ENERGIA NAS DESINTEGRAÇÕES NUCLEARES
Fis.Rad.I - 2004/1 Notas de aula (Prof. Stenio Dore)
(Dated: April 26, 2004)
MASSA DE UM ÁTOMO
Note que UZ (Ze) e UZ+1 (Ze) são quantidades diferentes.
Explique!
Usando o que aprendemos de Relatividade, podemos
escrever que para um átomo A
Z X:
A
2
m(A
Z X) = m([Z X]) + m(Ze) + UZ (Ze)/c
onde [A
Z X] representa o núcleo apenas e a energia de ligação dos Z elétrons ao núcleo de carga Z é dada por
UZ (Ze) < 0, negativa por tratar-se de um sistema ligado
– a massa do átomo é, portanto, menor que a soma das
massas do núcleo e dos Z elétrons, é necessário fornecer
energia ao sistema para separá-lo em suas partes. No caso dos núcleos instáveis, como vimos, ocorre o oposto e a
massa do núcleo instável é maior que a soma das massas
do núcleo final e da(s) partı́cula(a) emitida(s)– o sistema
libera energia espontaneamente.
FIG. 1: Desintegração β −
DESINTEGRAÇÃO β −
Nas figuras 1 e 2 temos representações da desintegração
β − . Como vimos, no núcleo ocorre a transformação
n → p + β− + ν
O próton permanece no núcleo, aumentando em uma unidade o número atomico Z. A partı́cula β − , que é um
elétron, escapa do núcleo e do átomo em altı́ssima velocidade, bem como o (anti-)neutrino, partı́cula sem carga elétrica e massa zero (ou quase zero), que se move à
velocidade da luz (ou quase). Para podermos usar as considerações de conservação de massa-energia relativı́sticas
que estudamos anteriormente, temos de isolar o nosso sistema (“nada entra, nada sai”). Então, do lado direito da
Fig.1, o núcleo tem Z+1 prótons e a camada eletrônica
ainda está com Z elétrons – depois este ion positivo capturará um elétron do meio, tornando-se um átomo neutro
(Z+1 prótons e Z+1 elétrons). Mas esse elétron não faz
parte do sistema em análise, sendo externo a ele e não
entra no cômputo das massas. Do lado esquerdo da Fig.1
temos:
2
m([A
Z X]) + m(Ze) + UZ (Ze)/c
que, é claro, é a massa do átomo m(A
Z X) e do lado direito:
2
−
2
m([A
Z+1 X])+m(Ze)+UZ+1 (Ze)/c +m(β )+energia/c
onde foi usado que a massa do (anti-)neutrino é nula.
Como a β − é um elétron, podemos escrever a última
equação como:
2
2
m([A
Z+1 X]) + m({Z + 1}e) + UZ+1 (Ze)/c + energia/c
FIG. 2: Desintegração β −
Então, a menos da energia de ligação de um elétron da
última camada, da ordem de eletronvolt, podemos reescrever a equação para o lado direito como:
2
m(A
Z+1 X) + energia/c
A conservação da massa-energia relativı́stica resulta
em:
A
2
m(A
Z X) = m(Z+1 X) + energia/c
Que, para fazermos uso da Tabela de Massas Atomicas,
precisamos transformar assim:
A
energia = {m(A
Z X) − m(Z+1 X)}
c2 u
u
ou, finalmente:
A
energia = {M(A
Z X) − M(Z+1 X)} × 931, 494 MeV
Se o núcleo final [A
Z X] estiver no estado fundamental,
como na emissão da β2 na Fig.2, toda essa energia aparecerá como energia cinética compartilhada pela partı́cula
β e o neutrino, sendo o valor máximo Tmax que um deles pode ter (nesse caso o outro tem zero). Se, como na
emissão da β1 na Fig.2, o núcleo final estiver em estado
2
FIG. 3: Desintegração β +
FIG. 5: Captura eletronica - EC
CAPTURA ELETRONICA - EC
Na Fig.5 temos uma representação do que acontece.
Este é um processo competitivo com a desintegração β + ,
um elétron da camada K é capturado pelo núcleo e nele
p+e→n+ν
FIG. 4: Desintegração β +
excitado, armazenando uma energia U ∗ > 0, esta parcela
não estará disponı́vel como energia cinética. Então, de
modo geral, podemos escrever:
A
∗
Tmax = {M(A
Z X) − M(Z+1 X)} × 931, 494 MeV − U (1)
O núcleo final é [A
Z−1 X], exatamente como no caso da
desintegração β + , e como somente o neutrino é emitido
ele sempre sai com a energia máxima disponı́vel. No lado
direito temos agora:
2
2
m([A
Z−1 X])+m({Z−1}e)+UZ−1 ({Z−1}e)/c +energia/c
Lembrando que, como o elétron capturado é de camada
atomica interna, a energia envolvida para isso é da ordem
de keV, não sendo de todo desprezı́vel. O procedimento
usual nos permite chegar a
A
∗
Tν = {M(A
Z X) − M(Z−1 X)} × 931, 494 MeV − U
DESINTEGRAÇÃO β +
Nas figuras 3 e 4 temos representações da desintegração
β + . Como vimos, no núcleo ocorre a transformação
− (WB )K
(3)
onde (WB )K é o trabalho necessário para remover o
elétron da camada K.
p → n + β+ + ν
DESINTEGRAÇÃO ALFA
O neutron permanece no núcleo, diminui em uma unidade o número atomico Z. A partı́cula β + , que é um
elétron positivo ou pósitron, escapa do núcleo e do átomo
em altı́ssima velocidade, bem como o neutrino.
Como a carga nuclear cai de uma unidade, um elétron
da camada eletronica mais externa é liberado em repouso.
Podemos escrever para o lado direito da Fig.3:
Nas figuras 6 e 7 temos representações da desintegração
α. O núcleo final é [A−4
Z−2 X] e dois elétrons de camada
externa são liberados em repouso. A alfa é um núcleo
de He, um ion de carga 2+, que ao mover-se no meio irá
finalmente capturar dois elétrons e formar um átomo de
He neutro em repouso – entretanto, esses são outros dois
elétrons, externos ao sistema, não entrando no cálculo.
A partı́cula é expelida sozinha do núcleo, escapando por
efeito túnel, não compartilhando energia com outras e
sendo assim sai sempre com a energia máxima disponı́vel.
Como sempre, parte da energia liberada pode ficar retida
como energia de excitação U ∗ do núcleo final, reduzindo
a energia cinética da partı́cula. Um fator de redução
adicional tem de ser considerado agora devido à massa
da alfa – a energia cinética de recuo do núcleo.
No lado direito da Fig.6 temos:
2
m([A
Z−1 X]) + m({Z − 1}e) + UZ−1 ({Z − 1}e)/c +
+ m(e) + m(β + ) + energia/c2
que, agrupando termos, resulta em:
2
m(A
Z−1 X) + 2m(e) + energia/c
Seguindo agora os mesmos passos dados no caso da β − :
A
∗
Tmax = {M(A
Z X) − M(Z−1 X)} × 931, 494 MeV − U
− 1, 022 MeV
(2)
2
m([A−4
Z−2 X]) + m({Z − 2}e) + UZ−2 ({Z − 2}e)/c +
+ m(2e) + m(α++ ) + energia/c2
3
FIG. 6: Desintegração α
FIG. 8: Exemplo 1
FIG. 7: Desintegração α
FIG. 9: Exemplo 2
que, agrupando termos e desprezando a energia de ligação
de dois elétrons, resulta em:
2
m(A−4
Z−2 X) + m(He) + energia/c
O procedimento usual nos permite chegar a
A−4
∗
Tmax = {M(A
Z X) − M(Z−2 X)} × 931, 494 MeV − U
− M(42 He) × 931, 494 MeV
(4)
Levando em conta o recuo do núcleo, obtemos finalmente:
Tmax
Tα =
4
1 + M(2 He)/M(A−4
Z−2 X)
FIG. 10: Exemplo 3
(5)
GAMA × CONVERSÃO INTERNA (IC)
Vimos que um núcleo excitado, com energia interna
U ∗ , pode liberar essa energia por emissão de radiação
gama, ver por exemplo as figuras 9 e 10. Entretanto,
como mostrado na Fig.8 há um outro modo de desexcitação que compete com ele – a conversão interna. Em
vez de ser emitido um gama de energia U ∗ é emitido um
elétron atomico, mais provavelmente da camada K, com
energia U ∗ − (WB )K . Logo em seguida são emitidos RX
caracterı́sticos e/ou elétrons Auger!.
EXEMPLOS
Exemplo 1: Obter as energias máximas das β1
e β2 na Fig.8 .
Na tabela temos M(137
55 Cs)=
136,907073 e M(137
56 Ba)=136,905812. Então: Tmax (β2 ) =
(136, 907073 − 136, 905812) × 931, 494MeV = 1, 175MeV.
E Tmax (β1 ) = 1, 175MeV − 0, 662MeV = 0.513MeV
Exemplo 2: Obter a energia máxima da β + e a energia do neutrino de EC na Fig.9 . Na tabela temos
22
M(22
Então:
11 Na)= 21,994434 e M(10 Ne)=21,991383.
+
Tmax (β ) = (21, 994434 − 21, 991383) × 931, 494MeV −
1, 275MeV − 1, 022MeV = 0.545MeV. E a do neutrino Tν = (21, 994434 − 21, 991383) × 931, 494MeV −
1, 275MeV − 0, 001MeV = 1.566MeV
Exemplo 3: Obter as energias das α1 e α2 na
Fig.10 . Na tabela temos M(226
88 Ra)= 226,025403 e
M(222
86 Rn)=222,017571. Então: Tmax,2 = (226, 025403 −
222, 017571 − 4, 002603) × 931, 494MeV = 4.870782MeV.
4.870782MeV
Então Tα2 = 1+4,002603/222,017571
= 4, 784MeV
Analogamente,
0, 1862MeV =
Tmax,1
=
4.684582MeV.
4.684582MeV
1+4,002603/222,017571 = 4.602MeV
4.870782MeV −
Então Tα1 =