Noção de tvm e tv
Interpretação geométrica
Suponhamos que uma pessoa passeia, na cidade, de automóvel e que a distância d
percorrida é função de tempo t.
A expressão d (t ) = 8t 2 + 8t relaciona a distância d, em km, que o automóvel percorre
durante o tempo, t, em horas e 0 ≤ t ≤ 5 .
Durante as 5 horas, a velocidade do automóvel não é constante. Assim podemos calcular
a distância ao final de cada hora.
Ao fim da primeira temos d (1) = 8(1) 2 + 8(1) = 16 .Calculando as restantes temos.
Qual a velocidade média do automóvel durante o passeio?
d percorrida 240
=
= 48
Vm =
5
tptotal
d (5) − d (0)
O que acabamos de calcular foi exactamente a tvm =
= 48 .
5−0
Se unirmos os pontos (0, 0) e (5, 240) obtemos uma recta secante à curva.
O declive dessa recta, m, é dado pela tvm.
Qual a velocidade do automóvel ao fim de 2horas?
Pretendemos calcular a velocidade do automóvel no preciso instante em que se
completam 2horas, ou seja, a velocidade instantânea nesse momento.
Teremos de calcular velocidade média no intervalo [ 2; 2 + h ] em que h é a amplitude do
intervalo. Quanto menor for o h melhor será a aproximação que obteremos para velocidade
instantânea.
d (2 + h) − d (2) 8(2 + h) 2 + 8(2 + h) − 48 h(40 + 8h)
tvm[2;2+ h] =
=
=
= 40 + 8h
2+h−2
h
h
A velocidade do automóvel ao fim de 2horas é de 40km / h , pois h representa a
amplitude de um intervalo que é cada vez menor, logo h tende para zero e a velocidade tende
para 40km/h.
A este valor chama-se taxa de variação da função em t=2 e calcula-se através da
tvm[2,2+h].
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Generalizando:
Seja f uma função
A taxa média de variação da função f no intervalo [ a, b ] é:
tvm[a ;b] =
f (b) − f (a)
b−a
geometricamente a tvm da função no intervalo [ a, b ] é o declive da recta secante à curva nesse
instante.
O declive da recta secante ao gráfico da função que une os pontos correspondentes aos
extremos no intervalo [ a, b ] é:
m = tgα = tvm[ a ;b] =
f (b) − f (a )
.
b−a
NOTA:
Função crescente no intervalo tvm > 0
Função decrescente no intervalo tvm < 0
Função constante no intervalo tvm = 0
A derivada da função f no ponto de abcissa a, se existir, corresponde à taxa de variação
da função nesse ponto.
Representa-se por f’(a) e é a tvm no intervalo [ a, a + h ] quando h tende para zero.
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Regras de derivação
Função
Constante a
Potência x n
Função linear ax
Derivada
0
nx n −1
a
Derivada da soma
A derivada da soma de duas ou mais funções com derivada finita num ponto é igual à soma das
derivadas das funções nesse ponto.
( f + g ) '( x) = f '( x) + g '( x)
Derivada do produto
A derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira função vezes a segunda
função mais a derivada da segunda função vezes a primeira função.
( f .g ) '( x) = f '( x).g ( x) + g '( x). f ( x)
Derivada do quociente
'
 f ( x)  f ' ( x) g ( x) − g '( x) f ( x)
f ( x)
A derivada do quociente
é dada por 
 =
2
g ( x)
 g ( x) 
[ g ( x)]
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