10ª Série de Problemas
Termodinâmica e Estrutura da Matéria
MEBM, MEFT e LMAC
1. Uma antena de rádio emite com uma potência de 104W, na frequência de
9,2 x 105 Hz. Quantos fotões são emitidos por segundo?
2. Quando o Sol incide perpendicularmente à superfície terrestre, a potência
incidente junto a esta é de cerca de 103 Wm-2. Sendo 550 nm o
comprimento de onda médio da radiação:
2.a) Calcule quantos fotões atingem a superfície terrestre por m2 e por
segundo.
2.b) Qual o momento linear de cada fotão? Qual o momento linear
transferido por cada fotão reflectido ao chocar com a superfície
terrestre? E se o fotão for absorvido?
2.c) Calcule o momento linear transferido para a superfície terrestre por
m2 e por unidade de tempo e a pressão devida ao embate dos fotões.
3. O tubo de um anúncio luminoso contém néon. O gás no interior do tubo
pode emitir comprimentos de onda que são característicos deste elemento.
Assim, de acordo com a diferença de potencial aplicada, o tubo emite luz
amarela (585,25 nm), vermelha (640,23 nm) ou verde (540.25 nm).
3.a) Se o número de fotões emitidos em cada comprimento de onda for
o mesmo, para qual das cores o consumo de energia é menor? Calcule
a frequência da radiação e a energia de cada fotão em eV para esse
caso.
3.b) O néon também emite raios X com um comprimento de onda de
1,46 um, que correspondem a transições de electrões para as as
camadas mais próximas do núcleo. Qual a energia destes fotões em
eV?
4. Quando uma radiação com a frequência de 7 x1014 Hz incide numa
superfície metálica é emitido um feixe de electrões que podem atingir
velocidades até cerca de 6 x 105 m/s. Se quisermos construir uma célula
fotoeléctrica com esse metal, qual a frequência mínima da radiação com
que deve ser iluminada?
5. A célula fotoeléctrica é construída com césio.
Sabe-se que a função de trabalho, isto é, a energia mínima necessária para
arrancar um electrão é 1,8 eV. A área da célula é 1 cm2.
5.a) Qual é o valor mínimo da frequência da radiação com que se deve
iluminar o Césio para que haja corrente eléctrica no circuito?
5.b) Suponha que dispõe de uma lâmpada incandescente cujo máximo
da energia emitida corresponde à frequência de extracção de um
electrão. Qual é a temperatura do filamento?
5.c) O filamento tem uma área total de 5 mm2 e emite isotropicamente
como um corpo negro. Calcule a potência emitida pela lâmpada que
incide na célula em função da distância à lâmpada.
5.d) Admita que apenas 3% da radiação total que atinge o detector é
que contribui para a extracção dos electrões, sendo a restante energia
perdida ou transformada em energia cinética dos electrões extraídos.
Se a corrente mínima que deve alimentar o circuito for Imin = 10 μA,
qual a distância máxima a que a lâmpada se pode encontrar do
detector?
6. Os neutrões resultantes da cisão do urânio nos reactores nucleares têm
energias muito elevadas. Para aumentar as suas probabilidades de interagir
com os átomos de urânio e provocar uma reacção em cadeia, têm de ser
termalizados, isto é, perder energia por colisões sucessivas com os átomos
de um moderador (água ou água pesada). Calcule o comprimento de onda
de um neutrão após atravessar um moderador à temperatura de 300 K.
Compare com a ordem de grandeza das distâncias interatómicas.
7. A que energia mínima deverá estar a funcionar um microscópio
electrónico para distinguir detalhes com 0,002 nm? Compare com a melhor
resolução que é possível obter com um microscópio óptico, que é de 200
nm. (De facto, o feixe tem de ser focado, o que faz que a resolução seja
inferior à aqui calculada.)
8. O átomo de oxigénio tem uma massa atómica de 16 u. Se o átomo tiver
uma energia cinética de 1 eV, qual o seu comprimento de onda de Broglie?
9. Numa experiência de efeito de Compton, os raios X incidentes têm uma
energia de 100 keV.
9.a) Qual a frequência dos fotões?
9.b) Um electrão adquiriu uma energia cinética de 4 keV ao chocar com
um fotão, que é desviado da sua trajectória inicial. Qual a frequência do
fotão desviado?
9.c) Calcule, nas condições da alínea anterior, o ângulo de desvio do
fotão.
10. Os raios X podem ser produzidos numa ampola constituída por dois
eléctrodos, entre os quais é estabelecida uma elevada diferença de
potencial. No cátodo, um filamento de tungsténio aquecido produz um feixe
de electrões, que vai ser acelerado pelo campo eléctrico existente entre os
eléctrodos. Os electrões com uma energia cinética superior a 3.2 × 10-14J
vão embater no ânodo de molibdénio produzindo raios X.
10.a) Qual o comprimento de onda associado aos electrões junto do
ânodo com uma energia cinética igual a 3.2 × 10-14J?
10.b) Os electrões provocam a excitação dos átomos de molibdénio.
Determine o comprimento de onda das radiações Kα 1 e Kα 2 do
molibdénio, sabendo que estas resultam, respectivamente, das
transições entre os níveis LII → K e LIII → K. As energias desses níveis
são: EK = -20.0 keV, ELII = -2.63 keV e ELIII = -2.52 keV.
10.c) Considere agora que a radiação Kα 1 é difundida por um bloco de
carbono. Cada fotão é difundido por um electrão livre em repouso
(efeito Compton). Determine o comprimento de onda da radiação
difundida numa direcção que faz com a de incidência um ângulo θ ,
sabendo que os electrões adquirem uma energia de 3.5 keV.
Nota: Se não respondeu à alínea anterior utilize λ (Kα 1) = 0.7 Å
11. Suponha que a velocidade de um electrão e de uma bala com 30 g de
massa eram medidos com a mesma precisão experimental, Δv =10-3 m/s.
Qual a incerteza mínima na posição do electrão? E na posição da bala?
12. Uma fonte de luz é utilizada para determinar a posição dum electrão num
átomo com a precisão de ½ Ǻ (0,05 nm). Qual é a incerteza mínima na
medida da velocidade do electrão?
13. No átomo de hidrogénio, o raio do protão mede 0,8 x 10-15 m e a distância
média do electrão ao centro do protão é 5,3x10-11 m. Se o protão for
representado por uma laranja com 6 cm de raio, a que distância está o
electrão?
14. Considere o movimento (clássico!) de um electrão em torno de um protão.
(Recorde o problema de Kepler, desempenhando neste caso a atracção
eléctrica entre as partículas o papel da interacção gravítica).
14.a) Escreva a energia do electrão em função do módulo do momento
angular no caso particular de uma órbita circular de raio r.
14.b) Suponha agora (hipótese introduzida por Bohr) que só as órbitas
que correspondem a valores do momento angulares quantificados, isto
é, da forma | | = n , com n = 1, 2, 3... ( = h/2π) são estacionárias.
Qual a energia desses estados estacionários (níveis de energia)?
14.c) Qual o comprimento de onda do electrão nesses estados
estacionários?
15. Em 1885 Johann Balmer obteve empiricamente uma fórmula que permitia
obter os valores para os comprimentos de onda das 4 riscas do espectro
visível do hidrogénio, e que era
onde n=3,4,5...; RH = 1,097 x 107m-1 - constante de Rydberg. Bohr obteve
para os níveis de energia do átomo
; n = 1, 2, 3, ...
15.a) Partindo do modelo atómico de Bohr, obtenha a fórmula de Balmer
para o átomo de hidrogénio. Determine o valor de RH previsto por Bohr.
15.b) Em 1896 verificou-se que as riscas do espectro de uma estrela
obedeciam à fórmula empírica
com base nas fórmulas de Balmer e de Bohr diga qual o elemento
encontrado na estrela. Justifique a resposta.
16. De acordo com o modelo de Bohr, o átomo é constituído por uma
partícula de carga negativa, descrevendo trajectórias circulares em torno de
uma de carga positiva.
16.a) Calcule a energia e o raio do átomo de hidrogénio no seu estado
fundamental (em eV).
16.b) Um muão μ negativo (μ−) tem uma carga igual à de um electrão (e−)
mas uma massa 207 vezes superior. Qual seria a energia do nível
fundamental e o raio de um «átomo de hidrogénio» constituído por um
protão e um muão μ− ?
17. Considere um átomo de hidrogénio no 2º estado excitado (n = 3).
17.a) Escolha a opção correcta:
A energia do electrão é ...
17.a.i)
um terço da energia do nível fundamental (E3 = E1/3);
17.a.ii) um oitavo da energia do nível fundamental (E3 = E1/23);
17.a.iii) um nono da energia do nível fundamental (E3 = E1/32).
17.b) Se um átomo de hidrogénio decair do nível n=3 para o nível
fundamental, qual será a energia (em eV) dos fotões que podem ser
emitidos? (Recorde que E1= -13,6 eV). Faça um esquema das
transições possíveis e indique em que zona de frequência se encontra
a radiação emitida.
18. Considere o modelo de Bohr para o átomo de hidrogénio.
18.a) Qual é a velocidade do electrão no estado fundamental? Compare
com a velocidade da luz (calcule v/c).
18.b) Qual é a corrente eléctrica que corresponde ao movimento do
electrão em torno do núcleo? Qual o momento magnético orbital do
electrão? (Recorde que o momento magnético é μ = IA, em que / é a
intensidade de corrente e A a área do circuito.)
18.c) Recorde que um circuito eléctrico é equivalente a um dipolo e que a
energia deste num campo magnético exterior B é U =- μΒ cos θ. Qual a
energia necessária (em eV) para inverter o dipolo equivalente, uma vez
que este esteja alinhado com um campo de 10 T? (Isto é, a energia
necessária para inverter o sentido do movimento do electrão!)
18.d) Qual a frequência do fotão emitido por um electrão, ao voltar a
alinhar o momento magnético com um campo de intensidade 10 T?
19. A analogia clássica para o spin do electrão consiste em supor que este
roda em torno de si próprio, gerando um momento magnético μs=-eħ/mms,
sendo ms =+1/2 ou -1/2 conforme o spin está, respectivamente, alinhado ou
desalinhado com o campo magnético exterior. Sabendo que a energia de
um electrão com spin sz =ms ħ num campo magnético B é U=-μs B, calcule:
19.a) A diferença de energia entre o estado em que o spin está alinhado e
aquele em que está desalinhado com um campo magnético exterior de
1 T.
19.b) A frequência do fotão emitido quando um electrão passa do estado
em que ms =-1/2 para o estado em que ms =+1/2, na presença de um
campo magnético de 1 T.
20. Na Mecânica Quântica, a energia total de um oscilador harmónico
.O
encontra-se quantizada, sendo dada por En=(n+1/2)hω , onde
sistema massa-mola representado na figura é um oscilador harmónico. O
corpo tem massa m=0.5 kg e a constante elástica da mola de massa
desprezável é k=10 N/m.
20.a) Num certo instante o corpo passou na posição de equilíbrio, x=0,
com uma velocidade igual a v=9.7×10-3 m/s. Estime a incerteza mínima
na posição do corpo caso se determine que a incerteza na sua
velocidade é Δv=10-9 m/s.
20.b) A partir dos valores de posição e velocidade referidos, e sabendo
que o sistema se encontra num estado próprio de energia, determine o
número quântico n desse estado.
20.c) O corpo pode absorver um fotão com qualquer energia? Justifique
indicando quais as energias permitidas. Deste problema, que
conclusões pode tirar sobre a necessidade de aplicar a Mecânica
Quântica a sistemas macroscópicos? Justifique
21. Os níveis de energia de um oscilador quântico são En = (n + 1/2) hν (com
n = 0, 1, 2, ...). Na molécula de hidrogénio, os dois átomos estão "unidos"
por um potencial de oscilador harmónico U(x) = 1/2 kx2 cuja constante é k =
580 N/m.
21.a) Calcule a partir de k e da massa "reduzida" de molécula (lembre-se
que é esta massa que determina o movimento relativo!) a frequência ν
das vibrações de molécula.
Se não fizer esta alínea use ν = 0.2 x 1014 s-1 nas restantes.
21.b) Calcule a energia do estado de mais baixa energia da molécula.
21.c) Que energia mínima é necessário fornecer à molécula para a fazer
vibrar? Se pretendesse produzir essas vibrações por aquecimento, que
temperatura mínima lhe garante a existência de vibrações de molécula?
Como varia o calor específico de hidrogénio a essa temperatura?
21.d) Se a molécula se encontrasse no estado de energia correspondente
a n = 2, que frequências se poderiam observar na radiação emitida pela
molécula? Que comprimentos de onda lhes corresponderiam?
21.e) Explique, face a a) e d), como se pode determinar k, a "constante
da mola", experimentalmente, supondo que se conhece a massa
reduzida da molécula.
22. Um laser de Rubi emite num comprimento de onda λ=694.3 nm.
Considere um modelo para o laser em que os fotões são emitidos devido a
transições de electrões numa caixa de paredes infinitas entre os níveis n=3
e n=2.
22.a) Qual a diferença de energia entre os níveis referidos?
22.b) Calcule a largura da caixa que é compatível com o laser de rubi.
22.c) Qual é a energia e o momento linear de um dos electrões que se
encontre no estado fundamental?
23. Considere 4 protões (spin 1/2) confinados numa "caixa" a uma dimensão
(poço de potencial de paredes infinitas), com 10 fm de largura (1 fm = 10-15
m). Desprezando a interacção dos protões entre si, os níveis de energia são
dados por
em que a é a largura da "caixa" e m a massa de cada partícula.
23.a) Calcule a energia do nível máximo ocupado pelos protões quando T
0K. Faça um esquema representando a distribuição dos 4 protões
pelos níveis ocupados.
23.b) Calcule o comprimento de onda e o momento linear correspondente
a cada um dos níveis ocupados nessas condições.
23.c) Se cada um dos protões receber energia para "saltar" para o nível
de energia imediatamente acima, indique num esquema que transições
podem ocorrer para os protões voltarem ao estado de energia mínima.
Calcule a maior e a menor frequência dos fotões emitidos nessas
transições.
23.d) Repita a alínea a) considerando que, em vez de protões, se tratava
de deutrões. O deutrões são núcleos de Deutério, constituídos por um
protão e um neutrão ligados, tendo spin 1 (mdeutrão 2mprotão).
24. O electrão de um átomo de hidrogénio está no nível n = 2. De acordo com
os resultados da equação de Schrõdinger:
24.a) Quais são os valores possíveis para o número quântico do
momento angular orbital do electrão,l? E para o módulo do momento
angular orbital? (Dê o resultado em função de ħ.)
24.b) Que valores pode tomar para cada um desses estados a projecção
do momento angular orbital, segundo um eixo à sua escolha (eixo dos
Z)? (Dê o resultado em função de ħ.)
24.c) Pode medir experimentalmente ou calcular as outras componentes
do momento angular no mesmo instante?
24.d) Quantos electrões poderiam ser «alojados» nos diferentes estados
do nível n = 2, se contarmos com os dois valores possíveis para o spin,
± ħ/2? (É só contar! Lembre-se do princípio de exclusão de Pauli.)
25.
25.a) Na coluna VIIIA da tabela periódica dos elementos encontra, por
exemplo, o hélio (1s2), o néon (1s2 2s2 2p6) e o árgon ([igual ao néon]
3s2 3p6). Quantos electrões têm cada um destes elementos na orbital
«mais exterior» («última camada» de electrões)? Que há de comum
entre eles?
25.b) Na coluna IA encontra o hidrogénio (1s1), o lítio (1s2 2s1) e o sódio
([igual ao néon] 3s1).Que há de comum entre estes elementos?
26. A estrutura electrónica do hidrogénio é 1s1 e a do oxigénio é 1s2 2s2 2p4.
Com base nisto, explique porque é que o oxigénio «se dá tão bem» com
dois átomos de hidrogénio, formando um composto muito estável (adivinhe
qual!).