UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA POTENCIALMENTE SIGNIFICATIVA PARA
O ENSINO DE FUNÇÕES: PRIMEIROS RELATOS
Cauê Roratto
[email protected]
Clélia Maria Ignatius Nogueira
[email protected]
Lílian Akemi Kato
[email protected]
Resumo: A disciplina de Matemática continua a ser um obstáculo na vida de boa parte
dos estudantes. O formalismo exagerado e a presença de ideias abstratas podem ser
alguns dos causadores de dificuldades. Como tentativa de solucionar essa realidade,
baseamo-nos na Teoria da Aprendizagem Significativa, de David Ausubel, para
construir uma sequência didática potencialmente significativa para o conteúdo de
Funções. Acreditando que uma aprendizagem só se faz significativa mediante os
processos de subsunção, adotamos a sequência histórica do conceito para elaborar a
nossa sequência didática. Neste artigo, relatamos as primeiras experiências da aplicação
da proposta em uma turma de oitava série, de uma escola pública do município de
Paranavaí, destacamos os problemas encontrados no processo e, por fim, promovemos
uma discussão a respeito do perfil dos estudantes e do perfil de cidadãos que o próprio
sistema de ensino está construindo.
Palavras-Chave: Aprendizagem Significativa; Funções; História da Matemática.
Fundamentação teórica
Já não é novidade comentários de que a Matemática é uma matéria difícil e,
muitas vezes, a que causa mais dificuldades aos estudantes. Não tiramos a razão dessa
afirmação, uma vez que, da forma como é apresentada, ela é rigorosa, formal,
essencialmente dedutiva e distante da realidade do aprendiz.
De forma incontestável, é muito mais fácil para o professor abordar um
conteúdo pela forma dedutiva. Assim, a Matemática já se encontra pronta e lapidada,
apresentando uma sequência clara e nítida, restando ao professor apenas repetir a
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estrutura para os alunos. Entretanto, essa forma menos trabalhosa, repleta de
formalismo, obscurece e dificulta o entendimento de quem vê o conteúdo pela primeira
vez, forçando-o a crer em algo que não é óbvio e, como consequência, fazendo com que
a Matemática assuma um caráter dogmático (RORATTO, 2007).
Todavia, a formalização em Matemática é feita posteriormente às suposições,
formulação de hipóteses, tentativas e erros, que, finalmente, culminarão em uma
equação ou fórmula que descreve certa situação. Epistemologicamente, omitir
construções pré-existentes, significa considerar que um novo conhecimento pode
apoiar-se sobre o nada, ter um início absoluto e, pedagogicamente, implica em deixar
uma lacuna no ensino, em supor que o estudante pode aprender um conhecimento sem
ter as ideias básicas necessárias para que essa aprendizagem ocorra. Este é um fator que
leva à aprendizagem mecânica, ou, para Ausubel, Novak e Hanesian (1980), à uma
aprendizagem memorística.
Esses autores defendem que há a necessidade de fundar o ensino de certo
conceito em um conceito pré-existente na estrutura cognitiva do aprendiz. Quando isso
não acontece, ocorre uma aprendizagem memorística e ele será facilmente esquecido
(AUSUBEL, NOVAK, HANESIAN, 1980). Ao contrário, quando ocorre, haverá uma
aprendizagem significativa.
É nesse sentido, que a ideia de sub-sunção de conceitos é o enfoque principal
da Teoria da Aprendizagem Significativa, de David Ausubel.
O sistema psicológico humano [...] está construído e funciona de tal forma
que se podem aprender e reter novas idéias e informações, de forma
significativa e mais eficaz, quando já estão disponíveis conceitos ou
proposições adequadamente relevantes e tipicamente mais inclusivos, para
desempenharem um papel de subsunção ou fornecerem uma ancoragem
ideal as idéias subordinadas (AUSUBEL, 2003, p. 44).
Embora Ausubel trabalhe essencialmente com a ideia de sub-sunção,
considerando que esta seja um processo de análise ou de diferenciação de conceitos, na
qual cada conceito novo, a ser aprendido, parte de um mais geral ou mais inclusivo, ele
destaca, também, a possibilidade de existir aprendizagem significativa partindo-se de
conceitos mais específicos. Neste caso, os conceitos específicos servem de âncora aos
novos conceitos, que são, por sua vez, mais gerais e abrangentes, em um processo de
generalização e de síntese. Ausubel (2003) chama esse processo de aprendizagem
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subordinante. No mesmo sentido, Paulo (2006) nomeia esse processo como sub-sunção
superordenada.
Existe, ainda, a aprendizagem combinatória, a qual Ausubel (2003) define
como um processo intermediário entre as duas acima destacadas. Nesta, “as novas
proposições não geram nem uma relação subordinada, nem uma subordinante” (p. 95),
mas, sim, uma combinação das duas, com o novo conhecimento resultando da interação
de ideias relevantes pré-existentes como um todo.
Seja qual for o tipo de aprendizagem, a ancoragem de conceitos é um fator
fundamental para a ocorrência de aprendizagem significativa. Fundamental, porém não
único. Nesse sentido, Ausubel (2003) aponta três fatores necessários para que a
aprendizagem não seja mecânica:
•
Existência de conhecimento prévio relevante: é necessário que o
estudante já tenha uma informação relevante em sua estrutura
cognitiva para que esta sirva de âncora aos novos conceitos a serem
aprendidos.
•
Existência de um material potencialmente significativo: o
conhecimento a ser aprendido deve ser relevante ao conhecimento
prévio, isto é, deve ter alguma ligação, bem como acrescentar
informações úteis às ideias âncoras.
•
Disposição em se aprender significativamente: não é suficiente
existirem conhecimentos prévios relevantes e apresentar-se um
material potencialmente significativo se o aprendiz não estiver
disposto a aprender significativamente. Nesse sentido, é necessário
que o aprendiz se disponha a relacionar os novos conhecimentos com
aqueles já existentes em sua estrutura cognitiva, de uma forma
consciente e não trivial.
Com base nos pressupostos teóricos da Aprendizagem Significativa, nos
propusemos a desenvolver uma sequência didática potencialmente significativa para o
conteúdo de Funções e, para isso, uma das novas tendências em Educação Matemática,
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qual seja, a História da Matemática, se mostrou capaz de atingir a aprendizagem
teorizada por Ausubel.
Ao se apresentar a Matemática diretamente pela sua estrutura já formalizada,
pode-se dificultar seu aprendizado por parte dos alunos, visto que seu caráter abstrato
não é imediatamente captado por estes. Ademais, os Parâmetros Curriculares Nacionais
sugerem que é “a partir da observação de casos particulares que as regularidades são
desvendadas, as conjecturas e teorias matemáticas são formuladas” (BRASIL, 1998 p.
25), isto é, a Matemática é formulada partindo da observação e dos casos particulares
até se chegar à formalização. Iniciar o ensino pela formalização seria alterar a ordem de
construção.
Chaves e Carvalho (2004) afirmam que é justamente isso que acontece nos
livros didáticos ou científicos de Matemática, nos quais a forma como foi descoberta, as
noções empíricas e observações de casos particulares são ocultadas, como se não
tivessem acontecido. A divulgação do conhecimento matemático produzido é feita em
sua forma final, formal, rigorosa e livre de raciocínio intuitivo, como se fosse construída
dessa forma dedutiva e desconsiderando que o aspecto histórico do desenvolvimento de
um conhecimento pode ser de essencial importância para a sua compreensão.
Os zoólogos afirmam que, num breve período, o desenvolvimento do
embrião de um animal recapitula a história de seus antepassados de todas as
épocas geológicas. Parece que o mesmo se dá no desenvolvimento da mente.
A tarefa do educador é fazer a mente da criança passar pelo que seus pais
passaram, atravessar rapidamente certos estádios, mas sem omitir um. Para
esse fim, a história da ciência deve ser nosso guia (Poincaré, apud Kline,
1976, p. 58).
A importância do aspecto histórico para o aprendizado é reconhecida,
atualmente, por pesquisadores e professores (MIGUEL E MIORIM, 2004; SOUZA,
2008), constituindo-se, inclusive, em uma das tendências atuais da Educação
Matemática.
Com isso em mente, elaboramos nossa sequência didática seguindo o
desenvolvimento histórico das Funções, partindo de conceitos importantes que surgiram
previamente e colaboraram para o seu entendimento e formalização. Esses conceitos
são: Relação Qualitativa e Quantitativa de Dependência, Padrões, Variável,
Representações Gráficas e Algébricas; os quais, constituíram-se, nessa ordem, como
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importantes passos até a formalização do conceito de Funções. A proposta foi abordar
cada um deles em uma atividade envolvendo diferentes situações-problema, para que,
passo a passo, num processo de sub-sunção, os alunos alcancem a formalização final.
Para a elaboração da sequência didática, partimos de atividades diretamente
ligadas ao cotidiano dos estudantes para o estabelecimento de Relações de
Dependência, inicialmente, de forma essencialmente qualitativa. A partir desse
conhecimento âncora, por um processo de sub-sunção superordenada, ou aprendizagem
subordinante, seguimos com atividades referentes a relações quantitativas de
dependência, até chegar ao Reconhecimento de Padrões. Ademais, consideramos que
estes atuariam como âncoras para outro conceito, o de Variável. Por fim, atividades de
Representação Gráfica, por um processo de aprendizagem combinatória, sintetizariam
todos os conceitos trabalhados de forma a culminar na representação algébrica e na
formalização do conceito de Funções.
Pelo fato da sequência permitir esse processo de subsunção superordenada, em
que cada conceito serve de base para o aprendizado do próximo, que, por sua vez, está
relacionado com seu precedente de uma maneira não trivial, ela constitui-se em um
material potencialmente significativo, segundo a teoria de Ausubel (2003).
O presente artigo se propõe a relatar as primeiras experiências na aplicação da
sequência didática, destacando, principalmente, os problemas encontrados no processo e
buscando relacionar tais problemas com aspectos destacados por Ausubel (2003). Por
fim, questionamos o perfil dos estudantes e apresentamos algumas conclusões a respeito
das alternativas para o ensino de Matemática brasileiro.
Aplicação da sequência didática
Iniciamos nossa intervenção em uma turma de oitava série, de uma escola
pública, no município de Paranavaí, Paraná. A intervenção prévia, um total de onze
encontros, com uma carga-horária de duas horas-aula cada um, seria aplicada em
horário escolar, durante as aulas regulares de Matemática. A pedido da professora titular
da matéria, as atividades desenvolvidas contariam como atividades normais de aula
programadas para o ano letivo, contando, inclusive, como parte da nota trimestral dos
estudantes.
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A turma escolhida era bastante eclética com respeito ao perfil dos estudantes,
contando com indivíduos de diferentes classes sociais e diferentes rendimentos
escolares. Antes da aplicação, já havíamos sido informados que não era uma turma fácil
de trabalhar.
Outro aspecto relevante a ser destacado é o fato de o conteúdo de Funções não
ter sido estudado anteriormente. Sendo assim, tal conteúdo seria abordado pela primeira
vez, com nossa sequência didática.
Relatamos, a seguir, os resultados parciais obtidos após quatro desses
encontros.
Resultados
A primeira atividade prévia a ser realizada com a turma foi o estudo de
relações de dependência, sendo essas essencialmente qualitativas. Tratava-se de duas
situações-problema. Na primeira os alunos responderiam cinco questões relacionadas a
uma cadeia alimentar, envolvendo cinco níveis tróficos, e, na segunda, eram oito
questões relacionadas ao caminho para o trabalho em uma cidade fictícia.
Na primeira, as relações de dependências eram abordadas à medida que a
quantidade de indivíduos de determinada espécie era dependente da quantidade de
predadores e de presas existentes. De forma geral, os alunos não apresentaram grandes
dificuldades, porém, um aspecto merece ser destacado. Mesmo após ter deixado claro
para os estudantes que o objetivo das atividades era irmos, passo a passo construindo o
conceito matemático de Funções, estes estranharam o contexto da situação-problema
proposta, conforme atestam algumas de suas argumentações: “Professor, mas isso é
Ciências”; “Não era pra ser aula de Matemática?”; “Cadê as contas?”
É possível inferir que a Matemática é entendida essencialmente como uma
ciência de números e de contas, reforçando a ideia de que o raciocínio matemático
encontra-se em um processo de isolamento dentro da própria disciplina.
Alguns estudantes apenas se convenceram de, no fundo, haver uma ideia
matemática, pela utilização dos termos mais e menos em frases como “se houver mais
alimento, haverá mais indivíduo”, “se houver mais predadores, haverá menos
780
indivíduos”, mostrando a necessidade de alguma quantificação para poder ser
considerada uma atividade “de Matemática”.
A segunda situação se tratava da escolha do caminho que um trabalhador
deveria fazer para ir de casa ao trabalho, de acordo com o mapa da figura abaixo. Essa
escolha deveria ser baseada no menor tempo para realizar o trajeto, sabendo que
existiam alguns fatores que interfeririam no tempo gasto, como a realização de feiras de
artesanato; a grande chance de congestionamento na via expressa em determinados dias
da semana; o fato de algumas ruas estarem sujeitas a alagamento; e de não existirem
obras nos dias com chuva.
De acordo com esses fatores, que eram descritos detalhadamente em um texto
de cerca de meia página, anexo à atividade, o estudante deveria especificar o melhor
caminho em dias e condições climáticas determinados. O intuito da questão, novamente,
era o estudo das relações de dependência qualitativas.
Mesmo depois de explicarmos a questão, foram muitos os grupos que
alegaram não entender o que era para ser feito. Ficamos surpresos com tal ocorrência,
visto que a mesma atividade havia sido aplicada como piloto em uma turma de sétima
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série e não ocorreu nenhum problema. Compreendemos o motivo de tantas dúvidas
quando tentávamos explicar o propósito do exercício a um dos grupos que não o havia
entendido. Explicamos o propósito da atividade e destacamos que eles deveriam
fornecer o melhor trajeto de acordo com as possibilidades de usar determinadas ruas, de,
em certos dias, ter certos problemas que dificultariam o acesso, etc. Foi aí que um dos
estudantes perguntou: “mas como que eu vou saber quando acontece cada coisa?”.
Pasmos com a pergunta, perguntamos se eles haviam lido o enunciado do problema, o
qual dava todas as informações. A resposta foi não.
Em outros grupos, os alunos simplesmente grifavam um caminho aleatório na
figura do mapa sem levar em consideração nenhum dos fatores estabelecidos no
problema.
Como se não bastasse a falta de leitura dos enunciados, começaram a surgir
comentários de que “dá muito trabalho para descobrir” e, então, começaram a apontar
caminhos aleatórios. Acreditávamos que seria uma tarefa, de certa forma, agradável de
ser feita, visto que havia ilustrações e baseava-se mais em uma brincadeira do que em
um exercício propriamente dito. Entretanto, a preguiça de pensar fez com que grande
parte não tivesse êxito na situação-problema.
Findada a atividade, procuramos fazer o fechamento, destacando a importância
do conceito de relação de dependência e reiterando o fato de ser um conceito presente
no nosso cotidiano, à medida que todas as nossas escolhas dependem de algum outro
fator. Essa ênfase seria necessária, pois a ideia de dependência se constituiria em
importante sub-sunçor no estudo formalizado de Funções, visto que, por exemplo, uma
variável muda em dependência de outra. No entanto, tal fechamento foi impossível
devido à indisciplina e à falta de interesse da turma.
Após essa tentativa de fechamento, demos como tarefa avaliativa de
elaboração individual de um mapa conceitual1 do que havia sido estudado na aula.
Deveriam construir esse mapa em casa e entregar na aula seguinte.
Novamente, retratando a irresponsabilidade e indiferença da turma, recebemos
apenas dezesseis mapas de um total de trinta e nove esperados.
1
Os Mapas Conceituais atuaram como instrumento de coleta de dados para futura investigação de
indícios de aprendizagem significativa. No implemento da pesquisa, dois encontros foram destinados ao
ensino de confecção de Mapas Conceituais, seguindo as propostas do seu criador, Joseph Novak.
782
Desolados com a situação, questionamo-nos sobre o porquê dos principais
atores do processo de aprendizagem não terem interesse algum em um ensino
diferenciado. A nossa convicção a respeito da necessidade de se criar metodologias de
ensino em que os alunos tenham um papel ativo na construção do conhecimento, sem
que sejam submetidos a um ensino baseado na reprodução de problemas-tipo, de propor
novas formas de avaliações com os mapas conceituais, ficou abalada perante o
desinteresse e descaso dos alunos.
A teoria, entretanto, veio em nosso socorro, pois, nossa experiência evidenciou
um dos critérios estabelecidos por David Ausubel (2003) para o alcance da
aprendizagem
significativa,
qual
seja,
o
de
o
aprendiz
querer
aprender
significativamente. Em vão serão as tentativas de elaborar materiais potencialmente
significativos, de elaborar aulas e avaliações diferenciadas, se não partir do próprio
estudante o interesse em aprender significativamente, isto é, de estabelecer relações não
triviais entre o conhecimento aprendido e o conhecimento existente em suas estruturas
cognitivas. A dificuldade reside no fato de que esse processo exige pensar e o estudante
de hoje tem preguiça para tal. Acreditamos que isso possa ser fruto do próprio processo
de ensino, que reduz o papel do aluno a apenas reproduzir, sem ter que pensar a respeito
do que está fazendo. Ao se deparar com uma situação-problema em que lhe é solicitado
ler, investigar e pensar a respeito, o estudante encontra dificuldades e não se sente
estimulado a fazer.
Outro aspecto relevante que se enquadra como suporte às nossas frustrações,
pode ser encontrado também na teoria de Ausubel (2003), qual seja, a questão da
linguagem.
A linguagem é um importante facilitador da aprendizagem significativa por
recepção e pela descoberta. Aumentando-se a manipulação de conceitos de
proposições, através das propriedades representacionais das palavras, e
aperfeiçoando compreensões subverbais emergentes na aprendizagem por
recepção e pela descoberta significativas, clarificam-se tais significados e
tornam-se mais precisos e transferíveis. (p. 5).
Pela dificuldade de comunicação existente no momento do fechamento das
atividades, não houve a explicitação e o destaque dos conceitos trabalhados. Dessa
forma, não foi possível rotular, por uma palavra, um conjunto de propriedades
aprendidas e, assim, a aprendizagem pode ter se tornado rudimentar, visto que os
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significados podem não ter se tornados precisos e transferíveis na ausência desse rótulo.
Sem esse fechamento das atividades, acabou-se tendo um estilo de aprendizagem por
descoberta que, segundo Ausubel (2003), não é a metodologia ideal para se ter uma
aprendizagem com significado, pela ausência de uma sistematização adequada dos
conceitos construídos.
Isto levou à reformulação de hipóteses e de estratégias metodológicas para
tentar atender ao critério de Ausubel, qual seja, o de fazer com que os estudantes se
disponibilizassem a aprender significativamente. Deste modo, as medidas tomadas
foram, desde exercer mais autoridade, até pensar em partes mais expositivas, com
resolução de exemplos, como explicações introdutórias, para não deixar os alunos tão
soltos em atividades de grupo, visto que Ausubel admite a possibilidade de
aprendizagem dessa forma.
Como ainda não encerramos a investigação, não podemos afirmar nada a
respeito da eficácia da sequência, no que se refere à ocorrência de aprendizagem
significativa, porém, mais algumas atividades já foram aplicadas e estamos conseguindo
melhor participação e envolvimento dos estudantes.
Considerações finais
Após as primeiras intervenções na turma de oitava série já tivemos condições
de levantar algumas considerações importantes. A primeira delas se refere ao
isolamento da Matemática. Aos olhos dos estudantes, essa ciência restringe-se apenas a
números, fórmulas e contas, além de, quase sempre, não se relacionar a situações
cotidianas. Quando há essa relação, ela aparece, invariavelmente, na forma de uma
expressão aritmética ou algébrica. No entanto, a Matemática é mais do que isso, o
raciocínio matemático, o ato de pensar sobre algo, de buscar padrões de
comportamento, é o um dos aspectos mais belos dessa ciência e é constantemente
negligenciado em seu ensino.
De fato, desde os anos iniciais, existe uma forte tendência à aritmetização da
Matemática, como um estágio prévio ao tratamento algébrico. Em momento algum o
ensino da Matemática tem o propósito de desenvolver o ato de pensar, a investigação e
a busca de regularidades. Como resultado, ao se depararem, na oitava série, com uma
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proposta de ensino na qual há a necessidade de ações como essas, acabam tendo pouco
ou nenhum sucesso. O próprio ensino, no seu papel de implementar a educação,
desenvolve cidadãos com preguiça de pensar, como pudemos perceber na resolução da
situação-problema da escolha do caminho para o trabalho, e com falta de espírito
investigativo, quando, na mesma situação-problema, sequer se motivaram a ler o texto
anexo ao problema para buscar as informações necessárias. O ensino de Matemática,
em particular, e a educação brasileira, em geral, forma estudantes cômodos, com pouca
iniciativa e arrojo para buscar soluções e que, consequentemente, não desenvolvem a
autonomia suficiente para que tenham sucesso numa aprendizagem por descoberta.
Provavelmente, essa deficiência não ficará restrita à vida acadêmica do estudante, mas
terá desdobramentos em sua vida profissional e social.
Acreditamos, então, que ao aplicar desde as séries iniciais um ensino que
envolva a participação efetiva do estudante num papel ativo de investigação, no qual
seja necessário o ato de pensar e não a penas o de reproduzir, seria possível contribuir
para a formação de um perfil de estudantes diferenciado, fazendo com que cheguem à
oitava série capazes de ter uma maior curiosidade e um maior espírito investigativo,
sem preguiça de pensar e, assim, com um maior índice de sucesso em atividades como a
que propusemos. Consequentemente, terão uma maior autonomia e mais condições de
aprenderem significativamente.
Referências
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786