Teoria de Integração
Arcos e Contornos
Definimos arco contínuo como sendo um conjunto C de pontos
do tipo c = {z (t ) = x(t ) + iy (t ), a ≤ t ≤ b} , onde z(t) é uma função
contínua de t.
Chama-se arco de Jordan ou arco simples aquele em que cada
ponto z(t) corresponde a um único valor de t.
Chama-se curva fechada a todo arco cujas extremidades z(a) e
z(b) coincidem; e curva fechada simples ou curva de Jordan a
toda curva fechada cujos pontos, a exceção das extremidades,
sejam todos simples.
Uma região R é dita simplesmente conexa se qualquer curva
simples fechada contida em R pode ser reduzida a um ponto,
permanecendo em R. Uma região é multiplamente conexa se
não é simplesmente conexa.
Uma região simplesmente conexa é aquela que não possui
buracos.
Teorema da Curva de Jordan
Uma curva de Jordan divide o plano em duas
regiões, tendo como fronteira comum a curva.
A região limitada é a região interior à curva,
enquanto a outra é a região exterior ou fora da
curva.
A região interior a uma curva simples fechada é
uma região simplesmente conexa e cuja fronteira
é a curva simples fechada.
z (t ) : [ a, b ] → C trajetória. Dizemos
que z(t) é suave se z’(t) existe ∀t ∈ (a, b) e z' (t ) ≠ 0.
Suponha
Chamaremos contorno ou caminho a todo arco
contínuo que consiste de um número finito de
arcos regulares.
A fronteira ou contorno de uma região diz-se
orientada no sentido ou direção positiva se o
observador, percorrendo-a no sentido indicado,
tiver a região à sua esquerda.
Símbolo:
∫
f ( z ) dz
(integração de f(z) ao
C
longo da fronteira
C no sentido positivo).
Integração Complexa e Teorema de Cauchy
Seja f(z) uma função contínua em todos os pontos de uma
curva C.
n
n
1
1
S n = ∑ f (ξ k )( z k − z k − 1 ) = ∑ f (ξ k ) ∆ z k
b
∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz
a
C
zk-1 zk
Integral de linha complexa, integral de linha de f(z) ao longo
da curva C.
Considerações:
Integrais de linha reais
Se P(x, y) e Q(x, y) são funções reais de x e y
contínuas em todos os pontos da curva C, a
integral de linha real de Pdx + Qdy ao longo da
curva C pode ser definida como
I = C∫ Pdx + Qdy
Se C é suave e tem equações paramétricas
x = φ ( t ) e y = ψ ( t ), onde t1 ≤ t ≤ t 2 , o valor de
(I) é dado por:
t2
t2
t1
t1
'
'
{
P
(
φ
(
t
),
ψ
(
t
))
φ
(
t
)}
dt
+
{
Q
(
φ
(
t
),
ψ
(
t
)).
ψ
(t )}d t
∫
∫
Seja f(z) = u + iv uma função contínua em C. A
integral de linha complexa pose ser expressa em
termos das integrais de linhas reais por
∫ f (z)dz = ∫ (u +iv)(dx+idy) = ∫ udx−vdy+i ∫ vdx+udy
C
C
C
C
Teorema de Greem no plano
Sejam P(x, y) e Q(x, y) funções contínuas com
derivadas parciais contínuas numa região R e
sobre sua fronteira C.
 ∂Q
∂P
I = ∫∫ 
−
∂y
R  ∂x

 dxdy

Teorema de Cauchy : Seja f(z) uma função analítica
em R e sobre sua fronteira C. Então
∫ f (z)dz = ∫ udx− vdy+ i ∫ vdx+ udy = 0
C
C
C
Se f(z) é uma função contínua em C.
Representação do contorno C, z(t) = z, a ≤ t ≤ b ,
b
definimos
∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ( t )) z ' ( t ) dt
C
a
Seja F(t) = u(t) + i v(t) uma função contínua na
variável t num intervalo [a, b].
b
b
∫ F ( t ) dt = ∫ F ( t ) dt = ∫ F ( z ( t )) z ' ( t ) dt =
a
C
b
a
b
= ∫ { u ( t ) x ' ( t ) − v ( t ) y ' ( t )} dt + i ∫ { v ( t ) x ' ( t ) + u ( t ) y ' ( t )} dt
a
a