Exercı́cios - Escalas
Conceituando Através de um Exemplo
Observar o cubo abaixo, onde L é o comprimento da aresta, A é área
total (seis vezes a de cada face 6L2 ) e V é o volume total (L3 ).
Se aumentarmos o comprimento da aresta de que maneira aumentarão a
área e o volume do cubo?
Analisando cudadosamente a tabela, que mostra possı́veis relações entre
o comprimento de aresta, área e volume do cubo, podemos tirar as seguintes
conclusões
L (cm)
1
2
3
4
5
6
10
50
A (cm3 )
6
24
54
36
150
216
600
1500
V (cm3 )
1
8
27
64
125
216
1000
125000
1. A área da superfı́cie total do cubo aumenta mais rapidamente que o
comprimento da aresta. Por exemplo, para uma aresta que teve seu
1
comprimento aumentado n vezes, a superfı́cie da área total aumenta
n2 .
2. Idem aresta-volume (n − n3 )
Essa análise simples encontra grande aplicação na Fı́sica. Suponhamos
que todas as dimensões lineares de nosso corpo fossem aumentadas por um
fator 10 (n). A área de secção dos nossos ossos ficaria multiplicada por 100
(n2 ) e o volume por 1000 (n3 ).
Como a resistência dos ossos é proporcional à área da secção, a capacidade
óssea de sustentar o peso do corpo fica multiplicada por 100. Por outro lado,
o peso do corpo é diretamente proporcional ao seu volume, o que significa
que você estaria agora mil vezes mais pesado. Nessas condições carregar seu
próprio peso seria muito difı́cil e você poderia até mesmo sucumbir à ele.
Podemos verificar experimentalmente que o calor desprendido por um ser
vivo é proporcional à área de sua superfı́cie externa, mantendo constantes a
temperatura e alguns fatores. Como uma das funções do alimento é repor o
calor perdido, no exemplo acima a pessoa necessitaria 100 vezes mais alimentos. Mas a capacidade de armazenar alimentos seria 1000 vezes maior, o que
significa que essa gigantesca pesssoa precisaria apenas 1/10 da capacidade
de armazenamento que um ser humano normal possui.
Exercı́cios: Você aprendeu?
1. O filme King Kong mostra um gorila gigantesco que possui assombrosa
agiliadde. É possı́vel a existência de tal criatura no mundo real
2. O Colibri é muito agitado e precisa estar se alimentando frequentemente; o elefante por sua vez é lento e não se alimenta com tanta frequência.
Justifique.
3. No estádio do Morumbi 120.000 torcedores assistem um jogo. através
de dada uma das seis saı́das disponı́veis podem passar 1000 pessoas por minuto. Qual o tempo necessário para esvaziar o estádio?
4. Imagine uma maneira de calcular a distância a algum lugar ao qual
você vai a pé com frequência sem medir diretamente a distância. E se fosse
de bicicleta? De carro? O que você precisaria usar em cada caso?
5. A figura abaixo reproduz um desenho de Galileu Galilei, feito há mais
de trezentos anos para ilustrar seu trabalho sobre escalas. No desenho, o
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osso grande tem tês vezes o comprimneto do osso menor. Quantas vezes
mais grosso deveria ser o osso maior, parra ter a mesma resistência que o
outro?
6. O desaparecimento dos dinossaouros - que dominaram a terra durante
140 milhões de anos - é até hoje um mistério para a ciência. O que se sabe
é que existiram várias espécies desses animais. Os mais gigantescos eram
vegetarianos; os de menor porte, carnı́voros. Alguns eram bı́pedes; outros,
quadrúpedes; e havia os que voavam. Desajeitados, equilibravam-se sobre
as patas traseiras. Apresentavam mandı́bulas desdentadas ou com afiados
dentes, placas recobrindo o dorso, chifres na cabeça ou no nariz, cabeças de
diversos formatos, pescoços mais longos ou mais curtos. Uns teriam sido bem
velozes - os não muito grandes; outros, bastante lentos, os gigantescos.
Levando em conta o que você estudou sobre mudança de escala, argumente sobre a locomoção dos dinossauros.
7. Os ossos das patas de um animal são duas vezes mais fortes que os das
patas de outro. Sabendo que os dois animais se relacionam biologicamente e
possuem forma semelhante, determine a razão:
(a) entre suas alturas; (b) entre seus pesos.
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