QUESTÃO 1.
a) Seja O o vértice da cunha. Seja X um ponto genérico da superfície anterior da cunha e
seja hX a distância de X a sua base posterior. Em X incidirão um sinal luminoso que
provém diretamente da fonte e um outro que se deve à reflexão na superfície posterior, após
ter sido refratado na superfície anterior, num ponto próximo a X, digamos X’, de tal sorte
que X está no segmento OX’. A diferença entre as distâncias óticas percorridas pelos dois
raios interferentes em X é aproximadamente igual a 2hxn2. O sinal que incide sobre X
conserva sua fase ao refletir-se neste ponto, posto que ele se dirige de um meio mais
refringente para um meio menos refringente (n1 > n2). Já o sinal que incide em X’ tem sua
fase invertida ao refletir-se na superfície posterior (posto que n2 < n1). Logo, os dois sinais
em questão interferirão construtivamente se 2hxn2 = (2m+1)λ/2, em que m ∈ Z. Esta
relação vale, em particular, para m = 0, obtendo-se hx = λ/(4n2). Para os pontos P e Q,
teremos, respectivamente: hP = λvioleta/(4n2) e hQ = λvermelho/(4n2). Por outro lado, PQ = (hQ –
hP)/senα. Portanto,
PQ = (λvermelho - λvioleta)/(4n2senα).
Substituindo-se, nesta última equação, os valores fornecidos, e tendo em vista que sen1’ =
0,000291, obtém-se:
PQ = (700 – 400)/(4×1,2×0,000291) = 2,15×105 nm = 0,215 mm.
b) A interferência no ponto X mencionado no item (a) será destrutiva se 2n2hX = mλ. Para
hX = 0, isto é para o ponto O (vértice da cunha), tal relação é válida se m = 0,
independentemente do valor de λ. Assim, em O, todos os comprimentos de onda
interferirão destrutivamente, dando origem a uma franja escura.
QUESTÃO 2.
a) A intensidade luminosa média, I, em cada ponto do anteparo, num dispositivo de
difração de Fraunhoffer, em função da posição angular, θ, do ponto considerado, é dada
pela expressão: I = I0 sen2ϕ/ϕ2, em que I0 é uma constante positiva, ϕ =def (π/λ)asenθ, a é a
largura da fenda e λ é o comprimento de onda da luz incidente. A largura do máximo
central é a distância dos mínimos de ordem –1 e 1. Os pontos de mínimo ocorrem para os
valores de θ que anulam I, ou seja, tais que ϕ = mπ. Logo, senθm = mλ/a, m ∈ Z . Como θ1
= θ-1, então a largura procurada, L, é o dobro da distância entre o ponto mais brilhante e o
mínimo de ordem 1, isto é, L/2 = D tan θ1, em que D é a distância da fenda ao anteparo.
Substituindo-se, nesta última expressão, os valores fornecidos e considerando-se que o
diâmetro do fio corresponde à largura da fenda, a, vem: L = 2×2×tan (arcsen(680×
10-9/2×10-5)) = 4×tan(3,4×10-2) = 0,138 m = 13,8 cm.
b) Sabe-se que os ângulos correspondentes aos pontos de máximo são aqueles que
satisfazem a equação tanϕ = ϕ. Podemos calcular valores aproximados de ϕ buscando os
pontos em que a bissetriz do primeiro quadrante cruza o gráfico da função y = tanϕ. Como
tanϕ > ϕ para 0 < ϕ ≤ π/2, e tanϕ ≤ 0 para π/2 < ϕ ≤ π deve-se buscar o primeiro valor de
ϕ no intervalo 3,1416 = π < ϕ < 3π/2 = 4,7124. Um bom valor é o ângulo 4,493425, cuja
tangente vale 4,4937. Assim, a intensidade luminosa do primeiro máximo é I1 = I0
sen24,493425/(4,493425)2 = 0,04719. Portanto, a razão procurada é I0/I1 = 21,191.
Pode-se, também, abordar a questão da seguinte forma. Entre dois mínimos localiza-se um
máximo, o qual pode-se considerar, aproximadamente, a meia distância desses dois
mínimos. Então, sendo ϕm o ângulo correspondente ao m-ésimo mínimo (m ≥ 1) e Φm o
ângulo correspondente ao m-ésimo máximo, teremos: ϕm = (Φm+1 + Φm)/2. Assim, ϕm =
[(m+1)π + mπ]/2 = (2m+1)π/2. Fazendo-se m = 1, vem: I1 = I0 sen2(3π/2)/(3π/2)2 = 4I0/9π2.
Portanto, I0/I1 = 9π2/4 = 22,207. O erro cometido com respeito ao resultado encontrado
anteriormente vale ∆r/r = (22,207 – 21,191)/21,191 = 4,8%.
QUESTÃO 3.
a) O ângulo de Brewster, θB, isto é, aquele segundo o qual a luz deve incidir para que o raio
refletido polarize-se completamente, é dado por tanθB = n2/n1, em que n2 é o índice de
refração do meio de onde provém a luz e n1 é o índice de refração do meio para o qual ela
se dirige (a placa). Obviamente, θB decresce com o acréscimo de n1. Portanto, a assertiva é
correta.
b) A distância ótica percorrida por um sinal luminoso á definida como sendo a distância
que ele percorreria no vácuo no mesmo tempo que ele levou para percorrê-la no meio em
que efetivamente o percurso se deu. Se o índice de refração do meio aumentar, aumenta o
tempo de percurso; conseqüentemente, o sinal percorreria, neste maior tempo, uma
distância maior caso estivesse no vácuo. Portanto a afirmação é verdadeira.
c) No dispositivo em questão, a intensidade luminosa num ponto de posição angular θ é
dada por I = I0 cos2[(πd/λ)senθ], em que I0 é uma constante positiva, d é a disntância entre
as duas fendas e λ é o comprimento de onda da luz incidente. Os pontos de máximo
ocorrem, portanto, para os valores de θ que tornam o cosseno na expressão anterior igual a
1. Assim, a intensidade nesses pontos vale I = I0, isto é, não depende de m. Logo a assertiva
é incorreta.
d) A intensidade da energia transmitida quando luz polarizada incide sobre uma placa
polarizadora de tal sorte que o ângulo entre o campo elétrico e o eixo de polarização vale θ,
tal intensidade é dada por I = I0cos2θ, em que I0 é a intensidade incidente. Para 600 e 300, as
intensidades transmitidas valem I60 = I0cos260° =I0/4 e I30 = I0 cos230° = 3I0/2. Logo, I30/I60
= 6. Logo, a afirmativa é falsa.
e) Pelo critério de Rayleigh, as figuras de difração de duas fontes devido a uma abertura
circular são resolvidas (isto é, identificadas como originárias de duas fontes e não apenas de
uma), quando o centro do máximo central de uma delas dista mais do centro da outra do
que o primeiro mínimo desta última. Mas a posição angular do primeiro mínimo é θ1 = 1,22
λ/d, em que λ é o comprimento de onda oriundo da fonte e d é o diâmetro da abertura
circular. Portanto, quanto menor o valor de λ, menor será θ1 e, então, mais próximas
poderão estar as fontes e, ainda assim, suas figuras de difração se resolverão. Como λeletron
< λluz visível, o poder de resolução do microscópio eletrônico é superior ao do ótico.
Conseqüentemente, a afirmação está correta.
f) A fase de uma onda plana é α = kx - ωt. Seja d a distância entre duas frentes de onda no
instante t. A diferença de fase entre elas será ∆α = kx1 - ωt – (kx2 - ωt) = k(x1 – x2) = kd, ou
seja, ∆α é diretamente proporcional à distância que separa as duas frentes de onda.
Portanto, a afirmação é incorreta.