nas Proximidades de Primeira Quebra pela Equação com Densidade
Variável com suavização do Modelo Pluto. . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
6.28 Imagem Migrada para um tiro na posição (2081,201) do Modelo Pluto
com o emprego do esquema de Migração Reversa no Tempo com
Condição de Imagem de Tempo de Excitação, critério da Amplitude
Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e Equação Acústica de
Densidade Constante sem suavização do Modelo de Velocidades. . . . . .
80
6.29 Imagem Migrada para um tiro na posição (2081,201) do Modelo Pluto
com o emprego do esquema de Migração Reversa no Tempo com
Condição de Imagem de Tempo de Excitação, critério da Amplitude
Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e Equação Acústica Nãoreflexiva da Onda sendo sismograma obtido pela Equação Acústica com
Densidade Constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
6.30 Imagem Migrada para um tiro na posição (2081,201) do Modelo Pluto
com o emprego do esquema de Migração Reversa no Tempo com
Condição de Imagem de Tempo de Excitação, critério da Amplitude
Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e Equação Acústica Nãoreflexiva da Onda sendo sismograma obtido pela Equação Acústica com
Densidade Variável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
6.31 Imagem Migrada para um tiro na posição (2081,201) do Modelo Pluto
com o emprego do esquema de Migração Reversa no Tempo com
Condição de Imagem de Tempo de Excitação, critério da Amplitude
Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e Equação Acústica de
Densidade Variável sem suavização do Modelo de Velocidades. . . . . . .
xv
81
6.32 Imagem Migrada para um tiro na posição (2081,201) do Modelo Pluto
com o emprego do esquema de Migração Reversa no Tempo com
Condição de Imagem de Tempo de Excitação, critério da Amplitude
Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e Equação Acústica de
Densidade Variável com suavização do Modelo de Velocidades. . . . . .
82
6.33 Imagem Migrada para o Modelo Pluto com Condição de Imagem
de Tempo de Excitação sem Suavização do Modelo de Velocidades
empregando-se Equação Acústica com Densidade Constante para Migração. 84
6.34 Imagem Migrada para o Modelo Pluto com Condição de Imagem
de Tempo de Excitação sem Suavização do Modelo de Velocidades
empregando-se Equação Acústica com Densidade Variável para Migração. 84
6.35 Imagem Migrada para o Modelo Pluto com Condição de Imagem
de Tempo de Excitação com Suavização do Modelo de Velocidades
empregando-se Equação Acústica com Densidade Variável para Migração. 85
6.36 Representação dos dispositivos de aquisição empregados. . . . . . . . . .
89
6.37 Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação para o tempo 6s,
variando-se o comprimento do dispositivo (em metros) nos casos de Streamer Convencional e Streamer Profundo. . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6.38 Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação no dispositivo
Streamer Convencional para cada tempo de simulação, com direção de
aquisição esquerda e comprimento igual a 3700m. . . . . . . . . . . . . .
90
6.39 Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação no dispositivo
Nodes para cada tempo de simulação, com comprimento igual a 12000m.
91
6.40 Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação no dispositivo
Streamer Convencional para cada tempo de simulação, com comprimento
variando de 3700m a 9700m e direção de aquisição esquerda. . . . . . . .
91
6.41 Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação no dispositivo
Streamer Profundo para cada tempo de simulação, com comprimento variando de 3700m a 9700m e direção de aquisição esquerda. . . . . . . . .
xvi
92
6.42 Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação para os tempos
de simulação utilizados, fixando-se a direção de aquisição esquerda e o
comprimento dos dispositivos Streamer Convencional e Streamer Profundo em 3700m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
6.43 Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação com comprimento variando de 3700m a 9700m no dispositivo Nodes para os três
tempos de simulação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.44 Comparação entre a Matriz de Energia e a Imagem Migrada para uma
única fonte disparada na superfı́cie do modelo. . . . . . . . . . . . . . . .
94
6.45 Modelo de Velocidades de Camadas Plano-paralelas adotado para as
aplicações iniciais da Metodologia Aprimorada com respectivos Pontos
de Iluminação selecionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
6.46 Matrizes de Energia obtidas pela aplicação da Metodologia Aprimorada
para cada ponto de Iluminação adotado no Modelo de Camadas Paralelas.
97
6.47 Imagens em Profundidade obtidas pela aplicação do esquema de
Migração com Correlação Cruzada no Modelo de Camadas Paralelas
considerando-se o dispositivo Split-Spread de comprimento igual a 500m.
97
6.48 Modelo de Velocidades de Plano Inclinado com Senoide adotado para as
aplicações iniciais da Metodologia Aprimorada com respectivos Pontos
de Iluminação selecionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
6.49 Ilustração de efeito influenciando a amplitude das imagens em profundidade obtidas considerando-se as posições de fonte (400,3) e (430,3),
respectivamente, dado o ponto de iluminação posicionado em (400,290). . 100
6.50 Matrizes de Energia obtidas pela aplicação da Metodologia Aprimorada
para cada ponto de Iluminação adotado no Modelo com Plano Inclinado. . 101
6.51 Imagens em Profundidade obtidas pela aplicação do esquema de
Migração Sı́smica no Modelo com Plano Inclinado considerando-se o dispositivo Split-Spread de comprimento 1,5km com fontes posicionadas nos
pontos (230,3), (430,3)), (630,3) e (830,3), respectivamente em (A), (B),
(C) e (D). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.52 Ilustração dos eventos em torno dos pontos de iluminação selecionados
na imagem em profundidade do Modelo com Plano Inclinado. . . . . . . 104
xvii
6.53 Imagens representando o comportamento do coeficiente de reflexão na
interface inclinada do modelo Plano Inclinado com Senoide com camada superior possuindo 1750m/s de velocidade e camada inferior com
2000m/s de velocidade.
A densidade na camada inferior é igual a
1000kg/m3 na figura (A) e 10000kg/m3 na figura (B). Gráficos extraı́dos
e adaptados do Consórcio CREWES[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.54 Comparação entre a Matriz de Energia e a Imagem Migrada para uma
única fonte disparada na superfı́cie do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.55 Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação para o tempo 3,
variando-se o comprimento do dispositivo nos casos de Streamer Convencional e Streamer Profundo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.56 Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação no dispositivo
Streamer Convencional para cada tempo de simulação, com direção de
aquisição esquerda e comprimento igual a 3700m. . . . . . . . . . . . . . 110
6.57 Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação no dispositivo
Nodes variando-se o comprimento do dispositivo. . . . . . . . . . . . . . 111
6.58 Comparação entre a Matriz de Energia e os Vetores de Energia para uma
única fonte disparada no ponto (801,300) do modelo Gaia. . . . . . . . . 112
6.59 Modelo de Velocidades Gaia acrescentado de refletor e localização dos
pontos de iluminação a serem empregados nas aplicações da Metodologia
Aprimorada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.60 Modelo de Velociades Gaia suavizado a ser empregado nas execuções dos
esquemas de Migração Sı́smica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.61 Vetores de energia para os pontos de iluminação considerados. . . . . . . 115
6.62 Matriz de energia para o ponto de iluminação 1 do Modelo Gaia. . . . . . 115
6.63 Matriz de energia para o ponto de iluminação 2 do Modelo Gaia. . . . . . 116
6.64 Matriz de energia para o ponto de iluminação 3 do Modelo Gaia. . . . . . 116
6.65 Matriz de energia para o ponto de iluminação 4 do Modelo Gaia. . . . . . 116
6.66 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Streamer com direção de aquisição direita, de tamanho 6km no esquema de
Migração com Correlação Cruzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
xviii
6.67 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Streamer com direção de aquisição direita, de tamanho 8km no esquema de
Migração com Correlação Cruzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.68 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Split
Spread de tamanho 6km no esquema de Migração com Correlação Cruzada.118
6.69 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Split
Spread de tamanho 8km no esquema de Migração com Correlação Cruzada.119
6.70 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Split
Spread de tamanho 10km no esquema de Migração com Correlação Cruzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.71 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Nodes de
tamanho 8km no esquema de Migração com Correlação Cruzada. . . . . . 120
6.72 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Nodes de
tamanho 10km no esquema de Migração com Correlação Cruzada. . . . . 120
6.73 Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo
de aquisição Split Spread de comprimento igual a 6km no modelo Gaia. . 123
6.74 Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo
de aquisição Split Spread de comprimento igual a 8km no modelo Gaia. . 124
6.75 Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo
de aquisição Split Spread de comprimento igual a 10km no modelo Gaia. 125
6.76 Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo
de aquisição Nodes de comprimento igual a 8km no modelo Gaia. . . . . 126
6.77 Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo
de aquisição Nodes de comprimento igual a 10km no modelo Gaia. . . . . 127
xix
6.78 Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo
de aquisição Streamer com direção de aquisição direita de comprimento
igual a 6km no modelo Gaia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.79 Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo
de aquisição Streamer com direção de aquisição direita de comprimento
igual a 8km no modelo Gaia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.80 Modelo de Velocidades Hess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.81 Modelo de Velocidades Suavizado Hess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.82 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Nodes de
tamanho 4km no esquema de Migração com Correlação Cruzada. . . . . . 131
6.83 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Nodes de
tamanho 6km no esquema de Migração com Correlação Cruzada. . . . . . 132
6.84 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Nodes de
tamanho 8km no esquema de Migração com Correlação Cruzada. . . . . . 132
6.85 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Streamer com direção de aquisição direita, de tamanho 6km no esquema de
Migração com Correlação Cruzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.86 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Streamer com direção de aquisição direita, de tamanho 8km no esquema de
Migração com Correlação Cruzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.87 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Streamer
com direção de aquisição esquerda, de tamanho 6km no esquema de
Migração com Correlação Cruzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.88 Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Streamer
com direção de aquisição esquerda, de tamanho 8km no esquema de
Migração com Correlação Cruzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.89 Ampliação das imagens obtidas na região do refletor plano inserido
no Modelo Hess com indicação da amplitude máxima em cada ponto
considerando-se o dispositivo Nodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
xx
6.90 Ampliação das imagens obtidas na região do refletor plano inserido
no Modelo Hess com indicação da amplitude máxima em cada ponto
considerando-se o dispositivo Streamer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.91 Comparação da amplitude da imagem no refletor de referência para diferentes dispositivos de aquisição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.92 Comparação da amplitude normalizada da imagem no refletor de referência para diferentes dispositivos de aquisição. . . . . . . . . . . . . . 138
6.93 Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 1 do Modelo
Hess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.94 Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 2 do Modelo
Hess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.95 Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 3 do Modelo
Hess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.96 Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 4 do Modelo
Hess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.97 Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 5 do Modelo
Hess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.98 Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 6 do Modelo
Hess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.99 Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 7 do Modelo
Hess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.100Comparação entre os Vetores de Energia obtidos para os diferentes pontos
de iluminação considerados no Modelo Hess. . . . . . . . . . . . . . . . 143
xxi
6.101Análise entre Vetor de Energia e Imagem em Profundidade para o Ponto
de Iluminação 2 e posição de fonte para Modelagem e Migração em
(2000,3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.102Análise entre Vetor de Energia e Imagem em Profundidade para o Ponto
de Iluminação 2 e posição de fonte para Modelagem e Migração em
(2500,3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.1 Comparação para Alfa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
B.2 Comparação para Alfa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
B.3 Comparação para Alfa 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
B.4 Comparação para Alfa 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
B.5 Comparação para Alfa 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
B.6 Comparação para Beta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B.7 Comparação para Beta 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B.8 Comparação para Beta 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
B.9 Comparação para Beta 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
C.1 Ilustração do Princı́pio da Reciprocidade para Estudos de Iluminação
Sı́smica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
C.2 Modelo de velocidades para verificação do Princı́pio da Reciprocidade. . 168
C.3 Comparação para fonte e receptor nas posições 1 e 2. . . . . . . . . . . . 169
C.4 Comparação para fonte e receptor nas posições 1 e 3. . . . . . . . . . . . 169
D.1 Definição de q e s, baseado em MANSUR [3]. . . . . . . . . . . . . . . . 172
D.2 Configuração de domı́nio e contorno na equação desenvolvida. . . . . . . 172
D.3 Apresentação do modelo de velocidades com posições de fonte (s) e
receptores (q) para o exemplo numérico.
A figura A representa a
configuração adotada para a primeira etapa. A figura B representa a segunda etapa com o disparo da fonte dado no ponto q. Já a figura C ilustra
a terceira etapa, na qual é obtida a resposta direta. . . . . . . . . . . . . . 177
D.4 Ilustração da Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
D.5 Ilustração da Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
D.6 Ilustração da Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
D.7 Respostas do campo u para os diferentes pares fonte-receptor empregados. 181
xxii
D.8 Respostas de p∗ para os diferentes pares fonte-receptor empregados. . . . 182
D.9 Respostas das convoluções para os pares fonte-receptor empregados. . . . 183
D.10 Respostas das integrais para os diferentes pares fonte-receptor empregados. 184
D.11 Respostas das integrais para os diferentes pares fonte-receptor empregados. 185
D.12 Comparação entre as Amplitudes obtidas com offset e ângulo. . . . . . . 186
D.13 Comparação entre as respostas para todos os pares fonte-receptor considerados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
xxiii
Capı́tulo 1
Introdução
1.1
Considerações preliminares
Nas últimas décadas os investimentos da indústria do petróleo em pesquisas vem crescendo com o objetivo de viabilizar a exploração de reservas de hidrocarbonetos. Métodos
que possibilitem obter imagens da subsuperfı́cie que contemplem as camadas do pré-sal
são cada vez mais utilizados e a necessidade de se planejar a aquisição de dados sı́smicos
para o imageamento dessas regiões se tornou evidente.
Há uma ampla gama de métodos para modelagem e migração de dados sı́smicos sendo
utilizada atualmente. Porém, aplicações das técnicas de migração isoladamente não tem
sido suficientes para aumentar a qualidade das imagens em profundidade, o que é requerido na indústria do petróleo.
Não importando o tipo de migração utilizada, o que se observa é que não se pode
resolver problemas causados por dados sı́smicos de baixa qualidade ou baixa iluminação
empregando apenas esquemas de migração. Os fatores que causam baixa iluminação são
muitos, mas os principais são a geometria de aquisição e o modelo geológico. Desses
dois, apenas pode-se controlar a geometria de aquisição. Sendo assim, o dado sı́smico é a
entrada fundamental, o que torna crucial o planejamento de sua aquisição [4].
No contexto da Geofı́sica Aplicada pode-se representar uma Cadeia de Valores
Sı́smicos [5] que apresenta os processos sı́smicos de forma cı́clica e iterativa na
Exploração e Caracterização de Reservatório. Uma adaptação desta abstração é representada na figura 1.1.
Segundo BERKHOUT [5] os maiores investimentos financeiros ao longo da Cadeia
1
Figura 1.1: Cadeia de Valores Sı́smicos.
de Valores Sı́smicos ocorrem na aquisição de dados. Portanto, quanto melhor for especificada a geometria de aquisição visando alcançar uma melhor iluminação em subsuperfı́cie
das regiões de interesse, potencialmente melhores serão as imagens sı́smicas em profundidade em termos de resolução e do correto posicionamento dos refletores (Processamento),
e - consequentemente - os melhores modelos dos reservatórios que permitam estimativas
precisas das reservas de hidrocarbonetos delimitando-os e proporcionando uma estratégia
adequada para sua explotação (Interpretação).
Uma vez completo o ciclo de aquisição, imageamento e caracterização de reservatório,
os resultados obtidos e as limitações existentes impõem requisitos às etapas anteriores que
serviram de entrada de dados. Tais requisitos visam a melhoria da qualidade e o alcance
dos objetivos em termos de imageamento e caracterização de reservatórios. Deste modo,
em uma próxima aquisição seu planejamento deve levar tais requisitos em consideração.
Este processo deve ser executado repetidamente permitindo acompanhar as alterações no
reservatório durante a fase de produção, o que evidencia ainda mais a caracterı́stica cı́clica
do processo.
Assim, se por um lado a aquisição sı́smica produz os dados necessários ao processamento e consequentemente à interpretação de forma a determinar a qualidade destes, por
outro lado, o processamento e a interpretação impõem requisitos na aquisição a fim de
que se alcancem os objetivos almejados [6].
Para se evitar o risco da aquisição de dados sı́smicos de baixa qualidade, que não
2
atendam aos requisitos necessários para a obtenção de uma imagem em profundidade
com boa resolução, faz-se necessária a realização de um Estudo de Iluminação da região
a ser imageada.
Como observado na figura 1.1, o processo de aquisição sı́smica é o primeiro de um
ciclo, o que evidencia a necessidade de um bom planejamento. Com o emprego de uma
metodologia adequada, pode-se observar quais seriam as regiões de baixa iluminação do
modelo geológico para um dado dispositivo de aquisição.
Se comparado a uma aquisição, o custo para realizar um Estudo de Iluminação é
mı́nimo e o tempo para sua conclusão é pequeno. Por isso, devido ao alto custo do processo de aquisição sı́smica, pode ser bastante arriscada a não realização de uma análise
preliminar[7].
1.2
Revisão Bibliográfica
Os procedimentos denominados de Modelagem Sı́smica consistem basicamente em
técnicas que simulam numericamente a propagação de ondas (extrapolação do campo
de ondas). De fato, CARCIONE et al.[8] classifica os métodos de modelagem em três
categorias: Métodos Diretos, Métodos Integrais e Métodos de Traçado de Raios. Todos
esses métodos simulam a propagação das ondas e registram sinais, de forma que os dados
obtidos servem, principalmente, de parâmetros de entrada para a realização de Migrações
Sı́smicas. Além deste, pode-se citar outros objetivos da Modelagem Sı́smica [9], como
avaliações sobre os métodos sı́smicos e otimização dos parâmetros de aquisição.
Nesse contexto de extrapolação do campo de ondas os processos de migração tem sua
importância, porque utilizam tais esquemas de extrapolação associados a uma condição
especı́fica denominada condição de imagem que possibilita a obtenção de imagens da
subsuperfı́cie. Trabalhos como LECOMTE [10] , MUFTI [11, 12], SCHNEIDER [13] e
BULCÃO [14] apresentam diferentes métodos de Migrações Sı́smicas com tal objetivo.
Determinantes na escolha da geometria de aquisição, bem como na parametrização do
levantamento sı́smico, os Estudos de Iluminação Sı́smica têm sido largamente empregados para se avaliarem variações de amplitude, estudarem zonas de sombras e principalmente para o planejamento da aquisição sı́smica.
Estudos de Iluminação são úteis também ao fornecerem subsı́dios para analisar a baixa
3
qualidade dos processos de imageamento, em termos de resolução e variação de amplitude. De fato, uma Iluminação irregular pode resultar em imagens com baixa resolução.
A análise de Iluminação Sı́smica nesse caso poderia quantificar a resolução das imagens
em profundidade.
XIE [15] propôs a utilização destes métodos de iluminação para análise das variações
de Amplitude versus Ângulo (AVA) e Amplitude versus Offset1 (AVO). Este autor também
afirmou que através da análise de Iluminação Sı́smica procura-se saber como um alvo
pode ser bem imageado, a partir de um modelo de velocidades e uma geometria de
aquisição [17]. Assim, um levantamento pode se tornar válido, pode ser otimizado ou
simplesmente rejeitado [7] dependendo da iluminação na região do alvo e da qualidade
dos dados.
Tradicionalmente, os Estudos de Iluminação Sı́smica são realizados por Traçados de
Raios ou pelo Método de Diferenças Finitas.
Diversos autores, dentre eles: LAURAIN [7], XIE [15, 17] e WEI et al. [18] desenvolveram pesquisas sobre Estudos de Iluminação Sı́smica por meio de Traçados de Raio.
Porém, de acordo com CARCIONE [8] os métodos que envolvem Traçado de Raios são
menos precisos quando baixas frequências são envolvidas.
Em ALVES et al. [4] uma estimativa da função de Green foi obtida utilizando-se
a Equação Completa Bidimensional da Onda, solucionada pelo Método das Diferenças
Finitas. De posse desta estimativa para a função de Green desenvolveu-se um esquema
para o Estudo de Iluminação que contempla diferentes geometrias de aquisição.
Posteriormente, ALVES et al. [19] estendeu essa análise para o caso tridimensional
onde avaliou-se também a influência da densidade dos receptores (espaçamento entre eles)
para uma dada configuração de aquisição.
1.3
Objetivos da Dissertação
Nesta dissertação são apresentados os principais conceitos que envolvem os Estudos
de Iluminação Sı́smica baseados na Equação da Onda Acústica discretizada pelo Método
de Diferenças Finitas de acordo com a metodologia proposta por Alves et al. [4].
1
Offset - Em Sı́smica significa afastamento, ou seja, a distância horizontal da fonte ao centro da estação
receptora [16].
4
As respostas obtidas dos Estudos de Iluminação Sı́smica são comparadas com os resultados das imagens em profundidade oriundas da Migração Reversa no Tempo.
Inicialmente são apresentados os conceitos necessários para compreensão da Modelagem Sı́smica, levando-se em consideração as Equações da Onda Acústica tanto com
densidade constante quanto com densidade variável.
Em seguida analisam-se as principais metodologias de Migração Sı́smica.
Co-
mentários a respeito das técnicas de imageamento e das condições de imagens mais utilizadas também serão abordados.
A metodologia proposta por ALVES et al. [4] é estendida para uma metodologia de
Estudos de Iluminação Sı́smica nos quais se obtenha um valor de iluminação diretamente
ligado às amplitudes das imagens obtidas pelos esquemas de Migração adotados, bem
como são abordadas algumas considerações a respeito da implementação computacional
e as relações entre Migração e Estudos de Iluminação.
Finalmente são apresentados os resultados obtidos bem como as respostas dos testes
realizados. Análises desses resultados também são apresentadas em especial em modelos
geológicos com caracterı́sticas similares às encontradas nos reservatórios do pré-sal.
5
Capı́tulo 2
Modelagem Sı́smica
2.1
Introdução
A Geofı́sica de Exploração desempenha um importante papel na crescente demanda
por recursos energéticos. Na indústria de petróleo e gás tal ciência contribui principalmente para a exploração e explotação de reservas de hidrocarbonetos. Muitos métodos
tem sido utilizados para este fim, mas o Método Sı́smico pode ser considerado o mais
importante na atualidade. Seu principal objetivo consiste em produzir imagens da subsuperfı́cie terrestre a fim de se obter propriedades fı́sicas a partir dos dados sı́smicos registrados na superfı́cie.
O Método Sı́smico é largamente utilizado para a determinação da estrutura de uma
dada região em subsuperfı́cie. Na sı́smica de reflexão ondas sı́smicas geradas principalmente a partir de fontes artificiais e suas reflexões, formadas devido ao contato com camadas geológicas de diferentes impedâncias1 , são registradas em receptores posicionados
na superfı́cie do modelo.
A Modelagem Sı́smica se encarrega de simular a propagação de ondas em um determinado meio a partir de uma equação matemática que a descreve. Dentre os objetivos
da Modelagem Sı́smica, pode-se citar [14], [8] a obtenção de informações da região pesquisada que possibilitem a avaliação dos métodos sı́smicos empregados, a otimização
dos parâmetros de aquisição sı́smica a serem adotados e o fornecimento de dados que servirão para o desenvolvimento de novas estratégias de emprego dos esquemas de Migração
1
Impedância Acústica - Consiste do produto entre a velocidade de propagação da onda sı́smica pela
densidade do meio [20].
6
Sı́smica e Estudos de Iluminação.
A equação diferencial aqui empregada para descrever a propagação das ondas é a
Equação da Onda Acústica, que simula a propagação de ondas compressionais2 . A
Equação da Onda Elástica contempla, além de ondas compressionais, as ondas cisalhantes3 . Entretanto, para que fossem alcançados os objetivos dessa dissertação, realizou-se
uma abordagem acústica. Análises e resultados sobre Modelagem e Migração de ondas
cisalhantes podem ser obtidos em diferentes trabalhos da literatura, dentre eles tem-se
BULCÃO [14].
2.2
Equação Acústica da Onda
A equação acústica da onda pode ser expressa em termos de uma equação diferencial
parcial de segunda ordem dependente do tempo e do espaço [21],[22]. Em um modelo
bidimensional, x é a coordenada de superfı́cie e z a coordenada de profundidade com o
eixo positivo para baixo, como usado tradicionalmente na indústria do petróleo.
A Equação da Onda pode ser obtida em termos de pressão pelo uso de duas importantes Leis da Fı́sica: a Lei de Hooke e a segunda Lei de Newton [23], [21]. De acordo
com a Lei de Hooke, as deformações de um corpo são proporcionais às tensões que as
provocam [24]. Assim, tem-se:
P = −k(∇.u)
(2.1)
e nesse caso tem-se que:
• P(x, z, t) é o campo de pressão;
• k(x, z) é a incompressibilidade do meio;
• u(u x , uz ) é o vetor deslocamento da partı́cula do meio.
• ∇ é o operador de divergência
2
Ondas Compressionais - Também conhecidas como ondas primárias, longitudinais ou simplesmente
ondas P, se caracterizam por serem ondas volumétricas [16].
3
Ondas Cisalhantes - Também conhecidas como ondas secundárias, transversais ou simplesmente ondas
S, se caracterizam por serem ondas que ocasionam deslocamento da partı́cula na direção de propagação
[16].
7
Obtendo-se a segunda derivada em relação ao tempo da Lei de Hooke, considera-se k
constante o que resulta em:
∂2 P
∂2 (∇.u)
=
−k
∂t2
∂t2
(2.2)
∂2 u
∂2 P
=
−k∇.
∂t2
∂t2
(2.3)
e reposicionando-se o operador:
Pela segunda Lei de Newton, a força é proporcional à aceleração. Logo,
ρ
∂2 u
= −∇P
∂t2
(2.4)
e nesse caso:
• ∇P(x, z, t) é o gradiente do campo de pressão;
• ρ(x, z) é a densidade do meio.
Dessa forma, de (2.4) tem-se que:
∂2 u −1
=
∇P
∂t2
ρ
(2.5)
e substituindo na segunda derivada da Lei de Hooke observada em (2.3), obtem-se:
∂2 P
−1
= −k∇.( ∇P).
2
∂t
ρ
(2.6)
E eliminando-se o sinal de menos, a equação resulta em:
∂2 P
1
= k∇.( ∇P).
2
∂t
ρ
(2.7)
Resolvendo-se essa equação para o divergente como feito em SILVA [25], tem-se:
!
1
1
∂2 P
= k[∇
.∇P + ( )∇.∇P].
2
∂t
ρ
ρ
(2.8)
Substituindo k = ρc2 (onde c é a velocidade do meio) e ∇( ρ1 ) = − ∇ρ
, obtem-se:
ρ2
∂2 P
∇ρ
1
= ρc2 [− 2 .∇P + ( )∇.∇P]
2
∂t
ρ
ρ
8
(2.9)
e com alguns ajustes na equação:
∇ρ
∂2 P
= c2 [− .∇P + ∇.∇P]
2
∂t
ρ
(2.10)
Substituindo-se ∇.∇P = ∇2 P, tem-se:
∂2 P
∇ρ
= c2 [− .∇P + ∇2 P]
2
∂t
ρ
(2.11)
e reorganizando a equação, o resultado é:
∇2 P −
∇ρ
1 ∂2 P
∇P = 2 2
ρ
c ∂t
(2.12)
que é a denominada Equação Acústica da Onda com Densidade Variável - também
conhecida como Equação Completa da Onda [26] - em duas dimensões.
Tem-se ainda que, se a densidade do meio for constante,
∇ρ
.∇P
ρ
= 0. E nesse caso, a
equação anterior torna-se:
∇2 P =
1 ∂2 P
c2 ∂t2
(2.13)
que é a denominada Equação Acústica Bidimensional da Onda com Densidade Constante.
A mesma pode ser reescrita da seguinte forma:
∇2 P(x, z, t) =
1 ∂2 P(x, z, t)
+ f (t)
c2
∂t2
(2.14)
levando-se em consideração o termo fonte f (t).
Modificações na Equação Acústica da Onda podem ser realizadas de forma a se obter
o coeficiente de reflexão nulo em incidências normais, o que resulta na conhecida Equação
Não-reflexiva da Onda, que pode ser matematicamente expressa [27] por:
!
!
∂ ∂P
∂ ∂P
∂2 P(x, z, t)
c
+c
c
=
+ f (t)
c
∂x ∂x
∂z ∂z
∂t2
(2.15)
Tal equação é empregada principalmente para se reduzirem as múltiplas reflexões
do campo de ondas que podem comprometer o processo de Migração Sı́smica. Mais
informações podem ser obtidas em BAYSAL et al. [27].
Existem diversas técnicas para o cálculo da solução para a equação da onda acústica
obtida anteriormente. Como a obtenção de soluções analı́ticas para equações diferenciais
9
parciais nem sempre é possı́vel, a busca por soluções numéricas é bem comum. Fatores
como a complexidade do modelo utilizado e o volume de dados a serem processados são
levados em consideração na escolha do método numérico mais apropriado a ser utilizado,
de forma a se minimizarem os custos computacionais sem que se sacrifique a precisão
[28].
2.3
Métodos para Obtenção de Solução da Equação da
Onda
A literatura apresenta uma gama diversificada de esquemas que possibilitam o cálculo
de soluções numéricas para a equação da onda, cada um com suas caracterı́sticas e particularidades. CARCIONE et al. [8] enumera os principais métodos para solução da
equação da onda como sendo os Métodos Diretos, os Métodos Integrais e os Métodos de
Traçamento de Raios.
Dentre os Métodos que possibilitam solucionar a equação da onda, os Métodos Diretos e os Métodos Integrais foram os utilizados para o desenvolvimento teórico e prático
desta dissertação. Deste modo, a seguir apresentam-se os conceitos básicos a respeito de
ambos os métodos, principalmente sobre os esquemas adotados para o desenvolvimento
da metodologia de Estudos de Iluminação Sı́smica que será detalhada no capı́tulo 4. Mais
detalhes sobre comparações entre esses diferentes esquemas podem ser encontrados em
YILMAZ [29] e CARCIONE et al. [8].
2.3.1
Métodos Diretos
Resolver a equação da onda por um método direto implica em aproximar o modelo
geológico por uma malha numérica, ou seja, discretizar o modelo em um número finito
de pontos. Esses esquemas podem ser bem precisos quando uma malha suficientemente
refinada é utilizada. Em contrapartida, malhas muito refinadas podem requerer um maior
custo computacional, o que pode significar - em termos computacionais - grande quantidade de memória e capacidade de processamento.
Dentre os métodos diretos destacam-se os métodos de Elementos Finitos e de
Diferenças Finitas que exigem a discretização no espaço e no tempo de suas variáveis.
10
Questões como o cálculo de derivadas espaciais, critérios para estabilidade e nãodispersão numérica, implementação da fonte, condições de contorno e bordas de absorção
devem ser levadas em consideração ao se utilizarem esses métodos.
O método de Diferenças Finitas em especial é baseado na substituição das derivadas
parciais presentes na equação da onda por aproximações da expansão em série de Taylor
de funções próximo a um ponto de interesse [30]. Esse esquema é adequado para o estudo
de estruturas geológicas complexas como as do pré-sal, e por esse motivo é largamente
utilizado nas aplicações de Modelagem Sı́smica, Migração Sı́smica e sendo apropriado
também para os Estudos de Iluminação Sı́smica. A discretização da equação da onda
pelo método de Diferenças Finitas é apresentada no apêndice A dessa dissertação.
2.3.2
Métodos Integrais
Métodos integrais são formulações que guardam relações estreitas com princı́pios
fı́sicos como o Princı́pio de Huygens4 e o Princı́pio da Reciprocidade5 , bem como a
estimativa da função de Green do problema em questão para a representação integral dos
campos de propagação de ondas. A necessidade do conhecimento da função de Green
do meio requer a utilização de esquemas adequados para o cálculo de uma aproximação
da função de Green, dada a dificuldade para obtenção de solução analı́tica em problemas
com meios relativamente complexos.
Apesar de possuı́rem larga aplicação em problemas de propagação de ondas, métodos
integrais são dotados de uma caracterı́stica mais analı́tica que os tornam normalmente
mais restritos às aplicações numéricas do que os métodos diretos. Contudo, é exatamente
a teoria que os cerca que permite serem obtidos resultados e conclusões importantes a
partir dos teoremas e princı́pios envolvidos. As integrais de Kirchhoff, por exemplo,
permitem a realização de extrapolação dos campos de onda necessários para a recuperação
dos campos ascendentes e descendentes utilizados nos Estudos de Iluminação Sı́smica
propostos no capı́tulo 4 desta dissertação.
Dentre os Métodos Integrais, destacam-se também os esquemas baseados em Integrais
4
Princı́pio de Huygens - Segundo esse princı́pio, cada ponto do meio de propagação atingido por uma
onda funciona como uma fonte secundária [16].
5
Princı́pio da Reciprocidade - Princı́pio que relaciona duas soluções em um meio onde as fontes e
os receptores de campo são trocados e não há alteração no resultado [31]. O apêndice C apresenta mais
informações sobre esse princı́pio.
11
de Contorno que são úteis para problemas onde há necessidade de adaptação à geometria
do modelo utilizado e onde são necessárias implementações de condições de contorno
explı́citas [8].
Em sua tese, MANSUR [3] desenvolve a formulação do método de Elementos de
Contorno para a resolução de problemas de propagação da onda escalar e elástica. Partindo da equação da onda obtida na seção 2.2, condições iniciais, bem como condições de
contorno essenciais e naturais são impostas de forma a se obter a resposta do meio devido
a uma fonte pontual. Uma abordagem mais detalhada sobre a extrapolação do campo de
ondas por meio dos conceitos da integral de contorno pode ser observada no apêndice D.
2.4
Condições de Contorno e Bordas Não-reflexivas
Nas resoluções analı́ticas de equações diferenciais parciais, condições de contorno são
impostas para que sejam garantidas a existência e a unicidade da solução. No problema
ligado à Geofı́sica, além de se resolver a equação da onda pelos métodos convencionais,
utiliza-se a hipótese de que o meio ao qual a onda se propaga é infinito. Obviamente,
devido a limitação computacional faz-se necessária a utilização de um número finito de
pontos nos esquemas adotados, o que implica na restrição do modelo de velocidades por
meio de bordas.
Como os dados do campo de onda são registrados na superfı́cie ou próximo dela, o
tratamento das bordas pode representar um estágio crı́tico no desenvolvimento da Modelagem Sı́smica, porque algumas aproximações introduzidas ao longo das mesmas podem
comprometer inteiramente os resultados obtidos [28]. Deste modo, a inserção de bordas
no modelo pode se tornar um problema se nenhuma técnica for utilizada para se evitar
que as ondas refletidas nessas bordas artificiais interfiram nas respostas sı́smicas.
Uma forma de se contornar esse problema de simulação de domı́nios infinitos ou semiinfinitos, seria posicionar as bordas a uma distância suficiente de maneira tal que as ondas
refletidas não alcancem a região de interesse. Esse procedimento não é adequado para
problemas abordados no domı́nio da frequência e em análises no domı́nio do tempo possui
um custo elevado nos casos bidimensionais, sendo quase sempre inviável nas aplicações
tridimensionais [14].
A fim de se minimizar a influência das fronteiras envolvidas nas respostas a serem
12
registradas, algumas condições de borda devem ser aplicadas. A figura 2.1 expõe uma
comparação entre figuras instantâneas obtidas a partir da propagação do campo de onda
com o uso das condições de contorno aqui abordadas para um modelo com velocidade
constante igual a 3000 m/s. Nas subseções a seguir, serão apresentadas as condições de
contorno utilizadas para o desenvolvimento teórico e para as implementações computacionais dessa dissertação.
2.4.1
Condições de Contorno de Dirichlet e de Neumann
A determinação da condição de contorno a ser empregada deve levar em consideração
o problema fı́sico ao qual se deseja simular. Por exemplo, um caminho simples para a
simulação da reflexão de ondas na interface superior do modelo [32] seria o emprego
da condição de borda de Dirichlet, que estabelece o campo de pressão nulo para uma
sequência de pontos da malha de diferenças finitas. Ou seja,
P(i, k) = 0.
(2.16)
A condição de borda de Neumann estabelece que a derivada do campo de pressão com
relação à direção normal, dada pelo vetor unitário ~n, seja nula em determinados pontos da
malha. A mesma será empregada no apêndice G, com o objetivo de se obter a resposta
sı́smica por meio da equação integral do Método dos Elementos de Contorno. A expressão
dessa condição de contorno é dada por:
dP
(i, k) = 0.
dn
(2.17)
Essas condições são frequentemente utilizadas no tratamento analı́tico de problemas
de valor de contorno envolvendo meios semi-infinitos[28]. Apesar de parecerem a escolha
mais apropriada para simulação de dados sı́smicos, elas geram reflexões quando o campo
de ondas encontra os limites do modelo. Esquemas para se dissiparem ou atenuarem as
ondas que atingem as bordas do modelo são amplamente empregados, dentre eles temos
as bordas não-reflexivas e as camadas de amortecimento, descritas a seguir.
13
2.4.2
Bordas Não-reflexivas e Camadas de Amortecimento
Como citado anteriormente, a introdução de bordas nos modelos causam reflexões das
ondas nas regiões de fronteira. Como o uso dessas bordas não pode ser evitado nos esquemas discretos de solução da equação da onda, pode-se utilizar condições especı́ficas que
reduzam essas reflexões indesejadas [33]. O objetivo então é que as ondas se propaguem
pelo modelo ultrapassando as bordas sem que haja reflexões.
REYNOLDS [33] afirma que uma solução para se evitarem efeitos de borda seria
aumentar a malha numérica, atrasando assim as reflexões ocorridas no tempo posterior
ao da simulação. Entretanto, esse acréscimo de pontos na malha pode causar dificuldades
devido ao aumento do custo computacional.
A inserção de Bordas Não-reflexivas se baseia na substituição da equação de onda
na região de fronteira por meio de equações da onda que não permitam a propagação da
energia a partir das fronteiras dentro da malha numérica [34].
Assim, tem-se as seguintes aproximações unidimensionais da equação da onda:
• Para a borda superior
(
∂ 1 ∂ n+1
−
)P = 0;
∂z c ∂t i,k
(2.18)
(
∂ 1 ∂ n+1
+
)P = 0;
∂z c ∂t i,k
(2.19)
(
∂
1 ∂ n+1
−
)P = 0;
∂x c ∂t i,k
(2.20)
(
∂
1 ∂ n+1
+
)P = 0;
∂x c ∂t i,k
(2.21)
• Para a borda inferior
• Para a borda esquerda
• Para a borda direita
sendo Pn+1
i,k o campo de pressão, para o qual i representa os pontos da malha na direção
horizontal,k os pontos na direção vertical e n representa os passos de tempo da simulação,
sendo n + 1 o tempo posterior.
As Zonas ou Camadas de Amortecimento também podem ser utilizadas com o intuito
de reduzir a amplitude da frente de onda à medida que a mesma se aproxima das bordas
do modelo.
Os esquemas de aplicação das camadas de amortecimento se baseiam em selecionar
pontos da malha de diferenças finitas próximos às bordas, para que lhes sejam atribuı́dos
14
fatores de decaimento multiplicativos, de tal forma a se atenuar progressivamente a amplitude das ondas à medida que atingirem essas camadas.
CERJAN et al. [34] propõe um fator de atenuação que é dado por:
w(k) = exp{−[ f at(namort − k)]2 }
(2.22)
Para esta equação, tem-se que:
• w é o fator de atenuação do campo de pressão;
• k indica a distância de determinado ponto à borda do modelo;
• f at é o fator de amortecimento empı́rico - para maiores detalhes a respeito da
otimização deste fator vide MOREIRA et al. [35];
• namort é o número de pontos do grid que compõem a camada de amortecimento.
Figura 2.1: Comparação entre as condições utilizadas nas bordas inferiores do modelo.
2.5
Termo Fonte
A escolha da fonte sı́smica a ser aplicada para a propagação das ondas ao longo do
modelo deve ser feita levando-se em consideração as propriedades geológicas do meio
analisado.
No mar são utilizados como fontes sı́smicas canhões de ar comprimido (airguns) e,
em terra, podem ser utilizados caminhões de massa vibrante (vibroseis) ou dinamites, para
que se propaguem sinais de energia para o meio em questão.
15
No caso da simulação numérica, uma função matemática é selecionada para simular
numericamente a fonte sı́smica. Essa função deve ser limitada tanto no domı́nio do tempo
para que se simule uma fonte sı́smica explosiva [14], quanto no domı́nio da frequência
para que se tenha um controle sobre a frequência de corte (frequência máxima) do modelo
[32]. A expressão matemática dada pela segunda derivada da função Gaussiana, proposta
por CUNHA [36], atende a esses requisitos e será utilizada nessa abordagem.
Matematicamente, essa fonte é dada por:
2
f (t) = [1 − 2π(π fc td )2 ]e−π(π fc td )
(2.23)
Neste caso, tem-se que:
• t é o tempo;
• td é o tempo defasado calculado por:
√
2 π
;
td = t −
fc
(2.24)
• fc é a frequência central da fonte, dada por:
fc =
• fcorte é a frequência de corte da fonte.
A figura 2.2 ilustra uma fonte sı́smica.
16
fcorte
√ ;
3 π
(2.25)
Figura 2.2: Fonte Sı́smica dada pela Segunda Derivada da função Gaussiana
17
Capı́tulo 3
Migração Sı́smica
3.1
Introdução
De acordo com BORDING e LINES [32], a Migração Sı́smica é uma técnica de processamento de dados que determina as corretas posições dos refletores em subsuperfı́cie,
sendo por isso uma etapa fundamental no processamento de dados sı́smicos.
SAVA e HILL[37] destacam que os diferentes métodos de migração se distinguem principalmente no que diz respeito aos algoritmos empregados, ao domı́nio de
implementação desses algoritmos e do princı́pio de imageamento utilizado para obtenção
da imagem final.
Os esquemas de migração convencionais são classificados pela literatura
[29],[38],[11] como Migração em Tempo e Migração em Profundidade, por produzirem
seções sı́smicas que podem ser obtidas, respectivamente, em tempo ou em profundidade.
Enquanto a Migração em Profundidade fornece a posição dos refletores em subsuperfı́cie, requerendo portanto uma correta definição do macromodelo sı́smico, a Migração
em Tempo, por sua vez, focaliza apenas a energia proveniente das estruturas geológicas
em um dado instante de tempo não sendo portanto tão sensı́vel à correta determinação
do modelo de velocidades como a Migração em Profundidade. Esta última, além da
focalização dos eventos, também os posiciona correta e lateralmente em subsuperfı́cie
[14].
Dentre os objetivos da Migração Sı́smica destacam-se a obtenção de informações a
respeito das estruturas geológicas onde se encontram os reservatórios de petróleo e o
correto posicionamento dessas estruturas em subsuperfı́cie.
18
Por exigirem o prévio conhecimento de uma estimativa do perfil de velocidades do
modelo geológico, os esquemas de Migração podem ser empregados para uma avaliação
qualitativa [14] do perfil inicialmente utilizado.
Desta forma, observa-se uma conexão entre a Modelagem Sı́smica e o processo de
Migração Sı́smica de maneira que, enquanto a primeira descreve a propagação das ondas
sı́smicas pelo modelo de velocidades fornecendo os registros das reflexões nos receptores,
a segunda procura desfazer os efeitos dessa propagação estimando assim as propriedades
de refletividade da subsuperfı́cie [39], [40].
Nos esquemas de Iluminação Sı́smica tradicionais, imagens da subsuperfı́cie são requeridas para que análises a respeito da Iluminação Sı́smica da região estudada sejam
executadas. Deste modo, esquemas de Migração Sı́smica são úteis também no fornecimento de imagens que podem ser empregadas nas análises qualitativas da iluminação de
uma dada região, pois em tais esquemas evidenciam-se os efeitos das zonas de sombra e
de concentração de energia.
A relação entre Migração e Iluminação torna-se clara, principalmente, ao se levar em
consideração que os Estudos de Iluminação são empregados para o planejamento da etapa
de Aquisição Sı́smica, sendo portanto pertinente o interesse em se avaliar a qualidade da
imagem final a ser obtida na etapa de processamento. A idéia seria a de se responder a
pergunta sobre qual configuração de aquisição forneceria a melhor imagem em profundidade, no caso de determinado esquema de migração sı́smica ser executado durante o
processamento dos dados sı́smicos.
A Cadeia de Valores Sı́smica apresentada no capı́tulo 1 evidencia que a Migração
também é parte de um processo cı́clico, de modo que a mesma é tão importante para os
Estudos de Iluminação quanto esses são úteis para prover qualidade nas imagens oriundas
dos esquemas de Migração.
Assim como os Estudos de Iluminação podem fornecer informações sobre como obter dados com qualidade para os esquemas de migração, os esquemas de migração por
sua vez fornecem importantes conceitos usualmente empregados nas metodologias de
Iluminação. As condições de imagem adotadas nos esquemas de migração, por exemplo,
são empregadas também no desenvolvimento de metodologias para realização de Estudos
de Iluminação Sı́smica, como será abordado no capı́tulo 4.
Diante das importantes aplicações que os conceitos de Migração Sı́smica possuem
19
nos Estudos de Iluminação, apresentam-se na seção a seguir as principais informações a
respeito da Migração Reversa no Tempo, que foi o esquema de Migração Sı́smica adotado
para o desenvolvimento dessa dissertação.
3.2
Migração Reversa no Tempo
A Migração Reversa no Tempo é um esquema de Migração Sı́smica que se baseia no
modelo de propagação das ondas sı́smicas para desfazer os efeitos de tal propagação, de
forma a se obter uma imagem dos refletores em subsuperfı́cie corretamente posicionados
em profundidade. Tradicionalmente, esse esquema utiliza o método de Diferenças Finitas
para resolver a equação da onda pela extrapolação no domı́nio do tempo [41], [14].
Dentre as vantagens desse método, destaca-se a conveniente possibilidade de
adaptação de um programa de Modelagem para um programa de Migração com apenas
algumas modificações [32]; o estudo de múltiplas no imageamento e a extrapolação com
o emprego da Equação Completa da Onda (Equação da Onda com Densidade Variável).
O processo de Migração RTM envolve a prescrição dos valores registrados no sismograma na posição dos receptores na ordem inversa em que foram adquiridos, como fontes
pontuais em registros no interior do modelo ou como uma condição de contorno, no caso
dos registros ocorrerem na superfı́cie [14].
Nessa técnica os dados dos sismogramas são depropagados de forma a se obter no
final do processo uma imagem do modelo geológico, empregando-se uma determinada
condição de imagem. Basicamente, o processo é o de se propagar as ondas sı́smicas
registradas do tempo final até o tempo inicial da análise. É exatamente durante esse
processo de depropagação que se aplica a condição de imagem. A construção das seções
sı́smicas se dá a partir do Princı́pio do Imageamento proposto por CLAERBOUT [42] que
define a existência de um refletor nas posições em subsuperfı́cie em que há coincidência
entre os tempos de propagação dos campos de onda Ascendente e Descendente.
De forma suscinta, pode-se descrever os campos de ondas Ascendente como sendo
aqueles provenientes da depropagação do campo de ondas tendo como prescrição os valores do sismograma nos respectivos receptores. Analogamente, os campos de ondas
Descendente são oriundos da propagação da energia das ondas a partir da fonte sı́smica.
Ambos os campos são empregados para a aplicação das técnicas de Migração Reversa no
20
Tempo descritas nessa dissertação, já que a obtenção de imagens em subsuperfı́cie envolve etapas como: a extrapolação do campo de ondas (e consequente cálculo da Matriz
de Tempo de Trânsito, quando necessária, como por exemplo na condição de imagem de
Tempo de Excitação), a depropagação do campo de ondas Descendente e a aplicação de
determinada condição de imagem.
Esse trabalho focaliza o emprego de três Condições de Imagem: Tempo de Excitação,
Correlação Cruzada e Deconvolução que serão descritas nas seções seguintes.
3.3
Condição de Imagem de Tempo de Excitação
A condição de imagem indica que há, para um determinado refletor em profundidade,
a existência de coincidência entre o tempo de trânsito do campo de ondas propagado a
partir da fonte, e o tempo de trânsito do campo de ondas depropagado pela prescrição dos
dados sı́smicos nos receptores. Nesse caso, a Matriz de Tempo de Trânsito é responsável
por expressar a condição de imagem para cada ponto da malha do modelo de velocidades.
McMECHAN e CHANG [43] resumem a Migração Reversa no Tempo pela condição
de imagem de Tempo de Excitação em três etapas: Computação da Condição de Imagem
(determinação da matriz de tempo de trânsito, através da extrapolação do campo de ondas
da fonte sı́smica - também denominado campo de ondas descendente); Extrapolação do
Campo de Onda dos Receptores (também denominado campo de ondas ascendente) e
Aplicação da Condição de Imagem.
Durante a fase de propagação do campo de ondas descendente é que se obtém a Matriz
de Tempo de Trânsito através da aplicação de um determinado critério. Existem diferentes
critérios a serem aplicados sobre o campo de ondas [43],[44]. Aqueles utilizados nesta
dissertação serão detalhados nas subseções a seguir.
Tendo-se a Matriz de Tempo de Trânsito, pode-se realizar a depropagação do campo
de ondas ascendente, observando-se a prescrição de cada traço sı́smico no seu respectivo receptor do tempo final ao tempo inicial, utilizando-se a mesma discretização por
Diferenças Finitas utilizada para a propagação. Durante essa extrapolação, é aplicada a
condição de imagem que permite assim, a formação da imagem do modelo geológico.
Nos esquemas de Migração que empregam a Condição de Imagem de Tempo de
21
Excitação, geralmente faz-se o uso de dados sı́smicos Pré-empilhados1 para obtenção
da imagem final.
A expressão em pseudocódigo para obtenção da imagem, dada a matriz de tempo de
trânsito, é dada por:
i f t = MT T (x, z) then
I MG(x, z) = A(x, z, t)
endi f
Nesse caso:
• x, z - variáveis espaciais do problema bidimensional;
• t - tempo da depropagação do campo de ondas;
• A(x, z, t) - é a matriz contendo as incógnitas do problema, que para esse caso é a
pressão do campo de ondas ascendente;
• MT T (x, z) - é a Matriz de Tempo de Trânsito.
3.3.1
Critério da Amplitude Máxima
O Critério da Amplitude Máxima foi proposto por LOEWENTHAL e HU [44] e tem
como objetivo a obtenção da Matriz de Tempo de Trânsito baseada na máxima amplitude
da grandeza do problema em questão.
Em outras palavras, esse critério detecta, durante a extrapolação do campo de ondas,
quando a máxima amplitude ocorre em cada ponto da malha [45].
No critério da Amplitude Máxima, durante a propagação é realizada a verificação da
expressão em Pseudocódigo representada a seguir:
i f (abs(u(x, z, t)) ≥ abs(re f (x, z)))then
re f (x, z) = A(x, z, t)
MT T (x, z) = t
endi f
1
Dados Sı́smicos Pré-empilhados são aqueles cujos sismogramas são analisados considerando-se a
mesma geometria de aquisição [14]. Assim, cada sismograma pode formar uma ou mais imagens que
serão somadas posteriormente com o objetivo de aumentar-se a relação sinal/ruı́do da imagem final.
22
Nesse caso:
• x, z - variáveis espaciais do problema bidimensional;
• t - tempo da depropagação do campo de ondas;
• A(x, z, t) - é a matriz contendo os valores do campo de ondas ascendente;
• re f (x, z) - é a matriz de referência que contém as amplitudes máximas;
• MT T (x, z) - é a Matriz de Tempo de Trânsito.
Se o modelo de velocidades adotado possuir relativa complexidade, diversas reflexões
dos campos de ondas podem ser originadas a partir das diferenças entre as impedâncias
acústicas nas camadas geológicas, de modo a interferirem na Matriz de Tempo de Trânsito
calculada. Para que sejam reduzidas as descontinuidades nessa matriz obtida com o
critério de amplitude máxima, realiza-se um processo de suavização do modelo de velocidades [14] que implica na redução dos contrastes de impedância nas interfaces do
modelo.
3.3.2
Critério da Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira
Quebra
O critério da Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra proposto por
BULCÃO[14] é utilizado para obtenção da Matriz de Tempo de Trânsito justamente nessas regiões de primeira quebra 2 .
Com esse critério, o que se tem é uma Matriz de Tempo de Trânsito com um comportamento mais suave nas regiões distantes do local onde a fonte sı́smica foi aplicada.
A maior amplitude situada nas proximidades da primeira quebra pode ser obtida por
meio de testes lógicos feitos durante a propagação, como representado em Pseudocódigo
a seguir:
cond1 = ((t − MT T (x, z)) ≤ (0.10 ∗ t f ))
cond2 = ((A(x, z)) > re f (x, z)
2
Primeira Quebra - Do inglês First Break, em Geofı́sica designa as regiões onde se registram os primei-
ros eventos oriundos da fonte sı́smica [14]
23
cond3 = (re f (x, z) = 0)
cond4 = ((A(x, z)) < (5.0 ∗ re f (x, z)))
i f ((cond2.and.(cond1.or.cond3)).or.(cond4)) then
re f (x, z) = A(x, z)
MT T (x, z) = t
endi f
Nesse caso:
• cond1, cond2, cond3 e cond4 - são variáveis contendo valores para os testes lógicos;
• t f - é o intervalo de tempo associado ao comprimento de onda da fonte sı́smica dado
√
por t f = 2 π/ fc , no qual fc representa a frequência de corte da fonte;
• A, MT T e re f são as mesmas grandezas definidas na subseção anterior.
3.4
Condição de Imagem de Correlação Cruzada
Nesse tipo de condição de imagem, faz-se o uso da correlação cruzada entre os campos
de ondas ascendentes e descendentes obtidos por meio da extrapolação do campo de ondas
para a formação da imagem em profundidade.
Descreve-se o esquema de correlação cruzada, no domı́nio do tempo, como sendo o
somatório do produto dos campos de onda Ascendente e Descendente, considerando-se
diferentes instantes de tempo. Nota-se a existência de um refletor onde há coincidência
entre os campos de onda Ascendentes e Descendentes para uma determinada posição em
profundidade [42], expressando uma maior correlação entre os mesmos.
Para essa condição de imagem, os campos de onda Descendente e Ascendente são
extrapolados de forma independente usando-se a mesma equação diferencial para tal. A
imagem é formada pelo somatório do produto dos dois campos a cada passo de tempo
(operação da correlação cruzada no lag zero3 ) [45].
3
Lag zero - Termo em inglês que, quando ligado à correlação entre sinais discretos no tempo, significa
deslocamento nulo entre os tempos dos campos de onda [16].
24
De forma resumida tem-se que a imagem em profundidade pode ser obtida pela seguinte expressão:
I MG(x, z) =
t=tt
X
A(x, z, t)D(x, z, t)
(3.1)
t=0
na qual I MG(x, z) representa a imagem em profundidade, tt o tempo total de
propagação e a correlação cruzada tem seu valor maximizado nos pontos que estão sobre
os refletores e minimizado nas demais regiões [22], [14].
3.5
Condição de Imagem de Deconvolução
Os conceitos de convolução e deconvolução tem larga aplicação principalmente no
que concerne à extrapolação do campo de ondas com os objetivos de se atenuarem efeitos
indesejáveis no sismograma como reflexões múltiplas, ou até mesmo para o aumento da
resolução sı́smica vertical, entre outras aplicações.
Tais conceitos estão inseridos no contexto desta pesquisa uma vez que a Deconvolução
é um processo eficiente que pode ser utilizado com o objetivo de se atenuar o efeito da
assinatura da fonte sı́smica, que será abordado no capı́tulo 5.
A Condição de Imagem de Deconvolução consiste basicamente em deconvolver o
campo de ondas Ascendente com o campo de ondas Descendente [46]. Para cada posição
de tiro, uma imagem é obtida e a imagem final é dada pelo empilhamento de todas as
imagens parciais, no caso da Migração pré-empilhamento.
A expressão de obtenção do coeficiente da Condição de Imagem de Deconvolução
[47],[45] no domı́nio da Frequência é dada por:
X
ω
−r ) = X
R̄(→
−r ,→
−r )D(→
−r ,→
−r )
A(→
R
F
−r ,→
−r )D(→
−r ,→
−r )
D(→
F
F
(3.2)
ω
−r a posição do
Sendo A e D os respectivos campos Ascendente e Descendente, →
R
→
−
receptor e r F a posição da fonte. Deste modo, pode-se realizar a propagação dos campos
de ondas Ascendente e Descendente de modo que com a aplicação desta expressão obtemse o coeficiente da imagem a ser obtida pelos esquemas de Migração Sı́smica.
25
Capı́tulo 4
Estudos de Iluminação Sı́smica
4.1
Introdução
O conceito de Iluminação de forma geral está associado ao ato de se clarear um determinado ambiente ou figurativamente de se esclarecer ou ilustrar determinadas situações.
Sob a perspectiva da Geofı́sica Aplicada, compreendem-se os Estudos de Iluminação
Sı́smica como sendo os esforços envolvidos a fim de se esclarecer quais são as regiões
com altas amplitudes nos campos de ondas propagados e as zonas de sombras que a geometria sı́smica pode apresentar, dado um planejamento de aquisição. Tais regiões de alta
iluminação estão de alguma forma associadas a regiões onde há possibilidade de se obter
uma seção sı́smica em profundidade com boa resolução.
Nesse sentido a Iluminação Sı́smica pode ser interpretada como sendo decorrente da
energia das ondas sı́smicas que incidem e são refletidas sobre camadas geológicas com
diferentes coeficientes de impedância acústica. Por meio desta, pode-se avaliar se os campos de ondas propagados sobre a região pesquisada possuem energia suficiente para incidirem sobre as diferentes camadas, de tal forma que os dados sı́smicos sejam registrados
nos receptores.
Caracteriza-se uma região bem iluminada como sendo aquela que possui alta
concentração de energia de ondas sı́smicas disponı́veis para serem refletidas e captadas nos receptores, fornecendo assim dados sı́smicos classificados como sendo de alta
iluminação. Se a energia das ondas incidentes for baixa, assim será a energia das ondas
refletidas de modo que o sinal a ser registrado conterá uma baixa relação sinal/ruı́do, o
que acarreta em baixa qualidade na resposta sı́smica.
26
Com o foco na aquisição de dados que atendam aos requisitos necessários para a
obtenção de uma imagem em profundidade que represente de maneira satisfatória a subsuperfı́cie pesquisada, análises a respeito da Iluminação de uma dada região são empregadas - principalmente - com o intuito de se observar quais seriam as regiões de baixa
iluminação do modelo geológico, considerando-se uma dada geometria de aquisição.
Assim, variando-se o tipo e/ou a geometria de aquisição, pode-se evitar regiões de
baixa iluminação realizando-se um Estudo de Iluminação Sı́smica antes do processo de
aquisição de dados.
Deste modo objetiva-se poder responder a seguinte questão: dados os parâmetros a
serem utilizados na etapa de aquisição de dados sı́smicos, qual seria a energia das ondas
sı́smicas refletidas e registradas na superfı́cie do modelo e qual a influência da qualidade
destes dados na imagem em profundidade final, caso algum esquema de migração sı́smica
seja empregado para obtenção de imagens da subsuperfı́cie.
Em áreas com estrutura geológica complexa, graves “distorções” dos campos de ondas
levam a padrões de iluminação irregulares da subsuperfı́cie [48] e devido às limitações dos
métodos de aquisição de dados sı́smicos convencionais, é comum o surgimento de zonas
de sombras no modelo. Deste modo, tem-se como objetivos a determinação de parâmetros
ideais para iluminar tais zonas de sombra e a análise dos problemas de iluminação causados pela complexidade das estruturas geológicas.
Estudos de Iluminação em subsuperfı́cies são utilizados principalmente para se analisarem os efeitos de diferentes planejamentos de levantamento sı́smico e para estudos
de viabilidade, além de oferecerem uma gama ampla de aplicações como o auxı́lio na
explicação de variações de amplitude ou zonas de sombras depois do processamento.
Através deles, obtem-se uma estimativa da iluminação da região alvo, sendo possı́vel que
se alcance uma relação com a qualidade da imagem depois do processamento sı́smico.
Uma vez que a influência da geometria de aquisição na qualidade da imagem é conhecida, é possı́vel otimizar o planejamento do levantamento e a estratégia de imageamento
para obter o melhor resultado possı́vel [7].
A ideia é testar a eficácia da aquisição projetada em um modelo numérico, antes da
implementação, tendo em vista que os custos necessários para realização deste estudo são
mı́nimos se comparados ao da aquisição sı́smica [49].
Antes de se detalhar a Metodologia para realização de Estudos de Iluminação adotada
27
neste trabalho, faz-se necessária uma prévia discussão a respeito dos métodos usualmente
encontrados na literatura especializada, como nos trabalhos [7], [50], [51] e [40].
Os métodos convencionais para realização de Estudos de Iluminação fazem uso de
Traçamento de Raios como esquema para modelagem direta. Tal método fornece muitos
atributos sobre tempo de trânsito, amplitudes, ângulo de incidência, entre outros. Porém,
o método de Traçamento de Raios falha se a forma da interface ou o comportamento dos
coeficientes de reflexão/transmissão causam variações abruptas dos valores da propriedade (velocidade). Por essas razões, o modelo geológico precisa ser simplificado antes da
modelagem [7]. Além dessas restrições, o método necessita de um conhecimento preciso
das interfaces do modelo de velocidades, o que quase nunca ocorre.
Segundo LAURAIN et al. [7], os métodos de Estudos de Iluminação podem ser divididos em duas categorias: locais e globais. De forma geral, pode-se dizer que métodos
globais oferecem uma maneira de se realizarem Estudos de Iluminação de toda a área de
levantamento de maneira eficiente e flexı́vel.
O objetivo de se planejar uma aquisição sı́smica não é apenas o de se iluminar uma
certa região sem zonas de baixa iluminação, mas também estimar a qualidade da imagem
em profundidade a ser obtida. Para isso, métodos locais podem ser utilizados com a
finalidade de fornecerem informações sobre a iluminação bem como a resolução a ser
esperada em um ponto particular em subsuperfı́cie.
É importante ressaltar que outros pontos em subsuperfı́cie devem ser considerados
antes que se conclua a respeito de todo o planejamento da aquisição, uma vez que nos
métodos locais só se contempla a vizinhança do ponto alvo [7]. Uma comparação entre
os vários esquemas para realização de Estudos de Iluminação Sı́smica é apresentada na
figura 4.1.
Nas seções a seguir serão abordados os principais esquemas para realização de Estudos de Iluminação Sı́smica, sendo apresentada também a metodologia proposta nesta
dissertação, que é baseada na solução da equação da onda acústica com o emprego do
método de Diferenças Finitas.
28
Figura 4.1: Comparação dos Métodos Convencionais
4.2
Métodos Globais para Estudos de Iluminação
Sı́smica
Métodos Globais para a realização de Estudos de Iluminação Sı́smica retornam
informações sobre toda a área de levantamento. Muitos deles empregam esquemas de
Traçamento de Raios mas, como dito anteriormente, tais métodos na modelagem direta possuem o inconveniente de que áreas de mudanças rápidas de coeficiente transmissão/reflexão podem gerar zonas de baixa iluminação. Assim, para que se contemplem
modelos mais complexos, frequentemente são utilizadas aproximações pelo Método de
Diferenças Finitas.
29
4.2.1
Fold (Método de Cobertura)
Calcula a cobertura em termos de CMP (Common Mid Point) da região pesquisada,
definindo-se um grid na superfı́cie do modelo e avaliando-se o número de pontos médios
em cada célula. Esse método assume que a cobertura CRP (Common Reflexion Point),
que representa o número de pontos de reflexão em cada célula do grid, e a cobertura
CMP (Common Mid Point) são equivalentes. De fato, isso somente é válido para modelos
geológicos compostos por camadas de planos paralelos e horizontais como representado
na figura 4.2 A). Dependendo da geometria da região, tais coberturas podem ser totalmente diferentes (vide figura 4.2 B)).
Esse é um método rápido, pois baseia-se em cálculos geométricos simples. O método
também falha em suas premissas para geometrias nas quais tem-se fonte e receptor em
diferentes profundidades, como no caso de OBC (Ocean Botton Cable).
Na representação 4.2 observa-se o ponto médio e o ponto de reflexão comum para
dois modelos geológicos distintos.
Figura 4.2: Comparação entre as coberturas CMP e CRP
4.2.2
Método Binning
Mais comum dentre os métodos de iluminação globais, o Método Binning faz uso
da técnica de Traçamento de Raio. Ele é considerado relativamente simples de lidar,
robusto e de custo efetivo [7]. Uma vez que o modelo tenha sido construı́do, muitas
30
configurações de levantamento podem ser estudadas num montante de tempo razoável.
Em um modelo em profundidade, reflexões numa região alvo são traçadas por raios para
um dado planejamento de levantamento. Uma vez que a simulação via Traçamento de
Raio é realizada, a área alvo é dividida em células, e nelas são mapeados os diferentes
atributos do conjunto de dados modelado. Para cada célula no refletor em profundidade,
o método permite não somente computar o número de acertos (pontos de reflexão - vide
figura 4.3) em cada célula da área alvo (hit count) mas também muitos outros atributos
como tempo de percurso, espalhamento geométrico, o coeficiente de reflexão, os efeitos
da transmissão, a amplitude, o ângulo de incidência e o azimute1 .
Esse método apresenta a caracterı́stica de que os atributos são mapeados na área alvo
exatamente na posição do ponto de reflexão. Isso é equivalente a assumir um processamento sı́smico perfeito, o que nunca acontece na prática. Além disso, os efeitos da Zona
de Fresnel2 não são levados em consideração, nem quando se lida com cobertura e mapas
de amplitude. É uma prática comum atualmente aplicar um operador de suavização para
o mapa de cobertura para considerar esses efeitos [7].
A figura 4.3 representa uma dada geometria tridimensional mapeada em células, onde
diferentes atributos podem ser mapeados no modelo geológico dividido em células.
Figura 4.3: Geometria mapeada em células pelos esquemas de Iluminação por Binning,
adaptada de LAURAIN et al. [1].
1
Azimute - Segundo DUARTE [16], se refere ao ângulo horizontal medido no sentido horário, em
relação ao norte verdadeiro.
2
Zona de Fresnel - Conceito utilizado em reflexão sı́smica antes da migração para se referir a área
circular que define a resolução dos dados em função da profundidade [16].
31
4.2.3
Método Tradicional
Os denominados métodos tradicionais para realização de Estudos de Iluminação realizam a Modelagem Sı́smica, seguida do processo de Migração Sı́smica, obtendo-se desta
forma a imagem em profundidade associada a um determinado dispositivo de aquisição.
Tal imagem é avaliada no sentido de se verificar a resolução obtida e compará-la com a
alcançada por outros parâmetros de aquisição.
Aplicações dos métodos tradicionais para Estudos de Iluminação Sı́smica podem ser
empregadas em situações nas quais o Método de Traçamento de Raios introduz descontinuidades na frente de onda devido a complexidade das estruturas, causando zonas com
baixa iluminação. Assim sendo, uma forma de se analisar quantitativamente a iluminação
alcançada seria realizar uma modelagem direta pelo Método das Diferenças Finitas seguido de processamento e Migração Sı́smica [51]. Com o aumento da potência dos computadores, não se descarta a possibilidade de tal estudo ser realizado sobre toda a área de
levantamento, obtendo-se uma perspectiva global do modelo geológico.
4.3
Métodos Locais para Estudos de Iluminação Sı́smica
Devido ao elevado custo computacional que os métodos globais podem assumir e
dependendo dos objetivos a serem alcançados, Estudos de Iluminação não devem necessariamente fornecer a iluminação sobre toda uma área de levantamento. Pode-se focar
um alvo especı́fico, ou seja, uma determinada região de interesse. O objetivo nesse caso
é definir a melhor configuração fonte-receptor para iluminar a área deste alvo especı́fico.
Esses métodos retornam informação sobre a vizinhança de um ponto selecionado
na região pesquisada e oferecem uma estimativa da iluminação num ponto particular.
Nas subseções a seguir serão apresentados alguns dos principais esquemas locais para a
realização de Estudos de Iluminação Sı́smica.
4.3.1
Diagrama de Rosa
No contexto de Estudos de Iluminação, o diagrama de rosa pode ser interpretado como
sendo um mapa de iluminação local que mostra parâmetros de iluminação em função da
direção da fonte (azimute) e do afastamento entre os receptores (offset).
32
O método em si computa famı́lias de ponto de reflexão comum (CRP) da região alvo
por meio de Traçamentos de Raios a partir de um local especı́fico na subsuperfı́cie em
direção a superfı́cie do modelo. Cada diagrama obtido produz um mapa que ilustra os
pares fonte-receptor que contribuem para iluminar este ponto especı́fico em subsuperfı́cie.
4.3.2
Análise de Feixe Focal
Segundo VELDHUIZEN et. al [52] a Análise de feixe focal é uma abordagem que
fornece medidas quantitativas da qualidade da imagem obtida, considerando-se um ponto
alvo da subsuperfı́cie. A investigação que esse método realiza a partir da propagação do
campo de ondas (função de Green) da fonte e do receptor fornece informações sobre a
amplitude e a resolução espacial [53] de uma geometria de campo especı́fica.
BERKHOUT et. al [53] propôs o emprego da qualidade da imagem em profundidade
oriunda dos esquemas de Migração Sı́smica como critério para avaliação das geometrias
de aquisição de dados sı́smicos. Deste modo, objetiva-se precisar uma distribuição de
fontes e receptores tal que se tenha o máximo de informações da subsuperfı́cie visando
a máxima qualidade de imagem, de modo que os custos do processo de aquisição sejam
mı́nimos para uma dada qualidade.
Na forma convencional de aplicação desse estudo esquemas de Traçamento de Raio
são aplicados a um modelo de subsuperfı́cie, e os atributos do levantamento são estimados a partir da informação da trajetória do raio. Os feixes focais são obtidos por uma
propagação reversa do campo de ondas da resposta desde o ponto fonte na superfı́cie
modelada até o ponto alvo [7].
Nesse método as geometrias do receptor e da fonte são consideradas separadamente,
de forma a se obter o feixe focal do receptor e o feixe focal da fonte. Esse processo de
obtenção dos feixes focais pode ser considerado como sendo uma ”meia-migração´´, porque se forem multiplicados os feixes focais da fonte e do receptor uma migração completa
será obtida fornecendo assim uma imagem da subsuperfı́cie [52].
A Análise de Feixe Focal difere dos demais métodos principalmente por possibilitar
o cálculo de uma função resolução [53] que dá uma medida quantitativa para a qualidade
da imagem.
33
4.3.3
Método CFP (Common Focus Point)
A Análise por Common Focus Point (CFP) consiste em um método que faz uso de
pontos focais comuns, sendo por isso uma extensão do Método de Análise Focal, com a
principal caracterı́stica de proporcionar não uma análise quantitativa, mas sim uma estimativa qualitativa da iluminação da subsuperfı́cie estudada [51].
Essa técnica é baseada na execução de uma migração na qual se emprega a equação
de Kirchhoff nos dados provenientes do Traçamento de Raio, e pode ser utilizada para
que se investigue a resolução num ponto da subsuperfı́cie por meio da resposta sintética
gerada por um ponto difrator, seguida de imageamento [7].
Na prática, realiza-se uma migração em torno do ponto difrator focando a energia das
respostas sı́smicas para os receptores e as fontes. Pela análise dos resultados da migração,
pode-se avaliar a capacidade de resolução da geometria de aquisição no modelo selecionado da subsuperfı́cie. A análise de resolução, nesse caso, é realizada aplicando-se inicialmente - Traçamento de Raios para que dados sintéticos sejam gerados de acordo
com a geometria de aquisição dada.
Outra linha de pesquisa envolvendo CFP pode ser utilizada para se minimizar ou reduzir a influência das estruturas geológicas localizadas acima das regiões de interesse
exploratório. O objetivo nesse caso é o de levar os dados sı́smicos da superfı́cie para um
ponto focal numa profundidade estrategicamente escolhida, sendo essa técnica conhecida
como Redatumação [40]. Desta forma é possı́vel obter um registro sı́smico na profundidade do ponto focal, reduzindo a influência das reflexões associadas à geologia que está
acima desse ponto. Esse processo é feito a partir da extrapolação direta do campo de
onda gerado por uma fonte posicionada no ponto focal em profundidade. O registro na
superfı́cie desse campo é usado para a geração do operador CFP com os sismogramas de
superfı́cie. Essa técnica permite que se obtenha a variação da refletividade com o ângulo
de incidência [40].
A técnica CFP convencional utiliza Integral de Kirchhoff e Traçamento de Raios, mas
pode-se realizar o registro do ponto focal extrapolando-se o campo de ondas por meio do
Método de Diferenças Finitas, pela solução da equação completa da onda como realizado
por SILVA [40].
34
4.3.4
Análise de Resolução
A Análise de Resolução fornece uma estimativa das distorções que as imagens provenientes dos esquemas de migração sı́smica podem apresentar, utilizando os conceitos que
envolvem uma função especı́fica conhecida como função de resolução.
Em geral, a função de resolução dependerá do modelo de velocidades, da frequência
de largura de banda, do tipo de campo de onda e da geometria de aquisição adotada. A
função resolução é construı́da com base no conhecimento do número de onda de espalhamento (parâmetro que controla a resolução no domı́nio de Fourier) de forma a descrever a
quantidade de distorção devido às limitações dos dados e da geometria de aquisição [54].
Para se obterem os números de onda de espalhamento requeridos na função resolução,
soluções assintóticas da equação da onda são empregadas podendo ser obtidas por
Traçamento de Raio ou outras técnicas como soluções Eikonais [10].
Funções de resolução são importantes no planejamento de um levantamento sı́smico
porque além de terem como objetivo a definição de parâmetros para uma aquisição ótima,
são essenciais para a interpretação de seções migradas em profundidade [10]. Deste
modo, a análise de resolução não só pode melhorar os dados do processamento, como
também aprimorar o potencial da imagem [55] permitindo a obtenção da melhor resolução
possı́vel de acordo com os parâmetros do processo de aquisição sı́smica [56].
4.4
Estudos de Iluminação Sı́smica pelo Método de
Diferenças Finitas
A estratégia empregada nesta dissertação para realização de Estudos de Iluminação
Sı́smica baseia-se no emprego do Método de Diferenças Finitas para resolver a equação
bidimensional da onda acústica, calculando-se assim uma estimativa da função de Green
em alguns pontos do modelo de velocidades.
A iluminação para um determinado ponto do modelo pode ser calculada por uma
equação baseada na condição de imagem empregada nos métodos de migração sı́smica,
fornecendo uma estimativa da qualidade da imagem em profundidade, dados uma determinada geometria de aquisição e parâmetros especı́ficos [4]. Com o emprego desse
esquema, pode-se comparar as várias possibilidades de parâmetros e geometrias de
35
aquisição que podem ser utilizados para se adquirirem dados sı́smicos.
A condição de imagem que correlaciona os campos de onda ascendentes e descendentes no local da imagem é expressa na equação (vide seção 3.4):
−r ) =
R(→
t f inal
X
−r ,→
−r , t)D(→
−r ,→
−r , t)
A(→
R
F
(4.1)
t=0
para a qual tem-se:
• R é a imagem em profundidade;
−r é a localização da imagem;
•→
−r é a localização do receptor;
•→
R
−r é a localização da fonte;
•→
F
• A é o campo de onda ascendente;
• D é o campo de onda descendente;
• t é o tempo.
Os meios de propagação considerados normalmente possuem geometria complexa de
modo que não é viável o cálculo de uma solução analı́tica para a função de Green e,
por esse motivo, estima-se numericamente esta função com o emprego de algum método
numérico, como o método de Diferenças Finitas.
De acordo com RIETVELD et al.[57], para se obter o campo de onda ascendente
durante a depropagação, é importante utilizar um meio não-reflexivo abaixo do ponto ao
qual será feita a análise do Estudo de Iluminação e acima da superfı́cie de aquisição para
se evitar o efeito das múltiplas de superfı́cie. Em termos práticos, elimina-se o contraste
de impedância abaixo do ponto ao qual será feita a análise do Estudo de Iluminação e
utiliza-se uma condição de contorno não reflexiva na superfı́cie do modelo de velocidades
[19]. Mais detalhes a respeito da teoria que envolve a extrapolação do campos de onda
acústicos podem ser obtidos em MARTINS [58].
Uma estimativa da energia de Iluminação para o ponto de imageamento,
considerando-se um par fonte-receptor, pode ser obtida pela substituição dos campos de
36
onda em (4.2) por uma aproximação da energia que chega nesse ponto, gerando a equação
a seguir:
−r ) E (→
− →
−
→
− →
−
I(→
A r , r R ).E D ( r , r F )
(4.2)
E para essa equação, tem-se:
−r ;
• I é a energia de iluminação no ponto →
• E A é o valor do elemento da matriz de energia do campo de ondas ascendente no
ponto imagem;
• E D é o valor do elemento da matriz de energia do campo de ondas descendente no
ponto imagem.
No processo a que corresponde a condição de imagem de Correlação Cruzada, os
campos ascendentes (A) e descendentes (D) seriam calculados respectivamente por duas
extrapolações, uma direta e outra reversa e as energias E A e E D calculadas a partir do
quadrado da amplitude. Uma vez que a metodologia aqui apresentada está baseada na
extrapolação do campo pelo método das diferenças finitas, o custo computacional deste
processo seria muito alto. Mas, aplicando-se o Princı́pio da Reciprocidade ao ponto a
ser analisado, é possı́vel que se avaliem os campos descendentes e ascendentes de modo
a calculá-los considerando-se a extrapolação do campo de ondas a partir do ponto de
iluminação.
A matriz de Energia é obtida através da soma do quadrado das amplitudes do campo
−r em questão, como segue:
de ondas no ponto →
−r ) =
E(→
t f inal
X
−r , t)2
P(→
(4.3)
t=0
para a qual P é o valor do campo de pressão para as coordenadas x e z do grid,
−r (x, z) .
considerando-se o ponto →
Em ALVES et al. [19] apresenta-se uma adaptação da equação (4.2) que objetiva refinar a influência do espaçamento dos receptores no cálculo do valor de iluminação, pois
uma vez atendidos os critérios de amostragem, o número de receptores e seu espaçamento
não devem afetar a qualidade do imageamento e, por consequência, o valor de iluminação.
37
Deste modo, gera-se uma equação na qual assume-se a energia de iluminação proporcional à energia do campo de ondas descendente E D multiplicado pela integral de domı́nio
em ΩF , esta última representando a quantidade de energia EU que atinge a área ΩF .
−r ) =
I(→
X
−r ,→
−r ).
E D (→
F
Fontes
Z
ΩF
−r ,→
−r )dΩ
E A (→
R
F
(4.4)
O processo de extrapolação no qual se prescreve uma fonte sı́smica no ponto de
iluminação e o registro do campo nas superfı́cies onde estão posicionadas as fontes e
os receptores geram as matrizes de energia para o ponto de iluminação em questão. A
partir dessas matrizes, obtem-se a energia do campo de onda, oriunda da extrapolação
deste, para todos os pontos do modelo de velocidades. A figura 4.4 ilustra esse processo
apresentando a matriz de energia para todo o modelo de testes Gaia (a ser detalhado no
capı́tulo 6), considerando-se o Princı́pio da Reciprocidade com a fonte sendo disparada
em subsuperfı́cie.
Figura 4.4: Matriz de Energia (à direita) para o modelo de testes Gaia.
A metodologia aqui abordada propõe a avaliação de diferentes geometrias para o processo de aquisição de dados sı́smicos, a partir da obtenção de um vetor de energia através
do qual são calculados os valores de iluminação considerando-se os diferentes parâmetros
de aquisição.
Para cada tipo de dispositivo de aquisição definido, é calculada a equação (4.4) de
modo a se analisar as respostas obtidas a partir das diferentes geometrias adotadas em
termos de iluminação sı́smica.
38
Capı́tulo 5
Extensão dos Estudos de Iluminação
Sı́smica
O capı́tulo anterior destinou-se a apresentar a teoria que serve de base para a realização
de Estudos de Iluminação Sı́smica. Mas a Função de Iluminação obtida na seção 4.4
para Estudos de Iluminação pelo Método de Diferenças Finitas resulta em um valor de
iluminação que é uma aproximação da condição de imagem de Correlação Cruzada. Assim objetiva-se definir um valor de iluminação não mais de forma aproximada, mas que
seja diretamente associado ao valor da amplitude da imagem em profundidade oriunda de
um esquema de Migração Sı́smica.
Uma das necessidades, dentro do que está sendo proposto nessa dissertação, é a
reconstrução dos campos de onda a partir dos conceitos da função de Green, uma vez
que com o emprego do Princı́pio da Reciprocidade, durante a modelagem as fontes
são disparadas em profundidade e as respostas são registradas na superfı́cie do modelo, de modo que não são obtidos diretamente os campos de onda Ascendente e Descendente necessários à aplicação das condições de imagem de Correlação Cruzada e de
Deconvolução, conforme descrito no capı́tulo 3.
Deste modo, este capı́tulo destina-se a aprimorar a metodologia proposta para os
Estudos de Iluminação, proporcionando uma função que resulte num coeficiente de
Iluminação que possa ser diretamente ligado às amplitudes das imagens oriundas dos esquemas de Migração Sı́smica (em especial a Migração Reversa no Tempo) empregandose a Condição de Imagem de Correlação Cruzada ou a Condição de Imagem de
Deconvolução [47].
39
5.1
Migração e Valor de Iluminação
Como visto no capı́tulo 3, a expressão da condição de Imagem de Correlação Cruzada
para os esquemas de Migração Reversa no Tempo é dada por:
−r ) =
R(→
t f inal
X
−r ,→
−r , t).D(→
−r ,→
−r , t)
A(→
R
F
(5.1)
t=0
−r ,→
−r , t) como sendo o Campo de Ondas Ascendente e
para a qual tem-se A(→
R
→
−
→
−
D( r , r F , t) sendo o Campo de Ondas Descendente.
De acordo com a metodologia proposta no capı́tulo 4, o valor de Iluminação para um
par fonte-receptor é dado por:
−r ) E (→
− →
−
→
− →
−
I(→
A r , r R ).E D ( r , r F )
(5.2)
que é uma aproximação da condição de imagem que correlaciona os campos de ondas
−r da imagem, no qual substitui-se a operação de
ascendentes e descendentes no local →
correlação entre os campos de onda pelo produto da energia dos mesmos.
Para efeitos de iluminação, a energia do Campo de Ondas é dada pela seguinte
equação:
−r ) =
E(→
t f inal
X
−r ,→
−r , t)
P2 (→
I
(5.3)
t=0
A equação anterior origina a Matriz de Iluminação para uma dada posição de fonte, já
abordada no capı́tulo 4 .
O Valor de Iluminação na metodologia proposta envolve uma aproximação da
condição de Imagem da Migração Sı́smica, mas para que com o emprego desta equação
seja possı́vel a obtenção de um valor capaz de ser diretamente relacionado ao esquema de
Migração Reversa no Tempo, faz-se necessária uma abordagem mais aprimorada.
A Metodologia proposta recorre ao Princı́pio da Reciprocidade (vide apêndice C) com
o objetivo de se reduzir o número necessário de extrapolações do campo de ondas, tornando o processo menos oneroso computacionalmente. Por outro lado, ao se adotar esse
procedimento, não se obtem o campo de ondas Ascendente (que é oriundo da reflexão
do campo de ondas Descendente) de tal forma que não seria possı́vel a aplicação direta da expressão de condição de imagem por Correlação Cruzada ou por Deconvolução.
Tal fato evidencia a necessidade de se reconstruir os campos de ondas para aplicação das
40
condições de imagem visando o aprimoramento da metodologia proposta, o que é possı́vel
com o emprego da Função de Green do meio e suas propriedades.
5.2
Obtenção da Função de Green do Meio
Uma função de Green é a solução básica para uma equação diferencial especı́fica que,
quando aplicada a problemas acústicos, descreve a propagação dessas ondas fornecendo
a pressão causada por um pulso unitário de energia.
Pode-se ainda definir de maneira resumida a função de Green como sendo a resposta
do meio a um carregamento impulsivo unitário (descrito convencionalmente pela função
Delta de Dirac).
Para meios com relativa complexidade, a expressão analı́tica da função de Green
não é conhecida.
Deste modo, aproximações podem ser obtidas pelo emprego de
métodos numéricos. A metodologia proposta utiliza o Método de Diferenças Finitas para
discretização da Equação da Onda Acústica bidimensional.
Considera-se que ao final da simulação numérica, o que é realmente obtido no receptor
→
−r é a Função de Green do meio convolvida com a assinatura da fonte sı́smica, que nesse
R
contexto é a Derivada Segunda da Função Gaussiana (vide capı́tulo 2), pois os métodos
numéricos, de forma geral, não conseguem simular um carregamento impulsivo devido às
questões ligadas à dispersão numérica (vide Apêndice B). Com isso, determina-se aqui a
−r e →
−r .
denominada Pseudofunção de Green do modelo de velocidades para os pontos →
F
R
Representa-se a Pseudofunção de Green como segue:
PG(rF , rR , t) = G(rF , rR , t) ∗ S (t)
(5.4)
para a qual tem-se que PG(rF , rR , t) é a denominada Pseudofunção de Green,
G(rF , rR , t) é a função de Green do meio e S (t) é a assinatura da fonte sı́smica. Também
tem-se rF e rR como sendo, respectivamente, a posição da fonte e do receptor, e t como
sendo o tempo.
A expressão acima considera o efeito da assinatura da fonte sı́smica no processo de
propagação do campo de ondas, o que significa observar que as respostas obtidas pelas
modelagens numéricas realizadas contêm não só a função de Green do meio, mas também
a influência da assinatura da fonte sı́smica. De fato, existem problemas numéricos que im-
41
pedem ou dificultam consideravelmente a extrapolação de fontes impulsivas, isso porque
o espectro de frequência de tal carregamento não é limitado no domı́nio da mesma, possuindo frequências infinitas. Deste modo, tem-se a necessidade de uma discretização cada
vez mais refinada para que se evitem dispersões numéricas, o que faz o espaçamento do
”grid´´ tender a zero, implicando em um elevado custo computacional.
A figura 5.1 representa esquematicamente esse procedimento para determinação da
Pseudofunção de Green.
Figura 5.1: Esquema de obtenção da Pseudofunção de Green na superfı́cie considerandose o ponto de iluminação r e o par fonte-receptor representado por rF e rR , respectivamente.
42
5.3
Extrapolação do Campo de Ondas com o emprego da
Função de Green e da Pseudofunção de Green
A diferença entre as extrapolações direta e reversa do campo de ondas no tempo pode
ser analisada a partir do sentido de propagação do campo de onda. A extrapolação direta se dá do tempo inicial de simulação até o tempo final de registro, simulando-se a
propagação das ondas desde a fonte até os receptores em passos de tempo crescente.
Opostamente, a extrapolação reversa é executada do tempo final de registro até o tempo
inicial definido, calculando-se o campo de ondas em passos de tempos decrescente desde
o tempo final de registro até o tempo inicial.
Sabe-se que a partir da equação da onda aliada a condições iniciais e de contorno podese conhecer a amplitude da pressão acústica em vários pontos do modelo. Nesse sentido,
algumas alternativas devem ser levadas em consideração quando se objetiva extrapolar
o campo de ondas. Uma delas seria o emprego da Função de Green e da Pseudofunção
de Green, definidas anteriormente, de modo a se obter a resposta sı́smica para diferentes
pontos do modelo.
A figura 5.2 apresenta um Modelo de Velocidades com duas camadas paralelas no
qual é adotado o Princı́pio da Reciprocidade para a simulação, ou seja, considera-se a
fonte sendo disparada em subsuperfı́cie, mais especificamente no ponto r, para obtenção
da resposta do meio na superfı́cie do modelo.
Figura 5.2: Modelo de Velocidades com Duas Camadas Paralelas - Posições da Fonte e
dos Receptores.
43
Retornando ao problema de se calcular um valor de iluminação diretamente ligado
aos esquemas de migração, observa-se que o uso da condição de imagem de Correlação
Cruzada aos dados oriundos do esquema exposto no parágrafo anterior (figura 5.2) gera
um coeficiente que possui a influência da assinatura da fonte sı́smica. A convolução entre
as Pseudofunções de Green registradas pode ser expressa por:
PGrF ∗ PGrR = (GrF ∗ S ) ∗ (GrR ∗ S ) = GrF ∗ S ∗ GrR ∗ S = GrF ∗ GrR ∗ S 2
(5.5)
Tem-se que PGrF e PGrR se referem às Pseudofunções de Green obtidas considerandose os pontos rF e rR , respectivamente. Analogamente, GrF se refere à função de Green
resultante da propagação do campo de ondas Ascendente e GrR se refere à função de
Green obtida a partir do campo de onda Descendente. Com essa equação observa-se que
com o emprego da Pseudofunção de Green, a extrapolação do campo de ondas possui a
influência da assinatura da fonte de forma que a mesma proporciona uma alteração da
amplitude e da fase da resposta sı́smica.
Para uma abordagem inicial, nos testes a serem realizados será adotada a suposição de
que o coeficiente de reflexão na região em torno do ponto de iluminação em profundidade
considerado seja igual a 1. Deste modo sabe-se que toda energia incidente neste ponto
será refletida com ângulo igual ao ângulo de chegada. A inclusão dessa hipótese tem
como objetivo simplificar e reduzir as variáveis a serem consideradas no problema em
questão.
5.4
Extrapolação do Campo de Onda com o emprego da
Pseudofunção de Green na Condição de Imagem de
Deconvolução
A Condição de Imagem de Deconvolução (vide capı́tulo 3) foi empregada nos trabalhos de VALENCIANO e BIONDI [47],[59] onde foram implementados esquemas de
migração sı́smica tanto no domı́nio da frequencia quanto do tempo. Dentre os objetivos
pretendidos com a aplicação desta condição de imagem se destacam o aprimoramento da
qualidade da imagem e a redução dos efeitos de iluminação e artefatos de migração na
imagem final [46].
44
Nesta dissertação, a expressão desta condição de imagem será empregada no sentido
de se obter um valor de iluminação diretamente ligado a mesma, uma vez que as parcelas
referentes ao campo de ondas Descendente no denominador da expressão 5.8 podem vir a
reduzir a influência da assinatura da fonte na resposta sı́smica, permitindo que se alcance
o objetivo afinal.
Considerando-se a já apresentada figura 5.3, que representa o disparo da fonte em
subsuperfı́cie e as Pseudofunções de Green registradas na superfı́cie para os respectivos
pontos selecionados, pode-se descrever o campo de onda Descendente como segue:
Figura 5.3: Posição de Fonte e Receptores para Obtenção de Traços Sı́smicos.
−r ,→
−r , t) = PG (−t)
D(→
R
rF
(5.6)
E a expressão para obtenção do campo de ondas Ascendente A:
−r ,→
−r , t) = PG (−t) ∗ CR ∗ (PG ) ∗ PG (−t)
A(→
F
rF
rR
rR
(5.7)
Para essas expressões tem-se CR como sendo o coeficiente de reflexão, PGrF e PGrR
como sendo as respectivas Pseudofunções de Green obtidas para cada posição de receptor.
Além disso, PGrF (−t) e PGrR (−t) são responsáveis por inverter a direção de propagação.
Assim, a partir da substituição dos campos A e D na expressão dada na equação (3.2)
de Deconvolução entre os campos de ondas, obtem-se:
−r ) =
I(→
t f inal
X
[PGrF (−t) ∗ CR ∗ (PGrR ) ∗ PGrR (−t)] ∗ [PGrF (−t)]
[PGrF (−t)] ∗ [PGrF )(−t)]
t=0
45
(5.8)
Analisando-se a condição de imagem de Deconvolução, tem-se que o principal motivo
para utilização desta condição de imagem seria a possı́vel anulação dos termos de assinatura da fonte. Sabendo-se que adotou-se CR = 1, que PGrF = GrF ∗S e que PGrR = GrR ∗S
para as funções de Green GrF e GrR e assinatura de fonte sı́smica S , tem-se a seguinte expressão:
−r ) =
I(→
t f inal
X
[(GrF ∗ S )(−t) ∗ CR ∗ (GrR ∗ S ) ∗ (GrR ∗ S )(−t)] ∗ [(GrF ∗ S )(−t)]
[(GrF ∗ S )(−t)] ∗ [(GrF ∗ S )(−t)]
t=0
(5.9)
que resulta em:
−r ) =
I(→
t f inal
X
[(GrF )(−t) ∗ CR ∗ (GrR ) ∗ (GrR )(−t) ∗ S 3 ] ∗ [(GrF )(−t) ∗ S ]
[(GrF )(−t) ∗ S ] ∗ [(GrF )(−t) ∗ S ]
t=0
(5.10)
E assim, tem-se:
−r ) =
I(→
t f inal
X
[(GrF )(−t) ∗ CR ∗ (GrR ) ∗ (GrR )(−t)] ∗ [(GrF )(−t)] ∗ S 2
[(GrF )(−t)] ∗ [(GrF )(−t)]
t=0
(5.11)
−r ) é o valor de Iluminação para um dado ponto em subsuperfı́cie.
onde I(→
Com o emprego da condição de imagem de Deconvolução, é possı́vel que se realize
a extrapolação do campo de onda para obtenção de uma resposta que seja diretamente
relacionada ao valor de Iluminação, que é o objetivo afinal. Porém, a questão principal no
emprego das Pseudofunções de Green seria justamente a necessidade de se removerem
- ou pelo menos de se atenuarem - a influência da fonte sı́smica empregada. Para tal
existem algumas possibilidades a serem abordadas e as mesmas serão descritas na seção
a seguir.
5.5
Critério da Amplitude Máxima como Ferramenta
para Obtenção de Aproximação da Função de Green
Como exposto nas seções anteriores, não se pode obter diretamente a função de Green
para um meio complexo por meio de um procedimento numérico sem que se tenha considerada a influência da assinatura da fonte sı́smica, pelo menos com as ferramentas descritas até o momento.
46
Uma possibilidade a ser empregada de modo a se alcançarem os objetivos propostos para obtenção numérica da função de Green sem a influência da assinatura da fonte
seria o emprego de Filtros Inversos. ROBINSON [60] e TREITEL [61] apresentaram
metodologias para o cálculo em dados sı́smicos de filtros de Wiener e filtros de Wiener
complexos, respectivamente. WALDEN [62] apresentou um Filtro de Wiener Modificado
com o objetivo de executar deconvoluções mais robustas de dados sı́smicos. Deste modo
nota-se que bons resultados podem ser obtidos com a aplicação de filtros, evidenciando
que uma abordagem desse tipo seria apropriada. Entretanto, as restrições impostas ao
processo de filtragem, como a necessidade de uma assinatura de fonte com fase mı́nima
[63] entre outras hipóteses que devem ser atendidas, dificultam a aplicação do método
nesse contexto.
Deste modo, retorna-se a alternativa do emprego das Pseudofunções de Green para a
obtenção de um coeficiente de iluminação ligado às amplitudes das imagens oriundas dos
esquemas de Migração Reversa no Tempo. Cada traço obtido se difere de um impulso
unitário no formato do sinal. É claro que se o sinal fosse uma Delta de Dirac, poderia se
obter a própria função de Green. Assim, uma outra alternativa seria a de se utilizar no
lugar do sinal sı́smico uma aproximação deste que empregue somente o valor de amplitude máxima do mesmo. Deste modo com o uso do valor de amplitude máxima tem-se
uma fonte impulsiva, já não mais com a forma da segunda derivada da função gaussiana
porém de amplitude equivalente a amplitude máxima desta função. A figura 5.4 ilustra
esse esquema.
Alguns esquemas de Migração Reversa no Tempo empregam o critério de Amplitude
Máxima para obtenção da Matriz de Tempo de Trânsito com a finalidade de se posicionar
corretamente os refletores em subsuperfı́cie. Esse critério descrito no capı́tulo 3 calcula
basicamente as amplitudes máximas das grandezas associadas ao campo de onda (vide
capı́tulo 3), sendo portanto útil para ser empregado na obtenção da amplitude máxima do
sinal sı́smico.
Conhecendo-se as amplitudes máximas dos sinais para cada intervalo de tempo, podese executar a simulação da resposta sı́smica pela aproximação da Função de Green e
posteriormente realizar o emprego da condição de imagem de Correlação Cruzada, uma
vez que já não mais haverá influência da assinatura da fonte nas amplitudes das respostas
sı́smicas obtidas.
47
Figura 5.4: Esquema de obtenção da fonte baseada na Amplitude Máxima da Segunda
Derivada da Função Gaussiana.
5.6
Extrapolação do Campo de Onda com o emprego da
Pseudofunção de Green na Condição de Imagem de
Correlação Cruzada
O critério de Amplitude Máxima descrito no capı́tulo 3 e proposto como alternativa
para obtenção das respostas sı́smicas na seção anterior será empregado para que se obtenham sinais impulsivos de amplitude equivalente a amplitude máxima do sinal original.
Será empregada a expressão da Condição de Imagem de Correlação Cruzada
objetivando-se a obtenção de um valor de iluminação diretamente ligado ao coeficiente
obtido pelo esquema de Migração Reversa do Tempo com o emprego desta condição.
Retornando-se à figura 5.3, que representa o disparo da fonte em subsuperfı́cie e as
respostas registradas na superfı́cie para os respectivos pontos selecionados, pode-se descrever o traço A relativo ao campo de onda Ascendente de forma normalizada para a fonte
disparada no ponto r(x, z) em subsuperfı́cie, como segue:
A(x, z) = (rF (x, z)/r(x, z)).(rR (x, z)/r(x, z)).(rR (x, z)/r(x, z))
(5.12)
E a expressão para obtenção do traço D(x, z) relativo ao campo de ondas Descendente
48
observado no ponto r(x, z) com o emprego da extrapolação reversa no tempo é dada por:
D(x, z) = rF (x, z)/r(x, z)
(5.13)
Para essas expressões tem-se rF (x, z) e rR (x, z) como sendo as respectivas respostas
obtidas para cada posição de receptor.
Assim, reconstruı́dos os campos de onda a partir de aproximações da Função de Green
do meio, pode-se empregar a expressão de correlação cruzada (equação 5.1) que resultará
no valor de Iluminação almejado:
−r ) =
I(→
t f inal
X
rF (x, z) rF (x, z).rR (x, z)2
.
r(x, z)
r(x, z)3
t=0
(5.14)
Nesse contexto, tem-se que o principal motivo para o emprego da condição de imagem
de Correlação Cruzada seria a retirada ou atenuação da influência de assinatura da fonte
sı́smica. Com o uso das amplitudes máximas de cada sinal, tem-se aproximações da
função de Green do meio e com alguns ajustes na equação tem-se:
−r ) =
I(→
t f inal
X
rF (x, z)2 .rR (x, z)2
r(x, z)4
t=0
−r ) é o Valor de Iluminação para um dado ponto em subsuperfı́cie.
onde I(→
49
(5.15)
Capı́tulo 6
Resultados e Aplicações
Os resultados e aplicações desenvolvidos para se avaliarem os esquemas de Modelagem Sı́smica e Migração Sı́smica, bem como os Estudos de Iluminação Sı́smica,
encontram-se nesse capı́tulo. Diferentes simulações são executadas com o objetivo de
se avaliarem as equações acústicas da onda nas suas formas Não-reflexiva, com Densidade Constante e com Densidade Variável.
Na organização e disposição dos resultados, foi utilizada para a Modelagem Acústica
as equações da onda citadas anteriormente, obtendo-se deste modo os respectivos sismogramas sintéticos. As Matrizes de Tempo de Trânsito para a Condição de Imagem de
Tempo de Excitação com o critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira
Quebra também foram calculadas a partir dessas equações. Finalmente, abordaram-se
os principais esquemas desenvolvidos nessa dissertação para a realização de Estudos de
Iluminação Sı́smica.
As análises para as metodologias de realização dos Estudos de Iluminação abordados
nos capı́tulos 4 e 5 serão apresentadas com aplicações em modelos simples como o modelo de Camadas Plano-Paralelas e o modelo com Plano Inclinado e uma curva senoide.
Em seguida serão realizadas aplicações realizadas com o modelo de testes (Gaia) e em
outro modelo mais realista (Pluto), cujas descrições encontram-se nas seções seguintes.
O emprego do modelo Gaia, bem como os modelos Plano-Paralelo e Plano Inclinado
com Senoide, objetiva uma avaliação das implementações dos esquemas abordados e desenvolvidos nessa dissertação. Deste modo verificam-se as respostas tanto de Modelagem
e Migração Acústicas quanto dos Estudos de Iluminação Sı́smica.
O modelo Pluto representa um meio com um grau considerável de complexidade
50
geológica, sendo portanto apropriado para aplicações mais próximas das análises efetuadas na indústria petrolı́fera.
6.1
Aplicações de Modelagem Sı́smica
6.1.1
Modelagem Sı́smica com Modelo Gaia
O modelo Gaia [14] - ilustrado nas figuras 6.1 e 6.2 - representa, respectivamente, o
modelo (considerando-se a velocidade e a densidade do meio) adotado para os testes das
metodologias descritas nos capı́tulos anteriores desta dissertação.
Figura 6.1: Modelo de Velocidades Gaia.
A tabela 6.1 descreve os principais parâmetros adotados para as aplicações com o modelo Gaia, observando-se os critérios para se evitarem dispersão e instabilidade numérica,
descritos no apêndice B.
Inicialmente avalia-se o processo de simulação sı́smica com a propagação de ondas e consequente modelagem acústica, sendo comparados os empregos das diferentes
equações da onda, nas quais incluem-se a Equação Não-reflexiva, a Equação Acústica
com Densidade Constante e a Equação Acústica com Densidade Variável, também conhecida como Equação Completa da Onda (full wave equation) [26].
Nas aplicações de Modelagem Sı́smica o que se espera é a observação das principais
diferenças nos sismogramas obtidos a partir dos diversos tipos de equações da onda. Além
51
Figura 6.2: Modelo de Densidades Gaia.
Tabela 6.1: Parâmetros adotados para simulações com o modelo Gaia.
Dimensões
17980m x 8000m
Espaçamento da malha
10m
Tempo Total de Registro
6s
Intervalo de Tempo
0.0004s
Intervalo de Tiro
300m
Profundidade da Fonte
50m
Intervalo entre Receptores
10m
Frequência de Corte
30Hz
disso, serão apresentados os campos de ondas (snapshots) em determinados tempos a
fim de se compreender como se dá a propagação dos mesmos ao longo do modelo de
velocidades.
Inicialmente foram realizadas simulações com o emprego das diferentes equações da
onda, considerando-se uma fonte posicionada no ponto (801, 51) da malha de diferenças
finitas para o modelo em questão.
A figura 6.3 ilustra a propagação do campo de ondas para um mesmo tempo (t = 2.8s)
realçando-se as imagens de igual modo a fim de que se permita observar a influência da
equação empregada na propagação da onda através do modelo de velocidades. Observase claramente a influência que o emprego dos diferentes tipos de equação da onda aqui
abordados exerce sobre a propagação do campo.
Comparando-se as imagens 6.3 (A), 6.3 (B) e 6.3 (C), destaca-se a considerável
52
diferença apresentada entre as amplitudes dos campos de ondas, de modo que a
equação Não-reflexiva apresenta as menores amplitudes das ondas refletidas, devido as
simplificações que a mesma contém. Opostamente, a equação com Densidade Variável
apresenta as maiores amplitudes para as ondas refletidas, superando inclusive as amplitudes obtidas pela equação com Densidade Constante, por ser mais completa e fiel aos
eventos do que essa última.
Figura 6.3: Snapshots realçados em um mesmo tempo t = 2.8s para a propagação do
campo de ondas com o emprego das diferentes equações acústicas.
Para que se obtenham mais detalhes a respeito das influências exercidas pelas dife53
rentes equações da onda, a seguir serão apresentados outros snapshots obtidos a partir
do emprego das mesmas, vide figuras 6.4, 6.5 e 6.6. Estes snapshots permitem a análise
dos diferentes fenômenos decorrentes do percurso da onda pelas diferentes interfaces do
modelo de velocidades.
Sabe-se que a Equação Acústica Não-reflexiva da Onda tem, como um de seus principais objetivos, anular ou atenuar (de acordo com o ângulo de incidência) as diversas
reflexões decorrentes da propagação do campo de ondas pelo modelo. Esse efeito pode
ser observado na figura 6.4, onde verifica-se com clareza a atenuação das reflexões decorrentes da propagação das ondas pelas diferentes interfaces do modelo, evidenciando a
influência que as simplificações dessa equação exercem sobre as respostas obtidas. Por
esse motivo, tal equação é largamente empregada não só para a depropagação do campo
de ondas durante a Migração Reversa no Tempo, como também para o cálculo das Matrizes de Tempo de Trânsito, que serão abordados na subseção a seguir.
Largamente empregada nas aplicações da Geofı́sica e de outras áreas, a Equação
Acústica da Onda com Densidade Constante, mesmo não contemplando variações de densidade, tem proporcionado resultados satisfatórios para os esquemas de Migração Sı́smica
tradicionalmente adotados.
Como o interesse desta dissertação vai além das aplicações de esquemas de imageamento, objetivando-se sobretudo a iluminação de regiões complexas de maneira tal a se
proporcionar parâmetros adequados para a etapa de aquisição de dados sı́smicos, o foco na
influência da consideração (ou omissão) da densidade do meio nos Estudos de Iluminação
Sı́smica se faz necessária. Deste modo as atenções voltam-se para a figura 6.5, onde
observa-se um maior contraste do que o apresentado na imagem gerada pela Equação
Não-reflexiva. Isso se deve à ausência das simplificações que essa última equação possui
na obtenção da Equação Acústica com Densidade Constante.
Os snapshots gerados pela Equação Acústica da Onda com Densidade Variável (conforme ilustra figura 6.6) demonstram uma maior sensibilidade às descontinuidades do
meio de propagação, principalmente no que se refere à primeira interface do modelo,
onde há um elevado contraste de impedância.
Observa-se que, por não requerer um modelo de densidades, os snapshots para a
Equação Acústica com Densidade Constante apresentam eventos com amplitudes inferiores aos obtidos pela Equação Completa, que considera a densidade variável, como
54
também pode ser observado na figura 6.6 .
Como resultados do processo de Modelagem Sı́smica, foram obtidos sismogramas a
partir das diferentes equações aqui abordadas, sendo estes representados na figura 6.7.
Conforme a tabela 6.1 apresenta, posicionaram-se receptores a cada 10m, ou seja,
há um receptor em cada ponto da malha de diferenças finitas ao longo de uma determinada profundidade a fim de que sejam obtidos os sismogramas oriundos da Modelagem
Sı́smica.
Sobre os sismogramas apresentados, são feitas as seguintes observações:
• No caso da Modelagem Acústica com a Equação Não-reflexiva da Onda, observa-se
que o sismograma obtido e ilustrado na figura 6.7 (A) apresenta poucas reflexões do
campo na direção normal à propagação, e para os demais ângulos as reflexões são
mais brandas se comparadas com os sismogramas obtidos pelas outras equações.
• O sismograma obtido empregando-se a Equação Acústica com Densidade Constante, que pode ser observado na figura 6.7(B), apresentou mais eventos do que
o sismograma obtido pela Equação Não-reflexiva, justamente porque essa última
possui mais simplificações do que as demais.
• Destaca-se que as reflexões notadas no sismograma obtido pela Equação Acústica
com Densidade Constante são menos intensas do que as observadas no sismograma
obtido pela equação que considera as variações de densidade no modelo. A figura
6.7(C) mostra o sismograma com um ligeiro aumento nas amplitudes das reflexões
geradas pela propagação do campo de ondas, que foram registradas nos receptores,
se comparadas com as respostas obtidas pelas Equações Acústicas Não-reflexiva e
com Densidade Contante.
• Por apresentar menos simplificações em confronto com as demais equações, durante os estudos desenvolvidos nas Etapas de Planejamento de Aquisição e Processamento Sı́smico, utiliza-se frequentemente a Modelagem por meio da Equação
Acústica da Onda com Densidade Variável, justamente por essa gerar sismogramas mais completos, sendo suficientemente representativos e adequados de forma
a servirem, entre outras finalidades, para a geração de dados sı́smicos sintéticos de
entrada para os esquemas de migração sı́smica.
55
(a) Tempo = 0.4s
(b) Tempo = 1.2s
(c) Tempo = 2.0s
(d) Tempo = 2.8s
(e) Tempo = 3.6s
Figura 6.4: Snapshots em Diferentes Tempos da Equação Não-Reflexiva da Onda.
Posição de Tiro: 801x51 .
56
(a) Tempo = 0.4s
(b) Tempo = 1.2s
(c) Tempo = 2.0s
(d) Tempo = 2.8s
(e) Tempo = 3.6s
Figura 6.5: Snapshots em Diferentes Tempos da Equação Acústica da Onda com Densidade Constante. Posição de Tiro: 801x51 .
57
(a) Tempo = 0.4s
(b) Tempo = 1.2s
(c) Tempo = 2.0s
(d) Tempo = 2.8s
(e) Tempo = 3.6s
Figura 6.6: Snapshots em Diferentes Tempos da Equação Acústica da Onda com Densidade Variável. Posição de Tiro: 801x51 .
58
59
Figura 6.7: Sismogramas obtidos com o emprego das diferentes Equações Acústicas da Onda.
6.1.2
Modelagem Sı́smica com Modelo Pluto
O modelo de velocidades Pluto foi desenvolvido pelo consórcio Subsalt Multiple Attenuation And Reduction Technology (SMAART) JV [64] para testes envolvendo técnicas
de remoção de múltiplas, sendo também apropriado para outros estudos envolvendo
propagação de campos de ondas (como as análises de Iluminação Sı́smica).
Esse modelo geológico foi detalhadamente desenvolvido por meio de estudos
geológicos e geofı́sicos baseados em dados reais de exploração, com o objetivo de se
simularem os eventos caracterı́sticos do pré-sal, associados ao ambiente de águas profundas do Golfo do México.
A tabela 6.2 descreve os parâmetros adotados para as simulações e as figuras 6.8 e 6.9
apresentam, respectivamente, os modelos de velocidade e de densidade. Para maiores detalhes sobre o desenvolvimento dos mesmos, recomenda-se o trabalho de STOUGHTON
et al. [64].
Figura 6.8: Modelo de Velocidades Pluto.
A figura 6.10 apresenta os snapshots de propagação para os tempos de 0.34s, 1.35s,
2.36s, 3.38s, 4.39s e 5.40s, onde é possı́vel se observar com clareza a grande complexidade do campo de ondas propagando-se sobre o modelo de velocidades, em especial na
região de domo salino.
A fim de se avaliar a influência de se considerar ou não a densidade do meio no
processo de Modelagem Sı́smica, a figura 6.11 apresenta os sismogramas obtidos pelas equações acústicas da onda com Densidade Constante e com Densidade Variável.
60
Figura 6.9: Modelo de Densidades Pluto.
Tabela 6.2: Parâmetros adotados para simulações com o modelo Pluto.
Dimensões
31699.2m x 9151.62m
Espaçamento da malha
7.62m
Tempo Total de Registro
6.756s
Intervalo de Tempo
0.0003378s
Intervalo de Tiro
609.6m
Profundidade da Fonte
38.1m
Intervalo entre Receptores
7.62m
Frequência de Corte
39.224Hz
Destaca-se que as imagens foram realçadas para que se possibilite a observação das
diferenças entre ambas. Claramente, há regiões no sismograma obtido pela Equação
Acústica com Densidade Variável que apresentaram amplitude consideravelmente superior do que no caso da Equação com Densidade Constante. Isso se deve ao fato da primeira
equação ser mais completa, representando com maior fidelidade os eventos da propagação
do campo.
61
Figura 6.10: Representação dos snapshots para a propagação do campo de ondas no modelo Pluto com o emprego da Equação Acústica da Onda com Densidade Constante.
62
Figura 6.11: Representação dos sismogramas do modelo Pluto com o emprego da
Equação Acústica da Onda com Densidade Constante e com Densidade Variável.
63
6.2
Aplicações de Migração Sı́smica
No processo de migração pré-empilhamento adotado nesta dissertação foram empregados os sismogramas oriundos do esquema de Modelagem Sı́smica para diferentes
posições de tiro, como entradas para o programa de Migração Sı́smica com as condições
de imagem de Tempo de Excitação pelo critério de Amplitude Máxima nas Proximidades
de Primeira Quebra e de Correlação Cruzada entre os campos de onda (vide capı́tulo 3).
Como abordado no capı́tulo 3, os esquemas de Migração Sı́smica convencionais se
dividem em três principais etapas: a extrapolação do campo de Ondas e consequente
cálculo da Matriz de Tempo de Trânsito (quando necessário, como no caso da Condição
de Imagem de Tempo de Excitação), a depropagação do Campo de Onda dos Receptores e a aplicação da Condição de Imagem escolhida para o método em questão. Dentro
do que se espera sobre a realização dessas três etapas até a obtenção da imagem final,
serão apresentados nessa subseção os resultados obtidos para avaliação dos esquemas de
Migração Sı́smica empregados.
Será realizada uma análise sobre as semelhanças e alterações que os esquemas de
Migração podem proporcionar no que diz respeito à condição de imagem empregada.
Nesta dissertação foram empregadas as condições de Tempo de Excitação e Correlação
Cruzada entre os campos de onda, conforme exposto no capı́tulo 3.
6.2.1
Migração Sı́smica com Modelo Gaia
6.2.1.1
Migração Sı́smica com Condição de Imagem de Tempo de Excitação no
Modelo Gaia
Os esquemas de Migração Sı́smica empregam a Equação Acústica Não-reflexiva
da Onda, tradicionalmente, para o cálculo da Matriz de Tempo de Trânsito e para
Depropagação do Campo de Ondas. Deste modo, para que se avaliem as influências exercidas pelas diferentes equações da onda aqui abordadas na imagem migrada final, serão
analisadas as imagens migradas a partir da extrapolação e depropagação do campo com a
Equação Não-reflexiva, incluindo a utilização dos sismogramas oriundos da Modelagem
Sı́smica executada com as demais Equações Acústicas aqui abordadas.
Sobre a etapa de extrapolação do campo de ondas, necessária à obtenção das imagens
em profundidade, apresentam-se nas imagens 6.12 , 6.13 e 6.14 as Matrizes de Tempo de
64
Trânsito obtidas a partir do critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira
Quebra. Sobre essas imagens, destacam-se as seguintes observações:
• A Matriz de Tempo de Trânsito representada na figura 6.12 e calculada com o
emprego da Equação Acústica Não-reflexiva da Onda ilustra um comportamento
suave uma vez que a equação não reflexiva anula as reflexões de incidência normal às interfaces presentes no modelo de velocidades. Tal equação age de forma
a tornar mais eficiente o processo de Migração por meio de Matrizes de Tempo
de Trânsito com menos descontinuidades do que as apresentadas pelas demais
equações acústicas da onda. Deste modo percebe-se a importância do emprego
desta equação nos esquemas de Migração, porque além de proporcionar o cálculo
de uma Matriz de Tempo de Trânsito mais suave, essa equação evita que a energia
se perca durante a depropagação do campo de ondas para aplicação da condição de
imagem.
• A matriz de Tempo de Trânsito obtida com o emprego da Equação Acústica da Onda
com Densidade Variável (figura 6.14) apresenta um número de descontinuidades
ligeiramente maior do que a obtida pelo emprego da Equação Não-reflexiva.
• Com relação as diferenças entre o emprego das Equações com Densidade Constante
(6.13) e com Densidade Variável(6.14), observa-se principalmente que houve uma
ligeira redução nos ruı́dos na matriz obtida por esta última equação com relação a
outra.
• Comparando-se as Matrizes de Tempo de Trânsito obtidas nota-se que, de maneira
geral, não apresentaram grandes divergências entre si. Esse fato demonstra que,
no processo de Migração Sı́smica, as maiores diferenças entre as imagens obtidas
pelas diferentes equações se dará pela distinções entre os sismogramas empregados
e/ou o tipo de equação utilizada na depropagação do campo de ondas.
A seguir serão apresentadas as imagens em profundidade oriundas da Migração
Sı́smica, através das quais espera-se avaliar a influência que produz o emprego da Equação
Acústica Não-reflexiva, da Equação Acústica com Densidade Constante e da Equação
Acústica com Densidade Variável nas respostas finais.
65
Figura 6.12: Matriz de Tempo de Trânsito com o emprego da Equação Acústica Nãoreflexiva da Onda e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira
Quebra.
Figura 6.13: Matriz de Tempo de Trânsito obtida com o emprego da Equação Acústica da
Onda com Densidade Constante e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades
de Primeira Quebra.
66
Figura 6.14: Matriz de Tempo de Trânsito obtida com o emprego da Equação Acústica da
Onda com Densidade Variável e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de
Primeira Quebra.
Destaca-se que os processos de Migração Sı́smica são relevantes aos Estudos de
Iluminação uma vez que as metodologias de Iluminação Sı́smica abordadas nos capı́tulos
4 e 5 empregam, principalmente, a condição de imagem de Correlação Cruzada.
Como foram disparados diversos tiros ao longo do modelo, obteve-se para cada
posição de tiro uma imagem em profundidade - no caso do Modelo Gaia obteve-se um
total de 58 imagens - que foram empilhadas1 de modo a originarem a imagem final.
Nos exemplos expostos nas figuras 6.15 a 6.20, as imagens em profundidade foram
obtidas a partir das diferentes equações acústicas da onda, anteriormente citadas, para a
execução dos esquemas de Migração Reversa no Tempo adotados. Com relação às imagens obtidas pelo emprego das diferentes equações da onda nos esquemas de Migração
Sı́smica com o critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra,
pode-se inferir que:
• As imagens finais empregando-se a Equação Não-reflexiva da Onda no esquema de
Migração Sı́smica e variando-se os tipos de sismogramas empregados encontram-se
nas figuras 6.15, 6.16 e 6.17. A figura 6.17 especificamente reforça a importância
1
No caso da Migração pré-empilhamento, significa somar todas as imagens obtidas pela aplicação dos
esquemas de Migração Sı́smica para cada posição de fonte considerada.
67
do emprego do sismograma obtido pela Equação Acústica com Densidade Variável,
por possuir menos simplificações do modelo matemático, sendo por isso mais realista.
• Destaca-se que para que se tenha uma idéia da influência que o tipo de equação
exerce sobre a imagem final, realizou-se um teste com o emprego do sismograma
obtido a partir da Equação Acústica Não-reflexiva da onda. Como se pode observar
pela figura 6.15, o emprego do sismograma obtido por essa equação impede que
sejam corretamente posicionados os refletores, uma vez que nesses sismogramas
grande parte das reflexões oriundas da propagação do campo de ondas são anuladas
ou atenuadas.
Deste modo, a imagem obtida pela Migração com o emprego da equação nãoreflexiva e sismograma a partir desta mesma equação ilustra a importância da fidelidade aos eventos que um sismograma deve possuir. Assim sendo, nota-se
que o sismograma da equação Não-reflexiva não representa muitos dos eventos da
propagação de maneira que no processo de Migração essa ausência compromete a
resposta da imagem final. Por esse motivo, o interesse na equação não reflexiva se
concentra para fins de cálculo de tempo de trânsito e depropagação, porque com
essa equação pode-se obter uma Matriz de Tempo de Trânsito mais suave do que as
obtidas por outras equações.
• Dentro dessas comparações entre o emprego dos diferentes sismogramas obtidos
pelas diversas equações aqui abordadas, observa-se que nas imagens finais obtidas
com o emprego dos sismogramas da Equação acústica com Densidade Constante e
Equação Acústica com Densidade Variável se mostraram mais representativos com
relação ao modelo original. Diante da consideração de variação da densidade nos
esquemas de migração, observa-se uma ligeira melhora na qualidade da imagem
em profundidade em confronto com os esquemas que negligenciam essa variação.
• Analisando-se de forma qualitativa as respostas obtidas, nota-se que com o emprego
dos sismogramas provenientes de um mesmo tipo de equação, obtem-se respostas
que, de maneira geral, não apresentaram grandes divergências entre as Matrizes de
Tempo de Trânsito obtidas pelo critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de
Primeira Quebra, com as respectivas equações, conforme ilustrado nas figuras 6.12,
68
6.13 e 6.14. De fato, o que se mostrou determinante para a qualidade da imagem
final foram os sismogramas empregados como parâmetros de entrada nos esquemas
de Migração Sı́smica adotados.
• Com o emprego da Equação Acústica da onda com Densidade Constante no esquema de Migração Sı́smica (figura 6.18), verificou-se que as amplitudes dos refletores na imagem final encontram-se com maior contraste do que no caso da imagem
obtida pela Equação Não-reflexiva da Onda (figura 6.16).
Deste modo, nota-se uma nı́tida melhora na qualidade da imagem final com o uso da
Equação Não-reflexiva da Onda no esquema de Migração Sı́smica, em comparação
à obtida com o uso da Equação Acústica da Onda com Densidade Constante.
• Destaca-se, ainda, que as imagens nas quais foram empregados os sismogramas
calculados pelas equações que não consideram e que consideram as variações da
densidade no modelo, que podem ser vistas nas figuras 6.18 e 6.19, respectivamente,
apresentaram alguns ruı́dos que se devem ao fato das matrizes de tempo de trânsito
também os apresentarem.
• A equação acústica da onda com densidade variável se mostra mais verı́dica na
representação dos eventos oriundos da propagação do campo de ondas do que as
demais equações aqui empregadas. Como o sismograma obtido é mais completo,
a imagem final proporcionada representa com maior fidelidade tantos os efeitos da
depropagação do campo de ondas quanto o modelo de velocidades inicialmente
empregado. Esses efeitos podem ser observados pela figura 6.20 que apresenta a
imagem final, obtida com o emprego da Equação Acústica da Onda com Densidade
Variável e sismograma obtido pela mesma.
• Com relação à influência da equação empregada, o que se pode notar por meio da
figura 6.20 é que a equação completa origina uma imagem com maior contraste
entre os refletores.
• Comparando-se os tipos de equações empregados com relação às imagens finais
obtidas, destaca-se que as imagens migradas em profundidade, de forma geral, não
apresentaram descontinuidades importantes exceto no caso da imagem obtida com o
69
emprego do sismograma calculado com a equação Não-reflexiva, onde obviamente
não se observa grande parte das reflexões ocorridas durante a propagação do campo.
• As imagens obtidas com esquema de Migração pela equação com Densidade Constante e empregando-se o sismograma da Equação Acústica da onda com Densidade
Variável (6.19) apresentaram uma qualidade ligeiramente superior às obtidas a partir do sismograma da Equação Acústica (6.18), logicamente porque essa última
equação não leva em consideração as variações de densidade do modelo.
• Apesar da equação que considera a densidade variável ser mais completa, em termos qualitativos, pode-se afirmar que o emprego da Equação Acústica com Densidade Constante nos esquemas de Modelagem e Migração Sı́smica se mostrou bastante eficaz para o imageamento, de modo que não houve alterações que comprometessem significativamente a imagem final, pelo menos no que diz respeito ao
Modelo de testes Gaia.
Figura 6.15: Imagem Final, obtida com o emprego da Equação Acústica Não-reflexiva
da Onda e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e o
sismograma também obtido por esta equação.
70
Figura 6.16: Imagem Final, obtida com o emprego da Equação Acústica Não-reflexiva
da Onda e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e o
sismograma obtido pela Equação Acústica da Onda com Densidade Constante.
Figura 6.17: Imagem Final, obtida com o emprego da Equação Acústica Não-reflexiva
da Onda e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e o
sismograma obtido pela Equação Acústica da Onda com Densidade Variável.
71
Figura 6.18: Imagem Final, obtida com o emprego da Equação Acústica da Onda com
Densidade Constante e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira
Quebra e o sismograma obtido pela Equação Acústica da Onda com Densidade Constante.
Figura 6.19: Imagem Final, obtida com o emprego da Equação Acústica da Onda com
Densidade Constante e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira
Quebra e o sismograma obtido pela Equação Acústica da Onda com Densidade Variável.
72
Figura 6.20: Imagem Final, obtida com o emprego da Equação Acústica da Onda com
Densidade Variável e do Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira
Quebra e o sismograma obtido pela Equação Acústica da Onda com Densidade Variável.
6.2.1.2
Migração Sı́smica com Condição de Imagem de Correlação Cruzada no
Modelo Gaia
Uma importante avaliação a ser feita é a comparação entre os esquemas de Migração
Reversa no tempo variando-se o tipo de Condição de Imagem. Nesse tópico será avaliado
o emprego da Condição de Imagem de Correlação Cruzada para a Equação Acústica da
Onda com Densidade Constante.
Conforme abordado no capı́tulo 3, a condição de imagem de Correlação Cruzada emprega a correlação entre os campos de onda ascendente e descendente, sendo estes calculados em fases de propagação e depropagação dos campos. Um artifı́cio muito empregado
nesse esquema é a reinjeção da energia incidente nas bordas do modelo pelo campo de
ondas descendente durante sua fase de depropagação. Para que isso seja possı́vel, fazse necessário o armazenamento dessa energia durante a propagação e a sua prescrição
durante a depropagação do campo [14], [36]. A figura 6.21 ilustra esse processo, onde
observa-se claramente o campo de ondas retornando à sua configuração inicial, o que é
possı́vel uma vez que não houve dissipação de energia.
Na figura 6.22 é apresentada a imagem migrada final, oriunda do empilhamento de
73
Figura 6.21: Representação da propagação (a-d) e depropagação (e-h) do campo de ondas
descendente empregando-se o artifı́cio de reinjeção da energia das bordas.
outras 58 imagens, obtidas a partir do Esquema de Migração com Correlação Cruzada
entre os campos de Onda com a Equação Acústica de Densidade Constante. Sobre a
mesma destaca-se que a primeira interface do modelo foi determinada de forma mais
nı́tida do que com o emprego da Condição de Imagem de Tempo de Excitação (vide
figura 6.18). As singularidades oriundas das matrizes de Tempo de Trânsito presentes
nas imagens obtidas pelo Critério de Tempo de Excitação não estão presentes na imagem
obtida pelo esquema de Correlação Cruzada, o que torna a qualidade da imagem obtida
nesse caso superior às demais apresentadas anteriormente.
74
Figura 6.22: Imagem Final obtida pelo Esquema de Migração Reversa no Tempo com
Condição de Imagem de Correlação Cruzada.
75
6.2.2
Migração Sı́smica com Modelo Pluto
Nesse tópico se concentram as aplicações do esquema de Migração Sı́smica com
Condição de Imagem de Tempo de Excitação pelo Critério de Amplitude Máxima nas
Proximidades de Primeira Quebra empregando-se o Modelo Pluto.
Com as aplicações realizadas, objetiva-se analisar a influência da suavização do
modelo de velocidades, bem como o emprego das Equações Acústicas da Onda Nãoreflexivas, com Densidade Constante e com Densidade Variável nas imagens em profundidades obtidas.
Como abordado no capı́tulo 3, a Matriz de Tempo de Trânsito pode ser determinante
no imageamento, uma vez que suas singularidades refletem diretamente na qualidade da
imagem final. Nas figuras 6.23 a 6.27 representam-se as matrizes obtidas para um ponto
fonte na posição (2132,5) do modelo.
Figura 6.23: Matriz de Tempo de Trânsito obtida pelo Critério da Amplitude Máxima
nas Proximidades de Primeira Quebra pela Equação com Densidade Constante sem
suavização do Modelo Pluto.
76
Figura 6.24: Matriz de Tempo de Trânsito obtida pelo Critério da Amplitude Máxima
nas Proximidades de Primeira Quebra pela Equação com Densidade Constante com
suavização do Modelo Pluto.
Figura 6.25: Matriz de Tempo de Trânsito obtida pelo Critério da Amplitude Máxima nas
Proximidades de Primeira Quebra pela Equação Não-reflexiva sem suavização do Modelo
Pluto.
77
Figura 6.26: Matriz de Tempo de Trânsito obtida pelo Critério da Amplitude Máxima nas
Proximidades de Primeira Quebra pela Equação com Densidade Variável sem suavização
do Modelo Pluto.
Figura 6.27: Matriz de Tempo de Trânsito obtida pelo Critério da Amplitude Máxima nas
Proximidades de Primeira Quebra pela Equação com Densidade Variável com suavização
do Modelo Pluto.
78
Sobre as matrizes de Tempo de Trânsito obtidas, são feitas as seguintes observações:
• A matriz de Tempo de Trânsito obtida pela Equação com Densidade Constante sem
suavização do modelo ilustrada na figura 6.23 apresentou diferenças consideráveis
com relação a matriz em que a suavização do modelo de velocidades é adotada
(figura 6.24 ). O que se observa é que com a suavização do modelo, a parte superior
do domo de sal central apresentou menos descontinuidades.
• Por se tratar de uma equação mais completa, a Matriz de Tempo de Trânsito obtida
pela Equação com Densidade Variável (figura 6.26) apresentou mais descontinuidades do que a matriz obtida pela Equação com Densidade Constante. Mas, como
pode ser observado na figura (6.27), a suavização do modelo para o emprego da
Equação com Densidade Variável se mostrou eficaz, reduzindo consideravelmente
as descontinuidades na região superior do domo de sal.
• Destaca-se que, tradicionalmente, a Equação com Densidade Variável é empregada
para o cálculo do sismograma, por representar com maior fidelidades os eventos.
Porém, a observação da Matriz de Tempo de Trânsito obtida por essa equação
permite-nos ilustrar os efeitos de se considerar a variação de densidade no cálculo
do Tempo de Trânsito. Como esperado, a equação que melhor calcula a Matriz de
Tempo de Trânsito é a Não-reflexiva, com resposta apresentada na figura 6.25. De
fato, tal equação anula as amplitudes de incidência normal, originando uma matriz
mais suave. Embora não se tenha adotado a suavização do modelo, só o emprego
desse tipo de equação foi suficiente para produzir uma Matriz de Tempo de Trânsito
mais contı́nua do que as demais.
Para a mesma posição de fonte adotada na obtenção das Matrizes de Tempo de
Trânsito anteriormente apresentadas, foram executados os esquemas de Migração Sı́smica
envolvendo a condição de imagem de Tempo de Excitação com o critério de Amplitude
Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra. O objetivo, nesse caso, é analisar a influência do emprego de cada tipo de equação da onda bem como a suavização ou não
do modelo de velocidades nas imagens em profundidade obtidas. As figuras 6.28 a 6.32
apresentam esses resultados.
79
Figura 6.28: Imagem Migrada para um tiro na posição (2081,201) do Modelo Pluto com
o emprego do esquema de Migração Reversa no Tempo com Condição de Imagem de
Tempo de Excitação, critério da Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e Equação Acústica de Densidade Constante sem suavização do Modelo de Velocidades.
Figura 6.29: Imagem Migrada para um tiro na posição (2081,201) do Modelo Pluto com
o emprego do esquema de Migração Reversa no Tempo com Condição de Imagem de
Tempo de Excitação, critério da Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e Equação Acústica Não-reflexiva da Onda sendo sismograma obtido pela Equação
Acústica com Densidade Constante.
80
Figura 6.30: Imagem Migrada para um tiro na posição (2081,201) do Modelo Pluto com
o emprego do esquema de Migração Reversa no Tempo com Condição de Imagem de
Tempo de Excitação, critério da Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e Equação Acústica Não-reflexiva da Onda sendo sismograma obtido pela Equação
Acústica com Densidade Variável.
Figura 6.31: Imagem Migrada para um tiro na posição (2081,201) do Modelo Pluto com
o emprego do esquema de Migração Reversa no Tempo com Condição de Imagem de
Tempo de Excitação, critério da Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e Equação Acústica de Densidade Variável sem suavização do Modelo de Velocidades.
81
Figura 6.32: Imagem Migrada para um tiro na posição (2081,201) do Modelo Pluto com
o emprego do esquema de Migração Reversa no Tempo com Condição de Imagem de
Tempo de Excitação, critério da Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra e Equação Acústica de Densidade Variável com suavização do Modelo de Velocidades.
82
Sobre as imagens em profundidade obtidas, realizam-se a seguintes inferências:
• O emprego da equação Não-reflexiva para o esquema de Migração resultou em
uma melhora na imagem obtida (figura 6.29 ) com relação a situação em que se
empregou a equação com Densidade Constante para a Migração sem suavização
do modelo de velocidades (figura 6.28). Em ambos os casos, o sismograma empregado foi o mesmo, obtido pela equação com Densidade Constante, o que mostra a importância que a equação Não-reflexiva possui ao fornecer uma Matriz de
Tempo de Trânsito com menos descontinuidades, além de se reduzirem os efeitos
da depropagação do campo.
• Empregando-se um sismograma mais completo, além de se obterem os benefı́cios
causados pela equação Não-reflexiva na Migração, na figura 6.30 observa-se que
houve maior fidelidade na representação dos eventos sı́smicos devido, obviamente,
à consideração da variação de densidade.
• A figura 6.31 representa o resultado obtido com o emprego da equação com Densidade Variável, porém sem suavização do modelo de velocidades, com o objetivo de se compararem os benefı́cios provenientes da suavização, como observado
na figura 6.32. De fato, o emprego da Equação com Densidade Variável aliado à
suavização do modelo Pluto possibilitou a determinação dos refletores na parte inferior do modelo com maior qualidade do que na situação em que empregou-se a
equação Não-reflexiva para o esquema de Migração Sı́smica (figura 6.30).
A fim de se realizar a aplicação do esquema de Migração pela condição de imagem de
Tempo de Excitação pelo critério da Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira
Quebra, obteve-se a imagem final resultante do empilhamento de 52 imagens em profundidade para diferentes posições de disparo da fonte. Essas imagens finais são ilustradas
nas figuras 6.33, 6.34 e 6.35.
83
Figura 6.33: Imagem Migrada para o Modelo Pluto com Condição de Imagem de
Tempo de Excitação sem Suavização do Modelo de Velocidades empregando-se Equação
Acústica com Densidade Constante para Migração.
Figura 6.34: Imagem Migrada para o Modelo Pluto com Condição de Imagem de
Tempo de Excitação sem Suavização do Modelo de Velocidades empregando-se Equação
Acústica com Densidade Variável para Migração.
A imagem 6.33 ilustra claramente o posicionamento dos domos e seus contornos,
mas há falhas na região superior do modelo. Observa-se que a imagem produzida pelo
emprego da equação com Densidade Variável (figura 6.34) possui maior contraste no
corpo salino à esquerda do modelo do que na imagem obtida pela Equação Acústica com
84
Figura 6.35: Imagem Migrada para o Modelo Pluto com Condição de Imagem de
Tempo de Excitação com Suavização do Modelo de Velocidades empregando-se Equação
Acústica com Densidade Variável para Migração.
Densidade Constante. Além disso, o número de descontinuidades em torno do domo
de sal central do modelo se reduziu significativamente com o emprego da suavização do
modelo com a Equação com Densidade Variável, conforme apresentado na figura 6.35.
Uma estratégia para melhorar o imageamento seria o emprego da equação Nãoreflexiva com suavização do campo de ondas, não só para o cálculo da Matriz de
Tempo de Trânsito de forma mais contı́nua, como também para se evitarem os efeitos
da depropagação do campo de ondas no esquema de Migração Sı́smica, aliado à adoção
do sismograma obtido empregando-se a equação com Densidade Variável, que melhor
representa os eventos sı́smicos.
Destaca-se que o emprego de um intervalo de tiro menor produziria mais imagens em
profundidade e, consequentemente, uma imagem final com qualidade superior. Porém,
tal abordagem elevaria consideravelmente o custo computacional, implicando em maior
tempo de processamento, espaço em disco necessário, entre outros fatores relevantes.
85
6.3
Aplicações de Iluminação Sı́smica
Esta seção apresenta os resultados dessa dissertação que envolvem os Estudos de
Iluminação Sı́smica. Os processos de Modelagem e Migração Sı́smicas estão diretamente relacionados aos Estudos de Iluminação, conforme descrito pela Cadeia de Valores
Sı́smica (vide capı́tulo 1) e abordados nos capı́tulos 2 e 3, porém é nesse tópico que se
concentram as principais análises que permitem a compreensão e verificação de quais são
os dispositivos de aquisição ideais para se iluminar uma determinada região do modelo de
velocidades, ou analogamente, dada uma configuração de aquisição, pretende-se estabelecer quais são as regiões do modelo com altas e baixas amplitudes nos campos de onda
a serem registrados nos receptores.
Destaca-se que, inicialmente, a metodologia aqui descrita será analisada para os modelos de Camadas Plano-Paralelas, Plano Inclinado com Senoide e Gaia, que são considerados modelos de testes, embora conclusões e importantes análises sobre a metodologia
aprimorada serão obtidas com o modelo Hess, que possui uma geometria mais realista.
6.3.1
Estudos de Iluminação Sı́smica com o emprego da Metodologia
Convencional
Nesta subseção serão apresentados os primeiros resultados dessa dissertação sobre os
Estudos de Iluminação Sı́smica. A metodologia apresentada no capı́tulo 4 será aplicada
no Modelo Gaia a fim de se avaliarem os valores de iluminação obtidos, variando-se os
dispositivos de aquisição.
6.3.1.1
Iluminação Sı́smica com Modelo Gaia
Nos Estudos de Iluminação Sı́smica com emprego do Modelo Gaia, executaram-se as
implementações de três abordagens: a metodologia convencional, que emprega o método
de Diferenças Finitas abordada na seção 4.4 e a metodologia aprimorada, que emprega a
amplitude máxima dos campos de onda, abordada no capı́tulo 5.
No processo de aquisição de dados sı́smicos podem ser adotados diferentes tipos
(Streamer, Nodes, Split Spread, entre outros) e parâmetros de aquisição (intervalo de
fonte, comprimento de cabo, tempo de registro, espaçamento entre receptores, entre outros). Tais variáveis foram levadas em conta durante a aplicação da metodologia proposta,
86
considerando-se valores realı́sticos da indústria petrolı́fera para estas grandezas.
As tabelas 6.3 e 6.4 apresentam os parâmetros levados em conta para as análises aqui
apresentadas e tais parâmetros são ilustrados na figura 6.36. Além destes, foram adotados
na metodologia os seguintes tempos de simulação para obtenção das matrizes de energia
de iluminação: 4.0,5.0 e 6.0 segundos.
Destaca-se que os dispositivos Streamer Convencional e Streamer Profundo diferem
entre si no que diz respeito à profundidade dos receptores, que no primeiro caso se dá a
uma distância de 30m e no segundo a uma distância de 200m da superfı́cie do modelo.
Além disso, o dispositivo Split Spread ilustrado na figura 6.36, foi empregado somente
nas simulações que envolvem a Metodologia Aprimorada e por esse motivo, a tabela com
suas especificações será apresentada na subseção 6.1.3.2, que corresponde às aplicações
para essa Metodologia.
Tabela 6.3: Dispositivo do Tipo Streamer
Comprimento do cabo
4km, 6km, 8km, 10km
Intervalo entre fontes
30m
Direção de aquisição
esquerda e direita
Distância do primeiro receptor
300m
Total de combinações
8
Tabela 6.4: Dispositivo do Tipo Nodes
Comprimento do cabo
4Km, 6Km, 8Km, 10Km (para cada lado)
Intervalo entre fontes
300m
Total de combinações
4
Considerando-se o ponto de iluminação na posição (801,300) do grid do modelo de
velocidades, diferentes dispositivos de aquisição foram avaliados, de forma a se obterem
os valores de iluminação para cada uma das configurações adotadas a partir da aplicação
da metodologia convencional, descrita na seção 4.4. Os resultados de Iluminação para
esses dispositivos são apresentados nas figuras 6.37 a 6.43.
Com relação a tais resultados dos Estudos de Iluminação nas figuras 6.37 a 6.43,
pode-se destacar que:
• Nos dispositivos Streamer Convencional e Streamer Profundo, com resultados apresentados na figura 6.37, pode-se observar que sendo os dados adquiridos da es87
querda para a direita ou da direita para a esquerda, as respostas foram iguais, salvo
pequenos erros de aproximação. Isso se deve ao fato de os intervalos de fontes e receptores serem múltiplos e de se estar considerando a soma de todos os pontos fontes ao longo da superfı́cie (Reciprocidade na aplicação da expressão matemática).
• Pela figura 6.38 pode-se notar que no dispositivo Streamer Convencional ocorre
um aumento considerável da amplitude de energia do tempo 1 (4s) para o tempo 2
(5s), o que não ocorre na mesma proporção do tempo 2 (5s) para o tempo 3 (6s).
Esse fato também pode ser observado no resultado do dispositivo Nodes (figura
6.39), o que nos permite concluir que, à medida que o tempo de simulação aumenta,
a concentração de energia tende a se tornar constante de forma que as maiores
diferenças de amplitude se encontram nos tempos iniciais da simulação, nos quais
a frente de onda ainda não passou por toda a superfı́cie.
• Pode-se observar também que o dispositivo Streamer Convencional apresentou,
para todos os comprimentos de cabo considerados (figura 6.40) e também em todos os tempos de aquisição, amplitude de iluminação menor do que o dispositivo
Streamer Profundo (figura 6.41) justamente porque esse último encontra-se a uma
profundidade maior, e por isso está mais próximo do ponto de iluminação.
• De forma análoga, observando a comparação entre os dispositivos do tipo Streamer
na figura 6.42, tem-se que a amplitude da energia registrada no dispositivo Streamer
Convencional é menor do que a registrada no Streamer Profundo a cada tempo
considerado devido, novamente, a proximidade entre o dispositivo e o ponto de
iluminação.
• A amplitude de energia também é ampliada à medida que o tamanho do dispositivo aumenta no tipo Nodes, como pode ser visto pela figura 6.43. Isso se deve
claramente ao fato de que um dispositivo com comprimento maior possui mais receptores e logo registrará maior quantidade de energia, desde que a frente de onda
alcance tais receptores no tempo de registro.
Analisando-se a matriz de energia (representada na figura 6.44(a)) e comparando-a à
imagem em profundidade obtida para uma determinada fonte posicionada na superfı́cie
do modelo, mais especificamente no ponto (801,51) da malha, (figura 6.44(b)), podese observar que as respostas apresentadas permitem avaliações a respeito da qualidade
88
da imagem em profundidade comparando-a com a Iluminação Sı́smica da região. Nas
figuras em questão, pode-se notar que a região que não foi bem imageada é exatamente
a que apresentou baixa energia de iluminação, levando-se em consideração a posição da
fonte sı́smica adotada.
Figura 6.36: Representação dos dispositivos de aquisição empregados.
89
Figura 6.37: Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação para o tempo 6s,
variando-se o comprimento do dispositivo (em metros) nos casos de Streamer Convencional e Streamer Profundo.
Figura 6.38: Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação no dispositivo Streamer Convencional para cada tempo de simulação, com direção de aquisição esquerda e
comprimento igual a 3700m.
90
Figura 6.39: Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação no dispositivo Nodes para cada tempo de simulação, com comprimento igual a 12000m.
Figura 6.40: Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação no dispositivo Streamer Convencional para cada tempo de simulação, com comprimento variando de 3700m
a 9700m e direção de aquisição esquerda.
91
Figura 6.41: Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação no dispositivo Streamer Profundo para cada tempo de simulação, com comprimento variando de 3700m a
9700m e direção de aquisição esquerda.
Figura 6.42: Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação para os tempos de
simulação utilizados, fixando-se a direção de aquisição esquerda e o comprimento dos
dispositivos Streamer Convencional e Streamer Profundo em 3700m.
92
Figura 6.43: Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação com comprimento
variando de 3700m a 9700m no dispositivo Nodes para os três tempos de simulação.
93
(a) Matriz de Energia para a posição de tiro (801,51) do Modelo Gaia.
(b) Imagem em profundidade para um tiro na posição (801,51) obtida pela Migração
Reversa no Tempo com condição de Imagem de Tempo de Excitação, critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra.
Figura 6.44: Comparação entre a Matriz de Energia e a Imagem Migrada para uma única
fonte disparada na superfı́cie do modelo.
94
6.3.2
Estudos de Iluminação Sı́smica Aprimorados pelo Critério de
Amplitude Máxima
No interesse de se obter um valor de iluminação diretamente ligado à amplitude da
imagem obtida a partir dos esquemas de Migração Sı́smica, simulações foram executadas
a fim de se avaliarem as respostas obtidas em termos de Iluminação.
Destaca-se que antes de se apresentarem os resultados para os modelos de velocidades Gaia e Hess, a metodologia foi inicialmente aplicada a dois modelos mais simples.
O primeiro modelo empregado consiste de duas camadas plano-paralelas, com velocidades iguais a 1500 m/s e 4500 m/s (figura 6.45). O segundo modelo utilizado consiste
de um plano inclinado com uma interface representada por uma senoide, com velocidades de 1500 m/s, 1750 m/s e 2000 m/s, que será detalhado na próxima subseção (figura
6.48). Para esses modelos, pontos de iluminação sobre as interfaces foram selecionados,
de maneira a se avaliarem as relações entre os valores de iluminação calculados a partir
da metodologia proposta e a amplitude das imagens obtidas pelos esquemas de Migração
Sı́smica para esses pontos.
6.3.2.1
Aplicações de Iluminação Sı́smica Aprimorada no Modelo Plano-paralelo
A figura 6.45 representa o modelo com duas camadas Plano-paralelas empregado para
as aplicações iniciais da metodologia aprimorada e a tabela 6.5 apresenta os parâmetros
adotados para as simulações.
Tabela 6.5:
Parâmetros adotados para simulações com o modelo de velocidades com
Camadas Plano-paralelas empregado nas aplicações da Metodologia Aprimorada.
Modelo
Camadas Plano-paralelas
Dimensões
1755m x 1005m
Espaçamento da malha
50m
Tempo de Registro da Modelagem
1s
Intervalo de Tempo
0.0002s
Frequência de Corte
60Hz
Para o modelo de camadas Plano-paralelas um ponto de iluminação foi escolhido,
conforme ilustrado na figura 6.45 e foi calculado o valor de iluminação, descrito na tabela
6.6. Obteve-se também a imagem em profundidade considerando-se um dispositivo Split
95
Figura 6.45: Modelo de Velocidades de Camadas Plano-paralelas adotado para as
aplicações iniciais da Metodologia Aprimorada com respectivos Pontos de Iluminação
selecionados.
Spread, posicionado na superfı́cie. As figuras 6.46 e 6.47 apresentam, respectivamente,
a matriz de energia e a imagem em profundidade considerando-se o ponto de iluminação
adotado com fonte para modelagem e migração posicionados na superfı́cie. Destaca-se
que foi levado em conta, para a migração, o mesmo dispositivo de aquisição do esquema
de Iluminação.
Tabela 6.6: Respostas obtidas com a aplicação da Metodologia Aprimorada no modelo
de Camadas Plano-paralelas empregando-se o dispositivo Split Spread de comprimento
igual a 500m.
Ponto de Iluminação
Posição (201,101)
Posição da Fonte
(201,3)
Valor de Iluminação
0.115215
Amplitude da Imagem no Ponto de Iluminação
0.115958
Quociente Valor/Amplitude
0.993595
Observando-se a tabela 6.6 nota-se que os valores obtidos diferem de forma mı́nima
entre si com relação ao ponto adotado em profundidade, embora seja interessante ressaltar
a simplicidade do modelo e o fato de se considerar o coeficiente de reflexão unitário.
96
Figura 6.46: Matrizes de Energia obtidas pela aplicação da Metodologia Aprimorada para
cada ponto de Iluminação adotado no Modelo de Camadas Paralelas.
Figura 6.47: Imagens em Profundidade obtidas pela aplicação do esquema de Migração
com Correlação Cruzada no Modelo de Camadas Paralelas considerando-se o dispositivo
Split-Spread de comprimento igual a 500m.
97
6.3.2.2
Aplicações de Iluminação Sı́smica Aprimorada no Modelo Inclinado com
Senoide
O modelo Plano Inclinado com uma curva Senoide, representado na figura 6.48 com
parâmetros dados pela tabela 6.7 foi empregado nessa subseção com o objetivo de se executarem aplicações da metodologia aprimorada, proposta nessa dissertação, de maneira
a se avaliar a possibilidade de obtenção de um valor de iluminação diretamente ligado à
amplitude da imagem migrada.
Destaca-se que além de uma análise quantitativa, comparando-se os valores obtidos,
avaliações qualitativas também serão empregadas no intuito de se verificar a influência de
uma dada configuração de aquisição para a iluminação e imageamento de uma determinada região.
Figura 6.48: Modelo de Velocidades de Plano Inclinado com Senoide adotado para as
aplicações iniciais da Metodologia Aprimorada com respectivos Pontos de Iluminação
selecionados.
Tabela 6.7:
Parâmetros adotados para simulações com o modelo de velocidades com
Camadas Plano-paralelas empregado nas aplicações da Metodologia Aprimorada.
Modelo
Plano Inclinado com Senoide
Dimensões
10000m x 4000m
Espaçamento da malha
100m
Tempo de Registro da Modelagem
5s
Intervalo de Tempo
0.001s
Frequência de Corte
30Hz
98
Analogamente à análise feita anteriormente com o modelo de Camadas Planoparalelas, foram selecionados quatro pontos de iluminação para o modelo com Plano
Inclinado, conforme ilustrado na figura 6.48, e simulações foram executadas empregandose o dispositivo Split Spread com comprimento igual a 1.5km. A tabela 6.8 apresenta os
resultados obtidos.
Tabela 6.8: Respostas obtidas com a aplicação da Metodologia Aprimorada no modelo
com Plano Inclinado pelo dispositivo Split-Spread de tamanho 1.5km.
Ponto de Iluminação
Ponto 1 (200,270)
Ponto 2 (400,290)
Ponto 3 (600,310)
Ponto 4 (800,330)
Posição da Fonte
(225,3)
(430,3)
(635,3)
(840,3)
Valor de Iluminação
1.866667
1.585727
1.467645
1.36867
Amplitude da Imagem no Ponto de Iluminação
5.294117
5.077083
5.043143
5.115286
Quociente Valor/Amplitude
0.352592699
0.312330328
0.291017923
0.267564707
Divisão pelo valor máximo
1
0.885810538
0.825365709
0.758849256
Como se pode observar, os pontos fontes considerados na obtenção da imagem em
profundidade não possuem a mesma coordenada horizontal que os pontos de iluminação.
Tal procedimento foi adotado porque, conforme ilustrado na figura 6.49, há um efeito (conhecido como “sorriso de migração”) que pode ser notado acima do ponto de iluminação
que contribui para que se altere a amplitude do refletor na exata posição do ponto sob o refletor. Por esse motivo, para cada ponto de iluminação considerado, deslocou-se a posição
da fonte sı́smica no esquema de obtenção da imagem migrada a fim de se reduzir o efeito
descrito e, consequentemente, se tenha maior fidelidade na determinação da amplitude do
refletor.
Na figura 6.49 (A), o ponto fonte considerado encontra-se na posição (400,3) que
é a posição horizontal correspondente ao ponto de iluminação 2, nota-se o efeito da
depropagação dos campos de onda, que interfere na amplitude da imagem. Na figura
6.49 (B), tem-se a fonte deslocada 30 pontos de sua posição original, de maneira que a
imagem obtida produziu o mesmo efeito, mas agora em uma posição que afeta menos a
amplitude da imagem do que a posição anterior.
Analisando-se as respostas obtidas e representadas na tabela 6.8, bem como as matrizes de iluminação (figura 6.50) e as imagens em profundidade (figura 6.51) obtidas para
cada dispositivo e ponto de iluminação considerado, pode-se inferir que:
• Como esperado, o valor de iluminação se reduz à medida que a profundidade do
99
Figura 6.49: Ilustração de efeito influenciando a amplitude das imagens em profundidade
obtidas considerando-se as posições de fonte (400,3) e (430,3), respectivamente, dado o
ponto de iluminação posicionado em (400,290).
ponto de iluminação a ser considerado aumenta. Logicamente, esse fato se deve à
maior quantidade de informação registrada nos receptores quando o ponto se encontra mais próximo a eles, uma vez que o tempo de simulação é o mesmo para
todos os pontos analisados.
• Os dois primeiros pontos investigados apresentaram maior coerência entre si no
que diz respeito ao valor normalizado do quociente entre o valor de iluminação
e a amplitude da imagem migrada. Os dois pontos seguintes apresentaram uma
diferença maior com relação aos demais, fato esse que pode ser justificado devido
ao aumento do valor de iluminação não proporcional à amplitude da imagem, que
não é determinada de forma precisa para esses pontos, acarretando uma diferença
maior no resultado final.
• O quociente entre o valor de iluminação e a amplitude da imagem migrada resultou em um fator que não se manteve constante, mas cuja diferença para cada ponto
se deve, principalmente, às variações de amplitude da imagem e do coeficiente de
reflexão (que é influenciado pelo ângulo). Essas variações na amplitude da imagem se devem a efeitos que prejudicam a correta determinação do refletor, como
múltiplas internas e interações entre os campos de onda que incrementam o valor
da amplitude no ponto investigado. A figura 6.52 ilustra um desses efeitos, onde
percebe-se o ponto de iluminação investigado e em torno do mesmo, os efeitos da
depropagação que podem elevar e alterar a real amplitude daquele ponto no refletor.
100
Figura 6.50: Matrizes de Energia obtidas pela aplicação da Metodologia Aprimorada para
cada ponto de Iluminação adotado no Modelo com Plano Inclinado.
Como anteriormente observado, o quociente entre o valor de iluminação e a amplitude da imagem em cada ponto considerado não se manteve constante. Uma possı́vel
explicação para tal, além da presença de múltiplas internas e ruı́dos de migração, é a
consideração do coeficiente de reflexão igual a 1 na metodologia aprimorada, conforme
descrito no capı́tulo 5. Sabe-se que o coeficiente de reflexão varia de acordo com o ângulo
de incidência, de maneira que a partir de um certo ângulo (ângulo crı́tico) o mesmo se
mantém constante. A figura 6.53 representa o comportamento desse coeficiente e para
maiores detalhes recomenda-se COSTAIN e ÇORUH [20].
A fim de se avaliar a influência do coeficiente de reflexão na resposta obtida com o
Modelo de Camada Inclinada com Senoide, empregou-se a estratégia de se considerar
a densidade do meio abaixo da interface inclinada igual a 10000kg/m3 , de maneira tal
que o coeficiente de reflexão na região de interesse (em torno dos pontos de iluminação)
seja mais próximo de 1. A figura 6.53, obtida pelo Consórcio CREWES (Consortium
for Research in Elastic Wave Exploration Seismology) [2] ilustra o comportamento do
coeficiente de reflexão, aumentando-se a densidade do meio. Nota-se que a curva em (A),
que não considera variação de densidade entre as camadas anterior e posterior à interface
inclinada cresce rapidamente, já a curva ilustrada em (B) tem uma variação menor em
torno do coeficiente de reflexão igual a 1.
101
Figura 6.51: Imagens em Profundidade obtidas pela aplicação do esquema de Migração
Sı́smica no Modelo com Plano Inclinado considerando-se o dispositivo Split-Spread de
comprimento 1,5km com fontes posicionadas nos pontos (230,3), (430,3)), (630,3) e
(830,3), respectivamente em (A), (B), (C) e (D).
102
Os resultados aplicando-se a densidade da camada abaixo da interface inclinada do
modelo igual a 10000kg/m3 se encontram na tabela 6.9.
Tabela 6.9: Respostas obtidas com a aplicação da Metodologia Aprimorada no modelo
com Plano Inclinado pelo dispositivo Split-Spread de tamanho 1.5km.
Ponto de Iluminação
Ponto 1 (200,270)
Ponto 2 (400,290)
Ponto 3 (600,310)
Ponto 4 (800,330)
Posição da Fonte
(225,3)
(430,3)
(635,3)
(840,3)
Valor de Iluminação
1.866667
1.585727
1.467645
1.36867
Amplitude da Imagem no Ponto de Iluminação
1.263008
1.203163
1.180533
1.19382
Quociente Valor/Amplitude
1.477953425
1.31796523
1.2432054
1.146462616
Divisão pelo valor máximo
1
0.891750178
0.841166831
0.77570957
Observando-se as tabelas 6.8 e 6.9, nota-se uma melhora no quociente normalizado
entre o valor de iluminação e a amplitude da imagem em profundidade para cada ponto
considerado. Deste modo, pode-se concluir que não considerar a variação do coeficiente
de reflexão nas interfaces do modelo interfere nas respostas obtidas. Assim, para que se
alcancem resultados com melhores aproximações, o emprego de técnicas para estimativa
do ângulo de incidência e, consequentemente, do coeficiente de reflexão faz-se necessário.
Embora o valor de iluminação obtido em cada caso já seja diretamente ligado a imagem em profundidade obtida pelos esquemas de Migração Sı́smica, espera-se que ao se
considerar a variação do coeficiente de reflexão, obtenha-se um valor de iluminação mais
representativo do que aquele que considera o coeficiente de reflexão igual a 1. Nesse
sentido, com a metodologia aprimorada obtem-se um valor de iluminação que é proporcional à amplitude da imagem, de maneira que, ao se avaliar cada ponto de iluminação,
observa-se qual a configuração de aquisição que permitirá uma imagem em profundidade
com qualidade a partir dos Estudos de Iluminação, sem a necessidade de se realizar efetivamente sucessivas Migrações, que é um processo com custo computacional mais elevado
devido ao número de extrapolações dos campos de onda necessárias.
103
(a) Aproximação na região do Refletor em torno do ponto de Iluminação 1.
(b) Aproximação na região do Refletor em torno do ponto de Iluminação 4.
Figura 6.52: Ilustração dos eventos em torno dos pontos de iluminação selecionados na
imagem em profundidade do Modelo com Plano Inclinado.
104
Figura 6.53: Imagens representando o comportamento do coeficiente de reflexão na interface inclinada do modelo Plano Inclinado com Senoide com camada superior possuindo
1750m/s de velocidade e camada inferior com 2000m/s de velocidade. A densidade na
camada inferior é igual a 1000kg/m3 na figura (A) e 10000kg/m3 na figura (B). Gráficos
extraı́dos e adaptados do Consórcio CREWES[2].
105
6.3.2.3
Aplicações de Iluminação Sı́smica Aprimorada no Modelo Gaia
A aplicação do critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra
para o aprimoramento dos Estudos de Iluminação Sı́smica foi destacado no capı́tulo 5
e tem como principal objetivo fornecer um valor de iluminação diretamente ligado aos
esquemas de Migração Sı́smica aqui empregados.
As figuras 6.54(a) e 6.54(b) apresentam, respectivamente, a matriz de energia e a
imagem em profundidade para o modelo Gaia, considerando-se uma fonte detonada na
posição (801, 51) do grid onde é possı́vel observar-se que:
• As regiões com altas amplitudes na Matriz de Energia foram bem imageadas e esse
resultado é coerente com o que foi apresentado nas figuras 6.44(a) e 6.44(b) da
subseção anterior, onde a principal diferença entre aquela metodologia e a metodologia aprimorada aqui analisada se dá pelo fato da Matriz de Energia nesse caso
ser calculada a partir das amplitudes máximas do campo de ondas, de modo que
percebem-se as regiões que de fato serão bem delimitadas na imagem em profundidade a ser obtida;
• A metodologia aprimorada se mostra mais coerente no cálculo da Matriz de Energia
porque o critério empregado para sua obtenção, também é utilizado no cálculo da
imagem final a partir do esquema de Migração Sı́smica com condição de imagem de
Tempo de Excitação. Tal fato pode ser observado confrontando-se o lado esquerdo
das figuras 6.54(a) e 6.54(b), onde há descontinuidades na Matriz de Energia que
condizem com a má determinação dos refletores nessa região.
Observando-se essa mesma região na figura 6.44(a) tem-se uma amplitude de energia consideravelmente mais elevada que não resultou na correta determinação dos
refletores naquela área. Pela figura 6.54(a) nota-se uma menor energia disponı́vel
naquela região, de modo que essa matriz se mostrou mais fiel aos eventos do que a
outra.
Semelhantemente ao que foi realizado com a metodologia convencional, para as
análises de iluminação com a metodologia aprimorada empregaram-se os dispositivos
descritos nas tabelas 6.1 e 6.2 para o tempo de simulação igual a metade do tempo de
Modelagem, ou seja, 3s. Esse artifı́cio foi empregado para que não se obtenha um va-
106
lor de iluminação incoerente com relação a imagem em profundidade obtida, já que nos
esquemas de migração, empregaram-se tempo total de simulação igual a 6s.
Destaca-se que, para que sejam possı́veis comparações com os gráficos obtidos a partir
da aplicação da metodologia anterior (figuras 6.22 a 6.28), abordada na última subseção,
foram plotados gráficos levando-se em consideração as mesmas variáveis que lá foram
empregadas. Os resultados encontram-se nas figuras 6.55 a 6.57.
Observando-se as respostas para os Estudos de Iluminação Sı́smica empregando-se o
critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra nas figuras 6.55 a
6.57, destaca-se que:
• Assim como nos resultados da metodologia apresentados na subseção anterior, as
direções de aquisição esquerda e direita apresentaram respostas de maneira que com
os dados adquiridos da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, houve
uma diferença ı́nfima, o que pode ser observado pela figura 6.56. Tal fato se deve,
como dito anteriormente, aos intervalos de fontes e receptores serem múltiplos e a
consideração da Reciprocidade na aplicação da expressão matemática.
• O dispositivo Streamer Convencional (figura 6.55) resultou, observando-se todos os
comprimentos de cabo considerados, em uma amplitude de iluminação menor do
que o dispositivo Streamer Profundo. Assim como nos resultados da metodologia
convencional, a justificativa para esse se fato se deve à diferença de profundidade
entre os dispositivos, que no caso do Streamer Convencional é inferior, e por isso
está mais distante da fonte sı́smica, onde há menor concentração de energia, quando
comparada ao Streamer Profundo, nos casos em que a frente de onda alcança todos
os receptores no tempo de registro adotado.
• Através da figura 6.57 pode-se observar um aumento da amplitude de energia proporcional ao tamanho do dispositivo Nodes. Além disso houve também aumento
da amplitude considerando-se os diferentes tempos de simulação.
A figura 6.58(a) apresenta a matriz de energia para o ponto de iluminação (801,300)
do modelo, empregada para a obtenção dos gráficos de 6.55 a 6.57. Comparando-a com os
vetores de energia apresentados na figura 6.58(b), pode-se observar claramente a maior
concentração de energia no dispositivo Nodes, cujo receptor encontra-se mais próximo
ao ponto de iluminação do que os demais dispositivos, por esse motivo o dispositivo
107
Streamer Convencional apresenta energia menos concentrada e com amplitude menor, já
que se situa a uma distância maior do ponto de iluminação.
108
(a) Matriz de Energia para a posição de tiro (801,51) do Modelo Gaia empregando-se
o critério da Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra.
(b) Imagem em profundidade para um tiro na posição (801,51) obtida pela Migração
Reversa no Tempo com condição de Imagem de Tempo de Excitação, critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra.
Figura 6.54: Comparação entre a Matriz de Energia e a Imagem Migrada para uma única
fonte disparada na superfı́cie do modelo.
109
Figura 6.55: Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação para o tempo 3,
variando-se o comprimento do dispositivo nos casos de Streamer Convencional e Streamer Profundo.
Figura 6.56: Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação no dispositivo Streamer Convencional para cada tempo de simulação, com direção de aquisição esquerda e
comprimento igual a 3700m.
110
Figura 6.57: Comparação das Amplitudes dos Valores de Iluminação no dispositivo Nodes variando-se o comprimento do dispositivo.
111
(a) Matriz de Energia para a posição de tiro (801,300) do Modelo Gaia.
(b) Vetores de Energia para um tiro na posição (801,300) obtidos pela Aplicação da Metodologia Aprimorada considerando-se o tempo de simulação igual a 3s.
Figura 6.58: Comparação entre a Matriz de Energia e os Vetores de Energia para uma
única fonte disparada no ponto (801,300) do modelo Gaia.
112
Finalmente, a fim de se investigar a relação entre o valor de iluminação obtido com
a metodologia aprimorada e a amplitude da imagem obtida pelos esquemas de migração
adotados, a seguir serão apresentadas as simulações executadas com uma versão modificada do Modelo de Velocidades Gaia, o qual foi ampliado lateralmente e um refletor
plano foi posicionado na parte inferior do mesmo.
As figuras 6.59 e 6.60 ilustram, respectivamente, a posição de cada um dos quatro
pontos de iluminação selecionados e o modelo suavizado para a execução dos esquemas
de Migração Sı́smica. As tabelas 6.10, 6.11 e 6.12 detalham as configurações empregadas.
Destaca-se que foram avaliados os dispositivos do tipo Streamer Convencional, Split
Spread e Nodes. Para cada ponto de iluminação adotado, foi calculado o valor de
iluminação, considerando-se uma determinada configuração de dispositivo, e em seguida,
considerando-se o mesmo dispositivo foi executado o esquema de Migração Sı́smica
com Correlação Cruzada entre os campos de onda. A análise se baseia, principalmente,
em comparar as matrizes e vetores de energia obtidos para um determinado ponto de
iluminação com a amplitude da imagem em profundidade.
Tabela 6.10: Dispositivo do Tipo Streamer para Aplicações com Metodologia Aprimorada
no Modelo Gaia.
Comprimento do cabo
6km, 8km
Intervalo entre fontes
500m
Direção de aquisição
direita
Distância do primeiro receptor
200m
Total de combinações
2
Tabela 6.11: Dispositivo do Tipo Split Spread para Aplicações com Metodologia Aprimorada no Modelo Gaia.
Comprimento do cabo
6Km, 8Km, 10Km (para cada lado)
Intervalo entre fontes
500m
Total de combinações
3
A figura 6.61 apresenta os vetores de energia obtidos para cada ponto de iluminação
considerado, considerando-se tempo de simulação igual a 3s. Observa-se claramente por
esses vetores que, para cada posição de fonte e receptores nos dispositivos, se obterá um
valor de iluminação correspondente. As figuras 6.62 a 6.65 correspondem às matrizes de
113
Tabela 6.12: Dispositivo do Tipo Nodes para Aplicações com Metodologia Aprimorada
no Modelo Gaia.
Comprimento do cabo
8Km, 10Km (para cada lado)
Intervalo entre fontes
500m
Total de combinações
2
energia para cada um dos pontos de iluminação considerados. As mesmas foram obtidas
a partir do critério de amplitude máxima nas proximidades de primeira quebra e ressaltam
a complexidade na região central do modelo, que impede o registro de parte da energia
disponı́vel.
Figura 6.59: Modelo de Velocidades Gaia acrescentado de refletor e localização dos pontos de iluminação a serem empregados nas aplicações da Metodologia Aprimorada.
114
Figura 6.60: Modelo de Velociades Gaia suavizado a ser empregado nas execuções dos
esquemas de Migração Sı́smica.
Figura 6.61: Vetores de energia para os pontos de iluminação considerados.
Figura 6.62: Matriz de energia para o ponto de iluminação 1 do Modelo Gaia.
115
Figura 6.63: Matriz de energia para o ponto de iluminação 2 do Modelo Gaia.
Figura 6.64: Matriz de energia para o ponto de iluminação 3 do Modelo Gaia.
Figura 6.65: Matriz de energia para o ponto de iluminação 4 do Modelo Gaia.
116
A seguir serão apresentadas as imagens em profundidades obtidas pela aplicação do
esquema de Migração com Correlação Cruzada, considerando-se os dispositivos descritos
anteriormente. Analisando-se as figuras 6.66 a 6.72 observa-se claramente a influência da
consideração do dispositivo de aquisição na resposta migrada. De fato, as melhores imagens foram obtidas pelo dispositivo Nodes, cuja fonte é detonada na primeira interface do
modelo. Devido ao tamanho do dispositivo, as imagens obtidas com Split Spread apresentaram qualidade superior àquelas obtidas com Streamer, já que neste há um número
maior de receptores empregados.
Figura 6.66: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Streamer com direção de aquisição direita, de tamanho 6km no esquema de Migração com
Correlação Cruzada.
117
Figura 6.67: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Streamer com direção de aquisição direita, de tamanho 8km no esquema de Migração com
Correlação Cruzada.
Figura 6.68: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Split Spread
de tamanho 6km no esquema de Migração com Correlação Cruzada.
118
Figura 6.69: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Split Spread
de tamanho 8km no esquema de Migração com Correlação Cruzada.
Figura 6.70: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Split Spread
de tamanho 10km no esquema de Migração com Correlação Cruzada.
119
Figura 6.71: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Nodes de
tamanho 8km no esquema de Migração com Correlação Cruzada.
Figura 6.72: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Nodes de
tamanho 10km no esquema de Migração com Correlação Cruzada.
120
Uma análise a respeito do Vetor de Energia calculado a partir de um ponto de
iluminação escolhido em subsuperfı́cie, e a imagem em profundidade obtida para uma
dada configuração de fonte e receptor, possibilita a verificação da qualidade da imagem no
ponto de iluminação sob o refletor. Esse estudo permite que, ao se avaliar o vetor de energia a ser empregado no esquema de cálculo do valor de iluminação, se tenha uma análise
da qualidade da imagem em profundidade obtida a partir do dispositivo de aquisição adotado.
As figuras 6.73 a 6.79 apresentam a imagem em profundidade para uma fonte posicionada nos pontos (1805,308) e (2105,308) do grid considerando-se a camada de amortecimento e o vetor de energia para o ponto de iluminação 3.
Sobre as figuras apresentadas, destaca-se que:
• A imagens obtidas variam de acordo com os dispositivos adotados, dadas as fontes
sı́smicas adotadas para obtenção das mesmas. Em todos os dispositivos observa-se
claramente que a amplitude da imagem no ponto de iluminação 3 (indicado pelo
tracejado vermelho) no caso da fonte posicionada no ponto (1805,308) (indicada
pela seta laranja) do grid, possui uma amplitude consideravelmente inferior do que
no caso da imagem para a fonte posicionada no ponto (2105,308) (indicada pela
seta verde), havendo pequenas variações de acordo com o dispositivo adotado.
O que se observa é que a posição de fonte (1805,308) se encontra em uma região
do vetor de energia em que há pouca concentração de energia, o que implica em
uma baixa iluminação naquela região. Em concordância, para o dispositivo adotado, a imagem em profundidade não resultou em um correto posicionamento do
ponto de iluminação sob o refletor. Opostamente, ao se considerar a fonte no
ponto (2105,308) do grid obteve-se uma amplitude alta do refletor no ponto de
iluminação, o que está em coerência com a indicação de alta concentração de energia na região da fonte adotada no vetor de energia. Esse comportamento pode ser
notado em todas as imagens, em que se variam os dispositivos de aquisição.
• Sobre as variações de dispositivos, analisa-se que no caso do dispositivo Split
Spread (figuras 6.73, 6.74 e 6.75) houve significativa melhora da imagem em profundidade na região do ponto de iluminação com o aumento do comprimento do
dispositivo. O dispositivo Nodes (figuras 6.76 e 6.77) apresentou os melhores re121
sultados com amplitude elevada no ponto de iluminação considerado. Porém devido ao seu número de receptores inferior aos demais dispositivos, o Streamer com
direção de aquisição direita (figuras 6.78 e 6.79) foram os que apresentaram qualidade inferior em comparação com as demais imagens.
Destaca-se que assim como realizado com o ponto de iluminação 3, essa análise qualitativa pode ser feita para os demais pontos, obtendo-se comparações entre os diferentes
dispositivos empregados e a influência entre o vetor de energia obtido para uma dada
configuração e a correspondente imagem em profundidade.
122
(a) Imagem para a posição de fonte em (2105,308) do Modelo Gaia.
(b) Imagem para a posição de fonte em (1805,308) do Modelo Gaia.
Figura 6.73: Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo de aquisição
Split Spread de comprimento igual a 6km no modelo Gaia.
123
(a) Imagem para a posição de fonte em (2105,308) do Modelo Gaia.
(b) Imagem para a posição de fonte em (1805,308) do Modelo Gaia.
Figura 6.74: Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo de aquisição
Split Spread de comprimento igual a 8km no modelo Gaia.
124
(a) Imagem para a posição de fonte em (2105,308) do Modelo Gaia.
(b) Imagem para a posição de fonte em (1805,308) do Modelo Gaia.
Figura 6.75: Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo de aquisição
Split Spread de comprimento igual a 10km no modelo Gaia.
125
(a) Imagem para a posição de fonte em (2105,308) do Modelo Gaia.
(b) Imagem para a posição de fonte em (1805,308) do Modelo Gaia.
Figura 6.76: Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo de aquisição
Nodes de comprimento igual a 8km no modelo Gaia.
126
(a) Imagem para a posição de fonte em (2105,308) do Modelo Gaia.
(b) Imagem para a posição de fonte em (1805,308) do Modelo Gaia.
Figura 6.77: Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo de aquisição
Nodes de comprimento igual a 10km no modelo Gaia.
127
(a) Imagem para a posição de fonte em (2105,308) do Modelo Gaia.
(b) Imagem para a posição de fonte em (1805,308) do Modelo Gaia.
Figura 6.78: Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo de aquisição
Streamer com direção de aquisição direita de comprimento igual a 6km no modelo Gaia.
128
(a) Imagem para a posição de fonte em (2105,308) do Modelo Gaia.
(b) Imagem para a posição de fonte em (1805,308) do Modelo Gaia.
Figura 6.79: Comparação entre as imagens em profundidade obtidas pelo esquema de
Migração Sı́smica com Correlação Cruzada considerando-se o dispositivo de aquisição
Streamer com direção de aquisição direita de comprimento igual a 8km no modelo Gaia.
129
6.3.2.4
Aplicações de Iluminação Sı́smica Aprimorada no Modelo Hess
O modelo de Velocidades Hess, representado na figura 6.80, foi empregado para
avaliações da metodologia aprimorada no que diz respeito a investigação de diferentes
dispositivos de aquisição e suas influências nas respostas de iluminação e migração, bem
como a relação entre ambas. Destaca-se que o mesmo foi modificado de maneira a se
inserir um refletor de referência na parte inferior, no qual foram selecionados 7 pontos
de iluminação. A figura 6.81 representa a versão suavizada do modelo empregada para
a execução dos esquemas de Migração Sı́smica e a tabela 6.13 apresenta os parâmetros
adotados para esse modelo.
Figura 6.80: Modelo de Velocidades Hess.
Tabela 6.13: Parâmetros adotados para simulações com o modelo de velocidades Hess
empregado nas aplicações da Metodologia Aprimorada.
Modelo
Hess
Dimensões
39209.472m x 10924.032m
Espaçamento da malha
6.0960m
Intervalo de Tempo
0.00027s
Frequência de Corte
35Hz
Para o modelo Hess, consideraram-se os dispositivos Nodes e Streamer com direções
de aquisição esquerda e direita. A aplicação do esquema de Migração Sı́smica com
130
Figura 6.81: Modelo de Velocidades Suavizado Hess.
condição de Imagem de Correlação Cruzada levou em consideração cada um dos dispositivos avaliados, de maneira tal a se observar a influência de cada dispositivo na imagem
em profundidade obtida. Os resultados encontram-se nas figuras 6.82 a 6.88.
Figura 6.82: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Nodes de
tamanho 4km no esquema de Migração com Correlação Cruzada.
131
Figura 6.83: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Nodes de
tamanho 6km no esquema de Migração com Correlação Cruzada.
Figura 6.84: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Nodes de
tamanho 8km no esquema de Migração com Correlação Cruzada.
132
Figura 6.85: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Streamer com direção de aquisição direita, de tamanho 6km no esquema de Migração com
Correlação Cruzada.
Figura 6.86: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Streamer com direção de aquisição direita, de tamanho 8km no esquema de Migração com
Correlação Cruzada.
133
Figura 6.87: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Streamer
com direção de aquisição esquerda, de tamanho 6km no esquema de Migração com
Correlação Cruzada.
Figura 6.88: Imagem em profundidade obtida considerando-se o dispositivo Streamer
com direção de aquisição esquerda, de tamanho 8km no esquema de Migração com
Correlação Cruzada.
134
Sobre as imagens em profundidade obtidas (figuras 6.82 a 6.88), são feitas as seguintes
análises:
• Nas imagens obtidas pela consideração do dispositivo Nodes, observa-se uma melhora gradual a medida em que se ampliou o tamanho do dispositivo 6.82, 6.83 e
6.84. Naturalmente, um dispositivo maior capta maior quantidade de informações,
refletindo-se em uma imagem em profundidade com maior qualidade.
• É possı́vel observar também nas imagens 6.85, 6.86, 6.87 e 6.88 obtidas
considerando-se os dispostivos do tipo Streamer uma melhora gradual na qualidade da imagem em profundidade com o aumento do comprimento, principalmente
nas regiões próximas e abaixo do domo de sal, onde há maior complexidade.
• Os efeitos da direção de aquisição também podem ser observados nas imagens do
dispositivo Streamer de maneira que, para os dispositivos com direção de aquisição
direita, não foram bem determinados refletores na lateral esquerda do modelo e o
mesmo efeito pode ser percebido no caso da direção de aquisição esquerda, que
impediu o correto imageamento de regiões na lateral direita do modelo. Tal fato
ilustra a importância de se avaliarem as direções de aquisição para cada região a
qual se deseja imagear.
Como se pode observar, houve variações na imagem em profundidade no posicionamento do refletor plano de referência do modelo. As figuras 6.89 e 6.90 são as imagens
em profundidade aproximadas na região do refletor de referência e ilustram as influências
de eventos como múltiplas internas e ruı́dos de migração na correta determinação da amplitude do refletor durante o imageamento. Tais eventos comprometem a amplitude da
imagem para este refletor abaixo de uma estrutura geológica complexa, deste modo dificultando sobremaneira as comparações entre estes valores e o valor de iluminação.
135
Figura 6.89: Ampliação das imagens obtidas na região do refletor plano inserido no Modelo Hess com indicação da amplitude máxima em cada ponto considerando-se o dispositivo Nodes.
Figura 6.90: Ampliação das imagens obtidas na região do refletor plano inserido no Modelo Hess com indicação da amplitude máxima em cada ponto considerando-se o dispositivo Streamer.
136
Destaca-se nas figuras citadas que o tracejado azul indica a máxima amplitude no refletor. Com o emprego do dispositvo Nodes (figura 6.89), o aumento no comprimento
representou uma melhora significativa de maneira que a variação de amplitude naquela
região foi menor, possibilitando maior exatidão no posicionamento da mesma. Pelo dispositivo Streamer (figura 6.90), observa-se que o aumento do comprimento do dispositivo
com direção esquerda de 6km para 8km foi determinante, porque a região que antes não
era sequer representada pode ser imageada com o aumento do dispositivo, ressaltando a
importância desse tipo de análise, na qual se observam os benefı́cios causados variando-se
os dispositivos empregados.
Com relação a direção de aquisição direita para o tipo Streamer também houve uma
melhora na determinação do refletor quando o tamanho foi ampliado de 6km para 8km,
porém a mesma não foi tão significativa quanto para a direção de aquisição esquerda. Isso
mostra que dispositivos com comprimento maior nem sempre representam ganhos significativos, principalmente porque maiores dispositivos podem representar maiores custos.
Tudo isso reforça a importância dos Estudos de Iluminação que consideram não só os dispositivos empregados, como a geometria dos modelos e as posições das regiões a serem
imageadas.
As figuras 6.91 e 6.92 comparam as amplitudes da imagem no refletor de referência
para cada dispositivo de aquisição considerado. Devido à distância entre as fontes consideradas e os receptores em superfı́cie adotados no dispositivo Nodes, o mesmo apresentou amplitudes inferiores de imagem com relação ao dispositivo Streamer. De forma
normalizada, observa-se que todos os dispositivos apresentaram variações na amplitude
da imagem na região do refletor, indicando a presença de múltiplas internas e ruı́dos de
migração nas imagens em profundidade.
137
Figura 6.91: Comparação da amplitude da imagem no refletor de referência para diferentes dispositivos de aquisição.
Figura 6.92: Comparação da amplitude normalizada da imagem no refletor de referência
para diferentes dispositivos de aquisição.
138
As matrizes de iluminação obtidas para cada ponto de iluminação considerado estão
representadas nas figuras 6.93 a 6.99. Por meio das mesmas é possı́vel verificar a complexidade do modelo e como cada ponto escolhido ilumina uma região diferente, havendo
regiões inclusive que sequer são iluminadas, para determinados pontos em profundidade.
Para que se investigue a influência na Iluminação na imagem em profundidade, verificamse os vetores de energia, representados para cada ponto de iluminação na figura 6.100. Por
meio dos mesmos notam-se as regiões onde há maior concentração de energia.
Finalmente com os vetores de energia para o ponto 2, realiza-se uma análise a respeito
da iluminação e da imagem em profundidade obtida, que pode ser observada nas figuras
6.101 e 6.102
Figura 6.93: Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 1 do Modelo Hess.
139
Figura 6.94: Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 2 do Modelo Hess.
Figura 6.95: Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 3 do Modelo Hess.
140
Figura 6.96: Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 4 do Modelo Hess.
Figura 6.97: Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 5 do Modelo Hess.
141
Figura 6.98: Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 6 do Modelo Hess.
Figura 6.99: Matriz de Energia Obtida pelo Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra para o ponto de iluminação 7 do Modelo Hess.
142
Figura 6.100: Comparação entre os Vetores de Energia obtidos para os diferentes pontos
de iluminação considerados no Modelo Hess.
Figura 6.101: Análise entre Vetor de Energia e Imagem em Profundidade para o Ponto de
Iluminação 2 e posição de fonte para Modelagem e Migração em (2000,3).
143
Figura 6.102: Análise entre Vetor de Energia e Imagem em Profundidade para o Ponto de
Iluminação 2 e posição de fonte para Modelagem e Migração em (2500,3).
144
Destaca-se que o tracejado vermelho indica o ponto de iluminação 2 e a seta verde
representa a posição da fonte sı́smica considerada para a Modelagem e para o esquema de
Migração. Observando-se inicialmente a figura 6.101, verifica-se que para essa posição de
fonte o vetor de energia possui baixa amplitude. Como o valor de iluminação é representado pelo produto entre o valor de energia da fonte e a integral ao longo dos receptores,
espera-se que com baixa amplitude de fonte, haja pouca iluminação no ponto considerado. Esse fato é constatado observando-se que na imagem em profundidade não houve o
correto posicionamento do refletor na região em torno do ponto de iluminação. Por outro
lado, observando-se a figura 6.102 nota-se que para a posição de fonte considerada há no
vetor de energia considerável amplitude de maneira que, coerentemente, a imagem em
profundidade resultou em uma correta determinação do refletor no ponto de iluminação
indicado.
145
Capı́tulo 7
Considerações Finais
7.1
Resultados Apresentados
Avaliaram-se os efeitos e as influências decorrentes da utilização das denominadas Equação Acústica da Onda, Equação Acústica Completa da Onda (que considera a
variação da densidade do meio) e a Equação Acústica Não-reflexiva da Onda. Deste
modo constatou-se que com o emprego da Equação Acústica Completa da Onda tem-se
uma melhor representação dos fenômenos de propagação das ondas sı́smicas, sendo essa
a equação acústica mais indicada para a obtenção de dados sı́smicos sintéticos (acústicos),
devido ao menor número de simplificações em seu modelo matemático.
O emprego da equação Não-reflexiva da Onda se mostrou eficaz para o cálculo das
Matrizes de Tempo de Trânsito e para a Depropagação do campo de Ondas nos esquemas
de Migração Sı́smica, pois no desenvolvimento matemático desta equação objetiva-se que
não haja reflexão entre as camadas com contraste de impedância, sendo que nestas etapas
as reflexões do campo de ondas podem vir a degradar os resultados. Deste modo, para todas as aplicações apresentadas há uma melhora na qualidade da imagem em profundidade
em relação às outras equações da onda analisadas.
As imagens em profundidade obtidas para o modelo Pluto forneceram resultados importantes principalmente com respeito às influências de determinados artifı́cios, como
por exemplo: (i) a suavização do modelo de velocidades, (ii) o emprego de sismogramas
mais completos (Equação Completa da Onda) e (iii) o cálculo de Matrizes de Tempo de
Trânsito com menos descontinuidades no imageamento de estruturas complexas (como as
que envolvem estruturas de domos salinos).
146
No Apêndice D realizaram-se aplicações por meio dos conceitos que envolvem as
Equações Integrais de Kirchhoff (empregadas largamente no Método dos Elementos de
Contorno) com o objetivo de se avaliar a possibilidade de reconstrução dos campos de
ondas para o cálculo da Condição de Imagem de Correlação Cruzada, quando aplica-se
o Princı́pio da Reciprocidade e obtem-se numericamente o campo de onda a partir do
ponto de iluminação. Dentro dessa estratégia, as equações integrais obtidas e os testes
numéricos realizados (para um caso especı́fico em que se tem a condição de contorno p =
0 na parte inferior do modelo) resultaram em respostas sı́smicas satisfatórias. A aplicação
destes conceitos abre um novo campo praticamente inexplorado de possibilidades para o
cálculo dos valores de iluminação.
Dentre os programas implementados durante a pesquisa, destacam-se os esquemas de
Migração Sı́smica com Condição de Imagem de Tempo de Excitação e com Condição de
Imagem de Correlação Cruzada, além dos esquemas de cálculo do Valor de Iluminação
para várias configurações de aquisição (considerando-se tanto a metodologia convencional, baseada em uma aproximação da condição de imagem de Correlação Cruzada, quanto
a metodologia aprimorada, que emprega o Critério de Amplitude Máxima nas Proximidades de Primeira Quebra).
Apresentaram-se os desenvolvimentos matemáticos para as metodologias de
iluminação propostas (capı́tulos 4 e 5). Em seguida, no capı́tulo 6, foram apresentados diversos resultados nos quais buscou-se relacionar os valores de iluminação para cada
metodologia e os valores da amplitude da imagem em profundidade obtida via Migração
Reversa no Tempo.
Destaca-se que ambas as metodologias propostas para os Estudos de Iluminação
se mostraram suficientes para análises qualitativas, observando-se os dispositivos de
aquisição e as regiões de concentrações de energia em áreas especı́ficas do modelo,
obtendo-se informações a respeito de quais vantagens e desvantagens acarretaria na
adoção de cada uma delas.
As metodologias propostas de Estudo de Iluminação não levam em conta ruı́dos existentes nos dados sı́smicos, como por exemplo: múltiplas internas (para alguns esquemas
de imageamento), efeitos ligados a atenuação, entre outros. Deste modo, o objetivo almejado com esta dissertação da comparação dos valores de iluminação com a amplitude da
imagem migrada (mesmo para casos sintéticos) é bastante audacioso.
147
Não obstante ter-se desenvolvido um aprimoramento na metodologia de iluminação
proposta, empregando-se a energia de iluminação oriunda da matriz de amplitude máxima
nas proximidades de primeira quebra, possibilitou a obtenção de uma expressão matemática para o valor de iluminação diretamente ligado ao valor da amplitude da imagem
em profundidade.
A aplicação de tal expressão em exemplos sintéticos mostrou-se inapropriada , pois
em seu desenvolvimento considera-se o coeficiente de reflexão constante (unitário), embora na realidade tal valor varie de acordo com o ângulo de incidência.
Deste modo, a fim de avaliar o efeito da não consideração da variação com o ângulo de
incidência, em um dos exemplos apresentados alterou-se o valor de campo de densidades
para que a relação coeficiente de reflexão x ângulo de incidência tenha um comportamento mais constante de acordo com as premissas da metodologia, fazendo com que os
resultados se aprimorassem.
Concluiu-se também com esta dissertação que considerar o dispositivo de aquisição
nos esquemas de Migração Sı́smica é de extrema importância para que se realizem Estudos de Iluminação em regiões de interesse nos modelos de propriedades, principalmente
no que tange a uma abordagem qualitativa. De fato, comprovou-se que fatores como a
direção de aquisição, o tipo de dispositivo e seu comprimento são determinantes para se
imagear uma dada região. Além disso pode-se afirmar que os vetores de energia obtidos,
de acordo com o esquema de Iluminação Sı́smica proposto, podem servir como referência
para análises qualitativas, investigando-se a qualidade da imagem em profundidade a ser
obtida, sem a necessidade de sucessivas Migrações Sı́smicas, processo considerado de
custo computacional elevado.
Comprovou-se que, para modelos complexos, a realização de um Estudo de
Iluminação é uma ferramenta indispensável a ser empregada antes da etapa de Aquisição
Sı́smica. Com a metodologia aprimorada, dados sı́smicos com qualidade requerida podem ser obtidos de maneira tal a se alcançarem os objetivos estabelecidos com relação
a etapa de Caracterização de Reservatórios e/ou nas demais etapas que se seguem nesse
processo cı́clico da Cadeia de Valores Sı́smicos, abordada no capı́tulo 1.
Finalmente, com a dissertação, conclui-se que os Estudos de Iluminação Sı́smica
como etapa precedente à aquisição de dados sı́smicos, são indispensáveis para que gradualmente se possam descobrir e explorar novas metodologias, ampliando-se os horizontes
148
rumo à superação de alguns desafios existentes na indústria do Petróleo e Gás, principalmente no que se refere à pesquisa e exploração de reservas de hidrocarbonetos.
7.2
Trabalhos Futuros
Como extensão desta pesquisa, seguem sugestões de trabalhos futuros:
• Aplicação de Filtros Inversos para reconstrução dos campos de onda necessários à
aplicação da Condição de Imagem de Correlação Cruzada;
• Emprego das equações integrais do Método dos Elementos de Contorno para
obtenção da resposta sı́smica;
• Implementação da Equação Acústica da Onda com Separação Direcional;
• Implementação da Equação Elástica da Onda;
• Avaliação das possibilidades para a obtenção do ângulo de incidência para um
determinado refletor, considerando-se uma dada geometria de aquisição sı́smica
- Análises de AVA (Amplitude versus Ângulo);
• Implementação de outros esquemas para Estudos de Iluminação Sı́smica envolvendo CFP (Common Focus Point) e Diagrama de Rosa.
149
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157
Apêndice A
Discretização da Equação da Onda 2D
Considere a equação acústica da onda bidimensional com densidade constante dada
por:
∂2 P ∂2 P 1 ∂2 P
+ 2 − 2 2 = f (t)δ(x − x f )δ(z − z f )
∂x2
∂z
c ∂t
(A.1)
A aproximação de quarta ordem para as derivadas espaciais e segunda ordem para as
derivadas temporais será obtida a partir da expansão em série de Taylor de funções [76].
Deste modo, as respectivas expressões de segunda e quarta ordem dessas derivadas são
dadas por:
d2 F(x) F(x − ∆x) + F(x + ∆x) − 2F(x)
=
+ O[(∆x)2 ]
dx2
(∆x)2
(A.2)
d2 F(x) 16F(x − ∆x) + 16F(x + ∆x) − F(x − 2∆x) − F(x + 2∆x) − 30F(x)
=
+ O[(∆x)4 ]
dx2
12(∆x)2
(A.3)
A função O( ) refere-se ao erro de aproximação da derivada, calculado levando-se
em conta o intervalo do grid, de maneira que em uma expressão de quarta ordem, o erro
cometido é da ordem de (∆x)4 .
Adotando-se uma notação que considera os ı́ndices i, k e n se referindo, respectivamente, aos pontos do grid nas direções horizonais e verticais e aos passos de tempo da
simulação. Com essa notação, obtem-se as seguintes representações:
• Campo de Pressão: P(x, z, t) = Pni,k
158
• Fonte: f (t)δ(x − x f )δ(z − z f ) = f n δ(i − i f )δ(k − k f )
Assim, discretizando-se a equação A.1 considerando-se as expressões de derivadas
A.2 e A.3, tem-se:
1
∂2 P
= (P xx )ni,k =
[16Pni−1,k + 16Pni+1,k − Pni−2,k − Pni+2,k − 30Pni,k ]
2
∂x
12(∆x)2
(A.4)
∂2 P
1
= (Pzz )ni,k =
[16Pni,k−1 + 16Pni,k+1 − Pni,k−2 − Pni,k+2 − 30Pni,k ]
2
∂z
12(∆z)2
(A.5)
1
∂2 P
n
= (Ptt )ni,k =
[Pn+1 + Pn−1
i,k − 2Pi,k ]
2
∂t
(∆t)2 i,k
(A.6)
Isolando-se o termo desejado Pn+1
i,k na equação A.6 obtem-se:
2
n
n−1
n
Pn+1
i,k = (∆t) (Ptt )i,k − Pi,k + 2Pi,k
(A.7)
Substituindo-se A.4, A.5 e A.6 em A.1, e ainda considerando-se o espaçamento do
grid como sendo regular (h = ∆x = ∆z) obtem-se:
(Ptt )ni,k =
c2
[(−Pni−2,k + 16Pni−1,k − 30Pni,k + 16Pni+1,k − Pni+2,k ) + (−Pni,k−2 + 16Pni,k−1
2
12h
− 30Pni,k + 16Pni,k+1 − Pni,k+2 ) − (12h2 ) f n δ(i − i f )δ(k − k f )] (A.8)
Finalmente, substituindo-se a equação A.8 em A.7, obtem-se a discretização da
Equação da Onda pelo Método de Diferenças Finitas com aproximações de segunda ordem para derivadas temporais e quarta ordem para derivadas espaciais:
2
Pn+1
i,k = [(∆t)
c2
][(−Pni−2,k +16Pni−1,k −30Pni,k +16Pni+1,k −Pni+2,k )+(−Pni,k−2 +16Pni,k−1 −30Pni,k
12h2
n
+16Pni,k+1 − Pni,k+2 )] − [(∆t)2 c2 ] f n δ(i − i f )δ(k − k f ) − Pn−1
i,k + 2Pi,k (A.9)
Outras discretizações para as Equações da Onda Não-reflexiva ou com Densidade
Variável podem ser obtidas de maneira análoga, substituindo-se as expressões de derivadas parciais por aproximações das derivadas pelo Método das Diferenças Finitas.
159
Apêndice B
Parâmetros de Dispersão e
Instabilidade Numérica
A garantia de estabilidade e não-dispersão numérica é essencial para a aplicação dos
métodos numéricos para a solução de Equações Diferenciais Parciais, em especial na
aproximação pelo Método de Diferenças Finitas.
Nesse esquema, as velocidades de Fase e de Grupo da propagação são grandezas
dependentes do espaçamento do grid utilizado. Desta forma, para que se evite alterações
nessas grandezas acarretando dispersão numérica, deve-se considerar o espaçamento entre
pontos consecutivos do grid h de forma cuidadosa.
Esse espaçamento h deve satisfazer:
h≤
Vmin
α fcorte
(B.1)
Onde considera-se:
• O espaçamento h como sendo regular, ou seja, o espaço entre os pontos do grid é o
mesmo para todas as direções;
• Vmin como sendo a velocidade de propagação mı́nima do modelo;
• fcorte como sendo a frequencia de corte;
• α como sendo o parâmetro empı́rico que determina a quantidade de pontos do
grid necessários para representar o menor comprimento de onda, levando-se em
consideração a menor velocidade de propagação do modelo [14].
160
Da mesma forma, levando-se em consideração o espaçamento h do grid, tem-se que
o passo de tempo dt deve ser limitado para evitar-se instabilidade numérica. De fato, a
informação não pode ser propagada pelo grid mais rapidamente do que a velocidade do
mesmo [32].
Assim, tem-se que dt deve satisfazer:
dt ≤
h
βVmax
(B.2)
E nesse caso, tem-se:
• dt o intervalo de tempo adotado para o modelo em questão;
• Vmax como sendo a velocidade máxima do modelo;
• h como sendo o espaçamento do grid, visto anteriormente;
• β como sendo o parâmetro empı́rico que determina a quantidade de intervalos de
tempo necessários para que a frente de onda percorra uma distância equivalente ao
espaçamento entre os pontos do grid, levando-se em consideração a maior velocidade de propagação do modelo [14].
A seguir foram realizados testes para os parâmetros α e β a fim de observar os efeitos de dispersão e instabilidade numérica nos resultados obtidos, bem como a influência
desses parâmetros em tais resultados.
Os dados dos testes são estes:
• Problema fı́sico considerando dimensões de 10.000 m em ambas as direções;
• tempo de simulação igual a 1.6 s;
• frequencia de corte correspondendo a 60 Hz;
• Velocidade do modelo constante igual a 3000 m/s.
A seguir, resultados para testes com α e β variando entre 1, 2, 2.5, 5 e 10. As figuras B.1, B.2, B.3, B.4, B.5, B.6, B.7, B.8, B.9 apresentam variações de β para α fixo e
variações de α para β fixo.
161
Destaca-se que para que se possibilitem comparações entre os resultados, foi plotada
em cada gráfico a solução de referência, correspondente ao emprego dos parâmetros α = 5
e β = 5, que são tradicionalmente adotados nas simulações executadas.
Sobre as respostas obtidas, destaca-se que os parâmetros para α de 1 a 2.5 se mostraram dispersivos. De igual modo, os parâmetros de β iguais a 2 e 2.5 apresentaram
instabilidade numérica, sendo que o parâmetro igual a 1 resultou em overflow. Como
esperava-se, os parâmetros de alfa e beta iguais a 5 e 10 se mostraram ideais, não havendo
diferenças significativas nas soluções obtidas por meio de ambos.
Figura B.1: Comparação para Alfa 1
162
Figura B.2: Comparação para Alfa 2
Figura B.3: Comparação para Alfa 2.5
163
Figura B.4: Comparação para Alfa 5
Figura B.5: Comparação para Alfa 10
164
Figura B.6: Comparação para Beta 2
Figura B.7: Comparação para Beta 2.5
165
Figura B.8: Comparação para Beta 5
Figura B.9: Comparação para Beta 10
166
Apêndice C
Princı́pio da Reciprocidade
O princı́pio da reciprocidade relaciona duas soluções em um meio onde as posições
de fontes e os receptores de campo são trocados [8].
Um ponto fonte P0 produzirá num ponto receptor P o mesmo efeito que um ponto
fonte localizado em P produzirá no ponto P0 [72]. Observe a ilustração da figura C.1.
Figura C.1: Ilustração do Princı́pio da Reciprocidade para Estudos de Iluminação Sı́smica.
Esse princı́pio é amplamente empregado nas aplicações da Geofı́sica. Nos Estudos
de Iluminação aqui desenvolvidos tal teoria é utilizada, especialmente para que se evitem extrapolações excedentes, com a fonte sı́smica sendo disparada em profundidade, de
modo a se evitar o aumento do custo computacional nas execuções dos programas elaborados.
Com o objetivo de aplicar esse princı́pio e validar os programas numéricos desenvolvidos, testes foram realizados com os seguintes parâmetros:
167
• Modelo com dimensões de 10.000 m para cada direção;
• Velocidades das camadas iguais a: 1.500 m/s, 2.000 m/s e 2.500 m/s conforme
ilustrado na figura C.2;
• Tempo de simulação igual a 3.6s;
• Frequencia de corte correspondendo a 60 Hz.
• Parâmetros α = 5 e β = 5
Figura C.2: Modelo de velocidades para verificação do Princı́pio da Reciprocidade.
Observe os resultados dos testes obtidos nas figuras C.3 e C.4. Em C.3 as Posições 1
e 2 alternam-se como sendo ora fonte, ora receptor. O mesmo foi feito com as Posições 1
e 3, como pode ser observado na figura C.4.
168
Figura C.3: Comparação para fonte e receptor nas posições 1 e 2.
Figura C.4: Comparação para fonte e receptor nas posições 1 e 3.
169
Apêndice D
Obtenção da Resposta Sı́smica por meio
da Equação Integral do Método dos
Elementos de Contorno
D.1
Desenvolvimento da Equação Integral
As equações integrais do Método dos Elementos de Contorno fornecem um amplo campo de aplicações, sobretudo nos problemas da Engenharia e da Geofı́sica de
Exploração. Com o emprego dessas equações, importantes conceitos e resultados para a
extrapolação do campo de ondas podem ser obtidos e aplicados no sentido de se avaliarem
as metodologias para os Estudos de Iluminação Sı́smica aqui abordados e, principalmente,
na investigação do valor de iluminação discutido no capı́tulo 5.
Como abordado no capı́tulo 5, a reconstrução dos campos de onda a partir dos conceitos da função de Green se faz necessária porque com o emprego do Princı́pio da Reciprocidade, durante a modelagem as fontes são disparadas em profundidade e as respostas são
registradas na superfı́cie do modelo, de modo que não são obtidos diretamente os campos
de onda Ascendente e Descendente necessários à aplicação das condições de imagem de
Correlação Cruzada e de Deconvolução.
Neste apêndice, além de se obter a equação integral para aplicação dos conceitos da
função de Green dentro da metodologia adotada, pretende-se realizar testes numéricos
para obtenção da resposta sı́smica e avaliação da mesma.
Retornando-se à equação da onda acústica (2.14) e substituindo-se a variável P por
170
u bem como a fonte sı́smica f (t) por γ, como adotado tradicionalmente na literatura
[3],[75],[71], tem-se:
∇2 u =
1 ∂2 u
+γ
c2 ∂t2
(D.1)
A fim de que sejam garantidas a existência e a unicidade da solução desejada, são
acrescentadas condições iniciais e de contorno. Deste modo, consideram-se as condições
iniciais:
u(x, z, 0) = u0 (x, z)
(D.2)
v(x, z, 0) = v0 (x, z)
(D.3)
no domı́nio Ω para o tempo t = 0.
São consideradas também as condições de contorno:
u = u em Γ1
p=
∂u
= p em Γ2
∂n
(D.4)
(D.5)
onde Γ = Γ1 ∪ Γ2 e n é a coordenada do vetor unitário ~n, normal ao contorno Γ.
Considerando-se u∗ como sendo a solução fundamental que representa o efeito a uma
fonte γ = −4πδ(q − s)δ(t − τ) que retrata um impulso no tempo t = τ localizado em
q = s, com q sendo o ponto campo observado e s o ponto fonte [3]. Note que q e s são
dependentes das direções x e z, conforme ilustrado na figura D.1.
Pode-se reescrever a equação D.1 como:
1 ∂2 u ∗
∇ u − 2 2 = −4πδ(q − s)δ(t − τ)
c ∂t
2 ∗
(D.6)
A propriedade de reciprocidade da solução fundamental [3] garante que:
u∗ (q, t; s, τ) = u∗ (s, −τ; q, −t)
(D.7)
Assim, a equação D.6 pode ser reescrita como:
∇2 u∗ (q, t; s, τ) −
1 ∂2 u∗ (q, t; s, τ)
= −4πδ(q − s)δ(t − τ)
c2
∂t2
171
(D.8)
Figura D.1: Definição de q e s, baseado em MANSUR [3].
Para se obter a equação integral de contorno, devem ser consideradas as distribuições
de potencial u∗ e u respectivamente sobre as regiões (Ω ∪ Γ) e (Ω∗ ∪ Γ∗ ) que contem as
mesmas propriedades fı́sicas e são tais que (Ω ∪ Γ) ⊂ Ω∗ conforme representado na figura
D.2.
Figura D.2: Configuração de domı́nio e contorno na equação desenvolvida.
Uma abordagem baseada no método dos resı́duos ponderados [75],[73] para o pro172
blema em questão pode ser empregada para que sejam obtidas as expressões matemáticas
matriciais caracterı́sticas do Método dos Elementos de Contorno, a qual se baseia na
representação da solução por uma combinação linear, como segue:
u(x) =
n
X
αi Φi (x)
(D.9)
i=1
sendo Φi (x) um conjunto de funções linearmente independentes e αi incógnitas a serem determinadas.
De maneira geral, as respostas obtidas para o problema de propagação da onda
acústica dadas pelos métodos numéricos são na verdade soluções aproximadas, ou seja,
não atendem exatamente a equação proposta. Assim, torna-se apropriada a realização
de uma avaliação sobre o quanto a solução aproximada difere da solução analı́tica
empregando-se para isso sentenças de resı́duos [75]:
RΩ = ∇2 u −
1 ∂2 u ∗
+γ
c2 ∂t2
(D.10)
R1 = u − u em Γ1
(D.11)
R2 = p − p em Γ2
(D.12)
A idéia de se minimizar o resı́duo entre a solução aproximada e a solução analı́tica
leva a:
Z
0
t+
Z
Ω
RΩ wi dΩdτ +
Z
0
t+
Z
Γ2
R2 wi dΓdτ +
Z
0
t+
Z
Γ1
R1 wi dΓdτ
(D.13)
E neste caso, wi , wi e wi são funções de ponderação previamente selecionadas.
No Método dos Elementos de Contorno, as funções de ponderação adotadas são:
wi = u∗ em Ω
(D.14)
wi = −u∗ em Γ2
(D.15)
wi = p∗ em Γ1
(D.16)
173
Substituindo-se D.10 a D.12 e D.14 a D.16 na equação D.13 tem-se:
t+
Z
1 ∂2 u
(∇ u − 2 2 + γ)u∗ dΩdτ −
c ∂τ
Ω
Z
t+
Z
Z
0
(p − p)u dΓdτ +
t+
Z
Z
∗
2
Γ2
0
Γ1
0
(u − u)p∗ dΓdτ = 0
(D.17)
Deste modo, o problema pode ser reescrito pelo método dos resı́duos ponderados [75]
como:
t+
Z
1 ∂2 u
(∇ u− 2 2 +γ)u∗ dΩdτ =
c ∂τ
Ω
Z
t+
Z
Z
0
Z
t+
Z
∗
2
(u−u)p∗ dΓdτ (D.18)
(p−p)u dΓdτ−
0
E para essa equação tem-se p∗ =
∂u∗
∂n
Γ2
Γ1
0
e t+ = t + para arbitrariamente pequeno a
fim de que se evite que a integração seja encerrada exatamente sobre o impulso da função
delta de Dirac [3], onde a função é singular.
Aplicando o Teorema da Divergência1 duas vezes ao termo que contém o operador
Laplaciano ∇2 u tem-se:
t+
Z
Z
Ω
0
(∇ u)u dΩdτ =
t+
Z
Z
∗
2
u(∇ u ) dΩdτ +
Z
t+
Z
2 ∗
Ω
0
0
Γ
pu∗ dΓdτ
Z t+ Z
+
up∗ dΓdτ (D.19)
0
Γ
Integrando-se por partes2 duas vezes com relação a τ o termo que contém a derivada
temporal
∂2 u
∂τ2
obtem-se:
t+
Z
Z
Ω
0
#t + Z t + Z
"
∂u ∗ ∂u∗
∂2 u ∗
∂2 u
u
dΓdτ
=
u
−
u
+
dΓdτ
u
2
∂τ2
∂τ
∂τ 0
0
Γ ∂τ
(D.20)
Substituindo-se D.19 e D.20 na equação D.18, tem-se:
t+
Z
Z
0
Γ
∗
t+
1 ∂2 u∗
)udΓdτ
c2 ∂τ2
0
Γ
#t+
Z t+ Z
Z " ∗
1
∂u
∂u ∗
∗
+
u γdΓdτ + 2
u − u dΩ = 0 (D.21)
c Ω ∂τ
∂τ 0
0
Γ
(u p − up )dΓdτ +
∗
Z
Z
(∇2 u∗ −
Teorema da Divergência - Para uma região fechada Ω o Teorema da Divergência pode ser escrito como:
R
div f dΩ = Γ f.n dΓ [73].
Ω
R
2
Integral por Partes - Dadas duas funções diferenciáveis f e g , tem-se
f (x)g0 (x) dx = f (x)g(x) −
1
R
R
g(x) f 0 (x) dx [74].
174
A propriedade de causalidade da solução fundamental [3] garante que:
u∗ (q, t; s, τ) = 0 sempre que c(t − τ) < |q − s|
(D.22)
o que, levando-se em conta a equação D.8, implica em:
|
∂u∗ t=t+
∂u
+
u| = | u∗ |t=t = 0
∂τ
∂τ
(D.23)
e por isso, a equação D.21 pode ser reescrita como:
Z
t+
Z
t+
Z
∗
Z
∗
(u p − up )dΓdτ −
0
Γ
0
Γ
dΓdτ +
Z
t+
Z
1
u γdΓdτ − 2
c
Γ
Z
∗
0
Ω
[v∗0 u0 − v0 u∗0 ]dΓ = 0
(D.24)
| e u∗0 = |u∗ |τ=0 .
para a qual tem-se v∗0 = | ∂u
∂τ τ=0
∗
Quando as propriedades da função delta de Dirac são aplicadas ao segundo termo da
equação D.24 a seguinte integral é obtida:
Z t+ Z
Z t+ Z
1
∗
u(s, t) =
[
u (q, t; s, τ)p(q, τ) dΓdτ −
p∗ (q, t; s, τ)u(q, τ) dΓdτ
4π 0
Γ
Γ
Z
Z0
1
1
∗
∗
− 2
v (q, t; s)u0 dΩ(q) + 2
u (q, t; s)v0 dΩ(q)
c Ω 0
c Ω 0
Z t+ Z
+
u∗ (q, t; s, τ)γ(q, τ) dΓdτ] (D.25)
Ω
0
que é a equação integral baseada no Método de Elementos de Contorno a ser utlizada
para o problema de propagação da Onda Acústica [3].
A mesma pode ser reescrita como:
Z Z t+
Z Z t+
1
∗
u(s, t) =
[
u (q, s, t − τ)p(q, τ) dΓdτ −
p∗ (q, s, t − τ)u(q, τ) dΓdτ
4π Γ 0
Γ 0
Z
Z
1
1
∗
v0 (q, t; s)u0 dΩ(q) + 2
u∗0 (q, t; s)v0 dΩ(q)
− 2
c Ω
c Ω
Z Z t+
+
u∗ (q, s, t − τ)γ(q, τ) dΓdτ] (D.26)
Γ
0
que pela definição de convolução pode ser simplificada em:
c(s)u(s, t) =
Z
Z
∗
u ∗ p dΓ −
Γ
Γ
175
p∗ ∗ u dΓ + u∗ ∗ f
(D.27)
Sendo p dado por:
p=
∂u ∂u ∂r
=
∂n ∂r ∂n
(D.28)
A equação integral D.27 obtida pode ser empregada para a reconstrução dos campos
de onda Ascendente e Descendente necessários aos Estudos de Iluminação empregandose as metodologias propostas nos capı́tulos 4 e 5. Para tanto, testes numéricos foram
realizados a fim de que os conceitos sobre a função de Green fossem verificados. As
etapas dos testes numéricos realizados são destacadas na seção a seguir.
D.2
Exemplo Numérico de Obtenção da Resposta
Sı́smica
O exemplo numérico aqui descrito tem como objetivo o cálculo da resposta sı́smica
a partir dos conceitos que envolvem a equação integral do Método dos Elementos de
Contorno obtida na seção anterior. Ressalta-se que nos testes desenvolvidos empregou-se
o programa de Modelagem Acústica Bidimensional, baseado no Método de Diferenças
Finitas para propagação do campo de ondas e consequente cálculo da denominada
Pseudofunção de Green do meio (vide capı́tulo 5).
Para uma melhor compreensão do teste realizado serão descritas a seguir as etapas
desenvolvidas para obtenção dos resultados. A figura D.3 é apresentada de forma a ilustrar
o procedimento sobretudo as posições de fonte e receptores. O modelo de velocidades
adotado tem dimensões de 6000m de largura por 4000m de profundidade e velocidade
constante igual a 3000 m/s.
1. Obtenção da resposta em subsuperfı́cie a partir do disparo da fonte em s.
Inicialmente, impõe-se a condição de contorno p = 0 na parte inferior do modelo
para obtenção do campo u a partir de uma fonte detonada em s. Também é feita a
simulação de meio semi-infinito para obtenção do campo u∗ e nesse caso, a fonte é
detonada em q e a resposta registrada em subsuperfı́cie. A partir do registro de u∗ ,
calcula-se p∗ =
∂u∗
,
∂n
como representado na figura D.4.
2. Transferência da resposta obtida em subsuperfı́cie para o ponto q.
176
Figura D.3: Apresentação do modelo de velocidades com posições de fonte (s) e receptores (q) para o exemplo numérico. A figura A representa a configuração adotada para a
primeira etapa. A figura B representa a segunda etapa com o disparo da fonte dado no
ponto q. Já a figura C ilustra a terceira etapa, na qual é obtida a resposta direta.
A transferência da resposta sı́smica se dá pela aplicação da equação de contorno
D.26 onde emprega-se a resposta registrada na etapa anterior a partir de uma fonte
detonada em s. A representação deste esquema encontra-se na figura D.5.
Como prescreveu-se p = 0, a equação D.26 deve ser reescrita levando-se em conta
essa variável e o fato de não haver fontes sendo detonadas nesta etapa. Deste modo,
R
a equação torna-se simplesmente u(q, t) = − Γ p∗ ∗ u dΓ, sendo necessário apenas
o cálculo desta integral para obtenção da resposta no ponto q.
3. Obtenção da resposta direta para comparação com o resultado obtido por meio da
equação integral no item anterior.
As etapas anteriores empregam conceitos da equação integral de modo a dividir em
passos o cálculo da resposta sı́smica. Deste modo, faz-se necessária a obtenção
da resposta direta, que nesse caso consiste do traço sı́smico gerado a partir da
177
Figura D.4: Ilustração da Etapa 1.
Figura D.5: Ilustração da Etapa 2.
detonação da fonte no ponto s e registrado em q, tendo-se fixada a condição de
contorno p = 0 na borda inferior do modelo, conforme ilustrado na figura D.6.
Essa resposta direta será útil para a comparação com as respostas obtidas a partir
dos conceitos da equação integral.
178
Figura D.6: Ilustração da Etapa 3.
Variando-se as posições dos pontos s e q, testes foram realizados de acordo com o procedimento descrito anteriormente. As respostas encontram-se na tabela D.1, bem como
as posições de cada par fonte-receptor considerado.
Tabela D.1: Tabela de Resultados.
Par F-R
Fonte
Receptor
Dist F-R
Amp Máx Numérica
Amp Máx Integral
Diferença
Quociente
r1 , r2
(101,1)
(501,1)
400 pts
0.313084602
0.310376942
0.00270766
1.00872378
p1 , p2
(151,1)
(451,1)
300 pts
0.333286166
0.32984969
0.003436476
1.010418309
n1 , n2
(201,1)
(401,1)
200 pts
0.35298875
0.348165095
0.004823655
1.013854505
m1 , m2
(251,1)
(351,1)
100 pts
0.367895573
0.361893564
0.006002009
1.016585011
A figura D.7 apresenta o campo u em cada posição fonte-receptor estudada e a figura
D.8 apresenta a derivada do campo com relação à direção normal (p∗ ). Para esses sismogramas, foram realizadas as respectivas convoluções entre o campo u e a derivada p∗ de
modo que, traço a traço os sismogramas foram convolvidos e dispostos ordenadamente
em novos sismogramas representados na figura D.9. A etapa final de obtenção da resposta
sı́smica consiste do cálculo da integral de contorno, que nesse caso é um somatório dos
traços levando-se em consideração o espaçamento da malha. As respostas obtidas ao final
do cálculo da integral para cada par fonte-receptor estão apresentadas nas figuras D.10(a),
179
D.10(b), D.11(a) e D.11(b).
As figuras D.12 representam uma comparação entre as amplitudes obtidas com relação
ao afastamento (offset) e ao ângulo de incidência, respectivamente, para cada par fontereceptor considerado nesse exemplo. O que se observa é que a amplitude decresce proporcionalmente com relação ao afastamento (offset) e ao ângulo.
Observa-se pela figura D.13 que a chegada dos sinais nos receptores foram registradas em tempos distintos devido, obviamente, à diferença entre os pares fonte-receptor
utilizados. Mesmo assim destaca-se que a resposta, em ambos os casos, empregando-se
os conceitos da equação integral do Método dos Elementos de Contorno, é consideravelmente parecida com a resposta calculada diretamente na modelagem. A diferença
existente pode ser atribuı́da aos erros de arredondamento inerentes ao processo de cálculo
numérico adotado (precisão finita na representação dos valores).
180
(a) Campo u para o par m1 − m2 .
(b) Campo u para o par n1 − n2 .
(c) Campo u para o par p1 − p2 .
(d) Campo u para o par r1 − r2 .
Figura D.7: Respostas do campo u para os diferentes pares fonte-receptor empregados.
181
(a) Resposta p∗ para o par m1 − m2 .
(b) Resposta p∗ para o par n1 − n2 .
(c) Resposta p∗ para o par p1 − p2 .
(d) Resposta p∗ para o par r1 − r2 .
Figura D.8: Respostas de p∗ para os diferentes pares fonte-receptor empregados.
182
(a) Convolução entre u e p∗ para o
(b) Convolução entre u e p∗ para o
par m1 − m2 .
par n1 − n2 .
(c) Convolução entre u e p∗ para o
(d) Convolução entre u e p∗ para o
par p1 − p2 .
par r1 − r2 .
Figura D.9: Respostas das convoluções para os pares fonte-receptor empregados.
183
(a) Resposta da integral para o par m1 − m2 .
(b) Resposta da integral para o par n1 − n2 .
Figura D.10: Respostas das integrais para os diferentes pares fonte-receptor empregados.
184
(a) Resposta da integral para o par p1 − p2 .
(b) Resposta da integral para o par r1 − r2 .
Figura D.11: Respostas das integrais para os diferentes pares fonte-receptor empregados.
185
(a) Comparação Offset x Amplitude
(b) Comparação Ângulo x Amplitude
Figura D.12: Comparação entre as Amplitudes obtidas com offset e ângulo.
186
Figura D.13: Comparação entre as respostas para todos os pares fonte-receptor considerados.
187