REA.3.3.2.1-Dilatação do tempo
Relógios
O tempo na relatividade
021
tic
tac
022
022
tac
tic
Fig. 1 - O relógio de luz (observe o contador)
023
tac
L
J
tac
J
v
J
tac
L
(a)
(b)
tic
(v.∆τM)/2
Fig. 2 – Relógio de João (J) visto por ele mesmo (a) e por Maria (b)
J
Notação: ∆tJ intervalo de tempo medido por João
∆tM intervalo de tempo medido por Maria
Relógio do João: Tempo clássico e relativístico
Relógio de luz em repouso em relação a João.
No contexto da Mecânica Newtoniana
AJ = 2L
∆tJ = 2L/c
(1)
Mecânica Relativística
∆‫ז‬J : intervalo de tempo próprio. Costuma-se qualificar de próprio as
grandezas que descrevem o comportamento de um sistema descrito
por um observador que está em repouso relativamente a ele.
aJ = 2L
∆‫ז‬J = 2L/c
(2)
Concluímos que ∆tJ = ∆‫ז‬J , ou seja, no referencial de João os
tempos são os mesmos, tanto mecânica clássica como na
relativística. O resultado não é de surpreender já que as
novidades associadas à relatividade ocorrem quando efetuamos
mudanças de referencial.
Relógio de João visto por Maria: João, carregando o seu relógio, corre para
a direita passando por Maria, fig. 2. Maria também possui um relógio idêntico
ao de João.
Contexto clássico referencial de Maria: no referencial da Maria o caminho que
a luz percorre (AM) torna-se maior, como mostra a fig. 2 (b). No contexto
clássico a distância AM percorrida pela luz entre dois TACs, é dada por:
AM = 2.( L2 + (v. ∆tM /2)2 )1/2
(3)
E o intervalo de tempo é: ∆tM = AM / cM (4) onde cM é o módulo da
velocidade do raio de luz em relação a Maria.
cM = c + v (soma vetorial)
(5)
∆tM = 2.(L2 + (v. ∆tM /2)2)1/2 / ( c2 + v2 )1/2 = 2L/c
Comparando com a (1), concluímos que ∆tM = ∆tJ . Note que este valor foi
obtido a partir da soma vetorial clássica de c e v.
No contexto relativístico: A distância percorrida pela luz é
calculada como no caso clássico:
aM = 2.√ L2 + (v. ∆tM /2)2
velocidade da luz é c:
(18.9). Porém a
∆tM = 2.√ L2 + (v. ∆tM /2)2 / c = (2L/c)/√ 1 – (v/c)2 (18.11)
Comparando com a (18.2)
∆tM = ∆‫ז‬J /√ 1 – (v/c)2
(18.12)
Ϫ= 1/ √ 1 – (v/c)2 ≥ 1
(18.13)
∆tM = ∆‫ז‬J Ϫ
Por exemplo, se v = √3.c/2, teremos ξ = 2,
portanto ∆tM = 2.∆‫ז‬J
Maria “ouviria”:
TIC
TAC
TIC
TAC
TIC
no seu próprio relógio e
TIC
no relógio do João.
TAC
TIC
INTUIÇÃO COTIDIANA
• Este tipo de comportamento do tempo viola a nossa
intuição cotidiana, educada na tradição Newtoniana, na
qual a passagem do tempo independe do observador.
• Essa intuição é baseada em na nossa vivência num
mundo onde as velocidades relativas são pequenas
quando comparadas à da luz.
• Por exemplo, a velocidade de um jato é de 1000 km/h,
mais ou menos 300 m/s. Com este dado o valor de
Ϫ = 1,000 000 000 000 5.
• O fenômeno da dilatação é real e pode ser comprovado
por meio de experimentos.
Relatividade e bagunça
Simetria da dilatação
tac
M
v
M
M
L
v.∆τ/2
tic
bJ = 2.√ L2 + (v. ∆tJ /2)2
∆tJ = 2.√ L2 + (v. ∆tJ /2)2 / c = (2L/c)/√ 1 – (v/c)2 = ∆‫ז‬M/√ 1 – (v/c)2
Deve haver algum tipo de simetria entre as observações feitas por
João e Maria. ( o 1º princípio deve ser satisfeito!!)