O limite de uma sequência de soluções estacionárias das
equações de Euler e soluções generalizadas
Juliana C. Precioso,
Depto de Matemática, IBILCE, UNESP,
15054-000, São José do Rio Preto, SP
E-mail: [email protected]
Resumo: Neste trabalho, apresentamos uma interessante famı́lia de soluções estacionárias das
equações de Euler, as quais apresentam o mesmo comportamento das soluções aproximadas discutidas em [4].
Palavras-chave: Equações de Euler, fluidos incompressı́veis, soluções generalizadas.
1
Introdução
Um fluido incompressı́vel movendo-se no interior de D ⊂ Rn é classicamente descrito por um
campo de velocidades u(t, x) e um campo pressão p(t, x), sujeito as equações de Euler:
½
∂t u + (u · ∇)u + ∇p = 0
(1)
∇ · u = 0,
com u tangente a ∂D.
Em mecânica clássica, ver [1], o movimento de um fluido incompressı́vel e inviscido em um
domı́nio compacto D ⊂ Rn , pode ser visto como uma geodésica em G(D), o grupo de todos os
difeomorfismos de D, com determinante jacobiano unitário. G(D) é um subconjunto de S(D),
o semigrupo de todas as aplicações de Borel h, definidas em D, que satisfazem
Z
Z
f (h(x))dx =
f (x)dx, ∀f ∈ C 0 (D).
D
D
Para mais detalhes veja [1], [2] ou [4]. Denotaremos
n
V := u : [0, T ] × D −→ Rn tal que u ∈ C 0 (Q), u(t, ·) ∈ Lip(D)
uniformemente em 0 ≤ t ≤ T, div u = 0, u(t, ·) · n
b¯¯
o
=0 .
∂D
Note que o fluxo (t, x) 7→ g(t, x), o qual descreve o movimento das partı́culas do fluido é
definido por
½
∂t g(t, x) = u(t, g(t, x))
(2)
g(0, x) = x.
Pelo teorema de Cauchy-Lipschitz, para cada u ∈ V, existe uma única solução de (2) e
para cada tempo t a aplicação g(t, x) = g(t, ·) ∈ G(D). Então, através de cálculos elementares,
podemos substituir as equações de Euler pelas seguintes equações equivalentes:
½ 2
∂tt g(t, x) + ∇p(t, g(t, x)) = 0
(3)
det Dx g(t, x) = 1.
311
Chamaremos (3) de “formulação lagrangiana” das equações de Euler.
Do ponto de vista geométrico, diferente do ponto de vista natural das EDP’s, que consiste
na resolução das equações de Euler como uma equação de evolução, com o campo de velocidades
inicial prescrito, é natural resolver o problema de minimizar a ação
1
A(g) =
2
Z
Z
T
0
D
|∂t g(t, x)|2 dxdt,
entre todas as trajetórias em G(D) conectando g(0, ·) = Id e g(T, ·) = h.
O sistema de EDP’s correspondente é a formulação lagrangiana das equações de Euler (3).
A existência e a unicidade de soluções para este problema foram estabelecidas rigorosamente
em 1970 por D. G. Ebin e J. Marsden, ver [6]. Mais precisamente, Ebin e Marsden mostraram que
se h é uma aplicação que preserva volume e que pertence a um espaço de Sobolev de ordem alta
e encontra-se em uma vizinhança suficientemente pequena da aplicação identidade, então existe
uma única geodésica conectanto h à aplicação identidade que minimiza a ação. No entanto, em
[10], A. I. Shnirelman mostrou que em dimensão três, existem alvos h ∈ G(D), para um certo
D, para os quais não existe uma geodésica minimal conectando h à aplicação identidade.
Para resolver o problema de encontrar geodésicas minimais em um sentido generalizado, em
particular para h na classe de Shnirelman, foram introduzidas “medidas de Young”, (ver [12] e
[13]) de diferentes maneiras como em [3], [4], [10] e [11]. Em [3], foi utilizado um conceito que leva
em consideração a dinâmica das partı́culas. Para cada curva t ∈ [0, T ] 7−→ z(t) ∈ D, associa-se
a probabilidade de que ela seja trajetória de alguma partı́cula material. Mais precisamente, foi
proposta uma noção de fluxo generalizado, como sendo uma medida de probabilidade no conjunto
Ω = D[0,T ] de todas as curvas t ∈ [0, T ] −→ z(t) ∈ D, isto é, uma medida de probabilidade de
Borel µ, no espaço produto Ω = D[0,T ] , tal que cada projeção
Z Z T µt para 0 ≤ t ≤ T é a medida de
1 0
|z (t)|2 dµt (z)dt.
Lebesgue em D. A ação neste contexto é expressa por
Ω 0 2
Em [4], o problema de encontrar geodésicas minimais foi reformulado em termos de um par
de medidas associadas ao campo de velocidades u, solução das equações de Euler, da seguinte
maneira: dada uma trajetória suave t ∈ [0, T ] 7→ g(t, x) ∈ G(D), definimos as medidas (não
negativa e a valores vetoriais, respectivamente)
c(t, x, a) = δ(x − g(t, a)),
m(t, x, a) = ∂t g(t, a)δ(x − g(t, a)),
(4)
0
em Q = [0, T ] × D × D. Estas medidas satisfazem
Z
c(t, x, a)da = 1,
(5)
D
∂t c + ∇x · m = 0,
c(0, x, a) = δ(x − a);
c(T, x, a) = δ(x − h(a)).
(6)
(7)
Além disso, a medida m é absolutamente contı́nua comZrelação
a c, com uma densidade
1Z
1
0
|v(t, x, a)|2 c(t, x, a)dxda, ou
v ∈ L2 (Q , dc), tal que m = cv e a ação é dada por A(g) =
2 0 D
equivalentemente, A(g) = K[c, m], onde
K[c, m] := sup{hc, F i + hm, Φi},
(8)
X
¾
½
³
´n
1
0
0
(F, Φ) ∈ C 0 (Q ) × C 0 (Q ) ; F (t, x, a) + |Φ(t, x, a)|2 ≤ 0 .
2
Então, Brenier formulou o problema relaxado, como o problema de procurar por pares de
medidas (c, m) que minimizem K[c, m] e que sejam admissı́veis no sentido de (5), (6) e (7), mas
que não satisfaçam (4) necessariamente.
com (c, m) da forma (4) e X =
312
Também foi mostrado que, para D = [0, 1]n e para cada h ∈ S(D), o problema relaxado
sempre tem uma solução (c, m) e que existe uma única medida localmente limitada ∇x p no
interior de Q = [0, T ] × D, dependendo somente de h, tal que ∂t (cv) + ∇x (cv ⊗ v) + c∇x p = 0,
0
é satisfeita no sentido de distribuições no interior de Q , onde c é uma extensão de c para a
qual o produto c(t, x, a)∇x p(t, x) está bem definido. Além disso, foi mostrado que para qualquer
h ∈ S([0, 1]3 ) da forma h(x1 , x2 , x3 ) = (H(x1 , x2 ), x3 ), e qualquer ε > 0, existe uε ∈ V tal que
K(uε ) + ||gε (T, ·) − h||2L2 (D) ≤ I(h) + ε,
onde I(h) é o valor ótimo do problema relaxado e
Z Z
Z Z
1 T
1 T
2
|uε (t, x)| dxdt =
|∂t gε (t, x)|2 dxdt = A(gε ).
K(uε ) =
2 0 D
2 0 D
Além disso, as medidas (cε , mε ) associadas com uε , através de (4), convergem quando ε → 0
para as soluções generalizadas do problema relaxado. Mais ainda, os campos uε satisfazem
∇x · uε = 0
e
∂t uε + (uε · ∇) uε → −∇p,
fracamente quando ε → 0. Como observado em [4], a cada solução (c, m) podemos associar uma
solução a valor de medida µ, no sentido de DiPerna e Majda, da seguinte forma
Z
Z
f (t, x, ξ)dµ(t, x, ξ) =
f (t, x, v(t, x, a))dc(t, x, a),
Q0
Q×Rd
para qualquer função contı́nua f ∈ Q × Rd com pelo menos crescimento quadrático quando
ξ → ∞. Para mais detalhes, veja [4] e [5].
Em [3], Brenier apresentou exemplos explı́citos de soluções generalizadas não triviais. Um
exemplo tı́pico é considerar D como o disco unitário em 2D e h(x) = −x. Sabemos que o
problema de mı́nimos para a ação tem duas soluções triviais g+ (t, x) = eiπt x e g− (t, x) = e−iπt x,
π 2 |x|2
. Temos outra solução (generalizada) (c, m) para o
com o mesmo campo pressão p(x) =
2
mesmo problema a qual é dada por
Z
Z
Z 1
f (t, x, a)c(t, x, a)dtdxda =
f (t, G(t, a, θ), a)dθdtda,
Z
Q0
Q0
Z
[0,1]×D
Z
f (t, x, a)m(t, x, a)dtdxda =
[0,1]×D
0
0
1
∂t G(t, a, θ)f (t, G(t, a, θ), a)dθdtda,
¡
¢1
para toda função contı́nua f, onde G(t, θ, a) = a cos(πt) + 1 − |a|2 2 e2iπθ sin(πt) ∈ D. Note
que cada partı́cula inicialmente localizada em a ∈ D se divide ao longo de um cı́rculo de raio
¡
¢1
1 − |a|2 2 sin(πt), com centro a cos(πt), que se move através do disco unitário e encolhe até o
ponto −a quando t = 1.
Em geral, é muito difı́cil obter exemplos explı́citos de soluções generalizadas não triviais e o
exemplo construı́do por Brenier, baseia-se no modelo apresentado em [3], o qual leva em conta
um conceito puramente lagrangiano de medidas de Young, os chamados fluxos generalizados.
Além de fornecer uma aplicação do modelo desenvolvido em [4], os resultados desse trabalho
dão uma informação interessante para o limite de uma sequência de soluções estacionárias,
mostrando que elas estão associadas a medidas que satisfem as equações de Euler em um sentido
fraco especı́fico. Por outro ponto de vista, os resultados desse trabalho dão exemplo de como
uma seqüência de soluções altamente oscilatória ainda pode ter um limite que é uma solução
em algum sentido. Ou seja, exibimos uma famı́lia uε (a qual comporta-se como as “soluções
aproximadas”, discutidas acima) tal que, o campo de velocidades fica mais e mais oscilatório,
quando ε → 0, mas as medidas (cε , mε ) associadas ao campo uε convergem para a solução (c, m)
das equações
Z
c(t, x, a)da = 1, ∂t c + ∇x · m = 0, e ∂t (cv) + ∇x (cv ⊗ v) + c∇x p = 0.
D
313
2
Uma famı́lia de soluções estacionárias
Consideraremos a seguinte famı́lia de soluções estacionárias das equações de Euler:
µ
µ
¶
¶
1
1
1
cos(2x) + 2 cos (2ny) .
un (x, y) = − cos(x) sin (ny) , sin(x) cos (ny) , 0 , pn (x, y) = −
n
4
n
Note que |Dpε (x, y)| ≤ C, e quando n vai para o infinito, o campo pressão converge fortemente
1
para p(x, y) = − cos(2x). Então, é fácil verificar que (un · ∇) un + ∇p → 0, quando n → ∞.
4
Observemos por um momento, o comportamento da famı́lia un . Para n = 1 temos,
u1 (x, y) = (− cos(x) sin(y), sin(x) cos(y), 0)
e
½
ẋ = − cos(x) sin(y)
(9)
ẏ = sin(x) cos(y).
³
π
π´
ou (kπ, lπ), onde k, l ∈ Z, (ver
Assim, (ẋ, ẏ) = (0, 0) ⇔ (x, y) = (2k + 1) , (2l + 1)
2
2
figura 1).
³
π
lπ
π´
ou (kπ, ), onde
Para n = 2, temos (ẋ, ẏ) = (0, 0) ⇔ (x, y) = (2k + 1) , (2l + 1)
2
4
2
k, l ∈ Z, (ver figura 2).
2
2
y
–2
–1
y
1
0
1
–2
2
–1
1
0
1
2
x
x
–1
–1
–2
–2
Figura 1:
Retrato de fase
campo de velocidades u1 (x, y)
(− cos(x) sin(y), sin(x) cos(y), 0)
do
=
Figura 2: Retrato de fase do campo de
velocidades u2 (x,¢y) = (− cos(x) sin(2y),
1
2 sin(x) cos(2y), 0
³
π´
lπ
π
ou (kπ, ), onde
Logo, para n temos, (ẋ, ẏ) = (0, 0) ⇔ (x, y) = (2k + 1) , (2l + 1)
2
2n
n
k, l ∈ Z.
Note que quando n → ∞, o campo de velocidades fica mais e mais oscilatório. Na próxima
seção, mostraremos que as medidas (cn , mn ) definidas por cn (t, x, a) = δ (x − gun (t, a)) , mn (t, x, a)
= un (t, x)δ(x − gun (t, a)) convergem para a solução (c, m) das equações:
Z
c(t, x, a)da = 1,
(10)
D
∂t c + ∇x · m = 0
(11)
∂t (cv) + ∇x · (cv ⊗ v) + c∇x p = 0.
(12)
Pelo teorema de consistência em [4], ou sua generalização para o caso de densidade variável
em [7], sabemos que se un é uma solução das equações de Euler, então o par de medidas (cn , mn )
definido abaixo satisfaz as equações (10), (11), (12).
314
O limite (c, m)
3
Nesta seção, construı́mos explicitamente o limite (c, m). Para isto, primeiramente reescrevemos
o campo
µ
¶
1
un (x, y) = − cos(x) sin(ny), sin(x) cos(ny), 0 ,
n
como
µ
¶
1 2
1
un (x, y) = u1 (x, ny), u1 (x, ny), 0 ,
n
onde
u11 (x, ny) = − cos(x) sin(ny) e u21 (x, ny) = sin(x) cos(ny).
0
Daqui em diante, omitiremos½a terceira coordenada dos campos un s. Observemos que os campos
x = x(t, γ, δ)
tem perı́odo 2π. Agora, seja
a solução de
y = y(t, γ, δ)

dx


= u11 (x, y) = cos(x) sin(y)


dt

 dy
= u21 (x, y) = sin(x)cos(y)
(13)
dt



x(0, γ, δ) = γ



y(0, γ, δ) = δ.
2π
2πi
≤ α2 ≤
(i + 1), onde i, n ∈ N. Para n = k,
Sejam 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ α1 ≤ 2π, e
n
n
0 ≤ i ≤ k − 1 e temos

2π


, se i = 0
0 ≤ α2 ≤


k


4π
 2π
≤ α2 ≤
, se i = 1
k
k

...





 2π(k − 1) ≤ α2 ≤ 2π, se i = (k − 1).
k
Então, i conta células (na vertical) de 0 a 2π para cada n.
Agora, definimos

¶¶
µ
µ

i (t, α , α ) := x t, α , n α − 2πi

x
 n
1
2
1
2
n ¶¶
µ
µ
(14)
2πi
1
2πi


+
.
 yni (t, α1 , α2 ) := y t, α1 , n α2 −
n
n
n
Pela definição acima, conluı́mos que para n = k, temos 0 ≤ i ≤ k − 1 e, portanto,
( 0
xk (t, α1 , α2 ) := x(t, α1 , kα2 )
, se i = 0,
1
yk0 (t, α1 , α2 ) := y(t, α1 , kα2 )
k
..
.

¶¶
µ
µ
2(k − 1)π

k−1

x
(t,
α
,
α
)
:=
x
t,
α
,
k
α
−
 k
1
2
1
2
k ¶¶
µ
µ
, se i = k − 1.
2(k − 1)π
1
2(k
−
1)π


+
 y2k−1 (t, α1 , α2 ) := y t, α1 , k α2
k
k
k
315
2π(i + 1)
2πi
Daı́, obtemos 0 ≤ xin ≤ 2π,
≤ yni ≤
e
n
n

µ
µ
¶¶
2πi

i

= α1
 xn (0, α1 , α2 ) = x 0, α1 , n α2 −
n ¶¶
µ
µ
1
2πi
2πi


+
= α2 .
 yni (0, α1 , α2 ) = y 0, α1 , n α2 −
n
n
n
Além disso, de (14) obtemos

dxin


(t, α1 , α2 ) =

dt
dyni



(t, α1 , α2 ) =
dt
µ
µ
¶¶
dx
2πi
t, α1 , n α2 −
dt µ
n ¶¶
µ
.
1 dy
2πi
t, α1 , n α2 −
n dt
n
(15)
De (13) e (15) segue que
¢
¢
¡
¡
dxin
dyni
= u1n xin (t, α1 , α2 ), yni (t, α1 , α2 ) e
= u2n xin (t, α1 , α2 ), yni (t, α1 , α2 ) .
dt
dt
Definindo
½
2πi
2π(i + 1)
xn (t, α1 , α2 ) := xin (t, α1 , α2 )
se
≤ α2 ≤
,
yn (t, α1 , α2 ) := yni (t, α1 , α2 )
n
n
concluı́mos que

dxn


(t, α1 , α2 ) = u1n (xn (t, α1 , α2 ), yn (t, α1 , α2 ))


dt

 dy
n
(t, α1 , α2 ) = u2n (xn (t, α1 , α2 ), yn (t, α1 , α2 ))
dt



xn (0, α1 , α2 ) = α1



yn (t, α1 , α2 ) = α2 .
(16)
No restante do trabalho, por simplicidade, usaremos a seguinte notação: Di = (0, 2π)i =
(0, 2π) × · · · × (0, 2π), i vezes, onde i = 1, · · · , 4. Agora estamos prontos para apresentar nossos
resultados:
Teorema 1. Considere (xn , yn ) uma solução de (16). Sejam
½
cn (t, x, y, α1 , α2 ) = δ ((x, y) − (xn (t, α1 , α2 ), yn (t, α1 , α2 )))
mn (t, x, y, α1 , α2 ) = un (x, y)δ ((x, y) − (xn (t, α1 , α2 ), yn (t, α1 , α2 ))) .
Então,
1
hϕ, cn i →
2π
e
1
hφ, mn i →
2π
Z
Z
D3
T
0
Z
Z
D3
0
T
ϕ(x(t, α1 , β2 ), γ, α1 , γ, t)dtdα1 dβ2 dγ
φ1 (x(t, α1 , β2 ), γ, α1 , γ, t)u11 (x(t, α1 , β2 ), y(t, α1 , β2 ))dtdα1 dβ2 dγ,
quando n → ∞, para quaisquer ϕ ∈ C0∞ (D4 × (0, T )) e φ ∈ (C0∞ (D4 × (0, T )))2 .
Demonstração. Ver [8].
Utilizando o teorema acima, simples cálculos mostram que
Z Z T
hϕ, cn i →
ϕ(x(t, α1 , β2 ), γ, α1 , γ, t)dtdα1 dγ
Z
hφ, mn i →
D2
Z
0
D2
T
e
0
φ1 (x(t, α1 , β2 ), γ, α1 , γ, t)u11 (x(t, α1 , β2 ), y(t, α1 , β2 )) dtdα1 dγ.
Assim, o limite (c, m) é dado por
½
c(x, y, α1 , α2 , t) = δ ((x, α2 ) − (x(t, α1 , β2 ), y)) ¡
¢
m(x, y, α1 , α2 , t) = δ ((x, α2 ) − (x(t, α1 , β2 ), y)) u11 (x, y(t, α1 , β2 )), 0 .
(17)
316
4
Solução das equações de Euler relaxadas
Concluı́mos nossos resultados, mostrando que o par (c, m), construı́do na seção anterior, satisfaz
as equações de Euler relaxadas.
Teorema 2. O par de medidas (c,m) definido em (17) satisfaz as seguintes equações
Z
c(t, x, y, α1 , α2 )dα1 dα2 = 1, ∂t c + ∇ · m = 0 e ∂t (cv) + ∇ · (cv ⊗ v) + c∇p = 0
D2
no sentido de distribuições.
Demonstração. Ver [8].
Referências
[1] V. I. Arnold, Sur la Géométrie Différentielle des Groupes de Lie de Dimension Infine et ses
Applications à L’Hidrodynamique, Ann. Inst. Fourier, 16 (1966) 319-361.
[2] V. I. Arnold e B. Khesin, Topological Methods in Hidrodynamics,Annu. Rev. Fluid Mech.,
24 (1992) 145-166.
[3] Y. Brenier, The Least Action Principle and the Related Concept of Generalized Flows
for Incompressible Perfect Fluids,Journal of the American Mathematical Society, Vol. 2,
Number 2 (1989) 225-255.
[4] Y. Brenier, Minimal Geodesics on Groups of Volume-Preserving Maps and Generalized
Solutions of the Euler Equations, CPAM, 52 (1999) 411-452.
[5] R. DiPerna e A. Majda, Oscillations and Concentrations in Weak Solutions of the Incompressible Fluid Equations, Comm. Math. Phys. , 108 (1987) 667-689.
[6] D. J. Ebin e J. Marsden, Groups of Diffeomorphisms and the Motion of an Incompressible
Fluid Ann. of Math. , 92 (1970) 102-163.
[7] Lopes Filho, M. C.; Lopes, H. J. N. and Precioso, J.C., Least action principle and the incompressible Euler equations with variable density, to appear, Transactions of the American
Mathematical Society, (2010).
[8] J. C. Precioso, A Family of Stationary Solutions to the Euler Equations and Generalized
Solutions, to appear, Cubo (Temuco), Vol. 12, Number 3, (2010).
[9] J. C. Precioso, “Equações relaxadas para hidrodinâmica ideal, não homogênea”, Tese de
Doutorado, IMECC-Unicamp, 2005.
[10] A. I. Shnirelman, The Geometry of the Groups of Diffeomorphisms and the Dynamics of
an Ideal Incompressible Fluid Mat. Sb (N.S.) , 128(170) (1985) 82-109.
[11] A. I. Shnirelman, Generalized Fluid Flows, their Aproximation and Applications Geom.
Funct. Anal. , 4 (1994) 586-620.
[12] L. Tartar, The Compensated Compactness Method Applied to Systems of Conservation
Laws. Systems of Nonlinear Partial Differential Equations (Oxford, 1982), NATO Adv. Sci.
Inst. Ser. C: Math. Phys. Sci., 111. Reidel, Dordrecht-Boston, (1983) 263-285.
[13] L.C. Young, Lectures on the Calculus of Variations and Optimal Control Theory, Chelsea,
New York, 1980.
317